Variáveis Aleatórias Discretas - Estatística

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Varia´veis Aleato´rias Discretas
Dennis Marinho1
1Departamento de Engenharia Ele´trica
Universidade Federal do Vale do Sa˜o Francisco
dennismarinho@bol.com.br
1 de fevereiro de 2018
Prof. Dennis Marinho O R de Souza V. A. Discretas
Varia´veis Aleato´rias
E´ o estudo da varia´vel Xi ou evento Xi acontecer definido
atrave´s de uma condic¸a˜o espec´ıfica ou func¸a˜o matema´tica
espec´ıfica;
Esse evento na maioria das vezes na˜o e´ simples e necessita de
complementos: func¸o˜es, registros no tempo, modelagens e etc;
E´ atrave´s das varia´veis aleato´rias que torna-se poss´ıvel a
construc¸a˜o ou a modelagem de um espac¸o amostral.
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Definic¸a˜o Matema´tica
Seja uma probabildiade P denominaremos varia´vel aleato´ria
qualquer func¸a˜o X : Ω→ <, tal que:
X−1(I ) = {ω ∈ Ω : X (ω) ∈ I}
para todo intervalo I contido em <.
Em outras palavras X apresentara´ um resultado probabil´ıstico
do tipo [0,1].
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Probabilidade V.A.
P(X ∈ A) = p
X e´ o valor em estudo;
A e´ a condic¸a˜o ou evento em que X se adequa;
p e´ a probabilidade que X esteja inserido em A.
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Tipos de Varia´veis Aleato´rias
Discretas
Bernoulli
Binomial
Geome´trica
Hipergeome´trica
Binomial Negativa
Poisson
Cont´ınuas
Uniforme
Exponencial
Normal
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Identificar Discreta ou Cont´ınua
Discreta
X e´ um valor inteiro (positivo ou negativo, valor e´ pontual);
O gra´fico das probabilidades gerado apresenta saltos;
Ca´lculo das probabilidades se da´ por Somato´rio.
Cont´ınua
X e´ um valor <;
O gra´fico e´ cont´ınuo, na˜o existem furos ou saltos nele;
Ca´lculo das probabilidades se da por Integrais.
Varia´veis Mistas (discretas e cont´ınuas na mesma func¸a˜o)
E´ poss´ıvel, no entanto na˜o e´ o objeto do nosso estudo.
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Gra´fico Func¸a˜o Discreta
Figura: Gra´fico da Distribuic¸a˜o Discreta
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Gra´fico da Func¸a˜o Cont´ınua
Figura: Gra´fico da Distribuic¸a˜o Cont´ınua
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Func¸a˜o de Probabilidade
E´ uma func¸a˜o que associa a cada poss´ıvel valor de uma
varia´vel aleato´ria discreta a sua probabilidade de ocorreˆncia;
Toda func¸a˜o de probabilidade deve satisfazer duas
propriedades:
1 P(X = xi ) = f (xi ) ≥ 0, ∀X ∈ Ω
2 ∑
xi∈<
P(X = xi ) =
∑
xi∈<
f (xi ) = 1
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Exemplo
Seja uma varia´vel aleato´ria discreta com espac¸o de probabilidade
S = {X : x = 0, 1, 2, 3, 4} e seja sua func¸a˜o dada por:
f (xi ) = P(X = xi ) =
(
4
x
)
.(
1
2
)
4
Teste as duas propriedades ba´sicas.
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Func¸a˜o de Distribuic¸a˜o de Probabilidade - F (X ≤ xi)
E´ uma func¸a˜o acumulativa das probabilidade anteriores a xi ;
As probabilidades sa˜o somadas partindo do ma´ximo de xi ate´
o m´ınimo de xi , indicado por F (X ≤ xi );
Veja:
F (X ≤ x1) = P(X ≤ x1)
F (X ≤ x2) = P(X ≤ x2)
F (X ≤ x3) = P(X ≤ 3)
Matematicamente
Fx(t) = P(X ≤ t) =
∑
x≤t
pX (x)
O melhor gra´fico para representa´-la e´ do tipo OGIVA;
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Exemplo
Seja uma varia´vel aleato´ria discreta com espac¸o de probabilidade
S = {X : x = 0, 1, 2, 3, 4} e seja sua func¸a˜o dada por:
f (xi ) = P(X = xi ) =
(
4
x
)
.(
1
2
)
4
Calcule ou Construa a Func¸a˜o Distribuic¸a˜o de Probabilidade, na˜o
confundir com fdp (densidade), para:
FX (x);
Fx(2);
Fx(3);
Fx(4).
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Paraˆmetros e Estimadores V.A.D.
Toda varia´vel aleato´ria possui medidas de posic¸a˜o e dispersa˜o.
Me´dia= x ou E(x) ou µ
Variaˆncia= var(x) ou S2(x) ou σ2
Desvio Padra˜o= dp ou S(x) ou σ
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Me´dia
Definic¸a˜o: Seja X uma V.A.D., cujos valores poss´ıveis sa˜o
assumidos em <x . A esperanc¸a de X e´ definida por:
E (X ) =
∑
x∈<
x .P(X = x)
Me´dia e´ finita: E (X ) <∞;
Me´dia em estudo, na˜o representa a me´dia dos eventos, mas a
ponderac¸a˜o entre evento e o peso (probabilidade) de cada.
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Propriedades da Esperanc¸a - Me´dia
Se X = c , c constante, enta˜o, E(X)=c;
Se X e´ finito e multiplicado por c, c constante, enta˜o
E (cX ) = c .E (X );
Se X + Y finitos, enta˜o E (X + Y ) = E (X ) + E (Y );
Se X e Y independentes, enta˜o E (XY ) = E (X ).E (Y ).
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Variaˆncia
E´ uma consequeˆncia da operacionalizac¸a˜o da me´dia, do tipo:
Var(X ) = E (X 2)− [E (X )]2
E (X 2) =
∑
x∈<
x2.P(X = x)
E (X ) =
∑
x∈<
x .P(X = x)
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Propriedades da Variaˆncia
Se c constante, Var(cX ) = c2Var(X );
Se c constante, Var(c + X ) = Var(X ), pois Var(c) = 0;
Se X e Y sa˜o independentes, Var(X +Y ) = Var(X ) +Var(Y ).
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Exemplo
Suponha que uma varia´vel aleato´ria somente possa assumir quatro
valores: -2, 0, 1 e 4, e que P(X = −2) = 0.1; P(X = 0) = 0.4;
P(X = 1) = 0.3; P(X = 4) = 0.2. Calcule a esperanc¸a e variaˆncia.
Resp: Me´dia: 0.91 e Variaˆncia: 3.09
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Exemplo 2
Uma urna conte´m 5 bolas brancas e 7 bolas pretas. Treˆs bolas sa˜o
retiradas simultaneamente dessa urna. Responda:
A Qual a distribuic¸a˜o de probabilidade do nu´mero de
bolas brancas retiradas?
B Se ganharmos R$2, 00 por bola branca reitrada e
perdermos R$1, 00 por bola preta retirada, ate´
quanto vale a pena pagar para ficar nesse jogo?
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Distribuic¸o˜es de Probabilidade: Tipo Discreta
Sa˜o func¸o˜es matema´ticas probabil´ısticas em que representam a
base de estudo para TODOS os demais tipos de distribuic¸o˜es;
Essas ferramentas podem resolver problemas espec´ıficos, de
acordo com a situac¸a˜o proposta.
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Distribuic¸a˜o de Bernoulli
Uma V.A.D. segue o modelo de Bernoulli, se apenas assumir
valores do tipo 0 ou 1. Dizemos que X ∼ Ber(p) com
paraˆmetro p, variando de 0 ≤ p ≤ 1, se sua func¸a˜o de
probabilidade e´ expressa por:
P(X = x) = px .(1− p)1−x , com x=0 ou x=1.
p: Probabilidade de Sucesso;
q = 1− p: Probabilidade de Fracasso.
Me´dia da Bernoulli: E (X ) = p;
Variaˆncia da Bernoulli: Var(X ) = p.(1− p) ou Var(X ) = p.q
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Exemplo
Uma urna apresenta 30 bolas brancas e 20 verdes. Estudemos as
seguintes situac¸o˜es:
1 Retira-se uma bola dessa urna. Seja X: bola sorteada ser
verde. Calcular E(X), Var(X) e determinar P(X).
P(x=1) 20/50
2 Retira-se uma bola branca e apo´s (com reposic¸a˜o) uma bola
verde.
P(x=branca,y=verde)
3 Retira-se uma bola branca, apo´s (com reposic¸a˜o) uma bola
verde, outra branca, outra verde, verde, branca, ate´ n-e´zima
branca.
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Distribuic¸a˜o Binomial
Estuda uma quantidade X de sucesso dentro de n ensaios com
reposic¸a˜o;
E´ uma consequeˆncia da Bernoulli;
A Sequeˆncia de sucessos na˜o considera a ordem.
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Definic¸a˜o
Considere uma sequeˆncia de n ensaios de Bernoulli e seja X o
nu´mero de sucessos obtidos. Dizemos que X tem uma distribuic¸a˜o
Binomial com paraˆmetros n e p, em que n e´ um nu´mero positivo, p
a probabilidade do evento estudado e sua func¸a˜o de probabilidade
e´ dado por:
P(X = x) =(
n
x
)
px .(1− p)n−x , x=0,1,...,n
n: n◦ de ensaios; x: n◦ de sucessos; p: probabilidade;
Ordem do sucesso na˜o importa;
Me´dia: E (X ) = np;
Variaˆncia: Var(X ) = npq;
Notac¸a˜o: X ∼ B(n, p).
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Exemplo
Jogamos um mesmo dado 5 vezes queremos saber a probabilidade
de que o ponto 06 aparec¸a:
Em 4 jogadas;
Em 5 jogadas;
Calcule a me´dia e variaˆncia.
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Exemplo
Sabe-se, por experieˆncia, que numa linha de montagem de
suspensa˜o automotiva a cada 200 pec¸as produzidas, 25 delas ira˜o
durar menos de 15.000km, abaixo da garantia, as demais esta˜o
dentro do limite da garantia, por volta de 20.000Km. Um fiscal de
produc¸a˜o decide coletar um lote de 10 pec¸as para ana´lise em
laborato´rio. A fa´brica reprova o lote em que 2 ou mais pec¸as
durem menos que 20.000km. Nessa situac¸a˜o pergunta-se qual a
probabilidade de:
Todas as pec¸as estejam dentro da garantia? 0,2630
Somente uma pec¸a no lote tenha garantia inferior? 0,3758
Duas pec¸as no lote tenham garantia inferior? 0,2416
Duas ou mais pec¸as tenham garantia inferior?
1-(0,2630+0,3758)
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Exemplo
Uma nova rac¸a leiteira foi gerada entre cruzamento de gado,
observou-se num grupo de 100 animais que 30 animais apresentam
produc¸a˜o de leite superior a me´dia e os demais continuam com a
sua produc¸a˜o de leite inferior a me´dia dos pais. O produtor
decepcionado decide vender em lotes com 5 animais da nova rac¸a.
Voceˆ como administrador deve dar um parecer estat´ıstico. Qual a
probabilidade deste grupo apresentar:
Apenas 1 animal com me´dia superior aos pais?
Nenhum animal produzir me´dia superior aos pais?
Mais de treˆs animais com me´dia superior?
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Exemplo
Numa loja de carros recebemos 10 clientes por dia com aptida˜o
financeira. A possibilidade de compra e´ 0,2 (compras sera˜o
consideradas como sucesso).
Fac¸a uma tabela explicativa com as possibilidade de venda
para um dia desta loja;
Ao final expresse os valores encontrados na forma gra´fica.
Qual a esperanc¸a de vender algum carro coisa hoje?
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Exemplo
Um grupo holandeˆs disponibilizou no mercado 5 empresas para
serem vendidas na bolsa de valores. Existe uma estat´ıstica
levantada que 10% das empresas desse grupo esta˜o falidas.
A probabilidade de 3 empresas estarem falidas no grupo?
A probabilidade de 2 ou mais estarem falidas no grupo?
A probabilidade de todas estarem falidas no grupo?
A probabilidade de todas estarem bem no grupo?
Quantas empresas esperamos encontrar falidas?
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Exemplo
Num determinado processo de fabricac¸a˜o, 10% dos processadores
sa˜o defeituosos. Esse equipamento e´ enviado ao distribuidor em
lotes de 5 unidades cada.
A) Qual a probabilidade de haver exatamente 3 pec¸as
defeituosas numa caixa?
B) Se o fabricante paga multa de R$1000.00 caixa com
pec¸a defeituosa. Qual seria o valor da multa que o
distribuidor ira´ receber num lote de 30 caixas?
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Polinomial ou Multinomial
Nessa ditribuic¸a˜o obedece as seguintes hipo´teses:
A Sa˜o realizadas n provas independentes;
B Cada prova admite um u´nico dentre r poss´ıveis
resultados;
C As probabilidades pi de ocorrer um determinado
resultado i sa˜o constantes para todas as provas.
P(X1 = k1,X2 = k2, ...,Xs = ks) =
n!
k1!k2!...ks !
p1
k1 .p2
k2 ...ps
ks
Onde:
∑S
i=1 ki = n e
∑s
i=1 = 1
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Exemplo:
Uma fa´brica tem sua produc¸a˜o composta de 30% da ma´quina A;
20% da ma´quina B e 50% da ma´quina C. Retirando 9 pec¸as da
produc¸a˜o:
A Qual a probabilidade de serem 4 da ma´quina A, 2 da
ma´quina B e 3 da ma´quina C?
B Qual a probabilidade de na˜o haver, em 9 pec¸as,
nenhum da ma´quina B?
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Distribuic¸a˜o Hipergeome´trica
Sua aplicac¸a˜o e´ similar a Geome´trica, no entanto os elementos
na˜o sa˜o repostos, ou seja, a situac¸a˜o e´ alterada a cada evento;
A distribuic¸a˜o Binomial na˜o satisfaz ao crite´rio da
probabilidade constante, ou seja, alterac¸a˜o a cada evento;
Os elementos da amostras saem do sorteio, se for o caso.
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Definic¸a˜o
Considere uma populac¸a˜o de tamanho N dividida em 2 classes,
uma composta por r , sucessos, e a outra composta por N − r ,
fracassos. Dessa populac¸a˜o, vamos extrair uma amostra de
tamanho n, sem reposic¸a˜o, e k o nu´mero de sucessos em estudo.
Assim sendo a sua probabilidade e´ dado por:
P(X = k) =
(r
k
)(N−r
n−k
)(N
n
) , k= 0, 1, 2, ..., n
(r
k
)
: N◦ Total de Sucessos;(N−r
n−k
)
: N◦ Total de Fracassos;(N
n
)
: N◦ Total de Possiblidades.
Notac¸a˜o: X ∼ hiper(N, r , n)
Me´dia: E (X ) = np, p = rN ;
Variaˆncia: Var(X ) = np(1− p)N−nN−1
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Exemplo
Uma caixa conte´m 12 laˆmpadas das quais 5 esta˜o queimadas.
Sera˜o retiradas 6 laˆmpadas sem reposic¸a˜o ao acaso para
iluminac¸a˜o do escrito´rio. Qual a probabilidade de que:
2 laˆmpadas estejam queimadas?
Pelo menos 2 laˆmpadas estejam queimadas?
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Exemplo
Na loteria o apostador escolhe 6 nu´meros de 1 ate´ 60, sem repor
os nu´meros sorteados na caixa. Qual a probabilidade dele acertar:
Quadra? 0.0004
Quina?
Sena?
Nada?
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Exemplo
Um cac¸ador, apo´s um dia de cac¸a, verificou que matou 5
andorinhas e 2 aves raras, proibidas a cac¸a. Como todos espe´cimes
tinham o mesmo tamanho, ele colocou na mesma bolsa, pensando
em dificultar o trabalho de fiscalizac¸a˜o. No posto existem dois
fiscais: Manoel e Pedro, que adotam diferente te´cnicas de
amostragem. Manoel retira 3 espe´cimes por bolsa e Pedro retira
um espe´cime, classifica-o, repo˜e na bolsa e em seguida um segundo
espe´cime e´ sorteado. Em qualquer dos casos o cac¸ador sera´
multado se for encontrado ao menos um espe´cime proibido. Qual
dos dois fiscais e´ mais favora´vel para o cac¸ador em questa˜o?
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Exemplo
Uma impressora apresenta 50 pa´ginas brancas a cada 850
impresso˜es. Decide-se imprimir duas pa´ginas em ordem para
testa´-la. Qual a probabilidade de:
Duas pa´ginas com defeito (branca)? 0.0034
Uma pa´gina com defeito? 0.11
Na˜o apresentar defeito?
Ao menos uma pa´gina com defeito?
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Exemplo
Num posto de fiscalizac¸a˜o da recita federal pro´ximo do Paraguai a
expectativa de carros com produtos contrabandeados e´ 200 a cada
300 carros que passam. Qual a probabilidade de:
Numa abordagem em 5 ve´ıculos, 1 tenha contrabando?
Numa abordagem em 5 ve´ıculos, 4 tenham contrabando?
Numa abordagem em 5 ve´ıculos, 5 tenham contrabando?
Em me´dia, esperam quantos ve´ıculos passem nesse local com
contrabando?
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Distribuic¸a˜o Geome´trica
Estuda o primeiro sucesso numa sequeˆncia de falhas;
Utilidade no campo industrial, com a vida u´til dos produtos e
organiza o modo de produc¸a˜o;
O objetivo e´ calcular o tempo de espera para que um sucesso
ocorra.
Exemplo: Imagine que voceˆ deseja ter um(a) namorado(a),
voceˆ sai por Juazeiro e Petrolina tentando, quando voceˆ
consegue na˜o vai mais procurar outro(a) namorado(a). Enta˜o
o primeiro sucesso e´ voceˆ conseguir a sua namorada, agora
quantas vezes voceˆ vai conseguir isso depende,veja o
diagrama das possibilidades (S-conseguiu e N- Na˜o
conseguiu):
S : 1 tentantiva e sucesso na primeira tentativa
N − S : 2 tentativas e sucesso na segunda tentativa
N − N − S : 3 tentativas e sucesso na terceira tentativa
N − N − N − ...− S : n tentantivas e sucesso na n-e´sima
tentantiva.
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Definic¸a˜o
Considere uma sequeˆncia de ensaios de Bernoulli independentes.
Seja X o tempo de espera para o primeiro sucesso. A varia´vel
segue o modelo geome´trico com paraˆmetro p, 0 ≤ p ≤ 1 e tem
func¸a˜o de probabilidade especificada por:
P(X = x) = p.(1− p)x−1, x= 1, 2, 3, ..., n
Notac¸a˜o: X ∼ Geo(p);
Me´dia: E (X ) = 1p ;
Variaˆncia: Var(X ) = 1−pp
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Exemplo
Suponha que a probabilidade de algum componente de computador
ser defeituoso e´ 0.2. Numa mesa de teste uma sequeˆncia de
componentes foi retirada. Determine a probabilidade de:
O primeiro defeito ser apresentado no se´timo teste;
O primeiro defeito ser encontrado no primeiro teste;
O primeiro defeito ser encontrado no vige´simo teste;
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Exemplo
Joa˜o deve a Antonio e ele decide iniciar a cobranc¸a, sabendo que a
probabilidade de encontrar Joa˜o em casa e´ de 13 . Qual a
probabilidade de:
Antonio ter de ir mais de 3 vezes na casa de Joa˜o para
conseguir cobrar?
Quantas viagens, em me´dia, Antonio espera realizar para
encontrar Joa˜o em casa?
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Exemplo
A probabilidade de que um bit transmitido atrave´s de um canal
digital seja recebido com erro e´ 0,1. Suponha que as transmisso˜es
sa˜o eventos independentes. Retira-se uma sequeˆncia de 5 bit de
determinado sinal e queremos saber qual a probabilidade de
obtermos um bit danificado na transmissa˜o do quinto bit? 0,0656
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Distribuic¸a˜o de Poisson
E´ a distribuic¸a˜o voltada para o sucesso no decorrer do tempo;
E´ a distribuic¸a˜o probabil´ıstica das filas:
supermercados, bancos, lote´ricas, falhas de sistemas, centrais
telefoˆnicas...
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Definic¸a˜o
A varia´vel aleato´ria X tem distribuic¸a˜o de Poisson, com paraˆmetro
, λ > 0, se sua func¸a˜o de probabilidade e´ expressa como:
P(X = x) =
e−λλx
x!
, x= 0, 1, 2, ...
Notac¸a˜o: X ∼ Pois(λ), onde λ = µ.t;
Me´dia: E (X ) = λ;
Variaˆncia: Var(X ) = λ.
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Exemplo
Em determinado departamento de pol´ıcia durante os finais de
semana a central recebe em me´dia 5 chamadas por hora. Qual a
probabilidade de:
Em uma hora receber 3 chamadas? 0,14
Na˜o receber chamadas? red0,006
Em uma hora receber pelo menos 2 chamadas? 0,98
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Exemplo
Num processo de fabricac¸a˜o de papel alum´ınio encontramos 1
falhas a cada 400m. Para economizar energia o fabricante resolve
aumentar a produc¸a˜o para 1000m. Calcule a probabilidade:
O processo manter o mesmo n´ıvel de falha. 0.2052
O processo aumentar para 3 falhas. 0.2137
O processo na˜o apresentar falhas. 0.082
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Exemplo
A experieˆncia passada indica que o nu´mero me´dio de
abastecimento em determinado posto de combust´ıveis seja 12
clientes para 2 horas que param para colocar gasolina numa das
bombas do posto. Nesta bomba qual e´:
A probabilidade de 3 clientes pararem em 1 hora? 0,089
A probabilidade que mais de 3 clientes pararem em 1 hora?
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Exemplo
A experieˆncia passada mostra que 1% das laˆmpadas
incandescentes produzidas numa fa´brica sa˜o defeituosas. Encontre
a probabilidade de mais que uma laˆmpada numa amostra aleato´ria
de 30 laˆmpadas sejam defeituosas, usando:
A distribuic¸a˜o Binomial;
A distribuic¸a˜o Poisson.
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