Apostila - Matemática Financeira

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Direção UDC Online
SUMÁRIO
6Ementa
6OBJETIVOS E CONTEÚDO
6UNIDADE 1 - CONCEITOS GERAIS
6UNIDADE 2 – REGIME DE CAPITALIZAÇÃO
7UNIDADE 3 – JUROS SIMPLES
7UNIDADE 4 – JUROS COMPOSTOS
7UNIDADE 5 – DESCONTOS
7UNIDADE 6 - ANUIDADES E SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
9Bibliografia
10UNIDADE 1 – CONCEITOS GERAIS
10matemática financeira
10O que SÃO Finanças?
13UNIDADE 2 – REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO
13Regimes de Capitalização
16UNIDADE 3 – JUROS SIMPLES
17Cálculo do Capital , Taxa e Tempo
23TAXA NOMINAL, EQUIVALENTE E PROPORCIONAL EM JUROS SIMPLES.
27Taxas Equivalentes
28CÁLCULO DO MONTANTE
29Cálculo do Capital , Taxa e Tempo
29Cálculo do capital (C):
30Cálculo da taxa (i):
31Cálculo do tempo:
33Juro Comercial e Exato
36DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA
39UNIDADE 4 – JUROS COMPOSTOS
42TAXA NOMINAL, PROPORCIONAL E EQUIVALENTE EM JUROS COMPOSTOS
46Cálculo do capital (C):
47Cálculo da taxa (i):
48Cálculo do tempo:
50TAXAS NOMINAIS EM JURO COMPOSTO
50TAXA EFETIVA EM JURO COMPOSTO
53UNIDADE 5 – DESCONTOS
53DESCONTO SIMPLES BANCÁRIO, COMERCIAL OU POR DENTRO
54VALOR ATUAL COMERCIAL
54Cálculo do Desconto, Valor Atual, Valor Nominal, Taxa de Desconto e Tempo:
54Cálculo do Desconto:
55Cálculo do valor atual:
55Cálculo do Valor nominal:
56Cálculo da taxa:
57Cálculo do tempo:
59DESCONTO COMPOSTO BANCÁRIO, COMERCIAL OU POR FORA.
59Cálculo do Valor Atual
60Cálculo do Valor nominal
61Cálculo da taxa:
61Cálculo do tempo:
64UNIDADE 6 – ANUIDADES E SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
68AMORTIZAÇÕES
68Conceitos gerais:
69siSTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)
72SISTEMA FRANCÊS (SF)
75Sistema Price
78Respostas do módulo 6
PROFESSOR AUTOR
AZENIR PACHECO
SOBRE A DISCIPLINA
O material produzido para a disciplina de Matemática Financeira foi pensado em ajudá-lo no seu dia a dia e aplicação nas empresas e no mercado financeiro.
Podemos definir Matemática Financeira como, “a ciência que estuda o dinheiro no tempo” (Lawrence Jeffrey Gitman). O conhecimento de matemática financeira é indispensável para compreender e operar nos mercados, financeiro e de capitais, e atuar em administração financeira com baixo tempo e custo de decisão. Desta maneira, são os juros que induzem o adiamento do consumo, permitindo a formação de poupanças e a economia, recebendo novos investimentos. 
A Matemática Financeira é importante para as pessoas, famílias, para qualquer negócio, mesmo que seja uma empresa de pequeno, médio ou grande porte, ou uma sociedade anônima. Entender o arcabouço e as oscilações de mercado para uma tomada de decisão com objetivo de alcançar um equilíbrio financeiro é fundamental. O gestor financeiro precisa perceber e analisar o comportamento dos juros, dos financiamentos e os investimentos disponíveis no mercado, e assegurar que montantes estejam disponíveis em níveis adequados, no momento certo e ao menor custo para a sobrevivência da empresa.
Ementa
Abordaremos fundamentos básicos de matemática financeira, juros simples, desconto de duplicatas, desconto de títulos, valor de face e valor de mercado, juros compostos, valor do dinheiro no tempo, valor presente e valor futuro, taxa de desconto, valor e custo, equivalência de taxas de juros, períodos de capitalização, taxas anuais, mensais e diárias, perpetuidades e anuidades e sistemas de amortização.
OBJETIVOS E CONTEÚDO
Capacitar e desenvolver o raciocínio lógico-dedutivo. Fornecer conhecimentos elementares de Matemática Financeira, assegurando a base necessária à resolução de problemas financeiros. Desenvolver habilidades indispensáveis para a análise das alternativas de investimento e financiamento do ponto de vista conceitual e sua aplicação prática no mercado financeiro.
O conteúdo proposto na disciplina de Matemática Financeira foi dividido em Unidades da seguinte maneira.
UNIDADE 1 - CONCEITOS GERAIS
Este módulo apresenta a maior parte dos conceitos gerais de Matemática Financeira que irão apresentar os demais capítulos. Mostraremos a importância do conhecimento de uma operação financeira para as pessoas, famílias e empresas. Estudaremos conceitos e a relação de capital, juros, taxa de juro e também regime de capitalização a juro simples e composto, e empréstimos.
UNIDADE 2 – REGIME DE CAPITALIZAÇÃO 
Neste módulo, apresentaremos os princípios básicos de Matemática Financeira e a evolução dos juros em regime de juros simples e compostos. Taxa unitária aplicada nas equações e a importância do entendimento em Matemática Financeira para a função da gestão financeira da empresa e mercados financeiros. 
UNIDADE 3 – JUROS SIMPLES
Em juros simples, vamos mostrar a simplicidade de cálculo e raciocínio, pois facilita muito no aprendizado das operações financeiras. Serão feitos exercícios de como calcular o juro, montante, capital, tempo, taxas equivalentes e proporcionais.
UNIDADE 4 – JUROS COMPOSTOS
Neste módulo, vamos analisar as diferenças entre os regimes de capitalizações e o conceito das principais taxas e suas aplicações. Mostrar a importância financeira dos juros compostos por retratar melhor a realidade do mercado financeiro. Como calcular montante, juro, taxas equivalentes e proporcionais, a diferença entre taxa nominal e taxa efetiva. 
UNIDADE 5 – DESCONTOS
Neste módulo, vamos estudar os descontos simples, compostos e bancários usados no mercado financeiro. O objetivo é constituir-se de um capital em data futura de um título e resgatá-lo antecipadamente mediante a um desconto. Vamos calcular valor atual, o desconto concedido, valor nominal, taxa de desconto e o tempo de antecipação. Em termos financeiros, quando uma pessoa física ou jurídica oferece um desconto, a empresa necessita avaliar se o pagamento compensa ou não. 
UNIDADE 6 - ANUIDADES E SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
Neste módulo, vamos apresentar e calcular as anuidades antecipadas e postecipadas, quando o objetivo é constituir um capital em data futura, tem-se um processo de capitalização. Quando se quer pagar uma dívida, tem-se um processo de amortização. Vamos conhecer os principais sistemas de amortização, como sistema de amortização constante (sac), sistema francês e tabela “price”. Em termos financeiros, quando uma pessoa física ou jurídica faz um empréstimo e recebe um valor monetário por um determinado prazo, obriga-se a devolver o valor emprestado mais os juros devidos. 
Bibliografia
ASSAF NETO, ALEXANDRE. MATEMÁTICA FINANCEIRA E SUAS APLICAÇÕES. 8ª ED. SÃO PAULO: ATLAS, 2006.
BRANCO, ANISIO COSTA CASTELO BRANCO. MATEMÁTICA FINANCEIRA APLICADA – MÉTODO ALGÉBRICO, HP-12 E MICROSOFT EXCEL. 3 ª ED. SÃOPAULO: EDITORA THOMSON PIONEIRA, 2010.
FARO, CLOVIS. FUNDAMENTO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA. 3ª ED. SARAIVA: SÃO PAULO, 2006.
CRESPO, ANTÔNIO ARNOT. MATEMÁTICA FINANCEIRA FÁCIL. 14ª ED. SÃO PAULO : SARAIVA, 2009.
GITMAN, LAWRENCE J. PRINCÍPIOS DE ADMINISTRAÇÃO FINANCEIRA. 12ª ED. SÃO PAULO, EDITORA PEARSON, 2010.
MATHIAS, WHASHINGTON FRANCO; GOMES, JOSE MARIA. MATEMÁTICA FINANCEIRA. 6ª ED. SÃO PAULO: EDITORA ATLAS, 2010.
UNIDADE 1 – CONCEITOS GERAIS
matemática financeira
Matemática financeira é importante para qualquer tipo de empresa com ou sem fins lucrativos e, também, para o nosso dia a dia. Para entender de matemática financeira, é necessário frequentar um curso de administração ou um curso de finanças. Qual a necessidade de se estudar matemática financeira? Pense um pouco sobre esse assunto.
A palavra ADMINISTRAÇÃO vem do latim, AD (junto de) e MINISTRATIO (prestação de serviço), e significa a ação de prestar serviço ou ajuda.
Modernamente, ADMINISTRAÇÃO representa não somente o governo e a condução de uma empresa, mas também todas as atividades relacionadas com: PLANEJAMENTO, ORGANIZAÇÃO, DIREÇÃO (COMANDO) e, CONTROLE. 
O que SÃO Finanças?
Finanças, segundo Gitman, podemos definir como “a arte e a ciência de administrar o dinheiro”. Praticamente, todos os indivíduos e organizações obtêm receitas ou levantam fundos, gastam ou investem. Finanças ocupa-se do processo, instituições, mercados e instrumentos envolvidos na transferência de fundos entre pessoas, empresas e governos.
Matemática Financeira: Dentre várias definições, “é a ciência que estuda o dinheiro no tempo” (Lawrence Jeffrey Gitman). O conhecimento de matemática financeira é indispensável para compreender e operar nos mercados, financeiro e de capitais, e atuar em administração financeira com baixo tempo e custo de decisão. Desta maneira, são os juros que induzem o adiamento do consumo, permitindo a formação de poupanças e a economia, recebendo novos investimentos. 
Qual o objetivo principal da matemática financeira?
A matemática financeira busca, essencialmente, analisar a evolução do dinheiro ao longo do tempo, determinando o valor das remunerações relativas ao seu tempo.
· Capital (C): é a representação da moeda circulante.
· Juros (J): é a remuneração do dinheiro ajustada entre o tomador e o emprestador.
· Taxa de Juros (i): é a razão entre os juros recebidos (ou pagos) ao final de um período de tempo e, o capital inicialmente empregado. Sempre está relacionada com a unidade de tempo (dia, mês, bimestre, trimestre, quadrimestre, semestre, ano e etc...).
· Tempo (n): é o período em que ocorre a relação entre os fatores financeiros. O tempo é expresso em uma unidade de tempo da seguinte forma: Ao dia (a.d.), ao mês (a.m.), ao bimestre (a.b.), ao trimestre(a.t.), ao quadrimestre (a.q.), ao semestre (a.s.) e ao ano (a.a.).
· Forma porcentual: A taxa é dada na forma porcentual, acompanhada por uma unidade de tempo ao dia (a.d.), ao mês (a.m.), ao bimestre (a.b.), ao trimestre(a.t.), ao quadrimestre (a.q.), ao semestre (a.s.) e ao ano (a.a.). Exemplo: 20% ao ano, 2% ao mês, 10% ao semestre e assim por diante. É necessário transformar a taxa na forma unitária, ou seja, que se obtém após dividir por 100. 
A seguir, temos exemplos de como transformar a forma porcentual na forma unitária ou taxa unitária. É necessária essa transformação para calcular o montante, capital, juro e tempo. 
	Forma Porcentual
	Transformação
	Forma Unitária
	36% a.a.
	_ 36_ 
100
	0,36
	18% a.s.
	 18_
100
	0,18
	12% a.q.
	 12_ 
100
	0,12
	8% a.t.
	 _ 8__
100
	0,08
	1,5% a.m.
	 1,5_ 
100
	0,015
	0,1% a.d.
	 0,1_ 
100
	0,001
Exercícios:
1. Transforme, na forma unitária, a taxa de 2,5% ao mês. (R. 0,025).
2. Transforme, na forma unitária, a taxa de 24% ao ano. (R. 0,24).
3. Qual é a forma unitária da taxa de 0,07% ao dia? (R. 0,007).
4. Qual é a forma unitária da taxa de 1,5% ao bimestre? (R. 0,015).
UNIDADE 2 – REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO
Regimes de Capitalização
Entende-se por regime de capitalização o processo de formação de juro. Temos dois regimes de capitalização: a juros simples (linear) e a juro composto (exponencial).
No regime de capitalização a juros simples, é como se fosse uma progressão aritmética, ou seja, somente o capital (C) inicial rende juro, o juro gerado no final de cada período (n) não é incorporado ao capital que tínhamos no início da aplicação. Neste caso, em regime de juros simples, os juros não são capitalizados.
Exemplo: Uma empresa solicita um empréstimo no valor de R$ 1.000,00 em regime de juros simples, pagando uma taxa de juros de 10% ao ano, pelo prazo de 5 anos. O quadro a seguir mostra a evolução dos juros a cada período, durante os 5 anos da operação financeira.
	Ano 
(períodos)
	Saldo inicial de cada período (R$)
	Juros calculados a cada ano (R$)
	Saldo devedor ao final de cada período (R$)
	Evolução anual do saldo devedor (R$)
	Início do 1º ano
	-
	-
	1.000,00
	-
	Fim do 1º ano
	1.000,00
	0,10 x 1.000,00 = 100,00
	1.100,00
	100,00
	Fim do 2º ano
	1.100,00
	0,10 x 1.000,00 = 100,00
	1.200,00
	100,00
	Fim do 3º ano
	1.200,00
	0,10 x 1.000,00 = 100,00
	1.300,00
	100,00
	Fim do 4º ano
	1.300,00
	0,10 x 1.000,00 = 100,00
	1.400,00
	100,00
	Fim do 5º ano
	1.400,00
	0,10 x 1.000,00 = 100,00
	1.500,00
	100,00
No regime de capitalização composta, os juros são incorporados ao capital inicial, porém, os juros passam a render juros no período seguinte, uma progressão geométrica (PG). Neste caso, em regime de juro composto, os juros são capitalizados.
Exemplo: Vamos analisar agora o mesmo exemplo anterior, porém, em regime de juro composto, um capital de R$ 1.000,00, pagando uma taxa de juros de 10% ao ano, pelo prazo de 5 anos. O quadro a seguir mostra a evolução dos juros a cada período, durante os 5 anos da operação financeira.
	Ano 
(períodos)
	Saldo inicial de cada ano (R$)
	Juros calculados 
a cada ano
 (R$)
	Saldo devedor ao final de cada ano (R$)
	Evolução anual do saldo devedor (R$)
	Início do 1º ano
	-
	-
	1.000,00
	-
	Fim do 1º ano
	1.000,00
	0,10 x 1.000,00 = 100,00
	1.100,00
	100,00
	Fim do 2º ano
	1.100,00
	0,10 x 1.000,00 = 110,00
	1.210,00
	110,00
	Fim do 3º ano
	1.210,00
	0,10 x 1.000,00 = 121,00
	1.331,00
	121,00
	Fim do 4º ano
	1.331,00
	0,10 x 1.000,00 = 133,10
	1.464,00
	133,10
	Fim do 5º ano
	1.464,10
	0,10 x 1.000,00 = 146,41
	1.610,51
	146,41
Enfim, comparando e analisando o crescimento anual em regime de juro simples e, em regime de juro composto, temos a seguinte situação no quadro a seguir:
	Ano
	Capitalização simples
	Capitalização composta
	Diferença: Composta-Simples
	
	Juros anuais ($)
	Saldo devedor ($)
	Juros
Anuais ($)
	Saldo devedor ($)
	Juros anuais ($)
	Saldo devedor ($)
	Início do 1º ano
	-
	1.000,00
	-
	1.000,00
	-
	-
	Fim do 1º ano
	100,00
	1.100,00
	100,00
	1.100,00
	-
	-
	Fim do 2º ano
	100,00
	1.200,00
	110,00
	1.210,00
	10,00
	10,00
	Fim do 3º ano
	100,00
	1.300,00
	121,00
	1.331,00
	21,00
	31,00
	Fim do 4º ano
	100,00
	1.400,00
	133,10
	1.464,10
	33,10
	64,10
	Fim do 5º ano
	100,00
	1.500,00
	146,41
	1.610,51
	46,41
	110,51
É importante ressaltar que, no mercado financeiro e de capitais, seguem as leis da capitalização em juros compostos, ou seja, os juros são capitalizados. Os juros simples, em que os juros não são capitalizados, são para questões didáticas. São raras as operações financeiras e comerciais praticadas no mercado financeiro a juros simples, normalmente, são operações realizadas no âmbito do curto prazo.
UNIDADE 3 – JUROS SIMPLES
No conceito de juros simples, o resultado é sempre obtido sobre o valor principal, sem incorporação ao capital, para efeito de cálculo dos juros de um período sobre o período seguinte.
Assim temos:
C - o capital inicial ou principal;
J - o juro simples;
n - o tempo de aplicação (ou período);
i - a taxa de juro (na forma unitária)
A fórmula do juro Simples:
Exemplos:
1. Tomou-se emprestada a importância de R$ 1.500,00 pelo prazo de 2 anos, à taxa de 30% ao ano.Qual será o valor do juro a ser pago em regime de juros simples?
Resolução:
Então, temos:
J = ?
C = R$ 1.500
n = 2 anos
i = 30 % a.a → 30 ÷ 100 = 0,30
Como:
J = C x i x n 
J = 1.500 x 0,30 x 2
J = 900
Assim temos: O juro a ser pago é de:
R$ 900,00
2. Um investidor aplicou a importância de 2.000,00 pelo prazo de 3 meses, à taxa de 1% ao mês. Qual o valor do juro a receber?
Resolução:
Então, temos:
J = ?
C = R$ 2.000
n = 3 meses
i = 1 % a.m → 1 ÷ 100 = 0,01
Como:
J = C x i x n 
J = 2.000 x 0,01 x 3
J = 60
Assim temos: O juro a ser pago é de:
R$ 60,00
Cálculo do Capital, Taxa e Tempo 
Para se calcular a taxa (i), o capital (c) ou o tempo (n), basta utilizarmos as regras básicas de matemática, isolando a incógnita desejada da fórmula dos juros simples. 
 
Exemplo:
Vamos resolver o exemplo número 1, dado anteriormente, do capital (C), taxa (i) e tempo (n).
Cálculo do capital (C):
O juro a ser pago de um empréstimo é de R$ 900,00, o prazo é de 2 anos, à taxa correspondente a 30% ao ano. Qual o valor do capital do empréstimo?
Resolução:
Então, temos:
C = ?
J = R$ 900,00
n = 2 anos
i = 30 % a.a → 30 ÷ 100 = 0,30
Como:
J = C x i x n 
900 = C x 0,30 x 2
900 = C x 0,6
900 ÷ 0,6 = C
1.500 = C → C = 1.500
Assim temos: O capital do empréstimo é de:
R$ 1.500,00
Cálculo da taxa (i):
1. Tomou-se emprestada a importância de R$ 1.500,00 pelo prazo de 2 anos, o juro corresponde a R$ 900,00. Qual será a taxa do empréstimo em regime de juros simples?
Resolução:
Então, temos:
 i = ?
C = R$ 1.500
J = R$ 900,00
n = 2 anos
Como:
J = C x i x n 
900 = 1500 x i x 2
900 = 3.000 x i
900 ÷ 3.000 = i
0,3 = i → i = 0,3 
A resposta da equação é dada na forma unitária (i = 0,3), neste caso da taxa (i), temos que multiplicar por 100 para transformarmos em porcentagem.
I = 0,3 x 100 = 30 → i = 30% a.a.
Assim temos: A taxa do empréstimo é de:
30% ao ano.
Cálculo do tempo (n):
Tomou-se emprestada a importância de R$ 1.500,00, à taxa de 30% ao ano, o juro pago corresponde a R$ 900,00. Qual será o tempo dessa operação?
Resolução:
Então, temos:
n = ?
C = R$ 1.500
J = R$ 900,00
 i = 30% a.a → 30 ÷ 100 = 0,3
Como: 
J = C x i x n 
900 = 1.500 x 0,3 x n
900 = 450 x n
900 ÷ 450 = n → n = 2 
Assim temos: O tempo que durou o empréstimo é de:
2 anos.
Exercícios:
1. Qual foi o juro pago por um empréstimo de R$ 7.500,00, à taxa de 5% ao bimestre, durante 4 bimestres? (R. R$ 1.500,00).
2. Calcule o juro produzido, a uma taxa aplicada de 1,5% ao mês, durante 6,5 meses, cujo capital corresponde a R$ 8.500,00. (R. R$ 828,75)
3. Um banco emprestou R$ 3.000,00 a um cliente, a taxa aplicada foi de 3% ao mês, durante 12 meses. Quanto de juro o cliente pagou ao banco? (R. R$ 1.080,00)
4. Um capital foi aplicado à taxa de 45% ao ano em 12/02/90. Em 03/05/90, foi efetuado o resgate no valor de R$ 107.800. Qual o valor do capital inicial? (R$ 98.000).
5. Um investidor aplicou R$ 200.000 no dia 06/01/90, à taxa de 27% ao ano. Em que data esse capital elevar-se-á a R$ 219.500? (16/05/90).
6. Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 3.200, pelo prazo de 18 meses, sabendo que a taxa cobrada é de 3% ao mês? (R$ 1.728).
7. Calcule o juro simples do capital de R$ 36.000, colocado à taxa de 30% ao ano, de 2 de janeiro de 1990 a 28 de maio do mesmo ano. (R$ 4.380,)
8. Qual a taxa de juro cobrada em um empréstimo de R$ 1.500 a ser resgatado por R$ 2.700 no final de 2 anos? (40% a.a.)
9. A que taxa o capital de R$ 24.000 rende R$ 1.080 em 6 meses? (0,75% a.m.).
10. Um capital de R$30.000, aplicado durante 10 meses, rende juro de R$6.000. Determine a taxa correspondente. (2% a.m.). 
11. Um capital emprestado a 24% ao ano rendeu, em 1 ano, 2 meses e 15 dias, o juro de R$ 7.830. Qual foi esse capital? ( R$ 27.000,).
12. Uma aplicação de R$ 400.000 em letra de câmbio, pelo prazo de 180 dias, obteve o rendimento de R$ 60.000. Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? (30% a.a.).
13. Qual é o tempo em que um capital de R$ 96.480, a 25% ao ano rende R$ 79.395 de juro? (3 a, 3 me, 15 d).
14. Sabendo que o juro de R$ 120.000 foi obtido com a aplicação de R$ 150.000, à taxa de 8% ao trimestre, calcule o prazo. (2 a e 6 me).
TAXA NOMINAL, EQUIVALENTE E PROPORCIONAL EM JUROS SIMPLES.
Como não existe capitalização, as taxas equivalentes e proporcionais acabam sendo as mesmas. O importante é trabalharmos com o regime de tempo adequado, conforme vimos no exemplo anterior. Desta forma, teremos para uma taxa de 24% ao ano:
	TAXA NOMINAL anual
	24%
	Taxa equivalente/proporcional para 1 mês
	 2%
	Taxa equivalente/proporcional para 3 meses 
	 6% 
	Taxa equivalente/proporcional para 6 meses
	12% 
	Taxa equivalente /proporcional para 12 meses
	24% 
	Taxa equivalente/proporcional para 18 meses
	36% 
Exemplo:
Calcular o juro produzido pelo capital de R$ 2.500,00:
a. à taxa de 3% ao mês, durante 6 meses;
b. à taxa de 9% ao trimestre, durante 2 trimestres.
Resolução do primeiro caso; temos:
a. J = ?
C = R$ 2.500
n = 6 meses
i = 3% % a.m → 3 ÷ 100 = 0,03
Como:
J = C x i x n 
J = 2.500 x 0,03 x 6
J = 450
Assim temos: O juro a ser pago é de:
 R$ 450,00
Resolução do segundo caso; temos:
b. J = ?
C = R$ 2.500
n = 2 trimestres
i = 9% % a.t → 9 ÷ 100 = 0,09
Como:
J = C x i x n 
J = 2.500 x 0,09 x 2
J = 450
Assim temos: O juro a ser pago é de:
R$ 450,00
Exemplos:
1. Qual a taxa equivalente proporcional mensal a 24% ao ano?
Resolução:
Se 1 ano tem 12 meses; 
logo, temos: im = 24 ÷ 12 
 im = 2%
Assim temos: A taxa equivalente mensal é: 
2% a.m.
2. Qual a taxa equivalente proporcional mensal a 0,05% ao dia?
Resolução:
Se 1 mês tem 30 dias;
logo, temos: im = 0,05 x 30 
 im = 1,5% 
Assim temos: A taxa equivalente proporcional mensal é: 
 
1,5% a.m.
3. Qual a taxa equivalente proporcional anual de 3% ao bimestre?
Resolução:
Se 1 ano tem 6 bimestres, logo, temos:
ia = 3 x 6 
ia = 18%
Assim temos: A taxa equivalente proporcional anual é: 
18% a.a.
Exercícios:
1. Calcule a taxa equivalente proporcional mensal dos seguintes casos:
a. 5% a.b.
b. 18% a.s.
c. 0,06% a.d.
d. 12% a.a.
2. Calcule a taxa equivalente proporcional anual dos seguintes casos:
a. 2,5% a.m.
b. 8% a.t.
c. 18% a.s.
d. 0,1% a.d.
3. Calcule a taxa equivalente proporcional diária dos seguintes casos:
a. 32,4% a.a.
b. 18% a.s.
c. 1,5% a.m.
d. 9% a.b.
Respostas: Questão 1. (a. 2,5% a.m.); (b. 3% a.m); (c. 1,8% a.m.) e (d. 1% a.m.)
 Questão 2. (a. 30% a.a.); (b. 32% a.a.); (c. 32% a.a.) e (d. 36% a.a.)
 
 Questão 3. (a. 0,09% a.d); (b. 0,1% a.d); (0,05% a.d.) e (d. 0,15% a.d.)
Taxas Equivalentes
Quando duas taxas são aplicadas a um mesmo capital e produz o mesmo juro durante o mesmo período (tempo), podemos afirmar que essas duas taxas são equivalentes.
Exemplo:
Calcular o juro do capital de R$ 2.400,00 aplicados nos seguintes casos:
a. Aplicação de 3% ao mês, durante 12 meses; e
b. Aplicação de 6% ao bimestre, durante 6 bimestres.
Resolução:
Então, temos:
a. J = ?
C = R$ 2.400
n = 12 meses
 i = 3 % a.m 
3 ÷ 100 = 0,03
Como:
J = C x i x n 
J = 2.400 x 0,03 x 12
J = 864
Assim temos: O juro a ser pago é de:
R$ 864,00
b. J = ?
C = R$ 2.400
n = 6 trimestres
 i = 6 % a.m 
6 ÷ 100 = 0,06
Como:
J = C x i x n 
J = 2.400 x 0,06 x 6
J = 864
Assim temos: O juro a ser pago é de:
R$ 864,00
CÁLCULO DO MONTANTE
Montante (M): é o valor acumulado dos juros e do capital.
Temos: 
 Ou
Exemplo:
Qual será o montante que um aplicador receberá, investindo R$ 25.000,00, durante 17 meses, à taxa de 1,5% ao mês?
Resolução:
Então, temos:
M = ?
C = R$ 25.000,00
n = 17 meses
i = 1,5 % a.m. → 1,5 ÷ 100 = 0,015
Como:
M = C x (1 + i x n)
M = 25.000 x (1 + 0,015 x 17)
M = 31.375
Assim temos: O montante a ser recebido pelo investidoré de:
R$ 31.375,00
Exemplo: 
Um capital de R$10.000,00, aplicados à taxa de juros de 2% ao mês, durante 6 meses. Qual o juro e montante em regime de juros simples?
Cálculo do Capital , Taxa e Tempo 
Para se calcular a taxa (i), o capital (c) ou o tempo (n), basta utilizarmos as regras básicas de matemática, isolando a incógnita desejada da equação dos juros simples. 
Vamos resolver o exemplo dado anteriormente utilizando a fórmula do montante.
Cálculo do capital:
Exemplo:
Qual o capital de uma operação financeira, sabendo que o montante é de R$ 11.200,00, aplicados à taxa de juros de 2% ao mês, durante 6 meses em regime de juros simples? 
Resolução:
Então, temos:
C = ?
M = R$ 11.200,00
n = 6 meses
i = 2% a.m. → 2 ÷ 100 = 0,02
Como:
M = C x (1 + i x n)
11.200 = C x (1 + 0,02 x 6)
11.200 = C x 1,12
11.200 ÷ 1,12 = C
10.000 = C → C = 10.000
Assim temos: O capital do empréstimo é de:
R$ 10.000,00
Cálculo da taxa:
Exemplo:
Qual a taxa de uma operação financeira, aplicados a um capital de R$ 10.000,00, sabendo que o montante é de R$ 11.200,00, durante 6 meses, em regime de juros simples? 
Resolução:
Então, temos:
 i = ?
C = R$ 10.000,00
M = R$ 11.200,00
n = 6 meses
Como:
M = C x (1 + i x n)
11.200 = 10.000 x (1 + i x 6)
11.200 ÷ 10.000 = 1 + i x 6
1,12 – 1 = i x 6
0,12 ÷ 6 = i → i = 0,02 
A resposta da equação é dada na forma unitária (i = 0,02), neste caso da taxa (i), temos que multiplicar por 100 para transformarmos em percentagem.
I = 0,02 x 100 = 2 → i = 2% a.m.
Assim temos: A taxa do empréstimo é de:
2% ao mês.
Cálculo do tempo:
Qual o tempo de uma operação financeira, aplicado a um capital de R$ 10.000,00, sabendo que o montante é de R$ 11.200,00, à taxa de 2% ao mês, em regime de juros simples? 
Resolução:
Então, temos:
n = ?
C = R$ 10.000,00
M = R$ 11.200,00
 i = 2% a.m → 2 ÷ 100 = 0,02
Como: 
M = C x (1 + i x n)
11.200 = 10.000 x (1 + 0,02 x n)
11.200 ÷ 10.000 = 1 + 0,02 x n
1,12 – 1 = 0,02 x n
0,12 ÷ 0,02 = n → n = 6 meses
Assim temos: O tempo que durou o empréstimo é de:
6 meses.
O quadro abaixo mostra, com mais detalhes, como é calculado o juro e o montante a cada período, em regime de juros simples. 
	Capital [C]
	Taxa de Juros [i]
	Prazo [n]
	Juros
	Montante M=C+J
	10.000,
	2% x 1 = 2%
	 1 mês
	200,00
	10.200,00
	10.000,
	2% x 2 = 4%
	2 meses
	400,00
	10.400,00
	10.000,
	2% x 3 = 6%
	3 meses
	600,00
	10.600,00
	10.000,
	2% x 4 = 8%
	4 meses
	800,00
	10.800,00
	10.000,
	 2% x 5 = 10%
	5 meses
	1.000,00
	11.000,00
	10.000,
	 2% x 6 = 12%
	6 meses
	1.200,00
	11.200,00
A seguir, mostramos a representação gráfica do quadro acima do cálculo dos juros simples. Podemos observar no gráfico que, em juros simples, temos uma função linear, onde o crescimento é constante, formando uma reta.
Juro Comercial e Exato
Juro comercial: Todos os meses são considerados com 30 dias, o ano com 360 dias. A taxa nominal anual corresponde a 24% ao ano.
Juros exatos: Nos juros exatos consideramos os meses conforme o calendário civil, ou seja, o ano é considerado com 365 ou 366 se o ano for bissexto, os meses são considerados com 28 ou 29 para o mês de fevereiro, 29, caso o ano seja bissexto, e 30 e 31 dias para os demais meses do ano, conforme o calendário. 
Vamos considerar um período de 6 meses, de 01/07 a 31/12, a uma taxa de juros anual de 24% ao ano.
Então, no juro comercial temos os seguintes cálculos, utilizando a fórmula do montante M = C x (1 + i x n):
	M (30 dias) = 10.000,00 x (1 + 0,24 x 30) = 10.200,00
 360
	M (60 dias) = 10.000,00 x (1 + 0,24 x 60) = 10.400,00
 360
	M (90 dias) = 10.000,00 x (1 + 0,24 x 90) = 10.600,00
 360
	 M (120 dias) = 10.000,00 x (1 + 0,24 x 120) = 10.800,00
 360
	 M (150 dias) = 10.000,00 x (1 + 0,24 x 150) = 11.000,00
 360
	 M (180 dias) = 10.000,00 x (1 + 0,24 x 180) = 11.200,00
 360
Já nos juros exatos podemos observar que os juros serão maiores, devido a uma quantidade maior de dias a cada mês, levando em consideração o calendário civil.
	Capital [C]
R$ 10.000,00
Taxa de Juros (i)
2% x 12 = 24%
	Prazo [n]
	Juros
	Montante M=C+J
	
	Julho-31 dias
	203,84
	10.203,84
	
	Agosto-31 dias
	407,67
	10.407,67
	
	Setembro-30 dias
	604,93
	10.604,93
	
	Outubro-31 dias
	802,19
	10.802,19
	
	Novembro-30 dias
	999,45
	10.999,45
	
	Dezembro-31 dias
	1.203,29
	11.203,29
Utilizando a equação do montante (M) em juros simples, temos os seguintes cálculos dos juros exatos: 
Fórmula do montante em juros simples → M = C x (1 + i x n)
	M (30 dias) = 10.000,00 x (1 + 0,24 x 31) = 10.203,84
 365
	M (60 dias) = 10.000,00 x (1 + 0,24 x 62) = 10.407,67
 365
	M (90 dias) = 10.000,00 x (1 + 0,24 x 92) = 10.604,93
 365
	 M (120 dias) = 10.000,00 x (1 + 0,24 x 122 = 10.802,19
 365
	 M (150 dias) = 10.000,00 x (1 + 0,24 x 152) = 10.999,45
 365
	 M (180 dias) = 10.000,00 x (1 + 0,24 x 183) = 11.203,29
 365
Juros conforme o sistema bancário: Considera-se o ano comercial de 360 dias e os meses conforme o calendário civil. Neste caso, temos os seguintes cálculos dos juros bancários:
	Capital [C]
10.000,00
Taxa de Juros (i)
2% x 12 = 24%
	Prazo [n]
	Juros
	Montante M=C+J
	
	Julho-31 dias
	206,67
	10.206,67
	
	Agosto-31 dias
	413,33
	10.413,33
	
	Setembro-30 dias
	613,33
	10.613,33
	
	Outubro-30 dias
	813,33
	10.813,33
	
	Novembro-30 dias
	1.013,33
	11.013,33
	
	Dezembro-31 dias
	1.220,00
	11.220,00
Na tabela a seguir, podemos observar como os cálculos são feitos. A taxa que está expressa em ano (24% ao ano) deve ser transformada na forma unitária, ou seja, (24 ÷ 100) que será 0,24. Em seguida, dividida pelo ano comercial (360 dias), (0,24 ÷ 360) para ser transformada para dias, e multiplicada pelos dias de cada período correspondente a cada mês do ano civil. 
Fórmula do montante em juros simples → M = C x (1 + i x n)
	M (30 dias) = 10.000,00 x (1 + 0,24 x 31) = 10.206,67
 360
	M (60 dias) = 10.000,00 x (1 + 0,24 x 62) = 10.413,33
 360
	M (90 dias) = 10.000,00 x (1 + 0,24 x 92) = 10.613,33
 360
	 M (120 dias) = 10.000,00 x (1 + 0,24 x 122 = 10.813,33
 360
	 M (150 dias) = 10.000,00 x (1 + 0,24 x 152) = 11.013,33
 360
	 M (180 dias) = 10.000,00 x (1 + 0,24 x 183) = 11.220,00
 360
Vamos comparar os resultados obtidos das três modalidades:
	Ordinários
	Exatos
	Bancários
	10.200,00
	10.203,84
	10.206,67
	10.400,00
	10.407,67
	10.413,33
	10.600,00
	10.604,93
	10.613,33
	10.800,00
	10.802,19
	10.813,33
	11.000,00
	10.999,45
	11.013,33
	11.200,00
	11.203,29
	11.220,00
Observação: No Sistema Financeiro e Comercial, costumam-se utilizar os Juros calculados conforme o Sistema Bancário, correntemente conhecido como “Juros Bancários”.
 DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA 
A representação gráfica do fluxo de caixa facilita o entendimento e a aplicação das funções financeiras. Vejamos a seguinte figura:
O fluxo financeiro (entradas e saídas) são representados por flechas verticais fixadas em uma linha horizontal que representa o tempo (ou períodos) em que ocorre ( Linha do Tempo). As entradas e saídas devem ter sentidos diferentes, não importando se estão no início ou no fim da transação financeira.
Exemplo: Represente graficamente uma série de depósitos ocorridos durante 5 meses com períodos iguais, e sacado ao final do 6º mês.
 Exercícios em Juros Simples:
1. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00, à taxa de 2,5% ao mês, durante 24 meses. (R$ 8.000,00).
2. Qual vai ser o montante de um aplicador se investir R$ 7.500,00 em 18 meses, à taxa de 12% ao ano? (R. R$ 8.850,00).
3. Qual será o capital inicial para que uma pessoa possa ter em 36 meses um montante de R$ 9.240,00, a uma taxade 18% ao ano? (R. R$ 6.000,00).
4. Um aplicador recebeu um montante de R$ 11.200,00, aplicados em 20 meses, sabendo que a taxa de aplicação foi de 3% ao mês. Calcule o capital inicial da aplicação. (R. R$ 7.000,00).
5. Uma pessoa aplicou R$ 30.000,00 no mercado financeiro e, após 5 anos, recebeu o montante de R$ 60.000,00. Qual foi a taxa anual? (20% ao ano).
6. Uma empresa toma emprestado o valor de R$ 8.500,00 e promete pagar, após 16 meses, a quantia de R$ 12.580,00. Qual a taxa de juro contratada pela empresa? (R. 3% a. m.)
7. Qual o tempo que deve ser aplicado um capital de R$ 6.000,00 para formar um montante de R$ 8.160,00, sabendo que a taxa da aplicação é de 1,5% ao mês? (R. 24 meses).
8. Um capital foi aplicado no valor de R$ 10.000,00 e, após certo período de tempo, gerou um valor de R$ 17.200,00; a taxa aplicada nessa operação foi de 24% ao ano. Por quanto tempo ficou o dinheiro aplicado? (R. 3 anos).
UNIDADE 4 – JUROS COMPOSTOS
No conceito de juros compostos existe a capitalização dos juros sobre o valor principal a cada período. Note que, aqui, a variável tempo é representada pela letra n. Vamos tomar o valor de R$ 10.000,00, taxa de juros de 2% ao mês, com prazo de 6 meses, e verificar o comportamento do gráfico seguinte.
Exemplo 1: Considerando os dados do gráfico acima, é fácil verificarmos que a evolução dos juros capitalizados poderia ser representada por uma série de juro composto, em que o valor anterior de cada período representa o valor inicial do período seguinte. Assim, temos:
	PERÍODO
	CAPITAL
	TAXA PERIÓDICA
	MONTANTE
	1
	10.000,00
	2%
	10.200,00
	2
	10.200,00
	2%
	10.404,00
	3
	10.404,00
	2%
	10.612,08
	4
	10.612,08
	2%
	10.824,32
	5
	10.824,32
	2%
	11.040,81
	6
	11.040,81
	2%
	11.261,62
No entanto, é obvio verificarmos que este método seria muito demorado e trabalhoso. Para facilitar, vamos utilizar da tabela anterior para verificarmos que:
MONTANTE = [CAPITAL + (CAPITAL X TAXA DE JUROS) ], 
ou M = [C + (C x i) ] = C (1 + i )
Assim, temos para cada período, o acréscimo da série ( 1 + i) que, no nosso caso, corresponde a (1,02) . 
	PERÍODO
	CAPITAL
	TAXA PERIÓDICA
	MONTANTE
	1
	10.000,00
	(1,02)
	10.200,00
	2
	10.000,00
	(1,02)(1,02)
	10.404,00
	3
	10.000,00
	(1,02)(1,02)(1,02)
	10.612,08
	4
	10.000,00
	(1,02)(1,02)(1,02)(1,02)
	10.824,32
	5
	10.000,00
	(1,02)(1,02)(1,02)(1,02)(1,02)
	11.040,81
	6
	10.000,00
	(1,02)(1,02)(1,02)(1,02)(1,02)(1,02)
	11.261,62
Poderemos, então, facilmente deduzir que, para n períodos, teremos n vezes repetida a série (1 + i ). Assim, podemos afirmar que, para se calcular o montante, tem-se a seguinte equação:
Com esta fórmula, podemos calcular o valor do montante composto para qualquer período, sem necessidade de seguirmos uma série. 
Para calcular o juro temos:
Observe os seguintes cálculos:
Exemplo:
Calcule o montante produzido por R$ 2.500,00, aplicados em uma operação financeira em regime de juro composto, à taxa de 4% ao mês, durante 3 meses.
Resolução:
Temos: 
C = R$ 2.500
n = 3 meses
 i = 4 % a. m. → transformando na forma unitária temos: 0,04
Substituindo os valores acima, na equação abaixo, temos:
 n
M = C x (1 + i)
 3
M = 2.500 x (1 + 0,04) 
M = 2.812,16
Logo, o valor do montante é corresponde a R$ 2.812,16.
E o juro é de R$ 312,16 (2.812,16 - 2.500). 
TAXA NOMINAL, PROPORCIONAL E EQUIVALENTE EM JUROS COMPOSTOS
As taxas proporcionas são aquelas que formam uma proporção. O importante é trabalharmos com o regime de tempo adequado, em regime de juros compostos é necessário observarmos a capitalização. Abaixo, temos um exemplo da taxa de 24% ao ano. Devemos transformar a taxa na mesma unidade de tempo em relação aos períodos (n), como em juros simples.
Observação: Se a capitalização for mensal, temos que transformar a taxa (i) e o tempo (n) em meses. Caso a capitalização seja diária, devemos transformar a taxa e o tempo (n) em dias.
Exemplo:
Calcular o montante em juros compostos de um capital no valor de R$ 5.000,00. O banco cobra uma taxa de 24% ao ano, o tempo da operação é de um ano, capitalizados mensalmente. 
Resolução:
M = ?
C = R$ 5.000,00
n = 1 ano
 i = 24 % a. m.
 Logo, temos que transformar a taxa (i) e o tempo (n) na mesma unidade da seguinte forma:
n = 1 ano → n = 12 meses
 i = 24 % a. m.
 i = 24 ÷ 12 → i = 2% a. m .
 Na forma unitária, temos a taxa 0,02 (2 ÷ 100)
Substituindo os valores acima na equação abaixo, temos:
M = C x (1 + i)n 
M = 5.000 x (1 + 0,02)12 
M = 6.341,20
Logo, o valor do montante é R$ 6.341,20.
O juro é de R$ 1.341,20 (6.341,20 – 5.000)
Vamos, agora, fazer o mesmo exemplo acima com capitalização diária. Temos que transformar a taxa e o tempo na mesma unidade, ou seja, em dias.
n = 1 ano → n = 360 dias (ano comercial)
 i = 24 % a. m.
i = 24 ÷ 360 → i = 0,06666% a. d .
Na forma unitária, temos a taxa 0,000666666 (0,0666666 ÷ 100)
Substituindo os valores acima na equação abaixo, temos:
M = C x (1 + i)n
M = 5.000 x (1 + 0,24 ÷ 360)360 
M = 6.355,73
Logo, o valor do montante é R$ 6.355,73
O juro é de R$ 1.355,73 (6.355,71 – 5.000)
No quadro a seguir temos a taxa nominal anual e as taxas proporcionais.
	TAXA NOMINAL anual
	24%
	Taxa proporcional para 1 mês
	 2%
	Taxa proporcional para 3 meses 
	 6% 
	Taxa proporcional para 6 meses
	12% 
	Taxa proporcional para 12 meses
	24% 
	Taxa proporcional para 18 meses
	36% 
Exemplo:
Calcular o montante e juro produzidos pelo capital de R$ 2.500,00 em regime de juros compostos:
a. à taxa de 3% ao mês, durante 6 meses;
b. à taxa de 9% ao trimestre, durante 2 trimestres.
Resolução do primeiro caso; temos:
a. M = ?
J = ?
C = R$ 2.500
n = 6 meses
i = 3% % a.m → 3 ÷ 100 = 0,03
Como:
M = C x (1 + i)n
M = 2.500 x (1 + 0,03)6 
M = 2.985,13
Assim temos; o montante é de:
 R$ 2.985,15
E o juro é:
J = 2.985,13 - 2.500
J = 485,13
E o juro a ser pago é de:
 R$ 485,13
Resolução do segundo caso; temos:
b. M = ?
C = R$ 2.500
n = 2 trimestres
i = 9% % a.t → 9 ÷ 100 = 0,09
Como:
M = C x (1 + i)n
M = 2.500 x (1 + 0,09)2
Assim temos: o montante é de:
R$ 2.970,25
E o juro é:
J = 2.970,25 - 2.500
J = 470,25
E o juro a ser pago é de: R$ 470,25
Percebe-se que, nos dois casos, os juros produzidos não são iguais, logo, podemos dizer que 3% ao mês e 9% ao trimestre são proporcionais, como não produzem o mesmo juro, concluímos que em juros compostos, duas taxas proporcionais não são equivalentes.
Cálculo do capital:
Exemplo:
Qual o capital de uma operação financeira, sabendo que o montante é de R$ 2.812,16, aplicados à taxa de juros de 4% ao mês, durante 3 meses, em regime de juros compostos? 
Resolução:
Então, temos:
C = ?
M = R$ 2.812,16
n = 3 meses
i = 4% a.m. → 2 ÷ 100 = 0,04
Como:
M = C x (1 + i)n
2.812,16 = C x (1 + 0,04)3
2.812,16 = C x 1,124864
2.812,16 ÷ 1,124864 = C
2.500 = C → C = 2.500
Assim temos: o capital da operação financeira é de:
R$ 2.500,00
Cálculo da taxa:
Exemplo:
Qual a taxa de uma operação financeira, sabendo que o montante é de R$ 2.812,16, aplicados a um capital de R$ 2.500,00, durante 3 meses, em regime de juros compostos? 
Resolução:
Então, temos:
i = ?
M = R$ 2.812,16
C = R$ 2.500,00
n = 3 meses
Como:
M = C x (1 + i)n
2.812,16 = 2.500 x (1 + i)3
2.812,16 ÷ 2.500 = (1 + i)3
1,124864 = (1 + i)3
1,124864 (1÷ 3) = 1 + i
1,04 - 1 = i
0,04 = i → i = 0,04 x 100 (multiplica-se por 100 para transformar em percentagem) → i = 4%
Assim temos: A taxa da operação financeira é de:
4% ao mês.
Cálculo do tempo:
Qual o tempo de uma operação financeira, aplicados a um capital de R$ 2.500,00, sabendo que o montante é de R$ 2.812,16, à taxa de 4% ao mês, em regime de juro composto? 
Resolução:
Então, temos:
n = ?
C = R$ 2.500,00
M = R$ 2.812,16
 i = 4% a.m → 4 ÷ 100 = 0,04
Como: 
M = C x (1 + i)n
2.812,16 = 2.500 x (1 + 0,04)n
2.812,16 ÷ 2.500 = 1,04n
1,124864 = 1,04n
Log 1,124864 = n x log 1,04
Log1,124864 ÷ log 1,04 = n
3 = n → n = 3
Assim temos: O tempo que durou a operação financeira é de:
3 meses.
Exercícios em Juros Compostos
1) Calcule o montante em juros compostos, de uma aplicação de R$ 8.000,00, à taxa de 3% a.m., pelo prazo de 14 meses. (R. R$ 12.100,00)
2) Determine o juro de uma aplicação composta de R$ 20.000,00, à taxa de 4,5% a.m., capitalizado mensalmente durante 8 meses. (R. R$ 8.442,00)
3) Qual o montante produzido, em regime da capitalização composta, pelo capital de R$ 6.800,00, aplicado durante 4 meses à taxa de 3,8% a.m? (R. R$ 7.894,00)
4) Calcule o montante em juros compostos de R$ 8.500,00, a uma taxa de 2,5% a.m. , durante 40 meses. (R. R$ 22.823,00)
5) Determine o capital aplicado a uma taxa de 3,5 % a.m, sabendo que, após 8 meses, rendeu um montante de R$ 19.752 com capitalização composta. (R. R$ 15.000,00)
6) Em que prazo uma aplicação de R$ 100.000,00 produzirá um montante de R$ 146.853,00 à taxa de 3% a.m? (juros compostos). (R. 13 meses)
7) Um capital de R$ 20.00,00 foi aplicado em juros compostos, durante 7 meses, rendendo R$ 3.774,00 de juro. Determine a taxa de aplicação. (R. 2,5% a.m.)
8) O capital de R$ 12.000,00, capitalizados mensalmente durante 8 meses, elevou-se no final desse prazo a R$ 15.559,00. Calcule a taxa de juro composto. (R. 3,3% a. m.)
9) O capital de R$ 9.200,00 foi colocado em regime de capitalização composta durante 2 anos, à taxa de 36% a.a. Qual o montante? (R. R$ 17.016,32)
10) Quanto devo aplicar em regime de juro composto à taxa de 30% a.a., para obter, em 1 ano e 3 meses, a importância de R$ 6.941,00, capitalizados mensalmente? (R. R$ 4.792,52)
11) A que taxa mensal foi empregada, a juros compostos, uma importância de R$ 82.000,00 para acumular em 5 meses e 21 dias o montante de R$ 97.048,00. (R. 3% a. m.)
12) O capital de R$ 18.000,00 foi colocado por 2 anos a 20% a.a., capitalizados trimestralmente em juros compostos. Qual o montante? (R. R$ 26.594,00) 
 TAXAS NOMINAIS EM JURO COMPOSTO
Também conhecida como taxa contratada, é aquela representada sem a capitalização dos juros. Por exemplo, em uma taxa de 12% a.a. (taxa nominal) capitalizada mensalmente, teremos uma taxa de juros final de 1% ao mês.
TAXA EFETIVA EM JURO COMPOSTO
É quando a formação e incorporação dos juros ao capital inicial (capitalização) coincidem com aquele a que a taxa se refere. Por exemplo, para uma taxa de 1% a.m. (taxa efetiva), capitalizada mensalmente, teremos uma taxa de juros nominal de 12% a.a. e uma taxa de juros efetiva de 12,68% a.a.
Assim, sendo:
if → a taxa efetiva
i → a taxa nominal
K → o número de capitalizações para um período 
Exemplo:
Calcule a taxa efetiva anual, quando uma taxa nominal é de 18% ao ano, capitalizada mensalmente.
Temos então:
i = 18% a.a. → 18 ÷ 100 + 0,18 (transformação para a forma unitária)
1 ano = 12 meses
 i = 0,18 ÷ 12 = 0,015 
 0,015 (na forma unitária mensal)
Logo:
 k
1 + if = (1 + i)
 12
1 + if = (1 + 0,015)
if = 1,1956 – 1
if = 0,1956 x 100 = 19,56 → 
Logo, a taxa efetiva é de:
19,56% a.a.
A taxa nominal é de: 
18% a.a.
Exercícios: 
1) Calcular a taxa efetiva anual de:
a) 19% a.a. (capitalização mensal); (R. 20,74% a.a.)
b) 18% a.a. (capitalização bimestral); (R. 19,40% a.a.)
c) 36% a.a. (capitalização diária); (R. 43,30% a.a.)
d) 24% a.a. (capitalização mensal); (R. 26,82% a.a.)
e) 40% a.a.(capitalização semestral). (R. 44% a.a.)
E aqui ocorre uma interessante situação, em que no período singular, os juros compostos são menores que os juros simples. Observe o gráfico seguinte: 
Trata-se da representação de duas funções: uma linear (sequência 1 em preto), e outra exponencial (sequência 2 em cinza). Assim, podemos observar que em um determinado instante (10) as duas são iguais numericamente. Este instante é o n = 1 em que os juros simples e compostos são iguais. Após n = 1 em compostos, observamos que a série 2 tem um aumento exponencial tornando-se maior que no simples. 
UNIDADE 5 – DESCONTOS
DESCONTO SIMPLES BANCÁRIO, COMERCIAL OU POR DENTRO
Desconto comercial, bancário ou por fora, é o equivalente ao juro simples que significa a diferença entre o valor nominal de um título e o seu valor no momento da negociação, à uma taxa fixada ou o abatimento efetuado sobre um valor previamente determinado para o resgate, onde:
d → o valor do desconto comercial
N → o valor nominal do título
 i → é a taxa de juros nominal da operação.
n → é o prazo da operação
A → o valor atual comercial ou valor descontado comercial
Observe o diagrama do fluxo de caixa
Temos então a fórmula do desconto comercial:
ou
VALOR ATUAL COMERCIAL
Chamamos de valor atual comercial ou valor descontado comercial.
Representado pela equação:
ou
Cálculo do Desconto, Valor Atual, Valor Nominal, Taxa de Desconto e Tempo:
Cálculo do Desconto:
Exemplo:
Um título de R$ 5,500,00 vai ser descontado à taxa de 2,5% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine o valor do desconto comercial e o valor atual comercial.
Temos:
N = R$ 6.000,00
n = 45 dias
i = 2,5% a.m. = 0,025 (2,5 ÷ 100)
Na equação:
d = N x i x n
Temos a resolução:
d = 6.000 x 0,025 ÷ 30 x 45
d = 225
O desconto comercial é de:
R$ 225,00
Cálculo do valor atual:
A = N – d
Temos:
A = 6.000 – 200
A = R$ 5.775,
O valor atual é:
R$ 5.775,00
Ou, então, utilizando a equação:
A = N (1 - i x n)
Temos:
A = 6000 x (1 – 0,025 ÷ 30 x 45)
A = 5.775,
Isto é, o valor atual é de 
R$ 5.800,00
Temos então, a representação gráfica:
Cálculo do Valor nominal:
Exemplo:
Um título obteve um desconto de R$ 200,00 e a taxa de desconto foi de 2,5% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine o valor nominal do título.
Temos:
N = ?
d = R$ 225,00
n = 45 dias
i = 2,5% a.m. = 0,025 (2,5 ÷ 100)
Substituindo na equação:
d = N x i x n
225 N x 0,025 ÷ 30 x 45
225 = N x 0,0375
225 ÷ 0,0375 = N → N = 6.000
O valor do título é de :
R$ 6.000,00
Cálculo da taxa:
Exemplo:
Um título de R$ 5,500,00 vai ser descontado 45 dias antes de seu vencimento, o valor do título corresponde a R$ 6.000,00. Determine a taxa de desconto utilizada nessa operação.
Temos:
 i = ?
N = R$ 6.000,00
d = R$ 225,00
n = 45 dias ou 1,5 meses
Substituindo na equação:
d = N x i x n
Resolução:
225 = 6.000 x i x 1,5
225 = 9.000 x i 
225 ÷ 9.000 = i → i = 0,025 x 100
i = 2,5
A taxa de desconto é de:
2,5% a.m.
Cálculo do tempo:
Exemplo:
Um título de valor nominal de R$ 5,500,00 vai ser descontado à taxa de 2,5% ao mês. O valor do título corresponde a R$ 6.000,00. Determine o tempo de antecipação do título.
Temos:
n = ?
N = R$ 6.000,00
d = R$ 225,00
i = 2,5% a.m. = 0,025 (2,5 ÷ 100)
Substituindo na equação:
d = N x i x n
225 = 6.000 x 0,025 x n
225 = 150 x n 
225 ÷ 150 = n → n = 1,5
n = 1,5 x 30 → n = 45
O tempo de antecipação do título é de:
45 dias.
Exercícios:
1) Determine o valor de desconto comercial de um título de valor nominal de R$ 6.200,00, descontando 5 meses antes do seu vencimento, à taxa de 3% ao mês. (R. R$ 930,00)
2) Determine o valor do desconto comercial de um título de R$ 9.500,00, faltando 90 dias para o vencimento do título, à taxa de 3% ao mês. (R. R$ 855,00). 
3) O valor nominal de um título é R$ 5.340,00 com vencimento para 24 meses, à taxa de 36% ao ano. Qual é o valor atual do título. (R. R$ 1.495,20).
4) Desejamos resgatar um título, cujo valor nominal é de R$ 7.000, faltando ainda 3 meses antes de seu vencimento. Calcule seu valor atual, sabendo que a taxa de desconto é de 3,5% ao mês. (R. R$ 6.265,00)
5) Qual valor atual do título e a taxa de desconto, cujo valor do título é de R$ 4.250, e foi resgatado 7 meses antes de seu vencimento? O desconto concedido foi de R$ 305, capitalizados mensalmente. (R. R$ 3.945,00 e i = 1,1% a.m.).
6) Calcule o valor atual de um título de R$ 40.000,00, resgatando 1 ano e 4 meses antes de seu vencimento,sendo a taxa de desconto de 24% ao ano, capitalizados mensalmente. (R. R$ 27.200,00)
7) A que taxa foi descontada uma dívida de R$ 5.000,00 que, paga 5 meses antes de seu vencimento, se reduziu a R$ 3.750,00? (R. i = 5% a.m.)
8) Calcule o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 4% ao mês. O valor da duplicata é de R$ 9.900,00 e foi resgatada antes de seu vencimento por R$ 7.128,00. (R. 7 meses).
9) Qual o tempo de antecipação de um título no valor de R$ 3.600,00, sabendo que a taxa de desconto é de 3% ao mês? O valor com desconto do título a ser pago é de R$ 3.334,00. (R. 2 meses)
DESCONTO COMPOSTO BANCÁRIO, COMERCIAL OU POR FORA.
Em desconto composto, o conceito de desconto no regime de capitalização composta é o mesmo em desconto simples. É um abatimento que é dado quando se antecipa um pagamento de um título.
Cálculo do Valor Atual
Na equação abaixo temos uma descapitalização, (1 + i) - n = representada pelo n (uma função exponencial), já em desconto simples, temos uma função linear. O capital A que, colocado a juros compostos à taxa i, produz no fim dos n períodos, o montante N.
Assim, temos a equação:
Exemplo:
Determine o valor atual e desconto de um título de R$ 900,00, quitado 5 meses antes de seu vencimento. A taxa aplicada nesse desconto composto foi de 3% ao mês.
Utilizamos a equação → A = N x (1 + i)-n
Temos:
A = ?
d = ? 
N = R$ 900,00
n = 5 meses
 i = 3% a.m. = 0,03
Resolução:
A = 900 (1 +0,03)-5
A = 776,34
O valor atual do título a ser resgatado é: R$ 776,34
Para calcular o desconto temos:
d = N – A
d = 900 – 776,34
d = 123,66
O desconto do título é de:
R$ 123,66
Cálculo do Valor nominal
Exemplo:
Determine o valor nominal de um título pago 5 meses antes de seu vencimento. A taxa aplicada nesse desconto composto foi de 3% ao mês e o valor do título com desconto é R$ 776,34.
Utilizando a equação → A = N x (1 + i)-n
 
Temos:
N = ?
A = R$ 776,34
n = 5 meses
 i = 3% a.m. → 0,03 (3 ÷ 100)
Resolução:
776,34 = N x (1 + 0,03)-5 
776,34 = N x 0,86260
776,34 ÷ 0,86260 = N → 900
O valor nominal do título é de :
R$ 900,00
Cálculo da taxa:
Exemplo:
Determine a taxa de desconto composto de um título de valor de R$ 900,00, pago 5 meses antes de seu vencimento. O valor do título a ser pago com desconto é R$ 776,34.
Utilizando a equação → A = N x (1 + i)-n
 
Temos:
 i = ?
N = R$ 900,00
A = R$ 776,34
n = 5 meses
Resolução:
776,34 = 900 x (1 + i)-5 
776,34 = 900 x (1 + i)-5 
776,34 ÷ 900 = (1 + i)-5
0,8626 ( 1 ÷ -5) = 1 + i
1,03 – 1 = i
 i = 0,03 x 100 → i = 3
O valor da taxa é de:
3% ao Mês
Cálculo do tempo:
Exemplo:
Determine o tempo de antecipação de um título de valor de R$ 900,00. A taxa de desconto composto é de 3% ao mês e o valor do título a ser pago com desconto é R$ 776,34.
Utilizando a equação → A = N x (1 + i)-n
Temos:
 n = ?
N = R$ 900,00
A = R$ 776,34
i = 3% ao mês
Resolução:
776,34 = 900 x (1 + 0,03)-n 
776,34 ÷ 900 = 1,03-n 
0,8626 = 1,03-n 
log 0,8626 = - n x log 1,03
log 0,8626 ÷ log 1,03 = - n 
(- 1 x) - n = - 5 (- 1 x) → (multiplicar os dois termos por -1)
Logo, temos o valor positivo de: 
n = 5
 
O valor do tempo é de:
5 meses
Exercícios (desconto composto)
1) Determine o valor do desconto composto comercial de um título de R$ 9.000,00, faltando 3 dias para o vencimento do título, à taxa de 3% ao mês. (R. R$ 763,72).
2) Calcule o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto composto comercial foi de 4% ao mês. O valor da duplicata é de R$ 9.600,00 e foi resgatada antes de seu vencimento por R$ 7.295,21. (R. 7 meses).
3) O valor nominal de um título é R$ 5.500,00, com vencimento para 16 meses, à taxa de 36% ao ano, com capitalização composta mensal. Qual é o valor atual do título. (R. R$ 3427,41). 
4) Qual o valor atual do título e a taxa de desconto composto, cujo valor do título é de R$ 4.300,00 e foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento? O desconto concedido foi de R$ 248,00, capitalizados mensalmente. (R. A = R$ 4052,00 e i = 2% a.m.).
5) Desejamos resgatar um título cujo valor nominal é de R$ 7.500,00, faltando ainda 4 meses para o seu vencimento. Calcule o desconto, sabendo que a taxa de desconto composto é de 3,5% ao mês. (R. R$ 964,18).
6) Calcule o valor atual de um título de R$ 25.000,00, resgatado 1 ano e 2 meses antes de seu vencimento, sendo a taxa de desconto composto de 24% ao ano, capitalizados mensalmente. (R. R$ = 18946,87).
7) Determine o valor de desconto composto de um título de valor nominal de R$ 4.200,00, descontado 5 meses antes do seu vencimento, à taxa de 3% ao mês. (R. R$ 577,04).
8) Qual a taxa de desconto composto que foi descontada uma dívida de R$ 4.800,00 que, paga 5 bimestres antes de seu vencimento, se reduziu a R$ 3.586,83? (R. 6% a.b.).
9) Por um título de R$ 2.350,00 paguei R$ 2.027,13, com um desconto composto de 3% ao mês. De quanto tempo antecipei o pagamento em regime de desconto composto? (R. 5 meses).
UNIDADE 6 – ANUIDADES E SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
No mercado financeiro, um determinado capital pode ser investido como, por exemplo, caderneta de poupança. Pode ser paga ou recebida uma conta à vista ou dividida em períodos, como já foi visto anteriormente. Nesses casos, temos capitalização quando investimos, e amortização, quando pagamos dívidas. 
Neste módulo, estudaremos como calcular os juros, as parcelas de amortizações e montantes envolvidos em capitalizações e amortizações.
Rendas
Chamamos de renda quando uma sucessão de depósitos ou de prestações, em períodos diferentes, é realizada na finalidade de formar um capital ou saldar uma dívida. 
Quando temos uma sucessão de prestações ou depósitos chamamos de termos da renda. Período da renda é o intervalo de tempo entre dois vencimentos.
Exemplo:
Se um consumidor compra um bem de consumo durável em 10 vezes mensais, no valor de R$ 100,00 cada prestação, uma prestação é chamada de termo de renda. Já o período, cada mês, é mensal.
a) Rendas certas ou anuidades: Quando é prefixado o número de períodos, os vencimentos, as taxas e os valores a serem pagos.
Exemplo: Compra de um automóvel pago em prestações.
b) Rendas aleatórias: Quando são aleatórias as datas de pagamento ou de recebimentos.
Exemplo: Seguro de vida, os períodos são indeterminados e o valor do seguro a receber também.
Periódica: Quando o período da renda é sempre o mesmo; já, chamamos de não-periódica, quando o período da renda é variável. 
Nas rendas periódicas, se o período é o mês, bimestre, trimestre ou ao ano temos, respectivamente, renda mensal, bimestral, trimestral ou anual.
Se a renda tiver todos os termos iguais, dizemos que ela é constante; o contrário, é chamada de variável.
Quanto à data do vencimento ou recebimento, temos:
a) Imediata: Os termos são exigidos a partir do primeiro período, ou seja, na data da assinatura do contrato.
b) Antecipada: Na data zero ocorre o vencimento do primeiro termo.
c) Diferida: A contar da zero, o vencimento se dá no fim de um determinado período que não seja o primeiro.
Modelo básico de anuidade
Exemplo
Um comerciante compra um automóvel que pretende pagar em 4 prestações mensais de R$ 2.750,00, sem entrada. As prestações serão mensais, cobradas a partir do primeiro mês à compra. Será cobrada, pela financeira, uma taxa de 2% ao mês. Qual o preço do carro a vista?
Vamos representar da seguinte forma:
R → a prestação
C → o capital
 i → a taxa 
n → o tempo (período)
Logo temos:
A somatória do valor atual (P) dada por:
C = R1 ÷ (1,02)1 + R2 ÷ (1,02)2 + R3 ÷ (1,02)3 + R4 ÷ (1,02)4
Logo: se → R1 = R2 = R3 = R4 
Temos:
C = R { 1 ÷ (1,02)1 + 1 ÷ (1,02)2 + 1 ÷ (1,02)3 + 1÷ (1,02)4 }
C = R { 0,980392 + 0,961169 + 0,942322 + 0,923845}
Assim, R = 2.750, tem-se:
C = 2.750 x 3,807728 = 10.452,10
O valor do automóvel à vista é de:
R$ 10.452,10
O valor atual do modelo básico pode ser calculado pela seguinte equação:
Utilizando a equação temos:
a n┐i = 1 – (1 + i)- n 
 
 i
Assim, a substituição na equação fica:
a 4 ┐2 = 1 – (1 + 0,02)- 4 = 3,807728 (usar 6 casas após a vírgula)
 
 0,02
O coeficiente usado para 4 parcelas, a uma taxa de 2% ao mês é:
3,807728
Como a prestação é R$ 2750,00, temos:
C = 2.750 x 3,807728 = 10452,10
O valor do automóvel à vista é de:
R$ 10.452,10
Exercícios:
1) Uma geladeira custa R$ 2.500,00 à vista. A loja financia, sem entrada, em 10 prestações mensais, com taxa de juro de 3% ao mês. Calcule a prestação a ser paga pelo consumidor. (R. R$ 293,07)
2) Um automóvel está sendo anunciado por uma concessionária por R$ 5000,00 de entrada e 24 prestações iguais de R$755,00. A taxa de juro cobrada pela mesma é de 2,5% ao mês. Calcule o preço à vista do automóvel. (R. R$ 18503,16)
3) Qual é o preço de uma mercadoria à vista, sabendo que a prestação mensal é de R$ 350,00, se a taxa cobrada é de 3% ao mês e o prazo para pagamento são 24 meses? (R. R$ 5927,43)
4) Uma loja anuncia um jogo de quarto por R$ 3500,00 à vista; a prazo, vende em 12 prestações, à taxa de 2,5% ao mês, com uma entrada de R$ 800,00. Qual o valor das prestações? (R$ 243,71)
5) Um produto é vendido em 30 prestações iguais no valor de R$ 202,41 sem entrada. A taxa cobrada pelo comerciante é de 4% ao mês. Qual é o valor à vista do produto? (R$ 3500,00)
AMORTIZAÇÕES
Conceitos gerais:
Uma certa dívida é gerada quando um valor monetário é emprestado por um certo período de tempo.
Os empréstimos podem ser de curto prazo, médio prazo e longo prazo.
Os juros devem ser calculados sempre sobre o saldo devedor.
Algumas Definições:
Mutante ou Credor: a pessoa ou instituição que fornece o empréstimo.
Mutuário ou Devedor: a pessoa ou instituição que recebe o empréstimo.
Taxa de juros: é a taxa empregada no valor do empréstimo.
IOF: imposto sobre operações financeiras.
Prazo de Utilização: intervalo de tempo em que recursos estão disponíveis para o saque.
Prazo de Carência: intervalo de tempo que um devedor tem para começar a pagar o empréstimo. 
Parcelas de Amortização: corresponde aos valores das parcelas de devolução do capital emprestado. 
Prazo de Amortização: tempo em que são pagas as amortizações.
Prestação: é o valor a ser pago pelo devedor somando a amortização mais juros e encargos.
Prazo Total do Financiamento: o total de tempo que levará até quitar todo o empréstimo solicitado.
Saldo Devedor: o valor devido pelo devedor, depois de pagas as amortizações em dado instante.
Tempo ou período de Amortização: é o espaço de tempo entre duas amortizações.
siSTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)
• Os valores das parcelas de amortização são iguais.
• Os juros a serem pagos devem ser calculados sobre o saldo devedor.
Representação gráfica:
Prestação
Exemplo:
1) Uma Instituição financeira empresta a uma empresa o valor de R$ 80.000,00 e o banco entrega, de uma só vez, o valor solicitado. Foram concedidos 3 anos de carência. Os juros serão pagos anualmente, a taxa contratada de juros é de 10% ao ano em que o capital será amortizado anualmente em 4 parcelas. Construir a planilha.
	Lembre-se
R → a prestação
C → o capital
 i → a taxa 
n → o tempo (período)
Resolução: 
A amortização é anual, logo temos: 
C = 80.000 ÷ 4 = 20.000, 
A empresa deverá pagar 4 amortizações de:
R$ 20.000
Dizemos que o valor da prestação é a soma da amortização mais juro, ou seja:
R = Amortização +Juro
Vamos supor que a empresa pediu o empréstimo no início do ano e as prestações e os juros serão pagos no final de cada ano, logo, temos: 
Exemplo para o cálculo do juro:
C = R$ 80.000,
 I = 10% a.a. → 0,10 (10 ÷ 100) 
Temos, então: 
J = 80.000 x 0,10
J = 8.000
Logo, o juro é:
R$ 8.000,00
Temos, assim, a planilha:
	Anos
(n)
	Valor do saque
	Saldo devedor
	Amortização
	Juros
	Prestação
	0
	80.000,00
	80.000,00
	-
	-
	-
	1
	
	80.000,00
	-
	8.000,00
	8.000,00
	2
	
	80.000,00
	-
	8.000,00
	8.000,00
	3
	
	60.000,00
	20.000,00
	8.000,00
	28.000,00
	4
	
	40.000,00
	20.000,00
	6.000,00
	26.000,00
	5
	
	20.000,00
	20.000,00
	4.000,00
	24.000,00
	6
	
	-
	20.000,00
	2.000,00
	22.000,00
	Total
	
	
	80.000,00
	36.000,00
	116.000,00
	Observação:
Cálculo do saldo devedor → saldo devedor anterior – amortização = saldo devedor atual
Cálculo do juro → saldo devedor anterior x taxa (na forma unitária) = juro
Cálculo da prestação → amortização + juro = prestação
Exercícios:
1) Um banco empresta a uma empresa o valor de R$ 50.000,00, o qual entrega, de uma só vez, o valor solicitado. Foram concedidos 2 anos de carência e os juros serão pagos anualmente. A taxa contratada de juros é de 12% ao ano e o capital será amortizado, anualmente, em 5 parcelas anuais. Construir a planilha. (Resposta no final do módulo)
2) Uma instituição financeira emprestou a uma empresa o valor de R$ 60.000,00 que é entregue de uma só vez. No contrato, consta que o banco vai conceder 4 anos e uma carência de 3 anos que será paga anualmente, com pagamentos de juros na carência. O devedor pagará uma taxa de juro de 8% ao ano. Construir a planilha. (Resposta no final do módulo)
3) Um banco empresta a uma empresa o valor de $ 70.000,00. Com a intenção de receber em 5 anos, à taxa de 12% ao ano e com carência de 2 anos pelo sistema de amortização constante. Construir a planilha. (Resposta no final do módulo)
SISTEMA FRANCÊS (SF)
• Os valores a pagar das prestações são iguais entre si.
• Também é conhecido como sistema “PRICE”.
Representaçã7o gráfica:
A equação utilizada é dada a seguir:
A n┐i = 1 – (1 + i) - n 
 
 i
Sistema Francês (SF), com prazo de utilização unitário e sem prazo de carência.
Exemplo:
1) Um banco empresta R$ 100.000,00, entregues no ato, sem prazo de carência. Sabendo que o banco utiliza o sistema francês, que a taxa contratada foi de 10% a.a. e que o banco quer a devolução em 5 prestações anuais, construa a planilha.
Resolução: Se o principal vai ser devolvido em 5 prestações iguais e postecipadas, temos exatamente uma anuidade que se conforma ao nosso modelo básico:
Temos:
C = R$ 100.000,00
 i = 10% a.a.
n = 5 anos
Substituindo na equação, temos:
a 5 ┐10 = 1 – (1 + 0,10) - 5 = 3,790787
 
0,10
R = 100.000 ÷ 3,790787 = 26.379,75
Sendo assim, temos 5 prestações anuais de R$ 26.379,75 e, na planilha, temos: 
	Tempo
(n)
	Valor do saque
	Saldo devedor
	Amortização
	Juros
	Prestação
	0
	100.000,00
	100.000,00
	-
	-
	-
	1
	
	83.620,25
	16.379,75
	10.000,00
	26.379,75
	2
	
	65.602,53
	18.017,72
	8.362,03
	26.379,75
	3
	
	45.783,03
	19.819,50
	6.560,25
	26.379,75
	4
	
	23.981,58
	21.801,45
	4.578,30
	26.379,75
	5
	
	
	23.981,58
	2.398,16
	26.379,75
	Total
	
	-
	100.000,00
	31.898,74
	26.379,74
Observação: Fez-se um pequeno acerto no último período para fechar a planilha.
A planilha do sistema francês é calculada da seguinte forma:
→ Começamos pelo 1º ano e lançamos a prestação calculada anteriormente no valor de 26.379,75;
→ Ainda no 1º ano, calcula-se o juro sobre o saldo devedor anterior e lançamos, em juro, o valor de 10.000,00, (100.000,00 x 0,10);
→ A amortização no 1º ano calcula-se da seguinte maneira: Prestação (R) – juro (j)= 16.379,75 (26.379,75 – 10.000,00);
→ O saldo devedor no 1º ano: lançamos 83.620,25, saldo devedor anterior – amortização do 1º ano = saldo devedor atual (100.000,00 – 16.379,75 = 83.620,25).
Exercícios:
1) Uma instituição financeira empresta R$ 50.000,00, entregues no ato, sem prazo de carência. Sabendo que o banco utiliza o sistema francês, que a taxa contratada foi de 10% ao ano e que o banco quer a devolução em 6 prestações anuais, construa a planilha. (Resposta no final do módulo)
2) Um banco empresta R$ 70.000,00, com prazo de utilização unitário, sem prazo de carência. A taxa aplicada pelo banco é de 12% ao ano. O banco utiliza o sistema francês e a devolução deve ser feita em 5 prestações anuais. Construa a planilha. (Resposta no final do módulo)3) Uma empresa toma emprestado, de um banco, o valor de R$ 30.000,00, com prazo de utilização unitário, sem prazo de carência. A taxa aplicada pelo banco é de 14% ao ano. O banco utiliza o sistema francês e a devolução deve ser feita em 4 prestações anuais. Construa a planilha. (Resposta no final do módulo) 
Sistema Price
Muito utilizado no Brasil, este sistema é também chamado de “tabela Price”. Os cálculos são feitos como no sistema francês, porém, com algumas características mostradas a seguir:
a) Os pagamentos das amortizações são mensais, embora a taxa de juros é dada em termos nominal anual. A taxa de juros deve ser transformada em meses. 
Exemplo: Se a taxa é de 24% ao ano, deve ser transformada proporcionalmente para 2% ao mês, (24% ÷ 12).
b) Na planilha, os juros devem ser calculados em base mensal.
Exemplo:
Um banco emprestou R$ 100.000,00, entregues no ato, sem prazo de carência. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada pelo banco é de 12% ao ano, tabela Price, e que a devolução deve ser feita em 8 meses, construa a planilha.
Resolução: 
Se o sistema adotado é “tabela Price” e, sendo de 12% ao ano, a taxa deve ser transformada em meses:
Então, temos: 
C = R$ 100.000,00
n = 8 meses
 i = 12% ao ano
Transformando a taxa de juros proporcional para mês, temos:
i = 12% ÷ 12 = 1%
i = 1% ao mês
logo: 
A taxa proporcional a ser calculado o juro de cada período é 1% ao mês.
Como temos 8 prestações mensais, vamos calcular o coeficiente conforme a equação a seguir:
a n┐i = 1 – (1 + i) - n 
 
 i
Substituindo, na equação, temos:
a 8┐1 = 1 – (1 + 0,01) - 8 
 
 0,01
O coeficiente a ser utilizado pelo Price é:
a 8┐1 = 7,651678
Portanto:
R = 100.000 ÷ 7,651678 = 13.069,03
→ O valor das 8 prestações mensais fixas a serem pagas é de R$ 13.069,03.
→ O montante a ser pago pelo empréstimo é de R$ 104.552,24 (8 x 13.069,03).
→ Logo, o juro corresponde a R$ 4.552,24 (104.552,24 – 100.000,00). 
A planilha fica da seguinte forma:
	Meses
(n)
	Valor do saque
	Saldo devedor
	Amortização
	Juros
	Prestação
	0
	100.000,00
	100.000,00
	-
	-
	-
	1
	
	87.930,97
	12.069,03
	1.000,00
	13.069,03
	2
	
	75.741,25
	12.189,72
	879,31
	13.069,03
	3
	
	63.429,63
	12.311,62
	757,41
	13.069,03
	4
	
	50.994,90
	12.434,73
	634,30
	13.069,03
	5
	
	38.435,82
	12.559,08
	509,95
	13.069,03
	6
	
	25.751,15
	12.684,67
	384,36
	13.069,03
	7
	
	12.939,63
	12.811,52
	257,51
	13.069,03
	8
	-
	
	12.939,63
	129,40
	13.069,03
	Total
	-
	
	100.000,00
	4.552,24
	104.552,24
Exercícios:
1) Uma financeira emprestou R$ 50.000,00, entregues no ato, sem prazo de carência. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada pelo banco é de 24% ao ano, tabela Price, e que a devolução deve ser feita em 6 meses, construa a planilha. (Resposta no final do módulo)
2) Um banco emprestou R$ 60.000,00, com prazo de utilização unitária, sem prazo de carência. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada pelo banco é de 18% ao ano, tabela Price, e que a devolução deve ser feita em 5 meses, construa a planilha. (Resposta no final do módulo)
3) Uma empresa toma emprestado de um banco o valor de R$ 35.000,00, com prazo de utilização unitária, sem prazo de carência. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada pelo banco é de 18% ao ano, tabela Price, e que a devolução deve ser feita em 6 meses, construa a planilha. (Resposta no final do módulo)
Respostas do módulo 6
Sistema de amortização constante
Exercício 1 → Amortização = 10.000,00 (50.000,00 ÷ 5)
	Anos
(n)
	Valor do saque
	Saldo devedor
	Amortização
	Juros
	Prestação
	0
	50.000,00
	50.000,00
	-
	-
	-
	1
	-
	50.000,00
	-
	6.000,00
	6.000,00
	2
	-
	40.000,00
	10.000,00
	6.000,00
	16.000,00
	3
	-
	30.000,00
	10.000,00
	4.800,00
	14.800,00
	4
	-
	20.000,00
	10.000,00
	3.600,00
	13.600,00
	5
	-
	10.000,00
	10.000,00
	2.400,00
	12.400,00
	6
	-
	-
	10.000,00
	1.200,00
	11.200,00
	Total
	-
	-
	50.000,00
	24.000,00
	74.000,00
Exercício 2 → Amortização = 15.000,00 (60.000,00 ÷ 4)
	Anos
(n)
	Valor do saque
	Saldo devedor
	Amortização
	Juros
	Prestação
	0
	60.000,00
	60.000,00
	-
	-
	-
	1
	-
	60.000,00
	-
	4.800,00
	4.800,00
	2
	-
	60.000,00
	-
	4.800,00
	4.800,00
	3
	-
	45.000,00
	15.000,00
	4.800,00
	19.800,00
	4
	-
	30.000,00
	15.000,00
	3.600,00
	18.600,00
	5
	-
	15.000,00
	15.000,00
	2.400,00
	17.400,00
	6
	-
	-
	15.000,00
	1.200,00
	16.200,00
	Total
	-
	-
	60.000,00
	21.600,00
	81.600,00
Exercício 3 → Amortização = 14.000,00 (70.000,00 ÷ 5)
	Anos
(n)
	Valor do saque
	Saldo devedor
	Amortização
	Juros
	Prestação
	0
	70.000,00
	70.000,00
	-
	-
	-
	1
	-
	70.000,00
	-
	8.400,00
	8.400,00
	2
	-
	56.000,00
	14.000,00
	8.400,00
	22.400,0
	3
	-
	42.000,00
	14.000,00
	6.720,00
	20.720,00
	4
	-
	28.000,00
	14.000,00
	5.040,00
	19.040,00
	5
	-
	14.000,00
	14.000,00
	3.360,00
	17.360,00
	6
	-
	-
	14.000,00
	1.680,00
	15.680,00
	Total
	-
	
	
	
	
Respostas - sistema francês: 
Exercício 1:
a 6┐10 = 1 – (1 + 0,10) - 6 → a 6┐10 = 4,355261 
 
 0,10
 R = 50.000,00 ÷ 4,355261 = 11.480,37 (valor da prestação R$ 11.480,37)
	Anos (n)
	Valor do saque
	Saldo devedor
	Amortização
	Juros
	Prestação
	0
	50.000,00
	50.000,00
	-
	-
	-
	1
	
	43.519,63
	6.480,37
	5.000,00
	11.480,37
	2
	
	36.391,22
	7.128,41
	4.351,96
	11.480,37
	3
	
	28.549,97
	7.841,25
	3.639,12
	11.480,37
	4
	
	19.924,60
	8.625,37
	2.855,00
	11.480,37
	5
	
	10.436,69
	9.487,91
	1.992,46
	11.480,37
	6
	
	-
	10.436,69
	1.043,67
	11.480,36
	Total
	
	
	50.000,00
	18.882,21
	68.882,21
Exercício 2: 
a 5┐12 = 1 – (1 + 0,12) - 5 → a 5┐12 = 3,604776 
 
 0,10
R = 70.000,00 ÷ 3,604776 = 19.418,68 (valor da prestação R$ 19.418,68)
	Anos (n)
	Valor do saque
	Saldo devedor
	Amortização
	Juros
	Prestação
	0
	70.000,00
	70.000,00
	-
	-
	-
	1
	-
	58.981,32
	11.018,68
	8.400,00
	19.418,68
	2
	-
	46.640,40
	12.340,92
	7.077,76
	19.418,68
	3
	-
	32.818,57
	13.821,83
	5.596,85
	19.418,68
	4
	-
	17.338,12
	15.480,45
	3.938,23
	19.418,68
	5
	-
	-
	17.338,12
	2.080,57
	19.418,69
	Total
	-
	-
	70.000,00
	27.093,41
	97.093,41
Exercício 3: 
a 4┐14 = 1 – (1 + 0,14) - 4 → a 4┐14 = 2,913712 
 
 0,14
R = 30.000,00 ÷ 2,913712 = 10.296,14 (valor da prestação R$ 10.296,14)
	Anos (n)
	Valor do saque
	Saldo devedor
	Amortização
	Juros
	Prestação
	0
	30.000,00
	30.000,00
	-
	-
	-
	1
	-
	23.903,86
	6.096,14
	4.200,00
	10.296,14
	2
	-
	16.954,26
	6.949,60
	3.346,54
	10.296,14
	3
	-
	9.031,72
	7.922,54
	2.373,60
	10.296,14
	4
	-
	-
	9.031,72
	1.264,44
	10.296,16
	Total
	-
	-
	30.000,00
	11.184,58
	41.184,58
Respostas sistema Price: 
Exercício 1:
 i = 24% → 24 ÷ 12 = 2% a.m. 
a 6┐2 = 1 – (1 + 0,02) - 6 → a 6┐2 = 5,601431 
 
 
 0,02
 R = 50.000,00 ÷ 5,601431 = 8.926,29 (valor da prestação R$ 8.926,29)
	Meses (n)
	Valor do saque
	Saldo devedor
	Amortização
	Juros
	Prestação
	0
	50.000,00
	50.000,00
	-
	-
	-
	1
	-
	42.073,71
	7.926,29
	1.000,00
	8.926,29
	2
	-
	33.988,89
	8.084,82
	841,47
	8.926,29
	3
	-
	25.742,38
	8.246,51
	679,78
	8.926,29
	4
	-
	17.330,94
	8.411,44
	514,85
	8.926,29
	5
	
	8.751,27
	8.579,67
	346,62
	8.926,29
	6
	-
	-
	8.751,27
	175,03
	8.926,29
	Total
	-
	-
	50.000,00
	3.557,75
	53.557,75
Exercício 2: 
i = 18% → 18 ÷ 12 = 1,5% a.m 
a 5┐1,5 = 1 – (1 + 0,015) - 5 → a 5┐1,5 = 4,782645 
 
 0,015
 R = 50.000,00 ÷ 4,782645 = 12.545,36 (valor da prestação R$ 12.545,36)
	Meses (n)
	Valor do saque
	Saldo devedor
	Amortização
	Juros
	Prestação
	0
	60.000,00
	60.000,00
	-
	-
	-
	1
	-
	48.354,64
	11.645,36
	900,00
	12.545,36
	2
	-
	36.534,60
	11.820,04
	725,32
	12.545,36
	3
	-
	24.537,26
	11.997,34
	548,02
	12.545,36
	4
	-
	12.359,96
	12.177,30
	368,06
	12.545,36
	5
	
	-
	12.359,96
	185,40
	12.545,36
	Total
	-
	-
	60.000,00
	2.726,80
	62.726,80
Exercício 3:
i = 18% → 18 ÷ 12 = 1,5% a.m 
a 6┐1,5 = 1 – (1 + 0,015) - 6 → a 6┐1,5 = 4,782645 
 
 0,015
 R = 50.000,00 ÷4,782645 = 12.545,36 (valor da prestação R$ 12.545,36)
	Meses (n)
	Valor do saque
	Saldo devedor
	Amortização
	Juros
	Prestação
	0
	35.000,00
	35.000,00
	-
	-
	-
	1
	-
	29.381,62
	5.618,38
	525,00
	6.143,38
	2
	-
	23.678,96
	5.702,66
	440,72
	6.143,38
	3
	-
	17.890,76
	5.788,20
	355,18
	6.143,38
	4
	-
	12.015,74
	5.785,02
	268,36
	6.143,38
	5
	-
	6.052,60
	5.963,14
	180,24
	6.143,38
	6
	-
	
	6.052,60
	90,79
	6.143,39
	Total
	-
	-
	35.000,00
	1.860,29
	36.860,29
Respostas sistema americano:
Exercício 1:
	Anos (n)
	Valor do saque
	Saldo devedor
	Amortização
	Juros
	Prestação
	0
	100.000,00
	100.000,00
	-
	-
	-
	1
	-
	100.000,00
	-
	10.000,00
	10.000,00
	2
	-
	100.000,00
	-
	10.000,00
	10.000,00
	3
	-
	100.000,00
	-
	10.000,00
	10.000,00
	4
	-
	-
	100.000,00
	10.000,00
	110.000,00
	Total
	-
	-
	100.000,00
	40.000,00
	140.000,00
Exercício 2:
	Semestres (n)
	Valor do saque
	Saldo devedor
	Amortização
	Juros
	Prestação
	0
	40.000,00
	40.000,00
	-
	-
	-
	1
	-
	40.000,00
	-
	3.200,00
	3.200,00
	2
	-
	40.000,00
	-
	3.200,00
	3.200,00
	3
	-
	40.000,00
	-
	3.200,00
	3.200,00
	4
	-
	40.000,00
	-
	3.200,00
	3.200,00
	5
	-
	-
	40.000,00
	3.200,00
	43.200,00
	Total
	
	-
	40.000,00
	16.000,00
	56.000,00
Exercício 3:
	Anos (n)
	Valor do saque
	Saldo devedor
	Amortização
	Juros
	Prestação
	0
	50.000,00
	50.000,00
	-
	-
	-
	1
	-
	50.000,00
	-
	6.000,00
	6.000,00
	2
	-
	50.000,00
	-
	6.000,00
	6.000,00
	3
	-
	50.000,00
	-
	6.000,00
	6.000,00
	4
	-
	50.000,00
	-
	6.000,00
	6.000,00
	5
	-
	-
	50.000,00
	6.000,00
	56.000,00
	Total
	
	-
	50.000,00
	30.000,00
	80.000,00
MATEMÁTICA FINANCEIRA
PÓS-GRADUAÇÃO 
Formado em Ciências Econômicas e Mestrado em Engenharia de Produção pela UFSC – Universidade Federal de Santa Catarina. Ministra aulas na graduação de: Matemática Financeira, Administração Financeira e Orçamentária e Estudo Socioeconômico nos cursos de Administração, Ciências Contábeis, Sistemas de Informação e Arquitetura e Urbanismo. Nos cursos de Pós-graduação em MBA, na UDC – Centro Universitário Dinâmica das Cataratas - ministra as disciplinas de Finanças Corporativas, Matemática Financeira e Administração Financeira.
Note que existe transferência de fundos entre pessoas, empresas e governo, que é importante para a economia. 
Empresa
Governo
Pessoas
Observe que, no fluxo de caixa abaixo, somente o capital inicial rende juros, ou seja, a cada período o juro será de R$ 100,00.
R$ 1.000, 
 __________________________________________________________________
0 1º ano 2º ano 3º ano 4º ano 5º ano
Juros → R$ 100, R$ 100, R$ 100, R$ 100, R$ 100,
Montante→ R$ 1.100, R$ 1.200, R$ 1.300, R$ 1.400, R$ 1.500,
No fluxo de caixa abaixo, os juros são somados ao capital para render juros no período seguinte.
 R$ 1.000,______________________________________________________________ 
0 1º ano 2º ano 3º ano 4º ano 5º ano
Juros → R$ 100, R$ 110, R$ 121, R$ 133,10 R$ 146,41
Montante→R$ 1.100, R$ 1.210, R$ 1.331, R$ 1.464, R$ 1.610,51
É importante observar, no quadro comparativo acima, que a diferença entre os juros e os saldos devedores dos regimes de capitalização cresce com o passar do tempo.
J = C x i x n
Não esqueça de transformar a taxa na forma unitária.
Lembre-se: no mercado financeiro não são utilizados juros simples.
Utilizar regras básicas de matemática
J = C x i x n
A taxa do empréstimo é em ano, porque o tempo está em ano
Aqui, o tempo é em anos porque a taxa do empréstimo está em anos. ano porque o tempo está em ano
Perceba que, nos dois casos, os juros produzidos são iguais, logo, podemos dizer que 3% ao mês e 9% ao trimestre produzem um juro de R$ 450,00. As duas taxas são equivalentes. Concluímos que duas taxas proporcionais são equivalentes em regime de juros simples.
Conforme exemplos a, b, resolvidos em taxas equivalentes em juros simples, as duas taxas proporcionais são equivalentes.
M = C + J
M = C x (1 + i x n)
M = C x (1 + i x n)
Note que a taxa é ao mês porque o tempo está em mês.
Note agora que o tempo é em meses porque a taxa está em meses.
 porque a taxa está em me.
De A até B temos a Linha do Tempo.
Início da Transação Financeira
Fim da Transação Financeira
A
B
Entradas ( 5 depósitos)
Saída (Saque)
Agora sim, Juro Composto é usado no mercado financeiro.
 porque a taxa está em me.
Observe que, em Juro Composto, os juros são capitalizados, ou seja, é calculado juro sobre juro.
 porque a taxa está em me.
Lembre-se
M → Montante 
 C → Capital 
 i → Taxa
 n → Tempo (período) 
 J → Juro
 M = C x (1 + i)n
 J = M - C
Não esqueça de transformar a taxa na forma unitária,ou seja, dividir a taxa por 100.
Se você quer aprender a usar a calculadora financeira HP12 entre no site: www.profpacheco.com.br
Observe que o exercício informa que a capitalização é mensal. Logo, deve-se transformar a taxa e tempo em meses.
Lembre-se que:
Um ano comercial = 360 dias.
 Um mês comercial = 30 dias.
Observação: 
O juro em capitalização diária é maior que em capitalização mensal, isso porque a equação do juro composto é uma função exponencial. Logo, dizemos que em juros compostos duas taxas proporcionais não são equivalentes.
Lembre-se: em juros compostos, duas taxas proporcionais não são equivalentes. 
Lembre-se que a taxa é “ao mês”, porque o tempo está em mês.
 porque a taxa está em me.
Neste caso, o tempo é em meses porque a taxa está em mês.
1 + if = (1 + i)K
 Lembrando que, para transformar para percentagem é necessário multiplicar a taxa efetiva (na forma unitária) por 100.
Para fazer um simulado para calcular o rendimento da poupança use o site: �HYPERLINK "https://www3.bcb.gov.br/CALCIDADAO/publico/exibirFormCorrecaoValores.do?method=exibirFormCorrecaoValores&aba=3" \t "_blank"�https://www3.bcb.gov.br/CALCIDADAO/publico/exibirFormCorrecaoValores.do?method=exibirFormCorrecaoValores&aba=3�
A
N
d = N x i x n
d = N - A
A = N (1 - i x n)
A = N - d
O valor atual (A) é o valor do título quando o pagamento é antecipado com desconto. Valor presente.
A = 5.800,
N = 6.000,
Lembrando que, em descontos, também, basta utilizar a matemática básica para fazer os cálculos.
Nessa equação temos um expoente negativo, diferente dos juros compostos, que é positivo.
A = N x (1 + i)-n
Valor nominal (N) é o valor do título sem desconto. Valor futuro.
a n┐i = 1 – (1 + i) - n
 i
Essa modalidade é usada, principalmente, em financiamentos a longo prazo.
Juros
Amortização
Períodos
Amortização
Juro
Períodos
Prestação
O cálculo da planilha do sistema “price” é igual a do sistema francês, porém, o “price” é calculado em meses.
_1435698485.xls
Gráf1
		INICIAL
		1º MÊS
		2º MÊS
		3º MÊS
		4º MÊS
		5º MÊS
		6º MÊS
10000
10200
10404
10612.08
10824.32
11040.81
11261.62
Gráfico1
		INICIAL
		1º MÊS
		2º MÊS
		3º MÊS
		4º MÊS
		5º MÊS
		6º MÊS
10000
10200
10404
10612.08
10824.32
11040.81
11261.62
Plan1
		INICIAL		10,000.00
		1º MÊS		10,200.00
		2º MÊS		10,404.00
		3º MÊS		10,612.08
		4º MÊS		10,824.32
		5º MÊS		11,040.81
		6º MÊS		11,261.62
_1435698488.xls
Gráf1
		INICIAL
		1º MÊS
		2º MÊS
		3º MÊS
		4º MÊS