Lista 2 - Vibracoes livres

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Lista de Exercícios - Unidade 2 
 
2.1 Uma lâmina de aço de espessura (ou altura) t = 3 mm, comprimento L = 300 mm, largura b = 20 mm, módulo 
de elasticidade E = 210 x 109 Pa tem a sua face plana paralela ao plano horizontal e é usada como uma mola 
simplesmente apoiada nas duas extremidades para suportar uma massa na metade de seu comprimento. 
(a) Determinar a constante de mola para a força e deslocamento na direção vertical, na posição da massa. 
(b) Quais as modificações que se fariam nas dimensões da viga para duplicar a sua constante de mola? 
(c) Determinar a constante de mola se duas lâminas são usadas uma em cima da outra com lubrificante entre 
elas (não há atrito). 
(d) Encontrar a constante de mola se duas lâminas são usadas uma em cima da outra e soldadas juntas. 
 
(a) k =16,8×103 N/m 
(b) 
1. Diminuir o comprimento para 
 L = 0, 238 m 
2. Aumento do momento de inércia (dimensões da seção transversal) 
 I = 9×10−11 m4 
(c) k = 33, 6×103 N/m 
(d) k =134×103 N/m 
 
2.2 Uma máquina de massa m = 500 kg é montada em uma viga de aço bi-apoiada, de comprimento L = 2 m, que 
possui uma seção transversal retangular (espessura = 0,1 m, largura = 1,2 m) e E = 210 x 109 N/m2. Para 
reduzir a flecha no centro da viga foi colocada uma mola de rigidez k, como mostra a Fig. 2.1. Determinar o 
valor de k necessário para reduzir a flecha da viga para um terço do seu valor original (sem a mola). Assumir 
que a massa da viga é desprezível. 
m
k
 
Figura 2.1 
keq = 252×10
6 N/m 
2.3 O eixo de um elevador em uma mina está suspenso por dois cabos de comprimento L = 150 m e diâmetro d = 
20 mm cada. Os cabos são feitos de aço com módulo de elasticidade E = 210 x 109 Pa. 
(a) Determinar a constante de mola do sistema se for aplicada uma carga vertical na extremidade inferior do 
eixo para deslocamento na direção vertical. 
(b) Determinar a constante de mola se o número de cabos for aumentado para quatro. 
(c) Determinar a constante de mola se o diâmetro do cabo mudar para 30 mm (com dois cabos). 
 
(a) keq = 880×10
3 N/m 
(b) keq =1, 76×10
6 N/m 
(c) keq =1, 98×10
6 N/m 
 
2.4 Um sistema de barra de torção de uma suspensão automotiva possui comprimento L = 1,5 m e diâmetro d = 18 
mm. O módulo de elasticidade transversal é G = 85 GPa. 
(a) Determinar a rigidez torsional da barra para torques aplicados em ambas extremidades. 
(b) Determinar a rigidez torsional se o material da barra for bronze com G = 41 GPa. 
 
 (a)
 
kt = 584 N.m/rad 
 (b) kt = 282 N.m/rad 
 
2.5 Uma mola de lâminas múltiplas consiste de três lâminas de aço de comprimento L = 0,3 m, largura b = 0,10 m 
e espessura t = 0,005 m (Fig. 2.2). Determinar a constante de mola para deflexão vertical se o módulo de 
elasticidade é E = 210 x 109 Pa e o bloco de conexão é rígido. Notar que as extremidades das lâminas 
permanecem sempre horizontais. 
 
Figura 2.2 
keq = 292×10
3 N/m 
 
2.6 Uma mola torsional conectando dois eixos, consiste de oito barras de d = 8 mm, conectadas como mostrado, 
em um círculo de um raio R = 100 mm, na Fig. 2.3. Se o seu comprimento é l = 250 mm e o módulo de 
elasticidade do material na mola é E = 210 GPa, calcular a constante de mola torsional e notar que cada barra 
está carregada em flexão com a sua extremidade permanecendo perpendicular aos discos. 
 
Figura 2.3 
kteq = 2, 59×10
3 N.m/rad 
 
2.7 Uma barra de torção consiste de três segmentos com diâmetros de 30, 40, e 50 mm e comprimentos de 400, 
600, e 500 mm, respectivamente, conectados em série de forma a formar um eixo reto. Se G = 105 GPa, 
determinar a constante de mola torsional. 
keq =12,8×10
3 N.m/rad 
 
2.8 Uma mola helicoidal usada em uma transmissão de caminhão tem diâmetro do arame d = 10 mm, diâmetro D 
= 100 mm e tem 15 espiras, módulo de elasticidade transversal G = 81 GPa. 
(a) Encontrar a constante de mola axial. 
(b) Encontrar a constante de mola axial se for dobrado o número de espiras. 
(c) Encontrar a constante de mola se duas molas estão conectadas em paralelo. 
(d) Encontrar a constante de mola se duas molas são conectadas em série. 
 
(a) k = 6, 75×103 N/m 
(b) k = 3,38×103 N/m 
(c) keq =13, 5×10
3 N/m 
(d) keq = 3,38×10
4 N/m 
 
2.9 Uma mola de retorno de uma manivela Fig. 2.4 possui seis espiras e é feita de aço com E = 2,1 x 1011 Pa, d = 
3 mm e de Di = 30 mm. Determinar a constante torsional da mola. 
 
Figura 2.4 
kt = 895 N.m/rad
 
2.10 Determinar a constante de mola equivalente para o sistema mostrado na Fig. 2.5, na direção de θ. 
 
Figura 2.5 
 keq = kt1 + kt2 + k1 + k2( )l12 + k3l22 
 
2.11 Determinar a constante de mola equivalente torsional para o sistema mostrado na Fig. 2.6 
 
 
Figura 2.6 
2
87
87
65
313221
321
4 Rkk
kkkk
kkkkkk
kkkkkeq ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+++
++
+=
 
 
2.12 Determinar o comprimento do eixo vazado uniforme de diâmetro interno d e espessura t que possui a mesma 
constante de mola axial que o eixo sólido cônico mostrado na Fig. 2.7. 
D d
l 
Figura 2.7 
( )
Dd
tdltl += 41 
 
2.13 Determinar a massa equivalente referente à coordenada x para o balancim mostrado na Fig. 2.8. 
 
Figura 2.8 
22
2
1 m
b
Jamm Oeq +
+
= 
 
2.14 Duas massas, com momentos de inércia de massa J1 e J2, são colocadas em eixos rígidos rotativos que são 
ligados por engrenagens, como mostra a Fig. 2.9. Se o número de dentes nas engrenagens 1 e 2 são n1 e n2, 
respectivamente, determinar o momento de inércia de massa equivalente correspondente a θ1. 
 
Figura 2.9 
 
2
2
2
1
1 Jn
nJJeq ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+= 
 
2.15 Determinar o momento de inércia de massa equivalente do trem de engrenagens mostrado na Fig. 2.10, com 
referência ao eixo de acionamento. Na Fig. 2.10, Ji e ni são os momentos de inércia de massa e os números de 
dentes, respectivamente, das engrenagens i, i=1,2, ... , 2N. 
 
Figura 2.10 
 
( )∑
=
−
+ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=
N
i
i
iieq i
n
n
n
n
nJJJ
0
2
12
4
3
2
1
122 2
! 
 
2.16 Um oscilador harmônico possui massa m = 1,2 kg e constante de rigidez k = 8,5 kN/m. Determinar a freqüência 
natural em rad/s, Hz, cpm (ciclos por minuto). 
 
f = 804 cpm 
 
2.17 Um oscilador harmônico possui massa m = 10 kg e período de vibração natural, medido em um osciloscópio, 
igual a 35 ms. Determinar a constante de mola. 
 
k = 322×103 N/m 
 
2.18 Um automóvel com massa de 2000 kg deforma suas molas da suspensão 0,02 m sob condições estáticas. 
Determinar a freqüência natural do automóvel na direção vertical assumindo que o amortecimento seja 
desprezível. 
 
ωn = 22,1 rad/s 
 
2.19 Uma prensa industrial está montada sobre uma camada de borracha para isolá-la de sua base. Se a borracha está 
comprimida 5 mm pelo peso próprio da prensa, determinar a freqüência natural do sistema. 
fn = 7, 05 Hz 
 
2.20 Um sistema massa-mola possui um período natural de 0,21 seg. Qual será o período se a constante de mola é 
(a) aumentada em 50 % ? 
(b) reduzida em 50 % ? 
 
(a) Tn = 0,171 s 
(b) Tn = 0, 297 s 
 
2.21 Um sistema massa-mola tem uma freqüência natural de 10 Hz. Quando a constante de mola é reduzida em 800 
N/m, a freqüência natural é alterada em 45 % (a diferença). Determinar a massa e a constante de mola do 
sistema original. 
m = 0, 291 kg 
k =1,15×103 N/m 
 
2.22 Um oscilador harmônico de massa m = 1 kg e rigidez k = 40 kN/m possui uma freqüência natural próxima à 
freqüência excitadora. Decidiu-se que se deveria mudar a massa ou a rigidez para diminuir a freqüência natural 
em 30% (a diferença). Determinar as possíveis mudanças requeridas. 
 
Mantendo a massa 
k1 =19, 6 kN/m 
Mantendo a rigidez 
m1 = 2, 04 kg 
 
2.23 Uma mola helicoidal, quando fixada em uma extremidade e carregada na outra, requer uma força de 100 N para 
produzir um alongamento de 10 mm. As extremidades da mola estão agora rigidamente fixadas e uma massa de 
10 kg é colocada no ponto médio de seu comprimento. Determinar o tempo necessário para completar um ciclo 
de vibração quando a massa vibra.Tn = 99,3 ms 
 
2.24 O cilindro de um servo-mecanismo mostrado na Fig. 2.11 possui um pistão com m = 0,3 kg e está suportado 
por uma mola helicoidal de d = 1 mm, D = 10 mm, 10 espiras e G = 105 GN/m2. Determinar a freqüência 
natural da vibração do pistão se não há óleo no cilindro. 
 
Figura 2.11 
ωn = 66,1 rad/s 
 
2.25 O cilindro de uma válvula mostrado na Fig. 2.12 tem um pistão com m = 0,2 kg e é suportado por uma mola 
helicoidal de 6 espiras com d = 2 mm, D = 30 mm, G = 105 GN/m2, determinar a freqüência natural de 
vibração do pistão se não há fluido na válvula. 
 
Figura 2.12 
ωn = 80, 5 rad/s 
 
2.26 Uma unidade de ar-condicionado está ligada ao solo por quatro molas de borracha. A massa da unidade é 300 
kg e se deseja que a freqüência natural para vibração vertical esteja entre 32 e 40 Hz. Determinar a faixa 
permissível da constante de cada mola. 
kmin = 3, 03 MN/m 
kmax = 4, 74 MN/m 
 
2.27 Um desumidificador de ar está suspenso no teto por 4 barras de meio metro de comprimento, posicionadas 
fixamente. A massa da unidade é de 200 kg e se deseja que a freqüência natural para vibração vertical seja 
maior do que 30 Hz e para vibração horizontal esteja entre 10 e 15 Hz. Determinar a faixa permissível para os 
diâmetros das barras. E = 210 GN/m2. 
Rigidez horizontal – flexão (assumindo viga em balanço) 
dmin = 29, 9 mm
dmax = 36, 6 mm
 
Rigidez vertical – tração-compressão 
dmin = 2,32 mm 
 
2.28 Um coletor de lixo limpo está fixado no solo por 4 colunas de seção tubular retangular de espessura 5 cm e 
comprimento 0,5 m. A massa da unidade é 500 kg e se deseja que a freqüência natural para vibração horizontal 
esteja entre 32 e 40 Hz. Determinar a faixa permissível para a largura da sessão tubular. E = 210 GN/m2. 
Rigidez horizontal – flexão (assumindo viga em balanço) 
bmin = 96,3 mm
bmax =150 mm
 
Rigidez horizontal – flexão (assumindo duplo engaste) 
bmin = 24,1 mm
bmax = 37, 6 mm
 
 
2.29 Um purificador de ar está fixado no solo por 6 pilares sólidos de ferro de forma retangular, com 100 mm de 
largura por 50 mm de espessura, com comprimento 2 m, fixados tanto no solo como na unidade. A massa da 
unidade é 800 kg. Determinar as freqüências naturais horizontais nas duas direções. E = 210 GN/m2. 
Rigidez horizontal – primeira direção – flexão (assumindo viga em balanço) 
ωn = 24,8 rad/s 
Rigidez horizontal – segunda direção – flexão (assumindo viga em balanço) 
ωn = 49, 6 rad/s 
Rigidez horizontal – primeira direção – flexão (assumindo duplo engaste) 
ωn = 49, 6 rad/s 
Rigidez horizontal – segunda direção – flexão (assumindo duplo engaste) 
ωn = 99, 2 rad/s 
 
2.30 Um pequeno compressor está apoiado em quatro molas de borracha que possuem constantes de rigidez 3,0 
kN/m cada uma, na direção vertical, e 4,0 kN/m na direção horizontal. A massa da unidade é 30 kg. 
Determinar as freqüências naturais para vibrações horizontal e vertical. 
Direção horizontal 
ωnh = 23,1 rad/s 
Direção vertical 
ωnv = 20, 0 rad/s 
 
2.31 O núcleo móvel de um relé eletromagnético mostrado na Fig. 2.13 possui massa m = 12 gr, e está suportado por 
uma mola com k = 3,0 kN/m. Quando energizado, fecham-se os contatos, que estão montados em lâminas 
flexíveis de espessura 0,8 mm e 6 mm de largura. A lâmina móvel possui comprimento de 20 mm e as 
estacionárias possuem comprimentos de 15 mm cada. Determinar a freqüência natural com o relé aberto e 
fechado. E = 210 GN/m2. 
 
Figura 2.13 
Dados: m = 12 gr, k = 3,0 kN/m, t = 0,8 mm, b = 6 mm, l1 = 20 mm, l2 = 15 mm e E = 210 GN/m2. 
 Com o relé aberto: 
 ωn = 500 rad/s ou 
 Com o relé fechado 
 ωn = 2, 53×10
3 rad/s ou 
 
2.32 Achar a freqüência natural de vibração do sistema massa-mola montado em um plano inclinado, como 
mostrado na Fig. 2.14. 
 
Figura 2.14 
 
m
kk
n
21 +=ω 
 
2.33 Determinar a expressão para a freqüência natural do sistema mostrado na Fig. 2.15, considerando desprezíveis 
as massas das plataformas. 
 
Figura 2.15 
 
ωn =
g
W
3E1I1
l1
3
+
48E2I2
l2
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ 
 
2.34 Uma mola helicoidal de rigidez k é cortada em duas metades e uma massa m é conectada às duas metades como 
mostra a Fig. 2.16(a). O período natural deste sistema é 0,5 seg. Se uma mola idêntica é cortada de forma que 
uma das partes tenha ¼ de seu comprimento enquanto que a outra parte tenha ¾, com a massa sendo conectada 
às duas partes como mostra a Fig. 2.16(b), qual será o período natural do sistema? 
 
Figura 2.16 
Tn1 = 0, 433 s 
 
2.35 Três molas e uma massa estão presas a uma barra rígida PQ, sem peso, como mostra a Fig. 2.17. Achar a 
freqüência natural de vibração do sistema. 
 
( )
( )233222211
2
22
2
113
lklklkm
lklkk
n ++
+
=ω 
 
2.36 O sistema mostrado na Fig. 2.18 modela o mecanismo de contato de um relé eletro-mecânico. 
(a) Determinar sua freqüência natural de oscilação em torno do pivô. 
(b) De determinar o valor da rigidez k que resultará em duas vezes a sua freqüência natural. 
 
Figura 2.18 
a) ωn =
kl 2g
W l 2 + 4a2( )
 
b) É necessário quadruplicar a rigidez. 
 
2.37 O sistema mostrado na Fig. 2.19 modela o braço de um mecanismo de elevação de peso. Determinar sua 
freqüência natural de oscilação em torno do ponto A. 
 
Figura 2.19 
( )2221
2
21
Lklkm
lkk
n +
=ω 
 
2.38 Para o pêndulo invertido mostrado na Fig. 2.20 que modela um tipo de sismógrafo: 
(a) Determinar a freqüência natural. 
(b) Se a mola k1 é removida para que o valor da constante de mola k2 a freqüência natural será zero? 
 
Figura 2.20 
a) 
2
2
22
2
11
mL
mgLhkhk
n
−+
=ω 
b) k2 =
mgL
h2
2
 
 
2.39 Para o pêndulo controlado mostrado na Fig. 2.22 modelando um relógio: 
(a) Determinar a freqüência natural. 
(b) Para que valor da massa m2 a freqüência natural será zero? 
 
Figura 2.21 
 
(a) ( )
2
22
2
11
2211
LmLm
gLmLm
n +
−
=ω 
 (b)m2 =m1
L1
L2
 
 
2.40 Uma barra uniforme rígida de massa m e comprimento l está articulada no ponto A e ligada a cinco molas como 
mostra a Fig. 2.22. Achar a freqüência natural do sistema se k = 2 kN/m, kt = 1 kN.m/rad, m = 10 kg e l = 5 m. 
 
 
Figura 2.22 
ωn = 45,1 rad/s 
 
2.41 Um cilindro de massa m e momento de inércia J0 rola livremente, sem deslizar, mas tem seu movimento restrito 
por duas molas de rigidez k1 e k2 como mostra a Fig. 2.23. Achar a freqüência natural de vibração e o valor de a 
que maximiza a freqüência natural. 
 
Figura 2.23 
 
ωn = R+ a( )
k1 + k2
JO +mR
2( )
 
Para maximizar 
a = R 
 
2.42 Achar a equação do movimento da barra rígida uniforme AO, de comprimento l e massa m mostrada na Fig. 
2.24. Achar também sua freqüência natural. 
 
 
Figura 2.24 
 
 ( ) 0
3
2
2
2
1
2
=+++ θθ tklkak
ml !! 
 ( )
2
2
2
2
13
ml
klkak t
n
++
=ω 
 
2.43 Um disco circular uniforme, de massa m, é pivotado no ponto O como mostra a Fig. 2.25. Achar a freqüência 
natural do sistema. 
 
Figura 2.25 
22 2
2
ba
gb
n +
=ω 
 
2.44 O sistema mostrado na Fig. 2.26 modela o braço de um sismógrafo vertical. 
(a) Determinar sua freqüência natural de oscilação em torno do pivô. 
(b) Determinar o valor da rigidez k que resultará no dobro da sua freqüência natural 
 
Figura 2.26 
a) 
2
2
mL
ka
n =ω 
b) kk 41 = 
 
2.45 Uma massa m é montada na extremidade de uma barra de massa desprezível e pode assumir três diferentes 
configurações como mostra a Fig. 2.27. Determinar a configuração que proporciona a maior freqüência natural. 
 
Figura 2.27 
A configuração que proporciona a maior freqüência natural é a (b). 
 
2.46 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.28, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. 
O elemento possui espessura unitária e a massa específica do material de que é constituído é ρ. 
 
Figura 2.28 
( )
4224
22
92416
412
DDaa
DagD
n π
π
ω
−+
−
= 
 
2.47 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.29, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. 
O elemento possui espessura unitária e a massa específica domaterial de que é constituído é ρ. 
 
 
Figura 2.29 
( )
( )4224
22
32
4
ddDD
dDgd
n −+
−
=ω 
 
 
2.48 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.30, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. 
O elemento possui espessura unitária e a massa específica do material de que é constituído é ρ. 
 
 
Figura 2.30 
R
g
n 13
4
=ω 
 
2.49 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.31, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. 
O elemento possui espessura unitária e a massa específica do material de que é constituído é ρ. 
 
Figura 2.31 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+++++
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
++⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++
++++
=
2
12
2
2
2
1224
2
4
1
2
2
2
12
2
2
1
21
2
21
2
16221232
442
24
dldddlblblbldd
bldd
dbld
dlddldbl
n
ππ
π
ππ
π
ω 
 
2.50 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.32, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. 
O elemento possui espessura unitária e a massa específica do material de que é constituído é ρ. 
 
Figura 2.32 
222
)22(3
a
kag
n
ρ
ρ
ω
+
= 
 
2.51 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.33, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. 
O elemento possui espessura unitária e as massas das barras vertical e horizontal são iguais a m. 
 
Figura 2.33 
22 172
18
Lb
gL
n +
=ω 
 
2.52 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.35, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. 
O elemento possui espessura unitária e largura desprezível. 
 
Figura 2.34 
L
g
n 5
33
=ω 
 
2.53 A velocidade máxima atingida pela massa de um oscilador harmônico simples é 10 cm/s, e o período de 
oscilação é 2 s. Se a massa vibra livremente com deslocamento inicial de 2 cm, achar: 
(a) a velocidade inicial; 
(b) a amplitude do deslocamento; 
(c) a aceleração máxima e 
(d) o ângulo de fase. 
 
(a) v0 = 77,8 mm/s 
(b) A = 31,8 mm 
(c) amax = 314 mm/s
2 
(d) ϕ = 0,891 rad 
 
2.54 Uma máquina possui massa m = 250 kg e seu suporte tem rigidez k = 130 kN/m. Se a máquina em sua base é 
modelada como um sistema de um grau de liberdade em vibração vertical, determinar: 
(a) a freqüência natural e 
(b) a equação do movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm na direção vertical. 
 
(a) ωn = 22,8 rad/s 
(b) ( )m 8,22cos001,0 tx = 
 
2.55 Uma máquina possui massa m = 250 kg e possui freqüência natural para vibração vertical ωn = 5140 rad/s. Se 
a máquina em sua fundação é modelada como sistema de um grau de liberdade em vibração vertical, 
determinar: 
(a) a rigidez k do suporte elástico e 
(b) a equação do movimento resultante de uma velocidade inicial de 1 mm/s na direção vertical provocada por 
um impacto. 
 
(a) k = 6, 60 GN/m 
(b) mm 5140sin1095,1 4 tx −×= 
 
2.56 Uma máquina possui uma rigidez dos suportes k = 5,5 x 104 N/m e tem freqüência natural de vibração vertical 
ωn = 550 rad/s. Se a máquina em sua fundação é modelada como um sistema de um grau de liberdade em 
vibração vertical, determinar: 
(a) a massa da máquina e 
(b) a equação do movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm e uma velocidade inicial de 130 
mm/s na direção vertical. 
 
(a) m = 0,182 kg 
(b) ( )mm 232,0550cos03,1 += tx 
 
2.57 Um instrumento eletrônico tem massa m = 3,4 kg e é suportado por 4 coxins de elastômero com uma rigidez k 
= 5400 N/m cada. Se o instrumento no seu suporte é modelado como um sistema de um grau de liberdade para 
vibração vertical, determinar: 
(a) a freqüência natural e 
(b) se uma ferramenta pesando 0,5 kgf cai sobre o instrumento medindo-se máxima amplitude de vibração do 
movimento resultante, igual a 1,7 mm, determinar a velocidade do conjunto imediatamente após o impacto 
da ferramenta. 
 
(a) ωn = 79, 7 rad/s 
(b) v0 =125 mm/s 
 
2.58 Um instrumento eletrônico tem massa m = 3,4 kg e é suportado por 4 coxins de elastômero com rigidez 
desconhecida. O instrumento no seu suporte é modelado como um sistema de um grau de liberdade para 
vibração vertical. Durante um teste, uma massa m1 = 0,5 kg cai sobre ele com velocidade desconhecida. O 
impacto foi plástico e a amplitude de vibração medida foi 2,2 mm com freqüência do movimento vertical 
resultante igual a 325 rad/s. Determinar: 
(a) a rigidez de cada um dos quatro coxins elásticos e 
(b) a velocidade da massa em queda, imediatamente antes do impacto. 
 
(a) k =103 kN/m 
(b) v0
− = 5577 mm/s 
 
2.59 A massa m cai, de uma altura h, sobre um anteparo de massa desprezível, como mostra a Fig. 2.35, e a colisão é 
plástica. Determinar a resposta do sistema. 
 
 Figura 2.35 
 
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−= −
mg
hkt
m
k
k
mgh
k
mgx 2tancos2 1
2
 
 
2.60 A massa m cai, de uma altura h, sobre uma massa m1, como mostra a Fig. 2.36, e a colisão é plástica. 
Determinar a resposta do sistema. 
 
 
Figura 2.36 
( ) ( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−+
++
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= −
1
1
11
22 2tancos2
mmg
hkt
mm
k
mmk
ghm
k
mgx
 
 
2.61 Resolver o problema 2.24 usando o Método de Rayleigh. 
 
2.62 Resolver o problema 2.25 usando o Método de Rayleigh. 
 
2.63 Resolver o problema 2.38 usando o Método da Energia. 
 
2.64 Resolver o problema 2.39 usando o Método da Energia. 
 
2.65 Resolver o problema 2.40 usando o Método da Energia. 
 
2.66 Resolver o problema 2.41 usando o Método da Energia. 
 
2.67 Um cilindro circular de massa m e raio r é ligado a uma mola de módulo k, como mostra a Fig. 2.37. Utilizando 
o Método da Energia, achar a freqüência do movimento, quando o cilindro rola sem deslizar em uma superfície 
áspera. 
 
Figura 2.37 
m
k
n 3
2
=ω 
 
2.68 No sistema massa-mola mostrado na Fig. 2.38, a corda pode ser considerada como inextensível. Achar a 
freqüência natural de vibração, utilizando o Método da Energia. 
 
Figura 2.38 
Mm
k
n 34 +
=ω 
 
2.69 O cilindro de massa m e raio r rola sem deslizar em uma superfície de raio R, como mostra a Fig. 2.39. 
Determinar a freqüência de oscilação quando o cilindro é ligeiramente deslocado da sua posição de equilíbrio. 
Use o Método da Energia. 
 
Figura 2.39 
( )rR
g
n −
=
3
2
ω 
 
2.70 Uma locomotiva de massa 60000 kg trafegando a uma velocidade de 20 m/s é parada no final dos trilhos por 
uma sistema massa-mola-amortecedor. Se a rigidez da mola é 40 kN/mm e a constante de amortecimento é 20 
kN.s/m determinar: 
(a) o deslocamento máximo da locomotiva após atingir o sistema e 
(b) o tempo gasto para atingir o seu deslocamento máximo. 
 
(a) xmax = 0, 767 m 
(b) s 0606,00 =t 
 
2.71 Um oscilador harmônico possui massa m = 1,2 kg, constante de amortecimento c = 12 N.s/m e constante de 
mola k = 0,5 kN/m. Determinar: 
(a) A freqüência natural amortecida. 
(b) O fator de amortecimento e o decremento logarítmico. 
 
(a) ωd =19,8 rad/s 
(b) 245,0=ζ e δ =1, 59 
 
2.72 A razão entre duas amplitudes sucessivas de um sistema de um grau de liberdade amortecido é 18:1. 
Determinar a mesma relação de amplitudes se a quantidade de amortecimento é 
(a) dobrada, ou 
(b) reduzida para a metade. 
 
(a) x1
x2
=14,3×103 
(b) x1
x2
= 3,83 
 
2.73 Um corpo vibrando com amortecimento viscoso completa 5 oscilações por segundo e em 50 ciclos sua 
amplitude diminui para 10 % de seu valor inicial. Determinar o decremento logarítmico e o fator de 
amortecimento. Qual será o percentual de diminuição do período de oscilação se o amortecimento for 
removido? 
0,00269 %. 
 
2.74 Um sistema viscosamente amortecido tem uma rigidez de 5000 N/m, constante de amortecimento crítico de 20 
N.s/m, e um decremento logarítmico de 2,0. Se o sistema recebe uma velocidade inicial de 1 m/s, determinar o 
deslocamento máximo do mesmo. 
xmáx = 0, 00134 m
 
2.75 Um oscilador harmônico possui massa m = 30 kg e constante de rigidez k = 100 kN/m. Determinar: 
(a) A constante de amortecimento para um fator de amortecimento ζ = 0,1. 
(b) O decremento logarítmico e a freqüêncianatural amortecida. 
 
(a) c = 346 N.s/m 
(b) δ = 0,631
 
ωd = 57, 4 rad/s 
 
2.76 Um oscilador harmônico amortecido possui massa m = 45 gr, constante de amortecimento c = 3,8 N.s/m, e 
constante de rigidez k = 1500 N/m. Determinar: 
(a) O fator de amortecimento, o decremento logarítmico, e a freqüência natural amortecida. 
(b) A resposta a um deslocamento inicial de 1 mm. 
 
Dados: m = 45 gr, c = 3,8 N.s/m, k = 1500 N/m e x0 = 1 mm. 
(a) ζ = 0,231 δ =1, 49 ωd =178 rad/s 
(b) ( )mm 233,0178cos03,1 2,42 −= − tex t 
 
2.77 Um oscilador harmônico amortecido possui massa m = 3 kg e constante de rigidez k = 500 N/m. O decremento 
logarítmico medido foi 2,5. Determinar: 
(a) O fator de amortecimento. 
(b) A freqüência natural amortecida. 
 
(a) ζ = 0,370 
(b) ωd =12, 0 rad/s 
 
2.78 Um oscilador harmônico amortecido possui massa m = 8 kg e constante de rigidez k = 1,2 MN/m. Determinar: 
(a) O fator de amortecimento e a freqüência natural amortecida para um decremento logarítmico 0,05. 
(b) A constante de amortecimento. 
 
(a) ζ = 7,96×10−3 ωd = 387 rad/s 
(b) c = 49,3 N.s/m 
 
2.79 Uma máquina possui massa m = 250 kg e seu suporte tem constante de amortecimento c = 1,45 kN.s/m e 
rigidez k = 130 kN/m. Se a máquina e sua base é modelada para vibração vertical como um sistema de um grau 
de liberdade, determinar: 
(a) A freqüência natural amortecida. 
(b) A expressão para o movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm na direção vertical. 
 
(a) ωd = 22, 6 rad/s 
(b) ( )mm 128,06,22cos01,1 90,2 −= − tex t 
 
2.80 Uma máquina possui massa m = 250 kg e freqüência natural amortecida para vibração vertical ωd = 5140 rad/s. 
Através da medição do decremento logarítmico achou-se um fator de amortecimento ζ = 0,12. Se a máquina e 
sua base é modelada como um sistema de um grau de liberdade para vibração vertical, determinar: 
(a) A rigidez k do suporte elástico. 
(b) O movimento resultante de uma velocidade inicial de 1 mm/s na direção vertical, imposta por um impacto. 
 
(a) k = 6, 70 GN/m 
(b) m 
2
5140cos10195 6219 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−×= −−
πtex t 
 
2.81 Uma máquina possui uma base com rigidez k = 55 kN/m e uma freqüência natural de vibração vertical 
amortecida ωd = 255 rad/s. Medindo-se o decremento logarítmico, determinou-se um fator de amortecimento ζ 
= 0,18. Se a máquina e sua base são modeladas como um sistema de um grau de liberdade em vibração vertical, 
determinar: 
(a) A massa da máquina. 
(b) O movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm e uma velocidade inicial de 130 mm/s na 
direção vertical. 
 
(a) m = 0,818 kg 
(b) ( )mm 606,0255cos22,1 7,46 −= − tex t 
 
2.82 Um instrumento eletrônico possui massa m = 3,4 kg e está apoiada em quatro coxins de elastômero com rigidez 
k = 5400 N/m cada um. O fator de amortecimento, medido a partir do decremento logarítmico, é ζ = 0,20. Se o 
instrumento e seus apoios é modelado como um sistema de um grau de liberdade em vibração vertical, 
determinar: 
(a) A freqüência natural. 
(b) Uma ferramenta pesando 0,5 kg cai sobre o instrumento resultando em uma amplitude de vibração de 1,7 
mm. Determinar a velocidade inicial devido ao impacto da ferramenta. 
 
(a) ωn = 79, 7 rad/s 
(b) v0 =126 mm/s 
2.83 Um voltímetro mostrado na Fig. 2.40 possui um ponteiro de alumínio (ρ = 2700 kg/m3) de comprimento l = 50 
mm, largura 3 mm, e espessura 1 mm. A mola restauradora tem uma constante de mola rotacional k = 100 
N.mm/rad. Um amortecedor para amortecimento crítico é posicionado a um raio r = 8 mm. Durante uma 
medida o instrumento mostra 80 volts. Quando a voltagem é desligada, determinar o tempo requerido para o 
ponteiro retornar à indicação de 1 volt. 
 
Figura 2.40 
s 01172,01 =t 
 
2.84 Um medidor de nível de água mostrado na Fig. 2.41 possui uma bóia cilíndrica de 100 mm de diâmetro (massa 
desprezível), uma barra com massa 0,5 kg, l = 70 mm e L = 420 mm. Determinar a constante de amortecimento 
requerida para produzir amortecimento crítico. 
 
 
Figura 2.41 
cc = 258 N.s/m 
 
2.85 Uma massa de 10 kg oscila deslizando em uma superfície seca sob a ação de uma mola de rigidez 10 N/mm. 
Após quatro ciclos completos a amplitude é 100 mm. Qual é o coeficiente de atrito médio entre as duas 
superfícies se a amplitude original era 150 mm? Em quanto tempo a massa executou os quatro ciclos? 
µ = 0,319 
t f = 2,38 s 
2.86 Uma massa de 20 kg está suspensa por uma mola de rigidez 10000 N/m. O movimento vertical da massa está 
sujeito a uma força de atrito de Coulomb de magnitude 50 N. Se a mola é inicialmente deslocada de 5,5 cm 
para baixo de sua posição de equilíbrio estático determinar: 
(a) o número de meio ciclos transcorridos até que atinja o repouso; 
(b) o tempo transcorrido antes da massa atingir o repouso e 
(c) o alongamento final da mola. 
 
(a) r = 5 
(b) t f = 0, 702 s 
(c) x t f( ) = 0, 005 m 
 
2.87 A massa m = 2 kg de um oscilador harmônico linear com k = 500 N/m desliza em uma superfície horizontal 
com coeficiente de atrito estático µs = 0,2 e cinético µ = 0,08. 
(a) Determinar o máximo valor do deslocamento inicial que não resultará em qualquer movimento devido à 
força de atrito. 
(b) Determinar o número de ciclos para a vibração iniciada por um deslocamento inicial de 25 mm até parar 
completamente. 
 
(a) x0( )max = 7,85 mm 
(b) Número de ciclos até a parada = 2 
 
2.88 Um painel construído por uma fibra composta especial reforçada se comporta como um sistema de um grau de 
liberdade com massa de 1 kg e rigidez de 2 N/m. A relação entre amplitudes sucessivas é 1,1. Determinar o 
valor da constante de amortecimento histerético β, da constante de amortecimento viscoso equivalente ceq e a 
energia perdida por ciclo para uma amplitude de 10 mm. 
 
β = 0,03033 
ceq = 0, 0429 N ⋅s/m 
ΔW =19,1×10−6 J (N.m) 
 
2.89 Uma viga engastada com rigidez à flexão de 200 N/m suporta uma massa de 2 kg na sua extremidade livre. A 
massa é deslocada inicialmente de 30 mm e abandonada a mover-se livremente. Se a amplitude após 100 ciclos 
do movimento é 20 mm estimar a constante de amortecimento histerético β da viga. 
β = 0,00129 
 
2.90 Um oscilador harmônico torsional possui momento de inércia de massa em relação ao seu centro de rotação 
J = 1,2 kg.m2 e rigidez torsional kt = 8500 N.m/rad. Determinar a freqüência natural torsional em rad/seg, Hz, e 
CPM (ciclos por minuto). 
fn =13, 4 Hz = 804 cpm
\
 
2.91 Um oscilador harmônico torsional possui momento de inércia de massa em relação ao seu centro de rotação J 
= 10 kg.m2 e seu período natural de vibração foi medido em um osciloscópio, sendo igual a 35 ms. Determinar 
a sua rigidez torsional. 
kt = 322 kN/m 
 
2.92 Um oscilador harmônico torsional com momento de inércia de massa em relação ao seu centro de rotação J 
= 1 kg.m2 e rigidez torsional kt = 40000 N.m/rad possui uma freqüência natural muito próxima à freqüência 
excitadora. Decidiu-se que o momento de inércia ou a rigidez deveriam mudar para diminuir a freqüência 
natural em 30%. Determinar a mudança requerida em cada opção. 
kt1 =19600 N.m rad 
 
2.93 O rotor P de uma bomba centrífuga (Fig. 2.42) está conectada a um motor que gira com velocidade angular 
constante ω, através de um acoplamento flexível com constante de rigidez torsional KT e um par de 
engrenagens com raios r1 e r2 e momentos de inércia de massa polares J1 e J2, respectivamente. O rotor da 
bomba possui momento de inércia de massa polar JP. Determinar a freqüência natural da oscilação torsional, 
assumindo que os eixos de conexão são rígidos. 
 
Figura 2.42 
ωn =
kTr2
2
J1r2
2 + J2 + JP( )r12
 
 
2.94 Determinar a freqüência natural de oscilação do pêndulo duplo composto mostrado na Fig. 2.43 para pequenas 
oscilações em torno da posição de equilíbrio. 
 
 
Figura 2.43 
( )2222
2
2
12
111
22
2
2
1
11
LmJ
r
rLmJ
gLm
r
rgLm
n
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=ω 
 
2.95 Um oscilador harmônico torsional com momento de inérciade massa em relação ao seu centro de rotação 
J = 1 kg.m2 e rigidez torsional kt = 10000 N.m/rad possui uma freqüência de oscilação torsional igual a 96 
rad/seg, ao invés dos 100 rad/seg esperados. Suspeitou-se que alguma forma de amortecimento foi introduzida 
no sistema diminuindo a freqüência de oscilação. Determinar o fator de amortecimento. 
ζ = 0, 280 
 
2.96 O rotor de um indicador de sintonia de radio (dial) está conectado a uma mola e a um amortecedor torcionais 
formando um sistema de um grau de liberdade. A escala é graduada em divisões iguais e a posição de equilíbrio 
do rotor corresponde ao zero da escala. Quando um torque de 2x10-3 N.m é aplicado estaticamente, o 
deslocamento angular do rotor é 50o com o ponteiro mostrando 80 divisões da escala. Quando o rotor é liberado 
de sua posição, o ponteiro balança primeiro para -20 divisões em um segundo e depois para 5 divisões no outro 
segundo. Achar: 
(a) A constante de mola torsional; 
(b) O período natural não amortecido do rotor; 
(c) O momento de inércia de massa do rotor, 
(d) A constante de amortecimento torsional. 
 
(a) kt = 2, 29×10
−3 N ⋅m/rad 
(b) Tn =1,83 s 
(c) JO =194×10
−6 kg×m2 
(d) ct = 539×10
−6 N ⋅m ⋅s/rad 
 
2.97 Um pêndulo torsional tem uma freqüência natural de 200 cpm quando vibrando no vácuo. O momento de 
inércia de massa do disco é 0,2 kg.m2. Quando está imerso em óleo sua freqüência natural é 180 cpm. 
Determinar a constante de amortecimento. Se o disco, quando imerso no óleo, sofre um deslocamento inicial de 
2o, achar seu deslocamento no final do primeiro ciclo. 
 
θ Td( ) =1, 66×10−3 rad