Exercício Matemática Econômica I

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CURSO DE CIÊNCIAS ECONÔMICAS
EXERCÍCIOS DE ECONOMIA MATEMÁTICA - 23.03.2018
1. Seja f : R! R a função dada por f(x) = x3 + 3x� 4. Mostre que:
(a) 4f(x) = (x� 1)[15 + (2x+ 1)2], para todo x 2 R
(b) x = 1 é o único zero de f .
2. Seja x = a� b, em que a = 3
pp
5 + 2 e b = 3
pp
5� 2. Mostre que:
(a) x3 = a3 � 3a2b+ 3ab2 � b3:
(b) x3 = a3 � b3 � 3ab(a� b):
(c) x3 = 4� 3x:
(d) x3 + 3x� 4 = 0:
3. DESAFIO. Use os exercícios 1 e 2 para mostrar que a� b = 1.
4. Em um certo país não há imposto de renda sobre rendimentos R de até R$10:000; 00.
Qualquer renda R acima de R$10:000; 00 e até R$20:000; 00 é taxada em 10%. Uma
renda R acima de R$20:000; 00 é taxada em 15%. Veri…que que o imposto cobrado
não é uma função contínua da renda. Que parcelas devem ser deduzidas para que o
imposto cobrado seja uma função contínua da renda.
5. Duas …rmas F1 e F2 produzem o mesmo bem e competem em preços. Cada …rma
Fi …xa seu preço pi e oferta quantidade su…ciente para satisfazer a demanda por seu
produto. Neste modelo supõe-se que:
� Se p1 = p2 os consumidores se dividirão igualmente entre os produtores.
� Se p1 < p2 todos os consumidores comprarão da …rma F1:
� Se p2 < p1 todos os consumidores comprarão da …rma F2:
Suponha que Q = 20� 2P e C(q) = 4Q são as funções de demanda e custo. Esboce os
grá…cos da receita R1 e do lucro L1 da …rma F1 sabendo-se que a …rma F2 …xou seu
preço em p2 = 7: Mostre que neste caso R1 e L1são descontínuas.
6. O salário de uma pessoa é dado por
S(h) =
(
750 + ah; se h � 100
15h se h > 100
onde a = 7; 5 e h é o número de horas trabalhadas por mês. Veri…que se S é contínua
e esboce o seu grá…co.
1
7. Seja f : R! R dada por f(x) = x+ 2 se x < 0 e f(x) = 1� x se x � 0. Veri…que se
f é contínua e esboce o seu grá…co.
8. Seja g : R! R dada por g(x) = x+ 2 se x � �1 e f(x) = x2 se x � �1. Veri…que se
g é contínua e esboce o seu grá…co.
9. Esboce o grá…co da função a seguir e use-o para determinar os valores de a para os
quais limx!a f(x) existe:
f(x) =
8><>:
1� x; se x � �1
1 + x; se jxj < 1
x2 � 2x+ 1; se x � 1
10. Seja f : R! R tal que 4x� 9 � f(x) � x2 � 4x+ 7. Encontre limx!4 f(x):
11. Demonstre que limx!0 x4 cos
�
2
x
�
= 0:
12. Calcule os seguintes limites:
(a) limx!4(5x2 � 2x+ 3)
(b) limx!8 (1 + 3
p
x) (2� 6x2 + x3)
(c) limx!1
�
1+3x
1+4x2+3x4
�3
(d) limx!4+
p
x2 � 16
13. Calcule o limite se existir:
(a) limx!2 x
2+x�6
x�2
(b) limx!9 9�x3�px
(c) limx!7
p
x+2�3
x�7
(d) limx!9 x
2�81p
x�3
14. Seja f : R! R uma função contínua tal que, jxjf(x) = px2 + sen2 x; para todo x 2 R.
Calcule f(0):
15. Seja f : R! R uma função contínua. Calcule o valor da constante c = f(3)� f(�2),
sabendo-se que [x2 � x� 6] f(x) = x4 + 2x3 � 9x2 � 18x:
2