Introdução à Derivação de Funções

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Universidade Federal de Alagoas 
Instituto de Ciências e Biológicas e da Saúde 
BIOB-003 – Biomatemática 
Prof. Marcos Vinícius Carneiro Vital 
 
1. Introdução 
 
 - Agora que já entendemos o que é uma derivada, podemos partir para a etapa de 
calculá-la, o que chamamos de derivação. Derivar uma função é uma tarefa 
relativamente simples, que deve seguir algumas regras gerais que apresentarei aqui. 
 - Cada uma das regras apresentadas aqui pode ser demonstrada 
matematicamente, e algumas demonstrações são na verdade bem simples! Não iremos 
nos preocupar com todas as demonstrações em sala de aula, já que nosso tempo é curto; 
mas basta recorrer ao livro do Batschelet para acompanhá-las com facilidade. 
 
2. Ponto de partida 
 
 - Como vimos na definição do que é uma derivada na aula passada, encontrar 
uma derivada é encontrar um limite. Dada uma função y = f(x), sua derivada em x1 será: 
lim
𝑥2 → 𝑥1
∆𝑦
∆𝑥
 
 
 - Vamos desdobrar um pouco, e dizer que: 
lim
𝑥2 → 𝑥1
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
= 
𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1)
𝑥2 − 𝑥1
 
 
 - E agora vamos substituir alguns termos, dizendo que: 
 x1 = x, x2 = x + h, e, conseqüentemente, Δx = h 
 - Estamos apenas dizendo que a diferença entre x1 e x2 vale h. 
 
 - Encontrar uma derivada é, então, encontrar o seguinte limite: 
lim
ℎ →0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
 
 
 
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3. Encontrando a derivada de y = x2 
 
 - Na prática, para encontrarmos uma derivada precisamos apenas seguir um 
conjunto de regras que serão apresentadas adiante, o que é relativamente simples. Mas 
para compreendermos de onde estas regras saíram, vamos deduzir uma delas em alguns 
passos usando como exemplo a função potência y = x2. 
 - Passo à passo, vamos lá: 
 
 - A função é: 
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥2 
 
 - E o limite de uma função é: 
lim
ℎ →0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
 
 
 - Colocando a nossa função no formato f(x + h): 
𝑓(𝑥 + ℎ) = (𝑥 + ℎ)2 = 𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 
 
 - E substituindo isso no limite que queremos encontrar: 
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) 
ℎ
= 
𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − 𝑥2
ℎ
= 
2𝑥ℎ + ℎ2
ℎ
 
 
 - Vamos simplificar a fração dividindo o numerador e o denominador por h, e 
teremos então: 
2𝑥 + ℎ 
 
 - Então queremos saber: 
lim
ℎ →0
2𝑥 + ℎ 
 
 - Se h tende à zero, então tudo o que sobre é: 
2𝑥 
 
 - Ou seja, a nossa derivada é: 
𝑦′ = 𝑓′(𝑥) = (𝑥2)′ = 2𝑥 
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 - A generalização do que acabamos de fazer é uma regrinha que nos permitirá 
encontrar a derivada de qualquer função polinomial: 
(𝑥𝑛)′ = 𝑛𝑥𝑛−1 
 
4. As regras 
 
 - Para derivarmos uma função qualquer, só precisamos seguir algumas regras, 
que nos permitem encontrar rapidamente o limite da função quando o h tende a zero. As 
quatro primeiras regras (em negrito) são as mais importantes para a resolução de 
problemas biológicos, e serão as únicas que vamos aplicar em exercícios e em prova. 
 
(𝒄)′ = 𝟎 
 
(𝒙𝒏)′ = 𝒏𝒙𝒏−𝟏 
 
(𝒄 ∙ 𝒇(𝒙))
′
= 𝒄 ∙ 𝒇′(𝒙) 
 
(𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙))
′
= 𝒇′(𝒙) + 𝒈′(𝒙) 
 
(𝑠𝑒𝑛 𝑥)′ = cos 𝑥 
 
(cos 𝑥)′ = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 
(𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥))
′
= 𝑓′(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥) 
 
 - Para seguirmos adiante e apresentar outras três regras, precisamos pensar um 
pouco sobre a idéia de uma função composta. Tanto as funções compostas quanto as 
três regras a seguir não serão usadas em nossos exercícios e provas. 
 
 
 
 
 
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5. Funções compostas 
 
 - Uma função composta é, literalmente, uma “função de uma função”. Podemos 
representar uma função deste tipo dizendo: 
𝑦 = 𝑓(𝑢(𝑥)) 
 - Por exemplo: podemos desmembrar a função y = sen2x em duas partes, 
e dizer que u(x) = sen x, e que f(u) = u2 
 - A partir das funções compostas, podemos demonstrar as três últimas regras que 
nos ajudam a encontrar uma derivada. Veja o livro para as demonstrações. 
 
6. Mais três regras 
 
 - A derivada de uma função composta: 
(𝑓(𝑢(𝑥)))
′
= 𝑓′(𝑢) ∙ 𝑢′(𝑥) 
 
 - A derivada do quociente de duas funções: 
(
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
)
′
= 
𝑔(𝑥) ∙ 𝑓′(𝑥) − 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥)
𝑔(𝑥)2
 
 
 - Por fim, a derivada de uma função inversa: 
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 
1
𝑑𝑦/𝑑𝑥
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIO RESOLVIDO 1 
 
 Neste primeiro exercício, vamos partir do exercício realizado em sala de aula 
(aquele com o cálculo da taxa média de crescimento de uma planta aquática) e 
destrinchar passo a passo como derivar uma função qualquer. Percebam que encontrar 
uma derivada é um simples exercício de se aplicar uma ou mais regras, e depois 
substituir os valores de x para se encontrar a taxa instantânea desejada. 
 
 O exercício realizado foi: 
 
Um pesquisador determinou que a população de uma planta aquática invasora cresce em 
um lago recém ocupado de acordo com a seguinte equação: 
N = N0 + 2t + 5t
2 
N é o número de indivíduos (sendo N0 o número inicial) e t é o tempo medido em dias. 
 
1.1. Após a introdução de três plantas em um lago, quantos indivíduos devemos 
encontrar após 7 dias (ou seja, quando t=7)? 
1.2. Esboce o gráfico do crescimento populacional desta espécie, considerando apenas 
valores inteiros de tempo e obedecendo ao domínio D = {t | 0 ≤ t ≤ 7} 
1.3. Qual a taxa média de crescimento populacional entre t = 2 e t = 5? 
 
A primeira e a segunda pergunta são bem simples, basta substituir os valores. Na 
terceira, vocês calcularam uma taxa média, substituindo os valores de tempo e 
resolvendo: 
 
Δ𝑦
Δ𝑥
=
138 − 27
5 − 2
= 37 
 
 Como podemos ver, a taxa média depende de um intervalo específico de tempo, 
e sempre representará um erro, pois representa a média de várias taxas que ocorrem 
naquele intervalo detempo. Uma derivada representa uma taxa instantânea no tempo, e 
nos dá uma resposta muito mais precisa do que está acontecendo com a população em 
um momento específico. 
 Imaginem, então, uma quarta questão que pedisse: 
1.4. Calcule a taxa instantânea de crescimento populacional da planta no tempo t = 3. 
 
 
 
 
 
 
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Passo 1: calculando a derivada da função. 
 - Temos que usar as regras de derivação para encontrar a derivada da função. 
Neste caso, precisamos das quatro primeiras regras: 
(𝑐)′ = 0 
(𝑥𝑛)′ = 𝑛𝑥𝑛−1 
(𝑐 ∙ 𝑓(𝑥))
′
= 𝑐 ∙ 𝑓′(𝑥) 
(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))
′
= 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥) 
 
 - A função é: 
𝑁 = 𝑁0 + 2𝑡 + 5𝑡
2 
 
 
 A quarta regra nos diz que podemos simplesmente encontrar a derivada de cada 
“pedaço” da nossa função, então a vida fica bem simples: 
 
 - A derivada de N0, uma constante, é zero, por causa da primeira regra. 
 
 - A derivada de 2t é 2 vezes a derivada de t, por causa da terceira regra: 
(2𝑡)′ = 2(𝑡)′ 
 - E a derivada de t é, segundo a segunda regra: 
(𝑡′) = (𝑡1)′ = 1𝑡1−1 = 1𝑡0 = 1 
 - Ou seja, a derivada de 2t é: 
(2𝑡)′ = 2 
 
 - Por fim, para 5t2 o raciocínio é o mesmo que acabamos de fazer: 
(5𝑡2)′ = 5(𝑡2)′ = 5(2𝑡2−1) = 10𝑡 
 
 - O resultado final, então, é que a derivada da função é: 
𝑁′ = 2 + 10𝑡 
 
 
 
 
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Passo 2: calculando a taxa instantânea desejada. 
 Uma taxa instantânea, por definição, varia a cada momento do tempo (exceto 
para as funções lineares), então para encontrarmos a taxa que queremos, devemos 
substituir o valor de x adequado. 
 - Neste caso, a pergunta foi sobre a taxa no tempo t = 3. Então: 
𝑁′ = 2 + 10 ∙ 3 = 2 + 30 = 32 
 
 - Então a taxa instantânea de crescimento no tempo t = 3 é de 32 indivíduos. 
Significa que naquele momento do tempo 32 indivíduos são adicionados à população. 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 2 
Após ingerir um alimento com 5 gramas de glicose, um organismo começou a absorvê-
lo segundo a função: 
𝑀 = 5 − 0,03𝑡2 
Onde M é a massa de glicose ingerida, e t o tempo em horas. A velocidade com a qual a 
glicose é absorvida pelo organismo é chamada de taxa de reação. 
 
2.1. Esboce um gráfico da massa de glicose em relação ao tempo, para o domínio {t| 0 
≤ t ≤ 10}, considerando apenas os valores inteiros de t. 
 
Nada de complicado, basta substituir os valores, e obter o M para cada tempo. O gráfico 
ficaria assim: 
 
 
 
 
 
0
1
2
3
4
5
6
0 2 4 6 8 10 12
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2.2. Qual a taxa instantânea de reação em t = 5 horas? 
Novamente, temos que calcular uma derivada. Vou omitir os passos, já que são 
semelhantes aos da questão anterior. 
 
(5 – 0,03t2)’ = 0 – 0,03 ∙ 2t = – 0,06t 
 
Para t = 5: 
M’ = – 0,06 ∙ 5 = – 0,3 
 
Ou seja, a taxa instantânea de reação quando t = 5 é de – 0,3 gramas de glicose. 
(a taxa é negativa porque temos um decréscimo) 
 
 
EXERCÍVIO RESOLVIDO 3 
Um fragmento de mata com 545 km2 sofre um decréscimo em sua área seguindo a 
equação A = A0 – 7 ∙ t – 7 ∙ t3 (onde A é a área e t o tempo em anos). 
 
3.1. Qual a taxa média de perda de área para o intervalo de tempo t = 1 e t = 3? 
Δ𝑦
Δ𝑥
= 
335 − 531
3 − 1
= −98 
 
3.2. Qual a taxa instantânea de perda de área no tempo t = 2? 
𝐴′ = −7 − 21𝑡2 
𝐴′ = −7 − 21 ∙ 22 = −91