P3 POLI 2017

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Física II para a Escola Politécnica (4323102) - P3 (08/12/2017) [0000]-p1/7
QUESTÕES DE MÚLTIPLA-ESCOLHA (1-4)
E7Hx: (1) B; (2) E; (3) A; (4) B;
112F: (1) B; (2) B; (3) E; (4) B;
xBFx: (1) E; (2) D; (3) C; (4) B;
BG3E: (1) C; (2) D; (3) B; (4) A;
(1) (1,0 pt) A figura mostra um instantâneo de três ondas
que são produzidas separadamente em uma corda que está
esticada ao longo do eixo x e submetida a uma certa tensão
T. atro elementos da corda estão indicados pelas letras
a, b, c e d. Se λi, i = 1, 2, 3, representa o comprimento
de onda da onda i, pode-se dizer que:
 (a) λ3 > λ1, λ3 > λ2 e λ1 = λ2. No momento do instantâneo, se a onda 1 se propaga no sentido positivo do
eixo x, os elementos a e b da corda estão se movendo no sentido positivo do eixo y e os elementos c e d no
sentido negativo.
 (b) λ3 > λ1, λ3 > λ2 e λ1 = λ2. No momento do instantâneo, se a onda 1 se propaga no sentido negativo
do eixo x, os elementos a e b da corda estão se movendo no sentido positivo do eixo y e os elemento c e d no
sentido negativo.
 (c) λ3 < λ1, λ3 < λ2 e λ1 = λ2. No momento do instantâneo, se a onda 1 se propaga no sentido positivo do
eixo x, os elementos a e b da corda estão se movendo no sentido positivo do eixo y e os elementos c e d no
sentido negativo.
 (d) λ1 = λ2 = λ3. No momento do instantâneo, se a onda 1 se propaga no sentido negativo do eixo x, os
elementos a e d da corda estão se movendo no sentido positivo do eixo y e os elementos b e c no sentido
positivo.
 (e) λ1 6= λ2 6= λ3. No momento do instantâneo, se a onda 1 se propaga no sentido positivo do eixo x, os
elementos a e d da corda estão se movendo no sentido negativo do eixo y e os elementos b e c no sentido
positivo.
Sol: O comprimento de onda corresponde ao período espacial da onda. Da figura, a distância entre dois máximos
consecutivos para as ondas 1 e 2 é o mesmo, por tanto, λ1 = λ2. Também vemos que o período espacial da onda
3 é maior que os das ondas 1 e 2. Assim, λ3 > λ1, λ2. Para uma onda progressiva que propaga-se com velocidade
v, y(x, t) = f (x∓ vt) (−= propagação sentido +x, +=propagação sentido −x), e a velocidade transversal de um
ponto x da corda no instante t é vy(x, t) = ∂y∂t
∣∣∣
(x,t)
= ∂y∂x′
dx′
dt
∣∣∣
(x,t)
= ∓v d fdx′
∣∣∣
(x,t)
, onde x′ = x∓ vt. Para o instante
da foto (vamos a chama-lo tp), d fdx′
∣∣∣
(xa ,tp)
< 0, d fdx′
∣∣∣
(xb ,tp)
< 0, d fdx′
∣∣∣
(xc ,tc)
> 0 e d fdx′
∣∣∣
(xd ,td)
> 0. Assim, se a onda
é propagada no sentido +x, vy(xa, tp) > 0, vy(xb, tp) > 0, vy(xc, tp) < 0, vy(xd, tp) < 0 e se é propagada no
sentido −x teríamos as velocidades opostas. A resposta certa é a (a).
Física II para a Escola Politécnica (4323102) - P3 (08/12/2017) [0000]-p2/7
(2) (1,0 pt) Um pulso que se propaga com velocidade de v = 40 m/s numa corda de comprimento L = 100 m
com a extremidade x = L fixa é descrito pela função y(x, t) = y0 e−b(x−vt)2 , onde y0 = 10 cm e b = 4, 0 m−2. A
função que representa o pulso refletido em um instante t logo após sua primeira reflexão em x = L é:
 (a) y(x, t)=− y0 e−b(2L−x−vt)2
 (b) y(x, t)=y0 e−b(2L−x−vt)2
 (c) y(x, t)=− y0 e−b(L−x−vt)2
 (d) y(x, t)=y0 e−b(2L−x+vt)2
 (e) y(x, t)=− y0 e−b(L−x+vt)2
Sol: A solução geral de uma onda progressiva numa corda é y(x, t) = f (x− vt)+ g(x+ vt). Em L, extremidade
fixa, a função se anula,
y(L, t) = f (L− vt) + g(L+ vt) = 0 =⇒ g(L+ vt) = − f (L− vt) =⇒ g(x′) = − f (−x′ + 2L).
Fazendo x′ = x+ vt, para achar o pulso refletido: g(x+ vt) = − f (2L− x− vt). Mas f (x− vt) = y0e−b(x−vt)2
ou f (x′) = y0e−b(x
′
)2 . Portanto: g(x+ vt) = − f (2L− x− vt) = −y0e−b(2L−x−vt)2 . A resposta correta é a (a).
(3) (1,0 pt) Uma onda estacionária em uma corda
vibra como mostrado na figura. Se, nesse modo de
vibração, T e L são, respetivamente, a
tensão e o comprimento da corda e f é a freqüência
de vibração, pode-se dizer que:
 (a) Se L→ 4L, f → 2 f e T → 4T, a corda vibra seguindo o modo mostrado na figura (d).
 (b) Se T → 4T, mantendo L e f , a corda vibra seguindo o modo mostrado na figura (b).
 (c) Se T → 4T e L→ 8L, mantendo f , a corda vibra seguindo o modo mostrado na figura (c)
 (d) Se T → T/4, mantendo L e f , a corda vibra seguindo o modo mostrado na figura (a).
 (e) Nenhum dos modos de vibração mostrados nas figuras (a)−(d) pode-se obter mudando T e/ou L e/ou f .
Sol: Para ondas estacionárias em uma corda fixada pelas extremidades, a freqüência dos modos de vibração das
ondas estacionárias é fn = n v2L , onde n é o número de antinós, e v =
√
T/µ. Então n = 2L fnv = 2L fn
√
µ
T .
Se mudamos fn → f ′n, L → L′ e T → T′, temos que n → n′ = 2L′ f ′n
√
µ
T′ = n
L′
L
f ′n
fn
√
T
T′ . Para a tensão T e
comprimento L, da figura vemos que n = 2 e f = f2. Se L′ = 4L, f ′2 = 2 f eT′ = 4T, temos n′ = 8; Se T′ = 4T emantemos L e f , temos n′ = 1; Se T′ = 4T e L′ = 8L, mantendo f , temos n′ = 8; Se T′ = T/4, mantendo L e f ,
temos n′ = 4. A resposta certa é a (a).
Física II para a Escola Politécnica (4323102) - P3 (08/12/2017) [0000]-p3/7
(4) (1,0 pt) Marina e Fernando se movimentam com velocidades ~vMarina = −~vFernando = 10iˆ m/s em relação a um
observador inercial e estão escutando ondas sonoras produzidas por uma fonte de freqüência f0 que se movimenta
com velocidade ~v = 10iˆ m/s em relação ao mesmo observador, como mostrado na figura. Para as freqüências das
ondas sonoras que Marina e Fernando escutam, pode-se dizer:
 (a) fMarina < fFernando, onde
fMarina = f0 e fFernando > f0.
 (b) fMarina < fFernando, onde
fMarina < f0 e fFernando > f0.
 (c) fMarina > fFernando, onde
fMarina > f0 e fFernando > f0.
 (d) fMarina > fFernando, onde
fMarina = f0 e fFernando < f0.
 (e) fMarina = fFernando, onde
fMarina > f0 e fFernando > f0.
Sol: A velocidade relativa entre a fonte e Marina é 0, portanto, fMarina = f0. Fernando e a fonte se aproximan,
então, fFernando > f0. A resposta certa é a (a).
Física II para a Escola Politécnica (4323102) - P3 (08/12/2017) [0000]-p4/7
QUESTÕES DISCURSIVAS
ATENÇÃO: A solução dessas questões deve ser feita no caderno de provas devidamente identificado com
nome, NUSP e turma.
(QD1) [3,0 pt] Um sistema para reduzir ruídos sonoros de baixa frequência pode ser instalado em carros e aviões.
Seu funcionamento é baseado no princípio de interferência destrutiva, sendo capaz de reduzir (sem eliminar com-
pletamente) um som indesejável. Considere que este som indesejável tenha 80 Hz de frequência e nível sonoro de
70 dB e que possa ser representado por uma onda harmônica na forma y1(x, t) = A1 cos (kx−ωt).
(a) (0,5) Considerando que o sinal gerado pelo aparelho (com mesmo k e ω que o som indesejado e função de onda
y2(x, t)) terá o mesmo sentido de propagação que o som indesejado e emitido da mesma posição, qual a
constante de fase δ2 do sinal gerado pelo aparelho para que ocorra interferência destrutiva com a do sinal
indesejado? Justifique sua resposta.
(b) (0,75) A partir da intensidade fornecida, determine a amplitude da onda resultante da soma da onda gerada pelo
aparelho com a do som indesejável, considerando que o nível sonoro será reduzido para 50 dB. Expresse seu
resultado em função de A1.
(c) (0,75) Obtenha a função de onda do sinal gerado pelo aparelho y2(x, t) e da onda resultante y(x, t) em termos
de A1, k e ω. Considere que A1 é maior que a amplitude da onda y2(x, t).
Considere o mesmo som indesejado de 80 Hz, mas agora com o sistema redutor em fase com o sinal indesejado mas
ligeiramente desregulado, gerando um sinal com amplitude A2 = A1 e uma frequência de 84 Hz.
(d) (1,0) No lugar da interferência destrutiva, que fenômeno ondulatório ocorre neste caso e qual o seu período?
al é o valor da amplitude máxima resultante?
Sol: a) Para que haja interferência destrutiva, as duas ondas devem estar em oposição de fase. A fase da onda
y1(x, t) é ϕ1(x, t) = kx− ωt. Se y2(x, t) é o sinal gerado pelo aparelho,como têm o mesmo sentido de progação,
mesmo número de onda e freqüência de y1(x, t), temos que y2(x, t) = A2cos(kx−ωt+ δ2) e, neste caso, a fase é
ϕ2(x, t) = kx−ωt+ δ2. Assim, ∆ϕ(x, t) = ϕ2(x, t)− ϕ1(x, t) = pi. Então, δ2 = pi.
b) O nível de intensidade sonoro β para uma onda de intensidade I é definido como
β = 10 log10(I/I0), (1)
onde I0 é uma intensidade de referência. Para a onda y1 temos um nível sonoro β1 associado a uma intensidade do
som indesejável I1 ∝ A21. Para uma intensidade da onda resultante I o nível sonoro muda para βr . Assim,
β1 = 10 log10(I1/I0), βr = 10 log10(I/I0) =⇒ β1 − βr = 10 log10(I1/I) = 10 log10(A21/A2)
= 20 log10(A1/A). (2)
onde temos usado que I ∝ A2, onde A é a amplitude da onda resultante. Usando que β1 = 70 dB e βr = 50 dB,
β1 − βr = 20 dB e
1 = log10(A1/A) =⇒ A =
1
10
A1. (3)
Física II para a Escola Politécnica (4323102) - P3 (08/12/2017) [0000]-p5/7
c) Da relação entre as amplitudes para a superposição de dos ondas do mesmo k e ω com o mesmo sentido de
propagação:
A2 = A21 + A
2
2 + 2A1A2 cos(pi) = (A1 − A2)2 ⇒ A2 = A1 − A =
9
10
A1, (4)
onde temos considerado que A1 > A2. Então
y2(x, t) =
9
10
A1 cos(kx−ωt+ pi),
y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) =
1
10
A1 cos(kx−ωt), (5)
onde temos usado o formulário na hora de somar y1 e y2.
d) Neste caso temos a superposição de dos ondas de freqüências parecidas, ν1 = 84 Hz e ν2 = 80 Hz, no mesmo
sentido de propagação e ocorre o fenômeno de batimento. Como as ondas estão em fase e têm a mesma amplitude
podemos escrever (usando o formulário para obter a superposição)
y1(x, t) = A1cos(k1x−ω1t), y2(x, t) = A1cos(k2x−ω2t) =⇒ y(x, t) = y1 + y2 = A(x, t)cos(k¯x− ω¯t)
(6)
onde k¯ = (k1 + k2)/2, ω¯ = (ω1 +ω2)/2, e
A(x, t) = 2A1cos
(
∆k
2
x− ∆ω
2
t
)
, ∆k = k1 − k2, ∆ω = ω1 −ω2. (7)
Assim a amplitude máxima de batimento será Amax = 2A1. A frequência de batimento é ∆ν = |ν2 − ν1| =
|84− 80| Hz = 4Hz. Dessa forma o período é de τ = 1/∆ν = 0, 25 s.
(QD2) [3,0 pt] Marcelo e Edivaldo seguram pelas extremidades uma corda de comprimento L e densidade linear
µ, aplicando uma tensão T. Ao movimentar as extremidades, eles geram ondas harmônicas progressivas em cada
extremidade, de forma a obter ao final uma onda estacionária na corda, com os ventres nas posições de Marcelo
(xM = 0) e Edivaldo (xE = L).
(a) (0,75) ais as condições de contorno a serem satisfeitas pela onda estacionária formada?
(b) (1,0) Marcelo e Edivaldo movimentam suas extremidades em oposição de fase deslocando-as entre A e −A, de
forma a excitar o modo fundamental de oscilação. al a função de onda progressiva gerada por Marcelo
(yM) e Edivaldo (yE), se no instante inicial (t = 0) estão segurando a corda nas posições yM = −yE = A?
(c) (0,75) al a expressão da onda estacionária formada, em função de x e t?
(d) (0,50) Se eles passarem amovimentar a corda em fase, qual a frequência de oscilação mínima excitada? Justifique
a resposta.
Física II para a Escola Politécnica (4323102) - P3 (08/12/2017) [0000]-p6/7
Sol:
a) Da descrição qualitativa do enunciado, a onda estacionária deve ter dois ventres em x = 0 e x = L. A condição
de um ventre de uma onda estacionária implica que
y(0, t) = ±y(L, t),
∂
∂x
y
∣∣∣∣∣
(0,t)
=
∂
∂x
y
∣∣∣∣∣
(L,t)
= 0. (8)
onde y(x, t) é a função de onda da onda estacionária, o sinal ± indica se as extremidades estão em fase ou em
oposição de fase e t > (L/2)v , v =
√
T
µ . Perceba que após as ondas percorrem uma distância de L/2 em relação
a cada extremidade (isto é, no ponto médio da corda), temos superposição das ondas e podemos formar ondas
estacionárias.
b) A onda estacionária sai da superposição das ondas geradas por Marcelo e Edivaldo, que são ondas da mesma
amplitude A, freqüênciaω (portanto, mesmo k), mas sentidos de propagação opostos. Cada extremidade oscila entre
A e −A, portanto (pegando o eixo x positivo no sentido de x = 0 para x = L)
yM(x, t) = Acos(kx−ωt+ δM), (9)
yE(x, t) = Acos(kx+ωt+ δE). (10)
No modo fundamental de vibração, com as extremidades sendo ventres, temos que ter um nó entre esses ventres.
Assim L = λ/2 e
kL =
2pi
λ
L =
2pi
2L
L = pi. (11)
Em t = 0, sabemos que yM(0, 0) = A e yE(L, 0) = −A. Usando (9), (10) e (11), obtemos
yM(0, 0) = A =⇒ AcosδM = A =⇒ cosδM = 1 =⇒ δM = 2n1pi, n1 = 0,±1,±2, . . . (12)
yE(L, 0) = −A =⇒ Acos(pi + δE) = −AcosδE = −A =⇒ cosδE = 1 =⇒ δE = 2n2pi, n2 = 0,±1,±2, . . .
(13)
Dado um ângulo qualquer, α, cosα = cos(α+ 2npi), onde n = 0,±1,±2, . . . Então, substituindo (12) e (13) em (9)
e (10), respetivamente, temos que
yM(x, t) = Acos(kx−ωt), yE(x, t) = Acos(kx+ωt), (14)
onde, da (11), k = piL e ω = v k = piL
√
T
µ .
c) Para t > (L/2)v há superposição das ondas yM e yE e a onda resultante é obtida diretamente da soma:
y(x, t) = yM(x, t) + yE(x, t) = 2Acos(kx)cos(ωt), (15)
onde usamos que cos(α+ β) = cosαcosβ− senαsenβ.
d) Se as extremidades estiverem oscilando em fase, o seu deslocamento vertical é o mesmo, y(0, t) = y(L, t)
e precisamos de pelo menos um ventre no meio da corda em oposição de fase em relação às extremidades. Com
isso, teremos ainda dois nós no meio do caminho. O comprimento total da onda neste caso será λ = L. Como a
velocidade da onda na corda é v = √T/µ, a frequência será
f = v/λ =
1
L
√
T/µ (16)
ou seja, o dobro da frequência inicial.
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FORMULÁRIO
• Para x << 1: 11±x ' 1∓ x, x1±x ' x, x1±x2 ' x.
• cos(a+ b) = cosa cosb− sena senb.
• sen(a+ b) = sena cosb+ senb cosa.
• y(x, t) = A1cos(kx−ωt+ ϕ1) + A2cos(kx−ωt+ ϕ2) = Acos(kx−ωt+ ϕ),
senϕ = A1senϕ1+A2senϕ2A , cosϕ = A1cosϕ1+A2cosϕ2A .
• y(x, t) = Acos(k1x−ω1t) + Acos(k2x−ω2t) = A(x, t)cos(k¯x− ω¯t), A(x, t) = 2Acos
(
∆k
2 x− ∆ω2 t
)
.
• y(x, t) = f (x− vt) + g(x+ vt).
• β = 10 log10 (I/I0) (dB), I0 = 10−12 W/m2.
• I = 12µvω2A2, I = 12ρ0vω2U2, I = 12 P
2
ρ0v
.
• fn = n2Lv, n = 1, 2, 3, · · · ; fn = n4Lv, n = 1, 3, 5, · · · .
• v = ωk , v =
√
T
µ , v =
√
∂P
∂ρ
∣∣∣
0
, v =
√
γRT
m .