tecnicas mentais de calculo veloz

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TÉCNICAS MENTAIS DE
CÁLCULO
VELOZ
Autor: Armando Elle
ÍNDICE
Introdução
Advertência
Capítulo 1. Multiplicar um número por 11.
Capítulo 2. O quadrado dos números terminados em 5.
Capítulo 3. Multiplicação entre números com as mesmas dezenas e unidades
que somadas são iguais a dez.
Capítulo 4. Somas .
Capítulo 5. Subtrações.
Capítulo 6. Quadrado de números de dois dígitos.
Capítulo 7. Multiplicação de números de dois dígitos.
Capítulo 8. Soma de duas frações.
Capitulo 9. Mais multiplicações “Vertically and Crosswise”
Capitulo 10. Un pequeno jogo de “Matemagia”.
Nota do Autor.
INTRODUÇÃO
Para explicar de que se trata este manual, mostraremos um pequeno exemplo:
Calcule mentalmente o quadrado de 65. É difícil, não é?
Para facilitar um pouco mais, tente da seguinte maneira: multiplique o
número que indica a dezena por si mesma mais 1. No resultado, ponha no
final o número 25 (que é o quadrado de 5). Desta forma:
Primeiro passo: 6 x (6+1) = 6 x 7 = 42
Segundo passo: Ponha no final 25
Resultado: 4225. Quatro mil duzentos e vinte e cinco.
Como se vê, para resolver mentalmente e de maneira rápida um cálculo
complicado como o quadrado de 65, a única operação que você teve de fazer
foi 6x7, que o resultado você com certeza conhece desde os primeiros anos
de escola.
Com o mesmo procedimento você pode calcular o quadrado de qualquer
número de dois dígitos que termine em 5, quem sabe em dois segundos e
meio. Com uma pequena variação que lhe ensinarei, você poderá fazer o
mesmo com números que terminem em múltiplos de 3.”
Então, este manual fala de técnicas deste tipo, e explica também a
importância que se tem em conhecê-las e utilizá-las.
O cálculo mental é uma entre as tantas capacidades que por vários motivos,
estudantes e adultos do século XXI estão perdendo. Muitos poderão dizer que
as calculadoras e as folhas de cálculo são muito mais poderosas do que nosso
cérebro, fazendo assim com que a capacidade de calcular mentalmente, seja
praticamente inútil. Isto não é verdade!
Na verdade, o cálculo mental é um exercício por si só, e sua utilidade vai
muito além do que a capacidade de atingir um resultado.
Se por uma parte, o desenvolvimento da habilidade matemática é reconhecido
mundialmente como um dos indicadores de rendimento nas escolas, por outra
parte, os estudantes enfrentam grandes dificuldades para aprender e para
amar a matemática.
O cálculo mental veloz é emocionante, rápido e muito elegante.
Quem faz seu uso, estimula-se tanto intelectual quanto emocionalmente em
vários níveis, recebendo benefícios em várias áreas:
A área de estratégia: Como veremos, calcular rapidamente significa
sobretudo poder aplicar estratégias de cálculo diferentes das convencionais.
As estratégias convencionais são aquelas as quais eu chamo de “a força
bruta”: lápiz e papel, mais algumas regras de base aplicadas a algumas
situações. Aqui não se encontra nenhuma estratégia, e por consequência,
estabelecem-se os primeiros contatos dos estudantes com a matemática como
uma maneira mecânica de pensar. Hábitos que geralmente são carregados por
toda a vida escolar, e que impedirão o estudante de chegar com facilidade à
resolução de problemas matemáticos complexos.
Por outro lado, as técnicas de cálculo rápido ajudam a introduzir desde a
primeira vez, o conceito de estratégia. Quem as utiliza, deve aprender a
reconhecer os diversos caminhos que podem ser seguidos, a selecionar e a
combinar as técnicas de resolução entre si; e assim será capaz de chegar a
resultados da maneira mais rápida possível. Portanto, quem calcula
rapidamente de maneira mental, aprende desde o início a aproximar-se da
matemática com uma análise da situação para estabelecer “o plano de ação”,
ou seja, quais técnicas aplicar em função dos cálculos que são pedidos e dos
padrões numéricos que se reconhece.
A área da agilidade mental: O exercício mental do cálculo faz com que o
cérebro se agilize, desenvolvendo também outras funções, entre as quais está
memória. Quando uma operação matemática difícil é realizada mentalmente,
o segredo é decompô-la na maior quantidade de operações simples,
encontrando resultados intermediários que depois devem ser reunidos. Num
processo deste tipo, é crucial poder recordar exatamente e em ordem
adequada as partes nas quais se tenha subdividido o cálculo, para poder
depois pôr todas juntas e obter o resultado correto. O cérebro deve mover-se
entre os números, evitando erros e encontrando entre eles os resultados.
A área da criatividade: A descomposição de um cálculo complexo na soma
de cálculos simples, exige um grande esforço criativo. Duas pessoas
diferentes podem chegar ao mesmo resultado com a mesma velocidade,
tomando caminhos muito diferentes entre si. Além de que, em cada operação
são encontrados caminhos escondidos que nem sempre são evidentes e que
exigem um esforço imaginativo para identificá-los e aproveitá-los. Para dar
ênfase a este conceito, falarei de uma famosa anedota de Carl Friedrich
Gauss, o grande matemático e físico alemão. Aos 8 anos, como castigo a
professora lhe pede para somar todos os números de 1 ao 100 entre si. Gauss,
ao invés de somar, como qualquer um de seus colegas, 1+2+3….. até 100,
suspeitou que os números de 1 a 100 podem ser divididos em 50 pares, e que
a soma de dois números de cada copia é 101 (100+1, 99+2, 98+3….). Assim,
em poucos segundos multiplica-se 101x50 e encontra-se o resultado: 5050.
Fico encantado com esta história já que esta explica a diferença que existe
entre a criatividade em encontrar uma solução de cálculo veloz e a de somar
de maneira cansativa 100 números um após o outro. A capacidade de
procurar e encontrar este tipo de solução possui uma utilidade muito além do
fato encontrar um resultado “matemático”, pois estimula a mente de maneira
extraordinária diante dos problemas na vida.
A área da curiosidade: O fato de que os métodos de cálculo mental veloz
não sejam convencionais, os fazem extremamente interessantes. Através de
sua aplicação, são descobertas algumas das propriedades estranhas e
singulares dos números, como também podem ser intuídas a infinidade de
situações que podem derivar da combinação de 10 símbolos primários, ou
seja os números de 0 a 9. Ao mesmo tempo que parece ser difícil imaginar o
poder de entusiasmasse pelos métodos aritméticos tradicionais, é instintivo
que uma solução como a de Gauss, vista anteriormente, possa facilmente
captar nossa atenção, curiosidade, interesse e admiração (Mesmo para quem
odeia matemática!).
A área da confiança em si mesmo: Muitos são resignados desde pequenos a
dizer que são aptos para a matemática. Isto em geral não é verdade. A
verdade é que a maior parte das pessoas têm um rendimento nas matérias
com cálculos muito abaixo do que deveriam levando em conta seus
coeficientes intelectuais. O problema é que muitos, simplesmente, intimidam-
se frente aos cálculos e “decidem” que não é algo de sua competência. As
técnicas de cálculo mental veloz podem fazer muito em situações deste tipo,
restituindo a autoconfiança param muitos que já haviam decidido renunciar.
O cálculo mental é tradicionalmente difícil, mais ainda sim, é possível fazer
multiplicações mentais entre números de 5 dígitos. Acredite em mim, pois
isto tem resultados incríveis na autoestima. Além do mais, com estas
ferramentas, é possível em menos de 10 segundos calcular o quadrado de
números com três dígitos como 825. Em menos de 5 segundos, o quadrado de
qualquer número com duas dígitos. E o mesmo para as somas, subtrações,
divisões, multiplicações com nível de dificuldade ao menos intermediários.
Poder calcular mentalmente em menos de 5 segundos o quadrado de números
como 46, 71 o 38…, pode lhe dar uma grande confiança ao entender e
dominar a matemática, ou qualquer outra matéria. E pode fazer um grande
bem para a sua autoestima.
Ha dois anos atráso filho mais velho de um amigo meu iniciou o ensino
médio, ele enfrentou grandes dificuldades na escola. Meu amigo me pediu
para falar com o filho dele, e me dei conta que diante de mim havia um
garoto acima de tudo inseguro, que se convencia pouco a pouco de que ele
era um menino “estúpido”. O rapaz na realidade não era em nada tonto,
simplesmente muito imaturo emocionalmente para andar de maneira segura
no novo ambiente do ensino médio. Ensinei a ele algumas técnicas de cálculo
veloz, e o convidei a fazer um pouco de exercícios. Após uma semana, ele
estava tão impressionado com o que seu cérebro podia fazer com os números,
que toda sua atitude diante aos estudos mudou. Ele tinha entendido rápido
que sua mente podia fazer coisas importantes, e portanto havia superado o
bloqueio que tinha nas matérias da escola. Após dois meses encontrava-se
entre os primeiros de sua sala.
Por todos estes motivos, o fato de que a escola também não ensine as
estratégias de cálculo rápido e limite-se a dar aos estudantes apenas os
instrumentos da “força bruta”, continua a me deixar perplexo.
Este manual faz parte de um projeto mais complexo. Desde muito antes tenho
me apaixonado pelas coisas incríveis que nosso cérebro pode fazer; muitas
capacidades, como as de mnemotecnia e cálculo, são subestimadas. Qualquer
um com um ensino correto e um pouco de estudo pode desenvolver as
habilidades “extraordinárias” que na realidade estão ao alcance de todos.
Como já disse, o desenvolvimento destas capacidades poder ter um efeito
muito positivo sobre a forma com a qual enfrentamos qualquer tipo de
problema.
Este manual lhe apresenta a potencialidade do cálculo que a sua mente
humana tem, mostrando-lhe algumas simples técnicas mas eficazes, que de
qualquer forma necessitam de um pouco de esforço de sua parte para serem
dominadas. E que lhe permitiram realizar de maneira veloz operações que
pessoas normalmente não podem fazer a menos que utilizem uma
calculadora.
Não tenho a pretensão de mostra-lhe tudo relativo ao cálculo mental, já que é
imenso; por exemplo deixei fora toda a parte relativa às divisões porque do
meu ponto de vista é a menos interessante já que não há grandes variações da
técnica tradicional. Em um futuro, talvez sim haja a necessidade, espero
poder escrever um manual que adentre-se no cálculo mental mais complexo,
aquele com as multiplicações recíprocas de números com mais de 4 dígitos.
Agora para mim o importante é propôr-lhe as bases conceituais do cálculo
rápido, e quem sabe dar a alguns de meus leitores a motivação para poder
aprofundar no argumento caso o enredo lhes interesse. Considero que este
tema é capaz de atrair não só os apaixonados, mas também os curiosos.
Espero que estes últimos se interessem em adentrar neste mundo tão
fascinante!
Por enquanto, desejo a você uma boa leitura!
ADVERTÊNCIA
Durante a primeira leitura deste livro, você está autorizado (se desejar) a
utilizar lápis e papel para verificar a eficiência de seus cálculos. Mas, no
entanto, tendo eu organizado neste manual os temas dos mais fáceis aos mais
difíceis, sugiro-lhe tentar, desde a primeira vez, fazer os cálculos apenas em
sua mente. Desta forma, após os primeiros exercícios você poderá notar uma
grande melhora em sua capacidade de cálculo.
Exercitar-se será parte fundamental para poder obter resultados, porém uma
vez que você tenha adquirido as técnicas, lhe bastará apenas uns 15 minutos
por dia para manter em forma seus neurônios para cálculo! 
CAPÍTULO 1. MULTIPLICAR UM NÚMERO
POR 11.
Este primeiro método simples já lhe dará uma ideia de quanto, mudando a
observação e substituindo a “força bruta” pela estratégia, pode ser fácil,
interessante e divertido o cálculo mental.
Para multiplicar qualquer número de dois dígitos por 11, há diversos
métodos:
1. Utilizar a força bruta, pondo um número sobre o outro, e com lápis e papel
realizar a multiplicação como tenha-se aprendido na escola.
2. Um método muito eficaz é multiplicar o número por 10 e depois somar o
número original uma vez mais. 
Exemplo:
34 x 11 = (34x10) + 34 = 340 + 34 = 374
Note como já neste método, em sua simplicidade, pressupõe-se um trabalho
de criatividade e agilidade mental muito mais interessante que o método 1.
Agora, você deve reconhecer o padrão “multiplicar um número de dois
dígitos por 11”: Decompor a operação em duas operações mais simples, e que
dão logicamente o mesmo resultado ao uni-las. No final, também lhe dá a
possibilidade de realizar pequenas variações no método. Se tivéssemos, por
exemplo, que multiplicar 34x12, o que você faria? Uma resposta poderia ser:
34x12 = (34x10) + (34x2) = 340 + 68 = 408
E se tivéssemos que multiplicar 34 x 21? Ainda sim neste caso, uma variação
do método pode lhe levar facilmente a:
34 x 21= (34x20) + 34 = 680 + 34 = 714
Ou também a simples operações:
34 x 21 = (34x10) + (34x11) = 340+ 374= 714
Nestes exemplos, você já pode achar o segredo do cálculo rápido de números
ainda maiores: decompor, simplificar e a ao final voltar a juntar tudo.
Para a multiplicação de números por 11, quero lhe propôr um terceiro método
que é meu preferido já que é o mais inteligente e curioso entre os que
comheço.
Pegue o número que queira multiplicar, ponha o dígito da esquerda na
extrema esquerda do resultado, o dígito da direita na direita, e depois ponha
no meio a soma dos dois números.
23 x 11 = 253
Como você pode ver, o 2 (parte esquerda) do número original vai para a
esquerda do resultado, o 3 (parte direita) é colocado no extremo da direita; e
ao centro colocamos um 5 (3+2) .
Este método sempre funciona, agora tire a prova com:
27 x11
34 x 11
90 x 11
43 x 11
59 x 11
Você terá notado que quando a soma dos dois dígitos que compõem o
número que você quer multiplicar é maior ou igual a 10, há uma pequena
complicação; portanto neste caso, você deve pegar sempre a soma dos dois
dígitos do número original e pôr no meio o dígito que corresponde às
unidades da soma, e no final adicionar 1 ao número da esquerda. Por
exemplo:
78 x 11 = 858
Como se pode ver, 7+8= 15, portanto neste caso o 5 fica no meio do resultado
e o 7 do resultado se transforma em 8.
Agora tire a prova com:
66 x 11
74 x 11
87 x 11
65 x 11
39 x 11
Para que você se dê conta do quanto é rápido este método, imagine que
alguém lhe peça para multiplicar um número qualquer de dois dígitos por 11;
o número 86, por exemplo, fazendo-se a simples operação 8+6 = 14, pode-se
dizer os dígitos do resultado um após o outro (você já sabe que o 8 se
transforma em 9, no meio está o 4 e o 6 se mantém igual).
Com esta base, você pode depois construir outros cálculos, como os vimos
anteriormente, por exemplo a multiplicação por 12 (multiplico por 11 e
adiciono ao resultado no número inicial) ou por 22 (multiplico por 11 e ao
resultado x 2)
Para que a coisa seja ainda mais interessante, quero lhe mostrar como o
sistema funciona com números com mais de 2 dígitos, adicionando uma
pequena variação. Vejamos o exemplo:
425x11 = 4675
Você entendeu como funciona? Como no método anterior, para obter-se o
resultado põe-se à esquerda o número original da esquerda, e à direita o
número original do lado direito; Mas agora o segundo número será formado
pela soma dos primeiros dois (4+2 = 6), enquanto que o terceiro pela soma
dos últimos dois dígitos (2+5 =7)
Agora tire a prova com:
326 x 11
514 x 11
431 x 11
632 x 11
726 x 11
Também neste caso, quando a soma dos dois números internos é maior ou
igual a 10, você deve realizar a mesma variação vista anteriormente para
números de dois dígitos. Preste atenção ao exemplo:
475x 11
As duas somas são maiores ou iguais a 10, e por consequência faço da
seguinte maneira:
Ao final ponho o 5.
O terceiro número é 2 (7+5=12), e levo um 1 para o segundo número.
O segundo número é 2 (7+4+1=12), e levo 1 ao primeiro número
E aoinício ou esquerda ponho o 5 (4+1=5) .
Portanto temos 475x11 = 5225
É muito menos complicado do que parece se você considerar que o número
máximo que você deve somar é sempre 1 ! Isto acontece porque a soma de
dois números de um dígito não pode ser nunca maior que 18.
Tire a prova com:
385 x 11
467 x 11
673 x 11
849 x 11
763 x 11
CAPÍTULO 2. O QUADRADO DOS NÚMEROS
QUE TERMINAM COM 5.
O método para resolver este tipo de cálculos é um dos meus preferidos,
porque está entre aqueles que “descobri”, ou seja, achado por mim mesmo
quando eu estudava no ensino médio e passava o tempo a brincar com os
números. Obviamente o método já existia, só que eu não sabia que alguém já
o tinha inventado. Por isto quis colocá-lo no início do livro.
Agora falemos do método, e vejamos como pode ser calculado o quadrado de
um número de dois dígitos que termina com o número 5, como exemplo
elevemos 85 ao quadrado. Calculá-lo com a mente utilizando o método da
força bruta aprendido na escola é possível, porém bastante difícil. Para fazê-
lo apenas de cabeça, há uma maneira muito mais fácil e que dá resultados
excelentes. Quando calcular o quadrado de um número de dois dígitos que
termine em 5, faça o seguinte:
Calcule a primeira parte do resultado multiplicando o dígito das dezenas por
si mesmas + 1. Em nosso exemplo, temos:
85 ^ 2 = 8 (dígito das dezenas) x 9 (si mesmo +1) = 72
Para a segunda parte do resultado, você deve sempre pôr 25 (o quadrado de
5).
Portanto, 85 ^ 2 = 7225
Agora tire a prova ao calcular o quadrado de 65:
6 x 7 = 42
5 x 5 = 25
65 ^ 2 = 4225
Mais uma vez, a velocidade com a qual você pode terminar este tipo de
cálculo é impressionante. Imagine que alguém lhe pergunte qual é o quadrado
de 55: em segundos você poderá responder 3025, porque na realidade você
realiza uma única operação 5x6= 30
Como exercício, calcule o quadrado de todos os números com dois dígitos
que terminem em 5, do 15 ao 95.
Neste caso, como no exercício do capítulo anterior, existem algumas
variações, das mais simples às mais complicadas. Se por exemplo você tem
de multiplicar dois números com dois dígitos, dos quais um termine com 5, e
o número que corresponde às dezenas é igual, você poderá iniciar a partir do
quadrado desse número e depois corrigir o resultado calculando o erro que foi
cometido em sua aproximação.
Por exemplo:
45 x 47 , você pode dividi-lo da seguinte maneira:
(45x45) + (45x2) = 2025 + 90 = 2115
Porém você também poderia ter calculado colocando 47 ao quadrado e
subtraindo 47 x 2
(47^ 2) - (47x2) = 2209 – 94 = 2115
Aqui o complicado é calcular 47 ao quadrado, mas no capítulo seguinte lhe
ensinarei como fazê-lo rapidamente. A orientação que quero lhe dar, é que
finalmente qualquer número inteiro esta formado de uma combinação de
apenas 10 símbolos, e portanto as possibilidades de dividir ou juntar em
partes mais simples para chegar através de vários caminhos ao mesmo
resultado são realmente muitas...
Imagine calcular 45 x 44
Neste caso, deveria ser já evidente qual é a estratégia mais rápida para
calcular o resultado:
Primeiro passo: 45^ 2 = 2025
Segundo passo: subtrair 45
Resultado: 1980
Por amor ao cálculo, outra estratégia possível de simplificação poderia ser a
de multiplicar 44 x 40 (trata-se de uma multiplicação simples, porque é como
multiplicar por 4 e acrescentar um zero). Ao resultado, deve-se adicionar
(44x10)/2 = 220
Por lo cual 45 x 40 = (44x40) + (44x10 /2) = 1760 + 220 = 1980
Este procedimento é neste caso mais longo que o anterior, porém é
interessante considerá-lo e sempre exercitar-se, porque lhe oferece estratégias
importantes de cálculo rápido:
- A primeira é que quando aproximo um número da dezena precedente ou
sucessiva, as operações que devo realizar são mais simples graças à presença
do zero.
- A segunda, é que multiplicar por 10 e dividir por 2, são as maneiras mais
simples para multiplicar um número por 5. Por exemplo se tenho de
multiplicar um número por 50, me convém em geral multiplicá-lo por 100 e
depois dividi-lo por dois. E se o número deve ser multiplicado por 25? Posso
multiplicá-lo por 100 e depois dividi-lo por 2 duas vezes.
Exemplo: 42 x 25 = 42 *100 = 4200 / 2 = 2100 / 2 = 1050
Continuando agora com os quadrados dos números que terminam em 5,
vamos a um nível superior. De fato, o mesmo mecanismo do quadrado de
números de dois dígitos que terminam em 5, também aplica-se aos números
com três dígitos que terminem em 5, por exemplo:
365 x 365
Neste caso, a primeira parte é o resultado de 36x37, ou seja, a primeira parte
do número multiplicada por si mesma mais 1; e a segunda parte é de novo 25.
A parte difícil é multiplicar 36 x 37, ainda sim, como veremos no capítulo
seguinte, não é tão difícil.
Assim 365 x 365 =
Primeiro passo: 36 x 37 = 1332
Segundo passo: 5 x 5 = 25
Resultado: 133225
CAPÍTULO 3. MULTIPLICAÇÃO ENTRE
NÚMEROS COM AS MESMAS DEZENAS E
UNIDADES QUE A SOMA É DEZ.
Neste caso, temos números com características particulares, como por
exemplo:
67 x 63 =
Como pode-se ver, o dígito que corresponde às dezenas é o mesmo em ambos
os números (ex. 6), e se você somar os dois dígitos relativos às unidades lhe
dá como resultado 10.
Aqui, você deve multiplicar como no método anterior, o número das dezenas
por si mesmo + 1, e as unidades entre elas. Então, o resultado de nosso
exemplo é:
6 x 7 = 42
7 x 3 = 21
Resultado: 4221
Não é lindo?
Calcular o resultado final de quatro dígitos reduziu-se a utilizar duas vezes a
tabuada de 7.
Quando ensino esta técnica, a grande objeção que todos têm é que muitas
operações não entram nestes casos típicos. Isto é verdade, porém depois de
tudo, os dígitos são apenas 10 e vão de 0 a 9. Assim, combinando estes casos
típicos entre si fazendo variações convenientes, quase qualquer operação
pode ser realizada. O mais importante é saber reconhecer o padrão que lhe é
apresentado, e escolher o método adequado para adaptá-lo à situação.
Se por exemplo você tem de calcular
67x 74
Você poderia calculá-lo da seguinte maneira:
Note que a soma das unidades de ambos os dígitos é 11 (7+4), e a diferença
entre as dezenas é de 1 (7 - 6)
Depois, aplique a regra deste capítulo, multiplique 67x63; o cálculo é muito
fácil e nos dá como resultado 4221.
Continue utilizando o método visto anteriormente e calcule 67x11 (pois como
vimos a diferença entre 74 e 63 é 11!) = 737
E finalmente, você deve fazer uma simples soma 4221 + 737 = 4958
Parece muito difícil mas em realidade não é, o que fiz foi simplesmente
reconhecer a possibilidade de decompor uma operação complexa na soma de
padrões de operações muito mais simples. Depois realizei as operações, tendo
sempre em minha memória de curto prazo os dois resultados intermediários.
E ao final juntei todos para obter o resultado final. Isto me permitiu fazer esta
operação ao redor de 7 segundos, que é o tempo que uma pessoa leva para
fazê-la numa calculadora.
Mas, se tivesse realizado a operação a uma velocidade máxima, talvez teria
me dirigido para algo mais simples, utilizando uma das estratégias típicas da
multiplicação de números de 2 dígitos x 2 dígitos, estratégias que veremos no
capítulo seguinte.
Agora, estou convencido que qualquer pessoa, exercitando-se um pouco,
pode chegar a fazer operações deste tipo em 5 segundos, e já vi a
demostração disto várias vezes. Para obter resultados deste tipo, basta
exercitar-se uns 15 minutos por dia. O cérebro é o órgão mais importante que
temos, e o desenvolvimento deste depende de treino e ótimo uso de todas as
áreas intelectuais e emotivas.
Por este motivo, lhe digo, francamente, que não dedicar-se ao exercício
cerebral por no mínimo 15 minutos ao dia, é insensato; além do mais você
não tem a necessidade de ir a um ginásio, fazer seus 15 minutos de exercício
quase que a qualquer momento e em qualquer lugar, com a única condição deque possa estar concentrado e com foco durante todo o tempo que leve o
exercício.
CAPÍTULO 4. SOMAS
Com as somas, bem como todos os demais, novamente o segredo do sucesso
é separar em partes e simplificá-las. Se por exemplo, você tem de calcular:
32 + 74
Será mais fácil vê-lo como 32 + 70 + 4
Na realidade, muitos não têm a necessidade de fazer este tipo de separação
para números de dois dígitos, porque são capazes de somá-los sem separá-los.
Sem você é uma dessas pessoas, lhe parabenizo porque isto quer dizer que
você tem uma predisposição para o cálculo, e poderá obter resultados mais
altos do que a média. Mas a história muda se aumentam-se os dígitos. Neste
momento, a maior parte das pessoas encontra problemas, e dividir os
números torna-se uma ferramenta muito potente. Faça como exemplo:
346 + 578
Neste caso, para que possa somar os dois números, tem de poder trabalhar
simultaneamente com todos os 6 dígitos que os compõem, e é fácil
equivocar-se. Tente dividi-los assim:
578 + 300 + 46
Tudo fica mais fácil, porque instantaneamente a operação transforma-se em
878 + 46. Você eliminou a complicação da soma de centenas e foi diminuído
com esforço zero um dígito do segundo número; Agora a soma é muito mais
fácil.
Você já terá notado que inverti os números entre si, ou seja não fiz 346 + 500
+ 78, respeitando a ordem na qual me foram passados os dados; e que fiz ao
contrário. Isto porque minha mente selecionou instintivamente a inversão dos
dois números como um padrão mais simples. Esta seleção instintiva não
posso lhe explicar, pois é outro dos resultados de exercitar-se e de prática,
tendo também uma parte “subjetiva”. E que pode variar de indivíduo para
indivíduo: alguns por exemplo, poderiam achar mais fácil decompor a
operação anterior em 346+ 500 + 78
Você também terá notado que não dividi integralmente o segundo número, eu
poderia ter feito 578 + 300 + 40 + 6. Isto teria feito “tudo” ainda mais
simples, porém eu teria perdido uma fração de segundo em velocidade para
fazer mais uma outra divisão de 46 em 40 + 6.
Quando um número é dividido, depende totalmente de você em quantas
partes você quer fazê-lo. Provavelmente de início deverá dividir quase todos
os números de maneira constante, e com o tempo terá ainda menos
necessidade de fazê-lo.
Agora exercite-se com outras somas de números de 3 dígitos:
223 + 361
373 + 431
321 + 146
649 + 373
698 + 747
No último caso, que pus a propósito, sua mente tem de reconhecer
imediatamente uma armadilha: 698 fica muito perto de 700, assim pode-se
resolver a operação fazendo 747 + 700 – 2. Esta etapa, faz com que a soma
seja muito mais fácil e nos leva a uma técnica também já vista, a
aproximação dos números dos múltiplos de 10 mais próximos. Isto porque
nosso cérebro trabalha muito melhor com zero, dez, cem e seus múltiplos. E
portanto, em várias ocasiões, convém seguir as operações aproximando
destes tipos de números, para depois ajustar o resultado utilizando a distância
do número original daquele com o qual tenha-se aproximado.
Se por exemplo deseje calcular 26 x 97, é lógico fazer o seguinte raciocínio:
26 x 100 - (26 x 3) = 2600 – 78 = 2522
Ou talvez imagine ter de calcular 26 x 89. Neste caso você pode utilizar
aproximações e subtrair utilizando a regra vista anteriormente. Desta forma:
26 x 100 – 26 x 11 = 2600- 286= 2314
Porém poderia também, e é o caminho que eu escolheria, multiplicar 26 x 90
e subtrair 26 do resultado:
26 x 90 – 26 = 2314
Depois de tudo, multiplicar 26 x 90 é como multiplicar 26 x 9 se o zero é
utilizado de maneira correta.
No cálculo mental veloz ( não cansarei de repetir!), seu cérebro, com a
prática deve aprender a reconhecer, selecionar, e utilizar estes padrões que
estão por todos os lados. Da maneira certa pois, como falei, qualquer número
é composto apenas por alguns dos 10 tijolos básicos, os dígitos de 0 a 9.
CAPITULO 5. SUBTRAÇÕES
Para poder realizar as subtrações, use o mesmo método da decomposição
utilizado na soma, mas, obviamente, subtraindo ao invés de somar. Por
motivos desconhecidos, nosso cérebro é feito de maneira tal que para a maior
parte das pessoas dar mais trabalho subtrair do que somar. Assim, a subtração
requer em geral um maior esforço para ser realizada com facilidade.
Se por exemplo tenho de fazer a seguinte conta:
94 – 37
Transformo-a em 94- 30- 7.
Neste caso, sendo o 4 menor que 7, tem-se a maior complicação da subtração:
deve-se “pedir emprestado” às dezenas (como neste caso, porém é válido
também, obviamente, com números maiores como centenas ou milhares...).
Para fugir desta dificuldade, uma estratégia possível é quando o segundo
número tem um dígito maior que o primeiro, é aproximar este número da
dezena sucessiva, subtraindo-o do primeiro, e somando ao resultado o
número que me serviu para realizar a aproximação. Para ser mais claro,
vamos ver o exemplo:
Aproximo 37 da dezena superior, ou seja 40, assim adiciono 3.
Subtraio 40 de 94, e obtenho 54.
Somo a 54 os 3 que tinha utilizado para aproximar o número 37.
Chego ao resultado que é 57.
Ao analisar, utilizei a seguinte estratégia: transformar uma subtração difícil
em simples, mais uma soma.
Agora, vamos complicar um pouco mais. Vamos realizar subtrações com
números de 3 dígitos, como por exemplo:
716- 342
Neste caso, sendo os dois dígitos do primeiro número (16) menores que os do
segundo (42), realizar o método da decomposição poderia ser difícil porque
você teria de pedir “emprestado” para as centenas:
Neste caso, você pode aplicar outra estratégia similar à vista para os números
de dois dígitos: subtrair 400, e adicionar a diferença entre 342 e 400. Ficando
assim:
716 – 400 + 58 = 374
Uma terceira estratégia que você pode utilizar quando as dezenas e unidades
do segundo número são maiores que o primeiro, é aproximar os dois da
centena inferior (em nosso exemplo: 700 e 300). A esse resultado (400), você
tem de tirar a diferença entre o maior e o menor (42 - 16= 26) e obter assim
uma terceira maneira de chegar ao resultado (374)
Agora exercite-se com os números:
574 – 387
897 – 321
232 – 196
876 – 789
359 – 287
CAPÍTULO 6. QUADRADO DE NÚMEROS DE
DOIS DÍGITOS
O método para poder obter o quadrado de um número de dois dígitos está
também entre os meus métodos favoritos. Baseia-se em primeiro lugar na
aproximação já que substituo o número do qual devo obter o quadrado com
dois números mais simples de calcular; e depois calculo o fator de correção
utilizando o quadrado de um dos números de um dígito.
É uma evolução inteligente de um método que ensinam na escola. Na escola,
de fato, ensinam uma regra para calcular (A+B)^2 que funciona assim:
(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2
Como exemplo, apliquemos esta regra ao cálculo do quadrado de um número
qualquer, depois vemos evolução inteligente deste para que o cálculo seja
ainda mais fácil.
Imaginemos calcular o quadrado de 73.
Com este método, decompomos de 73 para 70 + 3 (A+B)
73^2 = (70+3)^2 = 70*2 + (2x70x3) + 3^2 = 4900 + 420 + 9 = 5329
Agora melhoremos a regra original da seguinte maneira:
A^2 + 2AB + B^2 = A x (A+2B) + B^2
Feito! Agora, para simplificar as coisas, esqueçamos A e B, e vejamos na
prática a aplicação da fórmula a qual chegamos. Imaginemos calcular o
quadrado de 63. Para fazê-lo, aproximo 63 do número com o décimo mais
próximo, neste caso o 60. Para poder chegar a esse resultado subtraí 3, por
outro lado devo acrescentar 3, e portanto a operação torna-se 60 x 66. Para
depois chegar ao resultado correto, devo acrescentar o quadrado do número
que utilizei para aproximar, 3^2. Resumindo:
63 x 63 = 60 x 66 + 3^2 = 3960 + 9 = 3969
Com este sistema, estarei sempre resolvendo multiplicações similares às de
um número de dois dígitos por um número de um dígito, para depois
acrescentar um zero ao resultado (66 x 60 é como 66 x 6 acrescentarum zero
ao final) e somar o quadrado de um número que vai do 1 ao 9.
Se olhar com atenção, será fácil achar nesta modalidade de cálculo, a
evolução antes vista de (A+B)^2. De fato, o que fizemos foi transformar o
63^2 em (60+3)^2. Testemos novamente:
54 x 54
Por estar mais próximo do 50 que do 60, aproximo para menos, assim fico
com 50. O 54 se transforma em 58 (acrescento 4 que tirei do outro lado) e
temos:
50x58 +4^2= 2900 + 16 = 2916
O mesmo esquema pode ser utilizado ao aproximar para mais. A única
diferença é que ao arrendondar para menos, o dígito das dezenas corresponde
a “A” do binômio, quando faço para mais, o dígito das dezenas corresponde a
(A+2B). Isto não muda em absolutamente nada desde o ponto de vista do
cálculo, mais se você tem curiosidade a respeito de como muda o binômio lhe
convido a ver o exemplo seguinte: calcular o quadrado de 66.
Primeiro passo: arrendondar para mais, o 66 é convertido para 70 (A+2B)
Segundo passo: calcular o número pequeno tirando 4 de 66 = 62
Terceiro passo: multiplicar 62x70= 4340
Quarto passo: calcular o quadrado de 4= 16
Quinto passo: Resultado- 4340+ 16 = 4356
Para uma maior clareza, fazemos juntos também o esquema para menos.
Neste caso, teríamos:
60 x 72 + 6^2 = 4320 + 36 = 4356
Agora exercite-se calculando:
42 ^2
58 ^2
37^2
82^2
46^2
CAPÍTULO 7. MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS
COM DOIS DÍGITOS.
Agora, você já entendeu o segredo da velocidade de cálculo está em separar
números grandes em dígitos menores. E não uma separação aleatória, mas
segundo uma lógica que lhe permite efetuar operações sucessivas de modo
mais simples e rápido possível.
Por exemplo, para multiplicar números de dois dígitos entre si, uso conforme
a situação três métodos principais.
PRIMEIRO
Separar a operação numa soma de operações. Dou-lhe um exemplo:
73 x 57
Neste caso, você pode fazer 73x50 + 73 x 7. Ainda sim 50 tem dois dígitos,
como um deles é zero, na realidade não tenho de realizar uma multiplicação
com 2x2 dígitos, mas duas operações de 2x1 e somá-las.
Assim eu teria:
73 x 57 = 73 x 50 + 73 x 7 = 3650 + 501 =4151
Agora tire a prova com:
74 x 34
53 x 37
24x 69
SEGUNDA.
Arrendondar e subtrair. E se utiliza em operações como a vista anteriormente:
24 x 69.
Neste caso, sendo 69 mais próximo de 70, multiplico 24 x 70 e depois
subtraio 24 do resultado.
24 x 69 = 24x70 – 24 = 1656
Este tipo de estratégia, uso normalmente com números que terminem em 8 ou
9. Se o exemplo tivesse sido 24 x 68, teria feito:
24 x 68= 24 x 70- 24 x 2 = 1632
E se ao invés disto fosse 25x69? Neste caso teria talvez aplicado outra
estratégia diferente, por exemplo:
69x 100 / 4 = 6900 / 4 = 1725
Se agora subtraio 69 de 1725, acho 1656 que é o resultado de 69 x 24 : )
TERCEIRA
Decompor um número em fatores de apenas um dígito (pelo menos um
deles). Por exemplo:
36 x 72
Poderia ser resolvido como 72 x 6 x 6
Esta terceira técnica é a mais veloz, porém também, como já dever ter se
dado conta, a mais difícil pois terá que trabalhar com multiplicações de 3 x 1
dígito como no exemplo:
36 x 72 = 72 x 6 x 6 = 432 x 6
Logo veremos uma técnica muita boa que lhe ensinará a lidar com estas
operações de maneira fácil. 
Agora para exercitar-se, tire a prova calculando e utilizando o 3 métodos:
73 x 61
14 x 27
48 x 16
55 x 11
89 x 37
CAPÍTULO 8. SOMA DE DUAS FRAÇÕES
Agora vejamos a soma de duas frações: é tão simples! Tanto que o capítulo
não longo, mas sim interessante.
Para calcular o numerador do resultado: faça a soma das multiplicações do
primeiro numerador pelo segundo denominador e o segundo numerador pelo
primeiro denominador.
Para o denominador do resultado: Realize a multiplicação dos
denominadores.
É muito mais fácil de entender através do exemplo:
3/ 4+ 5/ 7 = (3x7) + (5x4) / (7x4) = 41 / 28
Agora tire a prova calculando:
7/8 + 3/6
5/11 + 3/7
3/5 + 11/12
27/5 + 9/10
13/16 + 3/5
-
CAPÍTULO 9. MAIS MULTIPLICAÇÕES
“VERTICALLY AND CROSSWISE”
Se alguma vez você viu um número de “matemagia”, deve ter ficado
impressionado pela capacidade do artista para multiplicar números bem
grandes entre si, e com certeza você pensou que ele era tipo de gênio.
Efetivamente, para efetuar estes tipos de operações é necessário ser muito
astuto e treinar muito. Eu, que por prazer, faço cálculos desde que eu tinha 6
anos, não cheguei a um nível de velocidade de "matemagia" com números tão
grandes, mas conheço e trabalho bem o método que é aplicado. E com
certeza aprendê-lo, lhe permitirá melhorar muito sua atual capacidade.
Historicamente, este método foi desenvolvido de maneira substancialmente
igual por duas pessoas que nunca se encontraram, e que nunca tinham ouvido
falar do outro: Bharati Thirta Krishna (Índia) e o prisioneiro hebreu Jacow
Trachtenberg.
Bharati Thirta Krishna desenvolveu um sistema de cálculo veloz conhecido
como Matemática Védica: é um sistema que é baseado em uma lista de 16
Sutra (aforismo em sânscrito) e que difundiu-se em meados de 1900. As
estratégias de cálculo da Matemática Védica são extremamente criativas e
podem ser aplicadas em uma grande variedade de situações. Cada Sutra tem
“corolários” que expandem a possibilidade de aplicar o cálculo descrito no
Sutra principal.
Jakow Tratchtenberg, por sua vez, era um prisioneiro hebreu durante a
Segunda Guerra Mundial. Para poder suportar os horrores da prisão, ele criou
sem papel e lápis, simplesmente com a mente, uma série de metodologias de
cálculo realmente brilhantes. Esta metodologia transformou-se depois num
sistema educativo em matemática que teve um certo êxito. Recomendo-lhe,
se você tiver tempo, buscar informações sobre Jakow Tratchtenberg: a
história dele é muito inspiradora.
Os dois, desenvolveram um sistema para multiplicar números de vários
dígitos, que em inglês é lembrado como “Vertically and Crosswise”
(Verticalmente e em Cruz). Mais ou menos todos os "matemágicos" utilizam
esta técnica de cálculo mental para efetuar uma multiplicação longa, porém é
necessário também um longo treinamento para não se cometer erros.
Vejamos agora um exemplo de como isso funciona:
7 8
X
3 6
Então, primeiro você deve calcular as UNIDADES do resultado,
multiplicando verticalmente 6x8 = 48. O 8 é o número das unidades do
resultado, 4 e o que sobra.
Depois calcule as DEZENAS, multiplique em cruz 7x6 y 3x8, somando os
resultados e acrescentando 4 ao que sobre (unidades). Teremos 42 + 24 + 4
=70. O zero “0” é o número que é deixado nas dezenas e levo 7 para as
centenas.
Para calcular as CENTENAS, multiplique verticalmente 7x3 =21 e adicione o
que sobrou das dezenas, ou seja, 7. Ficaria 21 + 7 =28
Resultado: 28 0 8 = 2, 808
Parece difícil, e com certeza você terá a necessidade de muita prática, mas
quando as multiplicações aumentam de dificuldade, este método é o método
por excelência. Provemos isso multiplicando 657 x 348. Fazê-lo mentalmente
com outros métodos de separação é possível, mas difícil. Vejamos agora
como funciona com o método “verticalmente e em cruz”
6 5 7
3 4 8
Unidades: 7 x 8 = 56. Mantenho 6 e levo 5.
Dezenas: (5x8) + (7x4) + 5 (que sobra) = 73. Mantenho 3 e levo 7.
Centenas: (6x8) + (7x3) + (5x4) + 7 = 96. Mantenho 6 e levo 9.
Milhares: (6x4)+(5x3)+9 = 48. Mantenho 8 e levo 4.
Milhares de dezenas: (6x3) + 4 = 22
Portanto: 22 8 6 3 6= 223, 636
O grande benefício desta técnica de cálculo mental é que uma multiplicação
complexa de três dígitos por três, é reduzida ao cálculo de uma série de
multiplicações e adições, com um número limitado de resultados
intermediários. Realizar este tipo de operações mentais de maneira veloz é
difícil, e povoavelmente você deverá primeiro exercitar-se um pouco
escrevendo-as. Mas quer saber? Se você treinar muito, você terá resultados
brilhantes. A dificuldade não está no cálculo, mas em lembrar de resultados
intermediários.Exercite-se com
687 x 429
381 x 893
128 x 766
Para realizar estes exercícios você pode utilizar papel e lápis, caso queira.
CAPÍTULO 10. UM PEQUENO JOGO DE
MATEMAGIA
Para terminar, apresento-lhe um número de “matemagia” que lhe permitirá
estabelecer qualquer dia da semana a partir de 15 de outubro de 1582.
Como primeira coisa, damos a cada dia da semana um número.
0 Sábado
1 Domingo
2 Segunda
3 Terça
4 Quarta
5 Quinta
6 Sexta
O método utiliza a equação simples a seguir onde se você obter décimos ao
realizar as divisões, desconsidere-as:
N + (N-1) / 4 – (N-1) /100 + (N-1)/400 + T; e tudo dividido por 7.
N = ano (dado)
T = número do dia do ano. Por exemplo. 2 de janeiro, T=2, 3 fevereiro, T=34,
4 março, T=63 (ano não bissexto)
O resultado final desta operação é um número de 0 a 6 que identifica o dia da
semana que você busca.
Agora vamos fazer um exemplo, se você quer saber qual o dia da semana foi
14 de fevereiro de 2012.
2012 + (2012-1)/4 – (2012-1)/100 + (2012-1)/400 + 45 = 2012+ 502 – 20 + 5
+ 45 = 2544.
Divido 2544 por 7 e obtenho 363, mantenho o 3 que corresponde a TERÇA.
Uma última nota: para o cálculo de T, lembre dos anos bissextos, nos quais
fevereiro possui 29 dias.
CAPITULO 11. MAIS MATEMÁTICA VÉDICA.
No outro capítulo já falamos da matemática Védica, então decidi incluir
também um exemplo da aplicação que está possui imaginando que alguém
tenha ficado com um pouco de curiosidade.
Trata-se apenas de um fato curioso, já que de um ponto de vista prático este
método de divisão de números por 9 não é muito útil. De qualquer maneira, é
lindo já que nos mostra como os números possuem realmente um pouco de
magia!
Agora...
Para calcular por exemplo 53/9, pegamos o primeiro dígito do numerador: 5,
e já temos o resultado! E o que falta? Some os dois números entre si: 5 + 3 =
8. Aí está o restante. Estranho, não é?
Tire a prova de novo efetuando o cálculo com outro número de dois dígitos,
por exemplo 32/ 9. O resultado é obviamente 3, e o que sobra é 5 (3+2). Uma
pequena complicação do cálculo é tida quando a soma das dois números é
maior que 9; por exemplo 84/9. Neste caso, 8+4= 12, que é maior que 9, e
então faremos o seguinte:
- Adicionar 1 ao primeiro dígito, assim fica 8 + 1 = 9 e obtenho o resultado!
- Somar entre si o 1 e o 2 (lembre que calculamos “12” como a soma de 8
mais 4) e obtemos de resto 3.
E agora vamos provar calculando 73 / 9. Como 7 + 3 = 10 e o 10 é maior que
9, temos de calcular o resultado como 7+1= 8; e o que sobra é 1 + 0 = 1.
Exercite-se com:
88/9
67/9
781/9
456/9
396/9
Como você viu, eu pus também números com 3 dígitos, pois com eles o
método também funciona. É necessário uma pequena variação que deixo para
você descobrir como um pequeno exercício.
NOTA DO AUTOR.
Espero que este manual tenha lhe encantado, mostrando-lhe o quanto pode
ser inteligente e elegante calcular mentalmente!
Também aproveito para compartilhar que eu tenho sido, desde sempre, um
apaixonado pela superação pessoal, “Técnicas de Cálculo Mental Veloz” é o
segundo de três livros que escrevi. Meus outros dois livros falam sobre
técnicas de memorização rápida e sobre técnicas para adquirir força de
vontade de aço. Estudei e apliquei estes métodos durante meus anos de
estudante e como profissional, e asseguro-lhe que me serviram enormemente.
1) “Técnicas de Memória Rápida”. Vai lhe ajudar a desenvolver sua
capacidade de memorização através de técnicas desenvolvidas ao longo dos
séculos por grandes mestres como Cicero, Leibniz e Giordano Bruno.
Poderão ser muito úteis a você em seus estudos, trabalho ou no cotidiano.
Descobriremos juntos as principais técnicas de mnemotecnia, com alguns
exercícios e exemplos. Vou lhe explicar truques para lembrar de 50 números
e lhe direi qual é meu sistema para aprender idiomas. Mas, sobretudo, tentarei
convencer a você do quanto é importante exercitar-se para alcançar os
resultados que deseje.
2) “El Kata de la Voluntad” (em espanhol) Vou lhe contar como adquirir uma
força de vontade de aço. Para emagrecer, deixar de fumar, fazer exercício 
todos os dias ou brincar com seus filhos quando você só tem vontade de
“desligar o seu cérebro”; além de ficar feliz enquanto faz isso. Este livro lhe
ajudar a obter sempre mais das coisas que você deseje, e menos das que você
quer deixar para atrás. 
Ambos estão disponíveis em formato Kindle. Se você se interessa por estes
tipos de livros, tenho certeza que você gostará destes e que lhe serão de
grande utilidade.
Uma última coisa, não guarde estas técnicas só para você, em particular se
tiver filhos, ensine-os alguma técnica deste livro; ele irão se divertir e
adquirir grande confiança em si mesmos.
Vou lhe agradecer muito se você puder deixar um comentário positivo em
Amazon: isto o ajudará em meu trabalho e a outros leitores. Caso tenha
dúvidas, perguntas, sugestões ou críticas você também pode escrever para
meu e-mail armando.elle.books@gmail.com ; ficarei feliz em receber seu e-
mail e respondê-lo.
Muito obrigado,
Armando Elle,
Cidade do México, 24-08-13.
	Introdução
	Advertência
	Capítulo 1. Multiplicar um número por 11.
	Capítulo 2. O quadrado dos números terminados em 5.
	Capítulo 3. Multiplicação entre números com as mesmas dezenas e unidades que somadas são iguais a dez.
	Capítulo 4. Somas
	Capítulo 5. Subtrações
	Capítulo 6. Quadrado de números de dois dígitos
	Capítulo 7. Multiplicação de números de dois dígitos.
	Capítulo 8. Soma de duas frações
	Capitulo 9. Mais multiplicações “Vertically and Crosswise”
	Capitulo 10. Un pequeno jogo de “Matemagia”
	CAPITULO 11. MAIS MATEMÁTICA VÉDICA.
	Nota do Autor.