EXERCICIOS-RESOLVIDOS ÍNDICES FÍSICOS

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ST 409 – MECÂNICA DOS SOLOS - EXERCÍCIOS:
1)Tem se 1900g de solo úmido, o qual será compactado num molde, cujo volume é de 1000 
cm3. O solo seco em estufa apresentou um peso de 1705g. Sabendo-se que o peso 
específico dos grãos (partículas) é de 2,66g/cm3 determine:
a- o teor de umidade
b- a porosidade
c- o grau de saturação
dados: 3/66,2 cmgG =γ
P = 1900g
PG =1705g
V = 1000cm3
a) w =?
PH2O = P - PG PH2O = 1900 – 1705 PH2O = 195g
10020 x
P
P
w
G
H
= 100
1705
195 xw= w = 11,4%
b) n =?
100x
V
Vn V= 3/66,2 cmgG =γ
G
G
G V
P
=γ
G
G
G
P
V
γ
=
66,2
1705
=GV 398,640 cmVG =
como VV = V- VG VV =1000 – 640,98 VV = 359,02cm3
100x
V
Vn V=∴ 100
1000
02,358 xn= %90,35=n
c) SR =?
 10020 xV
V
S
V
H
R =
OH
H
OH
P
V
2
20
2 γ
=
1
195
2 =OHV
3195 cmVw =
100
02,359
195 xSR = %31,54=RS
2) De uma amostra genérica de solo, são conhecidos:
O peso específico dos grãos;
O volume total da amostra;
O grau de saturação
A porosidade.
Determinar em função destes dados acima todos os demais índices físicos.
Sabendo que: 
T
V
V
V
n= (Porosidade do solo)
Então podemos deduzir que: TV nxVV =
VTG VVV −= Então podemos expressar que: )1( nxVV TG −= Porque 
podemos
expressar que TTG nVVV −= Que é o mesmo que multiplicar TV por )1( n−
então, )1( nxVV TG −=
Se 
V
H
R V
V
S 20= ( grau de saturação) , então podemos expressar que 
VROH xVSV =2 e,
Substituindo VV é o mesmo que TnV então, concluímos que: TROH xVnxSV =2
Se ÁGUAOHOH VP γ22 = , isto é o peso é o volume multiplicado pelo seu peso 
específico então, podemos nos expressar que: ÁGUATROH xnVxSP γ=2
Se GGG xVP γ= porque o peso específico dos grãos nada mais é do que o volume 
dos grãos multiplicado pelo seu peso específico, então podemos expressar que:
GTG xnxVP γ)1( −=
Se GOHT PPP += 2 , isto é , o peso total nada mais é do que o peso da água somado 
ao peso dos 
grãos então, )).)1((().)..(( GTÁGUATRT nVVnSP γγ −+=
Com estas equações acima, (determinação de volume e peso), determinamos os outros 
índices, isto é:
e (índice de vazios)
Sabemos que: 
G
V
V
V
e= e que TV nVV = e que por dedução VTG VVV −= ou 
)1( nVV TG −= ,
Podemos nos expressar da seguinte maneira : 
VT
T
VV
nVe
−
= ou ainda )1( nV
nVe
T
T
−
= então, 
finalmente concluímos que )1( nV
nVe
T
T
−
=
)1( n
ne
−
=
w (teor de umidade)
Sabemos que:
G
OH
P
P
w 2= e, que OHTROH VnSP 22 ... γ= e GTG nVP γ.)1.( −= ,então 
podemos expressar da seguinte maneira: 
GT
OHTR
nV
VnS
w γ
γ
.)1.(
... 2
−
= então,
G
OHR
n
nS
w
γ
γ
.)1(
.. 2
−
=
NATγ ( peso específico natural)
Sabemos que 
T
T
NAT V
P
=γ e que GTOHTRT nVVSP γγ )1(.. 2 −+= ,então podemos 
expressar da 
seguinte maneira:
T
gTOHTR
NAT V
nVVS γγ
γ
)1(.. 2 −+
=
GOHRNAT nS γγγ )1(. 2 −+=
Sγ ( peso específico aparente seco)
Sabemos que 
T
g
s V
P
=γ e que TGG VnP .)1( γ−= então podemos expressar da 
seguinte maneira:
T
TG
S V
Vn ..)1( γγ −= GS n γγ )1( −=
SATγ ( peso específico saturado)
Sabemos que 
T
OHVG
SAT V
VP 2.γγ += e que GTG nVP γ)1( −= e também que 
TV VnV .= então,
Podemos expressar da seguinte maneira:
T
OHTGT
SAT V
VnnV 2. ...)1( γγγ +−= ).().1( 2OHGSAT nn γγγ +−=
SUBγ ( peso específico submerso)
Sabemos que OHNATSUB 2γγγ −= e que GOHRSUB nS γγγ )1(. 2 −+= + então, 
podemos expressar da seguinte maneira:
OHGOHRSUB nS 22 )1(. γγγγ −−+= +
2 a) Determinar w, Gγ , Sγ , baseado em dados laboratoriais abaixo:
Peso da cápsula + areia úmida = 258,7g
Peso da cápsula + areia seca = 241,3g
Peso da cápsula = 73,8g
Volume da cápsula = 100 cm3
Resolução:
Considerando:
sP = Peso da cápsula ⇒ sP = 258,7 - 73,8g 
sP =184,9g
TSG PP = = Peso da cápsula ⇒ sP = 241,3 - 73,8g 
sP =167,5g
Calculando w :
 100xP
Pw
G
w
= GSW PPP −=
5,1679,184 −=WP gPW 4,17=
Conceituais: 
V
P
=γ
OH
OH
OH V
P
2
2
2 =γ 32 /1 cmgOH =γ
INICIALFINALOH PPP −=2
se 32 /1 cmgOH =γ e 
V
P
=γ então: gP OH 4,172 =
1
2
2
OH
OH
PV =
Temos:
AROHGT VVVV ++= 2 AROHV VVV += 2 gVG 4,17100 −=
36,82 cmVG =
apγ = Peso específico aparente: AP
T
T
V
P γ=
VG
OHG
AP VV
PP
+
+
=
2γ OHGVGAP PPVV 2)( +=+=γ
AP
GOHG
V
VPP
V
γ
−+
=
2
849,1
6,824,175,167 −+
=VV
333,55 cmVV =
G
V
V
V
e =
6,82
33,55
=e 67,0=e
1002 x
P
P
w
G
OH
= 100
5,167
4,17 xw= = 10,39%
G
G
G V
P
=γ
6,82
5,167
=Gγ = 2,03g/cm3
3/85,1
100
9,184 cmg
V
Pou S
T
T
NATS ==== γγγ
3 ) Conhecidos:
O Grau de Saturação;
O peso específico dos grãos;
O índice de vazios;
O volume dos grãos;
Determinar todos os demais índices físicos, bem como o volume e o peso.
Resolução:
Correlações:
1- Se 
G
V
V
V
e= GV VeV .=
2- Se GVT VVV += )1( eVV GT +=
3- Se 
V
OH
R V
V
S 2= GROH VeSV ..2 =
4- Se GGG VP γ.=
G
G
G
P
V γ=
5- Se 2022 . HOHOH VP γ= OHGROH VeSP 22 ... γ=
6- Se GOHT PPP += 2 GGOHGRT VVeSP γγ .... 2 +=
Determinação de teor de umidade “w”
Se: 
G
OH
P
P
w 2= ⇔ 
GG
OHGR
V
VeS
γ
γ
.
... 2 , temos :
G
OHR eSw γ
γ 2..
=
Determinação da porosidade “n”
Se: 
T
V
V
Vn = ⇔ )1(.
.
eV
Ve
G
G
+
, temos : )1( e
en
+
=
Determinação da NATγ
Se: 
T
T
NAT V
P
=γ ⇔ )1(.
... 2
eV
eSV
G
OHRG
+
γ
, temos:
)1(
.. 2
e
eS GOHR
NAT +
+
=
γγγ
Determinação da SATγ
Se 
( )
e
VP OHVG
SAT +
+
=
1
. 2γγ ⇔ )1(
.. 22.
eV
VeV
G
OHGOHG
+
+ γγ
Temos: )1(
. 2.
e
e OHG
SAT
+
+
=
γγ
γ
Determinação do peso específico aparente seco Sγ
Temos: 
T
G
S V
P
=γ ⇔ )1(
2.
eV
V
G
OHG
+
γ
 temos :
e
G
S
+
=
1
γγ
Determinação do peso específico submerso SUBγ
Se : OHNATSUB 2γγγ −= temos:
e
Se OHGOHR
SUB +
−+
=
1
.. 22 γγγγ
4-Depois de executado em aterro de areia, para a implantação de uma indústria, foram 
determinados:
1- O teor de umidade;
2- O peso específico do aterro;
3- O peso específico dos grãos;
4- O índice de vazios máximo e mínimo
O grau de compactação específico no projeto, é de 0,5 (- 2%; ±). Verificar se o Aterro está 
dentro da especificação:
Dados: 3/7,1 cmgNAT =γ
W = 9%
3/65,2 cmgG =γ
721,0=MAXe
510,0=MINe
1) Devemos determinar inicialmente o valor do índice de vazios: e
G
HR eSw
γ
γ 20..
= e 
e
eS GHR
NAT
+
+
=
1
.. 20 γγγ
Sabemos que 32 /1 cmgOH =γ teremos e
wS GR
γ.
=
Portanto: 
e
e
e
w
G
G
NAT
+
=
1
..
. γγ
γ e
w gG
NAT +
+
=
1
. γγ
γ
eNAT +
+
=
1
65,2)09,0.65,2(γ 7,1=NATγ e+
+
=
1
65,2)09,0.65,2(7,1
e+
=
1
89,27,1 1,7+ 1,7 e = 2,89
e = 7,1
19,1
e = 0,700
Sabemos que:
MINMAX
MAX
ee
ee
CG
−
−
=.
510,0721,0
700,0721,0.
−
−
=CG
211,0
021,0. =CG
100,0. =CG
O grau de compacidade especificado pelo projeto é: 2% abaixo
49,0)5,0.02,0(5,0. =−=projCG
O aterro não atende a especificação.
5 - Sabendo se que:
w = 24%
%5,74=RS
3/88,1 cmgNAT =γ
Determinar: Gγ , Sγ , e , n
G
OHRSew γ
γ 2..
= então 
G
OHe
γ
γ 2.745,0.24,0 =
portanto, eG 11,3=γ (I)
e
Se GOHR
NAT
+
+
=
1
.. 2 γγγ
e
e G
+
+
=
1
1.745,0.
88,1
γ
eG 135,188,1 +=γ (II)
Portanto substituindo (I) em (II), teremos:
ee 135,188,111,3+= 952,0=e Substituindo:
)952,0(11,3=Gγ 3/96,2 cmgG =γ
e
G
S
+
=
1
γγ 952,01
96,2
+
=Sγ 3/51,1 cmgS =γ
e
en
+
=
1 952,1
952,0
=n 487,0=n
6 ) Uma amostra arenosa, colhida em um frasco com capacidade volumétrica de 
594cm3,pesou 1280g. O peso deste frasco coletor é de 350g. Feita a secagem em estufa à 
105oC, a amostra passou a pesar 870g. Sabendo-se que o peso específico dos grãos é de 
2,67g/cm3 determine:
a) O índice de vazios;
b) A porosidade;
c) O teor de umidade;
d) O grau de saturação;
Resolução comentada:
Dados iniciais:
gPT 1280= (frasco + amostra arenosa)
gVT 594= (capacidade volumétrica do frasco)
gPF 350= (peso do frasco (tara))
1- Determinação dos pesos:
- Como determinar o peso da amostra:
FRASCOAMOSTRAT PPP +=
3501280 += AMOSTRAP
gPAMOSTRA 950=
- Como determinar o peso da água da amostra:
Sabemos que o peso da amostra após secagem em estufa, passou a ser de 870g, isto 
quer afirmar que os pesos da fração sólida junto com a porção aquosa, era de 930g antes de 
secar. Então, para se saber qual o peso em água na amostra, basta deduzirmos assim:
GOHT PPP += 2
870930 2 += OHP 8709302 −=OHP gP OH 602 =
Obs: Até aqui, trabalhamos numericamente para definir e determinar os dados de peso. 
Agora, passaremos a trabalhar numericamente para definir e determinar os dados 
volumétricos.
2- Determinação dos dados volumétricos:
Sabemos que a densidade é uma relação entre peso e volume, isto é:
V
P
=γ unidade 333 m
ton
cm
k
cm
g
==
Sendo assim, poderemos determinar qual é o volume da fração ou porção sólida contida na 
amostra, da seguinte maneira:
-A densidade dos grãos é dada: 3/67,2 cmgG =γ
-O peso dos grãos foi determinado: gPG 870= então, o volume dos grãos GV é 
determinável assim:
G
G
G
P
V γ= 67,2
870
=GV 384,325 cmVG =
Obs: Definidos os valores numéricos relacionados a peso e volume, passaremos 
tranqüilamente a determinação dos índices físicos questionados, da seguinte maneira e 
ordem:
3- Determinação do volume de vazios contidos na amostra VV
I - GTV VVV −= 84,325594 −=VV então: 
316,268 cmVV =
Portanto agora poderemos determinar qual é o índice de vazios desta amostra arenosa 
assim:
Sabemos que 
G
V
V
Ve = então, 84,325
16,268
=e
823,0=e
Vamos alongar a equação:
Se 
G
V
V
V
e = e, GTV VVV −= , vamos então substitui-lo:
G
GT
V
VV
e
−
= é o mesmo que:
G
G
G
T
V
V
V
Ve −= então: 1−=
G
T
V
Ve II
Quando não temos o valor volumétrico dos grãos GV , podemos determiná-lo da seguinte 
maneira:
G
G
G
P
V γ= (da mesma forma utilizada anteriormente no item 2)
Porém, incorremos muitas vezes na necessidade de utilizarmos fórmulas correlacionadas, 
que para o índice de vazios é:
G
G
T
P
Ve
γ
=
III
I = II = III
G
V
V
V
e = = 1−
G
T
V
V
 = 
1−
G
G
T
P
V
γ
4- Como determinaremos a porosidade (n)
T
V
V
V
n =
T
GT
V
VV
n
−
= ou 1−=
T
G
V
V
n
594
16,268
=n 451,0=n
5- Como determinaremos o teor de umidade (w)
G
OH
P
P
w 2=
870
60
=w %90,6=w
6- Como determinaremos o grau de saturação ( RS )
V
OH
R V
V
S 2=
G
OH
OH
R Ve
P
S
.
2
2
γ
= 84,325.823,0
1
60
=RS
%37,22=RS