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AULA 6 – Intervalos de Confiança 
Introdução
Estimativa pontual: uma estimativa de um único valor para um parâmetro populacional. A estimativa pontual menos tendenciosa de uma média populacional é a média amostral .
Estimativa intervalar: um intervalo de valores usado para estimar um parâmetro populacional.
Exemplos
	Parâmetro populacional
	Pontual
	Intervalar
	Média
	A renda per capita brasileira é de $ 3.500,00 por ano
	A renda per capita brasileira está entre $3.200,00 e $3.800,00 por ano
	Proporção
	Somente10% dos alunos de primeira série se formarão.
	Entre 8% e 12% dos alunos que cursam a primeira série se formarão
	Desvio Padrão
	O desvio padrão da vida útil de uma lâmpada comum é de 2.000 horas.
	O desvio padrão da vida útil de uma lâmpada comum está entre 1.800 e 2.200 horas.
Observação: Antes de obter uma estimativa intervalar é necessário determinar qual a confiança necessária de que sua estimativa intervalar contém a média populacional .
Nível de confiança (c): é a probabilidade de que o intervalo estimado contenha o parâmetro populacional.
De acordo com o Teorema Limite Central, se , a distribuição amostral de médias amostrais é uma distribuição normal. O nível de confiança c é a área sob a curva normal padrão entre os valores críticos, -Zc e Zc.
c
Por exemplo, se c = 90%, então os 5% da área estão a esquerda de -zc = -1,645 e 5% estão a direita de zc = 1,645.
Margem de erro (E)
Dado um nível de confiança c, a margem de erro ( ou erro máximo da estimativa ou tolerância do erro) é a maior distância possível entre a estimativa pontual e o valor do parâmetro a ser estimado. Determinado pela seguinte formula:
Quando , o desvio padrão amostral pode ser usado em lugar de do desvio padrão populacional.
Tamanho da amostra
Dados um nível de confiança c e uma margem de erro E, o tamanho mínimo da amostra necessária para estimar a média populacional é
Intervalos de confiança para a média populacional (amostras grandes n>=30 com desvio padrão conhecido)
	Passos
	Fórmulas
	Obtenha as estatísticas amostrais n e .
	
	Especifique , se for conhecido. Caso contrário, se , determine o desvio padrão amostral s e use-o como uma estimativa para .
	
	Determine o valor crítico zc que corresponde ao nível de confiança determinado.
	Use a Tabela Normal Padrão
	Determine o erro máximo de estimativa E.
	
	Determine os extremos esquerdo e direito e forme o intervalo de confiança
	Extremo esquerdo: 
Extremo direito: 
Intervalo: 
	estimar tamanho da amostra para uma determinada margem de erro e intervalo de confiança .
	
Exemplo:
O diretor do comitê de admissão de uma faculdade deseja estimar a idade média de todos os estudantes aprovados no momento. Em uma amostra aleatória de 20 estudantes, a idade média encontrada foi de 22,9 anos. A partir de estudos anteriores, sabe-se que o desvio padrão populacional é de 1,5 anos e a população está normalmente distribuída. 
Construa um intervalo de confiança de 85% da idade média da população.
Construa um intervalo de confiança de 90% da idade média da população.
Qual deve ser o tamanho mínimo da amostra para garantir um intervalo de confiança de 95%, para uma margem de erro E=0,6?
Algumas observações importantes:
Para as mesmas amostras estatísticas:
à medida que o nível de confiança cresce, o intervalo de confiança se alarga. 
à medida que o intervalo de confiança se alarga, a precisão da estimativa diminui.
quanto maior o nível de confiança mais largo é o intervalo.
Uma forma de aumentar a precisão de uma estimativa sem a redução do nível de confiança é ampliar o tamanho da amostra.
Intervalos de confiança para a média (amostras pequenas) – Distribuição t
Quando o desvio padrão populacional é desconhecido, ou em função de fatores como tempo e custo, não é possível colher amostras de tamanho 30 ou mais., usa-se a distribuição t.
Intervalos de confiança e as distribuições t
	passos
	fórmulas
	Identifique as estatísticas amostrais n, e s.
	
	Identifique os graus de liberdade, o nível de confiança c e o valor crítico tc.
	
	Obtenha a estimativa E do erro máximo.
	
	Obtenha os extremos esquerdo e direito e forme o intervalo de confiança.
	Extremo esquerdo: 
Extremo direito: 
Intervalo: 
Fluxograma: usando a distribuição normal ou uma distribuição t para construir um intervalo de confiança
Exemplo 1:
Para determinar o valor critico tc para 95% de confiança quando o tamanho da amostra for 15:
para n=15, os graus de liberdade são g.l.=n-1=15-1=14
encontrar o valor critico tc na tabela g.l.=14 e =0,05 (população normalmente distribuídas use bicaudal)
de acordo com a tabela, tc=2,145. 
Abaixo a ilustração mostra a distribuição t para 14 graus de liberdade, c=0,95 e tc=2,145.
Portanto, 95% da área sob a curva da distribuição t com 14 graus de liberdade está entre t = +2,145.
Exemplo 2 (resolver em aula)
Foram selecionados ao acaso 16 restaurantes e mede-se a temperatura do café vendido em cada um. A temperatura média amostral é de 16,2º C, com um desvio padrão amostral de 1,5º C. Obtenha o intervalo de confiança de 95% para a temperatura média. Suponha que as temperaturas estejam aproximadamente normalmente distribuídas.
Intervalos de confiança para proporções populacionais
x
 é o número de sucessos na amostra
n
 é o tamanho da amostraEstimativa pontual (p) - proporção populacional de sucessos
 é proporção de sucessos em uma amostra
 é a estimativa pontual para o número de fracassos
Intervalo de confiança (c) para a proporção populacional (p) é onde 
A probabilidade de que o intervalo de confiança contenha p é c
Uma distribuição binomial pode ser aproximada pela distribuição normal se 
	Passos
	Fórmulas
	Identifique as estatísticas amostrais n e x.
	
	Determine a estimativa pontual 
	
	Verifique que a distribuição amostral de pode ser aproximada por distribuição normal. 
	
	Determine o valor crítico zc que corresponda ao dado nível de confiança c.
	Use a Tabela Normal Padrão
	Determine o erro máximo da estimativa E.
	
	Determine os extremos esquerdo e direito e forme o intervalo de confiança.
	Extremo esquerdo: 
Extremo direito: 
Intervalo: 
	Tamanho mínimo da amostra para estimar p
(Uma maneira de melhorar a precisão do intervalo de confiança sem diminuir o nível de confiança é aumentar o tamanho da amostra)
	
Exemplo 1 (resolver em aula)
Em um levantamento sobre esportes entre 1.024 adultos norte-americanos, 287 disseram que preferiam assistir a jogos de futebol americano.
Determine uma estimativa pontual para a proporção populacional dos adultos norte-americanos que preferem assistir ao futebol.
Construa um intervalo de confiança de 95% para a proporção de adultos nos Estados Unidos que afirmam ser o futebol americano o seu programa de esporte favorito.
Exemplo 2 (resolver em aula)
A tabela abaixo foi feita com base em uma pesquisa entre 900 adultos norte-americanos. Construa um intervalo de confiança de 99% para a proporção de adultos que acham que os adolescentes são os motoristas mais perigosos.
	Quem são os motoristas mais perigosos?
	adolescentes
	63%
	pessoas acima de 75 anos
	33%
	não sabem (não opinaram)
	4%
Exemplo 3 (resolver em aula)
Ao analisar uma campanha política você deseja estimar, com 95% de confiança, a proporção dos eleitores registrados que irão votar seu candidato. Sua estimativa deve ter uma margem de erro de 3% da população real. Encontre o número mínimo da amostra necessária se:
Não há nenhuma estimativa prévia
Uma estimativa prévia 
Intervalos de confiança para variância e desvio padrão – distribuição qui-quadrado
A pronúncia da letra grega 
 é “ki”
Se a variável aleatória x tiver uma distribuição normal, então a distribuição de 
n é o tamanho da amostra
Intervalos de confiança para e desvio padrão()
Intervalo de confiança para variância : 
Intervalo de confiança desvio padrão : 
A probabilidade de que o intervalo de confiança contenha ou é c.
	Passos
	Fórmulas
	Verifique se a população tem uma distribuição normal
	
	Identifique a estatística amostral n e os graus de liberdade
	g.l. = n – 1
	Obtenha a estimativa pontual 
	
	Obtenha os valores críticos e que correspondam ao nível de confiança c dado
	Use a tabela 6 do apêndice B
	Obtenha os extremos esquerdo e direito e forme o intervalo de confiança para a variância populacional.
	Extremo esquerdo Extremo direito
	Obtenha o intervalo de confiança para o desvio padrão populacional extraindo a raiz quadrada de cada extremo.
	
Exemplo 1 (resolver em aula)
Você seleciona aleatoriamente e pesa 30 amostras de um determinado antialérgico. O desvio padrão da amostra é de 1,2 miligramas. Supondo que os pesos tenham uma distribuição normal, construa um intervalo de confiança de 99% para a variância e o desvio padrão populacionais.
Resolução de problemas
Uma amostra aleatória de 32 churrasqueiras a gás tem media de preço de $ 630,90 e desvio padrão de $ 56,70. Suponha que os preços estejam aproximadamente normalmente distribuídos.
Construa um intervalo de confiança de 90%. 
Construa um intervalo de confiança de 95%.
Você trabalha para uma agencia de defesa do consumidor e quer encontrar a media de custo de reparos de maquinas de lavar. Como parte de seu estudo, você seleciona aleatoriamente 40 custos de reparos e descobre que a media é $ 120,00. O desvio padrão da amostra é $ 17,50. Suponha que os custos de reparos estejam aproximadamente normalmente distribuídos
Construa um intervalo de confiança de 95% para a média do custo de reparos da população.
Mude o tamanho da amostra para 80 e repita os cálculos. Qual intervalo de confiança é mais largo? Explique.
Uma empresa de processamento de queijos quer estimar a média do conteúdo de colesterol. A estimativa deve estar dentro de 0,5 miligramas da media populacional. Suponha que o conteúdo de colesterol estejam aproximadamente normalmente distribuídos.
Determine o tamanho da amostra necessário para construir um intervalo de confiança de 95% para media populacional. Assuma um desvio populacional de 2,8 miligramas.
Repita o item a usando um intervalo de confiança de 99%.
Qual nível de confiança requer um tamanho de amostra maior? Explique.
Você seleciona ao acaso 20 casas hipotecárias e determina a atual taxa de juro que cada uma cobra. A taxa média amostral é de 6,93%, com o desvio padrão de 0,42%. Obtenha o intervalo de confiança de 99% para a população da taxa média de juro para as hipotecas. Suponha que as taxas de juro tenham distribuição aproximadamente normal.
Você seleciona ao acaso 25 casas construídas. O custo médio amostral da construção é de R$ 181.000,00 e o desvio padrão populacional é de R$ 28.000,00. Supondo que os custos com a construção são normalmente distribuídos, você deve usar a distribuição normal, a distribuição t ou nenhuma delas para construir um intervalo de confiança de 95% para o custo médio da população das construções? Justifique.
Em uma amostra aleatória de 5 fornos de micro-ondas, a media de custos de reparos era de $75,00 e desvio padrão de $12,5. Assuma que a variável é normalmente distribuída, use a distribuição t para construir um intervalo de confiança de 95% para media populacional. Calcule também a margem de erro.
Use a distribuição normal ou distribuição T (a que julgar mais conveniente) para construir um intervalo de confiança de 99% para a media populacional. Suponha que a media por dia de lixo tenham distribuição aproximadamente normal. (dados fictícios).
Em uma amostra aleatória de 10 adultos, a media por dia de lixo gerado por pessoa por dia é de 4,54 quilos e o desvio padrão era de 1,21 quilos.
Repita o item a, assumindo que as mesmas estatísticas vem de uma amostra de 500 adultos
Compare os resultados.
As notas finais de um teste de conhecimentos gerais de 12 alunos do 3° ano do ensino médio selecionadas ao acaso são: (Suponha que as notas tenham distribuição aproximadamente normal).
1704 ; 1940 ; 1518 ; 2005 ; 1432; 1872 ; 1998 ; 1658 ; 1825 ; 1670 ; 2210 ; 1380 ;
Calcule a media 
Encontre o desvio padrão 
Construa o intervalo de confiança para 99% da media populacional
Uma pesquisa eleitoral anunciou que um candidato teve uma aceitação de 48% com uma margem de erro de 3%. Construa um intervalo de confiança para a proporção de adultos que aprovam o candidato.
Você é um agente de viagens que quer estimar, com 95% de confiança, a proporção de pessoas em férias que planejam viajar o exterior nos próximos 12 meses. Sua estimativa deve ter uma margem de erro de 3% da proporção real.
Não há estimativas prévias. Encontre o tamanho mínimo da amostra necessária.
Encontre o tamanho mínimo da amostra necessária usando um estudo anterior que mostrou que 26% dos pesquisados declararam que planejavam viajar para fora dos Estados Unidos nos próximos 12 meses.
Compare os resultados das partes (a) e (b).
A tabela mostra os resultados de uma pesquisa em que 400 adultos do leste, 400 adultos do sul, 400 adultos do centro-oeste e 400 adultos do oeste responderam se consideram o congestionamento um problema sério em sua comunidade. 
	Leste
	36%
	Sul
	32%
	Centro-oeste
	26%
	Oeste
	56%
Construa um intervalo de confiança de 99% para:
A proporção de adultos do leste que dizem que o congestionamento é um problema sério.
A proporção de adultos do sul que dizem que o congestionamento é um problema sério. É possível que essas duas proporções sejam iguais? Explique seu raciocínio. 
Para analisar a variação das pílulas de suplemento vitamínico, você seleciona aleatoriamente 14 pílulas e as pesa, calcula o desvio padrão obtendo como resultado miligramas. Usando um nível de 90% de confiança, assumindo uma população normalmente distribuída, construa os intervalos de confiança indicados para a variância da população e para o desvio padrão da população.
O número de horas da capacidade de reserva de 18 baterias de automóveis escolhidas aleatoriamente tem um desvio padrão igual é a . Usando um nível de 99% de confiança, assumindo uma população normalmente distribuída, construa os intervalos de confiança indicados para a variância da população e para o desvio padrão da população.
Um fabricante de máquinas para cortar grama está tentando determinar o desvio padrão da vida de um de seus modelos de máquinas. Para fazê-lo, ele seleciona aleatoriamente 12 máquinas que foram vendidas anos atrás e descobre que o desvio padrão da amostra é 3,25 anos. Usando um nível de 99% de confiança, assumindo uma população normalmente distribuída, construa os intervalos de confiança indicados para a variância da população e para o desvio padrão da população.
Bibliografia
BRUNI, ADRIANO LEAL. Estatística Aplicada à Gestão Empresarial. São Paulo: Atlas, 2007.
ANDERSON; SWEENEY & WILLIAMS. Estatística aplicada à Administração e Economia. São Paulo: Thonson Learnig, 2007.
MOORE, MCCABE, DUCKWORTH & SCLOVE. A Prática da Estatística Empresarial. Rio de Janeiro: LTC, 2006.
LARSON & FARBER. Estatística Aplicada. São Paulo: Pearson, 2004.
MORETTIN, L.G. Estatística Básica. São Paulo: Makron Books, 1999
MAGALHES, MARCOS NASCIMENTO & LIMA, ANTONIO CARLOS PEDROSO. Noções de probabilidade e estatística. EDUSP.2002.
Aula 6 - Estatística Aplicada	Profª Patrícia Alves		pg.1