SISTEMA DE NUMERAÇÃO

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

SISTEMA DE NUMERAÇÃO
Introdução
Na vida cotidiana o homem lida, do ponto de vista numérico, com o sistema decimal, e do ponto de vista alfabético, com um determinado idioma. Da mesma forma, o computador, por características físicas, lida sob ambos os aspectos com o sistema binário, utilizando uma série de códigos que permitem o seu perfeito funcionamento.
Tanto o sistema decimal como o binário tem por base os mesmo princípios. Tanto um quanto outro a representação de um numero se faz através de cadeias de símbolos, que representam determinada quantidade conforme o próprio símbolo e a posição que este ocupa dentro da cadeia.
Por questões de natureza técnica, os circuitos eletrônicos que compõem os computadores são projetados, na maioria dos casos, para reconhecer sinais elétricos do tipo digital, é necessário portanto, que os métodos de codificação interna se baseiem no sistema binário, permitindo a representação de todo tipo de informação e instrução que um computador executa.
Nos circuitos eletrônicos, do ponto de vista logico, a existência de tensão num ponto do circuito é representada pelo algarismo 1, e a ausência de tensão pelo algarismo 0. 
O Sistema Decimal
O homem tem utilizado o sistema decimal para contar desde muitos anos. O sistema decimal evoluiu do sistema indo-arábico, tendo sido adotado provavelmente por causa da utilização dos dez dedos das mãos para contar.
O sistema decimal é um dos chamados posicionais, utilizando um conjunto de símbolos cujo significado depende fundamentalmente da sua posição relativa ao símbolo da vírgula, denominado vírgula decimal, que em caso de ausência supõe-se localizada implicitamente à direita. 
A base do sistema decimal é o numero 10, que corresponde ao numero de símbolos utilizado para a representação de quantidades, estes símbolos(também chamados de dígitos) são:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Uma determinada quantidade, que chamaremos de numero decimal, pode ser expressa da seguinte forma:
N° = (digito)i x (base)i 
Onde:
base = 10
i = posição em relação a vírgula
d = n° de dígitos a direita da vírgula
n = n° de dígitos a esquerda da vírgula -1
digito = cada um dos que compõe o numero.
Esta formula corresponde ao Teorema Fundamental da Numeração, onde a representação é:
... X4 x 104 + X3 x 103 + X2 x 102 + X1 x 101 + X0 x 100 + X-1 x 10-1 + X-2 x 10-2...
Por exemplo, a representação das quantidades 1992 e 3,1416 é:
1992 = 1 x 103 + 1 x 102 + 1 x 101 + 2 x 100
3,1416 = 3 x 100 + 1 x 10-1 + 4 x 10-2 + 1 x 10-3 + 6 x 10-4
Teorema Fundamental da Numeração (TFN)
Trata-se de um teorema que relaciona uma quantidade expressa em qualquer sistema de numeração com a quantidade expressa no sistema decimal.
Suponhamos uma quantidade expressa num sistema cuja base é B e representamos no Xi cada um dos dígitos representados nesta quantidade. O índice Xi indica a posição do digito em relação à vírgula decimal. As posições a esquerda da virgula são numeradas de 0 em diante e de 1 em 1, e a direita da virgula, a partir de -1 com incremento de -1.
O Teorema Fundamental da Numeração diz que o valor decimal de uma quantidade expressa em outro sistema de numeração é dado pela formula:
... X4 x 104 + X3 x 103 + X2 x 102 + X1 x 101 + X0 x 100 + X-1 x 10-1 + X-2 x 10-2...
O Sistema Binário
É o sistema de numeração dos computadores, utilizados internamente pelo hardware.
No sistema binário são utilizados os dígitos 1 e 0 para a representação de quantidades. Portanto, a sua base é 2.
Cada digito de um numero representado neste sistema é denominado bit(contração de binary digit).
A determinados conjuntos de dígitos binários são dados nomes específicos.
Um conjunto de quatro bits é denominado quarteto (ex – 1001)
Um conjunto de oito bits é denominado octeto ou byte ( ex – 10010110).
Um conjunto de 1024 bytes é chamado de kilobyte ou simplesmente K.
1024 kilobytes formam um megabyte.
Um gigabyte é um conjunto de 1024 megabytes.
Ex. Qual o numero decimal representado pelo numero binário 1001.1? Utilizando o TNF.
O Sistema Octal
É um sistema de numeração cuja base é 8, ou seja, utiliza 8 símbolos para a representação de quantidade. Estes símbolos são: 
0 1 2 3 4 5 6 7
Este sistema também é um sistema posicional e a posição de seus algarismos é determinada em relação ao ponto decimal. Caso esta não ocorra, supõe-se implicitamente colocada a direita do numero.
A aritmética desse sistema é semelhante a dos sistemas decimal e binário.
Ex. Qual o numero decimal representado pelo numero octal 4701?
4 x 83 + 7 x 82 + 0 x 81 + 1 x 80
2048 + 448 + 0 + 1 = 2497
O Sistema Hexadecimal
É um sistema posicional de numeração cuja base é 16. Utiliza portando 16 símbolos para a representação de quantidades. Esses símbolos são:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
São atribuídos os seguintes valores absolutos aos símbolos A, B, C, D, E e F.
	Símbolo
	Valor absoluto
	A
	10
	B
	11
	C
	12
	D
	13
	E
	14
	F
	15
Ex. Qual o numero decimal representado pelo numero hexadecimal 2CA?
 2 x 162 + C x 81 + A x 80
2 x 162 + 12 x 81 + 10 x 80
512 + 192 + 10 = 714
Conversão entre os Sistemas de Numeração
A transformação de uma determinada quantidade num sistema de numeração, para a sua representação equivalente num outro sistema, recebe o nome de conversão.
Conversão Decimal-binário
Para converter números inteiros de decimal para binário, a maneira mais simples é dividir sucessivamente por 2 o número decimal e os quocientes que vão sendo obtidos, até que o quociente numa das divisões seja 0. A sequencia de todos os restos obtidos dispostos na ordem inversa representa o numero inicial, expresso no sistema binário.
Exemplo:
Converter o numero decimal 10 para binário.
 10(10) = 1010(2)
Outra forma de conversão é utilizar o peso de cada bit utilizando o TFN:
	27
	26
	25
	24
	23
	22
	21
	20
	128
	64
	32
	16
	8
	4
	2
	1
Portanto para efetuar a conversão basta ligar os bits que totalizam o valor no numero a ser convertido.
Exemplo – converter o número 31(10) para binário:
	27
	26
	25
	24
	23
	22
	21
	20
	128
	64
	32
	16
	8
	4
	2
	1
	
	
	
	1
	1
	1
	1
	1
 
 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31
 Portanto 31(10) = 11111(2).
Conversão Binário-decimal
Esta conversão consiste da aplicação direta do TFN (Teorema Fundamental de Numeração), ou seja:
... X4 x 104 + X3 x 103 + X2 x 102 + X1 x 101 + X0 x 100 + X-1 x 10-1 + X-2 x 10-2...
Exemplo:
Converter o numero binário 101011 para decimal.
101011 = 1 x 25 + 0 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1 = 43
101011(2) = 43(10)
Outra forma de conversão é utilizar o peso de cada bit utilizando o TFN:
	27
	26
	25
	24
	23
	22
	21
	20
	128
	64
	32
	16
	8
	4
	2
	1
Portanto para efetuar a conversão basta somar o valor dos bits ligados, o total obtido será o número convertido.
Exemplo – converter o número 101010(2) para decimal:
	27
	26
	25
	24
	23
	22
	21
	20
	128
	64
	32
	16
	8
	4
	2
	1
	
	
	1
	0
	1
	0
	1
	0
 
 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0 = 42
 Portanto 101010(2) = 42(10).
Conversão Decimal-octal
É utilizado para converte números decimais inteiros para o sistema octal e consiste em dividir sucessivamente por 8 o numero e os quocientes obtidos nessas divisões até que o quociente seja 0. O numero octal desejado é formado pelos restos das divisões na ordem inversa a da sua obtenção.
Exemplo:
Converter o numero decimal 500 para octal.
 500(10) = 764(2)
Conversão
Octal-decimal
Existem vários métodos, sendo o mais comum a utilização do TFN, em que se faz a conversão de forma direta através da formula.
Exemplo:
Converter o numero octal 764 para decimal.
764 = 7 x 82 + 6 x 81 + 4 x 80 = 448 + 48 + 4 = 500
764(8) = 500(10)
Conversão Decimal-hexadecimal
Serve para converte números decimais inteiros para o sistema hexadecimal. Consiste em dividir sucessivamente por 16 o numero decimal e os quocientes obtidos ate que o quociente seja igual a 0. O numero hexadecimal desejado é formado pelos restos obtidos, escritos na ordem inversa da sua obtenção.
Exemplo:
Converter o numero decimal 1000 para hexadecimal.
 
Observação – o número 14 em hexadecimal deve ser convertido para E - 1000(10) = 3E8(16)
Conversão Hexadecimal-decimal
Esta conversão consiste da aplicação direta do TFN (Teorema Fundamental de Numeração), ou seja.
Exemplo:
Converter o numero binário 3E8 para decimal.
3E8 = 3 x 162 + E x 161 + 8 x 160 = 768 + 224 + 8 = 
3E8 (16) = 1000(10)
Conversão Octal-binário
Trata-se de uma conversão muito simples, pode-se utilizar a regra pratica descrita a seguir.
Vamos utilizar um numero octal qualquer, por exemplo, o numero 27(8). A regra consiste em transformar cada algarismo diretamente no correspondente em binário, respeitando-se o numero padrão de bits do sistema, sendo para o octal igual a três (23 = 8 → base do sistema octal). Assim sendo, temos:
	
	
 27(8) = 010111(2)
Conversão Binário-Octal
Para efetuar esta conversão basta aplicar o processo inverso ao utilizado na conversão de octal para binário. Como exemplo será utilizado o numero 110010(2).
Para transformar este numero em octal, vamos primeiro separa-lo em grupo de 3 bits a partir da direita para a esquerda:
110 010
Efetuando então a conversão de cada grupo de bits diretamente para o sistema octal, portanto teremos:
	
	
 110010(2) = 62(8)
Conversão Binário-hexadecimal
É análoga a conversão octal para o sistema binário, somente que, neste caso, necessita-se de 4 bits para representar cada algarismo hexadecimal, (24 = 16 → base do sistema hexadecimal).
Como exemplo, vamos converter o numero C13(16) para o sistema binário:
	
	
 C16(16) = 110000010011(2)
Conversão Hexadecimal-binário
É análoga a conversão do sistema binário para octal, somente que neste caso, agrupamos de 4 em 4 bits da direita para esquerda. Como exemplo:
	
	
 10011000(2) = 98(16)
Operações Aritméticas Fundamentais em Binário
As operações aritméticas fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão) são efetuadas da mesma maneira que no sistema decimal com a diferença de que se trabalha apenas com dois dígitos (0 e 1).
Soma Binária
É semelhante à soma decimal, porem trabalha somente com dois dígitos , quando o resultado excede os símbolos utilizados, acrescenta-se o excesso (transporte) a soma parcial imediatamente a esquerda. As tabelas de somar são: 
	Tabela do 0
	Tabela do 1
	0 + 0 = 0
	1 + 0 = 1
	0 + 1 = 1
	1 + 1 = 10 (0 com transporte de 1)
Exemplo:
Somar 100100 com 10010.
Somar 11001 com 10011
.
Subtração Binária
A subtração binária também é semelhante a subtração decimal. Entretanto, como o conjunto de símbolos contem apenas 2 dígitos ao se efetuar a subtração parcial entre 2 dígitos, um do minuendo e outro do subtraendo, se o segundo (subtraendo) exceder o primeiro (minuendo), subtrai-se uma unidade do digito imediatamente a esquerda no minuendo (se existir e seu valor for 1), convertendo-o 0. Em seguida, o minuendo é substituído por 2, que corresponde a equivalência de 1 x 2m da unidade extraída. Se o digito imediatamente a esquerda for 0, procura-se nos dígitos consecutivos, levando em conta que seu valor é multiplicado por 2 a cada deslocamento a direita. As tabelas da subtração são:
	Tabela do 0
	Tabela do 1
	0 - 0 = 0
	1 - 0 = 1
	0 - 1 = não cabe
	1 - 1 = 0
Exemplo:
Subtrair 101010 de 111111.
Exemplo:
Subtrair 111 de 11101.
Multiplicação Binária
É realizada de maneira semelhante a multiplicação decimal, exceto pelo fato da soma final dos produtos se fazer em binário. As tabelas da multiplicação são: 
	Tabela do 0
	Tabela do 1
	0 . 0 = 0
	1 . 0 = 0
	0 . 1 = 0
	1 . 1 = 1
Exemplo:
Multiplicar 110101 por 1101.
Divisão Binária
Realiza-se de maneira idêntica a divisão decimal, exceto pelo fato das multiplicações e subtrações internas ao processo serem feitas em binário.
Exemplo:
Dividir 100010 por 110
.
Utilização do Complemento de 2 em Operações Aritméticas
Podemos utilizar a notação de complemento 2 para efetuar operações diversas que envolvam soma ou subtração. De maneira geral, podemos considera-las como operações de soma envolvendo números positivos e negativos, ou ainda entre números quaisquer, obtendo uma resposta apropriada conforme a situação.
Para solucionar qualquer operação destas, basta determinar o complemento de 2 do numero negativo envolvido, com o mesmo numero de bits do outro membro da operação e realizar a soma, desconsiderando, se houver, o estouro do numero de bits no resultado.
Primeiro passo e calcular o complemento do numero negativo, ou seja, basta trocar 0 por 1 e vice-versa.
A titulo de exemplo, vamos efetuar a operação 11010111(2) – 100101(2)
Notemos que esta operação equivale à soma de um numero binário positivo com outro negativo: N1 + (-N2). Como vimos à solução se da determinando o complemento de 2 do segundo (negativo) com mesmo numero de bits do primeiro, efetuando a soma e eliminando o bit de excesso.
Procedendo assim, temos:
11010111(2) – 100101(2): observe que o primeiro numero tem 8 dígitos e o segundo 6 dígitos.
Complemento de 1 – 100101 = 11011010 observe que a quantidade de bits foi igualada.
Efetua-se a soma 11010111 +
 11011010
 110110001 +
Complemento de 2 1
 110110010
Ignora-se o estouro 10110010
Portanto 11010111(2) – 100101(2) = 10110010(2)
A vantagem deste processo é que nos sistemas digitais pode-se utilizar um mesmo circuito somador para efetuarem-se operações que envolvam números negativos ou ainda subtrações, simplificando a quantidade de componentes no sistema.
Tabela ASCII
ASCII (acrônimo para American Standard Code for Information Interchange, que em português significa "Código Padrão Americano para o Intercâmbio de Informação", mas comumente utilizamos a sigla em inglês para referencia direta) é uma codificação de caracteres de sete bits baseada no alfabeto inglês. 
Cada sequencia de códigos na tabela ASCII corresponde a um caractere, comumente representados pelos 8 bits (equivalente a um byte), sendo que o oitavo bit (da direita para a esquerda) serve como um bit de paridade, utilizado para detecção de erro. 
Os códigos ASCII representam texto em computadores, equipamentos de comunicação, entre outros dispositivos que trabalham com texto. 
Desenvolvida a partir de 1960, grande parte das codificações de caracteres modernas a herdaram como base.
A codificação define 128 caracteres, preenchendo completamente os sete bits disponíveis em 27=128 sequências possíveis. Desses, 33 não são imprimíveis, como caracteres de controle atualmente não utilizáveis para edição de texto, porém amplamente utilizados em dispositivos de comunicação, que afetam o processamento do texto.
Álgebra de Boole
Em 1854, o matemático inglês George Boole (1815-1864), através da obra intitulada Na Investigation of the Laws of Thought, apresentou um sistema matemático de analise logica conhecido como álgebra de Boole.
 
A álgebra de Boole é um sistema algébrico que consiste do conjunto {0,1}, duas operações binárias chamadas OR (operador: +) e AND (.) e uma operação unária NOT .
A operação OR é chamada de soma lógica ou
união, a operação AND é conhecida por produto lógico ou interseção e a operação NOT é dita complementação ou ainda inversão (não confundir com a soma de números binários). Estas operações são definidas conforme as tabelas a seguir:
Estas operações podem ser representadas por circuitos lógicos elementares denominados portas:
Expressões Booleanas Obtidas de Circuitos Lógicos.
Todo circuito logico executa uma expressão booleana e, por mais complexo que seja, é formado pela interligação das portas logicas básicas. Podemos obter a expressão booleana que é executada por um circuito logico qualquer. Para demonstrar vamos obter a expressão do circuito abaixo: 
Para facilitar, vamos dividir o circuito em duas partes:
Na saída F1, teremos o produto A.B, pois sendo este bloco uma porta E(and), sua expressão de saída será F1 = A.B. Como F1 é introduzida em uma das entradas da porta OU(or) pertencente a segunda parte do circuito e na outra entrada esta a variável C, a expressão de saída será: F = F1 + C.
Para determinarmos a expressão final, basta agora, substituirmos a expressão F1 na expressão acima, obtendo então:
F = A . B + C
Que é a expressão que o circuito executa.
Uma outra maneira mais simples para resolvermos o problema, é a de escrevermos nas saídas dos diversos blocos básicos do circuito, as expressões por estes executadas, conforme figura abaixo:
Circuitos Lógicos Obtidos a Partir de Expressões Booleanas.
Podemos desenhar um circuito logico que executa uma expressão booleana qualquer, ou seja, podemos desenhar um circuito a partir de sua expressão característica.
O método para a resolução consiste em se identificar as porta logicas na expressão e desenha-la com as respectivas ligações, a partir das variáveis de entrada.