permutações ime

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GRUPOS SIMÉTRICOS
Christiane Buffo Rodrigues
03/10/2006
1. GRUPOS SIMÉTRICOS
Chama-se permutação de um conjunto A a uma função bijetiva α que leva A em A, ou seja, 
AA →:α . Um grupo de permutações de um conjunto A é um conjunto de permutações de A 
que, com a composição, forma um grupo. 
Vamos interessar-nos, sobretudo pelo caso em que A é um conjunto finito e definido por 
{ }nA ,...,2,1,0= , para um inteiro positivo n. 
Considere, agora, um conjunto nSA = . Se nS∈α é uma aplicação bijetiva, então α é uma 
aplicação do conjunto A nele mesmo o que nos permite escrever α na forma matricial como 
segue: 




=
)(...)2()1(
...21
n
n
ααα
α
Na matriz, )(iα , i =1, 2, ..., n representa a imagem de cada i sob a ação da aplicação α , ou 
seja, )1(1 α→ , )2(2 α→ , etc. Além disso, é possível notar que a ordem do conjunto nS é 
dada por !1.2)...1()( nnnSo n =−= já que para )1(α tem-se n escolhas possíveis; para )2(α 
tem-se 1−n , etc. 
 
Exemplo 1: Os elementos do grupo 3S são representados matricialmente por:
;
3
3
2
2
1
1




=e ;
1
3
3
2
2
1




=α ;
2
3
1
2
3
12 



=α
;
2
3
3
2
1
1




=β ;
3
3
1
2
2
1




=α β ;
1
3
2
2
3
12 



=βα
Tem-se βαβ α 2
1
3
3
2
2
1
2
3
3
2
1
1
=







= . Note também que este grupo possui 6 elementos, 
ou seja 6!3)( 3 ==So , como foi dito anteriormente.
Ao conjunto das permutações de A com a composição dá-se o nome de grupo simétrico de grau 
n o qual é denotado por nS . 
Além da forma matricial, podemos expressar permutações de uma forma mais conveniente 
através da notação cíclica. Mas antes de introduzir essa notação, definiremos o conceito de 
ciclo de uma permutação. Para isso, considere S um conjunto e )(SA∈θ , onde )(SA é 
definido como o conjunto das aplicações bijetivas do conjunto S nele mesmo. Dados dois 
elementos Sba ∈, , definimos iabba θθ ≡⇔≡ para algum inteiro i , que pode ser positivo, 
negativo ou nulo. Exigimos também que a relação acima definida seja uma relação de 
equivalência em S . Assim, 
1. aa θ≡ já que aeaa =≡ 0θ ;
2. Se ba θ≡ , então iab θ= tal que iba −= θ , sendo ab θ≡ ;
3. Se cbba θθ ≡≡ , , então iab θ= , jijij aabc +=== θθθθ )( o que implica que 
ca θ≡ .
Esta relação de equivalência induz uma decomposição de S em dois subconjuntos disjuntos, as 
chamadas classes de equivalência. Nós chamamos de classe de equivalência de um elemento 
Ss ∈ à órbita de s sobre θ . Assim, tal órbita consiste de todos os elementos do tipo isθ , =i
0, ± 1, ± 2, ....
Em particular, se S é um conjunto finito e Ss ∈ , existe o menor inteiro positivo )(sll =
dependendo de s tal que ss l =θ . A órbita de s sobre θ consistirá então de todos os 
elementos 12 ,...,,, −lssss θθθ e a esse conjunto ordenado, dá-se o nome de ciclo de θ . Para 
fixar essas idéias, considere o próximo exemplo:
Exemplo 2: Considere a seguinte permutação




=
465312
654321
θ
Aqui, S consiste dos elementos 1, 2, 3, ..., 6. Então, podemos primeiramente tomar o elemento 
1 e calcular o seu ciclo. Começando com 1, então sua órbita consiste dos elementos 11 0 =θ , 
21 1 =θ , 121 2 == θθ . Portanto, a órbita de 1 é o conjunto de elementos 1 e 2. Isto nos diz 
que a órbita de 2 é o mesmo conjunto.; a órbita de 3 consiste somente de 3, já que o elemento 3 
permanece invariante na permutação; já a órbita de 4 consiste dos elementos 4, 54 =θ , 
654 2 == θθ , 464 3 == θθ . Portanto, os ciclos de θ são (1,2), (3), (4, 5, 6).
Obs: Um ciclo pode ser pensado como sendo uma permutação que fixa todos os elementos 
exceto os que aparecem no ciclo. 
Tendo sido definido o ciclo de uma permutação, podemos então introduzir a notação cíclica a 
qual será apresentada através de um outro exemplo:
Exemplo 3: Considere a permutação




=
48257613
87654321
σ
Através da notação matricial, vemos queσ atribui a 1 o valor 3, a 3 o valor 6, a 6 o valor 2 e a 2 
o valor 1. Fecha assim o ciclo iniciado em 1. Considerando agora o valor 5, percebemos que 
este é deixado invariante pela permutação σ . Depois, temos o 4 que é enviado por σ em 7, o 
qual por sua vez, é levado em 8 e por fim este último é levado em 4. Mais claramente, o que 
ocorre pode ser expresso por um grafo orientado como segue:
Tal grafo é composto por três subgrafos disjuntos que representam o fechamento dos ciclos 
iniciados em 1, 4 e 5, respectivamente, ou seja, 
Assim, pode-se ver que a permutação σ se decompõe em ciclos de ordens 4, 3 e 1, 
respectivamente e então a notação cíclica de σ fica dada por ( )( ) ( )87452631=σ . 
Vemos, portanto, que a notação é bem mais simplificada que a forma matricial, como era 
pretendido. 
Um outro conceito a ser considerado sobre permutações é a composição delas. A composição, 
τ σ , de duas permutações σ e τ é feita da seguinte forma: 
 
Fica então, definida a composição das permutações e com isso observa-se que a composição de 
ciclos ocorre pela multiplicação das permutações que elas representam. Disso, resulta o seguinte 
lema:
Lema 1: Toda permutação é o produto de seus ciclos. 
Obs: O lema acima é usualmente escrito da seguinte forma: “Toda permutação pode ser 
unicamente expressa como um produto de ciclos disjuntos”. Dessa nova formulação, segue um 
próximo lema:
Lema 2: Toda permutação é um produto de 2-ciclos.
Obs: Iremos nos referir a 2-ciclos como transposições. 
A demonstração do lema 1, pode ser encontrada na referência bibliográfica [1], página 78.
Uma permutação também pode ser classificada em par ou ímpar. Então, segue a próxima 
definição:
Definição: Uma permutação nS∈θ é dita ser uma permutação par se ela pode ser representada 
como um produto de um número par de transposições. 
A definição dada acima reforça que θ possui uma representação como um produto de um 
número par de transposições. Talvez ele possua outras representações como um produto de um 
número ímpar de transposições. Chama-se permutação ímpar àquela que não é uma 
permutação par. Decorrente dessa definição, conclui-se que:
1. O produto de duas permutações pares é uma permutação par;
2. O produto de uma permutação par com uma permutação ímpar é ímpar (o inverso 
também vale);
3. O produto de duas permutações ímpares é uma permutação par.
A demonstração desses fatos pode ser encontrada em [1], pág.79.
Considere agora nA sendo um subconjunto de nS , consistindo de todas as permutações pares. 
Já que o produto de duas permutações pares é par, então nA deve ser um subgrupo de nS . 
Exigimos que ele deva então ser um subgrupo normal em nS . Talvez o melhor jeito de se vir 
isto seja da seguinte forma: seja W um grupo dos números reais 1 e -1 sobre a operação de 
multiplicação. Defina WSn →:ψ por 1)( =sψ se s é uma permutação par e 1)( −=sψ se s é 
uma permutação ímpar. Pelos itens 1, 2 e 3 ψ é um homomorfismo sobre W. O núcleo de ψ é 
exatamente nA e, portanto, nA é um subgrupo normal de nS . O subgrupo nA é chamado de 
grupo alternante de grau n. Segue então que
Lema 3: nS tem como subgrupo normal de índice 2 o grupo alternante, nA , consistindo de 
todas as permutações pares. 
Portanto, fica aqui definido o conceito de Grupos Simétricos de grau n.
2. BIBLIOGRAFIA
1. Topics in algebra; I. Herstein, Wiley, 1975;
2. Wikipedia/Permutación y grupo simétrico;