md_lista6_2014_1

Prévia do material em texto

UERJ - Universidade do Estado do Rio de Janeiro 
Instituto de Matemática e Estatística 
Departamento de Matemática Aplicada 
Disciplina: Matemática Discreta 
Professor: Augusto César de Castro Barbosa 
6a lista de exercícios 
__________________________________________________________________ 
 
Agrupamentos com Repetição 
 
1 – Desenvolver as seguintes potências: 
 
(a) 
53
1
2
x






+ (b) 
6
y
y
1






− 
 
2 – Calcular o sexto termo da expansão de cada uma das potências abaixo: 
 
(a) 
17
2a
b
b
a






+ (b) 
12
2
3
x
32x 





− 
 
3 – Demonstrar a seguinte igualdade: 
 
n
n
0i
i
n 2 C∑
=
= . 
 
4 – Demonstrar a seguinte igualdade: 
 
1p
1np
p
np
p
2p
p
1p
p
p CC...CCC
+
+++++ =++++ . 
 
5 – De quantos modos diferentes podemos distribuir 10 bombons idênticos em 4 
caixas diferentes? 
 
6 – Dispondo de 4 cores diferentes, de quantas maneiras distintas podemos pintar 
5 objetos idênticos? (cada objeto deve ser pintado com uma única cor) 
 
7 – Calcular o termo independente na potência 
9
2
x
1
x 





+ . 
 
8 – Calcule o número de soluções inteiras positivas de: 
 
(a) 8xxxx 4321 =+++ 
(b) 11x...xx 1121 =+++ 
 
9 – Quantas são as soluções inteiras não negativas de: 
 
(a) 8xxxx 4321 =+++ 
(b) 11x...xx 1121 =+++ 
 
10 – Quantas são as soluções inteiras de 
 
17xxxxx 54321 =++++ , 
 
nas quais 3x 4 ≥ ? 
 
11 – De quantas maneiras diferentes podemos distribuir 30 laranjas para 4 
crianças de modo que cada uma receba pelo menos 2 laranjas? 
 
12 – De quantas maneiras uma pessoa pode comprar 5 sorvetes em uma 
sorveteria que vende 8 tipos de sorvete? 
 
13 – De quantos modos 5 meninos e 5 meninas podem brincar de roda, de modo 
que crianças do mesmo sexo não fiquem juntas? 
 
14 – De quantas maneiras diferentes podem ser enfileiradas 9 bolas de bilhar das 
quais 4 são brancas, 2 vermelhas e 3 pretas? 
 
15 – Quantos números naturais de 6 algarismos podemos formar, de modo que 
cada número seja formado por 3 pares distintos de algarismos iguais? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas 
 
1 – (a) 1
2
5x
2
5x
4
5x
16
5x
32
x 3692151
+++++ 
(b) 20
y
1
y
6
y
1515y6yy 642
246
−+−++− 
 
2 – (a) 19
7
a
6188b
 (b) 55427328x− 
 
5 – 286C(CR) 1013104 == 
 
6 – 56C(CR) 5854 == 
 
7 – 84 
 
8 – (a) 35 (b) 1 
 
9 – (a) 165 (b) 1021C 
 
10 – 414C 
 
11 – 325C 
 
12 – 512C 
 
13 – 2880!5!4PPC)(N 55 =×=×= 
 
14 – Elementos disponíveis: 9, 9n = 
Elementos que constituem os grupos: 9, 9p = 
Repetições: 4 bolas brancas, 2 bolas vermelhas, 3 bolas pretas 
 
1260
4!2!3!
9!P4,2,39 == 
 
15 – Pares distintos de algarismos iguais: 00, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 
Devemos ter 3 pares distintos: 10,3C 
 
 Como estamos diante de grupos do tipo 11 22 33, 00 55 99, 88 77 00, 
devemos fazer a permutação: 2,2,26P 
 
 O número de seis algarismos, incluindo os que começam por zero, nas 
condições dadas, é 
 
 
2,2,2
610,3 PCN' ⋅= 
 
 Como existem 10 algarismos, um décimo dos números formados iniciam 
por zero e devemos excluí-los por não serem considerados números de 6 
algarismos. Logo, 
 
9720PC
10
1PCN 2,2,2610,3
2,2,2
610,3 =⋅−⋅=