Mostre que 3A é um subgrupo de índice 2 de 3S. O conjunto das permutações pares de 3S é um subgrupo de índice 2 de 3S. O conjunto das permutações ...

Para mostrar que 3A é um subgrupo de índice 2 de 3S, precisamos verificar duas coisas: 1. 3A é um subgrupo de 3S. 2. O índice de 3A em 3S é 2. Para verificar a primeira condição, precisamos mostrar que 3A é fechado sob a operação de composição de permutações, que contém a identidade e que é fechado sob inversão. - Fechamento: Sejam a, b em 3A. Então a e b são permutações pares de 3S. Como a e b são pares, a composição de a e b é uma permutação par. Portanto, a composição de a e b está em 3A, e 3A é fechado sob a operação de composição de permutações. - Identidade: A identidade é uma permutação par, portanto está em 3A. - Inversão: Seja a em 3A. Então a é uma permutação par de 3S. Como a é par, seu inverso também é uma permutação par. Portanto, o inverso de a está em 3A. Portanto, 3A é um subgrupo de 3S. Para verificar a segunda condição, precisamos mostrar que o índice de 3A em 3S é 2. Isso significa que existem exatamente duas classes laterais à esquerda de 3A em 3S. Uma classe lateral é o conjunto {a, b, c} onde a, b e c são permutações em 3S e a não está em 3A, mas a composição de a com qualquer elemento de 3A está em 3A. A outra classe lateral é o conjunto {d, e, f} onde d, e e f são permutações em 3S e d está em 3A, mas a composição de d com qualquer elemento que não está em 3A está na outra classe lateral. Podemos escolher 3A como o conjunto de permutações pares em 3S. Então, a outra classe lateral é o conjunto de permutações ímpares em 3S. Como 3S tem 6 elementos, existem 3 permutações pares e 3 permutações ímpares. Portanto, o índice de 3A em 3S é 2. Assim, mostramos que 3A é um subgrupo de índice 2 de 3S.