MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO 4

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Aula 3 – Matemática e Raciocínio Lógico – Senado Federal 
Porcentagem ................................................................................................................................. 2 
Exercícios Resolvidos – Porcentagem ........................................................................................... 6 
Problemas do primeiro grau ....................................................................................................... 24 
Equação do 2º grau ..................................................................................................................... 43 
Relações de Girard ...................................................................................................................... 53 
Pares Ordenados ......................................................................................................................... 58 
Plano Cartesiano ......................................................................................................................... 58 
Funções ....................................................................................................................................... 60 
Domínio e Imagem ...................................................................................................................... 63 
Reconhecimento gráfico de uma função .................................................................................... 63 
Imagem de um elemento ............................................................................................................ 65 
Zero de uma função .................................................................................................................... 68 
Função Afim e Inequação do 1º grau .......................................................................................... 69 
Função Quadrática e Inequação do 2º grau ................................................................................ 82 
Metrologia: sistemas de numeração, sistemas de unidades e medidas..................................... 98 
Relação das questões comentadas ........................................................................................... 104 
Gabaritos ................................................................................................................................... 123 
 
 
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Olá pessoal! 
Vamos dar continuidade ao nosso curso de Matemática e Raciocínio Lógico para o 
Senado Federal. De acordo com a nossa programação: 
Aula 3: Porcentagens. Equações e inequações de 1.° e de 2.° graus. Funções e 
gráficos. 
A aula passada foi muito longa e acabei esquecendo de colocar a exposição teórica 
sobre metrologia (sistemas de numeração e medidas). Peço desculpas. Este material 
se encontra no final desta aula. Obrigado pelos alunos que me avisaram! 
Porcentagem 
As razões de denominador 100 são chamadas taxas percentuais, razões 
centesimais, percentagem ou porcentagem. 
Em geral, podemos trocar o denominador 100 pelo símbolo % (por cento). 
Ou seja, 
݌
100
ൌ ݌% 
Podemos expressar as porcentagens sob a forma decimal (taxa unitária). Para 
obter a taxa unitária, basta dividir o numerador por 100. 
75% ൌ
75
100
ൌ 0,75 
33% ൌ
33
100
ൌ 0,33 
100% ൌ
100
100
ൌ 1 
350% ൌ
350
100
ൌ 3,5 
1 Percentual de um valor 
Para calcular x% de um valor, basta multiplicar o valor pelo número x/100. 
 
Exemplo: Calcular 30% de 500. 
Resolução 
30% ݀݁ 500 ൌ 
30
100
· 500 ൌ 150 
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2 Transformação de uma fração ordinária em taxa percentual 
 
Para transformar uma fração ordinária qualquer em taxa percentual, basta 
multiplicá-la por 100%. 
Esse fato é matematicamente correto, pois 100% ൌ 1 e o número 1 é o 
elemento neutro da multiplicação. Ou seja, multiplicar por 100% não altera o 
resultado. 
Exemplo: Transformar a fração 3/4 em taxa percentual. 
Resolução 
3
4
ൌ
3
4
· 100% ൌ
300
4
% ൌ 75% 
Exemplo: Transformar a fração 5/8 em taxa percentual. 
Resolução 
૞
ૡ
ൌ
૞
ૡ
· ૚૙૙% ൌ
૞૙૙
ૡ
% ൌ ૟૛, ૞% 
Exemplo: Transformar o número 0,352 em forma de taxa percentual. 
Resolução 
૙, ૜૞૛ ൌ ૙, ૜૞૛ · ૚૙૙% ൌ ૜૞, ૛% 
Lembre-se que para multiplicar um número decimal por 100 basta deslocar a 
vírgula duas casas decimais para a direita. Se não houver casas decimais, 
então deveremos adicionar zeros a direita. 
3 Variação Percentual 
i) Imagine a seguinte situação. Chegou o mês de Dezembro e você resolve 
presentear a sua esposa com uma bolsa. Vai ao Shopping Center e encontra a 
bolsa dos sonhos da sua mulher por apenas R$ 200,00. Lástima! Esqueceu a 
carteira em casa. Resolve então comprar a bolsa no final de semana. Quando 
você retorna ao Shopping Center, encontra a mesma bolsa por 
R$ 280,00. Obviamente o valor da bolsa aumentou em R$ 80,00. 
ii) Imagine agora outra situação. Chegou o mês de Dezembro e você resolve 
presentear a sua esposa com um anel de brilhantes. Vai à joalheria e encontra 
o anel dos sonhos da sua mulher por “apenas” R$ 4.000,00. Lástima! 
Esqueceu a carteira em casa. Resolve então comprar o anel no final de 
semana. Quando você retorna à joalheria, encontra o mesmo anel por R$ 
4.080,00. Obviamente o valor do anel aumentou em R$ 80,00. 
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Em valores absolutos, o aumento do valor da bolsa foi igual ao aumento do 
valor do anel. Qual dos dois aumentos foi mais significativo em relação ao valor 
inicial do objeto? Obviamente um aumento de R$ 80,00 em um produto que 
custa R$ 200,00 é bem mais representativo do que um aumento de R$ 80,00 
em um produto que custa R$ 4.000,00. Uma maneira de comparar esses 
aumentos é a chamada variação percentual. 
Definição 
A razão entre o aumento e o preço inicial, expressa em forma de porcentagem, 
é chamada variação percentual. 
Generalizemos: Considere um objeto com valor inicial ௜ܸ௡௜௖௜௔௟ na data 0 e valor 
final ௙ܸ௜௡௔௟ em uma data futura ݐ. A variação percentual dessa grandeza entre 
as datas consideradas é o número ݅ (expresso em porcentagem) dado por: 
݅ ൌ ௙ܸ௜௡௔௟
െ ௜ܸ௡௜௖௜௔௟
௜ܸ௡௜௖௜௔௟
 
Voltemos aos nossos exemplos: 
i) ௜ܸ௡௜௖௜௔௟ ൌ 200,00 e ௙ܸ௜௡௔௟ ൌ 280,00 
Assim, a taxa percentual é: 
݅ ൌ
280 െ 200
200
ൌ
80
200
 
Devemos escrever i em forma percentual. Vimos anteriormente que temos que 
multiplicar a fração por 100%. 
݅ ൌ
80
200
ൌ
80
200
· 100% ൌ 40% 
 
ii) ௜ܸ௡௜௖௜௔௟ ൌ 4.000,00 e ௙ܸ௜௡௔௟ ൌ 4.080,00 
Assim, a taxa percentual é: 
݅ ൌ
4.080 െ 4.000
4.000
ൌ
80
4.000
 
Devemos escrever i em forma percentual. Vimos anteriormente que temos que 
multiplicar a fração por 100%. 
݅ ൌ
80
4.000
ൌ
80
4.000
· 100% ൌ 2% 
 Atenção! 
Se  , a taxa percentual é de crescimento. 
Se  , o módulo da taxa percentual é de decrescimento (desconto). 
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Exemplo: João decidiu comprar uma calça no valor de R$ 160,00. O vendedor 
informou que se o pagamento fosse feito à vista, então a calça seria vendida 
por R$ 140,00. Qual a taxa percentual de desconto? 
݅ ൌ
140 െ 160
160
ൌ
െ20
160
ൌ
െ20
160
· 100% ൌ െ12,5% 
 
Portanto, o desconto foi de 12,5%. 
4 Variações percentuais sucessivas 
 
Suponha que uma mercadoria recebeuum desconto de 30%. Se você fosse 
pagar essa mercadoria sem o desconto, você iria desembolsar 100%. Porém, 
com o desconto concedido, você irá pagar 100% - 30% = 70%. Assim, para 
calcular o valor após o desconto, devemos multiplicar o valor original por 
70%=70/100. 
Em geral, ao diminuir p%, para calcular o valor final, devemos multiplicar por 
100% - p%. 
Da mesma forma, para aumentar p% de certo valor, devemos multiplicá-lo por 
100% + p%. Por exemplo, se uma mercadoria aumenta 20%, você irá pagar 
100% + 20% = 120%. 
Exemplo: Uma mercadoria custa R$ 300,00. Em uma primeira ocasião, sofreu 
um aumento de 40%. Dois meses depois, a loja anunciou uma liquidação e a 
mercadoria sofreu um desconto de 25%. Qual o valor final da mercadoria? Qual 
a variação percentual acumulada? 
Resolução 
Quando a mercadoria sofre um aumento de 40%, o cliente além de ter que 
pagar os 100% (valor da mercadoria) terá que pagar os 40% de aumento. 
Pagará, portanto, 140% do valor da mercadoria. Dessa forma, a mercadoria, 
após o aumento, vale: 
140% ݀݁ ܴ$300,00 ൌ
140
100
· 300 ൌ 420 ݎ݁ܽ݅ݏ. 
A mercadoria (que agora vale R$ 420,00) sofre um desconto de 25%. Você não 
pagará o valor total da mercadoria (100%), já que foi concedido um desconto. 
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O cliente pagará 100% - 25% = 75% do valor da mercadoria. Dessa forma, a 
mercadoria, após o desconto, vale: 
75% ݀݁ ܴ$ 420,00 ൌ
75
100
· 420 ൌ ܴ$ 315,00 
Portanto, o valor final da mercadoria é igual a R$ 315,00. 
Poderíamos ter efetuado este cálculo de uma maneira mais “objetiva”. Toma-se 
o valor da mercadoria e multiplica-se pelas taxas de aumentos e de descontos. 
Assim, 
௙ܸ௜௡௔௟ ൌ 300 ·
140
100
·
75
100
ൌ 315 ݎ݁ܽ݅ݏ. 
Inicialmente a mercadoria valia R$ 300,00 e após as variações seu valor é de 
R$ 315,00. Ou seja: 
௜ܸ௡௜௖௜௔௟ ൌ 300 ݁ ௙ܸ௜௡௔௟ ൌ 315 
A taxa de variação acumulada é de: 
݅ ൌ ௙ܸ௜௡௔௟
െ ௜ܸ௡௜௖௜௔௟
௜ܸ௡௜௖௜௔௟
ൌ
315 െ 300
300
 
݅ ൌ
15
300
ൌ
15
300
· 100% ൌ 5% 
Assim, o aumento de 40% seguido do desconto de 25% equivale a um único 
aumento de 5%. 
Exercícios Resolvidos – Porcentagem 
 
01. (MINC 2006/FGV) A fração 5/8 equivale a: 
(A) 50% 
(B) 54% 
(C) 56% 
(D) 60% 
(E) 62,5% 
Resolução 
Para transformar uma fração ordinária qualquer em taxa percentual, basta 
multiplicá-la por 100%. 
૞
ૡ
ൌ
૞
ૡ
· ૚૙૙% ൌ
૞૙૙
ૡ
% ൌ ૟૛, ૞% 
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Letra E 
02. (ESAF-AFC/CGU-2004) Durante uma viagem para visitar familiares com 
diferentes hábitos alimentares, Alice apresentou sucessivas mudanças em seu 
peso. Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. A 
seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que fez 
Alice ganhar 20% de peso. Após, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo 
um rígido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu 
regime, Alice também emagreceu, perdendo 25% de peso. Finalmente, visitou 
um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita que acarretou, para 
Alice, um ganho de peso de 25%. O peso final de Alice, após essas visitas a 
esses quatro familiares, com relação ao peso imediatamente anterior ao início 
dessa seqüência de visitas, ficou: 
a) exatamente igual 
b) 5% maior 
c) 5% menor 
d) 10% menor 
e) 10% maior 
Resolução 
Suponha que Alice tinha 100 kg antes das mudanças em seu peso. 
Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. Se ela 
perdeu 20% de peso, então para calcular o peso que ela ficou após essa 
mudança, devemos multiplicar o valor original por 100% - 20% = 80% = 80/100. 
A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que 
fez Alice ganhar 20% de peso. Se ela ganhou 20% de peso, para calcular o seu 
peso final, devemos multiplicar o valor por 100% + 20% = 120% = 120/100. 
Após, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo um rígido regime de 
emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice também 
emagreceu, perdendo 25% de peso. Se ela perdeu 25% de peso, devemos 
multiplicar o valor do peso por 100% - 25% = 75% = 75/100. 
Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita que 
acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. Devemos multiplicar por 
100% + 25% = 125% = 125/100. 
Assim, o peso final de Alice será calculado da seguinte maneira: 
Seu peso final será: 
100 ·
80
100
·
120
100
·
75
100
·
125
100
ൌ 90 ݇݃ 
Então, já que Alice possuía 100 kg, ficou com um peso 10% menor. 
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Letra D 
03. (Agente Executivo – SUSEP 2006/ESAF) Um indivíduo tinha uma dívida de 
R$ 1.200,00 três meses atrás. Considerando que o valor dessa dívida hoje é 
R$ 1.440,00, calcule a porcentagem de aumento da dívida no período. 
a) 12% 
b) 15% 
c) 20% 
d) 25% 
e) 30% 
Resolução 
Para qualquer questão em que precisemos calcular o aumento ou desconto 
percentual, dados o valor inicial e o final, podemos utilizar a seguinte fórmula: 
݅ ൌ ௙ܸ௜௡௔௟
െ ௜ܸ௡௜௖௜௔௟
௜ܸ௡௜௖௜௔௟
 
Valor inicial: R$ 1200,00 
Valor final: R$ 1440,00 
Diferença entre os valores: R$ 1440,00 – R$ 1200,00 = R$ 240,00. 
݅ ൌ
240
1200
· 100% ൌ
240
12
% ൌ 20% 
Letra C 
04. (Secretaria de Estado de Planejamento, Orçamento e Gestão – MA 
2005/FCC) Em 02/01/2005, a fiscalização em certa reserva florestal acusou 
que o número de espécies nativas havia diminuído de 60%, em relação a 
02/01/2004. Para que, em 02/01/2006, o número de espécies nativas volte a 
ser o mesmo observado em 02-01-2004, então, relativamente a 02/01/2005, 
será necessário um aumento de 
a) 60% 
b) 80% 
c) 150% 
d) 160% 
e) 180% 
Resolução 
Considere que o número inicial de espécies nativas em 02/01/2004 foi de 100. 
Como esse número diminuiu 60%, então em 02/01/2005 havia 40 espécies. 
Queremos que em 02/01/2006, o número de espécies nativas volte a ser o 
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mesmo observado em 02-01-2004. Portanto o número de espécies nativas em 
02/01/2006 será igual a 100. 
02/01/2004 02/01/2005 02/01/2006 
100 40 100 
 
Para qualquer questão em que precisemos calcular o aumento ou desconto 
percentual, dados o valor inicial e o final, podemos utilizar a seguinte fórmula: 
݅ ൌ ௙ܸ௜௡௔௟
െ ௜ܸ௡௜௖௜௔௟
௜ܸ௡௜௖௜௔௟
 
 
Valor inicial (02/01/2005): 40 espécies nativas. 
Valor final (02/01/2006): 100 espécies nativas. 
Diferença entre os valores: 100 – 40 = 60 
݅ ൌ
60
40
· 100% ൌ
6000
40
% ൌ 150% 
Letra C 
05. (DOCAS-SP 2010/FGV) Três amigos foram a um restaurante, e a conta, já 
incluídos os 10% de gorjeta, foi de R$ 105,60. Se eles resolveram não pagar os 10% 
de gorjeta pois acharam que foram mal atendidos, e dividiram o pagamento 
igualmente pelos três, cada um deles pagou a quantia de 
a) R$ 31,68 
b) R$ 30,60 
c) R$ 32,00 
d) R$ 35,20 
e) R$ 33,00 
Resolução 
Vamos supor que o valor da conta (sem a gorjeta) tenha sido de ݔ reais. Para incluir 
os 10% da gorjeta, devemos multiplicar o valor da conta por 100% + 10% = 110%. 
110% ݀݁ ݔ ൌ 105,60 
110
100
· ݔ ൌ 105,60 
1,1ݔ ൌ 105,60 
ݔ ൌ
105,60
1,1
ൌ 96 ݎ݁ܽ݅ݏ 
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Desta forma, o valor da conta sem a gorjeta é igual a 96 reais. Como são três amigos, 
então cada um deles pagou: 
96
3
ൌ 32 ݎ݁ܽ݅ݏ 
LetraC 
 
06. (CAERN 2010/FGV) Um restaurante cobra 10% sobre o valor consumido. Assim, 
quando a conta é apresentada ao cliente, o valor a ser pago já vem com os 10% 
incluídos. Ao receber a conta no valor de R$ 27,72, Marcelo percebeu que haviam 
cobrado a sobremesa, que custa R$ 3,50, sem que ele a tivesse consumido. O 
gerente prontamente corrigiu o valor cobrado. Assim, depois dessa correção, Marcelo 
pagou 
a) R$ 21,70. 
b) R$ 22,50. 
c) R$ 23,87. 
d) R$ 24,22. 
e) R$ 52,20. 
Resolução 
Ao perceber que a sobremesa tinha sido cobrada indevidamente, Marcelo deve pedir 
que seja cancelado o valor da sobremesa e o valor da gorjeta em função desta 
sobremesa. Como o restaurante cobra 10% do consumo, então além dos R$ 3,50 da 
sobremesa, o restaurante deve descontar: 
10% ݀݁ 3,50 ൌ 0,35 
Feita a correção, o valor da conta será: 
27,72 െ 3,50 െ 0,35 ൌ 23,87 
Letra C 
 
07. (MEC 2009/FGV) Em uma sala há homens, mulheres e crianças. Se todos os 
homens fossem retirados da sala, as mulheres passariam a representar 80% dos 
restantes. Se, ao contrário, fossem retiradas todas as mulheres, os homens passariam 
a representar 75% dos presentes na sala. Com relação ao número total de pessoas na 
sala, as crianças correspondem a: 
a) 12,5% 
b) 17,5% 
c) 20% 
d) 22,5% 
e) 25% 
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Resolução 
“Em uma sala há homens, mulheres e crianças. Se todos os homens fossem 
retirados da sala, as mulheres passariam a representar 80% dos restantes.” 
Vamos considerar que há h homens, m mulheres e c crianças. 
Quando todos os homens são retirados, então o total de pessoas é igual a ݉ ൅ ܿ, ou 
seja, restam apenas as mulheres e as crianças. Como as mulheres representam 80%, 
݉ ൌ 80% ݀݁ ሺܿ ൅ ݉ሻ 
݉ ൌ 0,80 · ሺܿ ൅ ݉ሻ 
݉ ൌ 0,8ܿ ൅ 0,8݉ 
݉ െ 0,8݉ ൌ 0,8ܿ 
0,2݉ ൌ 0,8ܿ 
݉ ൌ
0,8ܿ
0,2
 
݉ ൌ 4ܿ 
Vamos guardar esta expressão... 
“Se, ao contrário, fossem retiradas todas as mulheres, os homens passariam a 
representar 75% dos presentes na sala.” 
Quando todos as mulheres são retirados, então o total de pessoas é igual a ݄ ൅ ܿ, ou 
seja, restam apenas os homens e as crianças. Como os homens representam 75%, 
݄ ൌ 75% ݀݁ ሺ݄ ൅ ܿሻ 
݄ ൌ 0,75 · ሺ݄ ൅ ܿሻ 
݄ ൌ 0,75݄ ൅ 0,75ܿ 
0,25݄ ൌ 0,75ܿ 
݄ ൌ
0,75ܿ
0,25
 
݄ ൌ 3ܿ 
Queremos saber o percentual de crianças em relação ao total de pessoas. Basta 
dividir o número de crianças pelo total de pessoas. Lembre-se que ݉ ൌ 4ܿ e ݄ ൌ 3ܿ. 
ܿ
ܿ ൅ ݉ ൅ ݄
ൌ
ܿ
ܿ ൅ 4ܿ ൅ 3ܿ
ൌ
ܿ
8ܿ
ൌ
1
8
 
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Para transformar esta fração ordinária em percentagem, devemos multiplicá-la por 
100%. 
1
8
ൌ
1
8
· 100% ൌ 12,5% 
Letra A 
 
 
 
(MINC 2006/FGV) O enunciado a seguir refere-se às questões de números 08 e 09. 
 
Em uma escola, 10% dos alunos são canhotos, e, destes, 30% usam óculos. Além 
disso, 12% dos alunos dessa escola usam óculos. 
 
08. Qual é a porcentagem dos alunos dessa escola que são canhotos e usam óculos? 
(A) 3% 
(B) 5% 
(C) 15% 
(D) 20% 
(E) 25% 
 
Resolução 
 
30% dos canhotos usam óculos. Como os canhotos representam 10% dos alunos da 
escola, então a porcentagem dos alunos que são canhotos e usam óculos é igual a: 
 
30% ݀݁ 10% ൌ
30
100
· 10% ൌ 3% 
Letra A 
 
09. Qual é a porcentagem de canhotos entre os alunos dessa escola que usam 
óculos? 
(A) 3% 
(B) 5% 
(C) 15% 
(D) 20% 
(E) 25% 
 
Resolução 
 
Para calcular a porcentagem pedida, devemos dividir o número de canhotos que usam 
óculos (calculado na questão passada) pelo total de pessoas que usam óculos. 
 
3%
12%
ൌ
3
12
ൌ
1
4
ൌ
1
4
· 100% ൌ 25% 
Letra E 
 
 
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10. (CAERN 2010/FGV) Em um saquinho há balas. Quinze delas são de coco. As 
balas de mel correspondem a 55% do total de balas no saquinho. As 12 restantes são 
de tamarindo. Quantas balas há no saquinho? 
a) 54 
b) 33 
c) 48 
d) 60 
e) 63 
Resolução 
As balas de mel correspondem a 55% do total de balas no saquinho. Portanto, as 
restantes (coco e tamarindo) representam 45% do total de balas. 
As balas de coco e tamarindo totalizam 15 + 12 = 27. 
Se o total de balas é igual a x, então: 
45% ݀݁ ݔ ൌ 27 
0,45ݔ ൌ 27 
ݔ ൌ
27
0,45
 
Para efetuar esta divisão, devemos igualar a quantidade de casas decimais e apagar 
as vírgulas. 
ݔ ൌ
27,00
0,45
ൌ
2.700
45
 
ݔ ൌ 60 
Letra D 
11. (SERC/MS 2006/FGV) Gastava 20% do meu salário com aluguel. Recebi um 
aumento de salário de 50%, porém o aluguel aumentou de 20%. Quanto passei a 
gastar com aluguel? 
(A) 18% 
(B) 16% 
(C) 14% 
(D) 12% 
(E) 10% 
Resolução 
Vamos considerar que o salário da pessoa seja de R$ 100,00. Como ele gastava 20% 
com aluguel, então o aluguel correspondia a R$ 20,00. Ele recebeu um aumento de 
50% no salário. Para calcular o novo salário, devemos multiplicar o antigo por 100% 
+50% = 150%. 
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100 ·
150
100
ൌ 150 ݎ݁ܽ݅ݏ ՜ ݊݋ݒ݋ ݏ݈ܽáݎ݅݋ 
O aluguel aumentou 20%. Para calcular o novo valor, devemos multiplicar o antigo por 
100% + 20% = 120%. 
20 ·
120
100
ൌ 24 ݎ݁ܽ݅ݏ ՜ ݊݋ݒ݋ ݈ܽݑ݃ݑ݈݁ 
Para saber o percentual gasto com o aluguel, devemos dividir o valor do aluguel pelo 
total do salário. 
24
150
· 100% ൌ 16% 
Letra B 
12. (BADESC 2010/FGV) Um número N acrescido de 20% vale 36, o mesmo 
que um número P reduzido de 10%. A soma de N e P é: 
(A) 60 
(B) 65 
(C) 70 
(D) 75 
(E) 80 
Resolução 
Para que N seja acrescido de 20%, devemos multiplicar o seu valor por 
100% +20% = 120%. 
120% ݀݁ ܰ ൌ 36 
120
100
· ܰ ൌ 36 
ܰ ൌ 36 ·
100
120
ൌ 30 
Para que P seja reduzido de 10%, devemos multiplicar o seu valor por 
100% - 10% = 90%. 
90% ݀݁ ܲ ൌ 36 
90
100
· ܲ ൌ 36 
ܲ ൌ 36 ·
100
90
ൌ 40 
Portanto, ܰ ൅ ܲ ൌ 30 ൅ 40 ൌ 70. 
Letra C 
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13. (Senado Federal 2008/FGV) Guido fez um investimento em um fundo de ações e, 
a cada 30 dias, recebe um relatório mostrando a valorização ou desvalorização das 
cotas do fundo nesse período. No primeiro mês o fundo teve uma valorização de 8% e, 
no segundo mês de 25%. O terceiro mês foi de crise e todas as ações caíram. 
Entretanto, no fim do terceiro mês, Guido verificou, com certo alívio, que tinha quase 
que exatamente o mesmo dinheiro que investiu. A desvalorização no terceiro mês foi 
de cerca de: 
(A) 22%. 
(B) 26%. 
(C) 30%. 
(D) 33%. 
(E) 37%. 
Resolução 
Vamos considerar que o seu investimento inicial foi de R$ 100,00. 
No primeiro mês houve uma valorização de 8%. Para calcular o valor das cotas, 
devemos multiplicar o valor do investimento por 100% + 8% = 108%. 
No segundo mês houve uma valorização de 25%. Devemos multiplicar o último valor 
por 100% + 25% = 125%. 
100 ·
108
100
·
125
100
ൌ 135 ݎ݁ܽ݅ݏ 
No terceiro mês, houve uma desvalorização de forma que as cotas de Guido valiam 
aproximadamente R$ 100,00. 
Para qualquer questão em que precisemos calcular o aumento ou redução percentual, 
dados o valor inicial e o final, podemos utilizar a seguinte fórmula: 
݅ ൌ ௙ܸ௜௡௔௟
െ ௜ܸ௡௜௖௜௔௟
௜ܸ௡௜௖௜௔௟
 
݅ ൌ
100 െ 135
135
ൌ െ
35
135
· 100% ؆ െ25,92% 
Letra B 
14. (Assistente Administrativo – CRP 4ª – 2006/CETRO) Para obter um número 
20% maior que ele próprio, devo multiplicá-lopela fração: 
(A) Dois terços 
(B) Cinco quartos 
(C) Seis quintos 
(D) Sete quintos 
(E) Oito sextos 
Resolução 
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Vimos anteriormente que para dar um aumento de 20%, devemos multiplicar o 
valor por 100% + 20% = 120% = 120/100. 
Simplificando a fração 120/100 obtemos 6/5. 
Letra C 
15. (TJPA 2006/CESPE-UnB) Flávio ganhou R$ 720,00 de salário. Desse valor, 
ele gastou 25% pagando dívidas e 1/3 com alimentação. Nesse caso, o que 
sobrou do salário de Flávio foi 
A) inferior a R$ 180,00. 
B) superior a R$ 180,00 e inferior a R$ 230,00. 
C) superior a R$ 230,00 e inferior a R$ 280,00. 
D) superior a R$ 280,00. 
Resolução 
Flávio gastou 25% pagando dívidas, portanto ele gastou: 
25
100
· 720 ൌ
1
4
· 720 ൌ 180 ݎ݁ܽ݅ݏ. 
Flávio gastou 1/3 com alimentação, portanto ele gastou: 
1
3
· 720 ൌ 240 ݎ݁ܽ݅ݏ. 
Total dos gastos: 180 ൅ 240 ൌ 420 ݎ݁ܽ݅ݏ. 
Quanto sobrou para Flávio? 
ܴ$ 720,00 െ ܴ$ 420,00 ൌ ܴ$ 300,00 
Letra D 
 
16. (TJPA 2006/CESPE-UnB) 
 
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De acordo com o anúncio acima, o total do pagamento a prazo na compra da 
lavadora de roupas supera o valor do pagamento à vista em 
A) exatamente 25% do valor à vista. 
B) mais de 25% e menos de 30% do valor à vista. 
C) exatamente 30% do valor à vista. 
D) mais de 30% do valor à vista. 
Resolução 
O valor total do pagamento a prazo na compra da lavadora é de: 
10 ൈ 162,50 ൌ 1.625 ݎ݁ܽ݅ݏ 
Este valor supera o valor do pagamento à vista em: 
1.625 െ 1.300 ൌ 325 ݎ݁ܽ݅ݏ. 
Para saber qual o percentual deste valor em relação ao valor à vista, devemos 
efetuar a divisão entre os valores: 
325
1.300
ൌ 0,25 ൌ 25% 
Letra A 
(TJBA 2003/CESPE-UnB) 
 
Os dados acima representam a evolução da quantidade de processos 
analisados em uma repartição pública e do número de servidores que 
analisaram esses processos, em uma semana de expediente. A produtividade 
em um dia é o resultado do quociente entre a quantidade de processos 
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analisados naquele dia e a quantidade de servidores que analisaram esses 
processos. Com base nesses dados, julgue os seguintes itens. 
 
17. Na sexta-feira, o número de servidores que analisaram processos 
aumentou mais de 50% em relação ao número dos que fizeram essa atividade 
na segunda-feira. 
 
Resolução 
 
 ݅ ൌ ௏೑೔೙ೌ೗ି௏೔೙೔೎೔ೌ೗
௏೔೙೔೎೔ೌ೗
 
Foram 5 funcionários na segunda-feira e 8 funcionários na sexta-feira. O 
percentual de aumento é: 
݅ ൌ
8 െ 5
5
ൌ 0,6 ൌ 60% 
O item está certo. 
 
18. Se, na quarta-feira, a produtividade foi de 24 processos por servidor, então 
menos de 70 processos foram analisados nesse dia. 
 
Resolução 
 
O texto definiu a produtividade como o cociente entre a quantidade de 
processos analisados naquele dia e a quantidade de servidores que analisaram 
esses processos. 
 
ܲݎ݋݀ݑݐ݅ݒ݅݀ܽ݀݁ ൌ
quantidade de processos analisados
quantidade de servidores que analisaram esses processos
 
24 ൌ
ݔ
3
 
ݔ ൌ 3 · 24 ൌ 72 ݌ݎ݋ܿ݁ݏݏ݋ݏ. 
O item está errado. 
 
19. Na sexta-feira, a produtividade foi 80% maior que na segunda-feira. 
 
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Resolução 
 
ܲݎ݋݀ݑݐ݅ݒ݅݀ܽ݀݁ ൌ
quantidade de processos analisados
quantidade de servidores que analisaram esses processos
 
Na segunda-feira, 75 processos foram analisados por 5 funcionários. A 
produtividade da segunda-feira é igual a: 
75
5
ൌ 15 ݌ݎ݋ܿ݁ݏݏ݋ݏ/݂ݑ݊ܿ݅݋݊áݎ݅݋ 
Na sexta-feira, 216 processos foram analisados por 8 funcionários. A 
produtividade da sexta-feira é igual a: 
216
8
ൌ 27 ݌ݎ݋ܿ݁ݏݏ݋ݏ/݂ݑ݊ܿ݅݋݊áݎ݅݋ 
O percentual de aumento é dado por: 
݅ ൌ ௙ܸ௜௡௔௟
െ ௜ܸ௡௜௖௜௔௟
௜ܸ௡௜௖௜௔௟
ൌ
27 െ 15
15
ൌ
12
15
ൌ 0,8 ൌ 80% 
O item está certo. 
 
20. Considere que 81 processos ficaram sem ser analisados nessa semana e 
que deveriam ser analisados mantendo-se a mesma produtividade da sexta-
feira. Nessa situação, seriam necessários mais de 12 servidores para cumprir 
essa tarefa. 
 
Resolução 
 
A produtividade da sexta-feira foi calculada na questão 10. Vimos que é igual a 
27 processos/funcionário. Queremos analisar 81 processos com esta 
produtividade. 
ܲݎ݋݀ݑݐ݅ݒ݅݀ܽ݀݁ ൌ
quantidade de processos analisados
quantidade de servidores que analisaram esses processos
 
 
27 ൌ
81
ݔ
 
 
27ݔ ൌ 81 ֞ ݔ ൌ 3 ݂ݑ݊ܿ݅݋݊áݎ݅݋ݏ 
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O item está errado. 
 
21. (RIO PREVIDENCIA 2010/CEPERJ) O consumo de energia elétrica na 
casa de Regina, em novembro de 2009, aumentou em 30% em relação ao de 
outubro, por causa do calor. Entretanto, em dezembro, Regina reparou que o 
consumo de energia elétrica diminuiu 10% em relação ao mês anterior. Então, 
o consumo de dezembro em relação ao de outubro é maior em: 
a) 15% 
b) 17% 
c) 18% 
d) 20% 
e) 22% 
Resolução 
Vamos colocar um valor de referência inicial (outubro) igual a 100. Temos um 
aumento de 30%, portanto devemos multiplicar por 100% + 30% = 130%. Em 
seguida temos uma diminuição de 10% e devemos multiplicar por 100% - 10% 
= 90%. 
100 ·
130
100
·
90
100
ൌ 117 
Como o valor inicial do consumo em outubro foi igual a 100 e o consumo em 
dezembro foi igual a 117, o aumento foi de 17%. 
Letra B 
22. (Câmara Municipal de Vassouras 2006/CEPERJ) Em uma loja de roupas, 
as vendas em fevereiro superaram as de janeiro em 20% e as vendas em 
março superaram as de fevereiro em 60%. De janeiro a março, o aumento nas 
vendas desta loja foi de: 
A) 80% 
B) 86% 
C) 92% 
D) 120% 
Resolução 
Temos dois aumentos sucessivos: 20% (devemos multiplicar por 100% + 20% 
= 120%) e 60% (devemos multiplicar por 100% + 60% = 160%). 
Sempre que não for dado uma referência inicial, vale a pena utilizar o valor 
100. Então, vamos supor que o valor inicial das vendas em janeiro foi igual a 
100. O valor das vendas em março será igual a: 
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100 ·
120
100
·
160
100
ൌ 192 
Temos, portanto, um aumento de 92%. 
Letra C 
23. (Câmara Municipal de Vassouras 2006/CEPERJ) Dois descontos 
sucessivos de 30% e 40% são equivalentes a um único desconto de: 
A) 58% 
B) 62% 
C) 66% 
D) 70% 
Resolução 
Temos agora dois descontos sucessivos. Vamos adotar a mesma estratégia de 
utilizar o valor inicial igual a 100. 
Para calcular o valor final depois do desconto de 30%, devemos multiplicar o 
valor inicial por 100% - 30% = 70%. Da mesma maneira, para dar o desconto 
de 40%, devemos multiplicar o valor por 100% - 40% = 60%. 
100 ·
70
100
·
60
100
ൌ 42 
Ora, se uma hipotética mercadoria custava 100 e agora custa 42, então o 
desconto total dado foi de 100 – 42 = 58. 
Desta forma, o desconto percentual foi de 58% (porque o valor inicial é igual a 
100). 
Letra A 
24. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Durante a noite, o dono de uma loja aumentou 
todos os preços em 20% e, no dia seguinte, anunciou um desconto de 30% em 
todos os produtos. O desconto real que ele está oferecendo é de: 
a) 10% 
b) 12% 
c) 14% 
d) 16% 
e) 18% 
Resolução 
Continuando com a mesma estratégia. Digamos que todos os preços sejam 
iguais a 100. O dono da loja aumentou os preços em 20% (devemos multiplicar 
por 100% + 20% = 120%) e em seguida anunciouum desconto de 30% 
(devemos multiplicar por 100% - 30% = 70%). 
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100 ·
120
100
·
70
100
ൌ 84 
Ora, se as mercadorias custavam 100 e agora custam 84, então o desconto 
dado foi de 100 – 84 = 16. Como o valor inicial adotado foi igual a 100, o 
desconto percentual é de 16%. 
Letra D 
25. (SEE/RJ 2007/CEPERJ) Em uma semana, as ações de certa companhia 
valorizaram 20% e, na semana seguinte, desvalorizaram 20%. O valor das 
ações é: 
A) o mesmo que o valor inicial 
B) maior em 2% que o valor inicial 
C) menor em 2% que o valor inicial 
D) maior em 4% que o valor inicial 
E) menor em 4% que o valor inicial 
Resolução 
Vamos assumir que o valor inicial das ações é igual a 100. Se as ações 
valorizaram 20%, devemos multiplicar o valor de cada ação por 100% + 20% = 
120%. Com a desvalorização de 20%, devemos multiplicar por 100% - 20% = 
80%. 
100 ·
120
100
·
80
100
ൌ 96 
Ora, se as ações valiam 100 e agora valem 96, elas desvalorizaram 4%. 
Letra E 
 
26. (Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) Um trabalhador gasta com o aluguel de 
sua casa 25% do seu salário. Se o salário é corrigido com um aumento de 25% 
e o aluguel com um aumento de 35%, então o novo aluguel passará a consumir 
a seguinte porcentagem do novo salário do trabalhador: 
a) 25% 
b) 35% 
c) 27% 
d) 37% 
e) 50% 
Resolução 
Digamos que o salário inicial do trabalhador é igual a 100. Como o aluguel 
consome 25% do seu salário, então o aluguel é igual a 25. 
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O salário aumentou 25%. Devemos, então, multiplicar o salário por 100% + 
25% = 125%. 
100 ·
125
100
ൌ 125 
O aluguel sofreu um aumento de 35%. Devemos, portanto, multiplicá-lo por 
100% + 35% = 135%. 
25 ·
135
100
ൌ 33,75 
Para saber qual a porcentagem do salário consumida pelo aluguel, devemos 
dividir o valor do aluguel pelo salário do trabalhador e multiplicar por 100% 
(sempre que quisermos transformar uma fração em porcentagem devemos 
multiplicar por 100%). 
33,75
125
· 100% ൌ
3.375
125
% ൌ 27% 
Letra C 
27. (SEE/RJ 2007/CEPERJ) Pedro investiu certa quantia comprando ações de 
uma indústria. No final do primeiro ano, ele verificou que as ações tinham 
valorizado 25%, mas no final do ano seguinte ele disse: “Puxa, eu tenho hoje o 
dobro do dinheiro que investi”. A valorização dessas ações no segundo ano foi 
de: 
A) 50% 
B) 55% 
C) 60% 
D) 70% 
E) 75% 
Resolução 
Digamos que o valor inicial das ações de Pedro é igual a 100. Se elas 
valorizaram 25%, devemos multiplicar seu valor por 100% + 25% = 125%. 
100 ·
125
100
ൌ 125 
No final do ano seguinte ele disse: “Puxa, eu tenho hoje o dobro do dinheiro 
que investi”. Ora, como o valor inicial era igual a 100 e seu valor foi dobrado, 
então o valor final é igual a 200. 
Queremos saber a valorização das ações no segundo ano. O valor inicial das 
ações no segundo ano era igual a 125. Para calcular a variação percentual 
utilizaremos a seguinte fórmula: 
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݅ ൌ
݂݀݅݁ݎ݁݊çܽ ݁݊ݐݎ݁ ݋ݏ ݒ݈ܽ݋ݎ݁ݏ ݈݅݊݅ܿ݅ܽ ݁ ݂݈݅݊ܽ
ݒ݈ܽ݋ݎ ݈݅݊݅ܿ݅ܽ
· 100% 
 
Valor inicial: R$ 125,00. 
Valor final: R$ 200,00 . 
Diferença entre os valores: 200 – 125 = 75 
݅ ൌ
75
125
· 100% ൌ
7.500
125
% ൌ 60% 
Letra C 
 
Vamos agora  resolver uma  série de exercícios em que  tenhamos que  construir uma 
equação do 1º grau ou um sistema de equações. 
Problemas do primeiro grau 
 
28. (RIOPREVIDÊNCIA 2010/CEPERJ) Considere um número real ݔ e faça 
com ele as seguintes operações sucessivas: multiplique por 2, em seguida 
some 1, multiplique por 3 e subtraia 5. Se o resultado foi 220, o valor de ݔ está 
entre: 
a) 30 e 35 
b) 35 e 40 
c) 40 e 45 
d) 45 e 50 
e) 50 e 55 
Resolução 
Considere um número real ݔ. 
Multiplicando-o por 2, obtemos 2 · ݔ. 
Somando 1 ao resultado, obtemos 2 · ݔ ൅ 1. 
Em seguida, multiplicamos o resultado por 3. Assim, tem-se 3 · ሺ2 · ݔ ൅ 1ሻ. 
Finalmente subtrai-se 5 e obtemos: 3 · ሺ2 · ݔ ൅ 1ሻ െ 5. 
Este resultado é igual a 220. 
3 · ሺ2 · ݔ ൅ 1ሻ െ 5 ൌ 220 
Vamos aplicar a propriedade distributiva. 
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6 · ݔ ൅ 3 െ 5 ൌ 220 
6ݔ െ 2 ൌ 220 
6ݔ ൌ 220 ൅ 2 
6ݔ ൌ 222 ֞ ݔ ൌ
222
6
ൌ 37 
Letra B 
29. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) Considere um número real ݔ e faça 
com ele as seguintes operações sucessivas: multiplique por 4, depois some 31, 
em seguida divida por 3, multiplique por 5 e subtraia 23. Se o resultado foi 222, 
o valor de ݔ é: 
a) um número múltiplo de 7. 
b) um número entre 30 e 40. 
c) um número par. 
d) um número cuja soma dos dígitos é 10. 
e) um número primo. 
Resolução 
Multiplicando o número ݔ obtemos 4 · ݔ. 
Em seguida some 31 ՜ 4 · ݔ ൅ 31. 
Depois divida por 3 ՜ ସ௫ାଷଵ
ଷ
 
Multiplique por 5 ՜ 5 · ቀସ௫ାଷଵ
ଷ
ቁ 
Subtraia 23 ՜ 5 · ቀସ௫ାଷଵ
ଷ
ቁ െ 23 
O resultado é igual a 222. 
5 · ൬
4ݔ ൅ 31
3
൰ െ 23 ൌ 222 ֞ 5 · ൬
4ݔ ൅ 31
3
൰ ൌ 222 ൅ 23 
5 · ൬
4ݔ ൅ 31
3
൰ ൌ 245 ֞
4ݔ ൅ 31
3
ൌ
245
5
 
4ݔ ൅ 31
3
ൌ 49 ֞ 4ݔ ൅ 31 ൌ 3 · 49 
4ݔ ൅ 31 ൌ 147 ֞ 4ݔ ൌ 147 െ 31 
4ݔ ൌ 116 ֞ ݔ ൌ
116
4
ൌ 29 
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Como o número 29 é primo (número primo é aquele que possui apenas dois divisores 
naturais). 
Letra E 
30. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) No sistema 
൜
0,3ݔ ൅ 1,2ݕ ൌ 2,4
0,5ݔ െ 0,8ݕ ൌ െ0,9 
O valor de ݔ é: 
a) 1 
b) -1 
c) 0 
d) 2 
e) 2/3 
Resolução 
Para deixar o sistema um pouco mais “limpo”, podemos multiplicar as duas 
equações por 10 com o intuito de eliminar as casas decimais. 
൜
0,3ݔ ൅ 1,2ݕ ൌ 2,4 · ሺ10ሻ
0,5ݔ െ 0,8ݕ ൌ െ0,9 · ሺ10ሻ 
൜
3ݔ ൅ 12ݕ ൌ 24
5ݔ െ 8ݕ ൌ െ9 
Olhemos para a primeira equação: 3ݔ ൅ 12ݕ ൌ 24 
Podemos, para simplificar, dividir ambos os membros da equação por 3. 
ݔ ൅ 4ݕ ൌ 8 
ݔ ൌ 8 െ 4ݕ 
Vamos substituir esta expressão na segunda equação. Ou seja, trocaremos ݔ 
por 8 െ 4ݕ. 
5ݔ െ 8ݕ ൌ െ9 
5 · ሺ8 െ 4ݕሻ െ 8ݕ ൌ െ9 
40 െ 20ݕ െ 8ݕ ൌ െ9 
െ28ݕ ൌ െ9 െ 40 
െ28ݕ ൌ െ49 
Multiplicando os dois membros da equação por ሺെ1ሻ: 
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28ݕ ൌ 49 ֞ ݕ ൌ
49
28
 
Vamos simplificar esta fração por 7. Para simplificar, devemos dividir o 
numerador e o denominador por 7. 
ݕ ൌ
49/7
28/7
ൌ
7
4
 
Como ݔ ൌ 8 െ 4ݕ: 
ݔ ൌ 8 െ 4 ·
7
4
ൌ 8 െ 7 ൌ 1 
Letra A 
31. (TCE-RN 2000/ESAF) Um homem caridoso observou alguns mendigos em 
uma praça e pensou: “Se eu der R$ 5,00 a cada mendigo, sobrar-me-ão R$ 
3,00. Ah, mas se eu tivesse apenas mais R$ 5,00, eu teria a quantia exata para 
poder dar a cada um deles R$ 6,00”. O número de mendigos era, portanto: 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
Resolução 
Digamos que o homem caridoso possua ݔ reais e que existam ݉ mendigos. 
Vejamos a primeira situação. “Se eu der R$ 5,00 a cada mendigo, sobrar-me-ão R$ 
3,00.” 
O homem entrega 5 reais para cada um dos ݉ mendigos. Portanto, ele gastou 5݉ 
reais. Ele ainda ficou com 3 reais. Desta forma, a quantia que o homem possui é igual 
a 5݉ ൅ 3 ݎ݁ܽ݅ݏ. 
ݔ ൌ 5݉ ൅ 3 
“Se eu tivesse apenas mais R$ 5,00, eu teria a quantia exata para poder dar a cada 
um deles R$ 6,00.” 
O homem possui ݔ reais. Se ele tivesse mais R$ 5,00, então ele teria ݔ ൅ 5reais. Esta 
quantia daria para entregar exatamente 6 reais para cada um dos ݉ mendigos. 
ݔ ൅ 5 ൌ 6݉ 
ݔ ൌ 6݉ െ 5 
Ora, se ݔ ൌ 5݉ ൅ 3 e ݔ ൌ 6݉ െ 5, então 5݉ ൅ 3 ൌ 6݉ െ 5 
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5݉ ൅ 3 ൌ 6݉ െ 5 
5݉ െ 6݉ ൌ െ5 െ 3 
െ݉ ൌ െ8 
׵ ݉ ൌ 8 
São 8 mendigos. 
Letra D 
32. (Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Hoje a idade de João é a 
metade da idade de sua mãe. Há quatro anos, a idade de João era a terça 
parte da idade de seu pai. Se a soma das idades dos três é 100 anos hoje, 
calcule quantos anos o pai de João é mais velho que sua mãe. 
a) 8 
b) 10 
c) 12 
d) 13 
e) 15 
Resolução 
Uma dica: procure sempre utilizar letras que façam referência ao nome das 
pessoas envolvidas. Esqueça essa “mania” de sempre usar x,y,z... Pois ao 
terminar a questão você terá que procurar quem é x,y,z... 
Por exemplo: a idade de João é J, a idade da mãe é M e a idade do pai é P. 
Hoje a idade de João é a metade da idade de sua mãe. Assim, ܬ ൌ ெ
ଶ
. Assim, ܯ ൌ 2 · ܬ. 
Há quatro anos, a idade de João era a terça parte da idade de seu pai. 
Ora, há quatros anos, João tinha (J – 4) anos e o seu pai tinha (P – 4) anos. A idade 
João era a terça parte da idade de seu pai. 
ࡵࢊࢇࢊࢋ ࢊࢋ ࡶ࢕ã࢕ ൌ 
ࡵࢊࢇࢊࢋ ࢊ࢕ ࢖ࢇ࢏
૜
 
ࡶ െ ૝ ൌ
ࡼ െ ૝
૜
 
ࡼ െ ૝ ൌ ૜ · ሺࡶ െ ૝ሻ 
ࡼ െ ૝ ൌ ૜ · ࡶ െ ૚૛ 
ࡼ ൌ ૜ · ࡶ െ ૚૛ ൅ ૝ 
ࡼ ൌ ૜ · ࡶ െ ૡ 
A soma das idades dos três é 100 anos hoje. 
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ࡶ ൅ ࡹ ൅ ࡼ ൌ ૚૙૙ 
ࡶ ൅ ૛ · ࡶ ൅ ૜ · ࡶ െ ૡ ൌ ૚૙૙ 
૟ · ࡶ ൌ ૚૙ૡ 
ࡶ ൌ ૚ૡ 
Assim, a mãe de João tem ࡹ ൌ ૛ · ࡶ ൌ ૜૟. 
O pai de João tem ࡼ ൌ ૜ · ࡶ െ ૡ ൌ ૜ · ૚ૡ െ ૡ ൌ ૝૟. 
O pai de João é 10 anos mais velho do que a sua mãe. 
Letra B 
33. (AFC/SEPLAG-GDF 2009/FUNIVERSA) A diferença entre as idades de dois 
irmãos é de três anos. Após três anos do nascimento do segundo, nasceu o 
terceiro e assim foi acontecendo até se formar uma família com cinco irmãos. 
Sabendo-se que, hoje, a idade do último irmão que nasceu é a metade da 
idade do primeiro irmão nascido, é correto afirmar que, hoje, o irmão mais 
velho está com idade igual a 
a) 18 anos. 
b) 20 anos. 
c) 22 anos. 
d) 24 anos. 
e) 26 anos. 
Resolução 
Considere que o irmão mais novo tem ݔ anos. Portanto, as idades dos outros irmãos 
são iguais a ݔ ൅ 3, ݔ ൅ 6, ݔ ൅ 9 ݁ ݔ ൅ 12. 
A idade do irmão mais novo é a metade da idade do irmão mais velho. 
ܫ݀ܽ݀݁ ݀݋ ݅ݎ݉ã݋ ݉ܽ݅ݏ ݊݋ݒ݋ ൌ
ܫ݀ܽ݀݁ ݀݋ ݅ݎ݉ã݋ ݉ܽ݅ݏ ݒ݈݄݁݋
2
 
ݔ ൌ
ݔ ൅ 12
2
 
2ݔ ൌ ݔ ൅ 12 
ݔ ൌ 12 
Assim, as idades dos irmãos são 12, 15, 18, 21, 24. 
O irmão mais velho está com 24 anos. 
Letra D 
34. (EPPGG – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Uma pessoa terá no ano de 2012 o triplo 
da idade que tinha em 1994. Essa pessoa tem hoje: 
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a) 22 anos. 
b) 23 anos. 
c) 24 anos. 
d) 25 anos. 
e) 26 anos. 
Resolução 
Prestemos atenção ao fato de que a prova foi realizada no ano de 2009. Digamos que 
a pessoa tenha ݔ anos em 2009. Dessa maneira, terá ݔ ൅ 3 anos em 2012 e ݔ െ 15 
anos em 1994. Isso porque 2012 – 2009 = 3 e 2009 – 1994 = 15. 
 
Ano 1994 2009 2012 
Idade ݔ െ 15 ݔ ݔ ൅ 3 
 
A idade da pessoa em 2012 é o triplo da idade da mesma pessoa em 1994. 
ܫ݀ܽ݀݁ ݀ܽ ݌݁ݏݏ݋ܽ ݁݉ 2012 ൌ 3 · ሺܫ݀ܽ݀݁ ݀ܽ ݌݁ݏݏ݋ܽ ݁݉ 1994ሻ 
ݔ ൅ 3 ൌ 3 · ሺݔ െ 15ሻ 
ݔ ൅ 3 ൌ 3ݔ െ 45 
ݔ െ 3ݔ ൌ െ45 െ 3 
െ2ݔ ൌ െ48 
ݔ ൌ 24 ܽ݊݋ݏ 
Letra C 
35. (TRF 1ªR 2001/FCC) No almoxarifado de certa empresa há 68 pacotes de 
papel sulfite, dispostos em 4 prateleiras. Se as quantidades de pacotes em 
cada prateleira correspondem a 4 números pares sucessivos, então, dos 
números seguintes, o que representa uma dessas quantidades é o: 
a) 8 
b) 12 
c) 18 
d) 22 
e) 24 
 
Resolução 
 
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Se o primeiro número par for ݔ,então os próximos números pares sucessivos serão 
ݔ ൅ 2, ݔ ൅ 4 ݁ ݔ ൅ 6. A soma destes 4 números deve ser igual a 68. 
 
ݔ ൅ ݔ ൅ 2 ൅ ݔ ൅ 4 ൅ ݔ ൅ 6 ൌ 68 
4ݔ ൅ 12 ൌ 68 
4ݔ ൌ 56 ֞ ݔ ൌ 14 
Desta maneira, se na primeira prateleira há 14 pacotes, nas outras prateleiras haverá 
16, 18 e 20 pacotes. 
Letra C 
36. (Prefeitura Municipal de Arujá 2006/CETRO) Três números pares e 
consecutivos têm por soma 90. A divisão do menor deles por 7 nos dá um 
quociente igual a: 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
Resolução 
Seja x o primeiro número par. Os próximos números pares serão x+2 e x+4. A 
soma dos três é igual a 90. Assim, 
࢞ ൅ ࢞ ൅ ૛ ൅ ࢞ ൅ ૝ ൌ ૢ૙ 
૜ · ࢞ ൅ ૟ ൌ ૢ૙ 
૜ · ࢞ ൌ ૡ૝ 
࢞ ൌ ૛ૡ 
O quociente da divisão de 28 por 7 é igual a 4. 
Letra C 
37. (MF 2009/ESAF) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se 
apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 
horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá 
em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao 
máximo, em quanto tempo o tanque encherá? 
a) 12 horas 
b) 30 horas 
c) 20 horas 
d) 24 horas 
e) 16 horas 
 
Resolução 
 
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Existe uma tática muito boa para resolver problemas envolvendo produção e 
tempo. A tática é a seguinte: perguntar o que cada objeto produz na unidade de 
tempo. 
 
A primeira torneira enche o tanque em 24 horas. Isto significa que eu posso 
dividir o tanque em 24 partes iguais e a torneira enche cada parte em 1 hora. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desta maneira, a primeira torneira enche 1/24 do tanque em 1 hora. 
 
A segunda torneira enche o tanque em 48 horas. Isto significa que eu posso 
dividir o tanque em 48 partes iguais e a torneira enche cada parte em 1 hora. 
Como o tanque foi dividido em 48 partes, cada parte representa 1/48 do 
tanque. Ou seja, a segunda torneira enche 1/48 do tanque em 1 hora. 
 
Ora, se a primeira torneira em 1 hora enche 1/24 do tanque e a segunda 
torneira em 1 hora enche 1/48 do tanque, então juntas em 1 hora encherão: 
 
1
24
൅
1
48
ൌ
2 ൅ 1
48
ൌ
3
48
ൌ
1
16
 
 
Analogamente, se juntas as torneiras enchem o tanque completamente em ݔ 
horas, em 1 hora encherão 1/x. 
 
Assim: 
 
O tanque foi dividido em 24 partes iguais. A torneira 
enche cada parte em 1 hora, totalizando 24 horas. 
Cada parte representa  
ଵ
ଶସ
  do tanque. 
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1
ݔ
ൌ
1
16
 
 
ݔ ൌ 16 ݄݋ݎܽݏ. 
Letra E 
 
Vamos agora criar uma resolução geral para problemas de produção e tempo? 
 
Considere que um objeto execute um serviço em ܽ horas, outro objeto execute 
um serviço o mesmo serviço em ܾ horas, outro objeto execute o mesmo serviço 
em ܿ horas e assim por diante. Considere ainda que juntos, os objetos 
executem o serviço em ݔ horas. Temos a seguinte relação: 
 
1
ܽ
൅
1
ܾ
൅ ڮ ൌ
1
ݔ
 
 
No nosso caso, a primeira torneira enche o tanque em 24 horas e a segunda 
torneira enche o tanque em 48 horas. Elas enchem o tanque em ݔ ݄݋ݎܽݏ. 
 
1
24
൅
1
48
ൌ
1
ݔ
 
 
2 ൅ 1
48
ൌ
1
ݔ
֞
3
48
ൌ
1
ݔ
 
 
Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos: 
 
3 · ݔ ൌ 1 · 48 
 
ݔ ൌ
48
3
ൌ 16 ݄݋ݎܽݏ. 
 
38. (Oficial de Chancelaria – MRE 2009/FCC) Certo dia, Alfeu e Gema foram 
incumbidos de, no dia seguinte, trabalharem juntos a fim de cumprir umacerta 
tarefa; entretanto, como Alfeu faltou ao serviço no dia marcado para a 
execução de tal tarefa, Gema cumpriu-a sozinha. Considerando que, juntos, 
eles executariam a tarefa em 3 horas e que, sozinho, Alfeu seria capaz de 
executá-la em 5 horas, o esperado é que, sozinha, Gema a tenha cumprido em 
a) 6 horas e 30 minutos. 
b) 7 horas e 30 minutos. 
c) 6 horas. 
d) 7 horas. 
e) 8 horas. 
 
Resolução 
 
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Alfeu executa o serviço sozinho em 5 horas. Gema executa o serviço sozinha 
em ݃ horas. Juntos, executariam o serviço em 3 horas. 
 
1
5
൅
1
݃
ൌ
1
3
 
1
݃
ൌ
1
3
െ
1
5
֞
1
݃
ൌ
5 െ 3
15
 
 
1
݃
ൌ
2
15
 
Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos: 
 
2 · ݃ ൌ 1 · 15 
 
ݔ ൌ
15
2
ൌ 7,5 ݄݋ݎܽݏ ൌ 7 ݄݋ݎܽݏ ݁ 30 ݉݅݊ݑݐ݋ݏ 
 
Letra B 
 
39. (ANEEL 2004/ESAF) Para ݔ ് 5, a simplificação da expressão 
10ݔ െ 50
25 െ 5ݔ
 
é dada por: 
a) െ2 
b) 2 
c) െ5 
d) 5 
e) 25 
Resolução 
Vejamos o numerador: 
10ݔ െ 50 ൌ 10 · ሺݔ െ 5ሻ 
Vejamos o denominador: 
25 െ 5ݔ ൌ 5 · ሺ5 െ ݔሻ ൌ െ5 · ሺݔ െ 5ሻ 
Desta forma: 
10ݔ െ 50
25 െ 5ݔ
ൌ
10 · ሺݔ െ 5ሻ
െ5 · ሺݔ െ 5ሻ
 
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Como ݔ ് 5, podemos cortar os fatores ሺݔ െ 5ሻ. 
10ݔ െ 50
25 െ 5ݔ
ൌ
10 · ሺݔ െ 5ሻ
െ5 · ሺݔ െ 5ሻ
ൌ
10
െ5
ൌ െ2 
Dê uma olhada nas alternativas. A resposta não depende do valor de x. 
Portanto, podemos escolher um valor arbitrário para x. Vamos, por exemplo, 
substituir x por 1. 
10ݔ െ 50
25 െ 5ݔ
ൌ
10 · 1 െ 50
25 െ 5 · 1
ൌ
10 െ 50
25 െ 5
ൌ
െ40
20
ൌ െ2 
Bem melhor, não? 
Letra A 
40. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Carlos e Márcio são irmãos. Carlos dá a Márcio 
tantos reais quantos Márcio possui e, em seguida, Márcio dá a Carlos tantos 
reais quantos Carlos possui. Se terminaram com 16 reais cada um, a quantia 
que Carlos tinha inicialmente era de: 
 
a) 12 reais 
b) 15 reais 
c) 18 reais 
d) 20 reais 
e) 24 reais 
Resolução 
Uma dica: procure sempre utilizar letras que façam referência ao nome das 
pessoas envolvidas. Esqueça essa “mania” de sempre usar x,y,z... 
No nosso caso, Carlos tem ࢉ reais e Márcio tem ࢓ reais. 
1ª informação: Carlos dá a Márcio tantos reais quantos Márcio possui. 
Já que Márcio possui ݉ reais, Carlos dará ݉ reais para Márcio. Vejamos o que 
acontece com as quantias de cada um: 
 
 Carlos Márcio 
Início ࢉ ࢓ 
Carlos dá ࢓ reais para 
Márcio 
ࢉ െ ࢓ ࢓ ൅ ࢓ ൌ ૛࢓ 
 
É óbvio notar que se Carlos dá ݉ reais para Márcio, então Carlos perde ݉ reais e 
Márcio ganha ݉ ݎ݁ܽ݅ݏ. 
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1ª informação: Márcio dá a Carlos tantos reais quantos Carlos possui. 
Atualmente, Carlos possui ሺܿ െ ݉ሻ ݎ݁ܽ݅ݏ. Portanto, Márcio dará a Carlos ሺܿ െ ݉ሻ ݎ݁ܽ݅ݏ. 
 Carlos Márcio 
Início ࢉ ࢓ 
Carlos dá ࢓ 
reais para 
Márcio 
ࢉ െ ࢓ ࢓ ൅ ࢓ ൌ ૛࢓ 
Márcio dá 
(ࢉ െ ࢓ሻ reais a 
Carlos 
ࢉ െ ࢓ ൅ ሺࢉ െ ࢓ሻ ൌ ૛ࢉ െ ૛࢓ ૛࢓ െ ሺࢉ െ ࢓ሻ ൌ ૜࢓ െ ࢉ 
 
As duas quantias são iguais a 16 reais. 
ቄ2ܿ െ 2݉ ൌ 16
3݉ െ ܿ ൌ 16
 
Olhemos para a primeira equação: 
2ܿ െ 2݉ ൌ 16 
Podemos dividir os dois membros da equação por 2. 
ܿ െ ݉ ൌ 8 
ܿ ൌ ݉ ൅ 8 
Vamos substituir esta expressão na segunda equação. 
3݉ െ ܿ ൌ 16 
3݉ െ ሺ݉ ൅ 8ሻ ൌ 16 
3݉ െ ݉ െ 8 ൌ 16 
2݉ ൌ 16 ൅ 8 ֞ 2݉ ൌ 24 ֞ ݉ ൌ 12 
Como ܿ ൌ ݉ ൅ 8: 
ܿ ൌ 12 ൅ 8 ൌ 20 ݎ݁ܽ݅ݏ. 
Letra D 
41. (SERPRO 2001/ESAF) Três meninas, cada uma delas com algum dinheiro, 
redistribuem o que possuem da seguinte maneira: Alice dá a Bela e a Cátia 
dinheiro suficiente para duplicar a quantia que cada uma possui. A seguir, Bela 
dá a Alice e a Cátia o suficiente para que cada uma duplique a quantia que 
possui. Finalmente, Cátia faz o mesmo, isto é, dá a Alice e a Bela o suficiente 
para que cada uma duplique a quantia que possui. Se Cátia possuía R$ 36,00 
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tanto no início quanto no final da distribuição, a quantia total que as três 
meninas possuem juntas é igual a: 
a) R$ 214,00 
b) R$ 252,00 
c) R$ 278,00 
d) R$ 282,00 
e) R$ 296,00 
 
Resolução 
 
Vamos montar uma tabela com a evolução da quantia que cada pessoa possui. 
 
 Alice Bela Cátia 
Início ܽ ܾ 36 
 
Alice dá a Bela e a Cátia dinheiro suficiente para duplicar a quantia que cada uma 
possui. 
 
Para que Bela duplique sua quantia, ela deve receber ܾ reais. Para que Cátia duplique 
sua quantia, ela deve receber 36 reais. 
 
Alice Bela Cátia 
ܽ ܾ 36 
 
 
ܽ െ ܾ െ 36 
 
 
ܾ ൅ ܾ ൌ 2ܾ 
 
 
36 ൅ 36 ൌ 72 
 
Bela dá a Alice e a Cátia o suficiente para que cada uma duplique a quantia que 
possui. 
 
Para que Alice duplique sua quantia, ela deve receber ܽ െ ܾ െ 36. Para que Cátia 
duplique a sua quantia, ela deve receber 72 reais. 
 
Alice Bela Cátia 
2 · ሺܽ െ ܾ െ 36ሻ 2ܾ െ ሺܽ െ ܾ െ 36ሻ െ 72 2 · 72 ൌ 144 
 
Manipulando a expressão da quantia de Bela: 
 
 
 
Alice Bela Cátia 
2 · ሺܽ െ ܾ െ 36ሻ 3ܾ െ ܽ െ 36 2 · 72 ൌ 144 
 
Cátia faz o mesmo, isto é, dá a Alice e a Bela o suficiente para que cada uma duplique 
a quantia que possui. 
 
Para que Alice duplique a sua quantia, ela deve receber 2 · ሺܽ െ ܾ െ 36ሻ. Para que 
Bela duplique a sua quantia, ela deve receber 3ܾ െ ܽ െ 36. 
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Cátia possuía 144 reais. Como deu 2 · ሺܽ െ ܾ െ 36ሻ para Alice e 3ܾ െ ܽ െ 36 para Bela, 
então ficou com: 
 
144 െ 2 · ሺܽ െ ܾ െ 36ሻ– ሺ3ܾ െ ܽ െ 36ሻ 
 
No final, Cátia ficou com 36 reais. Portanto, 
 
144 െ 2 · ሺܽ െ ܾ െ 36ሻ– ሺ3ܾ െ ܽ െ 36ሻ ൌ 36 
 
144 െ 2ܽ ൅ 2ܾ ൅ 72 െ 3ܾ ൅ ܽ ൅ 36 ൌ 36 
 
െܽ െ ܾ ൌ െ216 
 
Multiplicando os dois membros por ሺെ1ሻ: 
 
ܽ ൅ ܾ ൌ 216 
 
A quantia total que as três meninas possuem juntas é igual a: 
 
ܽ ൅ ܾ ൅ ܿ ൌ 216 ൅ 36 ൌ 252 
Letra B 
 
42. (CEAGESP 2006/CONSULPLAN) Rui diz a Pedro: Se você me der 1/5 do 
dinheiro que possui, eu ficarei com uma quantia igual ao dobro do que lhe 
restará. Por outro lado, se eu lhe der R$ 6,00 do meu dinheiro, nós ficaremos 
com quantias iguais. Quanto de dinheiro possui Rui? 
a) R$ 42,00 
b) R$ 31,00 
c) R$ 25,00 
d) R$ 28,00 
e) R$ 47,00 
Resolução 
 
Vamos assumir que Rui possui ݎ reais e que Pedro possui ݌ reais. 
 
“Rui diz a Pedro: Se você me der 1/5 do dinheiro que possui, eu ficarei com uma 
quantia igual ao dobro do que lhe restará.” 
 
Se Pedro der 1/5 do seu dinheiro, ficará com 4/5 da sua quantia. 
 
Ou seja, se Pedro possuía ݌ ݎ݁ܽ݅ݏ, ficará com ସ
ହ
· ݌. 
Rui receberá 1/5 da quantia de Pedro. Como Rui possuía ݎ ݎ݁ܽ݅ݏ, ficará com ݎ ൅ ଵ
ହ
· ݌. 
 
Sabemos que a quantia que Rui fica é o dobro da quantia de Pedro. 
 
ݎ ൅
1
5
· ݌ ൌ 2 ·
4
5
· ݌ 
 
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ݎ ൅
1
5
· ݌ ൌ
8
5
· ݌ 
 
ݎ ൌ
8
5
· ݌ െ
1
5
· ݌ 
 
ݎ ൌ
7
5
· ݌ 
 
5ݎ ൌ 7݌ 
 
 
Rui diz a Pedro:  
“Por outro lado, se eu lhe der R$ 6,00 do meu dinheiro, nós ficaremos com quantias 
iguais.” 
Pedro ficará com ݌ ൅ 6 reais e Rui ficará com ݎ െ 6 reais. Estas duas quantias devem 
ser iguais. 
݌ ൅ 6 ൌ ݎ െ 6 
݌ ൌ ݎ െ 12 
Substituindoesta expressão na equação obtida acima: 
 
5ݎ ൌ 7݌ 
 
5ݎ ൌ 7 · ሺݎ െ 12ሻ 
 
5ݎ ൌ 7ݎ െ 84 
 
െ2ݎ ൌ െ84 ֞ 2ݎ ൌ 84 ֞ ݎ ൌ 42 ݎ݁ܽ݅ݏ. 
 
Letra A 
 
43. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) Antônio, Bruno e Carlos compraram 
um barco por R$ 600,00. Antônio pagou a metade do que os outros dois juntos 
pagaram. Bruno pagou a terça parte do que os outros dois juntos pagaram. 
Então Carlos pagou: 
 
a) R$150,00 
b) R$200,00 
c) R$250,00 
d) R$300,00 
e) R$350,00 
 
Resolução 
 
Vamos utilizar as letras ܽ, ܾ, ܿ para indicar as quantias pagas por Antônio, Bruno e 
Carlos, respectivamente. 
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1ª informação ՜ Antônio, Bruno e Carlos compraram um barco por R$ 600,00. 
 
ܽ ൅ ܾ ൅ ܿ ൌ 600 
2ª informação ՜ Antônio pagou a metade do que os outros dois juntos pagaram. 
 
ܽ ൌ
ܾ ൅ ܿ
2
֞ ࢈ ൅ ࢉ ൌ ૛ࢇ 
 
3ª informação ՜ Bruno pagou a terça parte do que os outros dois juntos pagaram. 
 
ܾ ൌ
ܽ ൅ ܿ
3
֞ ܽ ൅ ܿ ൌ 3ܾ 
 
Voltemos à primeira equação: 
 
ܽ ൅ ࢈ ൅ ࢉ ൌ 600 
 
Sabemos que ࢈ ൅ ࢉ ൌ ૛ࢇ. Portanto, 
 
ܽ ൅ ૛ࢇ ൌ 600 
 
3ܽ ൌ 600 
 
ܽ ൌ 200 
 
Vamos utilizar o mesmo artifício com a terceira informação. 
 
Sabemos que ࢇ ൅ ࢉ ൌ ૜࢈ e que ࢇ ൅ ܾ ൅ ࢉ ൌ 600. 
 
ܾ ൅ ૜࢈ ൌ 600 
 
4ܾ ൌ 600 
 
ܾ ൌ 150 
ܽ ൅ ܾ ൅ ܿ ൌ 600 
 
200 ൅ 150 ൅ ܿ ൌ 600 
 
350 ൅ ܿ ൌ 600 
 
ܿ ൌ 250 
 
Letra C 
 
 
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44. (EPPGG – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Em cada quadradinho da figura abaixo 
há um número escondido. 
Nas figuras a seguir, está escrita, abaixo de cada uma, a soma dos números dos 
quadradinhos sombreados. 
 
 16 21 11 
O número que está no primeiro quadradinho é: 
a) 3 
b) 5 
c) 8 
d) 11 
e) 13 
Resolução 
Chamemos o número escondido no primeiro quadrado de ݔ, o segundo número de ݕ e 
o terceiro de ݖ. 
ݔ ݕ ݖ 
 
Concluímos que: 
ݔ ൅ ݕ ൌ 16 
ݔ ൅ ݖ ൌ 21 
ݕ ൅ ݖ ൌ 11 
Este é um sistema linear muito famoso em questões de matemática. É um sistema 
com 3 incógnitas. Só que em cada equação aparece a soma de duas das três 
incógnitas. O processo mais rápido para resolver esse tipo de sistema é o seguinte: 
i) Escolha a incógnita que você quer calcular. 
ii) Multiplique por (-1) os dois membros da equação que não tem a incógnita escolhida 
por você. 
iii) Some as três equações. 
Como queremos calcular o número do primeiro quadradinho, então a incógnita 
escolhida é ݔ. 
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A equação que não aparece o ݔ é a terceira. Portanto, vamos multiplicar os dois 
membros da terceira equação por -1. 
ݔ ൅ ݕ ൌ 16 
ݔ ൅ ݖ ൌ 21 
െݕ െ ݖ ൌ െ11 
Ao somar as três equações, ݕ ݁ ݖ serão cancelados. 
Ficamos com: 
ݔ ൅ ݔ ൌ 16 ൅ 21 െ 11 
2ݔ ൌ 26 
ݔ ൌ 13 
Letra E 
45. (Assistente Administrativo – SERGIPE GAS 2010/FCC) Três equipes, X, Y 
e Z, trabalham em obras de canalização e distribuição de gás natural. 
Considere que, em certo período, a soma dos comprimentos dos dutos 
montados por X e Y foi 8,2 km, por Y e Z foi 8,9 km e por X e Z foi 9,7 km. O 
comprimento dos dutos montados pela equipe 
 
(A) X foi 4 200 m. 
(B) X foi 4 500 m. 
(C) Y foi 3 500 m. 
(D) Y foi 3 900 m. 
(E) Z foi 5 000 m. 
Resolução 
De acordo com o enunciado temos: 
ݔ ൅ ݕ ൌ 8,2 
ݕ ൅ ݖ ൌ 8,9 
ݔ ൅ ݖ ൌ 9,7 
O processo mais rápido para resolver esse tipo de sistema é o seguinte: 
i) Escolha a incógnita que você quer calcular. 
ii) Multiplique por (-1) os dois membros da equação que não tem a incógnita escolhida 
por você. 
iii) Some as três equações. 
Vamos multiplicar a última equação por ሺെ1ሻ. 
ݔ ൅ ݕ ൌ 8,2 
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ݕ ൅ ݖ ൌ 8,9 
െݔ െ ݖ ൌ െ9,7 
o somar as três equações, ݔ ݁ ݖ serão cancelados. 
Ficamos com: 
ݕ ൅ ݕ ൌ 8,2 ൅ 8,9 െ 9,7 
2ݕ ൌ 7,4 
ݕ ൌ 3,7 
Substituindo este valor na primeira equação: 
ݔ ൅ 3,7 ൌ 8,2 
ݔ ൌ 4,5 
Como ݕ ൅ ݖ ൌ 8,9: 
3,7 ൅ ݖ ൌ 8,9 
ݖ ൌ 5,2 
Desta maneira, comprimento dos dutos montados pela equipe: 
ܺ foi ݔ ൌ 4,5 ݇݉ ൌ 4.500 ݉ 
ܻ foi ݕ ൌ 3,7 ݇݉ ൌ 3.700 ݉ 
ܼ foi ݖ ൌ 5,2 ݇݉ ൌ 5.200 ݉ 
Letra B 
Equação do 2º grau 
 
Denomina-se equação do 2º grau toda equação na forma ax2 + bx + c = 0, onde a, b 
e c são números reais e a ≠ 0. 
Para calcular os possíveis valores que satisfazem a equação acima, devemos utilizar a 
fórmula abaixo: 
2 4
2
b b acx
a
− ± −= 
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Denominamos discriminante o número real 2 4b acΔ = − , podemos reescrever a 
fórmula resolutiva da equação do segundo grau da seguinte maneira, 
2
bx
a
− ± Δ= 
Resolva as equações abaixo: 
( )
2
2
) 2 10 12 0
2, 10, c 12
10 4 2 12
4
( 10) 4 10 2
2 2 4
2 ou 3
{2;3}
a x x
a b
x
x x
S
− + =
= = − =
Δ = − − ⋅ ⋅
Δ =
− − ± ±= =⋅
= =
=
               
( )
2
2
b) 6 9 0
1, 6, c 9
6 4 ( 1) ( 9)
0
6 0 6 0
2 ( 1) 2
3 ou 3
{3}
x x
a b
x
x x
S
− + − =
= − = = −
Δ = − ⋅ − ⋅ −
Δ =
− ± − ±= =⋅ − −
= =
=
               
( )
2
2
) 4 7 0
1, 4, c 7
4 4 1 7
12
12
c x x
a b
R
S φ
− + =
= = − =
Δ = − − ⋅ ⋅
Δ = −
Δ = − ∉
=
 
Observe  que  no  terceiro  exemplo  o  discriminante  é  negativo.  Em  casos  como  este,  o 
conjunto solução sempre será o conjunto vazio, isto porque as raízes quadradas de números 
negativos não podem ser calculadas com  números reais. 
Observando os exemplos acima resolvidos, verificamos que há três casos a considerar. 
 
0 Duas raízes reais e distintas
0 Duas raízes reais e iguais 
0 Não há raízes reais
Δ > ⇔
Δ = ⇔
Δ < ⇔  
46. (CAERN 2010/FGV) A soma de dois números inteiros é 17, e o produto deles vale 
52. A diferença entre esses números é 
a) 9 
b) 8 
c) 10 
d) 12 
e) 11 
Resolução 
Vamos considerar que os números são ݔ e ݕ. A soma deles é 17 e o produto é 52. 
Alguns rapidamente percebem que os números são 4 e 13. Desta forma a diferença 
entre eles é 9. Letra A 
Quem não perceber, deverá resolver o seguinte sistema: 
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൜
ݔ ൅ ݕ ൌ 17
ݔݕ ൌ 52 
Da primeira equação, concluímos que ݕ ൌ 17 െ ݔ. Substituindo esta expressão na 
segunda equação, temos: 
ݔݕ ൌ 52 
ݔ · ሺ17 െ ݔሻ ൌ 52 
17ݔ െ ݔଶ ൌ 52 
െݔଶ ൅ 17ݔ െ 52 ൌ 0 
Desta forma, ܽ ൌ െ1, ܾ ൌ 17 e ܿ ൌ െ52. 
As raízes podem ser calculadas com o auxílio da seguinte fórmula 
 
ݔ ൌ
െܾ േ √ܾଶ െ 4ܽܿ
2ܽ
 
 
ݔ ൌ
െ17 േ ඥ17ଶ െ 4 · ሺെ1ሻ · ሺെ52ሻ
2 · ሺെ1ሻ
 
 
ݔ ൌ
െ17 േ √81
െ2
ൌ
െ17 േ 9
െ2
 
Desta forma, 
ݔ ൌ 4 ou ݔ ൌ 13. 
 
Como ݕ ൌ 17 െ ݔ, então: 
 
Se ݔ ൌ 4, então ݕ ൌ 13. 
Se ݔ ൌ 13, então ݕ ൌ 4. 
 
Os números procurados são 4 e 13. 
 
A diferença entre eles é igual a 9. 
 
Letra A 
 
47. (Pref. Municipal de Cruzeiro 2006/CETRO) Quais as raízes da equação: 
x² - 8x + 7 = 0 
a) (1,-1) 
b) (-7,-1) 
c) (7,1) 
d) (-7,1) 
e) (-1,0) 
 
Resolução 
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Considere uma equação do 2º grau ܽݔଶ ൅ ܾݔ ൅ ܿ ൌ 0, com ܽ ് 0. As raízes 
podem ser calculadas com o auxílioda seguinte fórmula 
 
ݔ ൌ
െܾ േ √ܾଶ െ 4ܽܿ
2ܽ
 
 
Na equação dada, temos que a = 1, b = - 8 e c = 7. Logo, 
 
ݔ ൌ
െሺെ8ሻ േ ඥሺെ8ሻଶ െ 4 · 1 · 7
2 · 1
 
 
ݔ ൌ
8 േ √64 െ 28
2
 
 
ݔ ൌ
8 േ 6
2
 
 
Assim, x = 7 ou x = 1. 
 
Letra C 
 
48. (Assistente Administrativo IMBEL 2004/CETRO) Indique a alternativa que 
represente o conjunto solução em R, para a equação: x4+13x2+36 =0 
 
a) S={-2,2,-3,3} 
b) conjunto vazio 
c) S={-2,-3} 
d) S={2,3} 
e) S={-2,-3,-1,1} 
 
Resolução 
 
A equação dada é chamada de biquadrada e pode ser resolvida com a ajuda 
de uma mudança de variável. Chamemos x2 de y. Ou seja, 
x2 = y. Assim, x4 = y2. A equação ficará 
ݕଶ ൅ 13ݕ ൅ 36 ൌ 0 
 
Ou seja, temos agora uma equação do segundo grau em y. Para resolver uma 
equação do segundo grau com coeficientes a,b e c (na nossa equação a = 1, b 
= 13 e c = 36) devemos utilizar a seguinte fórmula: 
ݕ ൌ
െܾ േ √ܾଶ െ 4ܽܿ
2ܽ
 
ݕ ൌ
െ13 േ √13ଶ െ 4 · 1 · 36
2 · 1
 
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ݕ ൌ
െ13 േ √169 െ 144
2
 
ݕ ൌ
െ13 േ 5
2
 
Assim, 
 
ݕ ൌ
െ13 ൅ 5
2
ൌ െ4 
ou 
 
ݕ ൌ
െ13 െ 5
2
ൌ െ9 
 
Como x2=y, então x2 = -4 (x não pertence aos reais, pois não há número real 
que elevado ao quadrado seja igual a -4, porque todo número real elevado ao 
quadrado é não-negativo) ou x2 = -9 (x não pertence aos reais pelo mesmo 
motivo). Assim, o conjunto-solução da equação é o conjunto vazio. 
 
Letra B 
 
 
49. (TTN 1997/ESAF) A soma de todas as raízes da equação 
x4 - 25x2 + 144 = 0 é igual a 
a) 0 
b) 16 
c) 9 
d) 49 
e) 25 
Resolução 
 
A equação dada é chamada de biquadrada e pode ser resolvida com a ajuda 
de uma mudança de variável. Chamemos x2 de y. Ou seja, 
x2 = y. Assim, x4 = y2. A equação ficará 
ݕଶ െ 25ݕ ൅ 144 ൌ 0 
 
Ou seja, temos agora uma equação do segundo grau em y. Para resolver uma 
equação do segundo grau com coeficientes a,b e c (na nossa equação a = 1, 
b = -25 e c = 144) devemos utilizar a seguinte fórmula: 
ݕ ൌ
െܾ േ √ܾଶ െ 4ܽܿ
2ܽ
 
ݕ ൌ
െሺെ25ሻ േ ඥሺെ25ሻଶ െ 4 · 1 · 144
2 · 1
 
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ݕ ൌ
25 േ √625 െ 576
2
 
ݕ ൌ
25 േ 7
2
 
Assim, 
 
ݕ ൌ
25 ൅ 7
2
ൌ 16 
ou 
 
ݕ ൌ
25 െ 7
2
ൌ 9 
 
Como x2=y, então x2 = 16 ou x2 = 9. 
 
ݔଶ ൌ 16 ݋ݑ ݔଶ ൌ 9 
 
ݔ ൌ 4 ݋ݑ ݔ ൌ െ4 ݋ݑ ݔ ൌ 3 ݋ݑ ݔ ൌ െ3 
 
A soma de todas as raízes da equação é 4 ൅ ሺെ4ሻ ൅ 3 ൅ ሺെ3ሻ ൌ 0. 
 
 
Letra A 
 
50. (AFC-STN 2002/ESAF) A soma dos valores reais de ݔ 
ݔଶ ൅ ݔ ൅ 1 ൌ
156
ݔଶ ൅ ݔ
 
é igual a: 
a) െ6 
b) െ2 
c) െ1 
d) 6 
e) 13 
Resolução 
Vamos utilizar um artifício para facilitar os cálculos. Fazendo ݔଶ ൅ ݔ ൌ ݕ, a 
equação ficará: 
ݕ ൅ 1 ൌ
156
ݕ
 
ݕ · ሺݕ ൅ 1ሻ ൌ 156 
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ݕଶ ൅ ݕ ൌ 156 
ݕଶ ൅ ݕ െ 156 ൌ 0 
ݕ ൌ
െܾ േ √ܾଶ െ 4ܽܿ
2ܽ
ൌ
െ1 േ ඥ1ଶ െ 4 · 1 · ሺെ156ሻ
2 · 1
ൌ
െ1 േ √625
2
ൌ
െ1 േ 25
2
 
ݕ ൌ
െ1 െ 25
2
ൌ െ13 ou ݕ ൌ
െ1 ൅ 25
2
ൌ 12 
i) ݕ ൌ െ13 
ݔଶ ൅ ݔ ൌ െ13 
ݔଶ ൅ ݔ ൅ 13 ൌ 0 
ݔ ൌ
െ1 േ √1ଶ െ 4 · 1 · 13
2 · 1
ൌ
െ1 േ √െ51
2
 
Como o problema pede para trabalhar com raízes reais, não podemos 
continuar neste caso, pois a raiz quadrada de െ51 não é um número real. 
ii) ݕ ൌ 12 
ݔଶ ൅ ݔ ൌ 12 
ݔଶ ൅ ݔ െ 12 ൌ 0 
ݔ ൌ
െ1 േ ඥ1ଶ െ 4 · 1 · ሺെ12ሻ
2 · 1
ൌ
െ1 േ 7
2
 
ݔ ൌ
െ1 െ 7
2
ൌ െ4 ݋ݑ ݔ ൌ
െ1 ൅ 7
2
ൌ 3 
A soma dos valores reais de x é igual a െ4 ൅ 3 ൌ െ1. 
Letra C 
 
51. (TFC 2000/ESAF) Determinar ܽ de modo que a equação 
 4ݔଶ ൅ ሺܽ െ 4ሻݔ ൅ 1 െ ܽ ൌ 0 tenha duas raízes iguais: 
a) ܽ ൌ 0 
b) ܽ ൌ െ8 ݋ݑ ܽ ൌ 0 
c) ܽ ൌ 8 
d) െ8 ൏ ܽ ൏ 0 
e) ܽ ൏ 0 ݋ݑ ܽ ൐ 8 
Resolução 
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Uma equação do tipo ܽݔଶ ൅ ܾݔ ൅ ܿ ൌ 0 tem raízes iguais se e somente se o 
discriminante Δ ൌ ܾଶ െ 4ܽܿ for igual a 0. 
4ݔଶ ൅ ሺܽ െ 4ሻݔ ൅ 1 െ ܽ ൌ 0 
ሺܽ െ 4ሻଶ െ 4 · 4 · ሺ1 െ ܽሻ ൌ 0 
ܽଶ െ 8ܽ ൅ 16 െ 16 ൅ 16ܽ ൌ 0 
ܽଶ ൅ 8ܽ ൌ 0 
Vamos colocar ܽ em evidência. 
ܽ · ሺܽ ൅ 8ሻ ൌ 0 
Devemos pensar o seguinte: quando é que multiplicamos dois números e o resultado é 
igual a 0? Quando qualquer um dos fatores for igual a 0. 
Portanto, ܽ ൌ 0 ݋ݑ ܽ ൅ 8 ൌ 0 
Ou seja, ܽ ൌ 0 ݋ݑ ܽ ൌ െ8. 
Letra B 
 
52. (SEA-AP 2002/FCC) Em certo momento, o número X de soldados em um 
policiamento ostensivo era tal que subtraindo-se do seu quadrado o seu 
quádruplo, obtinha-se 1.845. O valor de X é: 
a) 42 
b) 45 
c) 48 
d) 50 
e) 52 
Resolução 
De acordo com o enunciado, ݔଶ െ 4ݔ ൌ 1.845. 
ݔଶ െ 4ݔ െ 1.845 ൌ 0 
Vamos calcular o discriminante: 
Δ ൌ ܾଶ െ 4ܽܿ ൌ ሺെ4ሻଶ െ 4 · 1 · ሺെ1.845ሻ ൌ 7.396 
Temos que calcular a raiz quadrada de 7.396. 
Observe o seguinte fato: 
50ଶ ൌ 2.500 
60ଶ ൌ 3.600 
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70ଶ ൌ 4.900 
80ଶ ൌ 6.400 
90ଶ ൌ 8.100 
Como 6.400 ൏ 7.396 ൏ 8.100, então a raiz quadrada de 7.396 é um número que está 
entre 80 e 90. Como o algarismo das unidades de 7.396 é igual a 6 concluímos que a 
raiz quadrada só pode ser 84 ou 86 (isto porque 4 x 4 = 16 e 6 x 6 = 36). 
84ଶ ൌ 7.056 
Deu errado... Só pode ser 86! 
86ଶ ൌ 7.396 
Voltando à equação: 
ݔଶ െ 4ݔ െ 1.845 ൌ 0 
ݔ ൌ
െሺെ4ሻ േ 86
2 · 1
ൌ
4 േ 86
2
 
Como x representa o número de soldados, obviamente ݔ ൐ 0, portanto, devemos 
utilizar apenas o + na fórmula. 
x ൌ
4 ൅ 86
2
ൌ 45 soldados 
Letra B 
53. (TRT 2ª Região 2004/FCC) Alguns técnicos judiciários combinaram dividir 
igualmente entre si 108 processos a serem arquivados. Entretanto, no dia em que o 
trabalho seria realizado, dois técnicos faltaram ao serviço e, assim, coube a cada um 
dos outros arquivar 9 processos a mais que o inicialmente previsto. O número de 
processos que cada técnico arquivou foi: 
a) 16 
b) 18 
c) 21 
d) 25 
e) 27 
 
Resolução 
Digamos que há ݊ funcionários e que cada um arquivará ݌ processos. 
O total de processos é dado pelo produto do número de funcionários pelo número de 
processos que cada um arquivará. Desta forma: 
݊ · ݌ ൌ 108 
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݌ ൌ
108
݊
 
No dia em que o trabalho seria realizado, dois técnicos faltaram ao serviço e, assim, 
coube a cada um dos outros arquivar 9 processos a mais que o inicialmente previsto. 
Ou seja, cada um dos ሺ݊ െ 2ሻ funcionários arquivará ሺ݌ ൅ 9ሻ processos. 
 
ሺ݊ െ 2ሻ · ሺ݌ ൅ 9ሻ ൌ 108 
 
݊ · ݌ ൅ 9݊ െ 2݌ െ 18 ൌ 108 
Sabemos que ݊ · ݌ ൌ 108, logo: 
108 ൅ 9݊ െ 2݌ െ 18 ൌ 108 
108 ൅ 9݊ െ 2݌ െ 18 െ 108 ൌ 0 
9݊ െ 2݌ െ 18 ൌ 0 
Vamos substituir o valor de ݌ por ଵ଴଼
௡
. 
9݊ െ 2 ·
108
݊
െ 18 ൌ 0 
9݊ െ
216
݊
െ 18 ൌ 0 
Vamos multiplicar os dois membros da equação por ݊. 
9݊ · ݊ െ
216
݊
· ݊ െ 18 · ݊ ൌ 0 · ݊ 
9݊ଶ െ 18݊ െ 216 ൌ 0 
Para simplificar as contas, vamos dividir os dois membros por 9. 
݊ଶ െ 2݊ െ 24 ൌ 0 
݊ ൌ
െܾ േ √ܾଶ െ 4ܽܿ
2ܽ
ൌ
െሺെ2ሻ േ ඥሺെ2ሻଶ െ 4 · 1 · ሺെ24ሻ
2 · 1
ൌ
2 േ 10
2
 
Como o número de funcionários é positivo, devemos utilizar apenas o +. 
݊ ൌ
2 ൅ 10
2
ൌ
12
2
ൌ 6 funcionários. 
݌ ൌ
108
݊
ൌ
108
6
ൌ 18 ݌ݎ݋ܿ݁ݏݏ݋ݏ ݌ܽݎܽ ܿܽ݀ܽ ݂ݑ݊ܿ݅݋݊áݎ݅݋ 
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www.pontodosconcursos.com.brEssa é a situação inicial: 6 funcionários, cada um arquiva 18 processos. Faltaram 2 
funcionários, portanto apenas 4 funcionários trabalharam. Cada um deles arquivou 9 
processos a mais, portanto, cada um deles arquivou 27 processos. 
Letra E 
Relações de Girard 
 
Vamos resolver a equação 12ݔଶ െ 10ݔ ൅ 2 ൌ 0. 
Considerando a notação usual ܽݔଶ ൅ ܾݔ ൅ ܿ ൌ 0, temos que ܽ ൌ 12, ܾ ൌ െ10 ݁ ܿ ൌ 2. 
ݔ ൌ
െܾ േ √ܾଶ െ 4ܽܿ
2ܽ
ൌ
െሺെ10ሻ േ ඥሺെ10ሻଶ െ 4 · 12 · 2
2 · 12
 
ݔ ൌ
10 േ 2
24
 
Assim: 
ݔଵ ൌ
10 ൅ 2
24
ൌ
12
24
ൌ
1
2
 ݋ݑ ݔଶ ൌ
10 െ 2
24
ൌ
8
24
ൌ
1
3
 
Vamos calcular a soma das raízes: 
ܵ ൌ ݔଵ ൅ ݔଶ ൌ
1
2
൅
1
3
ൌ
3 ൅ 2
6
ൌ
5
6
 
Vamos calcular o produto das raízes: 
ܲ ൌ ݔଵ · ݔଶ ൌ
1
2
·
1
3
ൌ
1
6
 
Pronto! Todo este trabalho para calcular a soma e o produto das raízes da equação do 
segundo grau. Será que existe uma forma mais rápida? Sim... Existe! É sobre este 
assunto que falaremos agora: As Relações de Girard. 
São duas fórmulas que nos ajudam a calcular a soma e o produto. 
Vejamos: Chamaremos de ݔଵ ݁ ݔଶ as raízes da equação ܽݔଶ ൅ ܾݔ ൅ ܿ ൌ 0. 
Desta maneira: 
1 2 e 2 2
b bx x
a a
− + Δ − − Δ= =  
Vamos multiplicar e somar estes dois números: 
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Vamos voltar ao nosso exemplo:  
12ݔଶ െ 10ݔ ൅ 2 ൌ 0. 
ܽ ൌ 12, ܾ ൌ െ10 ݁ ܿ ൌ 2 
Pois bem, de acordo com as relações de Girard, a soma das raízes é dada por: 
ܵ ൌ
െܾ
ܽ
ൌ
െሺെ10ሻ
12
ൌ
10
12
ൌ
5
6
 
O produto das raízes é dado por: 
ܲ ൌ
ܿ
ܽ
ൌ
2
12
ൌ
1
6
 
54. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) O valor de m para que a 
soma das raízes da equação de segundo grau mx2 – 7x + 10 = 0 seja igual a 7 
é: 
a) - 7 
b) - 2 
c) 1 
d) - 1 
e) 7 
 
Resolução 
 
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Lembremos o que dizem as Relações de Girard. Considere uma equação do 2º grau 
ܽݔଶ ൅ ܾݔ ൅ ܿ ൌ 0, com ܽ ് 0 cujas raízes podem ser calculadas com o auxílio da 
seguinte fórmula 
 
ݔ ൌ
െܾ േ √ܾଶ െ 4ܽܿ
2ܽ
 
 
A soma das raízes dessa equação é dada por 
 
ܵ ൌ
െܾ
ܽ
 
 
e o produto das raízes é dado por 
 
ܲ ൌ
ܿ
ܽ
 
 
Voltemos ao problema. Na equação mx2 – 7x + 10 = 0, temos que a = m, b = - 7 e c = 
10. 
 
A soma das raízes é igual a 7, logo 
 
െܾ
ܽ
ൌ 7 
 
7
݉
ൌ 7 
 
7݉ ൌ 7 
 
݉ ൌ 1 
 
Letra C 
 
55. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) Na equação de segundo 
grau 5x2 – 10x + 2m – 4 = 0, a soma das raízes é igual ao produto das 
mesmas, nessas condições, o valor de m é igual a: 
a) -2 
b) -1 
c) 5 
d) 7 
e) 2 
 
Resolução 
 
Na questão anterior vimos que na equação ܽݔଶ ൅ ܾݔ ൅ ܿ ൌ 0, a soma das raízes é 
dada por 
 
ܵ ൌ
െܾ
ܽ
 
 
e o produto das raízes é dado por 
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ܲ ൌ
ܿ
ܽ
 
 
Na equação dada, temos que a = 5, b = -10 e c = 2m – 4. 
 
Como a soma das raízes é igual ao produto das raízes, 
 
ܵ ൌ ܲ 
 
െܾ
ܽ
ൌ
ܿ
ܽ
 
 
െܾ ൌ ܿ 
 
െሺെ10ሻ ൌ 2݉ െ 4 
 
2݉ െ 4 ൌ 10 
 
2݉ ൌ 14 
 
݉ ൌ 7 
 
Letra D 
 
56. (Tribunal Regional do Trabalho, 12a Região • Santa Catarina 
2005/FEPESE) As raízes da função quadrática y = 2x2 +mx + 1 são positivas e 
uma é o dobro da outra. A soma dessas raízes é: 
a) 2,4 
b) 2,1 
c) 1,8 
d) 1,5 
e) 1,2 
 
Resolução 
 
Sejam x1 e x2 as raízes da equação dada. Temos que a = 2, b = m e c = 1. 
 
O texto nos informa que uma raiz é o dobro da outra. Ou seja, x1 = 2x2. 
 
Sabendo os valores de “a” e “c”, temos condições de calcular o produto das raízes. 
 
ݔଵ · ݔଶ ൌ
ܿ
ܽ
 
 Como x1 = 2x2, 
 
2 · ݔଶ · ݔଶ ൌ
1
2
 
 
ݔଶ
ଶ ൌ
1
4
 
 
Como as raízes são positivas, então 
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ݔଶ ൌ
1
2
 
 
Consequentemente 
 
ݔଵ ൌ 2 · ݔଶ ൌ 2 ·
1
2
ൌ 1 
 
Assim, a soma das raízes será igual a 
 
ݔଵ ൅ ݔଶ ൌ 1 ൅
1
2
ൌ
2 ൅ 1
2
ൌ
3
2
ൌ 1,5 
 
Letra D 
 
57. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) A equação ݔଶ ൅ ܾݔ ൅ ܿ ൌ 0 possui raízes 3 e 5. 
Então, ܾ ൅ ܿ é igual a: 
a) 7 
b) 10 
c) 15 
d) 19 
e) 23 
Resolução 
Lembremos o que dizem as Relações de Girard. Considere uma equação do 2º grau 
ܽݔଶ ൅ ܾݔ ൅ ܿ ൌ 0, com ܽ ് 0.  
A soma das raízes dessa equação é dada por 
 
ܵ ൌ
െܾ
ܽ
 
 
e o produto das raízes é dado por 
 
ܲ ൌ
ܿ
ܽ
 
 
Sabemos que ܽ ൌ 1. Como as duas raízes são 3 e 5, então a soma das raízes é 
ܵ ൌ 3 ൅ 5 ൌ 8 e o produto das raízes é ܲ ൌ 3 ൈ 5 ൌ 15. 
ܵ ൌ
െܾ
ܽ
֞
െܾ
1
ൌ 8 
ܾ ൌ െ8 
ܲ ൌ
ܿ
ܽ
֞
ܿ
1
ൌ 15 
ܿ ൌ 15 
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ܾ ൅ ܿ ൌ െ8 ൅ 15 ൌ 7 
Letra A 
Pares Ordenados 
 
Dados dois elementos a e b, podemos formar com eles o conjunto {a,b}, no qual é 
irrelevante a ordem dos elementos. Adotaremos como noção primitiva o conceito de 
par ordenado, um ente matemático que depende da ordem em que os números a e b 
são considerados. Um par ordenado é indicado entre parêntesis e os elementos são 
separados por vírgula (ou ponto e vírgula). 
Considere o par ordenado ሺܽ, ܾሻ. O número ܽ é chamado abscissa do par e o número 
ܾ é chamado ordenada do par. Dois pares ordenados são iguais se e somente se 
possuírem a mesma abscissa e a mesma ordenada. 
ሺܽ, ܾሻ ൌ ሺܿ, ݀ሻ ֞ ܽ ൌ ܿ ݁ ܾ ൌ ݀ 
Exemplo: 
Os pares ordenados ሺ2, 3ሻ ݁ ቀ√4,
଺
ଶ
ቁ são iguais porque: 
2 ൌ 4 ݁ 3 ൌ
6
2
 
Observe que em geral ሺܽ, ܾሻ ് ሺܾ, ܽሻ. Só teremos a igualdade ሺܽ, ܾሻ ൌ ሺܾ, ܽሻ nos casos 
em que ܽ ൌ ܾ. 
Plano Cartesiano 
 
Considere duas retas orientadas ݔ e ݕ. Chamaremos estas retas de eixos coordenados. 
Considere ainda que as duas retas sejam perpendiculares (formam um ângulo de 90o) e se 
cortam no ponto O. 
 
 
 
 
 
 
ݔ 
ݕ
Ponto O ՜ Origem do plano cartesiano 
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O eixo ݔ é o eixo das abscissas. O eixo ݕ é o eixo das ordenadas. A origem do plano 
cartesiano é o ponto O. O plano fica dividido em 4 regiões chamadas de quadrantes. 
A numeração dos quadrantes é feita no sentido anti-horário. 
 
 
 
 
 
 
 
Como representamos o par ordenado ሺܽ, ܾሻ no plano cartesiano? 
- Localizamos o número ܽ no eixo ݔ e desenhamos uma reta vertical passando pelo 
ponto encontrado. 
- Localizamos o número ܾ no eixo ݕ e desenhamos uma reta horizontal pelo ponto 
encontrado. 
- O ponto de encontro das duas retas desenhadas é o ponto ሺܽ, ܾሻ. 
 Localize no mesmo plano cartesiano os pontos ܣሺ2,4ሻ, ܤሺെ1, െ3ሻ, ܥሺ3,0ሻ ݁ ܦሺ0,2ሻ. 
 
 
 
 
ܥሺ3,0ሻ
ܣሺ2,4ሻ
ݔ 
ݕ
2ܦሺ0,2ሻ
3
െ1
4
2
1º quadrante 2º quadrante 
3º quadrante  4º quadrante 
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Observações 
i) O ponto C(3,0) está sobre o eixo das abscissas. Todos os pontos do 
eixo ࢞ possuem a ordenada igual a 0. De outra forma, dizemos que os 
pontos que pertencem ao eixo ࢞ possuem ࢟ ൌ ૙. 
ii) O ponto D(0,2) está sobre o eixo das ordenadas. Todos os pontos do 
eixo ࢟ possuem a abscissa igual a 0. De outra forma, dizemos que os 
pontos que pertencem ao eixo ࢟ possuem ࢞ ൌ ૙.Funções 
 
João estava muito cansado para dirigir e decidiu ir para o trabalho de táxi. Como ele é um bom 
aluno de matemática, pediu para o taxista explicar como funciona a  lei que calcula o valor a 
ser pago pela corrida de táxi. O taxista explicou que ele deve pagar uma bandeira de R$  3,50 – 
valor inicial a ser pago em qualquer corrida de táxi – e mais R$ 0,50 por quilômetro rodado. 
Como a distância da casa de João até o seu trabalho é de 9 quilômetros, então ele pagará 9 
vezes  R$  0,50  mais  R$  3,50.  Portanto,  João  pagará  R$  8,00  para  fazer  o  percurso  de  9 
quilômetros.  João  achou  caro  e  começou  a  fazer  as  contas  de  quanto  pagaria  na  corrida 
dependendo da quantidade de quilômetros rodados – decidiu que faria o restante do percurso 
andando. 
8 quilômetros ՜ 3,50 ൅ 8 ൈ 0,50 ൌ 7,50 
7 quilômetros ՜ 3,50 ൅ 7 ൈ 0,50 ൌ 7,00 
6 quilômetros ՜ 3,50 ൅ 6 ൈ 0,50 ൌ 6,50 
5 quilômetros ՜ 3,50 ൅ 5 ൈ 0,50 ൌ 6,00 
4 quilômetros ՜ 3,50 ൅ 4 ൈ 0,50 ൌ 5,50 
 
 
está em função 
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João percebeu que o  valor  a  ser pago pela  corrida depende da quantidade de quilômetros 
rodados. 
Quilômetros rodados  Valor a ser pago 
??  2,00 
??  2,50 
4  5,50 
5  6,00 
6  6,50 
7  7,00 
8  7,50 
9  8,00 
 
Observe  que  a  cada  quantidade  dada  de  quilômetros  rodados,  podemos  calcular  o  valor 
correspondente a ser pago. Obviamente todas as quilometragens possuem um, e apenas um 
valor  a  ser  pago.  Nem  todos  os  valores  “a  serem  pagos”  possuem  uma  quilometragem 
correspondente. No exemplo dado, não tem como uma pessoa andar no táxi e pagar apenas 
R$ 2,00 ou R$ 2,50. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O diagrama acima relaciona os elementos de A (possíveis quilometragens) com os elementos 
de B (possíveis valores a serem pagos). 
Observe que cada elemento de A corresponde a um único elemento de B. 
Esta  relação é denominada  função de A em B. Podemos garantir, matematicamente, que  se 
trata de uma função porque: 
i) Todos os elementos de A participam da relação (mandam flecha). 
A 
4
5 
6 
7 
8 
9 
2,00
2,50 
5,50 
6,00 
6,50 
7,00 
7,50 
8,00
B 
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www.ponto 
ii) Os elementos de A participam da relação apenas uma vez  (mandam apenas uma 
flecha). 
Ou  seja, podem acontecer duas  coisas para que uma  relação entre dois  conjuntos não  seja 
função: 
i) Algum elemento de A não participar da relação (não mandar flecha). 
ii) Algum elemento de A participar da relação mais de uma vez (mandar mais de uma 
flecha). 
A definição afirma que todos os elementos do conjunto de partida deve se relacionar 
com um elemento do conjunto imagem, e esse elemento deve ser único. 
 
 
 
 
 
Quais das seguintes relações binárias de A em B também são funções? 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
A  B 
Não é função, pois existe elemento de A que não 
se relaciona. 
A 
B 
É função, pois todos os elementos de A se 
relacionam apenas uma vez. 
A  B 
É função, pois todos os elementos de A se 
relacionam apenas uma vez. 
Não é função, pois existe elemento de A que se 
relaciona mais de uma vez. 
A  B 
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Domínio e Imagem 
 
No exemplo anterior, o conjunto A é chamado domínio da função e o conjunto B é 
chamado contradomínio da função (ou conjunto de chegada). Os elementos de B que 
recebem as flechas formam o conjunto imagem. Desta forma: 
ܦ݋݉í݊݅݋ ݀݁ ݂: ܦ௙ ൌ ܣ ൌ ሼ4,5,6,7,8,9ሽ 
ܥ݋݊ݐݎܽ݀݋݉í݊݅݋ ݀݁ ݂: ܥܦ௙ ൌ ܤ ൌ ሼ2,00 ; 2,50; 5,50; 6,00; 6,50; 7,00; 7,50; 8,00ሽ 
ܫ݉ܽ݃݁݉ ݀݁ ݂: ܫ݉௙ ൌ ሼ5,50; 6,00; 6,50; 7,00; 7,50; 8,00ሽ 
Observe que o conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio, ou seja, todos 
os elementos do conjunto imagem são elementos do contradomínio. 
Reconhecimento gráfico de uma função 
 
Para determinar se determinado gráfico de uma relação de A em B é uma 
função de A em B devemos traçar retas perpendiculares ao eixo x passando por todos 
os pontos do conjunto partida (A). Se todas as retas encontrarem o gráfico em apenas 
um ponto, então a dada relação binária é uma função. 
Exemplos 
݂: ܣ ՜ ܴ ݁݉ ݍݑ݁ ܣ ൌ ሾെ1,2ሾ 
 
A  curva  acima  representa  uma  função  já  que  todas  as  retas  verticais  encontram  o  gráfico 
apenas uma vez. 
݃: ܤ ՜ ܴ ݁݉ ݍݑ݁ ܤ ൌ ሾ0,6ሾ 
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A curva acima não representa uma função já que existem retas verticais que encontram o 
gráfico mais de uma vez.  
 
 
 
 
 
 
 
58. (TRT-SC 2007/CETRO) Assinale a alternativa que não representa gráfico 
de uma função y = f(x). 
 
 
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Resolução 
 
O gráfico de uma função não pode possuir mais de um ponto na mesma vertical. 
Portanto, o gráfico da letra C não representa uma função. 
 
Letra C 
 
Imagem de um elemento 
 
Considere um par ordenado (x,y) pertencente a uma função ݂. O elemento y é 
chamado valor de f do elemento x e escrevemos dessa forma: ݕ ൌ ݂ሺݔሻ. 
Exemplo 
Dada a função real definida por ݂ሺݔሻ ൌ ݔ² +1calcule: 
݂ሺ0ሻ ൌ 0ଶ ൅ 1 ൌ 1 
 
݂ሺെ1ሻ ൌ ሺെ1ሻଶ ൅ 1 ൌ 2 
 
݂൫√2൯ ൌ ሺ√2ሻଶ ൅ 1 ൌ 3 
Isto significa que o gráfico da função ݂ passa pelos pontos ሺ0,1ሻ, ሺെ1,2ሻ, ሺ√2, 3ሻ. 
Podemos também dizer que o número 0 manda uma flecha para o número 1, o 
número െ1 manda uma flecha para o número 2 e o número √2 manda uma flecha para 
o número 3. 
59. (SUFRAMA 2008/FUNRIO) Seja ݂ uma função que tem como domínio o 
conjunto A={Ana, José, Maria, Paulo, Pedro} e como contradomínio o conjunto 
B={1,2,3,4,5}. A função f associa a cada elemento x em A o número de letras 
distintas desse elemento x . Com base nessas informações, pode-se afirmar 
que 
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a) elementos distintos no domínio estão associados a distintos elementos no 
contradomínio. 
b) todo elemento do contradomínio está associado a algum elemento do domínio. 
c) f não é uma função. 
d) ݂ሺܯܽݎ݅ܽሻ ൌ 5 
e) ݂ሺܲ݁݀ݎ݋ሻ ൌ ݂ሺܲܽݑ݈݋ሻ 
Resolução 
A função ݂ associa a cada elemendo ݔ em A o número de letras distintas desse 
elemento ݔ. 
Ana Æ possui 2 letras distintas. 
José Æ possui 4 letras distintas. 
Maria Æ possui 4 letras distintas. 
Paulo Æ possui 5 letras distintas. 
Pedro Æ possui 5 letras distintas. 
 
 
 
Desta maneira, podemos afirmar que: 
݂ሺܣ݊ܽሻ ൌ 2 
݂ሺܬ݋ݏéሻ ൌ ݂ሺܯܽݎ݅ܽሻ ൌ 4 
݂ሺܲܽݑ݈݋ሻ ൌ ݂ሺܲ݁݀ݎ݋ሻ ൌ 5 
Vamos analisar cada uma das alternativas de per si. 
a) elementos distintos no domínio estão associados a distintos elementos no 
contradomínio. 
Esta alternativa é falsa, pois há elementos no domínio que estão associados ao 
mesmo elemento no contradomínio. Por exemplo, ݂ሺܬ݋ݏéሻ ൌ ݂ሺܯܽݎ݅ܽሻ ൌ 4. 
b) todo elemento do contradomínio está associado a algum elemento do domínio. 
Esta alternativa é falsa, pois há elemento no contradomínio que não está associado 
com algum elemento do domínio. Por exemplo, o número 3 não está associado. 
 
c) f não é uma função. 
ܣ݊ܽ
ܬ݋ݏé 
ܯܽݎ݅ܽ 
ܲܽݑ݈݋ 
ܲ݁݀ݎ݋ 
A
1 
2 
3 
4 
5 
B
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67 
www.pontodosconcursos.com.brEsta alternativa é falsa, pois ݂ é uma função. Todos os elementos de A se 
relacionam uma única vez com algum elemento de B. Não sobram elementos em A e 
ninguém manda mais de uma flecha. 
 
d) ݂ሺܯܽݎ݅ܽሻ ൌ 5 
Falso. Maria tem 4 letras distintas. ݂ሺܯܽݎ݅ܽሻ ൌ 4. 
 
e) ݂ሺܲ݁݀ݎ݋ሻ ൌ ݂ሺܲܽݑ݈݋ሻ 
Verdadeiro. Como foi visto, ݂ሺܲܽݑ݈݋ሻ ൌ ݂ሺܲ݁݀ݎ݋ሻ ൌ 5. 
Letra E 
60. (AFTN 1996/ESAF) Em um laboratório de experiências veterinárias foi 
observado que o tempo requerido para um coelho percorrer um labirinto, na 
enésima tentativa, era dado pela função C(n) = (3+12/n) minutos. Com relação 
a essa experiência pode-se afirmar, então, que um coelho: 
a) consegue percorrer o labirinto em menos de três minutos. 
b) gasta cinco minutos e quarenta segundos para percorrer o labirinto na quinta 
tentativa. 
c) gasta oito minutos para percorrer o labirinto na terceira tentativa. 
d) percorre o labirinto em quatro minutos na décima tentativa. 
e) percorre o labirinto numa das tentativas, em três minutos e trinta segundos. 
Resolução 
a) O número ݊ representa o número de tentativas para o coelho percorrer o labirinto. 
Obviamente, este número ݊ é inteiro e positivo (número natural). Dividindo o número 
12 por um número natural, obtemos um número positivo. Portanto, o número 3+ 12/n é 
positivo e maior que 3. 
Desta maneira, a letra A é falsa. 
b) Para calcular o tempo gasto para percorrer o labirinto na quinta tentativa, devemos 
substituir ݊ por 5. 
ܥሺ݊ሻ ൌ 3 ൅
12
݊
 
ܥሺ5ሻ ൌ 3 ൅
12
5
ൌ 5,4 ݉݅݊ݑݐ݋ݏ ൌ 5 ݉݅݊ݑݐ݋ݏ ൅ 0,4 ݉݅݊ݑݐ݋
ൌ 5 ݉݅݊ݑݐ݋ݏ ൅ 0,4 · 60 ݏ݁݃ݑ݊݀݋ݏ 
ܥሺ5ሻ ൌ 5 ݉݅݊ݑݐ݋ݏ ݁ 24 ݏ݁݃ݑ݊݀݋ݏ 
A alternativa B é falsa. 
c) Para calcular o tempo gasto na terceira tentativa devemos substituir o valor de ݊ por 
3. 
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ܥሺ݊ሻ ൌ 3 ൅
12
݊
 
ܥሺ3ሻ ൌ 3 ൅
12
3
ൌ 7 ݉݅݊ݑݐ݋ݏ 
A alternativa C é falsa. 
d) Para calcular o tempo gasto na décima tentativa devemos substituir o valor de ݊ por 
10. 
ܥሺ݊ሻ ൌ 3 ൅
12
݊
 
ܥሺ10ሻ ൌ 3 ൅
12
10
ൌ 4,2 ݉݅݊ݑݐ݋ݏ 
A alternativa D é falsa. 
e) Queremos que o tempo seja igual a 3 minutos e 30 segundos = 3,5 minutos. 
3 ൅
12
݊
ൌ 3,5 
12
݊
ൌ 0,5 
0,5݊ ൌ 12 
݊ ൌ
12
0,5
ൌ
120
5
ൌ 24 
Ou seja, o percurso é feito em 3 minutos e 30 segundos na 24ª tentativa. 
Letra E 
Zero de uma função 
 
Zero ou raiz de uma função é todo elemento do domínio tal que a sua imagem seja 
igual a 0, i.e., números tais que f(x)=0. Geometricamente, determinamos os zeros de 
uma função obtendo a interseção do gráfico com o eixo dos x. 
 
 
 
 
 
ݔ 
ݕ
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Exemplo: Determine os zeros da função definida por ݂ሺݔሻ ൌ ݔଶ െ 5ݔ ൅ 6. 
Resolução 
Basta resolver a equação ݂ሺݔሻ ൌ 0. 
ݔଶ െ 5ݔ ൅ 6 ൌ 0 
ݔ ൌ
െܾ േ √ܾଶ െ 4ܽܿ
2ܽ
ൌ
െሺെ5ሻ േ ඥሺെ5ሻଶ െ 4 · 1 · 6
2 · 1
ൌ
5 േ 1
2
 
ݔ ൌ 2 ݋ݑ ݔ ൌ 3 
Isto significa que o gráfico da função ݂ሺݔሻ ൌ ݔଶ െ 5ݔ ൅ 6 toca o eixo ݔ nos pontos de 
abscissa 2 e 3 (veremos isto com mais detalhes ainda nesta aula na teoria sobre 
função quadrática). 
 
 
 
Função Afim e Inequação do 1º grau 
 
A função afim também é chamada de função polinomial do 1º grau (no cotidiano 
muitas pessoas, erradamente, falam função do primeiro grau). 
Uma função ݂ é chamada de função afim quando for do tipo: 
݂: ܴ ՜ ܴ 
݂ሺݔሻ ൌ ܽݔ ൅ ܾ , ܽ ് 0. 
Vejamos alguns exemplos: 
ܽ ܾ ݂ሺݔሻ 
2 4 ݂ሺݔሻ ൌ 2ݔ ൅ 4 
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3 െ2 ݂ሺݔሻ ൌ 3ݔ െ 2 
െ1 5 ݂ሺݔሻ ൌ െݔ ൅ 5 
2 0 ݂ሺݔሻ ൌ 2ݔ 
1 0 ݂ሺݔሻ ൌ ݔ 
 
O coeficiente ܽ é chamado de coeficiente angular, taxa de variação, coeficiente 
dominante ou coeficiente líder. 
O coeficiente ܾ é chamado de coeficiente linear ou termo independente. 
 Dependendo dos valores de ܽ e ܾ, a função afim pode receber alguns nomes 
especiais. 
 
Sempre que ܾ ൌ 0, a função afim é chamada de função linear. 
 
A função linear ݂ሺݔሻ ൌ ݔ é chamada de função identidade. Ou seja, quando ܽ ൌ 1 e 
ܾ ൌ 0, a função é chamada de identidade. 
 
• Gráfico ՜ o gráfico da função afim é uma reta inclinada aos eixos 
coordenados. 
Veremos na aula de Geometria Plana que dois pontos distintos determinam uma reta. 
Desta maneira, para construir o gráfico da função afim devemos seguir os seguintes 
passos: 
i) Escolher dois valores arbitrários para ݔ. 
ii) Calcular os valores correspondentes de ݕ. 
iii) Marcar os dois pontos no plano cartesiano. 
iv) Traçar a reta que passa pelos dois pontos marcados. 
Vamos construir o gráfico do primeiro exemplo: ݂ሺݔሻ ൌ 2ݔ ൅ 4. 
Vamos utilizar ݔ ൌ 1 ݁ ݔ ൌ െ1. 
Quando ݔ ൌ 1, temos ݂ሺ1ሻ ൌ 2 · 1 ൅ 4 ൌ 6. Ou seja, a reta passa pelo ponto (1,6). 
Quando ݔ ൌ െ1, temos ݂ሺെ1ሻ ൌ 2 · ሺെ1ሻ ൅ 4 ൌ 2. Ou seja, a reta passa pelo ponto (-
1,2). 
 
 
 
 
 
 
ݔ
ݕ
1‐1
2
6
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Uma pergunta natural que surge é: como determinar os pontos em que a reta corta os 
eixos coordenados? 
Vimos que (na seção sobre zeros da função) para determinar o intercepto do gráfico 
com o eixo ݔ, devemos resolver a equação ݂ሺݔሻ ൌ 0. 
2ݔ ൅ 4 ൌ 0 
2ݔ ൌ െ4 
ݔ ൌ െ2 
 
 
 
 
 
 
Vamos aprender agora uma técnica que podemos utilizar em qualquer função, seja ela 
afim, quadrática, exponencial, trigonométrica, etc. 
Como determinar o intercepto do gráfico com o eixo ݕ? 
Basta calcular ݂ሺ0ሻ, ou seja, substituir ݔ por 0. 
 
 
 
 
݂ሺݔሻ ൌ 2ݔ ൅ 4 
݂ሺ0ሻ ൌ 2 ڄ 0 ൅ 4 ൌ 4 
 
 
 
 
 
 
ݔ 
ݕ
1‐1
2
6
െ૛
െ૛ 
ݔ
ݕ
1‐1
2
6૝
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Construa o gráfico da função real definida por ݂ሺݔሻ ൌ െ3ݔ ൅ 6. 
Resolução 
Agora que já temos um pouco mais de bagagem teórica, vamos construir o gráfico 
com um pouco mais de velocidade. 
ܾ ൌ 6, logo o gráfico corta o eixo ݕ no ponto de ordenada igual a 6. 
Para determinar o intercepto do gráfico com o eixo ݔ, devemos resolver a equação 
݂ሺݔሻ ൌ 0. 
െ3ݔ ൅ 6 ൌ 0 
െ3ݔ ൌ െ6 
3ݔ ൌ 6 
ݔ ൌ 2 
 
Resumindo: a reta corta o eixo ݔ no ponto de abscissa igual a 2 e corta o eixo ݕ no 
ponto de ordenada igual a 6. 
 
 
IMPORTANTE 
Vimos que para calcular o intercepto do gráfico com o eixo ݕ basta calcular ݂ሺ0ሻ. Ora, a função 
afim  é  definida  por  ݂ሺݔሻ ൌ ܽݔ ൅ ܾ.  Desta  maneira,  ݂ሺ0ሻ ൌ ܽ ڄ 0 ൅ ܾ ൌ ܾ.  Resumindo:  a 
ordenada do ponto em que a  reta  toca o eixo ݕ é  igual a b. Note que no exemplo anterior, o 
valor de b é igual a 4 : exatamente o valor em que a reta toca o eixo ݕ. 
IMPORTANTE 
Vimos que  a  função  afim é  chamada de  função  linear quando  ܾ ൌ 0. Como o  valor de  ܾ é o 
intercepto do gráfico com o eixo ݕ, concluímos que o gráfico de uma função  linear é uma reta 
que passa pela origem do plano cartesiano. 
ݕ
2
6
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Vamos comparar os dois gráficos construídos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que: 
Quando ܽ ൐ 0, a função afim é crescente (gráfico da esquerda). 
Quando ܽ ൏ 0, a função afim é decrescente (gráfico da direita). 
 
Construa o gráfico da função real definida por ݂ሺݔሻ ൌ െ3ݔ. 
Resolução 
Trata-se de uma função linear. Sabemosque a função linear passa pela origem do 
plano cartesiano. Além disso, como ܽ ൌ െ3 ൏ 0, a função é decrescente. 
Vamos calcular o valor da função para ݔ ൌ 1. 
݂ሺ1ሻ ൌ െ3 ڄ 1 ൌ െ3 
Isso quer dizer que o gráfico passa pelo ponto ሺ1, െ3ሻ. 
 
 
െ૛ 
ݔ
ݕ 
1 ‐1 
2
6 ૝ 
ݕ
ݔ
2
6
ݕ ൌ 2ݔ ൅ 4
ݕ ൌ െ3ݔ ൅ 6 
ݕ
ݔ
3
1
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Determine a lei de formação da função afim que passa pelos pontos ሺ2,5ሻ e ሺെ1, െ4ሻ. 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Há uma maneira muito fácil de calcular o coeficiente angular (ܽ). 
Quando são dados dois pontos (x1,y1) e (x2,y2), o coeficiente angular pode ser 
calculado como o quociente entre a variação de y e a variação de x. Ou seja, 
ܽ ൌ
∆ݕ
∆ݔ
ൌ
ݕଶ െ ݕଵ
ݔଶ െ ݔଵ
 
Já que o gráfico passa pelos pontos ሺ2,5ሻ e ሺെ1, െ4ሻ, então o coeficiente “a” é dado 
por 
 
ܽ ൌ
∆ݕ
∆ݔ
ൌ
െ4 െ 5
െ1 െ 2
ൌ
െ9
െ3
ൌ ൅3 
Lembre-se que a lei de formação da função afim é do tipo ݕ ൌ ܽݔ ൅ ܾ. 
Bom, tendo calculado o coeficiente “a”, a lei de formação da função afim torna-se 
 ݕ ൌ 3ݔ ൅ ܾ. Podemos agora utilizar qualquer um dos pontos fornecido pelo enunciado 
para calcular o coeficiente “b”. 
O coeficiente “b” é denominado coeficiente linear ou termo independente. Ele é o 
intercepto do gráfico com o eixo y. 
Vale a pena lembrar! 
O coeficiente “a” é denominado coeficiente angular, taxa de 
variação, coeficiente dominante ou coeficiente líder. Este 
coeficiente é responsável pela inclinação da reta. Quando a > 0 , 
a função é crescente (reta ascendente) e quando a < 0, a função 
é decrescente (reta descendente). 
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Utilizemos por exemplo o ponto ሺ2,5ሻ. Este ponto nos informa que quando 
x = 2, y = 5. Já que a lei de formação é ݕ ൌ 3ݔ ൅ ܾ, devemos substituir esses valores 
na lei. 
3 · 2 ൅ ܾ ൌ 5 
6 ൅ ܾ ൌ 5 
ܾ ൌ െ1 
Assim, a lei de formação da função é ݕ ൌ 3ݔ െ 1. 
61. (LIQUIGÁS 2008/CETRO) A função f de 1º grau, cujo gráfico passa pelos 
pontos A(-1, -5) e B(5, 7) é 
(A) f(x) = 3x + 2 
(B) f(x) = 2x – 3 
(C) f(x) = x – 4 
(D) f(x) = x + 3 
(E) f(x) = 3x + 3 
Resolução 
Lembremos alguns fatos importantes sobre a função polinomial do 1º grau, também 
chamada de função afim e coloquialmente denominada função do 1º grau. 
Amplamente definida, seu gráfico é uma reta. 
Sua lei de formação é do tipo ݕ ൌ ܽ · ݔ ൅ ܾ. 
O coeficiente “a” é denominado coeficiente angular, taxa de variação, coeficiente 
dominante ou coeficiente líder. Este coeficiente é responsável pela inclinação da reta. 
Quando a > 0 , a função é crescente (reta ascendente) e quando a < 0, a função é 
decrescente (reta descendente). 
 
Quando são dados dois pontos (x1,y1) e (x2,y2), o coeficiente angular pode ser 
calculado como o quociente entre a variação de y e a variação de x. Ou seja, 
ܽ ൌ
∆ݕ
∆ݔ
ൌ
ݕଶ െ ݕଵ
ݔଶ െ ݔଵ
 
Já que o gráfico passa pelos pontos A(-1, -5) e B(5, 7), então o coeficiente “a” é dado 
por 
 
ܽ ൌ
∆ݕ
∆ݔ
ൌ
7 െ ሺെ5ሻ
5 െ ሺെ1ሻ
ൌ
12
6
ൌ 2 
Com essa informação já poderíamos responder a questão marcando a alternativa B. 
Bom, tendo calculado o coeficiente “a”, a lei de formação da função afim torna-se 
ݕ ൌ 2ݔ ൅ ܾ. Podemos agora utilizar qualquer um dos pontos fornecido pelo enunciado 
para calcular o coeficiente “b”. 
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O coeficiente “b” é denominado coeficiente linear ou termo independente. Ele é o 
intercepto do gráfico com o eixo y. 
Utilizemos por exemplo o ponto B(5,7). Esse ponto nos informa que quando 
x = 5, y = 7. Já que a lei de formação é ݕ ൌ 2ݔ ൅ ܾ, devemos substituir esses valores 
na lei. 
2 · 5 ൅ ܾ ൌ 7 
10 ൅ ܾ ൌ 7 
ܾ ൌ െ3 
Assim, a lei de formação da função é ݕ ൌ 2ݔ െ 3. 
Letra B 
62. (Senado Federal 2008/FGV) A função ݂, para cada real x, associa o menor 
entre os números ௫ାହ
ଶ
 e 20 െ ݔ. Por exemplo, ݂ሺ1ሻ ൌ 3 e ݂ሺ15ሻ ൌ 5. O valor 
máximo de f: 
a) 8 
b) 17/2 
c) 25/3 
d) 35/4 
e) 44/5 
 
Resolução 
Já que a função associa o menor entre os números ௫ାହ
ଶ
 e 20 െ ݔ, o valor 
máximo da função é dado quando os números são iguais. 
ݔ ൅ 5
2
ൌ 20 െ ݔ 
ݔ ൅ 5 ൌ 2 · ሺ20 െ ݔሻ 
ݔ ൅ 5 ൌ 40 െ 2ݔ 
ݔ ൅ 2ݔ ൌ 40 െ 5 
3ݔ ൌ 35 
ݔ ൌ
35
3
 
O valor da função f é máximo quando x = 35/3. Podemos substituir este valor 
em qualquer uma das duas expressões (já que são iguais para x = 35/3). 
 
݂ ൬
35
3
൰ ൌ 20 െ
35
3
ൌ
60 െ 35
3
ൌ
25
3
 
Letra C 
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63. (Pref. Mairinque/SP 2009/CETRO) Para saber o número do calçado de uma 
pessoa, utiliza-se a fórmula ܥ ൌ ହ௣ାଶ଼
ସ
, em que C é o número do calçado e p é 
o comprimento do pé em centímetros. Se uma pessoa calça um sapato 
tamanho 36, significa que o comprimento de seu pé é 
(A) 24,1cm. 
(B) 23,6cm. 
(C) 23,2cm. 
(D) 22,4cm. 
(E) 21,3cm. 
Resolução 
O enunciado nos informa que o número do calçado C é uma função polinomial do 1º 
grau do comprimento do pé. 
Onde o coeficiente angular a = 5/4 e o coeficiente linear b = 28/4 = 7. 
Uma pessoa calça um sapato tamanho 36, logo C = 36. 
36 ൌ
5݌ ൅ 28
4
 
O 4 que está dividindo o segundo membro, “passa multiplicando o 1º membro”. Assim, 
5݌ ൅ 28 ൌ 144 
5݌ ൌ 116 
݌ ൌ 23,2 
Letra C 
64. (Pref. de Araçatuba 2008/CETRO) A figura a seguir representa o gráfico de 
uma função do tipo f (x) = ax + b. 
 
 
Sobre a natureza do gráfico desta função representada acima, é correto afirmar que 
 
(A) possui duas raízes reais. 
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(B) a < 0. 
(C) b > 0. 
(D) ab < 0. 
(E) não possui raízes reais. 
 
Resolução 
 
 
Sua lei de formação é do tipo ݕ ൌ ܽ · ݔ ൅ ܾ. 
O coeficiente “a” é denominado coeficiente angular, taxa de variação, coeficiente 
dominante ou coeficiente líder. Este coeficiente é responsável pela inclinação da reta. 
Quando a > 0 , a função é crescente (reta ascendente) e quando a < 0, a função é 
decrescente (reta descendente). 
O coeficiente “b” é denominado coeficiente linear ou termo independente. Ele é o 
intercepto do gráfico com o eixo y. 
Agora um conceito que é geral, ou seja, é válido para todas as funções. O ponto em 
que o gráfico intercepta o eixo x é denominado zero ou raiz da função. Para 
determinar o zero ou raiz da função basta resolver a equação f(x) = 0. 
 
Já que a função é crescente, podemos concluir que a > 0 (a alternativa B é falsa). 
Como a reta corta o eixo y acima da origem, podemos concluir que 
b > 0 (a alternativa C é verdadeira). 
Como a > 0 e b > 0, então ab > 0 (a alternativa D é falsa). 
Como a reta toca o eixo x em apenas um ponto, a função possui apenas uma raiz real 
(as alternativas A e E são falsas). 
Letra C 
 
 
65. (AFC-SFC 2000/ESAF) Sabe-se que as retas de equações r1 = αx e 
r2 = -2x +β interceptam-se em um ponto P(x<0; y<0). Logo, 
a) α > 0 e β > 0 
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b) α > 0 e β < 0 
c) α < 0 e β < 0 
d) α < -1 e β < 0 
e) α > -1 e β > 0 
Resolução 
Já que o ponto de encontro tem abscissa negativa (x < 0) e ordenada negativa (y < 0), 
concluímos que o ponto de encontro das retas está no terceiro quadrante. 
Vejamos a reta ݎଵ. Seu coeficientelinear (ܾሻ é igual a 0. Portanto, seu gráfico passa 
pela origem do plano cartesiano (trata-se de uma função linear). Temos duas 
possibilidades. 
Se ߙ ൐ 0, a função é crescente. 
Se ߙ ൏ 0, a função é decrescente. 
 
 
 
 
 
 
 
Como o ponto de encontro das retas é no 3º quadrante, a reta ݎଵ deve ser ascendente 
(função crescente). 
Portanto, ߙ ൐ 0. 
 
 
 
 
 
 
 
Vejamos agora a segunda reta. Sua equação é r2 = -2x +β. Seu coeficiente angular é 
negativo e, portanto, a reta é descendente. 
ݔ
ݕݕ 
ݔ
3º quadrante 
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Sabemos que ߚ é o coeficiente linear da reta ݎଶ. O coeficiente linear indica onde a reta 
corta o eixo y. Para que as duas retas se encontrem no terceiro quadrante, a reta ݎଶ 
deve cortar o eixo ݕ abaixo da origem, portanto, ߚ ൏ 0. 
Letra B 
66. (CAERN 2010/FGV) O conjunto de todas as soluções reais da inequação 
2ݔ ൅ 1 ൏ 3ݔ ൅ 2 é 
a) ሿ െ ∞, െ1ሾ. 
b) ሿ െ ∞, 1ሾ. 
c) ሿ െ 1, ൅∞ሾ. 
d) ሿ1, ൅∞ሾ. 
e) ሿ െ 1,1ሾ. 
Resolução 
Resolver uma inequação do 1º grau é muito parecido com resolver equações do 
primeiro grau. Há um detalhe que devemos ter atenção. 
i) Ao multiplicar uma inequação por um número negativo, devemos inverter o sentido 
da desigualdade. 
2ݔ ൅ 1 ൏ 3ݔ ൅ 2 
2ݔ െ 3ݔ ൏ 2 െ 1 
െݔ ൏ 1 
Neste momento, devemos multiplicar a desigualdade por െ1. Para isto, devemos 
inverter o sentido da desigualdade. 
ݔ ൐ െ1 
r1 
ݕ
ݔ
ߚ
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Na reta real, este intervalo fica assim representado: 
 
 
E agora, como marcar a resposta? 
As alternativas estão escritas na forma de intervalo. Queremos assinalar todos os 
números que são maiores do que െ1 (sem incluir, é claro, o െ1). 
Quando queremos incluir determinado valor no intervalo, utilizamos colchetes voltados 
para “dentro”. Quando queremos excluir determinado número, utilizamos colchetes 
virados para “fora”. 
Como os números são MAIORES que െ1, o limite superior do intervalo vai para ൅∞ 
(mais infinito). 
Letra c) ሿ െ 1, ൅∞ሾ. 
67. (SERC/MS 2006/FGV) O número de soluções inteiras do sistema de 
inequações 
ቄ2ݔ ൅ 3 ൏ 4ݔ ൅ 6
3ݔ െ 1 ൏ ݔ ൅ 7
 é: 
a) 0 
b) 1 
c) 3 
d) 5 
e) infinito 
Resolução 
Trata-se de um sistema de inequações do 1º grau. Devemos resolvê-las 
separadamente e, em seguida, calcular a interseção dos intervalos. 
Vamos resolver cada uma das inequações de per si. 
2ݔ ൅ 3 ൏ 4ݔ ൅ 6 
2ݔ െ 4ݔ ൏ 6 െ 3 
െ2ݔ ൏ 3 
Multiplicando a inequação por െ1, devemos inverter o sentido da desigualdade. 
2ݔ ൐ െ3 
ݔ ൐
െ3
2
 
ݔ ൐ െ1,5 
‐1 
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Vamos resolver a segunda agora: 
3ݔ െ 1 ൏ ݔ ൅ 7 
3ݔ െ ݔ ൏ 7 ൅ 1 
2ݔ ൏ 8 
ݔ ൏ 4 
Assim, o nosso conjunto solução é formado por todos os números maiores que െ1,5 e 
menores que 4. Como o problema pede apenas as soluções inteiras, devemos 
selecionar os números inteiros maiores que െ1,5 e menores que 4. 
ሼെ1,0,1,2,3ሽ 
São 5 elementos no conjunto solução. 
Letra D 
Função Quadrática e Inequação do 2º grau 
 
A função quadrática também é chamada de função polinomial do 2º grau (muitos no 
cotidiano falam, erradamente, função do 2º grau). 
Uma função ݂ é chamada de função quadrática quando for do tipo ݂: ܴ ՜ ܴ definida 
por 
 ݂ሺݔሻ ൌ ܽݔ² ൅ ܾݔ ൅ ܿ , ܽ ് 0 
O coeficiente ܽ é chamado coeficiente dominante ou coeficiente líder. O coeficiente ܾ 
é o coeficiente do primeiro grau e o coeficiente ܿ é o termo independente. 
A curva representativa da função quadrática é uma parábola. Uma parábola é uma 
curva com o seguinte aspecto (não vamos nos preocupar aqui com definições formais 
sobre a parábola). 
 
 
 
 
 
 
 
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A concavidade da parábola pode estar voltada para cima ou voltada para baixo. Quem 
decide isso é o coeficiente dominante ܽ. Se ܽ ൐ 0, a concavidade da parábola está 
voltada para cima. Se ܽ ൏ 0, a concavidade da parábola está voltada para baixo. 
 
 
 
 
 
 
 
Sabemos que para calcular o intercepto do gráfico de qualquer função com o eixo ݕ, 
basta calcular o valor de ݂ሺ0ሻ. 
Como a função quadrática é regida pela lei ݂ሺݔሻ ൌ ܽݔ² ൅ ܾݔ ൅ ܿ : 
fሺ0ሻ ൌ a. 0² ൅ b. 0 ൅ c 
׵ fሺ0ሻ ൌ c 
Temos a mesma conclusão que tivemos na teoria da função afim. O termo 
independente nos informa a ordenada do ponto em que o gráfico corta o eixo ࢟. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesta aula, aprendemos a resolver equações do segundo grau. Também aprendemos 
nesta aula que para descobrir onde o gráfico toca o eixo ݔ devemos resolver a 
equação ݂ሺݔሻ ൌ 0. 
Desta forma, para descobrir onde a parábola toca (se é que toca) o eixo ݔ devemos 
resolver a equação 
ܽ ൐ 0 
ܽ ൏ 0
ܿ
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ܽݔ² ൅ ܾݔ ൅ ܿ ൌ 0 
ݔ ൌ
െܾ േ √ܾଶ െ 4ܽܿ
2ܽ
 
Vimos que há três casos a considerar: 
0 Duas raízes reais e distintas
0 Duas raízes reais e iguais 
0 Não há raízes reais
Δ > ⇔
Δ = ⇔
Δ < ⇔  
 
Assim, a parábola pode cortar o eixo ݔ em dois pontos distintos, pode tangenciar 
(“encostar”) o eixo ݔ ou pode não tocar o eixo ݔ. 
São 6 possibilidades. 
 
 
 
 
 
 
 
Vértice da Parábola 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O ponto V representado acima é chamado vértice da parábola. Quando ܽ ൐ 0, a 
concavidade da parábola está voltada para cima e o vértice é um ponto de mínimo. 
Quando ܽ ൏ 0, a concavidade da parábola está voltada para baixo e o vértice é um 
ponto de máximo. 
ݔ
ݔ
ݔ
ݔ
ݔ 
ݔ 
ܽ ൏ 0 
Δ ൏ 0 
ܽ ൏ 0 
Δ ൌ 0
ܽ ൏ 0 
Δ ൐ 0
ܽ ൐ 0 
Δ ൏ 0 ܽ ൐ 0 
Δ ൌ 0ܽ ൐ 0 
Δ ൐ 0 
V
V 
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Como todo ponto, o vértice tem um par ordenado correspondente ሺݔ, ݕሻ. As 
coordenadas do vértice são dadas pelas fórmulas: 
ݔ ൌ
െܾ
2ܽ
 ݁ ݕ ൌ
െΔ
4ܽ
 
Quando ܽ ൐ 0, a função quadrática admite um ponto de mínimo. Neste caso a 
coordenada y é chamada de valor mínimo e a coordenada x é chamada de 
minimante. 
Quando ܽ ൏ 0, a função quadrática admite um ponto de máximo. Neste caso a 
coordenada y é chamada de valor máximo e a coordenada x é chamada de 
maximante. 
Com essas informações, estamos prontos para construir gráficos de funções 
quadráticas. Em geral, vamos seguir os seguintes passos. 
i) Desenhar o eixo ݔ. 
ii) Calcular o valor do discriminante Δ e as raízes (se houver). 
iii) De acordo com o valor de ܽ e Δ desenhar um esboço da parábola. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iv) Calcular as coordenadas do vértice. 
ݔ ൌ
െܾ
2ܽ
 ݁ ݕ ൌ
െΔ
4ܽ
 
v) Traçar o eixo ݕ. 
vi) Determinar o intercepto da parábola com o eixo ݕ (lembre-se que este 
intercepto é dado pelo valor do termo independente). 
 
Construa o gráfico da função real definida por ݂ሺݔሻ ൌ ݔଶ െ 6ݔ ൅ 8 
Resolução 
ݔ
ݔ
ݔ
ݔ
ݔ 
ݔ 
ܽ ൏ 0 
Δ ൏ 0 
ܽ ൏ 0 
Δ ൌ 0
ܽ ൏ 0 
Δ ൐ 0 
ܽ ൐ 0 
Δ ൏ 0 ܽ ൐ 0 
Δ ൌ 0ܽ ൐ 0 
Δ ൐ 0 
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Temos que ܽ ൌ 1, ܾ ൌ െ6 ݁ ܿ ൌ 8. 
Como ܽ ൐ 0, a concavidade da parábola estávoltada para cima. 
Vamos calcular o valor do discriminante: 
Δ ൌ ܾଶ െ 4ܽܿ ൌ ሺെ6ሻଶ െ 4 ڄ 1 ڄ 8 ൌ 4 
Como Δ ൐ 0, a parábola corta o eixo ݔ em dois pontos distintos. Vamos, então, calcular 
as raízes: 
ݔ ൌ
െܾ േ √Δ
2ܽ
ൌ
െሺെ6ሻ േ √4
2 ڄ 1
ൌ
6 േ 2
2
 
ݔ ൌ 2 ݋ݑ ݔ ൌ 4 
Por enquanto, o gráfico tem o seguinte aspecto: 
 
 
 
 
 
 
Vamos calcular as coordenadas do vértice: 
ݔ ൌ
െܾ
2ܽ
ൌ
െሺെ6ሻ
2 ڄ 1
ൌ 3 ݁ ݕ ൌ
െΔ
4ܽ
ൌ
െ4
4 ڄ 1
ൌ െ1 
 
Outra maneira de calcular a abscissa do vértice (x do vértice) é a seguinte: somar as 
raízes e dividir por 2. Ou seja, a abscissa do vértice é a média aritmética das raízes. 
Como as raízes são 2 e 4, o x do vértice é dado por: 
ݔ ൌ
2 ൅ 4
2
ൌ 3 
 
 
 
 
 
42
െ1
3 
42
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Lembrando agora que o coeficiente ܿ ൌ 8 é o intercepto do gráfico com o eixo ݕ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
68. (SERC/MS 2006/FGV) A ordenada do vértice da parábola ݕ ൌ 4ݔ െ ݔଶ é: 
a) െ4 
b) െ2 
c) 0 
d) 2 
e) 4 
Resolução 
A ordenada do vértice da parábola é o ݕ௩. 
Nesta parábola, temos que ܾ ൌ 4, ܽ ൌ െ1 e ܿ ൌ 0. 
O discriminante é igual a ∆ൌ ܾଶ െ 4ܽܿ ൌ 4ଶ െ 4 · ሺെ1ሻ · 0 ൌ 16. 
Basta aplicar a fórmula: 
ݕ௩ ൌ
െΔ
4ܽ
ൌ
െ16
4 · ሺെ1ሻ
ൌ 4 
Letra E 
 
69. (Secretaria de Estado da Administração – Santa Catarina 2006/FEPESE) O 
lucro obtido na venda de mouses é dado pela função L(x) = –x2 + 90x – 800, sendo L o 
lucro do fabricante e x o preço de venda do mouse. O gráfico da função lucro é 
representado na figura abaixo. 
ݔ
8 
ݕ 
െ1
3 
42
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Assinale a alternativa que indica o maior lucro do fabricante. 
a) R$ 45,00 
b) R$ 80,00 
c) R$ 1.000,00 
d) R$ 1.225,00 
e) R$ 1.400,00 
 
Resolução 
 
Lembremos outros fatos importantes acerca da função quadrática ݂ሺݔሻ ൌ ܽݔଶ ൅ ܾݔ ൅ ܿ 
com ܽ ് 0. 
 
Se a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima e a função admite um 
ponto de mínimo. 
 
Se a < 0, a concavidade da parábola está voltada para baixo e a função admite um 
ponto de máximo. 
 
Se a < 0, a função quadrática ݂ሺݔሻ ൌ ܽݔଶ ൅ ܾݔ ൅ ܿ admite o valor máximo 
ݕ௠á௫ ൌ
െΔ
4ܽ
 ݌ܽݎܽ ݔ௠á௫ ൌ
െb
2ܽ
 
 
Neste caso o valor ିΔ
ସ௔
 é denominado valor máximo da função e o valor ିୠ
ଶ௔
 é 
denominado maximante. 
 
Se a > 0, a função quadrática ݂ሺݔሻ ൌ ܽݔଶ ൅ ܾݔ ൅ ܿ admite o valor mínimo 
ݕ௠í௡ ൌ
െΔ
4ܽ
 ݌ܽݎܽ ݔ௠í௡ ൌ
െb
2ܽ
 
 
Neste caso o valor ିΔ
ସ௔
 é denominado valor mínimo da função e o valor ିୠ
ଶ௔
 é 
denominado minimante. 
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O ponto ܸ ቀିୠ
ଶ௔
, ିΔ
ସ௔
ቁ é chamado vértice da parábola representativa da função 
quadrática. 
 
Voltemos à questão. A questão chegava até ser interessante, mas o gráfico estragou 
tudo e o candidato poderia responder a questão sem tocar no lápis. 
 
 
Obviamente, o lucro máximo é maior do que 1.200 e menor do que 1.400. Assim, a 
resposta só pode ser a letra D. 
 
Mas nosso papel não é apenas marcar o gabarito. Vamos esquecer o gráfico. 
 
O valor máximo da função é dado por 
 
ݕ௠á௫ ൌ
െΔ
4ܽ
 
 
Lembrando que Δ ൌ ܾଶ െ 4ܽܿ. 
A função lucro é dada por L(x) = –x2 + 90x – 800. 
 
Então Δ ൌ ܾଶ െ 4ܽܿ ൌ ሺ90ሻଶ െ 4 · ሺെ1ሻ · ሺെ800ሻ ൌ 4.900 
 
Assim, o valor máximo (lucro máximo) é 
 
ݕ௠á௫ ൌ
െΔ
4ܽ
ൌ
െ4.900
4 · ሺെ1ሻ
ൌ
4.900
4
ൌ 1.225 
 
Letra D 
 
Se quiséssemos calcular o valor do mouse a ser vendido que torna o lucro máximo 
bastaríamos calcular xmáx. 
 
ݔ௠á௫ ൌ
െܾ
2ܽ
ൌ
െ90
2 · ሺെ1ሻ
ൌ 45 
 
Esse valor foi explicitado no gráfico (eixo x). 
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Observe outra coisa: o xmáx pode ser calculado como a média aritmética das raízes. As 
raízes são os pontos em que o gráfico toca o eixo x. Analisando o gráfico, vemos que 
a parábola toca o eixo x em 
x = 10 e em x = 80. 
 
Assim, 
 
ݔ௠á௫ ൌ
10 ൅ 80
2
ൌ 45 
 
E, sabendo o xmáx podemos calcular ymáx substituindo o x na função por 45. 
 
ܮሺݔሻ ൌ – ݔଶ ൅ 90ݔ – 800 
 
ܮሺ45ሻ ൌ – ሺ45ሻଶ ൅ 90 · 45 – 800 ൌ 1.225 
 
70. (AFRFB 2009/ESAF) Considere as inequações dadas por: 
݂ሺݔሻ ൌ ݔଶ െ 2ݔ ൅ 1 ൑ 0 ݁ ݃ሺݔሻ ൌ െ2ݔଶ ൅ 3ݔ ൅ 2 ൒ 0. 
Sabendo que A é o conjunto solução de ݂ሺݔሻ e B o conjunto solução de ݃ሺݔሻ, 
então o conjunto ܻ ൌ ܣ ת ܤ é igual a: 
 
a) ܻ ൌ ቄݔ א Թቚെ ଵ
ଶ
൏ ݔ ൑ 2ቅ 
b) ܻ ൌ ቄݔ א Թቚെ ଵ
ଶ
൑ ݔ ൑ 2ቅ 
c) ܻ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൌ 1ሽ 
d) ܻ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൒ 0ሽ 
e) ܻ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൑ 0ሽ 
Resolução 
 
Relembremos alguns fatos importantes sobre a função quadrática definida nos 
reais pela lei ݂ሺݔሻ ൌ ܽݔଶ ൅ ܾݔ ൅ ܿ com ܽ ് 0. 
 
Seu gráfico é uma parábola com eixo de simetria vertical. Se a > 0, a 
concavidade da parábola está voltada para cima, se a < 0, a concavidade da 
parábola está voltada para baixo. 
 
As raízes da função são dadas pela fórmula 
 
ݔ ൌ
െܾ േ √ܾଶ െ 4ܽܿ
2ܽ
 
 
O número ∆ൌ ܾଶ െ 4ܽܿ é chamado de discriminante. 
 
Se ∆൐ 0, então a função possui duas raízes reais e distintas e o gráfico 
intercepta o eixo x em dois pontos distintos. 
 
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Se ∆ൌ 0, então a função possui duas raízes reais e iguais (ou 1 raiz dupla) e o 
gráfico tangencia o eixo x. 
 
Se ∆൏ 0, então a função não possui raízes reais e o gráfico não intercepta o 
eixo x. 
 
Considere a função ݂ሺݔሻ ൌ ݔଶ െ 2ݔ ൅ 1. O gráfico é uma parábola com a 
concavidade voltada para cima. Calculemos suas supostas raízes. 
 
ݔ ൌ
െሺെ2ሻ േ ඥሺെ2ሻଶ െ 4 · 1 · 1
2 · 1
 
 
ݔ ൌ
2 േ 0
2
ൌ 1 
 
Ou seja, a função possui duas raízes reais e iguais (raiz dupla). 
 
 
Resolver a inequação ݂ሺݔሻ ൌ ݔଶ െ 2ݔ ൅ 1 ൑ 0, significa responder quando é 
que a função ݂ሺݔሻ ൌ ݔଶ െ 2ݔ ൅ 1 é menor que ou igual a 0. De acordo com o 
gráfico exposto acima, a função nunca é menor do que 0. A função é igual a 0 
apenas para x = 1. Assim, o conjunto solução da inequação é ሼݔ א Թ|ݔ ൌ 1ሽ. 
 
Olhemos a segunda inequação. ݃ሺݔሻ ൌ െ2ݔଶ ൅ 3ݔ ൅ 2 ൒ 0. O gráfico da função 
g é uma parábola com a concavidade voltada para baixo. Calculemos as 
raízes: 
 
ݔ ൌ
െ3 േ ඥ3ଶ െ 4 · ሺെ2ሻ · 2
2 · ሺെ2ሻ
 
 
ݔ ൌ
െ3 േ 5
െ4
 
 
ݔ ൌ
െ3 ൅ 5
െ4
ൌ െ
1
2
 ݋ݑ ݔ ൌ
െ3 െ 5
െ4
ൌ 2 
 
Temos o seguinte gráfico. 
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Resolver a inequação ݃ሺݔሻ ൌ െ2ݔଶ ൅ 3ݔ ൅ 2 ൒ 0 significar responder quando a 
função g é maior do que ou igual a 0. Pelo gráfico vemos que o conjunto 
solução dessa inequação é o conjunto ܤ ൌ ቄݔ א Թቚെ ଵ
ଶ
൏ ݔ ൑ 2ቅ. 
 
O enunciado pede o conjunto ܻ ൌ ܣ ת ܤ. 
 
 
 
 
 
 
A interseção resume-se ao ponto x=1. ܻ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൌ 1ሽ 
 
Letra C 
 
71. (ANVISA 2010/CETRO) Considere as seguintes funções 
 ݂ሺݔሻ ൌ ݔଶ െ 4ݔ ൅ 4 e ݃ሺݔሻ ൌ െݔ ൅ 6ݔ െ 5. Assinale a alternativa que apresenta 
a solução da inequação definida por ݂ሺݔሻ · ݃ሺݔሻ ൑ 0. 
a) ܵ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൌ 2ሽ 
b) ܵ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൑ 1 ݋ݑ ݔ ൌ 2ሽ 
c) ܵ ൌ ሼݔ א Թ|1 ൑ ݔ ൑ 5 ݋ݑ ݔ ൌ 2ሽ 
d) ܵ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൑ 1 ݋ݑ ݔ ൒ 5 ݋ݑ ݔ ൌ 2ሽ 
e) ܵ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൒ 1 ݋ݑ ݔ ൑ 5 ݋ݑ ݔ ൌ 2ሽ 
Resolução 
Vamos estudar separadamente o sinal de cada uma das funções. 
i) ݂ሺݔሻ ൌ ݔଶ െ 4ݔ ൅ 4 
Cálculo das raízes: 
ݔଶ െ 4ݔ ൅ 4 ൌ 0 
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ݔ ൌ
െܾ േ √ܾଶ െ 4ܽܿ
2ܽ
 
ݔ ൌ
െሺെ4ሻ േ ඥሺെ4ሻଶ െ 4 · 1 · 4
2 · 1
ൌ
4 േ 0
2
ൌ 2 
 
Temos, portanto, uma raiz real dupla igual a 4. O gráfico de ݂ é uma parábola 
com a concavidade voltada para cima e que tangencia o eixo ݔ no ponto de 
abscissa igual a 4. 
 
 
 
 
 
ii) ݃ሺݔሻ ൌ െݔ ൅ 6ݔ െ 5 ൌ 5ݔ െ 5 
Cálculo da raiz: 
5ݔ െ 5 ൌ 0 
ݔ ൌ 1 
 
 
Portanto, o gráfico é uma reta com coeficiente angular positivo (função 
crescente) e que intercepta o eixo x no ponto de abscissa 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
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Vejamos a solução da inequação ݂ሺݔሻ · ݃ሺݔሻ ൑ 0 lembrando as regras dos 
sinais na multiplicação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, a solução da inequação é o conjunto ܵ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൑ 1 ݋ݑ ݔ ൌ 2ሽ. 
Letra B 
ATENÇÃO!!! 
Quem achou que o CETRO cometeu um erro de digitação na função g e 
achava que o correto era ݃ሺݔሻ ൌ െݔ૛ ൅ 6ݔ െ 5 iria marcar a letra D!!!!! 
Sinceramente, isso não se faz!! Não adianta brigar... 
Eles colocaram ݃ሺݔሻ ൌ െݔ ൅ 6ݔ െ 5 para que você usasse ݃ሺݔሻ ൌ 5ݔ െ 5. 
72. (Assembleia Legislativa do Estado de São Paulo 2010/FCC) O gráfico a 
seguir representa a função ݂, de domínio real, dada pela lei ݂ሺݔሻ ൌ ܽݔଶ ൅ ܾݔ ൅
ܿ. 
2
1 
݂ሺݔሻ 
݃ሺݔሻ 
݂ሺݔሻ · ݃ሺݔሻ 
1  2
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Sabendo que a, b e c são constantes, é correto concluir que 
(A) a < 0, b < 0 e c < 0 
(B) a < 0, b < 0 e c > 0 
(C) a < 0, b > 0 e c < 0 
(D) a < 0, b > 0 e c > 0 
(E) a > 0, b < 0 e c < 0 
Resolução 
Como a concavidade está voltada para baixo, concluímos que ܽ ൏ 0. 
A parábola corta o eixo ݕ abaixo da origem do plano, portanto ܿ ൏ 0. 
Precisamos descobrir o sinal do coeficiente ܾ. 
 
Obviamente a coordenada ݔ do vértice é negativa. 
െܾ
2ܽ
൏ 0 
Multiplicando os dois membros por ሺെ1ሻ devemos inverter o sentido da desigualdade. 
ܾ
2ܽ
൐ 0 
ݔ௩
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Como ܽ ൏ 0, então o denominador é negativo. Para que a divisão seja positiva, o 
numerador também deve ser negativo. Portanto, ܾ ൏ 0. 
Letra A 
Observação: Resolvi esta questão de uma maneira um pouco mais 
interessante na parte aberta do Ponto dos Concursos. Basta acessar o 
link http://www.pontodosconcursos.com.br/admin/imagens/upload/5909 D.pdf 
 
73. (SERC/MS 2006/FGV) Se a parábola ݕ ൌ ܽݔଶ ൅ ܾݔ ൅ ܿ contém os pontos ሺെ1,12ሻ, 
ሺ0,5ሻ e ሺ2, െ3ሻ, quanto vale ܽ ൅ ܾ ൅ ܿ? 
a) െ4 
b) െ2 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
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Resolução 
O ponto ሺെ1,12ሻ indica que quando ݔ ൌ െ1, ݕ ൌ 12. 
O ponto ሺ0,5ሻ indica que quando ݔ ൌ 0, ݕ ൌ 5. 
O ponto ሺ2, െ3ሻ indica que quando ݔ ൌ 2, ݕ ൌ െ3. 
 
Vamos começar utilizando o ponto ሺ0,5ሻ. 
ܽ · 0ଶ ൅ ܾ · 0 ൅ ܿ ൌ 5 
0 ൅ 0 ൅ ܿ ൌ 5 
ܿ ൌ 5 
A equação da parábola é ݕ ൌ ܽݔଶ ൅ ܾݔ ൅ 5. 
Vamos substituir ݔ por െ1 e ݕ por 12. 
ܽ · ሺെ1ሻଶ ൅ ܾ · ሺെ1ሻ ൅ 5 ൌ 12 
ܽ െ ܾ ൌ 7 
ܽ ൌ ܾ ൅ 7 
Finalmente vamos substituir ݔ por 2 e ݕ por െ3. 
ܽ · 2ଶ ൅ ܾ · 2 ൅ 5 ൌ െ3 
 
4ܽ ൅ 2ܾ ൌ െ8 
Sabemos que ܽ ൌ ܾ ൅ 7. 
4 · ሺܾ ൅ 7ሻ ൅ 2ܾ ൌ െ8 
4ܾ ൅ 28 ൅ 2ܾ ൌ െ8 
6ܾ ൌ െ36 
ܾ ൌ െ6 
Como ܽ ൌ ܾ ൅ 7, então: 
ܽ ൌ െ6 ൅ 7 
ܽ ൌ 1 
O valor de ܽ ൅ ܾ ൅ ܿ é: 
1 െ 6 ൅ 5 ൌ 0 
Letra C 
  
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Metrologia: sistemas de numeração, sistemas de unidades e 
medidas. 
 
Nosso próprio sistema de numeração (base dez ou decimal) é um exemplo de um 
sistema de numeração posicional. 
Assim, por exemplo, o número 324 significa 300 + 20 + 4. Ou equivalentemente 
324 = 3.100 + 2.10 + 4 = 3.102 + 2.101 +4.100. 
Vejamos outro exemplo ainda na base 10. O número 23.405 significa 20.000 + 3000 + 
400 + 5. Ou seja, 23.405 = 2.104 +3.103 +4.102 + 5.100. 
Resumindo a história: qualquer número na base 10 é uma soma de forma que cada 
parcela é igual ao dígito da posição vezes uma potência de dez. E qual o expoente da 
base 10? Justamente a posição, de forma que o algarismo das unidades tem posição 
0, o algarismo das dezenas tem posição 1, o algarismo das centenas tem posição 2 e 
assim sucessivamente. 
4231= 4.103 + 2.102 + 3.101 + 1.100 
E esse fato será verdadeiro em qualquer base de numeração, mudando portanto 
apenas a base das potências convenientemente. Por exemplo, o número 324(3) (o 
índice (3) significa que o número está representado na base 3) será escrito da seguinte 
forma no sistema decimal: 
221(3) = 2.32 +2.31 +1.30 
221(3) = 18 + 6 +1 = 25. 
O número 221 na base 3 é igual a 25 no sistema decimal. 
Observe que no sistema de base 3, apenas utilizamos 3 algarismos – 0,1,2. No 
sistema de base 4, apenas utilizamos 4 algarismos – 0,1,2,3. 
No sistema de base 10, utilizamos 10 algarismos – 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. 
Para efetuar o processo inverso, ou seja, transformar o número 25 da base 10 para a 
base 3, devemos efetuar sucessivas divisões por 3, de acordo com o seguinte 
algoritmo. 
 
 
 
 
 
25  3
81  3 
2 2
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Quando não pudermos mais continuar a divisão devemos parar. Então olharemos os 
números em vermelho (os restos das divisões e o último quociente) da direita para a 
esquerda. Ou seja, 25(10) = 221(3). Os números na base 10 não necessitam de índice, 
por convenção. Ou seja, 25(10) = 25. 
74. (MEC 2008/FGV) No sistema de numeração na base 5, só são utilizados os 
algarismos 0, 1, 2, 3 e 4. Os números naturais, normalmente representados na base 
decimal, podem ser também escritos nessa base como mostrado: 
 
De acordo com esse padrão lógico, o número 151 na base decimal, ao ser 
representado na base cinco, corresponderá a: 
(A) 111 
(B) 1011 
(C) 1101 
(D) 1110 
(E) 1111 
Resolução 
Para efetuar o processo inverso, ou seja, transformar o número 25 da base 10 para a 
base 3, devemos efetuar sucessivas divisões por 3, de acordo com o seguinte 
algoritmo. 
151 ہ 5 
 ૚ 30 ہ 5 
 0 6 ہ 5 
 1 1 
 
 
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Quando não pudermos mais continuar a divisão devemos parar. Então olharemos os 
números em vermelho (os restos das divisões e o último quociente) da direita para a 
esquerda. 
Desta forma, 151(10) = 1101(5) 
Letra C 
75. (AFRE-PB 2006 FCC) O sistema básico de registro de informações em um 
computador é o binário. Sendo assim, o número binário 0011011101 corresponde ao 
decimal 
(A) 301. 
(B) 221. 
(C) 201. 
(D) 121. 
(E) 91. 
Resolução 
O sistema binário é o de base 2. Só são utilizados dois algarismos: 0 e 1. 
0011011101(2)= 11011101(2) = 1.27 +1.26 +0.25 + 1.24 +1.23 +1.22 +0.21 +1.20 
11011101(2) =128 + 64 + 0 + 16 + 8 + 4 + 0 +1 = 221. 
Letra B 
76. (ISS-RJ 2010/ESAF) A seguir estão representados pelo sistema binário, formado 
apenas pelos algarismos 0 e 1, os números naturais de 0 a 16 em ordem crescente: 0, 
1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000. 
Qual é o número que corresponde ao binário 111011? 
a) 59 
b) 60 
c) 58 
d) 61 
e) 62 
Resolução 
O sistema binário é o de base 2. Só são utilizados doisalgarismos: 0 e 1. 
111011(2) = 1.25 + 1.24 +1.23 +0.22 +1.21 +1.20 = 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = 59. 
Letra A 
77. (TTN – 1997 ESAF) Nos sistemas de numeração posicional, cada dígito da 
sequência que representa o número pode ser interpretado como o coeficiente de uma 
potência da base, onde o valor do expoente depende da posição do dígito na 
sequência. Entre tais sistemas, um dos mais importantes é o binário, ou de base 2, 
que utiliza apenas os dígitos 0 e 1 na notação dos números. Por exemplo, o número 
que corresponde ao 11 do sistema decimal, é indicado por 1011 no sistema binário, 
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pois 11 (decimal) é igual a (1 x 23) + (0 x 22) + (1 x 21) + (1 x 20) Assim, o resultado, 
expresso no sistema decimal, da adição dos números binários 1011 e 101 será igual a 
a) 15 
b) 13 
c) 14 
d) 12 
e) 16 
Número Binário = 1011 
Número Decimal = 1.23 + 0.22 + 1.21 + 1.20 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11 
Número Binário = 101 
Número Decimal = 1.22 + 0.21 + 1.20 = 4 + 0 + 1 = 5 
Resposta: 11 + 5 = 16 
Letra E 
 
Sistema Legal de Medidas 
Temos os seguintes múltiplos e submúltiplos do metro. 
Múltiplos: Decâmetro (dam), hectômetro (hm) e quilômetro (km). 
Submúltiplos: Decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm). 
 
km hm dam m dm cm mm 
 
Para transformar as unidades da esquerda para a direita, multiplicamos por 10 a cada 
passagem. Para transformar as unidades da direita para esquerda devemos dividir por 
10 a cada passagem. 
 
Então para 914.440 cm serem transformados em quilômetros, devemos dividir por 
100.000 (5 casas). 914.440 cm = 9,14440 km. 
Significados dos prefixos: 
 
k Æ quilo (1000) 
h Æ hecto (100) 
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da Æ deca (10) 
d Æ deci (1/10) 
c Æ centi (1/100) 
m Æ mili (1/1000) 
 
O mesmo processo pode ser usado para os múltiplos e submúltiplos do litro e 
grama. 
kl hl dal l dl cl ml 
kg hg dag g dg cg mg 
Para transformar as unidades da esquerda para a direita, multiplicamos por 10 a cada 
passagem. Para transformar as unidades da direita para esquerda devemos dividir por 
10 a cada passagem. 
Por exemplo: Transformar 8.432 dg (decigramas) para dag (decagramas). Devemos 
andar duas casas para a esquerda, assim devemos dividir 8.432 por 100 obtendo 
84,32 dag. 
Se estivermos trabalhando com unidades de área (múltiplos e submúltiplos de m2), a 
cada passagem devemos multiplicar ou dividir por 100. 
Se estivermos trabalhando com unidades de volume (múltiplos e submúltiplos de m3), 
a cada passagem devemos multiplicar ou dividir por 1.000. 
78. (PUC-MG) Em metrologia, pé é uma unidade de medida linear equivalente a cerca 
de 30,48 cm. Um avião que trafega a 30000 pés do solo está voando a uma altura 
mais próxima de: 
a) 6km 
b) 7km 
c) 8km 
d) 9km 
e) 10km 
Resolução 
30.000 pés = 30.000 x 30,48 cm = 914.440 cm. Para transformar de centímetro 
para metro devemos dividir o resultado por 100. Assim, 914.440 cm = 9.144,40 
m. E para transformar de metro para quilometro devemos dividir o resultado por 
mil. Dessa forma, 9.144,40 m = 9,14440 km. 
Letra D 
79. (COVEST 2003) Uma empresa de exportação de gasolina comunicou à ANP o 
desaparecimento de 7,2 milhões de litros de gasolina dos seus depósitos. Se um 
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caminhão-tanque tem capacidade de 32m3, quantos caminhões seriam necessários 
para transportar a gasolina desaparecida? (obs.: 1m3=1000 litros) 
a) 205 
b) 210 
c) 215 
d) 220 
e) 225 
Resolução 
O texto nos informou que 1m3=1000 litros. 7,2 milhões de litros = 7.200.000 litros. Pela 
relação dada temos que 7.200.000 litros = 7.200m3. Como cada caminhão transporta 
32 m3, o total de caminhões desaparecidos é 7.200/32 = 225. 
Letra E 
  
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Relação das questões comentadas 
 
01. (MINC 2006/FGV) A fração 5/8 equivale a: 
(A) 50% 
(B) 54% 
(C) 56% 
(D) 60% 
(E) 62,5% 
02. (ESAF-AFC/CGU-2004) Durante uma viagem para visitar familiares com 
diferentes hábitos alimentares, Alice apresentou sucessivas mudanças em seu 
peso. Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. A 
seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que fez 
Alice ganhar 20% de peso. Após, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo 
um rígido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu 
regime, Alice também emagreceu, perdendo 25% de peso. Finalmente, visitou 
um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita que acarretou, para 
Alice, um ganho de peso de 25%. O peso final de Alice, após essas visitas a 
esses quatro familiares, com relação ao peso imediatamente anterior ao início 
dessa seqüência de visitas, ficou: 
a) exatamente igual 
b) 5% maior 
c) 5% menor 
d) 10% menor 
e) 10% maior 
03. (Agente Executivo – SUSEP 2006/ESAF) Um indivíduo tinha uma dívida de 
R$ 1.200,00 três meses atrás. Considerando que o valor dessa dívida hoje é 
R$ 1.440,00, calcule a porcentagem de aumento da dívida no período. 
a) 12% 
b) 15% 
c) 20% 
d) 25% 
e) 30% 
04. (Secretaria de Estado de Planejamento, Orçamento e Gestão – MA 
2005/FCC) Em 02/01/2005, a fiscalização em certa reserva florestal acusou 
que o número de espécies nativas havia diminuído de 60%, em relação a 
02/01/2004. Para que, em 02/01/2006, o número de espécies nativas volte a 
ser o mesmo observado em 02-01-2004, então, relativamente a 02/01/2005, 
será necessário um aumento de 
a) 60% 
b) 80% 
c) 150% 
d) 160% 
e) 180% 
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05. (DOCAS-SP 2010/FGV) Três amigos foram a um restaurante, e a conta, já 
incluídos os 10% de gorjeta, foi de R$ 105,60. Se eles resolveram não pagar os 10% 
de gorjeta pois acharam que foram mal atendidos, e dividiram o pagamento 
igualmente pelos três, cada um deles pagou a quantia de 
a) R$ 31,68 
b) R$ 30,60 
c) R$ 32,00 
d) R$ 35,20 
e) R$ 33,00 
06. (CAERN 2010/FGV) Um restaurante cobra 10% sobre o valor consumido. Assim, 
quando a conta é apresentada ao cliente, o valor a ser pago já vem com os 10% 
incluídos. Ao receber a conta no valor de R$ 27,72, Marcelo percebeu que haviam 
cobrado a sobremesa, que custa R$ 3,50, sem que ele a tivesse consumido. O 
gerente prontamente corrigiu o valor cobrado. Assim, depois dessa correção, Marcelo 
pagou 
a) R$ 21,70. 
b) R$ 22,50. 
c) R$ 23,87. 
d) R$ 24,22. 
e) R$ 52,20. 
07. (MEC 2009/FGV) Em uma sala há homens, mulheres e crianças. Se todos os 
homens fossem retirados da sala, as mulheres passariam a representar 80% dos 
restantes. Se, ao contrário, fossem retiradas todas as mulheres, os homens passariam 
a representar 75% dos presentes na sala. Com relação ao número total de pessoas na 
sala, as crianças correspondem a: 
a) 12,5% 
b) 17,5% 
c) 20% 
d) 22,5% 
e) 25% 
(MINC 2006/FGV) O enunciado a seguir refere-se às questões de números 08 e 09. 
 
Em uma escola, 10% dos alunos são canhotos, e, destes, 30% usam óculos. Além 
disso, 12% dos alunos dessa escola usam óculos. 
 
08. Qual é a porcentagem dos alunos dessa escola que são canhotos e usam óculos? 
(A) 3% 
(B) 5% 
(C) 15% 
(D) 20% 
(E) 25% 
 
 
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www.pontodosconcursos.com.br09. Qual é a porcentagem de canhotos entre os alunos dessa escola que usam 
óculos? 
(A) 3% 
(B) 5% 
(C) 15% 
(D) 20% 
(E) 25% 
 
10. (CAERN 2010/FGV) Em um saquinho há balas. Quinze delas são de coco. As 
balas de mel correspondem a 55% do total de balas no saquinho. As 12 restantes são 
de tamarindo. Quantas balas há no saquinho? 
a) 54 
b) 33 
c) 48 
d) 60 
e) 63 
11. (SERC/MS 2006/FGV) Gastava 20% do meu salário com aluguel. Recebi um 
aumento de salário de 50%, porém o aluguel aumentou de 20%. Quanto passei a 
gastar com aluguel? 
(A) 18% 
(B) 16% 
(C) 14% 
(D) 12% 
(E) 10% 
12. (BADESC 2010/FGV) Um número N acrescido de 20% vale 36, o mesmo 
que um número P reduzido de 10%. A soma de N e P é: 
(A) 60 
(B) 65 
(C) 70 
(D) 75 
(E) 80 
13. (Senado Federal 2008/FGV) Guido fez um investimento em um fundo de ações e, 
a cada 30 dias, recebe um relatório mostrando a valorização ou desvalorização das 
cotas do fundo nesse período. No primeiro mês o fundo teve uma valorização de 8% e, 
no segundo mês de 25%. O terceiro mês foi de crise e todas as ações caíram. 
Entretanto, no fim do terceiro mês, Guido verificou, com certo alívio, que tinha quase 
que exatamente o mesmo dinheiro que investiu. A desvalorização no terceiro mês foi 
de cerca de: 
(A) 22%. 
(B) 26%. 
(C) 30%. 
(D) 33%. 
(E) 37%. 
 
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14. (Assistente Administrativo – CRP 4ª – 2006/CETRO) Para obter um número 
20% maior que ele próprio, devo multiplicá-lo pela fração: 
(A) Dois terços 
(B) Cinco quartos 
(C) Seis quintos 
(D) Sete quintos 
(E) Oito sextos 
15. (TJPA 2006/CESPE-UnB) Flávio ganhou R$ 720,00 de salário. Desse valor, 
ele gastou 25% pagando dívidas e 1/3 com alimentação. Nesse caso, o que 
sobrou do salário de Flávio foi 
A) inferior a R$ 180,00. 
B) superior a R$ 180,00 e inferior a R$ 230,00. 
C) superior a R$ 230,00 e inferior a R$ 280,00. 
D) superior a R$ 280,00. 
16. (TJPA 2006/CESPE-UnB) 
 
De acordo com o anúncio acima, o total do pagamento a prazo na compra da 
lavadora de roupas supera o valor do pagamento à vista em 
A) exatamente 25% do valor à vista. 
B) mais de 25% e menos de 30% do valor à vista. 
C) exatamente 30% do valor à vista. 
D) mais de 30% do valor à vista. 
 
 
 
 
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(TJBA 2003/CESPE-UnB) 
 
Os dados acima representam a evolução da quantidade de processos 
analisados em uma repartição pública e do número de servidores que 
analisaram esses processos, em uma semana de expediente. A produtividade 
em um dia é o resultado do quociente entre a quantidade de processos 
analisados naquele dia e a quantidade de servidores que analisaram esses 
processos. Com base nesses dados, julgue os seguintes itens. 
 
17. Na sexta-feira, o número de servidores que analisaram processos 
aumentou mais de 50% em relação ao número dos que fizeram essa atividade 
na segunda-feira. 
18. Se, na quarta-feira, a produtividade foi de 24 processos por servidor, então 
menos de 70 processos foram analisados nesse dia. 
19. Na sexta-feira, a produtividade foi 80% maior que na segunda-feira. 
20. Considere que 81 processos ficaram sem ser analisados nessa semana e 
que deveriam ser analisados mantendo-se a mesma produtividade da sexta-
feira. Nessa situação, seriam necessários mais de 12 servidores para cumprir 
essa tarefa. 
21. (RIO PREVIDENCIA 2010/CEPERJ) O consumo de energia elétrica na casa 
de Regina, em novembro de 2009, aumentou em 30% em relação ao de 
outubro, por causa do calor. Entretanto, em dezembro, Regina reparou que o 
consumo de energia elétrica diminuiu 10% em relação ao mês anterior. Então, 
o consumo de dezembro em relação ao de outubro é maior em: 
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a) 15% 
b) 17% 
c) 18% 
d) 20% 
e) 22% 
22. (Câmara Municipal de Vassouras 2006/CEPERJ) Em uma loja de roupas, 
as vendas em fevereiro superaram as de janeiro em 20% e as vendas em 
março superaram as de fevereiro em 60%. De janeiro a março, o aumento nas 
vendas desta loja foi de: 
A) 80% 
B) 86% 
C) 92% 
D) 120% 
23. (Câmara Municipal de Vassouras 2006/CEPERJ) Dois descontos 
sucessivos de 30% e 40% são equivalentes a um único desconto de: 
A) 58% 
B) 62% 
C) 66% 
D) 70% 
24. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Durante a noite, o dono de uma loja aumentou 
todos os preços em 20% e, no dia seguinte, anunciou um desconto de 30% em 
todos os produtos. O desconto real que ele está oferecendo é de: 
a) 10% 
b) 12% 
c) 14% 
d) 16% 
e) 18% 
25. (SEE/RJ 2007/CEPERJ) Em uma semana, as ações de certa companhia 
valorizaram 20% e, na semana seguinte, desvalorizaram 20%. O valor das 
ações é: 
A) o mesmo que o valor inicial 
B) maior em 2% que o valor inicial 
C) menor em 2% que o valor inicial 
D) maior em 4% que o valor inicial 
E) menor em 4% que o valor inicial 
26. (Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) Um trabalhador gasta com o aluguel de 
sua casa 25% do seu salário. Se o salário é corrigido com um aumento de 25% 
e o aluguel com um aumento de 35%, então o novo aluguel passará a consumir 
a seguinte porcentagem do novo salário do trabalhador: 
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a) 25% 
b) 35% 
c) 27% 
d) 37% 
e) 50% 
27. (SEE/RJ 2007/CEPERJ) Pedro investiu certa quantia comprando ações de 
uma indústria. No final do primeiro ano, ele verificou que as ações tinham 
valorizado 25%, mas no final do ano seguinte ele disse: “Puxa, eu tenho hoje o 
dobro do dinheiro que investi”. A valorização dessas ações no segundo ano foi 
de: 
A) 50% 
B) 55% 
C) 60% 
D) 70% 
E) 75% 
28. (RIOPREVIDÊNCIA 2010/CEPERJ) Considere um número real ݔ e faça 
com ele as seguintes operações sucessivas: multiplique por 2, em seguida 
some 1, multiplique por 3 e subtraia 5. Se o resultado foi 220, o valor de ݔ está 
entre: 
a) 30 e 35 
b) 35 e 40 
c) 40 e 45 
d) 45 e 50 
e) 50 e 55 
29. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) Considere um número real ݔ e faça 
com ele as seguintes operações sucessivas: multiplique por 4, depois some 31, 
em seguida divida por 3, multiplique por 5 e subtraia 23. Se o resultado foi 222, 
o valor de ݔ é: 
a) um número múltiplo de 7. 
b) um número entre 30 e 40. 
c) um número par. 
d) um número cuja soma dos dígitos é 10. 
e) um número primo. 
30. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) No sistema 
൜
0,3ݔ ൅ 1,2ݕ ൌ 2,4
0,5ݔ െ 0,8ݕ ൌ െ0,9 
O valor de ݔ é: 
a) 1 
b) -1 
c) 0 
d) 2 
e) 2/3 
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31. (TCE-RN 2000/ESAF) Um homem caridoso observou alguns mendigos em 
uma praça e pensou: “Se eu der R$ 5,00 a cada mendigo, sobrar-me-ão R$ 
3,00. Ah, mas se eu tivesse apenas mais R$ 5,00, eu teria a quantia exata para 
poder dar a cada um deles R$ 6,00”. O número de mendigos era, portanto: 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
32. (Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Hoje a idade de João é a 
metade da idade de sua mãe. Há quatro anos, a idade de João era a terça 
parte da idade de seu pai. Se a soma das idades dos três é 100 anos hoje, 
calcule quantos anos o pai de João é mais velho que sua mãe. 
a) 8 
b) 10 
c) 12 
d) 13 
e) 15 
33. (AFC/SEPLAG-GDF 2009/FUNIVERSA) A diferença entre as idades de dois 
irmãos é de três anos. Após três anos do nascimento do segundo, nasceu o 
terceiro e assim foi acontecendo até se formar uma família com cinco irmãos. 
Sabendo-se que, hoje, a idade do últimoirmão que nasceu é a metade da 
idade do primeiro irmão nascido, é correto afirmar que, hoje, o irmão mais 
velho está com idade igual a 
a) 18 anos. 
b) 20 anos. 
c) 22 anos. 
d) 24 anos. 
e) 26 anos. 
34. (EPPGG – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Uma pessoa terá no ano de 2012 o triplo 
da idade que tinha em 1994. Essa pessoa tem hoje: 
a) 22 anos. 
b) 23 anos. 
c) 24 anos. 
d) 25 anos. 
e) 26 anos. 
35. (TRF 1ªR 2001/FCC) No almoxarifado de certa empresa há 68 pacotes de 
papel sulfite, dispostos em 4 prateleiras. Se as quantidades de pacotes em 
cada prateleira correspondem a 4 números pares sucessivos, então, dos 
números seguintes, o que representa uma dessas quantidades é o: 
a) 8 
b) 12 
c) 18 
d) 22 
e) 24 
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36. (Prefeitura Municipal de Arujá 2006/CETRO) Três números pares e 
consecutivos têm por soma 90. A divisão do menor deles por 7 nos dá um 
quociente igual a: 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
37. (MF 2009/ESAF) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se 
apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 
horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá 
em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao 
máximo, em quanto tempo o tanque encherá? 
a) 12 horas 
b) 30 horas 
c) 20 horas 
d) 24 horas 
e) 16 horas 
38. (Oficial de Chancelaria – MRE 2009/FCC) Certo dia, Alfeu e Gema foram 
incumbidos de, no dia seguinte, trabalharem juntos a fim de cumprir uma certa 
tarefa; entretanto, como Alfeu faltou ao serviço no dia marcado para a 
execução de tal tarefa, Gema cumpriu-a sozinha. Considerando que, juntos, 
eles executariam a tarefa em 3 horas e que, sozinho, Alfeu seria capaz de 
executá-la em 5 horas, o esperado é que, sozinha, Gema a tenha cumprido em 
a) 6 horas e 30 minutos. 
b) 7 horas e 30 minutos. 
c) 6 horas. 
d) 7 horas. 
e) 8 horas. 
39. (ANEEL 2004/ESAF) Para ݔ ് 5, a simplificação da expressão 
10ݔ െ 50
25 െ 5ݔ
 
é dada por: 
a) െ2 
b) 2 
c) െ5 
d) 5 
e) 25 
40. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Carlos e Márcio são irmãos. Carlos dá a Márcio 
tantos reais quantos Márcio possui e, em seguida, Márcio dá a Carlos tantos 
reais quantos Carlos possui. Se terminaram com 16 reais cada um, a quantia 
que Carlos tinha inicialmente era de: 
 
a) 12 reais 
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b) 15 reais 
c) 18 reais 
d) 20 reais 
e) 24 reais 
41. (SERPRO 2001/ESAF) Três meninas, cada uma delas com algum dinheiro, 
redistribuem o que possuem da seguinte maneira: Alice dá a Bela e a Cátia 
dinheiro suficiente para duplicar a quantia que cada uma possui. A seguir, Bela 
dá a Alice e a Cátia o suficiente para que cada uma duplique a quantia que 
possui. Finalmente, Cátia faz o mesmo, isto é, dá a Alice e a Bela o suficiente 
para que cada uma duplique a quantia que possui. Se Cátia possuía R$ 36,00 
tanto no início quanto no final da distribuição, a quantia total que as três 
meninas possuem juntas é igual a: 
a) R$ 214,00 
b) R$ 252,00 
c) R$ 278,00 
d) R$ 282,00 
e) R$ 296,00 
42. (CEAGESP 2006/CONSULPLAN) Rui diz a Pedro: Se você me der 1/5 do 
dinheiro que possui, eu ficarei com uma quantia igual ao dobro do que lhe 
restará. Por outro lado, se eu lhe der R$ 6,00 do meu dinheiro, nós ficaremos 
com quantias iguais. Quanto de dinheiro possui Rui? 
a) R$ 42,00 
b) R$ 31,00 
c) R$ 25,00 
d) R$ 28,00 
e) R$ 47,00 
43. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) Antônio, Bruno e Carlos compraram 
um barco por R$ 600,00. Antônio pagou a metade do que os outros dois juntos 
pagaram. Bruno pagou a terça parte do que os outros dois juntos pagaram. 
Então Carlos pagou: 
 
a) R$150,00 
b) R$200,00 
c) R$250,00 
d) R$300,00 
e) R$350,00 
44. (EPPGG – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Em cada quadradinho da figura abaixo 
há um número escondido. 
Nas figuras a seguir, está escrita, abaixo de cada uma, a soma dos números dos 
quadradinhos sombreados. 
 
 16 21 11 
O número que está no primeiro quadradinho é: 
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a) 3 
b) 5 
c) 8 
d) 11 
e) 13 
45. (Assistente Administrativo – SERGIPE GAS 2010/FCC) Três equipes, X, Y 
e Z, trabalham em obras de canalização e distribuição de gás natural. 
Considere que, em certo período, a soma dos comprimentos dos dutos 
montados por X e Y foi 8,2 km, por Y e Z foi 8,9 km e por X e Z foi 9,7 km. O 
comprimento dos dutos montados pela equipe 
 
(A) X foi 4 200 m. 
(B) X foi 4 500 m. 
(C) Y foi 3 500 m. 
(D) Y foi 3 900 m. 
(E) Z foi 5 000 m. 
46. (CAERN 2010/FGV) A soma de dois números inteiros é 17, e o produto deles vale 
52. A diferença entre esses números é 
a) 9 
b) 8 
c) 10 
d) 12 
e) 11 
47. (Pref. Municipal de Cruzeiro 2006/CETRO) Quais as raízes da equação: 
x² - 8x + 7 = 0 
a) (1,-1) 
b) (-7,-1) 
c) (7,1) 
d) (-7,1) 
e) (-1,0) 
48. (Assistente Administrativo IMBEL 2004/CETRO) Indique a alternativa que 
represente o conjunto solução em R, para a equação: x4+13x2+36 =0 
 
a) S={-2,2,-3,3} 
b) conjunto vazio 
c) S={-2,-3} 
d) S={2,3} 
e) S={-2,-3,-1,1} 
49. (TTN 1997/ESAF) A soma de todas as raízes da equação 
x4 - 25x2 + 144 = 0 é igual a 
a) 0 
b) 16 
c) 9 
d) 49 
e) 25 
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50. (AFC-STN 2002/ESAF) A soma dos valores reais de ݔ 
ݔଶ ൅ ݔ ൅ 1 ൌ
156
ݔଶ ൅ ݔ
 
é igual a: 
a) െ6 
b) െ2 
c) െ1 
d) 6 
e) 13 
51. (TFC 2000/ESAF) Determinar ܽ de modo que a equação 
 4ݔଶ ൅ ሺܽ െ 4ሻݔ ൅ 1 െ ܽ ൌ 0 tenha duas raízes iguais: 
a) ܽ ൌ 0 
b) ܽ ൌ െ8 ݋ݑ ܽ ൌ 0 
c) ܽ ൌ 8 
d) െ8 ൏ ܽ ൏ 0 
e) ܽ ൏ 0 ݋ݑ ܽ ൐ 8 
52. (SEA-AP 2002/FCC) Em certo momento, o número X de soldados em um 
policiamento ostensivo era tal que subtraindo-se do seu quadrado o seu 
quádruplo, obtinha-se 1.845. O valor de X é: 
f) 42 
g) 45 
h) 48 
i) 50 
j) 52 
53. (TRT 2ª Região 2004/FCC) Alguns técnicos judiciários combinaram dividir 
igualmente entre si 108 processos a serem arquivados. Entretanto, no dia em que o 
trabalho seria realizado, dois técnicos faltaram ao serviço e, assim, coube a cada um 
dos outros arquivar 9 processos a mais que o inicialmente previsto. O número de 
processos que cada técnico arquivou foi: 
a) 16 
b) 18 
c) 21 
d) 25 
e) 27 
54. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) O valor de m para que a 
soma das raízes da equação de segundo grau mx2 – 7x + 10 = 0 seja igual a 7 
é: 
a) - 7 
b) - 2 
c) 1 
d) - 1 
e) 7 
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55. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) Na equação de segundo 
grau 5x2 – 10x + 2m – 4 = 0, a soma das raízes é igual ao produto das 
mesmas, nessas condições, o valor de m é igual a: 
a) -2 
b) -1 
c) 5 
d) 7 
e) 2 
56. (Tribunal Regional do Trabalho, 12a Região • Santa Catarina 
2005/FEPESE) As raízes da função quadrática y = 2x2 +mx + 1 são positivas e 
uma é o dobro da outra. A soma dessas raízes é: 
a) 2,4 
b) 2,1 
c) 1,8 
d) 1,5 
e) 1,2 
57. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) A equação ݔଶ ൅ ܾݔ ൅ ܿ ൌ 0 possui raízes 3 e 5. 
Então, ܾ ൅ ܿ é igual a: 
a) 7 
b) 10 
c) 15 
d) 19 
e) 23 
58. (TRT-SC 2007/CETRO)Assinale a alternativa que não representa gráfico 
de uma função y = f(x). 
 
 
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59. (SUFRAMA 2008/FUNRIO) Seja ݂ uma função que tem como domínio o 
conjunto A={Ana, José, Maria, Paulo, Pedro} e como contradomínio o conjunto 
B={1,2,3,4,5}. A função f associa a cada elemento x em A o número de letras 
distintas desse elemento x . Com base nessas informações, pode-se afirmar 
que 
a) elementos distintos no domínio estão associados a distintos elementos no 
contradomínio. 
b) todo elemento do contradomínio está associado a algum elemento do domínio. 
c) f não é uma função. 
d) ݂ሺܯܽݎ݅ܽሻ ൌ 5 
e) ݂ሺܲ݁݀ݎ݋ሻ ൌ ݂ሺܲܽݑ݈݋ሻ 
60. (AFTN 1996/ESAF) Em um laboratório de experiências veterinárias foi 
observado que o tempo requerido para um coelho percorrer um labirinto, na 
enésima tentativa, era dado pela função C(n) = (3+12/n) minutos. Com relação 
a essa experiência pode-se afirmar, então, que um coelho: 
a) consegue percorrer o labirinto em menos de três minutos. 
b) gasta cinco minutos e quarenta segundos para percorrer o labirinto na quinta 
tentativa. 
c) gasta oito minutos para percorrer o labirinto na terceira tentativa. 
d) percorre o labirinto em quatro minutos na décima tentativa. 
e) percorre o labirinto numa das tentativas, em três minutos e trinta segundos. 
61. (LIQUIGÁS 2008/CETRO) A função f de 1º grau, cujo gráfico passa pelos 
pontos A(-1, -5) e B(5, 7) é 
(A) f(x) = 3x + 2 
(B) f(x) = 2x – 3 
(C) f(x) = x – 4 
(D) f(x) = x + 3 
(E) f(x) = 3x + 3 
62. (Senado Federal 2008/FGV) A função ݂, para cada real x, associa o menor 
entre os números ௫ାହ
ଶ
 e 20 െ ݔ. Por exemplo, ݂ሺ1ሻ ൌ 3 e ݂ሺ15ሻ ൌ 5. O valor 
máximo de f: 
a) 8 
b) 17/2 
c) 25/3 
d) 35/4 
e) 44/5 
 
63. (Pref. Mairinque/SP 2009/CETRO) Para saber o número do calçado de uma 
pessoa, utiliza-se a fórmula ܥ ൌ ହ௣ାଶ଼
ସ
, em que C é o número do calçado e p é 
o comprimento do pé em centímetros. Se uma pessoa calça um sapato 
tamanho 36, significa que o comprimento de seu pé é 
(A) 24,1cm. 
(B) 23,6cm. 
(C) 23,2cm. 
(D) 22,4cm. 
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(E) 21,3cm. 
64. (Pref. de Araçatuba 2008/CETRO) A figura a seguir representa o gráfico de 
uma função do tipo f (x) = ax + b. 
 
 
Sobre a natureza do gráfico desta função representada acima, é correto afirmar que 
 
(A) possui duas raízes reais. 
(B) a < 0. 
(C) b > 0. 
(D) ab < 0. 
(E) não possui raízes reais. 
65. (AFC-SFC 2000/ESAF) Sabe-se que as retas de equações r1 = αx e r2 = -
2x +β interceptam-se em um ponto P(x<0; y<0). Logo, 
a) α > 0 e β > 0 
b) α > 0 e β < 0 
c) α < 0 e β < 0 
d) α < -1 e β < 0 
e) α > -1 e β > 0 
66. (CAERN 2010/FGV) O conjunto de todas as soluções reais da inequação 
2ݔ ൅ 1 ൏ 3ݔ ൅ 2 é 
a) ሿ െ ∞, െ1ሾ. 
b) ሿ െ ∞, 1ሾ. 
c) ሿ െ 1, ൅∞ሾ. 
d) ሿ1, ൅∞ሾ. 
e) ሿ െ 1,1ሾ. 
67. (SERC/MS 2006/FGV) O número de soluções inteiras do sistema de 
inequações 
ቄ2ݔ ൅ 3 ൏ 4ݔ ൅ 6
3ݔ െ 1 ൏ ݔ ൅ 7
 é: 
a) 0 
b) 1 
c) 3 
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d) 5 
e) infinito 
68. (SERC/MS 2006/FGV) A ordenada do vértice da parábola ݕ ൌ 4ݔ െ ݔଶ é: 
a) െ4 
b) െ2 
c) 0 
d) 2 
e) 4 
69. (Secretaria de Estado da Administração – Santa Catarina 2006/FEPESE) O 
lucro obtido na venda de mouses é dado pela função L(x) = –x2 + 90x – 800, sendo L o 
lucro do fabricante e x o preço de venda do mouse. O gráfico da função lucro é 
representado na figura abaixo. 
 
 
 
Assinale a alternativa que indica o maior lucro do fabricante. 
a) R$ 45,00 
b) R$ 80,00 
c) R$ 1.000,00 
d) R$ 1.225,00 
e) R$ 1.400,00 
 
70. (AFRFB 2009/ESAF) Considere as inequações dadas por: 
݂ሺݔሻ ൌ ݔଶ െ 2ݔ ൅ 1 ൑ 0 ݁ ݃ሺݔሻ ൌ െ2ݔଶ ൅ 3ݔ ൅ 2 ൒ 0. 
Sabendo que A é o conjunto solução de ݂ሺݔሻ e B o conjunto solução de ݃ሺݔሻ, 
então o conjunto ܻ ൌ ܣ ת ܤ é igual a: 
 
a) ܻ ൌ ቄݔ א Թቚെ ଵ
ଶ
൏ ݔ ൑ 2ቅ 
b) ܻ ൌ ቄݔ א Թቚെ ଵ
ଶ
൑ ݔ ൑ 2ቅ 
c) ܻ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൌ 1ሽ 
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d) ܻ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൒ 0ሽ 
e) ܻ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൑ 0ሽ 
71. (ANVISA 2010/CETRO) Considere as seguintes funções 
 ݂ሺݔሻ ൌ ݔଶ െ 4ݔ ൅ 4 e ݃ሺݔሻ ൌ െݔ ൅ 6ݔ െ 5. Assinale a alternativa que apresenta 
a solução da inequação definida por ݂ሺݔሻ · ݃ሺݔሻ ൑ 0. 
a) ܵ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൌ 2ሽ 
b) ܵ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൑ 1 ݋ݑ ݔ ൌ 2ሽ 
c) ܵ ൌ ሼݔ א Թ|1 ൑ ݔ ൑ 5 ݋ݑ ݔ ൌ 2ሽ 
d) ܵ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൑ 1 ݋ݑ ݔ ൒ 5 ݋ݑ ݔ ൌ 2ሽ 
e) ܵ ൌ ሼݔ א Թ|ݔ ൒ 1 ݋ݑ ݔ ൑ 5 ݋ݑ ݔ ൌ 2ሽ 
72. (Assembleia Legislativa do Estado de São Paulo 2010/FCC) O gráfico a 
seguir representa a função ݂, de domínio real, dada pela lei ݂ሺݔሻ ൌ ܽݔଶ ൅ ܾݔ ൅
ܿ. 
 
Sabendo que a, b e c são constantes, é correto concluir que 
(A) a < 0, b < 0 e c < 0 
(B) a < 0, b < 0 e c > 0 
(C) a < 0, b > 0 e c < 0 
(D) a < 0, b > 0 e c > 0 
(E) a > 0, b < 0 e c < 0 
73. (SERC/MS 2006/FGV) Se a parábola ݕ ൌ ܽݔଶ ൅ ܾݔ ൅ ܿ contém os pontos ሺെ1,12ሻ, 
ሺ0,5ሻ e ሺ2, െ3ሻ, quanto vale ܽ ൅ ܾ ൅ ܿ? 
a) െ4 
b) െ2 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
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74. (MEC 2008/FGV) No sistema de numeração na base 5, só são utilizados os 
algarismos 0, 1, 2, 3 e 4. Os números naturais, normalmente representados na base 
decimal, podem ser também escritos nessa base como mostrado: 
 
De acordo com esse padrão lógico, o número 151 na base decimal, ao ser 
representado na base cinco, corresponderá a: 
(A) 111 
(B) 1011 
(C) 1101 
(D) 1110 
(E) 1111 
75. (AFRE-PB 2006 FCC) O sistema básico de registro de informações em um 
computador é o binário. Sendo assim, o número binário 0011011101 corresponde ao 
decimal 
(A) 301. 
(B) 221. 
(C) 201. 
(D) 121. 
(E) 91. 
76. (ISS-RJ 2010/ESAF) A seguir estão representados pelo sistema binário, formado 
apenas pelos algarismos 0 e 1, os números naturais de 0 a 16 em ordem crescente: 0, 
1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000. 
Qual é o número que corresponde ao binário 111011? 
a) 59 
b) 60 
c) 58 
d) 61 
e) 62 
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77. (TTN – 1997 ESAF) Nos sistemas de numeração posicional, cada dígito da 
sequência que representa o número pode ser interpretado como o coeficiente de uma 
potência da base, onde o valor do expoente depende da posição do dígito na 
sequência. Entre tais sistemas, um dos mais importantes é o binário, ou de base 2, 
que utiliza apenas os dígitos 0 e 1 na notação dos números. Por exemplo, o número 
que corresponde ao 11 do sistema decimal, é indicado por 1011 no sistema binário, 
pois 11 (decimal) é igual a (1 x 23) + (0 x 22) + (1 x 21) + (1 x 20) Assim, o resultado, 
expresso no sistema decimal, da adição dos números binários 1011 e 101 será igual a 
a) 15 
b) 13 
c) 14 
d) 12 
e) 16 
78. (PUC-MG) Em metrologia, pé é uma unidade de medida linear equivalente a cerca 
de 30,48 cm. Um avião que trafega a 30000 pés do solo está voando a uma altura 
mais próxima de: 
a) 6km 
b) 7km 
c) 8km 
d) 9km 
e) 10km 
79. (COVEST 2003) Uma empresa de exportação de gasolina comunicou à ANP o 
desaparecimento de 7,2 milhões de litros de gasolina dos seus depósitos. Se um 
caminhão-tanque tem capacidade de 32m3, quantos caminhões seriam necessários 
para transportar a gasolina desaparecida? (obs.: 1m3=1000 litros) 
a) 205 
b) 210 
c) 215 
d) 220 
e) 225 
   
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Gabaritos 
 
01. E 
02. D 
03. C 
04. C 
05. C 
06. C 
07. A 
08. A 
09. E 
10. D 
11. B 
12. C 
13. B 
14. C 
15. D 
16. A 
17. Certo 
18. Errado 
19. Certo 
20. Errado 
21. B 
22. C 
23. A 
24. D 
25. E 
26. C 
27. C 
28. B 
29. E 
30. A 
31. D 
32. B 
33. D 
34. C 
35. C 
36. C 
37. E 
38. B 
39. A 
40. D 
41. B 
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42. A 
43. C 
44. E 
45. B 
46. A 
47. C 
48. B 
49. A 
50. C 
51. B 
52. B 
53. E 
54. C 
55. D 
56. D 
57. A 
58. C 
59. E 
60. E 
61. B 
62. C 
63. C 
64. C 
65. B 
66. C 
67. D 
68. E 
69. D 
70. C 
71. B 
72. A 
73. C 
74. C 
75. B 
76. A 
77. E 
78. D 
79. E