fluidos_texto_Silvia Física II

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Escrito por : Profa Dra Silvia M de Paula 
Aula : Fluidos 
 
O que é um fluido? 
Ao iniciarmos os nossos estudos, temos que entender o conceito de fluido. De maneira 
simples, podemos dizer que um fluido é qualquer substância que facilmente escoa e que muda sua 
forma quando submetido a ação de pequenas forças. Os fluidos tomam a forma do recipiente onde 
são colocados. 
Embora o termo “fluido” não seja corriqueiro, 
em nossas vidas diárias respiramos e bebemos 
fluidos, até nas horas vagas nadamos em fluidos. O 
estudo dos fluidos explica alguns fatos interessantes 
como a razão do tubarão do tubarão precisar nadar 
constantemente para não afundar, o por que dos 
navios, apesar dos seus pesos, não afundarem e 
muitos outros fatos que discutiremos no decorrer 
desta aula. 
 
 
 
 
 
 Fig.1 – Tubarão mergulhando 
Fonte: http://tubaroes.com.sapo.pt/Whihark.jpg 
 
A seguir serão abordado os conceitos de densidade e pressão e a estática dos fluidos discutida 
nos teoremas de Pascal e Arquimedes 
 
- Conceito de Densidade 
A densidade (ρ ), também conhecida como massa específica, é definida como o quociente 
entre a massa (m) e o volume (V) de um corpo, resumidamente : 
 
V
m
=ρ (Eq. 1) 
 
É importante lembrar que mesmo quando dois materiais constituídos do mesmo material 
possuem volumes e massas diferentes, suas densidades são iguais. Imagine a imersão de um cubo 
de ferro de dois quilogramas (kg) de massa em um reservatório contendo água e de outro cubo 
com massa igual a 4kg, constituído do mesmo material, em outro reservatório contendo água, a 
quantidade de líquido deslocado durante a imersão será proporcional a massa dos cubos. 
 É importante lembramos algumas unidades no SI (Sistema Internacional de Medidas) que 
utilizaremos no estudo da densidade. Seguem algumas unidades: 
 
Unidades no SI: 
 
Massa (m) - unidade kg 
Volume (V) – unidade m³ 
Densidade ( ρ ) – unidade kg/m³ 
 
Lembrete : 1m³ = 106 cm³ 
 
 Na tabela 1 são mostrados alguns valores de densidades de algumas substâncias conhecidas: 
 
 
 
 Tabela 1- Densidades de algumas substâncias
Material 
Ar (1 atm a 20°C)
Benzeno 
Água 
Concreto 
Alumínio 
Cobre 
Ouro 
 
 É importante observarmos que a densidade de alguns materiais possui variações 
interior. A atmosfera terrestre é um desses materiais que apresenta menor dens
elevadas, o nosso corpo possui densidades diferentes, em nosso organismo temos gordura que 
possui baixa densidade e ossos que possuem alta densidade. 
 
 
Exemplo 1 
Embora existam algumas pequenas diferenças de densidade no interior de um
calcular o peso do ar visto que a variação da densidade num local com 4m de altura é desprezível. 
Sabendo-se que um salão de festas 
do ar em seu interior. 
 
Solução: O primeiro passo é determinar a massa do ar: 
Sendo 
Lembrando que P = m.g, sendo 
Resp. O peso do ar no interior do salão é igual a 5644,80 N.
 
 
- Conceito de pressão 
 A pressão possui muitos exemplos práticos e conhecidos por todos: 
Densidades de algumas substâncias 
Densidade (kg/m³) 
Ar (1 atm a 20°C) 1,20 
0,9.10³ 
1,0.10³ 
2,0.10³ 
2,7.10³ 
8,9.10³ 
19,3.10³ 
É importante observarmos que a densidade de alguns materiais possui variações 
interior. A atmosfera terrestre é um desses materiais que apresenta menor dens
elevadas, o nosso corpo possui densidades diferentes, em nosso organismo temos gordura que 
possui baixa densidade e ossos que possuem alta densidade. 
Embora existam algumas pequenas diferenças de densidade no interior de um
calcular o peso do ar visto que a variação da densidade num local com 4m de altura é desprezível. 
ão de festas possui área de 10,0m x 12,0m e altura de 4m, calcule o peso 
o passo é determinar a massa do ar: 
Sendo V.m
V
m ρ=⇒=ρ , com 3201 m/kg,ar =ρ 
kg)mmxmx).(m/kg,(m 57612104201 3 == 
 
= m.g, sendo P o peso e g a gravidade local , calculamos o peso do ar
 
P = (576kg).(9,8m/s²) = 5644,80 N 
 
do ar no interior do salão é igual a 5644,80 N. 
 
 
Você sabia que mesmo sendo de aço os navios 
não afundam. Isso acontece porque são 
dotados de partes ocas, apresentando assim, 
densidade menor do que a água. É importante 
lembrar que o aço maciço em grand
quantidades afunda rapidamente. 
A pressão possui muitos exemplos práticos e conhecidos por todos: 
 
É importante observarmos que a densidade de alguns materiais possui variações em seu 
interior. A atmosfera terrestre é um desses materiais que apresenta menor densidade em altitudes 
elevadas, o nosso corpo possui densidades diferentes, em nosso organismo temos gordura que 
Embora existam algumas pequenas diferenças de densidade no interior de um salão, é possível 
calcular o peso do ar visto que a variação da densidade num local com 4m de altura é desprezível. 
e altura de 4m, calcule o peso 
 
, calculamos o peso do ar 
Você sabia que mesmo sendo de aço os navios 
sso acontece porque são 
dotados de partes ocas, apresentando assim, 
densidade menor do que a água. É importante 
lembrar que o aço maciço em grandes 
A pressão possui muitos exemplos práticos e conhecidos por todos: 
 
 
• Durante sessões de fisioterapia para pessoas que sofrem de tendinite, esferas macias são 
apertadas pelos pacientes, os movimento
é pressionado e uma força F é aplicada sobre ele
• Quando caminhamos faze
• nos postos de gasolina existem calibradores de 
• quando uma dona de casa faz pães caseiros ela pressi
 
 Para definirmos a pressão
localizada em um ponto do fluido 
ΔF. A partir dessas considerações, definimos a P pelo quociente entre a força F e a área A: 
 
Analisando a expressão dada anterio
placa plana de área A podemos concluir que:
 
 
 
 
 
 
Uma delicada bailarina de 48 kg, apoiada na ponta de um dos seus pés pode exercer 
uma pressão sobre um piso no valor de 8.10
Exemplo 2 
No exemplo 1 determinamos o 
altura de 4m, calcule o peso do ar em seu interior.
exerce sobre o alto da cabeça de uma pessoa qu
Considere a pressão atmosférica igual a 1 atm. 
 
Solução: Do exemplo 1 temos o valor do peso do ar no interior do salão, 
Cálculo da força que a atmosfera exerce sobre a cabeça da pessoa,
P =
Durante sessões de fisioterapia para pessoas que sofrem de tendinite, esferas macias são 
pacientes, os movimentos feitos são de compressão e relaxamento
uma força F é aplicada sobre ele; 
Quando caminhamos fazemos pressão contra o solo; 
nos postos de gasolina existem calibradores de pneus; 
quando uma dona de casa faz pães caseiros ela pressiona a massa. 
mos a pressão, podemos considerar uma pequena superfície de área 
localizada em um ponto do fluido e força normal exercida pelo fluido em cada lado da superf
F. A partir dessas considerações, definimos a P pelo quociente entre a força F e a área A: 
A
F
P
∆
∆
= 
 
Analisando a expressão dada anteriormente, verificamos que se a força é uniforme em uma 
a A podemos concluir que: 
A
F
P = (Eq. 2) 
 
Unidades de pressão: 
No SI: 
1 Pa (Pascal) = 1Pa= 1N/m² 
1 atm (atmosfera)= 1,01325.105 Pa 
 
Outras unidades conhecidas: 
1 bar = 105 Pa 
1lb/pol (libra/polegada) = 6895 Pa 
1mmHg= 1 torr (Torricelli) = 133,3 Pa 
 
 
Interessante ! 
Uma delicada bailarina de 48 kg, apoiada na ponta de um dos seus pés pode exercer 
uma pressão sobre um piso no valor de 8.105Pa em uma área de 6
 
No exemplo 1 determinamos o peso do ar no interior de um salão de área de 10,0m x 12,0m e 
altura de 4m, calcule o peso do ar em seu interior. Determinar o módulo da força que a atmosfera 
exerce sobre o alto da cabeça de uma pessoa que tem uma área de aproximadamente 0,030m². 
Considere a pressão atmosférica igual a 1 atm. 
:Do exemplo 1 temos o valor do peso do ar no interior do salão, 5644,80 N.
 
Cálculo da força que a atmosfera exerce sobre a cabeça da pessoa,
 
A.pF
A
F
=⇒= , fazendo 1 atm = 1,013. 105 Pa 
 
Durante sessões de fisioterapia para pessoas que sofrem de tendinite, esferas macias são 
s feitos são de compressão e relaxamento. O objeto 
 
, podemos considerar uma pequena superfície de área ΔA 
lo fluido em cada lado da superfície é 
F. A partir dessas considerações, definimos a P pelo quociente entre a força F e a área A: 
rmente, verificamos que se a força é uniforme em uma 
Uma delicada bailarina de 48 kg, apoiada na ponta de um dos seus pés pode exercer 
Pa em uma área de 6.10-4m² ! 
peso do ar no interior de um salão de área de 10,0m x 12,0m e 
o módulo da força que a atmosfera 
e tem uma área de aproximadamente 0,030m². 
5644,80 N. 
Cálculo da força que a atmosfera exerce sobre a cabeça da pessoa, 
 
 
 
Não fique assustado com o valor da força exercida sobre a cabeça da pessoa, ela refere
da coluna de ar que se estende até o limite superior da superfície terrest
 
 
 Sugestão de atividade
 1- Para fixar os conceitos discutidos neste item, acesse
objetivo desta simulação é verificar a relação entre pressão hidrostática e a profundidade. Atribua 
diferentes valores para a profundidade do manômetro, preencha a tabela 2. Utilize a densidade da 
água em todas as medidas, mantenha constante a gravidade em 9,81 m/s
obtidos, o que é possível concluir sobre a relação entre a pressão e profundidade?
Sendo : 1 hPa = 1 Hektopascal = 100 Pa = 100 N/m
Obs.: os dados em vermelho referem
 
 
Fig. 2- Simulação sobre a pressão (www.walter
Fonte: http://www.w
© Traduzido por: Antonio F. de Moraes Filho, Miriam G. de Castro e Juliana M. Marques Giordano 
 Tabela 1- Relação entre a pressão e a profundidade.
Profundidade 
h(m) 
Pressão, p
1 cm = 0,01m 
2 cm = 0,02m 
 
3 cm = 0,03m 
 
 
2- Faça uma pesquisa sobre quais os instrumentos util
funcionamento de cada equipamento.
 
F = 1,013. 105 Pa.0,030 m² 
 
F = 3039 N 
Não fique assustado com o valor da força exercida sobre a cabeça da pessoa, ela refere
da coluna de ar que se estende até o limite superior da superfície terrestre. 
Sugestão de atividade 
Para fixar os conceitos discutidos neste item, acesse o link abaixo e faça simulação proposta. O 
objetivo desta simulação é verificar a relação entre pressão hidrostática e a profundidade. Atribua 
a a profundidade do manômetro, preencha a tabela 2. Utilize a densidade da 
água em todas as medidas, mantenha constante a gravidade em 9,81 m/s
obtidos, o que é possível concluir sobre a relação entre a pressão e profundidade?
: 1 hPa = 1 Hektopascal = 100 Pa = 100 N/m2 
Obs.: os dados em vermelho referem-se as respostas do exercício. 
Simulação sobre a pressão (www.walter-fendt.de). 
 
http://www.walter-fendt.de/ph14br/hydrostpr_br.htm
Fonte: Walter Fendt, 1999-02-03 
© Traduzido por: Antonio F. de Moraes Filho, Miriam G. de Castro e Juliana M. Marques Giordano 
Última modificação: 2003-01-20 
 
Relação entre a pressão e a profundidade. 
Pressão, p (hPa) 
software 
Pressão teórica que você deverá calcular, 
h.g.P µ=
 
 
 
 
Faça uma pesquisa sobre quais os instrumentos utilizados para medir a pressão. Explique o 
funcionamento de cada equipamento. Lembre-se de escrever sua conclusão sobre o trabalho, uma 
 
Não fique assustado com o valor da força exercida sobre a cabeça da pessoa, ela refere-se ao peso 
re. 
o link abaixo e faça simulação proposta. O 
objetivo desta simulação é verificar a relação entre pressão hidrostática e a profundidade. Atribua 
a a profundidade do manômetro, preencha a tabela 2. Utilize a densidade da 
água em todas as medidas, mantenha constante a gravidade em 9,81 m/s2 . A partir dos dados 
obtidos, o que é possível concluir sobre a relação entre a pressão e profundidade? 
 
 
br.htm 
© Traduzido por: Antonio F. de Moraes Filho, Miriam G. de Castro e Juliana M. Marques Giordano - CEPA 
Pressão teórica que você deverá calcular, 
h , P (hPa) 
 
 
 
izados para medir a pressão. Explique o 
se de escrever sua conclusão sobre o trabalho, uma 
 
 
dica é comparar os equipamentos pesquisados. As referências utilizadas em sua busca devem 
constar no final do trabalho. 
Resp. Professor, essa atividade é uma pesquisa, os alunos deverão apresentar o mesmo conteúdo 
porém as abordagens poderão variar na turma. 
 
 
- Equação de um fluido em repouso
 O estudo dos fluidos nos mostra que a medida que à medida que afundamos em um l
a pressão atmosférica de 1 atm, a pressão
 
Fig.2 – Forças e pressões
Fonte : http://ec
 Supondo que a água se encontre em equilíbrio estático, na 
mergulhador que está localizado na coordenada y.
→
1F que age sobre a superfície superior do mergulhador e a força 
inferior do mergulhador e se deve a água que está abaixo do seu corpo. A força devida á gravidade 
que age sobre o líquido no mer
podemos escrever: 
Sendo F
p2.A = p1.A + 
 
 De acordo com a expressão obtida, é possível concluir que a pressão aumenta linearmente com a 
profundidade do liquido incompress
apenas no líquido, o seu uso estende
 
 
 
Importante: A pressão em um ponto do fluido em equilíbrio estático não depende 
da dimensão horizontal do recipiente ou do fluido mas sim da profundidade desse
ponto. 
dica é comparar os equipamentos pesquisados. As referências utilizadas em sua busca devem 
 
Resp. Professor, essa atividade é uma pesquisa, os alunos deverão apresentar o mesmo conteúdo 
porém as abordagens poderão variar na turma. 
Equação de um fluido em repouso 
O estudo dos fluidos nos mostra que a medida que à medida que afundamos em um l
a pressão atmosférica de 1 atm, a pressão aumenta abaixo da interface ág
 
Forças e pressões que atuam sobre um corpo submerso.
http://ecotur.orgfree.com/images/mergulho/mergulho_11.jpg
Imagem adaptada. 
 
Supondo que a água se encontre em equilíbrio estático, na 
mergulhador que está localizado na coordenada y. Sobre a água atuam três forças verticais: a força 
que age sobre a superfície superior do mergulhador e a força 
→
2F que age sobre a superfície 
inferior do mergulhador e se deve a água que está abaixo do seu corpo. A força devida á gravidade 
que age sobre o líquido no mergulhador está representada por m.g. Considerando o equilíbrio, 
 
F2 = F1 + m.g 
 
Sendo F1 = p1.A , F2 = p2.A e m = ρ .A.(y1 - y2) 
 
.A + ρ .A.g.(y1 - y2) , dividindo a expressão por A temos 
 
p2 = p1 + ρ .g. (y1 - y2) (Eq. 3) 
De acordo com a expressão obtida, é possível concluir que a pressão aumenta linearmente com a 
profundidade do liquido incompressível. Essa função pode ser utilizada para determinar
apenas no líquido, o seu uso estende-se à cálculos relacionados a atmosfera. 
: A pressão em um ponto do fluido em equilíbrio estático não depende 
da dimensão horizontal do recipiente ou do fluido mas sim da profundidade desse
 
dica é comparar os equipamentos pesquisados. As referências utilizadas em sua busca devem 
Resp. Professor, essa atividade é uma pesquisa, os alunos deverão apresentar o mesmo conteúdo 
O estudo dos fluidos nos mostra que a medida que à medida que afundamos em um líquido, 
água-ar (Figura 2). 
 
que atuam sobre um corpo submerso. 
otur.orgfree.com/images/mergulho/mergulho_11.jpg 
Supondo que a água se encontre em equilíbrio estático, na Fig. 2 observamos um 
Sobre a água atuam três forças verticais: a força 
que age sobre a superfície 
inferior do mergulhador e se deve a água que está abaixo do seu corpo. A força devida á gravidade 
gulhador está representada por m.g. Considerando o equilíbrio,A temos 
De acordo com a expressão obtida, é possível concluir que a pressão aumenta linearmente com a 
Essa função pode ser utilizada para determinar a pressão não 
: A pressão em um ponto do fluido em equilíbrio estático não depende 
da dimensão horizontal do recipiente ou do fluido mas sim da profundidade desse 
 
 
 
Exemplo 3 
Na figura abaixo temos um tanque contendo água em equilíbrio, determine a diferença de pressão 
entre os pontos A e B. Adote g = 9,8m/s² e 
 
 
 
 
- O Princípio de Pascal 
Diariamente deparamos com o Princípio de P
apertamos um tubo contendo cremes, até mesmo quando engasgamos e nosso abdômen é 
pressionado para liberarmos o alimento preso na garganta e quando frentistas de postos de 
gasolina utilizam macacos hidráulicos. 
Fig. 4- Pascal (1623-1662) 
 
A pressão aplicada a um fluido estático incompressível fechado 
transmitida igualmente a todas as partes do
 
Demonstração do Princípio de P
 
 
Você sabia que para cada 10 m percorridos na 
vertical durante um mergulho, acrescenta
1,0.105 Pa ou 1 atm no valor da pressão. 
 
 
 
Na figura abaixo temos um tanque contendo água em equilíbrio, determine a diferença de pressão 
Adote g = 9,8m/s² e ρ = 1 g/cm³ = 1,0.10³ kg/m³ 
Solução: 
pB – p A = ρ .g. (yA – yB) 
 
Δp = 1,0.10³ kg/m³.9,8.(3m 
 
Δp = 9.10³ N/m² ou = 9.10³ Pa 
 
e deparamos com o Princípio de Pascal, essa teoria se faz presente quando 
apertamos um tubo contendo cremes, até mesmo quando engasgamos e nosso abdômen é 
pressionado para liberarmos o alimento preso na garganta e quando frentistas de postos de 
ina utilizam macacos hidráulicos. 
 
 
Blaise Pascal (1623-1662), fig. 4, foi um físico, filósofo e 
matemático francês, que apesar de ter falecido jovem, deixou 
grandes contribuições para a ciência. Alé
eternas como “O coração tem razões que a própria razão 
desconhece”, esse grande cientista deixou muitas 
contribuições como os esclarecimentos sobre o princípio 
barométrico, informações sobre a prensa hidráulica e a
transmissibilidade das pressões. Observamos
elevadores hidráulicos de postos de combustíveis e até mesmo 
nos freios hidráulicos . O Princípio de Pascal enuncia que : 
 
A pressão aplicada a um fluido estático incompressível fechado é 
igualmente a todas as partes do fluido. 
 
 
de Pascal: 
 
Você sabia que para cada 10 m percorridos na 
vertical durante um mergulho, acrescenta-se 
pressão. 
Na figura abaixo temos um tanque contendo água em equilíbrio, determine a diferença de pressão 
 
Δp = 1,0.10³ kg/m³.9,8.(3m – 2m) 
Δp = 9.10³ N/m² ou = 9.10³ Pa 
ascal, essa teoria se faz presente quando 
apertamos um tubo contendo cremes, até mesmo quando engasgamos e nosso abdômen é 
pressionado para liberarmos o alimento preso na garganta e quando frentistas de postos de 
foi um físico, filósofo e 
matemático francês, que apesar de ter falecido jovem, deixou 
grandes contribuições para a ciência. Além de frases celebres e 
como “O coração tem razões que a própria razão 
desconhece”, esse grande cientista deixou muitas 
contribuições como os esclarecimentos sobre o princípio 
barométrico, informações sobre a prensa hidráulica e a 
transmissibilidade das pressões. Observamos suas teorias nos 
elevadores hidráulicos de postos de combustíveis e até mesmo 
O Princípio de Pascal enuncia que : 
 
 
 
 Para a demonstração matemática do Princípio de Pascal,
No interior do cilindro, temos um líquido homogêneo em equilíbrio estático sob a ação da 
gravidade, isolando por um êmbolo livre. Aplicando a Eq. 3, temos :
 
Fig. 5 
 
 
 Imagine o que acontece se depositarmos um corpo sobre o êmbolo, a pressão no ponto 1 
será incrementada de Δp, o que nos levar
 
 
 Baseando-se na expressão indicada por (I), concluímos que a variação de pressão de P
resultará em uma variação em P
pelo fato do líquido ser incompressível. Dessa forma, a nova pressão (P'
igual a : 
 
Sendo P
 A Eq. 4 mostra que o incremento da pressão no ponto 1 foi transmitida também para o 
 
 
 
O Princípio de Pascal e o elevador 
Para a demonstração matemática do Princípio de Pascal, tomaremos como exemplo a Fig. 5
No interior do cilindro, temos um líquido homogêneo em equilíbrio estático sob a ação da 
um êmbolo livre. Aplicando a Eq. 3, temos : 
Fig. 5 – Cilindro contendo líquido homogêneo 
 
p2 = p1 + ρ .g. (y1 - y2) (I) 
Imagine o que acontece se depositarmos um corpo sobre o êmbolo, a pressão no ponto 1 
a de Δp, o que nos levará a expressão: 
P'1 = P1 + Δp 
se na expressão indicada por (I), concluímos que a variação de pressão de P
resultará em uma variação em P2, já que a parcela ρ .g. (y1 - y2) não é alterada, isso é 
pelo fato do líquido ser incompressível. Dessa forma, a nova pressão (P'2 ) exercida no ponto 2 será 
p’2 = p’1 + ρ .g. (y1 - y2) 
 
P'2 = P1 + Δp + ρ .g. (y1 - y2) 
 
Fazendo P'2 = P1 + ρ .g. (y1 - y2) + Δp 
 
Sendo P2 = P1 + ρ .g. (y1 - y2) , chegamos a equação 
 
P'2 = P2 + Δp (Eq. 4) 
 
A Eq. 4 mostra que o incremento da pressão no ponto 1 foi transmitida também para o 
ponto 2! 
Pascal e o elevador hidráulico 
 
tomaremos como exemplo a Fig. 5. 
No interior do cilindro, temos um líquido homogêneo em equilíbrio estático sob a ação da 
 
Imagine o que acontece se depositarmos um corpo sobre o êmbolo, a pressão no ponto 1 
se na expressão indicada por (I), concluímos que a variação de pressão de P1 
) não é alterada, isso é explicado 
) exercida no ponto 2 será 
, chegamos a equação 
A Eq. 4 mostra que o incremento da pressão no ponto 1 foi transmitida também para o 
 
 
Nos postos de gasolina existem elevadores hidráulicos
o princípio de Pascal, consideremos a Fig. 6 que ilustra um desses elevadores para nossa discussão 
sobre a relação entre a área, a força e a pressão exercidas.
Verificamos na figura uma força externa de módulo F
para baixo sobre o êmbolo de entrada, sua área é A
um líquido incompressível que produz
êmbolo de saída que possui área A
que é exercida pelo automóvel
é calculada por: 
 
 Analisando a Eq. 5, observamos que a força F
 
 
 
 
O Princípio de Arquimedes 
Arkhimedes , nome originário do grego, popularment
matemático e físico nascido por volta d
participativo e muito ativo na sociedade. 
dias, suas contribuições estendem
informações importantes para o estudo da mecânica, da hidrostática e aritmética. 
Nos postos de gasolina existem elevadores hidráulicos(Fig. 6) que func
ípio de Pascal, consideremos a Fig. 6 que ilustra um desses elevadores para nossa discussão 
a, a força e a pressão exercidas. 
Verificamos na figura uma força externa de módulo Fe que é aplicada no sentido de cima 
sobre o êmbolo de entrada, sua área é Ae. No interior do dispositivo hidráulico existe 
ível que produz uma força no sentido de baixo para cima que é aplicada no 
êmbolo de saída que possui área As. O sistema é mantido em equilíbrio devido a força de módulo F
que é exercida pelo automóvel sobre o êmbolo, produzindo uma variação na pressão do líquido que 
Fig. 6 – Elevador hidráulico 
 
 
).Eq(
eA
sA
eFsF
sA
sF
eA
eFP
sA
sF
sp
eA
eF
ep
5=⇒==∆
==
 
 
 
Analisando a Eq. 5, observamos que a força Fs de saída é maior do que a força de entrada F
Arkhimedes , nome originário do grego, popularmente conhecido como Arquimedes, foi um 
nascido por volta do ano 287 a.C em Siracusa
participativo e muito ativo na sociedade. Muitas de suas descobertas acadêmicas
dias, suas contribuições estendem-se da geometria até o estudo da física. Seus estudos trouxeram 
informações importantes para o estudo da mecânica, da hidrostática e aritmética. 
 
(Fig. 6) que funcionam de acordo com 
ípio de Pascal,consideremos a Fig. 6 que ilustra um desses elevadores para nossa discussão 
que é aplicada no sentido de cima 
. No interior do dispositivo hidráulico existe 
o para cima que é aplicada no 
íbrio devido a força de módulo Fs 
, produzindo uma variação na pressão do líquido que 
 
de saída é maior do que a força de entrada Fe. 
e conhecido como Arquimedes, foi um 
em Siracusa-Sicília. Foi um cidadão 
descobertas acadêmicas estão em nossos 
se da geometria até o estudo da física. Seus estudos trouxeram 
informações importantes para o estudo da mecânica, da hidrostática e aritmética. 
 
 
 Existem muitas histórias engraçadas e interessantes sobre 
Arquimedes, uma das mais famosas está rel
estudo para verificar se na coroa de ouro do Rei Herão II
Siracusa, havia sido misturado certa quantidade de prata. O 
problema foi resolvido por Arquimedes apenas determinando o 
volume da coroa, averiguando assim, a densidade da coro
calculando a quantidade de prata utilizada. A história conhecida 
por todos foi a que Arquimedes inventou o procedimento para 
verificar a densidade do ouro quando tomava banho e verificou 
que ao entrar na banheira, certa quantidade de água era 
transbordada. Saiu do banho e pronunciou vigorosamente a 
palavra Eureka!, que ficou mundialmente vinculada ao célebre 
Arquimedes. 
 Para melhor compreensão do Princ
exemplo prático. Suponha que você amarre um peque
dinamômetro conforme a figura abaixo. Utilizando o mesmo arranjo experimental, imagine que o 
bloco preso a mola seja submerso em um recipiente contendo água, o que você acha que 
acontecerá com o valor do peso indicado 
será menor, você acertou! 
 
Fig. 7- Blocos presos a mola, o bloco submerso tem peso menor do que o peso fora do líquido.
Observando a Fig. 7 observamos que o peso do corpo fora do recipiente conten
maior porque quando esse está submerso a água exerce sobre o bloco uma força dirigida 
verticalmente para cima, denominada empuxo
do empuxo são definidos pelo princ
Todo corpo que está total ou parcialmente submerso em um fluido, existe uma força 
exercida pelo fluido que age sobre o corpo, chamada empuxo, essa força é dirigida 
para cima e tem o módulo igual ao peso do volume do fluido deslocado pel
 
Todo corpo que está total ou parcial
exercida pelo fluido que age sobre o corpo, chamada empuxo, essa força é dirigida para cima e tem 
o módulo igual ao peso do volume do fluido deslocado pelo corpo
Existem muitas histórias engraçadas e interessantes sobre 
Arquimedes, uma das mais famosas está relacionada com o seu 
se na coroa de ouro do Rei Herão II, de 
Siracusa, havia sido misturado certa quantidade de prata. O 
problema foi resolvido por Arquimedes apenas determinando o 
volume da coroa, averiguando assim, a densidade da coroa e 
calculando a quantidade de prata utilizada. A história conhecida 
por todos foi a que Arquimedes inventou o procedimento para 
verificar a densidade do ouro quando tomava banho e verificou 
que ao entrar na banheira, certa quantidade de água era 
ada. Saiu do banho e pronunciou vigorosamente a 
, que ficou mundialmente vinculada ao célebre 
Para melhor compreensão do Princípio de Arquimedes é conveniente discutirmos um 
exemplo prático. Suponha que você amarre um pequeno bloco maciço a uma mola presa a um 
dinamômetro conforme a figura abaixo. Utilizando o mesmo arranjo experimental, imagine que o 
bloco preso a mola seja submerso em um recipiente contendo água, o que você acha que 
acontecerá com o valor do peso indicado no dinamômetro? Caso você tenha respondido que o peso 
 
 
Blocos presos a mola, o bloco submerso tem peso menor do que o peso fora do líquido.
 
Observando a Fig. 7 observamos que o peso do corpo fora do recipiente conten
maior porque quando esse está submerso a água exerce sobre o bloco uma força dirigida 
e para cima, denominada empuxo (E), o sentido dessa força, o seu sentido e a direção 
do empuxo são definidos pelo princípio de Arquimedes enunciado logo a seguir : 
Todo corpo que está total ou parcialmente submerso em um fluido, existe uma força 
exercida pelo fluido que age sobre o corpo, chamada empuxo, essa força é dirigida 
para cima e tem o módulo igual ao peso do volume do fluido deslocado pel
que está total ou parcialmente submerso em um fluido, 
exercida pelo fluido que age sobre o corpo, chamada empuxo, essa força é dirigida para cima e tem 
o módulo igual ao peso do volume do fluido deslocado pelo corpo. 
 
 
é conveniente discutirmos um 
no bloco maciço a uma mola presa a um 
dinamômetro conforme a figura abaixo. Utilizando o mesmo arranjo experimental, imagine que o 
bloco preso a mola seja submerso em um recipiente contendo água, o que você acha que 
no dinamômetro? Caso você tenha respondido que o peso 
Blocos presos a mola, o bloco submerso tem peso menor do que o peso fora do líquido. 
Observando a Fig. 7 observamos que o peso do corpo fora do recipiente contendo água é 
maior porque quando esse está submerso a água exerce sobre o bloco uma força dirigida 
, o sentido dessa força, o seu sentido e a direção 
logo a seguir : 
Todo corpo que está total ou parcialmente submerso em um fluido, existe uma força 
exercida pelo fluido que age sobre o corpo, chamada empuxo, essa força é dirigida 
para cima e tem o módulo igual ao peso do volume do fluido deslocado pelo corpo. 
 
mente submerso em um fluido, existe uma força 
exercida pelo fluido que age sobre o corpo, chamada empuxo, essa força é dirigida para cima e tem 
 
 
 
Observa-se que a leitura do peso feita para corpos imersos em um fluido é menor devido a 
força de empuxo, nesses casos, existe o chamado peso aparente que está relacionado com o peso 
real e a força de empuxo, resumimos o cálculo do peso aparente da seguinte maneira: 
 
Sendo E = ρ L.VL.g (Eq. 6) 
 
Unidade do empuxo (E) no SI : N (Newton) 
 
Epp ra −= (Eq. 7) 
 
onde : pa = peso aparente 
 pr = peso real 
 E = empuxo 
 ρ L = densidade do fluido 
 VL = volume do fluido deslocado 
 
 
Exemplo 4 
Explique a partir dos Princípios de Arquimedes a razão dos balões de ar quente subirem. 
 
 
Solução: 
Os balões de hélio sobem porque o seu peso total é menor do que o módulo da 
força de empuxo do ar externo onde eles estão imersos. 
 
 
Exemplo 5 
Com base na figura 7, considere o peso real do bloco maciço igual a 10 N e o peso marcado no 
dinamômetro quando esse é imerso no fluido igual a 8N. Determine o empuxo e o volume do bloco. 
 
Solução: 
 Utilizando a equação Epp ra −= calculamos o valor do empuxo (E) , 
8 = 10 – E ⇒ E = 2N 
 Com o valor do E = 2N, calculamos o valor do volume do bloco utilizando a definição de 
 empuxo dada por 
E = ρ L.VL.g, sendo ρ L = 1000kg/m³ 
2 = 1000. VL .9,8 ⇒ VL = 2,04.10
-4 m³ 
 
Resp.: O valor do módulo do empuxo é igual 2N e o volume do bloco 2,04.10-4 m³. 
 
 Sugestão de atividade 
 
Para resolver a atividade proposta, acesse o site http://www.walter-
fendt.de/ph14br/buoyforce_br.htm. Considere a altura da base do corpo igual a 100cm, altura igual 
a 10 cm , densidade do corpo igual a 7 g/cm3. Complete a tabela 3. O que é possível concluir sobre a 
 
 
 
relação entre a densidade do líquido e o empuxo? O peso aparente representado por F na 
simulação é maior ou menor que o peso real? 
 
 
URL: http://www.walter-fendt.de/ph14br/buoyforce_br.htm 
© Walter Fendt, 1998-04-19 
© Traduzido por: Antonio F. de Moraes Filho, Miriam G. de Castro e Juliana M. Marques Giordano - CEPA 
Última modificação: 2003-01-20 
 
 
Obs.: os dados em vermelho referem-se as respostas do exercício 
 
Tabela 3 – Relação entre o empuxo e adensidade 
Densidade 
do líquido 
(kg/m3) 
E (simulador) 
Newtons (N) 
Empuxo (teórico), 
você deverá 
calcular, usando 
g.V.E µ= (N) 
Peso do corpo (P) 
Força medida (F) – Peso 
aparente 
Força de empuxo (E) 
F = P- E 
 
2000 
 P = 
F = F simulador: 
 
3000 
 
 P = 
F= 
F simulador: 
 
4000 
 
 P = 
F= 
F simulador: 
 
 
 
Equação da continuidade 
Um dos fundamentos importantes do estudo dos fluidos diz que a massa de um fluido não 
sofre alterações durante o seu escoamento, quando fazemos o estudo do escoamento de um 
fluido, estudamos a equação de continuidade. 
Para melhor compreensão, vamos iniciar a discussão sobre a expressão que relaciona a 
velocidade a área para determinarmos a equação de continuidade de um fluido. Considere um 
tubo de seção reta variável (Fig. 8), através dele ocorre o escoamento laminar de um fluido (por 
exemplo, a água), considere o comprimento do tubo igual a L. O escoamento será delimitado pelas 
seções A1 e A2 , é importante notar que não há líquido escoando pelas paredes laterais . Durante 
um intervalo de tempo dt ocorre o deslocamento dado por v1 . dt, sendo o volume dV = A. v1 . dt, 
 
 
 
onde A representa a área. Nesse mesmo intervalo de tempo, existe uma parte do fluido que escoa 
para fora do tubo através de A2, sendo o seu volume dado por dV = A. v2. dt. 
 
 
Fig. 8 – Tubo de escoamento com seção reta de área variável. 
 
Considerando o fluido incompressível, ou seja, sua densidade é a mesma em qualquer 
ponto, do conceito de densidade ( ρ =m/V), teremos dm1= ρ .A1. v1. dt e dm2= ρ .A2 v2. dt, fazendo 
dm1=dm2, chegamos a equação de continuidade de um fluido incompressível dada por: 
 
 
ρ .A1 v1. dt = ρ .A2 v2. dt (dividindo a expressão por ρ . dt) 
 
A. v1= A. v2 Eq. 8 (Equação de continuidade de um fluido incompressível) 
 
No caso de um fluido que não seja incompressível, devemos considerar suas densidades ou seja: 
 
ρ 1.A1 v1 = ρ 2.A2 v2 (Eq. 9) 
 
 
Equação de Bernoulli 
 A análise de um fluido em repouso é mais elementar do que quando necessitamos verificar 
um fluido em movimento visto que o seu estudo envolve o conhecimento de alguns parâmetros 
como a velocidade, a pressão, densidade, tempo de escoamento. No estudo dos fluidos existe uma 
relação importante chamada Equação de Bernoulli (Eq. 11), não será feita neste item, a dedução 
dessa equação e sim uma discussão a respeito dos seus parâmetros. Sendo a equação de Bernoulli 
escrita como 
 2
2
22
1
1
2
12
1
21 y.g.v.Py.g.v.P ρ+ρ+=ρ+ρ+ (Eq. 10) 
 
tetanconsy.g.v.P =ρ+ρ+ 2
2
1
 (Eq. 11) 
 
onde : v é a velocidade de escoamento, g a gravidade local e y a altura. 
A partir das equações 10 e 11 podemos concluir que se a velocidade de um fluido aumenta 
durante o período em que ele se move horizontalmente, a pressão do fluido diminui e vice-versa 
 
 
 
Observa-se nessa expressão assuntos visto no estudo da Mecânica, a relação 
energia cinética (Ec ) específica, também vista no estudo da energia mecânica, o termo 
energia potencial (Ep), observamo
que também nos fornece a relação: 
 
 
Temos também o trabalho realizado sobre o sistema pela força gravitacional:
 
 É importante salientar que a Equação de Bernoulli pode ser aplicada apenas nos casos em 
que temos o escoamento estacionário de um fluido incompressível sem viscosidade!
 
 
 
 
 
 
 
ssa expressão assuntos visto no estudo da Mecânica, a relação 
específica, também vista no estudo da energia mecânica, o termo 
, observamos que essa expressão mostra que o princípio da conservaç
que também nos fornece a relação: 
).Eq()vv(V..W
v.m.v.m.EcW
12
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
−∆ρ=
∆−∆=∆=
 
Temos também o trabalho realizado sobre o sistema pela força gravitacional:
)yy(V.g.W 12 −∆ρ−= (Eq. 13) 
 
 
rtante salientar que a Equação de Bernoulli pode ser aplicada apenas nos casos em 
que temos o escoamento estacionário de um fluido incompressível sem viscosidade!
 
ssa expressão assuntos visto no estudo da Mecânica, a relação 2
2
1
v.ρ é a 
específica, também vista no estudo da energia mecânica, o termo y.g.ρ representa a 
s que essa expressão mostra que o princípio da conservação da energia 
Temos também o trabalho realizado sobre o sistema pela força gravitacional: 
rtante salientar que a Equação de Bernoulli pode ser aplicada apenas nos casos em 
que temos o escoamento estacionário de um fluido incompressível sem viscosidade!