Vibrações - Poli - PME2341 SUB 2009

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PME 2341 PROVA SUBSTITUTIVA 30/06/09 
Prof. Francisco E. Baccaro Nigro Prof. Walter Ponge-Ferreira 
 
1ª Questão 
O rotor rígido representado na figura deve ser balanceado nos planos transversais C e D em uma 
máquina de balancear de mancais flexíveis. Os deslocamentos horizontais medidos nos mancais 
A e B em função do tempo, contado a partir do pulso da foto-célula, são mostrados na figura (i), 
com o rotor em sua condição original. Após a adição ao rotor de duas massas de teste mt = 10 g 
aos planos de balanceamento e nos mesmos raios a serem utilizados no balanceamento do rotor, 
obteve-se os gráficos de deslocamento apresentados na Figura (ii). Observe-se que a massa 
adicionada ao plano D o foi na direção 0 (direção de medição dos deslocamentos nos mancais 
no instante do pulso da foto-célula) e que a adicionada ao plano C o foi na direção 90 (direção de 
medição dos deslocamentos um quarto de volta após o instante do pulso da foto-célula). 
Pede-se: 
a) Determinar as posições relativas dos traços do eixo central de inércia e do eixo geométrico 
nos planos transversais por A e B. 
b) Calcular os coeficientes de influência xy (medidos em mm/g) que relacionam as amplitudes 
provocadas nos mancais A e B por massas adicionadas aos planos C e D. 
c) Calcular as massas a serem adicionadas ao rotor original nos planos C e D, assim como suas 
posições angulares, para balanceá-lo. 
d) Sabendo-se que a máxima rotação de operação do rotor é 5000 rpm e que sua massa é 
M = 10 kg, estimar o desbalanceamento admissível nos planos C e D, para que o rotor 
satisfaça uma classe de balanceamento ISO G 6.3. 
A BC D
x > 0
fo to -cé lu la
 
 
 
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42
D
e
s
lo
c
a
m
e
n
to
 (
m
m
)
Tempo (ms)
Figura (i) - Rotor original
Trigger
Mancal A
Mancal B
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42
D
e
s
lo
c
a
m
e
n
to
 (
m
m
) 
 
.
Tempo (ms)
Figura (ii) - Rotor original com massas de teste
Trigger
Mancal A
Mancal B
PME 2341 PROVA SUBSTITUTIVA 30/06/09 
Prof. Francisco E. Baccaro Nigro Prof. Walter Ponge-Ferreira 
 
2ª Questão 
A viga bi-apoiada representada na figura, de seção uniforme com módulo de rigidez E∙I, 
coeficiente de dissipação por histerese b e comprimento total 2∙L, sustenta, no centro do vão, uma 
máquina alternativa cujo cabeçote de massa mc tem um movimento harmônico vertical em relação 
à base dado por: 
)()( tsenety f  
. A massa vibratória da viga é desprezível quando 
comparada à massa total da máquina M. Sendo dadas as deformações de vigas de módulo de 
rigidez uniforme EI e comprimento L (para os casos engastada, engastada-apoiada, ou bi-
apoiada),submetidas a uma carga P, conforme figura, pede-se: 
a) Escrever a equação diferencial do movimento vertical da base da máquina de massa M. 
b) Determinar a freqüência natural de oscilação do sistema. 
c) Determinar a amplitude do movimento em regime permanente em função da freqüência de 
excitação f, e representar esquematicamente a curva de resposta para b=0,1.. 
d) Supondo-se a frequência de operação da máquina constante, 
3
2
2
11
LM
IE
f



, e o coeficiente 
de dissipação por histerese nulo, determinar o valor das duas massas m, a serem adicionadas 
à viga a uma distância L/2 dos apoios, que anula o movimento vertical da base da máquina. 
 
 
L/2 L/2 
M-mc 
L L 
mc 
E∙I m m 
3ª Questão 
Um sistema de três graus de liberdade é composto de duas barras homogêneas de massa m e 
comprimento L articuladas sem atrito no ponto B. As duas barras são suportadas por três molas 
verticais em A, B e D com rigidez k, 2k e k, respectivamente. A inclinação das barras são medidas 
pelos ângulos 1 e 2, conforme mostrado na figura. As coordenadas verticais dos pontos A, B e D 
são medidas por yA, yB e yD a partir da posição de equilíbrio estático. Considere pequenas oscilações 
no plano vertical e desconsidere o movimento horizontal. Pede-se: 
a) Desenhar o diagrama de corpo livre das barras em separado. 
b) Escrever as equações diferenciais do movimento das barras. 
c) Determine as freqüências naturais e as formas dos modos de vibração. 
d) Determine coordenadas modais que desacoplam as três equações. 
 
=PL
3
/(48EI)
 
P L/2 
L 
=(7/16)PL
3
/(48EI) P L/2 
L 
EI P 
=PL
3
/(3EI) L