P2 POLI 2011

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FEP2195-F´ısica Geral e Exp. para a Engenharia I - 2a Prova - 12/05/2011
1) Uma bola de massa m=0,5 kg e´ presa a um pino por um fio leve e inextens´ıvel de 0,8 m de
comprimento. A bola e´ abandonada quando o fio esta´ na horizontal. Na parte mais baixa da sua
trajeto´ria, a bola atinge um bloco de massa M=2 kg, inicialmente em repouso sobre uma superf´ıcie
a´spera. A colisa˜o entre eles pode ser considerada perfeitamente ela´stica. O coeficiente de atrito cine´tico
entre o bloco e a superf´ıcie e´ 0,16. Considere a acelerac¸a˜o gravitacional g = 10 m/s2.
a)(0,2) Qual e´ o trabalho realizado por cada forc¸a atuando
sobre a bola ate´ o momento logo antes da colisa˜o?
b)(0,8) Qual e´ a velocidade de cada corpo depois da colisa˜o?
c)(0,5) Ate´ que altura sobe a bola apo´s a colisa˜o?
d)(0,5) Qual e´ o trabalho realizado pela forc¸a de atrito sobre
o bloco ate´ parar?
e)(0,5) Qual e´ a distaˆncia percorrida pelo bloco?
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1) Uma bola de massa m=0,5 kg é presa a um pino por um fio leve e inextensível de 0,8 
m de comprimento. A bola é abandonada quando o fio está na horizontal. Na parte mais 
baixa da sua trajetória, a bola atinge um bloco de massa M=2 kg, inicialmente em 
repouso sobre a superfície áspera. A colisão entre eles pode ser considerada 
perfeitamente elástica. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície é 0,16. 
 
a) (0,2) Qual é o trabalho realizado por cada 
força atuando sobre a bola até o momento 
logo antes da colisão? 
b) (0,8) Qual é a velocidade de cada corpo 
depois da colisão? 
c) (0,5) Até que altura sobe a bola após a 
colisão? 
d) (0,5) Qual é o trabalho realizado pela força 
de atrito sobre o bloco até parar? 
e) (0,5) Qual é a distância percorrida pelo 
bloco? 
 
 
a) 
As duas forças que atuam sobre a bola são o peso e a tensão no fio. 
0=TTr pois a tensão é sempre perpendicular ao vetor deslocamento. 
JhmgET pP 4)8,00(105,0 =−××−=∆−=∆−=r 
 
b) 
Como, na hora da colisão, todo o movimento acontece ao longo do eixo x e que não 
existem forças externas atuando sobre o sistema ao longo do eixo x, podemos usar a 
conservação do momento linear nessa direção. 
constante0 =→==∑ xxx TotTotext Pdt
Pd
F
rrr
 
 
Antes da colisão 
(2) 4
5,0
422
2
1
2
1
2
14T
mecânica) energia da oconservaçã a usando (ou também
 a item do forças pelas realizado total trabalhoo para TEC o usando encontradaser pode 
(1) 0
1101res
1
11
222
F s
m
m
T
vmvmvmvEJT
v
mvmvPPP
P
bolabolabolabolacP
bola
bolabolablocobolaTot xxx
=×==→=−=∆===
=+=+=
r
rr
 
 
 
 
 
 
0
y
Depois da colisão 
 
s
mvvv
s
m
Mm
vMm
v
vvMmvMvmvmv
vvvvvvv
MvmvPPP
bolabolabloco
bola
bola
bolabolabolablocobolabola
bolabolablocoblocobolablocobola
blocobolablocobolaTot xxx
6,14,24 (4) em (5) doSubstituin
(5) 4,2
)25,0(
4)25,0(
)(
)(
)(
obtemos (4), e (2) usando e (3) e (1) Igualando
(4) )()(
:fácil) mais muito é que (o relativas svelocidade
 das equação ausar ou cinética, energia da oconservaçã ausar podemos elástica, é colisão a Como
(3) 
212
1
2
21221
212211
2
2
2
2
=−=+=→
−=+
×−=+
−=→
++=+=
+=→−−=−
+=+=
A bola vai voltar para trás e o bloco vai ir para frente. 
 
c) 
Novamente, só a força peso realiza trabalho. Como ela é conservativa, a energia 
mecânica do sistema é conservada. 
 
m
g
v
hmghmvEE bolabolaMM 288,020
76,5
22
1 2
33
2 2
232
===→=→= 
 
d) 
Nesta parte do movimento, a resultante das forças que atuam sobre o bloco é a força de 
atrito exercida pela superfície, e podemos aplicar o TEC para esta força: 
JMvMvMvET blocoblocoblococf ac 56,26,125,02
1
2
1
2
1 2222
223
−=××−=−=−=∆= 
 
e) 
O trabalho realizado pela força de atrito é dado por 
m
Mg
T
dMgddfT ac
ac
f
acf 8,010216,0
56,2 =××=−=→−=•= µµ
rr
 
 
 
2) Dentro de uma caˆmara, temos uma ne´voa
formada por got´ıculas d’a´gua em suspensa˜o, com
uma densidade η. Considere um cubo de massa
M , se deslocando horizontalmente sem atrito so-
bre um trilho neste ambiente, com uma veloci-
dade inicial de mo´dulo v0 e direc¸a˜o perpendicular
a uma de suas faces, de a´rea A. Despreze a re-
sisteˆncia com o ar e o atrito com o trilho.
a) (0,5) Se o corpo absorver a a´gua ao longo de sua passagem, apenas pela face frontal, percorrendo
uma distaˆncia d, qual vai ser sua velocidade final?
b) (1,0) Qual a variac¸a˜o de energia do sistema?
c) (1,0) Considere agora que no lugar de got´ıculas d’a´gua, temos cristais de gelo, que sofrem coliso˜es
ela´sticas com a superf´ıcie do corpo. Considerando que a densidade da ne´voa e´ a mesma do caso anterior,
qual a velocidade do corpo, decorrido um tempo τ do in´ıcio do deslocamento?
Deˆ suas respostas em termos d, M , v0, A, η e τ .
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3) Uma pessoa puxa um sistema formado por 2 blocos que encontra-se apoiado sobre uma mesa
horizontal. O sistema esta´ inicialmente em repouso a uma distaˆncia d = 0,5 m em relac¸a˜o a borda da
mesa. O coeficiente de atrito cine´tico entre o bloco A e a mesa e´ µc = 0,20, enquanto o coeficiente de
atrito esta´tico entre os blocos A e B e´ µe = 0,30. As massas dos blocos sa˜o mA = 4,0 kg e mB = 2,0
kg. Considerando que a forc¸a ~F e´ aplicada sobre o bloco A em uma direc¸a˜o que faz um aˆngulo de 45o
com a horizontal e adotando g = 10 m/s2:
a) (0,5) Calcule o ma´ximo valor da forc¸a ~F
para o qual o bloco B se move junto com o sis-
tema sem deslizar.
b) (0,5) Calcule o trabalho total realizado por
esta forc¸a (em seu valor ma´ximo) para mover o
sistema ate´ a borda da mesa.
c) (0,75) Calcule a poteˆncia me´dia fornecida
pela pessoa para mover o sistema ate´ a borda da
mesa na condic¸a˜o acima.
d) (0,75) Qual o valor da poteˆncia instantaˆnea quando o sistema alcanc¸a a borda da mesa?
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4) Uma part´ıcula de massa m = 0.01Kg esta´ submetida a um campo de forc¸a conservativa em uma
dimensa˜o (x) conforme o gra´fico abaixo. A energia potencial nesse campo, U(x):
• e´ constante e igual a 2000 J para x < −50m;
• decresce linearmente entre x = −50m e x = −20m, onde seu valor e´ U(−20) = −1000J (trecho
linear);
• permanece constante entre x = −20m e x = 0 (trecho constante);
• e´ dada por U(x) = −1000 + 0.5x2 para x > 0 (trecho parabo´lico);
Sendo a part´ıcula abandonada em repouso no ponto x = −40m:
(a) (0,5) Calcule a energia mecaˆnica Emec da part´ıcula e superponha seu gra´fico como func¸a˜o
de x ao gra´fico do potencial.
(b) (0,5) Calcule o ma´ximo valor de x (xM ) alcanc¸ado pela part´ıcula em seu movimento subse-
quente e indique no gra´fico.
(c) (0,5) Obtenha a expresa˜o para a energia cine´tica em func¸a˜o de x e fac¸a seu gra´fico no espac¸o
apropriado entre os limites inferior e superior que a part´ıcula pode atingir.
(d) (0,5) Obtenha a expressa˜o e fac¸a o gra´fico da componente x da forc¸a que age sobre a part´ıccula
devido a esse potencial em func¸a˜o da posic¸a˜o entre os limites inferior e superior que a part´ıcula
pode atingir.
(e) (0,5) Suponha agora que, ao ser abandonada a part´ıcula nesse campo, seja adicionada uma
forc¸a de atrito de mo´dulo constante Fa = 50N, contra´ria ao movimento (por exemplo, atrito
com uma superf´ıcie paralela ao eixo x). Fac¸a o gra´fico de Emec(x) para esta nova situac¸a˜o (su-
perposto ao de U(x)), e determine o novo valor ma´ximo de x (x
′
M ) alcanc¸ado pela part´ıcula.
Q0.2:
(a) Emec = U(−40) = U(−50) + ∆xdUdx = 2000− 10 ∗ 3000/30 = 1000 J (trecho linear).
(b) U(xM ) = −1000 + 0.5x2M = Emec = 1000, x2M = 4000, xM = 63.2 m (trecho parabo´lico).
(c) K = 100(x + 40) (trecho linear); K = 2000 J (trecho constante); K = 2000 − 0.5x2 (trecho
parabo´lico).
(d) Fx = −dUdx ; Fx = 0 (x < −50); Fx = 100 N (trecholinear); Fx = 0 (trecho constante);
Fx = −x N (trecho parabo´lico)
(e) Emec(x) = Emec0−FA∆x = 1000−50(x+40), U(x′M ) = Emec(x
′
M ) = −1000 J para x
′
M = 0
(sugerido graficamente).
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