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Matemática Financeira Professor conteudista: Dalton Millan Marsola Sumário Matemática Financeira Unidade I 1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS .........................................................................................................................1 1.1 Taxa de juros ..............................................................................................................................................2 1.2 Taxa percentual ........................................................................................................................................4 1.3 Taxa unitária ..............................................................................................................................................4 1.4 Juro exato e juro comercial .................................................................................................................6 1.5 Equivalência de capitais .......................................................................................................................7 2 DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA .................................................................................................................7 3 ANÁLISE DE ALTERNATIVAS POR VALOR ATUAL ................................................................................. 10 3.1 Regime de capitalização dos juros .................................................................................................11 3.1.1 Regime de capitalização simples .......................................................................................................11 3.1.2 Regime de capitalização composta ................................................................................................. 12 3.2 Diferenças entre capitalização simples e composta .............................................................. 13 4 JUROS SIMPLES ................................................................................................................................................ 14 4.1 Montante e capital .............................................................................................................................. 19 5 JUROS COMPOSTOS ....................................................................................................................................... 23 6 TAXAS PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES ............................................................................................ 29 6.1 No regime de juros simples .............................................................................................................. 30 6.2 No regime de juros compostos ....................................................................................................... 32 7 DESCONTO SIMPLES RACIONAL OU “POR DENTRO” ......................................................................... 36 8 DESCONTO BANCÁRIO OU COMERCIAL OU “POR FORA” ................................................................ 39 Unidade II 9 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS .................................... 42 9.1 Definições básicas ................................................................................................................................ 43 10 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) ............................................................................... 46 10.1 Expressões de cálculo do SAC ....................................................................................................... 49 10.2 SAC com carência .............................................................................................................................. 50 11 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS ................................................................................................. 54 11.1 Expressões de cálculo do SAF ........................................................................................................ 57 11.2 SAF com carência ............................................................................................................................... 58 12 TABELA PRICE ................................................................................................................................................. 61 13 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO ...................................................................................................... 65 14 COMPARAÇÕES ENTRE SAC, SAF E SAM ............................................................................................. 66 14.1 Gráfico de comparação SAC, SAF E SAM ................................................................................. 67 15 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO ......................................................................................... 68 15.1 Sinking fund ou fundo de amortização ................................................................................... 70 16 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CRESCENTE (SACRE) .......................................................................... 72 17 SISTEMA PRICE X SISTEMA SACRE ........................................................................................................ 76 18 CUSTO EFETIVO .............................................................................................................................................. 80 18.1 Planilha com despesas adicionais ............................................................................................... 80 1 MATEMÁTICA FINANCEIRA Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 Unidade I5 10 15 20 25 30 35 OBJETIVOS Fornecer subsídios fundamentais para a formação acadêmica do discente na área financeira e, também, contribuir para o desenvolvimento da capacidade de raciocínio lógico e reflexivo. Este é um fator essencial na tomada de decisão, atividade típica da função de administrador financeiro. 1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS “Um dólar hoje vale mais do que um dólar no futuro...” (Gitman, 2004). A matemática financeira trata do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. Seu objetivo é efetuar análises e comparações da movimentação de dinheiro em tempos diferentes. As operações de aplicação e empréstimos são geralmente realizadas por uma instituição financeira, que capta recursos no mercado e os empresta a outros com taxas maiores. A diferença entre a captação e o empréstimo é a remuneração (lucro) da instituição. Investidores têm várias opções de aplicação à sua disposição, e cada opção tem sua taxa em função do prazo da aplicação e dos riscos envolvidos. Do ponto de vista matemático, um determinado valor a qualquer época é chamado de Capital, e a soma dos juros de determinado tempo a esse Capital é chamada de Montante. 2 Unidade I Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 Segundo Assaf (2009), ao se emprestar um recurso a taxas de juros deve-se ser eficiente de maneira a remunerar os seguintes fatores importantes: • risco: probabilidade de o tomador do empréstimo não resgatar a dívida, sendo a incerteza como futuro; • perda do poder de compra do capital motivado pela inflação: a inflação é um fenômeno que corrói o capital, é a desvalorização do poder aquisitivo da moeda previsto para o prazo do empréstimo, diminuindo o poder de compra de um bem pelo mesmo capital; • ganho (ou lucro): fixado em função das demais oportunidades de investimentos; justifica-se pela privação da utilidade do capital pelo seu dono; • despesas (nos dias atuais): todas as despesas operacionais, contratuais e tributárias para a formalização do empréstimo e à efetivação da cobrança. 1.1 Taxa de juros Taxa de juros é o coeficiente que determina o valor do juro, a razão entre os juros recebidos (ou pagos)e o capital inicial aplicado (ou emprestado). As taxas de juros referem-se sempre a uma unidade de tempo (dia, mês, semestre, ano etc.) e podem ser representadas equivalentemente de duas maneiras: taxa percentual e taxa unitária (fração decimal). A desvantagem da definição da taxa de juro J não incluir um período de tempo é eliminada com a taxa unitária de juro i, definida como: i J P = 3 MATEMÁTICA FINANCEIRA Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 Exemplo 1 i x= = = =$ $ . , , , % 110 10 000 0 0110 0 011 100 11 Exemplo 1.1 O gerente do banco outorgou um empréstimo de $2.000,00 pelo prazo de 48 dias. No momento de assinar o contrato, o devedor se comprometeu a devolver $2.250,00. Calcule o juro, a taxa unitária de juro e a taxa percentual de juro dessa operação. • Juro da operação é j=2.250–2000=$250. • Taxa unitária de juro é i= =$ $ . , 250 2 000 0 125 em 48 dias. • Taxa percentual de juro é i=0,125x100=12,5% em 48 dias. Exemplo 1.2 O gerente da instituição garantiu que aplicando $5.000,00, pelo prazo de sessenta (60) dias nominais, você resgatará $5.122,50 no final da operação. Calcule o juro, a taxa unitária de juro e a taxa percentual de juro dessa aplicação. • Juro da operação é j = 5.122,50–5.000 =122,50. • Taxa unitária de juro é i= =$ , $ . , 122 50 5 000 0 0245i= = $ , $ . , 122 50 5 000 0 0245 em 60 dias. • Taxa percentual de juro é i=0,0245x100=2,45% em 60 dias. 4 Unidade I Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 1.2 Taxa percentual Trata-se dos “centos” do capital, ou seja, o valor dos juros para cada centésima parte do capital. Esse valor é um acréscimo sobre o valor inicial em forma de fração, onde o denominador é sempre 100, conhecido como porcentagem (%). Se falarmos em 10% (dez por cento), significa que, a cada grupo de 100, haverá um acréscimo de 10. Exemplo 1.3 Um capital de R$2.000,00, aplicado a 20% ao ano, rende de juros, ao final deste período: Juros x= $ ,2000 00 100 20 Juros = $ 20,00 x 20 = $ 400,00 O capital de R$ 2.000,00 tem vinte centos. Como cada um deles rende 20, a remuneração total da aplicação no período é de $ 400,00. 1.3 Taxa unitária É o rendimento de cada unidade de capital em certo período. A transformação da taxa percentual em unitária é processada pela divisão da notação em percentagem por 100. Exemplo 1.4 Um capital de R$2.000,00, aplicado a 20% ao ano, rende de juros, ao final deste período. A taxa percentual de 20% ao ano indica um rendimento de 0,20 (20% / 100) por cada unidade de capital aplicada, ou seja: Juros R x= $ . ,2 000 00 20 100 Juros = R$ 2.000,00 x 0,20 = $ 400,00 5 MATEMÁTICA FINANCEIRA Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 Para a transformação inversa, basta multiplicar a taxa unitária por 100, assim transformando a taxa unitária em porcentagem. Exemplo 1.5 Taxa percentual Fórmula N / 100 Taxa unitária 0,5% 0,5 / 100 0,005 1,3% 1,3 / 100 0,013 22% 22 / 100 0,22 31,5% 31,5 / 100 0,315 58% 58 / 100 0,58 150% 150 / 100 1,5 Exemplo 1.6 Converta para a forma percentual: 0,57 = 0,57 x 100 = 57% 2,08 = 2,08 x 100 = 208% 0,02 = 0,02 x 100 = 2% Exemplo 1.7 Converta para a forma unitária: 163% = 163 / 100 = 1,63 2.107% = 2,107 / 100 = 21,07 12% = 12 / 100 = 0,12 Exemplo 1.8 Num lote de 100 lâmpadas, 15 apresentam defeito. A razão entre o número de lâmpadas defeituosas e o total de lâmpadas é dada por: 15 100 15= % Nas fórmulas de matemática financeira, todos os cálculos são efetuados utilizando-se a taxa unitária de juros. 6 Unidade I Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 Exemplo 1.9 Um DVD é vendido por R$ 28,00. Se o seu preço fosse acrescido em 18%, quanto o DVD passaria a custar? Se fosse anunciado um desconto de 20% sobre o preço original, quanto o DVD passaria a custar? • Aumento: preço = 28 + 0,18 x 28 = 28 . (1 + 0,18) = 28 . 1,18 = R$ 33,04. • Desconto: preço = 28 – 0,20 x 28 = 28 . (1 – 0,20) = 28 . 0,80 = R$ 22,40. 1.4 Juro exato e juro comercial Comum nas operações de curto prazo – onde predominam as aplicações com taxas referenciadas em juros simples – ter o prazo definido em número de dias. Nesses casos, o número de dias pode ser calculado: a) pelo tempo exato, utilizando-se efetivamente o calendário do ano civil (365 dias). O juro apurado desta maneira denomina-se juro exato; b) pelo ano comercial, o qual admite o mês com 30 dias e o ano com 360 dias. Tem-se, por este critério, a apuração do denominado juro comercial ou ordinário. Exemplo 1.10 15% ao ano equivalem, pelo critério de juro simples, à taxa diária de: a) Juro exato: 15% / 365 dias= 0,041096% ao dia. b) Juro comercial: 15% / 360 dias = 0,041667% ao dia. 7 MATEMÁTICA FINANCEIRA Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 1.5 Equivalência de capitais Imaginemos uma situação em que eu saiba, hoje, que dentro de um ano terei de efetuar um pagamento no valor de $1200,00. Entretanto, eu disponho de dinheiro hoje para quitação desse débito. Será melhor eu efetuar o pagamento hoje? A resposta é não. Se eu efetuar esse pagamento hoje, terei de desembolsar $1200,00 sendo que eu poderia aplicar $1000,00 no prazo de um ano a uma taxa de 20% ao ano. Percebemos que o dinheiro não tem o mesmo valor ao passar do tempo (mesmo não existindo inflação), e essa argumentação foi feita com termos estritamente econômicos e não pessoais. Pagamentos diferentes em sua magnitude total, mas que são feitos em datas diferentes, podem ser equivalentes. Capitais são ditos equivalentes quando os seus valores, transferidos para a mesma data, com a mesma taxa de desconto (custo de oportunidade), são iguais. Em termos gerais: Valor Atual = Valor Futuro / (1 + i) e, também, Valor futuro = Valor Atual x (1 + i), onde i é a taxa de desconto referente ao período considerado. Como i corresponde ao período inteiro em consideração, é chamado de taxa simples. O termo (1 + i) permite a comparação entre valores em tempos diferentes. A taxa de desconto pode corresponder a um custo de oportunidade. 2 DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA Para facilitar a visualização dos movimentos monetários estabelecidos em distintos momentos ao longo do tempo, 8 Unidade I Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 o diagrama do fluxo de caixa é de grande utilidade para as operações de matemática financeira. 500 200 700 200 800 200 0 1 2 3 4 5 i% A linha horizontal registra a escala de tempo, o ponto zero indica o momento inicial, e os demais pontos representam entrada e saída de caixa ao longo do tempo. As setas para cima da linha do tempo refletem as entradas de dinheiro e as setas para baixo da linha horizontal indicam saídas de dinheiro. É imprescindível que o prazo e a taxa de juros estejam expressos na mesma unidade. Exemplo 2 Uma dívida de R$ 48.000,00 vence daqui a 6 meses. O devedor pretende quitá-la da seguinte forma: uma prestação hoje de R$ 4.800,00, uma prestação de R$14.000,00 daqui a 2 meses e uma última prestação de R$ 27.500,00 daqui a 7 meses. Como fica o diagrama do fluxo de caixa dessa dívida? R$ 48.000,00 0 2 6 7 R$ 4.800,00 R$ 14.000,00 R$ 27.500,00 Exemplo 2.1 Um estudante pode ter seus cinco anos de estudos financiados pela Caixa Econômica com juros de 14% aoano. Observe que 9 MATEMÁTICA FINANCEIRA Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 esses juros totais, inferiores à inflação, correspondem a um subsídio. A devolução iniciará após a formatura. Assim, a quantia emprestada no início do primeiro ano será devolvida no início do sétimo ano. Primeiro empréstimo Ingresso na escola Formatura Primeira devolução anos A primeira anuidade cobrada pela escola é de R$ 14.000,00. É de se esperar reajustes anuais de 35% devidos à inflação. O custo de oportunidade do capital é de 40% ao ano (depósito bancário a prazo fixo). Calcule a redução percentual nas anuidades da escola a que correspondem esses empréstimos a juros baixos da Caixa Econômica. A B C D Anuidades em R$ Devolução para CE 6 períodos depois: 14% a.a. Valor do empréstimo 6 períodos mais tarde: 40% a.a. Desconto (C – B) / C 1º ano 14.000 30.730 105.414 71% 2º ano 18.900 41.485 142.308 71% 3º ano 25.515 56.005 192.116 71% 4º ano 34.445 75.606 259.355 71% 5º ano 46.501 102.068 350.131 71% 10 Unidade I Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 De fato, o estudante que deixar de pagar R$ 14.000,00 no primeiro ano e depositar essa quantia a prazo fixo durante seis anos receberá R$ 105.414,00, mas só terá de devolver R$ 30.730,00 à Caixa Econômica, por ter tido sua anuidade paga pela Caixa Econômica. Observe que a coluna D pode ser calculada devido às parcelas B e C estarem referidas ao mesmo ponto no tempo. 3 ANÁLISE DE ALTERNATIVAS POR VALOR ATUAL Trata-se de comparar e discutir critérios econômicos para escolher a melhor alternativa baseando-se no valor atual das possibilidades. Exemplo 3 500 600 500 550 – 1000 Alternativa I 400 550 450 550 – 1200 Alternativa II 11 MATEMÁTICA FINANCEIRA Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 Na figura acima, fica evidente que a alternativa II é melhor, devido aos valores estarem no mesmo tempo e período, o que torna simples a comparação, sem a necessidade de cálculo. O método do valor atual consiste em descapitalizar todos os valores para a data de hoje (período igual a zero). Dadas diversas alternativas, é possível calcular os valores atuais equivalentes às séries correspondentes e compará-los para decidir qual é a melhor. 3.1 Regime de capitalização dos juros É a forma como os juros são incorporados ao capital no decorrer do tempo e podem ser identificados em dois regimes de capitalização: simples e composto. 3.1.1 Regime de capitalização simples Compara-se a uma progressão aritmética, isto é, o juro cresce de forma linear ao longo do tempo. Os juros incidem somente ao capital inicial da operação e não acumulativo. Ano Saldo no início de cada ano Juros apurados para cada ano Saldo devedor ao final de cada ano Crescimento anual do saldo devedor Hoje 0 – 1000 – 1 1000 0,10 x 1000 = 100 1100 100 2 1100 0,10 x 1000 = 100 1200 100 3 1200 0,10 x 1000 = 100 1300 100 4 1300 0,10 x 1000 = 100 1400 100 5 1400 0,10 x 1000 = 100 1500 100 Algumas observações podem ser apresentadas: • os juros, por incidirem exclusivamente sobre o capital inicial de $1.000,00, apresentam valores idênticos ao final de cada ano ($ 100,00); 12 Unidade I Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 • em consequência, o crescimento dos juros no tempo é linear, revelando um comportamento idêntico a uma progressão aritmética. Os juros totais da operação atingem, nos 5 anos, $ 500,00; • se os juros simples não forem pagos ao final de cada ano, a remuneração do capital emprestado somente se opera pelo seu valor inicial ($ 1.000,00), não ocorrendo remuneração sobre os juros que se formam no período. Assim, no 5º ano, a remuneração calculada de $ 100,00 é obtida com base no capital emprestado há 5 anos, ignorando-se os $400,00 de juros que se foram acumulando ao longo do período; • como os juros variam linearmente no tempo, a apuração do custo total da dívida no prazo contratado é processada simplesmente pela multiplicação do número de anos pela taxa anual, isto é: 5 anos x 10% ao ano = 50% para 5 anos. 3.1.2 Regime de capitalização composta Compara-se a uma progressão geométrica, isto é, o juro cresce de forma exponencial ao longo do tempo. Os juros incorporam-se ao capital inicial da operação e de forma acumulativa, isto é, juros sobre juros. Ano Saldo no início de cada ano Juros apurados para cada ano Saldo devedor ao final de cada ano Hoje – – 1000 1 1000 0,10 x 1000 = 100 1100 2 1100 0,10 x 1100 = 110 1210 3 1210 0,10 x 1210 = 121 1331 4 1331 0,10 x 1331 = 133,1 1464,1 5 1464,1 0,10 x 1464,10 = 146,41 1610,51 13 MATEMÁTICA FINANCEIRA Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 Os comentários sobre o quadro ilustrativo são colocados: • no critério composto, os juros não incidem unicamente sobre o capital inicial de $ 1.000,00, mas sobre o saldo total existente no início de cada ano. Esse saldo incorpora o capital inicial emprestado mais os juros incorridos em períodos anteriores; • o crescimento dos juros se dá em progressão geométrica, evoluindo de forma exponencial ao longo do tempo. Exemplo 3.1 Um capital de $ 1.000,00 foi aplicado durante 3 anos à taxa de 10% ao ano, em regime de juros compostos. No final do período, o montante será? • 1o ano: 1.000,00 x 0,10 = $ 100,00 ⇒ Montante = $ 1.100,00 • 2o ano: 1.100,00 x 0,10 = $ 110,00 ⇒ Montante = $ 1.210,00 • 3o ano: 1.210,00 x 0,10 = $ 121,00 ⇒ Montante = $ 1.331,00 3.2 Diferenças entre capitalização simples e composta Segundo Mathias e Gomes (2002), a diferença entre o regime de juros simples e juros compostos é caracterizada pelo fato de que nos juros simples apenas o capital inicial rende juros e este é diretamente proporcional ao tempo e à taxa, e os juros compostos, que retratam melhor a realidade, são capitalizados junto ao capital, incorporando-o e passando a participar da geração de juros do período seguinte. Juros compostos Juros simples M n 0 0,5 1 1,5 14 Unidade I Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 Observe, na figura acima, que o comportamento do juro simples cresce linearmente ao longo do tempo, enquanto o juro composto cresce exponencialmente. Os juros simples têm aplicações práticas limitadas devidas às suas restrições técnicas. São raras as operações financeiras que usam a capitalização linear e, dentre elas, as operações financeiras de curtíssimo prazo. O regime composto é adotado por todo mercado financeiro e de capitais: aplicações financeiras, cartão de crédito, sistema financeiro de habitação etc. 4 JUROS SIMPLES O regime de juros simples tem como particularidade a incidência dos juros sobre o valor principal do empréstimo, isto é, os cálculos dos montantes (capital + juros) serão realizados com referência no valor principal, independente do período. Sobre os juros gerados a cada período, não incidirão novos juros. Valor principal ou simplesmente principal ou capital é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando isso em fórmula, temos: J=C.i.n Algebricamente: C=J/(i.n) I=J/(C.n) n=J/(C.i) Onde: J = juros C = Capital (Principal) 15 MATEMÁTICA FINANCEIRA Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão :M ár ci o - 06 /1 2/ 10 i = taxa de juros n = número de períodos Abreviaturas empregadas na notação das taxas: Abreviatura Significado a.d. ao dia a.m. ao mês a.b. ao bimestre a.t. ao trimestre a.q. ao quadrimestre a.s. ao semestre a.a. ao ano Observação: a taxa de juros (i) e o número de períodos (n) devem estar na mesma base. Porém, deve-se sempre alterar n, evitando-se alterar i. Exemplo 4 Um capital de $ 1500,00 foi aplicado à taxa de 5% a.m. pelo período de 2 meses no regime de capitalização simples. Qual o valor dos juros mensais? J=C.i.n 1500 x 0,05 x 2 J = $ 150 Exemplo 4.1 Um capital de $1120,00 foi aplicado a uma taxa de 5% a.m. no regime de capitalização simples por sete meses. Qual o valor dos juros capitalizados durante o período de vigência da aplicação? J=C.i.n 1120,00 x 0,05 x 7 J = $ 392,00 16 Unidade I Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 Exemplo 4.2 Uma pessoa compra a prazo um DVD (que custa, à vista, $ 500,00) que pode ser pago em três parcelas mensais iguais (entrada no ato) no valor de $ 270,00. Qual é a taxa de juros mensal cobrada pela loja? C = 500,00 – 270,00 = $ 230,00 J = 270,00 – 230,00 = $ 40,00 i=J/(C.n) i = 40 / 230 x 1 i = 0,1739 ou 17,39% Exemplo 4.3 Temos uma dívida de R$ 80.000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 3 meses. Quanto pagaremos de juros? J=C.i.n J = 80000 x 0,08 x 3 J = R$ 19.200,00 Exemplo 4.4 Temos uma dívida de R$ 50.000,00 que deve ser paga com juros de 20% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 8 meses. Quanto pagaremos de juros? J=C.i.n J = 50000 x 0,20 x 8 J = R$ 80.000,00 Exemplo 4.5 Um negociante pegou um empréstimo a uma taxa de 12% no regime de juros simples para pagar daqui a 10 17 MATEMÁTICA FINANCEIRA Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 meses. O juro apurado foi de R$ 20.000,00. Quanto ele pegou emprestado? C=J/(i.n) C = 20000 / (0,12 x 10) C = R$ 24.000,00 Exemplo 4.6 Você investiu numa aplicação o valor de R$ 45,000,00 por 12 meses, o que lhe proporcionou um rendimento de R$ 8.000,00. Qual foi a taxa de juros simples dessa aplicação? i=J/(C.n) i = 8000 / (45000 x 12) i = 0,014815 “taxa unitária” taxa percentual = 0,014815 x 100 = 1,4815% a.m. Exemplo 4.7 Quanto tempo você tem de deixar R$ 6.200,00 aplicados a uma taxa de 4,7% a.m. para obter um rendimento de R$ 1.625,00. n=J/(C.i) n = 1625 / ( 6200 x 0,047) n = 5,576 meses ou 6 meses Exemplo 4.8 Um capital de $75.000,00 é aplicado à taxa de 4% ao mês durante um período de um quadrimestre. Calcular o valor dos juros acumulados. J=C.i.n J = 75.000 x 0,04 x 4 J = $ 12.000,00 18 Unidade I Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 Para operações com prazo em dias e o período da taxa de juro com período anual, o prazo da operação em dias é convertido numa fração de um ano, faltando definir quantos dias tem um ano e como se calcula a fração de um ano. Por exemplo, para um ano de 360 dias e uma operação a prazo de t dias, a fração que ajusta a taxa anual de juro ao prazo da operação é (t/360).No cálculo do juro, o período da taxa de juro é ajustado ao prazo da operação utilizando taxas proporcionais: J = P x i x t / 360 Exemplo 4.9 O empréstimo de $ 17.000,00 pelo prazo de 55 dias foi acertado com a taxa de juro de 19% ao ano, com a condição de pagar o juro junto à devolução do empréstimo. Calcule o juro no regime de juros simples considerando o ano de 360 dias. J C i n= . . 360 J = 17000 x 0,19 x 55 / 360 J = $ 493,47 Exemplo 4.10 Um capital de $ 1500,00 foi aplicado à taxa de 3% a.m. no regime de capitalização simples por um período de 4 meses. Qual o valor dos juros mensais? J=C.i.n J = 1500 x 0,03 x 4 J = $ 180,00 No cálculo do exemplo 4.9, foi utilizada a taxa de juro 4% com período igual a 55 dias, igual ao prazo do empréstimo, resultado obtido com: 19 MATEMÁTICA FINANCEIRA Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 it = 0 4 55 360 , . A partir da taxa anual i com período de 360 dias e a taxa proporcional it com período igual ao prazo da operação t obtém-se: i i t t = . 360 t i t t 360 = O resultado do primeiro membro da última expressão é a taxa diária proporcional da taxa i com período de um ano de 360 dias. E o resultado do segundo membro é a mesma taxa unitária, porém calculada com a taxa de juro it com período t. 4.1 Montante e capital Um capital aplicado a uma taxa periódica de juro por determinado tempo produz um valor acumulado denominado de montante (M) ou valor futuro (VF). Assim, o montante é calculado com o capital mais o valor acumulado dos juros: M = C + J No entanto, sabe-se que: J = C . i . n Assim, M = C + C . i . n M = C.(1 + i . n) 20 Unidade I Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 O valor de C pode ser obtido por: C = M (1 + i .n) O valor de i pode ser obtido por: i M C n = − 1 O valor de n pode ser obtido por: n M C i = − 1 Exemplo 4.11 Um capital de $ 70.000,00 é aplicado à taxa de 3,5% ao mês no RCS, durante um semestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste período. J = C . i . n J = 70000 . 0,035 . 6 J =$ 14.700,00 Exemplo 4.12 Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 8% ao mês durante dez meses. Ao final deste período, calculou em $ 255.000,00 o total dos juros incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo: C M i n = + ⋅( )1 21 MATEMÁTICA FINANCEIRA Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 C C= − + ⋅( ) 255 000 1 0 08 10 . , C = 318.750,00 Exemplo 4.13 Um capital de $ 35.000,00 foi aplicado num fundo de poupança por 9 meses, produzindo um rendimento financeiro de $ 9.750,00. Pede-se apurar a taxa de juros simples oferecida por esta operação. i M C n = − 1 i= − 44750 35000 1 9 i = 0,03095 = 3,095% Exemplo 4.14 Uma aplicação de $ 244.000,00 rendendo uma taxa de juros simples de 1,9% ao mês produz, ao final de determinado período, juros no valor de $ 31.000,00. Calcular o prazo da aplicação. n M C i = − 1 n = − 275 000 244 000 1 0 019 . . , n = 6,686 meses ou 7 meses 22 Unidade I Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 Exemplo 4.15 Uma empresa tomou $ 3.500,00 emprestados para pagar dentro de 7 meses, a uma taxa de juros simples igual a 5,5% a.m. Calcule o valor futuro dessa operação. M = C.(1 + i . n) M = 3.500.(1 + 0,055 . 7) M = $ 4.847,50 Exemplo 4.16 Uma aplicação feita no regime de juros simples rendeu um montante igual a $ 780,00 após 6 meses, a uma taxa de 9,5% a.m. Qual o capital inicial da operação? C M i n = + ⋅( )1 C = + ⋅( ) 780 1 0 095 6, C = $ 496,81 Exemplo 4.17 O valor de $ 350,00 foi aplicado por seis meses, permitindo a obtenção de $ 480,00. Sabendo que o regime de capitalização é simples, calcule a taxa de juros mensal praticada durante a operação. i M C n = − 1 i= − 480 350 1 6 i =0,0619 = 6,19% 23 MATEMÁTICAFINANCEIRA Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 Exemplo 4.18 A quantia de $ 254,00 foi obtida como montante de uma aplicação de $ 78,00 feita à taxa de 2,5% a.m. no regime de capitalização simples. Qual a duração da operação? n M C i = − 1 n = − 254 78 1 0 025, n = 90,26 ou 91 meses 5 JUROS COMPOSTOS O regime de juros compostos é comumente usado no sistema financeiro e, com isso, o mais usual para cálculos de problemas financeiros do cotidiano. Uma particularidade dos juros compostos é que são juros gerados a cada período e incorporados ao principal para serem referência no cálculo dos juros do período seguinte, isto é, juros sobre juros. O momento quando os juros são incorporados ao valor principal é quando ocorre a capitalização. Abaixo, temos a expressão algébrica que demonstra os juros sobre juros em três períodos: 1º mês: M =C.(1 + i) 24 Unidade I Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 2º mês: o principal passa a ser o montante do mês anterior: M = C x (1 + i) x (1 + i) 3º mês: o principal passa a ser o montante do mês anterior: M = C x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) Dessa forma, é possível obter a fórmula: M=C.(1+i)n Algebricamente: C = M (1 + i)n Para calcular o juro: j=C.[(1+i)n–1] Importante: a taxa i tem de ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses. Obviamente, podem ser usadas outras unidades de tempo como ano, semestre, entre outras, mas sempre usar a mesma unidade para período e taxa. Para calcular o juro, basta diminuir o principal do montante ao final do período: J=M–C Exemplo 5 Se uma pessoa deseja obter R$ 26.750,00 dentro de onze meses, quanto deverá depositar hoje numa poupança que rende 1,65% de juros compostos ao mês? 25 MATEMÁTICA FINANCEIRA Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 C M i n = +( )1 C = + 26750 1 0 0165 11( , ) C = R$ 22.343,05 Exemplo 5.1 Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros composta de 3,5% a.m.? M = C . (1 + i)n M = 12000 (1 + 0,035 )8 M = R$ 15.801,71 Exemplo 5.2 Calcule o montante de um capital de R$6.750,00 aplicado a juros compostos, durante 13 meses, à taxa de 3,8% ao mês. C = R$6.750,00 n = 13 meses i = 3,8% a.m. = 0,038 M = ? M=C.(1+i)n M=6750.(1+0,038)13 M=10.961,48 Exemplo 5.3 Determinar o juro pago de um empréstimo de $ 87.520,00 pelo prazo de 6 meses à taxa composta de 3,35% ao mês. 26 Unidade I Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 j=C[(1+i)n–1] j = 87.520 [(1,0335 )6 – 1] j = $ 19.132,29 Exemplo 5.4 Calcule quanto se deve depositar hoje para resgatar $ 100.000,00 daqui a 15 meses, considerando a taxa de juro de 1,75% ao mês no regime de juros compostos. C = M / (1 + i)n C = 100.000 / (1+0,0175) 15 C = $ 77.087,46 Exemplo 5.5 Um financiamento foi desenvolvido após seis meses, desembolsando $ 141.852,00. Calcule a taxa de juro mensal dessa operação sabendo que o valor recebido pelo cliente foi $ 100.000,00. i = (M / C)1/n –1 i = (141.852 / 100.000)1/6 –1 i = 0,06 Exemplo 5.6 Hoje, foram aplicados $ 10.000,00 pelo prazo de 4 trimestres, com taxa de juro de 3,5 ao trimestre. Calcule o valor do resgate considerando o regime de juros compostos. M = C x ( 1 + i )n M = 10.000 x ( 1 + 0,035 )4 = $ 11.475,23 27 MATEMÁTICA FINANCEIRA Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 Exemplo 5.7 Calcule quanto deveria ser aplicado hoje para se resgatarem $ 10.000,00 daqui a doze meses, considerando a taxa de juro constante de 2,2% ao mês no regime de juros compostos. C = M / (1 + i)n C = 10000 / (1+0,022)12 C = $ 7.701,75 Exemplo 5.8 Um investidor tem R$ 11.000,00 para aplicar durante 4 meses. Consultou um determinado banco e recebeu as propostas de investimento: • I – 2,5% de juros simples ao mês; • II – 1,3% de juros compostos ao mês; • III – resgate de R$ 11.450,00, no final de um período de quatro meses. A considerar a situação hipotética acima, e, uma vez aplicado o dinheiro, não haja retirada alguma antes de quatro meses, julgue os itens seguintes: a) Se optar pela proposta I, ele terá, no final do 1º mês, R$11.275,00. b) Se optar pela proposta I, ele terá, no final do 2º mês, mais de R$11.500,00. c) Se optar pela proposta II, ele terá, no final do 2º mês, mais de R$11.250,00. d) Para o investidor, a proposta financeiramente menos favorável é a III. 28 Unidade I Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 Solução: C = 11000; n =4; iI = 0,025 Na proposta I, no final do primeiro mês: MI = 11000 * (1+0,025*1) MI = 11.275,00 Na proposta I, no final do segundo mês: MI = 11000 * (1+0,025*2) MI = 11.550,00 Logo, as alternativas a) e b) são verdadeiras. Solução: C = 11000; n =4; iI = 0,013 Na proposta II, no final do segundo mês: iII = 0,01 MII = 11.000 * (1+0,013)² MII = 11.287,86 Então, a alternativa c) também é verdadeira. Olhando para todas as opções de investimento, temos: MI = 11000 * (1+0,025*4) = 12.100,00 MII = 11.000 * (1+0,013) 4 = 11.583,25 • MI = 12.100,00 • MII = 11.583,25 • MIII = 11.450,00 Então, a alternativa d) também é verdadeira. 29 MATEMÁTICA FINANCEIRA Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 Exemplo 5.9 Calcule os juros compostos e o montante referentes a um capital de R$ 7.500,00 aplicado durante 6 meses à taxa de 10% a.m. C = R$ 7.500,00 i = 10% a.m. = 0,10 n = 6 meses J = ? M = ? M = C . (1 + i)n M = 7.500,00 . (1 + 0,10)6 M = 7.500,00 . 1,106 M = 7.500,00 . 1,77 M = 13.286,71 J = M – C J = 13.286,71 – 7.500,00 J = 5.786,71 ou J = C . [(1 + i)n – 1] J = 7.500,00 . [(1 + 0,10)6 – 1] J = 5.786,71 6 TAXAS PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES Para compreender o significado dessas taxas, é necessário reconhecer que toda operação envolve dois prazos: • prazo a que se refere a taxa de juros; • prazo de capitalização dos juros. A fim de exemplificar, um investimento paga aos investidores uma taxa de juros de 6% ao ano, a qual é capitalizada ao principal 30 Unidade I Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 todo mês por meio de um percentual proporcional de 0,5% ao mês. Portanto, temos dois prazos: prazo da taxa em ano e prazo da capitalização em mês. Para uso das fórmulas da matemática financeira, é necessário expressar esses prazos diferentes, na mesma unidade de tempo. 6.1 No regime de juros simples No regime de juros simples, essa transformação é processada pela denominada taxa proporcional de juros e é obtida pela divisão entre a taxa de juros considerada na operação e o número de vezes em que ocorrerão os juros (número de períodos de capitalização). Por exemplo, para uma taxa de juros de 25% a.a., se a capitalização for definida mensalmente (ocorrerão juros 12 vezes em um ano), o percentual de juros que incidirá sobre o capital a cada mês será: Taxa proporcional = 25% / 12 = 2,083% ao mês. A aplicação de taxas proporcionais é difundida em operações de curto e curtíssimo prazo como: cálculo de juros de mora, descontos bancários, apuração de encargossobre saldo devedor de conta corrente bancária etc. As taxas de juros simples são equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo: produzem o mesmo volume linear de juros. Exemplo 6 Em juros simples, um capital de $4.000,00, se aplicado a 5% ao mês ou 15% ao trimestre pelo prazo de um ano, produz o mesmo montante linear de juros: 31 MATEMÁTICA FINANCEIRA Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 J (5% a.m.) = $ 4.000,00 x 0,05 x 12 meses = $ 2.4000,00 J (15% a.t.) = $ 4.000,00 x 0,15 x 4 trimestres = $ 2.4000,00 Os juros produzidos pelas taxas lineares são iguais, portanto, equivalentes. Exemplo 6.1 Calcular a taxa de juros semestral proporcional de: 60% ao ano: Solução: i= =60 12 6 30 % . % ao semestre; 9% ao trimestre: Solução: i= =9 3 6 18 % . % ao semestre ou i=9%.2=18%. Exemplo 6.2 Demonstre se 36% ao ano é proporcional a 12% ao trimestre: Solução: 12 3 36 12 = Colocadas as taxas em proporções iguais para comparação, notamos que as taxas não são proporcionais, pois o produto dos meios (3x6) é diferente do produto dos extremos (12x12). 32 Unidade I Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 6.2 No regime de juros compostos No regime de juros compostos, o conceito de taxa equivalente permanece válido, diferenciando a fórmula de cálculo da taxa de juros. i iq q= + −1 1 onde: q = número de períodos de capitalização. Exemplo 6.3 Qual a taxa equivalente composta mensal de 10,3826% ao semestre? i6 6 1 0 103826 1= + −, i6 6 1103826 1 1 0166 1 0 0166= − = − =, , , ou 1,66% A um mesmo capital e prazo de aplicação, é financeiramente indiferente o rendimento de 1,66% ao mês ou 10,3826% ao semestre. A fim de demonstrar, usaremos um exemplo de aplicação de $ 50.000,00 aplicado por dois anos: Para i = 1,66% e n = 24 meses: M = 50.000,00 (1,0166)24 = $ 74.228,81 Para i = 10,3826% e n = 4 semestres: M = 50.000,00 (1,103826)4 = $ 74.228,81 33 MATEMÁTICA FINANCEIRA Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 Exemplo 6.4 A taxa Selic anual (do dia 8 de junho de 2004) foi de 15,84%. Calcule a taxa equivalente diária. i ia= + −( )1 1 1 252 ou i ia= + −1 1 252 (essas fórmulas são as mesmas!) i= + −( , )1 0 1584 1 1 252 = 0,00058366 Resposta: para as aplicações no mercado financeiro, em setembro de 2000, o Banco Central do Brasil definiu que o número de dias úteis do ano é de 252 dias. A taxa equivalente diária no regime de juros compostos com 252 dias úteis por ano é 0,0005837 ou 0,05837% ao dia útil. Exercício 6.5 No dia 1 de fevereiro de 2005, a operação foi fechada com taxa diária 0,066509%. Calcule a taxa equivalente anual. i=(1+id) 252–1 i=(1+0,00066509)252–1 i=0,1824008 Resposta: a taxa equivalente anual no regime de juros compostos considerando 252 dias úteis por ano é 0,1824 ou 18,24% ao ano de 252 dias úteis. Exercício 6.6 A taxa de juros de um financiamento está fixada em 4,2% a.m. em determinado instante. Qual a taxa acumulada para um ano? 34 Unidade I Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 i=(1+im) 12–1 i=(1+0,042)12–1 64% a.a. Exercício 6.7 A taxa de juros de um financiamento está fixada em 3,3% a.m. em determinado momento. Qual o percentual desta taxa acumulada para um ano? Capitalizar as seguintes taxas: • 2,3 % ao mês para um ano: ia=(1+0,023) 12–1 = 31,37% a.a. • 0,14% ao dia para 23 dias: id=(1+0,0014) 23–1 = 3,27% para 23 dias. • 7,45% ao trimestre para um ano: ia=(1+0,0745) 4–1 = 33,30% a.a • 6,75% ao semestre para um ano: ia=(1+0,0675) 2–1= 13,96% a.a. Exercício 6.8 Calcular a taxa equivalente composta a 34% ao ano para os seguintes prazos: • 1 mês: im = + −( , )1 0 34 1 1 12 = 2,47% a.m. • 1 quadrimestre: iq = + −( , )1 0 34 1 1 3 = 10,25% a.q. 35 MATEMÁTICA FINANCEIRA Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 • 1 semestre: is = + −( , )1 0 34 1 1 2 = 15,76% a.s. • 5 meses: im = + −( , )1 0 34 1 5 12 = 12,97% para 5 meses. • 10 meses: im = + −( , )1 0 34 1 10 12 = 27,62% para 10 meses. Exercício 6.9 Quais as taxas de juros compostos mensal e trimestral equivalentes a 25% ao ano? Solução: Taxa de juros equivalente mensal: i = 25% ao ano; q = 1 ano (12 meses) i12 121 0 25 1= + −, i12 12125 1= −, i12=1,877% a.m. Taxa de juros equivalente trimestral: q = 1 ano (4 trimestres) i4 4 1 0 25 1= + −, 36 Unidade I Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 i4 4 125 1= −, i4=5,737% a.t. 7 DESCONTO SIMPLES RACIONAL OU “POR DENTRO” Desconto simples racional, também chamado de desconto “por dentro”, assume os conceitos e relações básicas de juros simples. Dessa forma, Dr é o valor do desconto racional, C é o capital (ou valor atual), i é a taxa periódica de juros e n é o prazo do desconto (número de períodos em que o título é negociado antes de seu vencimento), tem-se abaixo a expressão de juros simples: Dr = C x i x n Pela definição de desconto, e incorporando o conceito de valor descontado no lugar do capital no cálculo do desconto, obtém-se: Dr = N – Vr Sendo que N é o valor nominal (ou valor de resgate ou montante) e Vr é o valor descontado racional (ou valor atual) na data da operação. Como: V C N i nr = = + ×1 Algebricamente, obtém-se o valor do desconto racional a juros simples: 37 MATEMÁTICA FINANCEIRA Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 D N N i n N i n N i n N N i n N i nr = − + × = + ×( ) − + × = + × × − + ×1 1 1 1 D N i n i nr = × × + ×1 O valor descontado é obtido pela seguinte expressão: Vr = N – Dr V N N i n i n N i n N i n i n N N i n N i n i nr = − × × + × = + ×( ) − × × + × = + × × − × × + ×1 1 1 1 V N i nr = + ×1 No desconto racional, o juro incide sobre o capital do título. A taxa de juro (desconte) cobrada representa o custo efetivo de todo o período do desconto. Exemplo 7 Seja um título de valor de $ 3.500,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 2 meses antes de seu vencimento. Sendo 48% a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o desconto e o valor descontado. Solução (graficamente): N=$3.500,00Vr i=48% a.a. 4% a.m. 0 10 12 (meses) Desconto: D N i n i nr = × × + ×1 38 Unidade I Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 Dr = × × + × = =3 500 00 0 04 2 1 0 04 2 280 00 1 08 259 26 . , , , , , $ , Valor descontado: Vr = N – Dr Vr = 3.500,00 – 259,29 = $ 3.240,71 ou V N i nr = + ×1 Vr = + × =3 500 00 1 0 04 2 . , , $ 3.240,71 Para o devedor, $ 259,26 representa o valor que está deixando de pagar por quitar a dívida antecipadamente. O valor líquido do pagamento (valor descontado) é de $ 3.240,71. Exemplo 7.1 Determinar a taxa mensal de desconto racional de um título negociado 90 dias antes de seu vencimento. O valor de resgate é $ 28.800,00 e valor atual na data do desconto é de $ 25.235,10. Solução: sabe-se que no desconto racional o desconto é aplicado sobre o valor atual dotítulo, ou seja, sobre o capital liberado. Dr = Vr x i x n e i D V n r r = × i Vr = − × = =28 800 00 25 235 10 3 1 563 90 48 872 20 0 047 25 23510 . , . , . , . , , . , 008 ou 4,708% a.m. 39 MATEMÁTICA FINANCEIRA Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 8 DESCONTO BANCÁRIO OU COMERCIAL OU “POR FORA” Esse tipo de desconto, simplificadamente, por incidir sobre o valor nominal (valor de resgate) do título, proporciona maior volume de encargos financeiros efetivos nas operações. A modalidade de desconto “por fora” é amplamente adotada pelo mercado em operações de crédito bancário e comercial em curto prazo. O valor desse desconto (desconto por fora) DF no regime de juros simples é determinado pelo produto do valor nominal do título (N), da taxa de desconto periódica “por fora” contratada na operação (d) e do prazo de antecipação definido para o desconto (n). Isto é: DF = N x d x n O valor descontado “por fora” (VF), aplicando-se a definição, é obtido: VF = N – DF VF = N – N x d x n VF=N(1–d x n) Exemplo 8 Determinar a taxa de desconto “por fora” de um título negociado 90 dias antes de seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a $ 27.500,00 e valor atual na data do desconto de $ 21.225,10. Solução: N=$27.500,00VF=$21.225,10 t – 3 t (meses) n = 3 meses 40 Unidade I Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 DF = N – VF DF = 27.500,00 – 21.225,10 ⇒ DF = $ 6.274,90 DF = N x d x n 6.274,90 = 27.500,00 x d x 3 6.274,90 = 82.500,00 x d d = =6.274,90 82 500 00 0 07606 . , , ou 7,606% ao mês Exemplo 8.1 Qual o valor do desconto bancário de uma duplicata de R$ 100,00 descontado 60 dias antes do vencimento, à taxa de desconto de 0,2% a.d.? Db = ? N = R$ 100,00 i = 0,2% a.d. = 0,002 a.d. n = 60 dias Db = N . i . n Db = 100,00 x 0,002 x 60 Db = R$ 12,00 O valor do desconto bancário é de R$ 12,00. Exercício 8.2 Uma empresa emitiu uma duplicata de R$ 7.500,00 a vencer em 03 de abril. No dia 19 de janeiro, descontou o título num banco que cobra 2,5% a.m. de desconto bancário. Calcular o valor de resgate do título. 41 MATEMÁTICA FINANCEIRA Re vi sã o: G er al do - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 06 /1 2/ 10 N = R$ 7.500,00 C = ? i = 2,5% a.m. = 0,025 a.m. n = 74 dias C = N (1 – i . n) C = 7.500,00 × − × 1 0 025 74 30 , C = 7.500,00 x (1 – 0,061667) C = 7.500,00 x 0,938333 C = 7.037,50 O valor do resgate é R$ 7.037,50.
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