Apresentação software Cinderella

Prévia do material em texto

Software Cinderella
Trabalho de IAE
Sobre o Cinderella:
- Software livre de construção em geometria.
- Na geometria euclidiana pode-se trabalhar com as 
coordenadas polares ou cartesianas.
- Seu diferencial em relação a outros programas é 
que ele permite que se trabalhe também a 
geometria hiperbólica e esférica.
- É um software que pode ter todas suas ações 
desenvolvidas através do uso do mouse, é 
extremamente interativo.
- Toda a implementação tem fundamentação 
matemática. As teorias dos geômetras do século 
XIX, bem como muitos conhecimentos modernos, 
fazem de Cinderella uma ferramenta consistente e 
confável para fazer geometria.
Ferramentas do Cinderella
É necessário exibirmos as ferramentas presentes no 
software para que possamos usar e adotar o mesmo 
como recurso de mídia para auxílio das aulas de 
geometria.
Os comandos básicos são fáceis de serem assimilados 
, basta colocarmos o mouse sobre cada ícone.
Ferramentas Geométricas
A barra de ferramentas geométricas apresenta os comandos das 
operações geométricas que são usadas para fazer construções na área 
gráfca. 
As Ferramentas geométricas “modos” podem ser agrupadas em 
seis categorias. 
1.Modo mover 4.Modos de defnição 
2.Comandos de seleção 5.Medição
3.Modos Interativos 6.Efeitos especiais
Um pouco da Geometria Hiperbólica
Tomando-se os quatro primeiros grupos de axiomas de Hilbert, a 
saber: 
(i) Axiomas de Incidência; 
(ii) Axiomas de Ordem; 
(iii) Axiomas de Congruência; 
(iv) Axiomas de Continuidade; 
juntamente com a negação do 5º.Postulado de Euclides 
conhecida como Postulado de Lobachewsky:
Postulado de Lobachewsky
“Por um ponto não pertencente a uma reta dada, podem 
ser traçadas pelo menos duas retas distintas que não 
encontram a reta dada,”
temos o sistema axiomático que origina a chamada 
Geometria Hiperbólica. À semelhança da Geometria 
Euclidiana, temos que ponto, reta e plano na Geometria 
Hiperbólica são conceitos primitivos, portanto, indefníveis.
Modelo do Disco de Poincaré para a 
Geometria Hiperbólica
Fixemos um disco euclidiano α de raio 1 e seja H seu 
interior. Dados os pontos não colineares A,B,O (O é o 
centro de α) existe um único círculo euclidiano βr que 
passa pelos pontos A e B e intersecta o bordo de α 
ortogonalmente. Veja a Figura 1:
Figura 1:
B
A
Façamos as seguintes interpretações 
em H:
Pontos: os pontos hiperbólicos são os pontos de H. 
Retas: as retas hiperbólicas são interseções de H com 
um diâmetro de α ou interseções de H com um círculo 
perpendicular ao bordo de α.
Plano: O plano hiperbólico é a região de H, interior de 
α .
Definições:
Retas Paralelas: retas que se intersectam num ponto 
chamado ideal.
Ponto ideal (Ω): Ponto no bordo no Modelo do Disco de 
Poincaré para a Geometria Hiperbólica, podemos 
considerá-lo como o “ponto de convergência” de todas as 
semirretas da classe que o defne. Ponto ideal não é um 
ponto do Plano Hiperbólico.
Ponto ordinário: Pontos do Plano Hiperbólico.
Retas Hiperparalelas: não se intersectam.
Vamos construir? 
1) Uma reta n;
2) Duas retas m e m’ paralelas a n passando por P;
3) Duas retas r e r’ hiperparalelas a n passando por P.
4) Um perpendicular t a reta r’ passando por P.
Atividade:
Explore a fgura e observe o seu comportamento:
1) Como são as retas no Plano Euclidiano? E no Plano 
Hiperbólico? E os Pontos? E os segmentos?
2) Por um ponto não pertencente a uma reta dada podem 
ser traçadas quantas retas distintas que não encontram a 
reta dada, na Geometria Euclidiana, e na Geometria 
Hiperbólica?
Medida de ângulo:
A medida de um ângulo hiperbólico m(AÔB) coincide com a medida 
euclidiana do ângulo formado pelas retas tangentes aos seus lados.
Obs: se o ângulo formado pelas retas tangentes for reto, então AO e BO 
são ortogonais.
Pontos Notáveis do triângulo
1) CEVIANA
 É qualquer segmento de reta que une um dos vértices 
do triângulo à reta suporte do seu respectivo lado oposto.
Pontos Notáveis do triângulo
2) PRINCIPAIS CEVIANAS
(a)ALTURA : tem a característica de ser perpendicular a 
reta suporte do lado oposto
(b)MEDIANA: é toda ceviana que tem uma das 
extremidades no ponto médio do respectivo lado 
oposto
(c)BISSETRIZ INTERNA: divide um ângulo interno em dois 
ângulos adjacentes e congruentes
Pontos Notáveis do triângulo
(*)BISSETRIZ EXTERNA: divide um ângulo externo em 
dois ângulos adjacentes e congruentes
(**)MEDIATRIZ: é o lugar geométrico dos pontos do plano 
que equidistam de dois pontos distintos
Pontos Notáveis do triângulo
3) PONTOS NOTÁVEIS
(a)CIRCUNCENTRO: as mediatrizes dos lados de um 
triângulo interceptam-se num mesmo ponto que está a 
igual distância dos vértices do triângulo; o circuncentro 
é o centro de circunferência circunscrita ao triângulo
Pontos Notáveis do triângulo
(b) BARICENTRO: as medianas de um triângulo 
interceptam-se num mesmo ponto que divide cada 
mediana em duas partes tais que a parte que contém o 
vértice é o dobro da outra
(c) ORTOCENTRO: as alturas de um triângulo interceptam-
se num mesmo ponto
Pontos Notáveis do triângulo
(d) INCENTRO: as bissetrizes internas de um triângulo 
interceptam-se num mesmo ponto que está a igual 
distância dos lados do triângulo; o incentro é o centro da 
circunferência inscrita no triângulo
(d) EX-INCENTRO: a bissetriz interna de um ângulo 
intercepta-se com as bissetrizes externas dos outros 
ângulos, que é o centro do círculo tangente a um dos lados 
e aos prolongamentos dos outros dois
Pontos Notáveis do triângulo
EXERCÍCIOS
1) Prove que na circunferência ex-inscrita, as distâncias do 
vértice mais longínquo aos pontos de tangência são as 
mesmas e, somadas, equivalem ao perímetro do 
triângulo.
2) Os vértices de um triângulo ABC são A(2,5), B(4,7) e C(-
3,6). Qual é a coordenada do ponto D, tal que o ponto D 
é o baricentro?
Triângulos Congruentes
Lados e Ângulos correspondentes são iguais
Triângulos Congruentes
Casos de congruência
1)LAL
2)ALA
3)LLL
4)LAAº
5)CATETO-
HIPOTENUSA
Triângulos Congruentes
1)LAL
Triângulos Congruentes
1)LAL
2)ALA
Triângulos Congruentes
Triângulos Congruentes
2)ALA
Triângulos Congruentes
3)LLL
Triângulos Congruentes3)LLL
Triângulos Congruentes
4)LAAº
Triângulos Congruentes
4)LAAº
Triângulos Congruentes
5)Cateto-Hipotenusa(Caso 
Especial)
5)Cateto-Hipotenusa(Caso 
Especial)
Triângulos Congruentes
Exercícios
Desigualdade Triangular
A desigualdade triangular diz respeito a condição de existência de um 
triângulo, ou seja,
dados os lados de um triângulo a,b,c temos:
a<b+c
b<a+c
c<b+a
*para uma primeira atividade sobre o assunto, seria pedido para que os 
alunos construíssem vários triângulos no programa e verifcassem estas 
relações 
* depois através de alguns recursos mais avançados do programa 
construiremos um outro triângulo, e movimentarmos os seus lados 
aumentando ou diminuindo e analisaremos o ocorrido.
Polígonos Regulares
Defnição: um polígono regular é defnido por possuir todos os lados 
iguais e todos os ângulos iguais.
1ª propriedade: Todo polígono regular pode ser inscrito numa 
circunferência, ou seja, todos os vértices desse polígono devem estar 
contidos numa mesma circunferência.
Vamos colocar em prática...
Polígonos regulares
2ª propriedade: todo polígono pode ser circunscrito! 
Como podemos ver se um polígono é ou não regular usando o 
“Cinderella”?
Referências Bibliográficas 
A.C.Morgado; E.Wagner; M.Jorge. Geometria 1 e 2: 2º grau,exames 
supletivo e vestibulares. 5 ed. Rio de Janeiro: livraria francisco alves 
editora, 1990.
Dolce,Osvaldo;Pompeo, José Nicolau. Fundamentos de matemática elementar : 
geometria plana. 8 ed. São Paulo:Atual, 2005.]
	Slide 1
	Sobre o Cinderella:
	Slide 3
	Ferramentas do Cinderella
	Ferramentas Geométricas
	Um pouco da Geometria Hiperbólica
	Postulado de Lobachewsky
	Modelo do Disco de Poincaré para a Geometria Hiperbólica
	Figura 1:
	Façamos as seguintes interpretações em H:
	Definições:
	Vamos construir?
	Atividade:
	Medida de ângulo:
	Pontos Notáveis do triângulo
	Pontos Notáveis do triângulo
	Pontos Notáveis do triângulo
	Pontos Notáveis do triângulo
	Pontos Notáveis do triângulo
	Pontos Notáveis do triângulo
	Pontos Notáveis do triângulo
	Slide 22
	Slide 23
	Slide 24
	Slide 25
	Slide 26
	Slide 27
	Slide 28
	Slide 29
	Slide 30
	Slide 31
	Slide 32
	Slide 33
	Slide 34
	Slide 35
	Desigualdade Triangular
	Slide 37
	Polígonos Regulares
	Polígonos regulares
	Referências Bibliográficas