notas trelica -Mecânica dos Sólidos I - Engenharia Mecânica UFRJ

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Análise Matricial de Estruturas
Análise Linear Elástica
Objetivo:
- Apresentar a estrutura matemática de um programa de elementos finitos.
- Discutir alguns aspectos gerais na programação do método dos elementos finitos
 
Y 
 X 
r
t 
I 
J
E – Módulo de Elasticidade 
A – Área da Seção Transversal 
L – Tamanho do Elemento 
θ 
Elemento de 
treliça 
L
AE
Deslocamentos Nodais
Sistema Local: Sistema Global:
UeL
ur
I
ut
I
ur
J
ut
J
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
= Ue
ux
I
uy
I
ux
J
uy
J
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
UeL R Ue⋅=
R
cos θ( )
sin θ( )−
0
0
sin θ( )
cos θ( )
0
0
0
0
cos θ( )
sin θ( )−
0
0
sin θ( )
cos θ( )
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
=
Ue R
T UeL⋅=
Deformações 
Alongamento das barras: δe ur
J ur
I−= ou na forma matricial
UeL R Ue⋅=
Operador de deformação: Be δe 1− 0 1 0( )
ur
I
ut
I
ur
J
ut
J
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⋅=
δe BeL UeL⋅= Be Ue⋅= Be BeL R⋅=
Be 1− 0 1 0( )
cos θ( )
sin θ( )−
0
0
sin θ( )
cos θ( )
0
0
0
0
cos θ( )
sin θ( )−
0
0
sin θ( )
cos θ( )
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
⋅= 0→
Relação Constitutiva - Elasticidade linear :
 
Fe 
Fe 
Fe
E A⋅
L
δe⋅=
E A⋅
L
Be⋅ Ue⋅=
Esforço Interno : Fe
Equilíbrio : Princípio dos trabalhos virtuais
Treliça - forças nodais V - Conjunto de nós com restrições essenciais 
Número de barras : nel
Número de nós: nno
F - Forças nodais
U - Deslocamentos Nodais 
E A⋅
L
Be⋅ Ue⋅
1
nel
n
Fe δev⋅( )∑
=
F Uv⋅= para todo Uv em V
1
nel
n
Fe δev⋅( )∑
= 1
nel
n
E A⋅
L
Be⋅ Ue⋅ Be Uev⋅( )⋅⎡⎢⎣ ⎤⎥⎦∑== 1
nel
n
Be
T E A⋅
L
⋅ Be⋅⎛⎜⎝
⎞⎟⎠ Ue⋅ Uev⋅
⎡⎢⎣
⎤⎥⎦∑==Potência Interna:
1
nel
n
Fe δev⋅( )∑
= 1
nel
n
Ke Ue⋅( ) Uev⋅⎡⎣ ⎤⎦∑
=
=
Ke - Matriz de rigidez elementar
Ke
E A⋅
L
cos θ( )− sin θ( )− cos θ( ) sin θ( )( )T⋅ cos θ( )− sin θ( )− cos θ( ) sin θ( )( )⋅=
Ke
E A⋅
L
cos θ( )2
cos θ( ) sin θ( )⋅
cos θ( )2−
cos θ( )− sin θ( )⋅
cos θ( ) sin θ( )⋅
sin θ( )2
cos θ( )− sin θ( )⋅
sin θ( )2−
cos θ( )2−
cos θ( )− sin θ( )⋅
cos θ( )2
cos θ( ) sin θ( )⋅
cos θ( )− sin θ( )⋅
sin θ( )2−
cos θ( ) sin θ( )⋅
sin θ( )2
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⋅=
Montagem da Matriz Global: neq 2 nno⋅ nap−= nap = número de direções restritas
Relação entre U e Ue Ue Le U⋅= Le 4x neq( )=
i 1 4..:=
j 1= nno..
U
U1
U2
.
.
Uneq
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
= Lei j, 1=
se G.L i do elemento é coincide com o grau
de liberdade j da estrutura.
Lei j, 0= em caso contrário
Substituindo na expressão do princípio das potências virtuais:
1
nel
n
Ke Ue⋅( ) Uev⋅⎡⎣ ⎤⎦∑
=
P Uv⋅=
Obs : operação simbólica, não é realizada
computacionalmente.K
1
nel
n
Le
T Ke⋅ Le⋅⎛⎝ ⎞⎠∑
=
=
1
nel
n
Le
T Ke⋅ Le⋅⎛⎝ ⎞⎠∑
=
⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
U⋅ Uv⋅ P Uv⋅=
KU F−( ) Uv⋅ 0= para todo Uv em V
ou equivalentemente:
K U⋅ F=
Exemplo de treliça
 
1 
3m 5 3 
2 
3m 
4 
3m P = 40 kN 2 
1
3 4
6
5 
Origem : nó 1
Entrada de dados:
1 - Geometria
Coordenadas : nno 5:= Elementos nel 6:=
Coor
0
0
3
0
0
3
3
3
6
3
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠:= Inci
1
2
1
4
3
4
4
5
2
4
2
5
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠:=
2 - Propriedades
Ee
Ae
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠ Prop
1000000
0.01
1000000
0.01
1000000
0.01
1000000
0.01
1000000
0.01
1000000
0.01
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠:=
3 - Condições de contorno
ID nno x 2( )= 1 - preso
0 - livre ID
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
:=
IDM
neq
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠ neq 0←
aux IDi j, ←
neq neq 1+←
IDi j, neq←
aux 0=if
IDi j, 0← otherwise
j 1 2..∈for
i 1 nno..∈for
ID
neq
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
:=
IDM
0
1
0
3
5
0
2
0
4
6
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
= neq 6=
4 - Leitura do vetor de carga R 0:=
Fext
R
R
0
0
R
R
0
0
0
40−
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠:=
Cálculo das Matrizes Elementares:
Ke e( ) E Prop1 e, ←
A Prop2 e, ←
noI Inci1 e, ←
noJ Inci2 e, ←
xI Coor1 noI, ←
xJ Coor1 noJ, ←
yI Coor2 noI, ←
yJ Coor2 noJ, ←
L xJ xI−( )2 yJ yI−( )2+←
cos
xJ xI−
L
←
sin
yJ yI−
L
←
Ke
E A⋅
L
cos2
cos sin⋅
cos2−
cos− sin⋅
cos sin⋅
sin2
cos− sin⋅
sin2−
cos2−
cos− sin⋅
cos2
cos sin⋅
cos− sin⋅
sin2−
cos sin⋅
sin2
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⋅←
Ke
:=
Ke 1( )
3.333 103×
0
3.333− 103×
0
0
0
0
0
3.333− 103×
0
3.333 103×
0
0
0
0
0
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=Ke 1( )
3.333 103×
0
3.333− 103×
0
0
0
0
0
3.333− 103×
0
3.333 103×
0
0
0
0
0
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Ke 1( )
3.333 103×
0
3.333− 103×
0
0
0
0
0
3.333− 103×
0
3.333 103×
0
0
0
0
0
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Ke 6( )
1.179 103×
1.179 103×
1.179− 103×
1.179− 103×
1.179 103×
1.179 103×
1.179− 103×
1.179− 103×
1.179− 103×
1.179− 103×
1.179 103×
1.179 103×
1.179− 103×
1.179− 103×
1.179 103×
1.179 103×
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Matrizes Booleanas nnoel 2:= ngln 2:=
Le e( )
no Incij e, ←
eq IDMno i, ←
LMi j, eq←
i 1 ngln..∈for
j 1 nnoel..∈for
ngle 0←
eq LMi j, ←
ngle ngle 1+←
Lngle ng, 0←
Lngle eq, 1← eq 0≠if
ng 1 neq..∈for
i 1 ngln..∈for
j 1 nnoel..∈for
L
:=
IDM
0
1
0
3
5
0
2
0
4
6
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Le 1( )
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
=
Le 1( )
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
= Le 3( )
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
= Le 5( )
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
=
Le 2( )
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
= Le 4( )
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
= Le 6( )
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
=
Montagem de vetores e matrizes globais:
F
eq IDMno ng, ←
Feq Fextng no, ← eq 0≠if
ng 1 2..∈for
no 1 nno..∈for
F
:=
F
0
0
0
0
0
40−
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Montagem Simbólica - de acordo com a teoria
K
1
nel
e
Le e( )
T Ke e( )⋅ Le e( )⋅( )∑
=
⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
:=
K
4.512 103×
1.179 103×
0
0
1.179− 103×
1.179− 103×
1.179 103×
4.512 103×
0
3.333− 103×
1.179− 103×
1.179− 103×
0
0
7.845 103×
1.179 103×
3.333− 103×
0
0
3.333− 103×
1.179 103×
4.512 103×
0
0
1.179− 103×
1.179− 103×
3.333− 103×
0
4.512 103×
1.179 103×
1.179− 103×
1.179− 103×
0
0
1.179 103×
1.179 103×
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Montagem computacionalmente eficiente
K
Ki j, 0←
j 1 neq..∈for
i 1 neq..∈for
no Incij e, ←
eq IDMno i, ←
LMi j, eq←
i 1 ngln..∈for
j 1 nnoel..∈for
ii 2 j 1−( )⋅←
l LMi j, ←
ll ii i+←
jj 2 n 1−( )⋅←
m LMk n, ←
ml jj k+←
Kl m, Kl m, Ke e( )ll ml, +← m 0≠if
k 1 ngln..∈for
n 1 nnoel..∈for l 0≠if
i 1 ngln..∈for
j 1 nnoel..∈for
e 1 nel..∈for
K
:=
K
4.512 103×
1.179 103×
0
0
1.179− 103×
1.179− 103×
1.179 103×
4.512 103×
0
3.333− 103×
1.179− 103×
1.179− 103×
0
0
7.845103×
1.179 103×
3.333− 103×
0
0
3.333− 103×
1.179 103×
4.512 103×
0
0
1.179− 103×
1.179− 103×
3.333− 103×
0
4.512 103×
1.179 103×
1.179− 103×
1.179− 103×
0
0
1.179 103×
1.179 103×
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Solução do Sistema:
U K 1− F:= U
0.012−
0.07−
0.024
0.058−
0.036
0.152−
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Pós-Processamento:
δU
Vno ng, 0←
eq IDMno ng, ←
Vno ng, Ueq← eq 0≠if
ng 1 2..∈for
no 1 nno..∈for
V
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
:=
δU
0
0.012−
0
0.024
0.036
0
0.07−
0
0.058−
0.152−
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
i 1 nno..:=
Inci
1
2
1
4
3
4
4
5
2
4
2
5
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠=xi Coor1 i, := yi Coor2 i, := x
0
3
0
3
6
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
= y
0
0
3
3
3
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
xni xi 5 δUi 1, ⋅+:= yni yi 5 δUi 2, ⋅+:= 
1 
3m 5 3
2
3m 
4
3m P = 40 kN 2
1
3 4 
6 
5
Deformada 
xn
0
2.94
0
3.12
6.18
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
= yn
0
0.35−
3
2.71
2.241
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
s1 0 3, 3..:=
s2 3 6, 6..:=
Internos e( ) E Prop1 e, ←
A Prop2 e, ←
noI Inci1 e, ←
noJ Inci2 e, ←
xI Coor1 noI, ←
xJ Coor1 noJ, ←
yI Coor2 noI, ←
yJ Coor2 noJ, ←
L xJ xI−( )2 yJ yI−( )2+←
cos
xJ xI−
L
←
sin
yJ yI−
L
←
δe cos− sin− cos sin( )
δUnoI 1, 
δUnoI 2, 
δUnoJ 1, 
δUnoJ 2, 
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⋅←
Fe
E A⋅
L
δe⋅←
δe Fe( )
:=
δe e( ) Internos e( )1 1, :=
Fe e( ) Internos e( )1 2, :=
δe 1( ) 0.012−= δe 4( ) 0.012=
δe 2( ) 0.024−= δe 5( ) 0.012=
δe 6( ) 0.024−=
δe 3( ) 0.024=
e 1 nel..:=
1 2 3 4 5 6
60−
46−
32−
18−
4−
10
24
38
52
66
80
Fe e( )
e