Livro Texto - unidade II Conteúdos de Matemática para Ensino Fund I

Prévia do material em texto

54
Unidade II
Unidade II
5 UNIDADE TEMÁTICA: NÚMEROS 
Na unidade I deste livro-texto, apresentamos os aspectos gerais relacionados às unidades 
Números e Probabilidade e Estatística. Vimos que a unidade temática Números é destinada ao ensino 
sobre as relações quantitativas, sistema de numeração decimal e operações fundamentais (adição, 
subtração, multiplicação e divisão), enquanto a unidade temática Probabilidade e Estatística envolve o 
desenvolvimento do pensamento probabilístico e o tratamento de informações coletadas por meio de 
uma pesquisa. 
A partir desses aspectos gerais, esta segunda unidade será dedicada às especificidades dos principais 
conceitos e conteúdos abarcados nesses temas matemáticos, principalmente aqueles que são ensinados 
do 1º ao 5º ano do Ensino Fundamental. 
O objetivo é que ao final desta unidade de estudo, a partir de um movimento de revisão, 
aprofundamento e ampliação de conhecimentos, você, futuro(a) pedagogo(a), tenha pleno domínio do 
conhecimento do conteúdo matemático no que se refere ao ensino dos números, da probabilidade e 
da estatística.
Exemplo de aplicação
Para tanto, para darmos início à introdução desse tema matemático, resgate as suas respostas 
pessoais às questões da atividade prática desenvolvida ao final da unidade I. 
 Lembrete
Nos anos iniciais do Ensino Fundamental, como lhe foi ensinado e como 
você aprendeu os números e as operações? 
Probabilidade e estatística faziam parte do currículo escolar no tempo 
de sua escolarização básica? Você se lembra de ter aprendido algum 
conteúdo sobre esses temas?
55
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
Figura 21 – Registro pessoal: resgate de memória sobre o processo de aprendizagem matemática
Disponível em: https://cutt.ly/AF7iQQp. Acesso em: 11 mar. 2022.
Certamente, muitas coisas mudaram do período em que você cursou e concluiu o Ensino Fundamental 
até hoje, porém, algumas podem ter permanecido. Para suscitar reflexões importantes sobre o assunto, 
use as respostas pessoais a essas questões como ponto de partida para compreender o conteúdo 
apresentado a seguir ao longo de toda esta segunda unidade.
5.1 Números
Você já parou para pensar como surgiram os números?
Ao longo de uma história de milhões de anos, para atender suas necessidades práticas e utilitárias, a 
humanidade criou diferentes tipos de registros de comunicação. Entre eles, inventou o uso de símbolos 
para representar situações de contagem, medida e ordenação, possibilitando o desenvolvimento de 
atividades cada vez mais complexas. O abandono da vida nômade proporcionou ao coletivo novos meios 
de sobrevivência, como a agricultura, a criação de animais e a pesca. Sendo assim, ao pastorear rebanhos 
e estocar seus próprios alimentos, o homem se viu na necessidade de controlar e registrar quantidades.
Mas como a humanidade sobreviveu a esse período sem o uso dos números que utilizamos hoje? 
De acordo com Coll e Teberosky (2000), antes de inventar símbolos numéricos convencionais, os 
povos primitivos utilizavam as linhas dos dedos, pedrinhas e entalhes em madeira ou desenhavam 
marquinhas nas paredes para representar quantidades, a partir de uma relação biunívoca. A relação 
biunívoca se refere à correspondência termo a termo de um objeto para um símbolo. Exemplo:
56
Unidade II
Figura 22 – Animal para representar a relação biunívoca
Disponível em: https://cutt.ly/kF7iDFO. Acesso em: 11 mar. 2022.
Na relação biunívoca, cada tracinho (ou marquinha) corresponde a um animal.
Ifrah (1998, p. 29-30) exemplifica como a relação biunívoca era realizada:
 
Vejamos o exemplo de um pastor que guarda um rebanho de carneiros todas 
as noites numa caverna. São cinquenta e cinco animais, mas este pastor, 
que tal como homem precedente não sabe contar, ignora completamente 
o que seja o número 55. Ele sabe apenas que há “muitos” carneiros. Mas, 
como isto é muito vago, precisaria estar certo de que todas as noites o 
rebanho inteiro está protegido. Um dia ele tem uma ideia. [...] Ele se senta 
à entrada da caverna e faz entrar um por um os animais. Com um seixo, 
faz um entalhe num pedaço de osso cada vez que um carneiro passa a sua 
frente. Assim, sem conhecer a verdadeira significação matemática, ele faz 
exatamente cinquenta e cinco talhos com a passagem do último animal, e 
poderá em seguida verificar sem dificuldade se seu rebanho está completo 
ou não. Toda vez que volta do pasto ele fará os carneiros seguirem um por 
um, colocando cada vez um dedo num talho. Se sobrar algum talho quando 
todos os animais tiverem passado, é porque algum se perdeu; se não, tudo 
vai bem. Se nascer algum filhote, bastará fazer um talho suplementar no 
seu pedaço de osso.
Foi assim que se originou o primeiro procedimento aritmético, a contagem um a um, a correspondência 
de uma pedra ou tracinho entalhado para cada animal do rebanho. Para Ifrah (1998), esse tipo de 
controle permite abarcar vários números sem contar ou nem mesmo nomear ou conhecer as quantidades 
envolvidas. Afinal, trata-se de uma ação de comparar e não propriamente de contar.
À medida que esses procedimentos foram evoluindo, a humanidade passou a ter novas necessidades 
de registro e comunicação, até mesmo porque realizar a correspondência biunívoca de dez animais é 
diferente de corresponder mil tracinhos para mil ovelhas, por exemplo. Isso seria quase impossível!
57
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
Como a correspondência termo a termo não podia dar conta dessas necessidades, vários sistemas 
de numeração foram criados. Um deles é o sistema de numeração decimal, utilizado por praticamente 
todos os povos do mundo. 
O sistema de numeração decimal teve a sua origem na Índia e foi introduzido pelos árabes na Europa, 
por isso, também recebe o nome de sistema de numeração indo-arábico (COLL; TEBEROSKY, 2000). 
5.1.1 Características do sistema de numeração decimal
O sistema de numeração decimal ou indo-arábico, sem dúvida alguma, é uma das convenções 
mais incríveis criada pela humanidade, pois se refere a um registro extremamente econômico em 
que podemos representar infinitos números. Entretanto, possui algumas regularidades para o seu 
funcionamento que devem ser compreendidas e dominadas pelo professor. Vamos conhecer, nomear e 
compreender cada uma dessas regularidades.
Algarismos
O sistema de numeração indo-arábico é composto de dez algarismos, símbolos que, combinados de 
diferentes maneiras, podem formar infinitos números. Esses algarismos são:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
O zero foi o último algarismo a ser criado. Sua origem não se deu a partir da necessidade de 
registrar a inexistência de elementos, mas para atender a eficiência do valor posicional dos algarismos 
no número. 
 Observação
Fulano é um zero à esquerda!
O dito popular que atribui ao zero a inutilidade mostra que, dependendo 
da posição que esse algarismo ocupa no número, o seu valor pode mudar 
significativamente. Ora, 02 é diferente de 20!
Isso mostra que o zero não serve unicamente para representar a 
inexistência de valor, mas também para representar diferentes grandezas 
numéricas, como números “cheios” ou que terminam com zero (100, 1.000 
e 10.000, por exemplo) ou números com zero intercalado (101, 1.101 e 
10.101, por exemplo).
Perceba que assim como usamos as letras do alfabeto para escrever palavras, utilizamos algarismos 
para escrever números.
58
Unidade II
Valor posicional
No que se refere à escrita numérica, dependendo da posição que o algarismo ocupa no número, ele 
representa um determinado valor. Esta característica recebe o nome de valor posicional. 
Observe a posição e o valor do algarismo 2 nos números a seguir:
24
42
O valor posicional faz com que o algarismo tenha valores diferentes. Enquanto no número 24 
o algarismo 2 representa vinte unidades ou duas dezenas, no número 42, corresponde ao valor de 
duas unidades.
Exemplo de aplicação
Responda:
O que acontece com o algarismo quatro nos números 24 e 42? Qual valor elerepresenta em 
cada número?
Quais são os valores posicionais correspondentes ao algarismo 4 no número 444?
A resposta a essa pergunta é muito interessante, pois mostra que a característica do valor posicional 
do sistema de numeração decimal permite que um mesmo algarismo, num único número, possa 
apresentar valores posicionais diferentes. Observe o exemplo a seguir: 
Quadro 1 – Valor posicional do algarismo 4 no número 44
4 4 4
Quatro centenas, quarenta 
dezenas ou quatrocentas 
unidades
Quatro dezenas ou quarenta 
unidades Quatro unidades
400 40 4
O valor posicional, por sua vez, está relacionado a uma outra característica, denominada base dez.
Base dez
Refere-se à regra de agrupamento e reagrupamento, de dez em dez, que organiza o nosso 
sistema de numeração. Nessa organização, a cada dez unidades de uma ordem é formada uma 
ordem superior. As ordens são numeradas da direita para a esquerda e agrupadas em classes. É 
importante ressaltar que a cada grupo de três ordens é formada uma classe. 
59
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
O quadro de valor posicional a seguir ilustra essa organização: 
Quadro 2 – Quadro de valor posicional
Classe dos milhões Classe dos milhares Classe das unidades simples
9ª ordem 8ª ordem 7ª ordem 6ª ordem 5ª ordem 4ª ordem 3ª ordem 2ª ordem 1ª ordem
Centena de 
milhão
Dezena de 
milhão
Unidade de 
milhão
Centena de 
milhar
Dezena de 
milhar
Unidade de 
milhar Centena Dezena Unidade
Observe, conforme dito anteriormente, que as classes são organizadas em grupos de três ordens. 
Essa organização, por sua vez, se estende para outras classes. É importante ressaltar que, apesar de 
esse quadro de valor terminar na classe dos milhões, devido à infinidade numérica, essas classes e 
ordens dão continuidade. Por exemplo: classe dos bilhões, classe dos trilhões e assim por diante.
Exemplo de aplicação
Qual é a classe que vem logo após os trilhões?
Estimule a sua curiosidade matemática para aprofundar conhecimentos e pesquise os nomes de 
outras classes que você desconheça.
O agrupamento de base dez, a partir das classes e ordens, proporciona melhor agilidade na leitura e 
escrita numérica. Em contrapartida, torna-se complexo, pois o valor posicional do algarismo é ocultado. 
Por exemplo: como se lê o número 435.987.435?
Ao conhecer a organização do sistema de numeração decimal, a partir do quadro de valor posicional, 
é possível realizar com maior propriedade a leitura do número. Veja no quadro a seguir:
Quadro 3 – Quadro de valor posicional
Classe dos milhões Classe dos milhares Classe das unidades simples
9ª ordem 8ª ordem 7ª ordem 6ª ordem 5ª ordem 4ª ordem 3ª ordem 2ª ordem 1ª ordem
Centena de 
milhão
Dezena de 
milhão
Unidade de 
milhão
Centena de 
milhar
Dezena de 
milhar
Unidade de 
milhar Centena Dezena Unidade
4 3 5 9 8 7 4 3 5
Ao identificar que o último algarismo da esquerda para a direita está posicionado na ordem da 
centena de milhão, da classe dos milhões, identificamos o ponto de partida para a leitura, sendo 
realizada da seguinte maneira: quatrocentos e trinta e cinco milhões, novecentos e oitenta e sete mil, 
quatrocentos e trinta e cinco.
60
Unidade II
Exemplo de aplicação
Para você, agora, faz sentido realizar a leitura de números a partir da compreensão das classes 
e ordens? 
E se acrescentássemos o algarismo 1 à esquerda na escrita deste número (1.435.987.435)? Qual 
número iremos formar? Como se lê este número?
 Observação
Você sabia que o ponto final é utilizado na escrita numérica para 
representar o agrupamento de três ordens, separando as classes umas das 
outras? Ele serve de apoio para identificar quantas classes um número tem, 
facilitando a leitura do nome do número. 
Princípio aditivo 
Assim como as demais regularidades do sistema de numeração decimal, as operações aditivas 
e multiplicativas subjacentes à notação numérica também estão implícitas na composição e 
decomposição do número. 
O princípio aditivo é percebido à medida que pronunciamos os nomes dos números de forma 
decomposta. Exemplo: a pronúncia do número 254 é duzentos e cinquenta e quatro, ou seja, 200 + 50 + 4. 
Assim, perceba que quando falamos o nome de um número, a letra “e” representa um acréscimo, uma 
adição de cada parcela na composição numérica.
 Observação
A representação escrita do sistema de numeração decimal é 
econômica, pois os nomes dos números são falados aditivamente, mas 
escritos posicionalmente. Esse aspecto, sem dúvida alguma, é um dos 
grandes desafios para o ensino dos números nos anos iniciais do Ensino 
Fundamental, uma vez que os estudantes dessa faixa etária tendem 
a escrever os números da maneira como pronunciam, cabendo ao(à) 
pedagogo(a) desenvolver estratégias didáticas que favoreçam a escrita 
convencional, ou seja, posicional. 
Sendo assim, se um estudante escreve 500308 para representar o 
número 538, não significa que o seu conhecimento é nulo em relação 
aos números; pelo contrário, ele está mostrando que é capaz de registrar 
convencionalmente números “cheios” que terminam com zero, porém 
demonstra não ter se apropriado de uma característica importante do 
sistema de numeração decimal, o valor posicional. Neste caso, as ações 
do professor deverão ser voltadas para a construção dessa regularidade.
61
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
Princípio multiplicativo 
Nosso sistema de numeração também é multiplicativo. Por exemplo: para representar o número 333, 
podemos verificar que cada algarismo da direita para a esquerda, a partir da segunda ordem, é 
multiplicado por 10, ou seja, 3 × 1 + 3 × 10 + 30 × 10 = 3 + 30 + 300 = 333. É importante ressaltar que 
o princípio multiplicativo está relacionado diretamente ao agrupamento de base dez. Veja no quadro a 
seguir como se dá essa relação:
Quadro 4 – Quadro de valor posicional (classe das unidades simples)
Classe das unidades simples
3ª ordem 2ª ordem 1ª ordem
Centena Dezena Unidade
3 3 3
30 × 10 = 300 3 × 10 = 30 3 × 1 = 3
Exemplo de aplicação
O que acontece com os algarismos quando você digita um número composto de mais de um 
algarismo na calculadora?
Se você respondeu que os algarismos se deslocam no visor, acertou!
Você sabe explicar por que isso acontece?
O deslocamento do algarismo no visor da calculadora significa que a cada algarismo digitado, o 
anterior é multiplicado por dez, fazendo com que ele mude de posição e consequentemente de ordem 
ou até mesmo de classe, dependendo da grandeza numérica.
Observe o número 789 sendo digitado numa calculadora:
 
Figura 23 – Escrita numérica na calculadora
62
Unidade II
Inicialmente, ocupando a primeira ordem da classe das unidades simples, o algarismo 7 tem o valor 
de sete unidades. Ao digitar o algarismo 8, o algarismo 7 se desloca para a dezena, a segunda ordem da 
classe das unidades simples; ao se deslocar, o algarismo 7 está sendo multiplicado por dez, assumindo o 
valor de sete dezenas ou setenta unidades. Ao digitar o algarismo 9, o algarismo 7 se desloca mais uma 
vez, sendo multiplicado por dez novamente, partindo do seu valor posicional atual, ou seja, 70 × 10, 
que corresponde a setecentos (sete centenas, setenta dezenas ou setecentas unidades). Observe que essa 
relação multiplicativa acontece simultaneamente com todos os algarismos do número digitado.
Agora, reflita e explique com as suas palavras: 
O que aconteceu com o algarismo 8 nesse processo?
E se acrescentássemos o algarismo 5 nessa escrita numérica? O que iria acontecer com os 
demais algarismos?
A funcionalidade do sistema de numeração decimal é resultado de uma longa construção 
sociocultural. Vimos que são cinco as regularidades essenciais – algarismos, valor posicional, base dez, 
princípio aditivo e multiplicativo – para a sua compreensão. Em contrapartida, muitas vezes a escola 
requer que o estudante abstraia todas elas de uma hora para outra. Esse sistema de representação 
está em nosso cotidiano desde que nascemos, porém é muito complexo paraaqueles que ainda não o 
dominam. Afinal, a humanidade levou séculos para chegar à convenção que conhecemos hoje.
Nesse sentido, afirma Zunino (2007, p. 139-140):
 
Para nós, adultos, tudo é muito fácil porque já reconstruímos os princípios 
que regem nosso sistema de numeração. Sabemos tratar-se de um sistema 
de base 10, que não representa explicitamente as sucessivas agrupações 
nessa base: A escrita de um número qualquer não “diz” que o algarismo 
colocado no lugar das dezenas deve multiplicar-se por 10 para conhecer seu 
valor; também não “diz” que o algarismo colocado no lugar das centenas 
deve multiplicar-se por 100. Em nosso sistema, as potências da base não 
aparecem explicitamente representadas, como apareciam em outros 
sistemas. O único indicador de que dispomos para saber por qual potência 
devemos multiplicar cada algarismo é a posição que este ocupa em relação 
aos demais. A humanidade levou muitos séculos para inventar um sistema 
de numeração como este, um sistema que é muito econômico, porque 
permite escrever qualquer número utilizando só dez símbolos. Porém, 
justamente por ser tão econômico, pode tornar-se bastante misterioso para 
aqueles que estão procurando pistas (ou elementos) que lhes permitam 
reconstruir seus princípios.
Apesar de toda a complexidade inerente ao nosso sistema numérico, é importante ressaltar que a 
compreensão de suas regularidades interfere diretamente nas relações quantitativas e principalmente 
63
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
nas estratégias de cálculo mental e escrito. Aquele que domina plenamente o valor posicional, a base 
dez e os princípios aditivo e multiplicativo, certamente terá facilidade na resolução das operações 
fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão). Aprofundaremos sobre esse assunto no 
item 5.1.3 (“Operações com números naturais”).
Exemplo de aplicação
Agora que você conhece todas as características que estão ocultas na representação numérica, reflita: 
Para que servem os números? 
Onde podemos encontrá-los?
5.1.2 Significados e usos dos números naturais
Desde quando nascemos, temos contato com os números e os utilizamos em contextos sociais 
diversos: familiar, cultural, escolar etc. Esse contato proporciona a familiarização com os diferentes usos, 
significados e funções dos números em situações reais do cotidiano.
Se nos atentarmos à rotina diária de nossas vidas, iremos identificar a frequência com que os 
números aparecem nos mais variados portadores numéricos. Por exemplo: computadores, calculadoras, 
instrumentos de medida (relógios, trena, fita métrica, régua, calendário, balança, termômetro, 
velocímetro etc.), livros, jornais, anúncios, revistas, eletrodomésticos, entre outros que você puder 
imaginar e identificar. 
Glossário
Portador numérico: qualquer instrumento ou suporte que tenha números para 
representar uma situação de uso ou função dos números naturais. Por exemplo: a balança é 
um portador numérico utilizado para representar a massa de uma pessoa, alimento ou objeto.
Apesar de sua utilidade prática e social e da vivência numérica que os estudantes experienciam 
muito antes de ingressarem na escola, infelizmente, ainda nos dias de hoje, o ensino dos números é 
pautado numa tradição pedagógica tradicional e descontextualizado de seus usos e funções. Assim, são 
ensinados aos poucos, um a um, seguindo rigorosamente a ordem da sequência numérica, cópias de 
linhas inteiras do mesmo número ou até mesmo exercícios de coordenação motora, como a cobertura 
de pontilhados. 
Na contramão a essa perspectiva, considerando as diversas situações em que os números são 
utilizados, torna-se imprescindível identificar e distinguir suas funções e significados.
64
Unidade II
Primeiramente, é importante ressaltar que o uso dos números não se limita à representação de 
quantidades. Existem outras funções, tão importantes quanto quantificar, em que eles são necessários. 
Sendo assim, os números naturais servem para: quantificar, ordenar, medir e codificar.
Exemplo de aplicação
Antes de conhecer a fundo o significado de cada função dos números naturais, faça o levantamento 
dos seus conhecimentos prévios sobre o assunto, pensando num exemplo para cada situação a seguir: 
Quando você costuma utilizar o número para quantificar? 
Em qual situação você usa o número para ordenar? 
Quando você usa o número para medir?
Você já usou o número como código? Em qual situação?
Adiante, explicamos cada uma das funções dos números naturais:
• Quantificar: também conhecida como função cardinal, serve para representar quantidades. 
São diversas as situações cotidianas em que essa função pode ser identificada, como: contar e 
registrar a quantidade de elementos de uma coleção, indicar quantas pessoas estão presentes em 
um evento, quantificar o total de torcedores num estádio de futebol etc. 
• Ordenar: em outras situações, o número natural também é um indicador de posição, assumindo a 
função denominada ordinal. Indicamos a posição de pessoas ou objetos em inúmeras situações do 
dia a dia. Por exemplo: a classificação final de uma competição (indicando o 1º, o 2º e o 3º lugar 
do pódio), a composição de uma fila por ordem de chegada (1º, 2º, 3º, 4º (...)), a identificação da 
colocação dos candidatos no resultado de um concurso (24º colocado) etc.
Observa-se que para representar a função ordinal, faz-se necessário utilizar os símbolos º ou ª na 
sequência da escrita numérica.
• Medir: além de quantificar e ordenar, o número pode ser utilizado para representar uma medida. 
A representação de medidas de tempo, comprimento, massa, capacidade e temperatura são 
exemplos práticos de quando utilizamos os números para medir.
• Codificar: em outras situações, o número natural também é utilizado para codificar, 
exercendo a função de código. O número de telefone e documentos pessoais como cédula de 
identidade, cadastro de pessoa física e título de eleitor são exemplos do uso do número natural 
enquanto código.
65
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
Vejamos alguns exemplos a partir da observação do número três em cada situação. Observe que um 
mesmo número pode ter significados diferentes dependendo da situação e da função exercida. 
Quadro 5 – Funções dos números naturais
O número 3 nesta situação, representa a quantidade 
de lápis, ou seja, exerce a função cardinal 
(quantificar)
O 3º lugar do pódio representa a função 
ordinal do número
3 horas se refere à função de medir representando 
uma medida de tempo
O número 3 em uma porta, por exemplo, serve para 
codificar ou identificar uma sala ou residência
Adaptado de: https://cutt.ly/bF7ojvg; https://cutt.ly/1F7oWac; 
https://cutt.ly/GF7oOy1; https://cutt.ly/wF7oGuT. Acesso em: 11 mar. 2022.
 Observação
As diferentes funções dos números naturais evidenciam que um número 
não é apenas um símbolo ou a junção de vários símbolos; todo 
número carrega em sua representação um significado, um sentido de uso 
social contextualizado. Assim, cabe ao sujeito identificá-lo em cada situação.
5.1.3 Operações com números naturais
O ensino das operações fundamentais sempre esteve em evidência, tanto pelas dificuldades 
concentradas no campo didático do professor em relação à gestão do ensino quanto na compreensão 
do processo de aprendizagem dos significados dessas operações.
Exemplo de aplicação
Retome as suas memórias acerca do período de escolarização e reflita: 
Como você aprendeu as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão?
66
Unidade II
Por muito tempo, a escola ensinou as quatro operações fundamentais por meio de atividades 
“Arme e efetue”, que se resumem a exercícios de fixação. Nessa maneira de ensinar, existe uma 
hierarquização a ser seguida, apresentando rigorosamente a sequência das operações de adição, 
subtração, multiplicação e, por último, divisão. Além dessa característica rígida, as operações no 
ensino tradicional são ensinadas de maneira descontextualizada e isolada desituações-problema. 
Dessa forma, apesar de poder ser eficaz em relação à parte operacional de “armar e efetuar a 
continha”, esse tipo de abordagem evidencia a necessidade de compreender a aplicação prática social 
das operações fundamentais no dia a dia.
Exemplo de aplicação
Reflita: do que adianta saber resolver a operação e não compreender o seu significado e 
aplicabilidade em situações cotidianas?
É a partir dessa incompreensão que surgem perguntas comumente feitas pelos estudantes: 
O problema é de “mais” ou de “menos”? De “vezes” ou de “dividir”?
A Teoria dos Campos Conceituais, do francês Gérard Vergnaud (1996, 2009), explica tal 
necessidade a partir da compreensão sobre os diferentes significados e das relações envolvidas entre 
a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão. Enquanto pesquisador cognitivista, preocupado em 
compreender como o conhecimento matemático é construído, o autor buscou estudar a construção 
das estruturas aditivas e multiplicativas pelo sujeito. Vergnaud (1996, 2009) realiza essa subdivisão 
em dois campos, o aditivo e o multiplicativo, e demonstra em cada um deles uma variedade existente 
de situações-problema que implicam a construção de um conceito, ou seja, das diferentes ideias 
envolvidas nas quatro operações.
Com base nesses estudos, antes de prosseguirmos com o aprofundamento sobre as técnicas 
operatórias dos algoritmos, discutiremos as categorizações das ideias presentes nos campos aditivo e 
multiplicativo, uma vez que são essas ideias que dão sentido e significado a cada situação em que se faz 
necessário adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir.
5.1.3.1 Campo aditivo
Embora o título campo aditivo, num primeiro momento, remeta, explicitamente, apenas à adição, 
para Vergnaud (1996, 2009), o fato de as operações de adição e subtração fazerem parte de uma mesma 
família demonstra que existem estreitas conexões entre elas. Sendo assim, podemos compreender 
que os problemas do campo aditivo compõem o trabalho com um conjunto de situações aditivas 
e subtrativas.
67
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
Exemplo de aplicação
Você sabe o que é prova real?
Prova real é um procedimento matemático utilizado para comprovar se o resultado de uma 
determinada operação está correto. Para isso, é realizada uma operação inversa, ou seja, contrária ao 
resultado obtido na operação de origem.
Veja o exemplo:
 14
+ 3
 17
- 14
 17
- 3
17 314
Adição Subtração 2Subtração 1
Operação de origem Prova real
A prova real é apenas um dos exemplos em que podemos identificar claramente as conexões entre 
a adição e a subtração.
Essas operações, descontextualizadas de situações-problema, são apenas cálculos escritos 
destituídos de significados. Nesse sentido, Vergnaud (1996, 2009) contribui para a identificação de 
inúmeras situações em que podemos empregar o uso da adição e subtração. Nessa perspectiva, uma 
única conta, por exemplo, pode representar diferentes noções e ideias matemáticas. 
Observe as sínteses das principais ideias apresentadas na figura a seguir. Procure observar a relação 
inversa entre as ideias aditivas e subtrativas.
Juntar
Acrescentar
Comparar 
“a mais“
Adição
Separar
Retirar
Comparar 
“a menos“
Subtração
Figura 24 – Ideias do campo aditivo
A figura evidencia três ideias principais do campo aditivo, sendo elas: juntar, acrescentar e comparar. 
Essas ideias, devido à estreita relação entre as operações de adição e subtração, indicam uma relação 
de pares inversos. Por exemplo: juntar e separar, acrescentar e retirar e comparar “a mais” e “a menos”. 
68
Unidade II
Agora, observe as seguintes operações:
 29
- 4
 25
+ 4
2529
SubtraçãoAdição
O que essas operações representam? 
Se considerarmos somente o registro escrito, podemos afirmar apenas que se referem a cálculos 
matemáticos da adição e subtração. Entretanto, a partir das ideias do campo aditivo, elas podem 
representar inúmeras situações, como a ação de juntar ou separar brigadeiros numa bandeja, 
acrescentar (ganhar) ou retirar (perder) pontos em um jogo ou até mesmo comparar quantas figurinhas 
uma criança tem a mais ou a menos que a outra. Posto isto, adiante apresentamos alguns exemplos de 
enunciados de problemas que envolvem cada uma das ideias do campo aditivo.
Problemas de composição
Os problemas de composição envolvem a ideia de juntar ou compor duas quantidades que 
inicialmente aparecem separadas, para então obter uma terceira quantidade, ou seja, o total, a junção 
dessas partes. Em contrapartida, considerando as características das grandezas discretas, já que tudo 
aquilo que está junto pode se desvincular, a ideia inversa de separar também faz parte dos problemas 
de composição.
Leia atentamente os enunciados de problemas a seguir que representam as ideias de juntar e separar 
a partir de uma mesma situação:
Quadro 6 – Problemas envolvendo as ideias de juntar e separar
Juntar
Théo tem 14 adesivos e Thais tem 12. 
Quantos adesivos Théo e Thais têm juntos?
Separar
Théo e Thais têm juntos 26 adesivos. 
Sabendo que 14 são de Théo, quantos são os adesivos de Thais?
Observe que ambas as situações expressam a ideia de juntar – afinal, Théo e Thais compõem juntos 
um total de 26 adesivos. Entretanto, ao mesmo tempo que essa composição (junção) ocorre, existe 
também a parcela, ou seja, a quantidade de adesivos que cada um tem, sendo 14 de Théo e 12 de 
Thais, sendo possível, assim, além de juntar, descobrir a parte de cada um, por meio da separação 
de quantidades.
Exemplo de aplicação
Seguindo os exemplos apresentados anteriormente, formule dois enunciados de problemas, sendo 
um envolvendo a ideia de juntar e o outro, a ideia de separar, a partir da seguinte operação.
69
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
13 + 11 = 24
Para a elaboração do enunciado, você poderá mudar os nomes dos personagens, bem como 
substituir o contexto de adesivos para outro de sua preferência. Durante a produção, procure atentar-se 
à importância de manter as ideias principais de juntar e separar. 
Problemas de transformação
Os problemas de transformação envolvem situações em que é necessário acrescentar ou retirar, isso 
porque o ponto de partida sempre será uma quantidade inicial que é alterada, ou seja, transformada. 
Essa alteração pode acontecer de maneira positiva ao acrescentar – aumentar – uma determinada 
quantidade ou negativa retirando – diminuindo – a quantidade inicial. Por isso, esses tipos de problemas 
recebem o nome, respectivamente, de transformação positiva e transformação negativa.
É importante ressaltar que as ideias de acrescentar e retirar também envolvem situações de 
perda e ganho. Assim, ganhar e perder também podem expressar a relação entre a alteração de uma 
quantidade inicial. 
Agora, leia com atenção os enunciados dos problemas a seguir que representam as ideias de 
acrescentar (ganhar) e retirar (perder) a partir de uma mesma situação:
Quadro 7 – Problemas envolvendo as ideias de acrescentar e retirar
Acrescentar 
(transformação positiva)
Théo tinha 14 adesivos e ganhou 12 de Thais.
Com quantos adesivos ele ficou?
Retirar 
(transformação negativa)
Théo tinha 26 adesivos e deu 12 para Thais. 
Com quantos adesivos ele ficou?
Conforme dito anteriormente, esses tipos de problemas estão associados à ideia de alterar 
um estado inicial que pode sofrer uma transformação. Na primeira situação, Théo tinha uma 
determinada quantidade de adesivos (14) que foi transformada, acrescida, ao ganhar mais 
12 adesivos de Thais. Essa ação fez com que a quantidade inicial de adesivos fosse maior ao final 
da situação. O mesmo acontece na situação de transformação negativa. Entretanto, ao invés de 
ganhar, Théo diminuiu a quantidade inicial de 26 adesivos, doando 12 para Thais. 
Exemplo de aplicação
Seguindo os exemplos apresentados anteriormente, formule dois enunciados de problemas, sendo 
um envolvendo a ideia de acrescentar e o outro, a ideia de retirar, a partir da seguinte operação:13 + 11 = 24
70
Unidade II
Para a elaboração do enunciado você poderá mudar os nomes dos personagens, bem como substituir 
o contexto de adesivos para outro de sua preferência. Durante a produção, procure atentar-se à 
importância de manter as ideias principais de acrescentar e retirar. 
Exemplo de aplicação
As ideias de acrescentar e retirar permitem alterações sucessivas numa mesma quantidade. Essa 
situação recebe o nome de composição de transformação. Podemos identificar facilmente essa ideia em 
situação de jogo em que um mesmo participante pode vivenciar sequências variadas de rodadas, como 
ganhar e ganhar, ganhar e perder, perder e perder ou quantas relações possíveis.
Confira o exemplo a seguir:
Quadro 8 – Problemas envolvendo a composição 
sequencial das ideias de juntar e separar
Transformação 
positiva e negativa
Théo ganhou 14 pontos num jogo de varetas. 
Depois ele perdeu 12 pontos. Com quantos pontos Théo ficou?
Observe que a situação apresenta uma sequência sucessiva de transformação, sendo a primeira 
positiva (ganhou 14 pontos) e a segunda negativa (perdeu 12 pontos). 
Além de situações que envolvem jogos, a composição de transformação pode ser facilmente 
identificada num extrato bancário em que a partir da movimentação monetária de entrada e saída de 
dinheiro acontecem transformações positivas e negativas de maneira aleatória no saldo disponível.
Problemas de comparação
Conforme o próprio nome já diz, os problemas de comparação estão associados à ideia de comparar 
quantidades. Por isso, envolvem as noções de “a mais” ou “a menos”. 
Os problemas de comparação também são classificados em comparação positiva e comparação 
negativa. Para identificar se uma situação-problema de comparação é negativa ou positiva, é preciso 
observar a pergunta do enunciado: se ela se referir a “que” ou a “quem” tem mais, trata-se de um 
problema de comparação negativa; já se a pergunta estiver relacionada a “que” ou “quem” tem menos, 
classificamos como comparação negativa.
Observe os enunciados de problemas a seguir que representam as ideias de comparação positiva 
“a mais” e comparação negativa “a menos”:
71
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
Quadro 9 – Problemas envolvendo ideias de comparação
Comparação positiva
Théo tem 14 adesivos e Thais tem 12. 
Quantos adesivos Théo tem a mais que Thais?
Comparação negativa
Théo tem 14 adesivos e Thais tem 12. 
Quantos adesivos Thais tem a menos que Théo?
Perceba que mesmo que a comparação seja positiva ou negativa, para resolver ambos os 
problemas, ou seja, encontrar a diferença, faz-se necessário realizar uma subtração. Entretanto, 
é importante destacar que mesmo que a expressão “a mais” apareça no enunciado, nem sempre 
a resolução requer uma adição, como é o caso do primeiro enunciado, em que para encontrar 
quantos adesivos Théo tem a mais que Thais, a operação 14 – 12 = 2 resolve o problema.
Agora, observe outros tipos de enunciados que envolvem essas mesmas ideias de comparação 
positiva e negativa:
Quadro 10 – Problemas envolvendo ideias de comparação
Comparação positiva
Thais tem 12 adesivos e Théo tem 2 a mais que ela. 
uantos adesivos Théo tem?
Comparação negativa
Théo tem 14 adesivos e Thais tem 2 a menos que ele. 
uantos adesivos Thais tem?
Já esses exemplos de enunciado evidenciam com clareza as ideias de comparação positiva e 
comparação negativa. Entretanto, também mostram que a variedade de situações de comparação 
pode ser um obstáculo para os estudantes dos anos iniciais do Ensino Fundamental, pois requer a 
compreensão de qual ação é solicitada no problema, ou seja, adição ou subtração.
Exemplo de aplicação
Seguindo os exemplos apresentados anteriormente, formule dois enunciados de problemas, sendo 
um envolvendo a ideia de comparação positiva e o outro a ideia de comparação negativa, a partir da 
seguinte operação.
13 + 11 = 24
Para a elaboração do enunciado, você poderá mudar os nomes dos personagens, bem como 
substituir o contexto de adesivos para outro de sua preferência. Durante a produção, procure atentar-se 
à importância de manter as ideias principais de “a mais” e “a menos”. 
Certamente você observou nos exemplos de aplicação que os enunciados solicitados envolveram a 
mesma operação. Essa constância foi proposital para que você perceba as inúmeras ideias que podem 
estar por trás de uma mesma operação. Além disso, a vivência de formular enunciados de problemas lhe 
72
Unidade II
proporcionou a composição de uma lista pessoal de situações-problema contemplando todas as ideias 
do campo aditivo.
É importante ressaltar que a proposta de trabalho com os problemas do campo aditivo não consiste 
em explicar ao estudante cada uma das ideias. Esse conhecimento faz parte do repertório de conteúdo 
de que o professor dos anos iniciais do Ensino Fundamental deve dispor, de maneira que as aulas sobre 
operações de adição e subtração sejam conduzidas a partir da resolução de problemas envolvendo 
diferentes significados.
Figura 25 – Elaboração de problemas do campo aditivo
Disponível em: https://cutt.ly/zF7aU6p. Acesso em: 11 mar. 2022.
 
A importância de atrelar o ensino das operações à resolução de 
problemas leva ao reconhecimento da importância da exploração de vários 
procedimentos de cálculos e de diferentes resoluções a partir de situações-
problema. Isso significa que resolver problemas não é um mero exercício 
em que se aplica o que já se sabe, trata-se de um contexto que viabiliza 
a mobilização de saberes e habilidades que permitem buscar alternativas, 
levantar hipóteses, formular conjecturas, comparar procedimentos, 
validar ou refutar resultados para, então, chegar a uma resposta (SÃO 
PAULO, 2019b, p. 77).
Se antigamente as estratégias de cálculo das operações fundamentais de adição e subtração eram 
ensinadas de maneira isolada do contexto, sem conexão com situações-problema, nos dias de hoje, a 
proposta é que elas sejam ensinadas não como exercícios de fixação, mas, sim, a partir de resolução de 
problemas. Dessa maneira, à medida que os estudantes se familiarizam com a variedade de situações e 
noções aditivas e subtrativas, simultaneamente, e com sentido e significado, aprendem as técnicas de 
cálculo escrito dessas mesmas operações.
73
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
Uma vez compreendidas as ideias do campo aditivo, discutiremos a seguir as diferentes técnicas no 
trabalho com as operações aritméticas de adição e subtração nos anos iniciais do Ensino Fundamental.
5.1.3.1.1 Adição
Sobre as técnicas operatórias, é importante ressaltar que:
 
Historicamente, observa-se que há técnicas operatórias que desaparecem 
e se tornam obsoletas, por exemplo, a extração de raiz quadrada ou cúbica 
de um número. Elas deixaram de ser utilizadas, pois surgiram instrumentos 
e técnicas de cálculo mais eficientes e práticos. Hoje elas não são mais 
necessárias, particularmente diante de instrumentos eletrônicos de cálculo 
acessíveis, como a calculadora e o computador, que permitem ganhar tempo 
e evitar o trabalho enfadonho. Para outras técnicas, o desaparecimento pode 
ter ocorrido pelo fato de a tecnologia correspondente a elas apresentar um 
nível de complexidade elevado ou ainda pelo pouco alcance das mesmas, o 
que quer dizer que elas resolvem poucos tipos de exercícios, sendo, portanto, 
necessário substituí-las por outras mais eficientes (BITTAR; FREITAS; 
PAIS, 2013, p. 22).
Essa reflexão é necessária porque, conforme discutimos na unidade I, a matemática é uma ciência 
viva que está em constante transformação e, como tal, muitos conteúdos, procedimentos ou até mesmo 
técnicas operatórias podem se tornar obsoletas ou serem substituídas por outras mais consistentes, 
compreensíveis e menos ou mais elaboradas. 
 
A adição é considerada a principal entre as quatro operações básicas. As 
demais seriam decorrentes dela, em particular a subtração, cujo nível de 
conexão é tal que, segundo Vergnaud (1990), os conceitos envolvendo 
essasduas operações formam um campo por ele denominado de campo 
conceitual aditivo (BITTAR; FREITAS; PAIS, 2013, p. 23).
Dessa maneira, antes de apresentarmos diferentes tipos de técnicas operatórias para a resolução de 
adições, faz-se necessário compreender alguns conceitos importantes, como as partes de uma adição, 
as principais propriedades que a constituem e seus fatos básicos.
As partes de uma adição são chamadas de parcelas e de soma (ou total). Sendo assim, os números 
antes do sinal de igualdade são denominados parcelas, enquanto o número que vem logo após a 
igualdade recebe o nome de soma ou total. Veja:
Partes da adição
Parcela
27+ =
Soma (total)
277
Parcela
250 250
+ 27
Parcela
Parcela
277 Soma (total)
74
Unidade II
Além da compreensão das partes da adição, para o ensino dessa operação nos anos iniciais do Ensino 
Fundamental é de suma importância que o professor compreenda suas três principais propriedades, 
a saber: propriedade comutativa, propriedade associativa e propriedade do elemento neutro. 
Elas interferem diferentemente no desenvolvimento de diferentes estratégias de cálculo, tornando o 
raciocínio lógico-matemático mais flexível e em algumas situações passível de generalização.
A propriedade comutativa da adição se refere à flexibilidade de alteração das parcelas de modo 
que não ocorra alteração no resultado, ou seja, na soma ou total.
Exemplo:
5 + 4 = 4 + 5
Observe que ambos os totais são 9, apesar de a ordem das parcelas ter sido invertida.
Já a propriedade associativa da adição está relacionada aos agrupamentos que podem ser feitos 
nas parcelas, não alterando o total.
Vejamos um exemplo, tendo como referência a mesma adição utilizada anteriormente:
5 + 4 = 9
(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)
Sabendo que devemos calcular primeiramente as parcelas que estão entre os parênteses, a resolução 
desses cálculos fica assim:
(2 + 3) + 4 2 + (3 + 4)
5 + 4 2 + 7
9 9
Observe que apesar de termos somado 2 e 3 primeiro na adição do lado esquerdo e 3 e 4 primeiro na 
adição do lado direito, esse agrupamento não alterou o resultado total, 9. A possibilidade de decompor 
as parcelas da adição por meio da propriedade associativa ajuda na resolução de cálculos com diferentes 
grandezas numéricas. 
A propriedade do elemento neutro da adição envolve a compreensão do número zero como 
ausência de quantidade. Assim, quando o zero for somado a qualquer outro número, o resultado sempre 
será esse mesmo número. 
Observe as adições a seguir:
0 + 8 = 8
8 + 0 = 8
Quando somamos 0 a 8, ou vice-versa, a quantidade de 8 não se altera. O fato de zero representar 
a ausência de quantidade significa que não foi adicionada ou acrescentada nenhuma quantidade à 
75
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
outra parcela. É importante ressaltar que a propriedade comutativa da adição também se faz presente 
na compreensão do elemento neutro, pois independentemente de o zero ser alocado na primeira ou na 
segunda parcela da adição, o resultado sempre será o mesmo.
Exemplo de aplicação
Pesquise outros exemplos de operações de adição, considerando as propriedades comutativa, 
associativa e do elemento neutro. Registre esses exemplos, como forma de sistematização desse 
importante conhecimento. 
Você já ouviu falar sobre os fatos básicos da adição?
Também conhecidos como fatos fundamentais da adição, se referem a cálculos com números de um 
só algarismo em que se espera que sejam calculados mentalmente, sem auxílio de registro, ou seja, do 
cálculo escrito. Por exemplo: 1 + 1 = 2, 3 + 4 = 7, 5 + 6 = 11, entre outros.
Veja a figura a seguir, que apresenta todos os fatos básicos da adição: 
+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 2 3 4 5 6 7 8 9
3 3 4 5 6 7 8 9
4 4 5 6 7 8 9
5 5 6 7 8 9
6 6 7 8 9
7 7 8 9
8 8 9
9 9
Colunas 
(vertical)
Linhas 
(horizontal)
Figura 26 – Fatos básicos da adição
Exemplo de aplicação
Agora, observe a figura novamente e reflita sobre as seguintes questões: 
• O que acontece com os resultados que estão na coluna e na linha do zero? 
• Localize os fatos básicos que possuem as mesmas parcelas. Por exemplo: 3 + 4 e 4 + 3. O que você 
identificou quanto aos resultados?
76
Unidade II
• Escolha um número e observe os resultados que estão posicionados na coluna e na linha desse 
mesmo número. Como são esses resultados?
• Quais são os resultados das adições indicadas nos quadrinhos vazios destacados na cor cinza? 
Complete o quadro digitando em seu computador ou dispositivo móvel os resultados nos locais 
indicados ou registre-os como preferir numa folha de papel ou caderno de estudos.
Certamente você observou que os resultados que estão na coluna e na linha do zero são os mesmos 
e que eles seguem a sequência numérica de 0 a 9. Essa regularidade se justifica pela propriedade do 
elemento neutro da adição, conforme estudamos anteriormente. Veja:
+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Figura 27 – Fatos básicos da adição: zero como elemento neutro 
Ao localizar no quadro os fatos básicos da adição que possuem as mesmas parcelas, com certeza 
você identificou que os resultados são iguais, vislumbrando na prática a aplicação da propriedade 
comutativa da adição. Observe, a seguir, os quadrinhos coloridos que indicam os resultados de alguns 
pares de fatos básicos de adição que possuem essa característica, sendo eles: (2 + 3 = 3 + 2), (4 + 6 = 6 + 4), 
(8 + 2 = 2 + 8) e (7 + 1 = 1 + 7). 
 Observação
Para facilitar a identificação dos fatos básicos, realize a leitura partindo 
dos números indicados na primeira linha e na primeira coluna e vice-versa. 
77
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Figura 28 – Fatos básicos da adição: propriedade comutativa
Outra curiosidade interessante no quadro dos fatos fundamentais da adição se refere aos resultados 
posicionados na coluna e na linha de um mesmo número. Por seguirem uma progressão aditiva de um 
em um, apresentam os mesmos resultados. Veja:
+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Figura 29 – Fatos básicos da adição: linha e coluna com os mesmos resultados
78
Unidade II
Exemplo de aplicação
Se você preencheu os resultados dos fatos básicos da adição que faltavam no quadro, aproveite 
para conferir e corrigir as suas respostas a partir dos quadros de referência utilizados nos exemplos 
anteriores. 
Mas, afinal, qual é a importância dos fatos fundamentais da adição para o ensino dessa operação nos 
anos iniciais do Ensino Fundamental?
Compreender e se apropriar dos resultados dessas adições de estrutura simples, compostas de 
números com apenas um algarismo, permite aos estudantes ampliar suas estratégias de cálculo a partir 
de um raciocínio matemático denominado generalização. Por meio da generalização o estudante pode, 
por exemplo, chegar às seguintes conclusões: se 1 + 1 = 2, logo, 10 + 10 = 20, 100 + 100 = 200, 
1.000 + 1.000 = 2.000 e assim por diante. Também poderão identificar outros padrões tão interessantes 
quanto estes. Por exemplo: se 7 + 7 = 14, logo, 70 + 70 = 140; se 4 + 6 = 10, isso significa que 
40 + 60 = 100, entre outras inúmeras regularidades que podem ser identificadas a partir de diferentes 
fatos básicosda adição.
Exemplo de aplicação
E se acrescentarmos o algarismo zero ao final dos números do quadro dos fatos básicos da adição? 
Quais serão os resultados?
Coloque em prática o seu raciocínio de generalização preenchendo os resultados a seguir:
Tabela 1 - Cálculos da adição a partir da base dez
+ 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
79
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
Confira as respostas: 
Tabela 2 – Respostas
+ 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
20 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
30 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
40 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130
50 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140
60 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
70 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160
80 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
90 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
 Saiba mais
Coloque em prática os conhecimentos adquiridos neste item por meio 
do jogo a seguir:
WORDWALL. Fatos fundamentais da adição. [s.d.]a. Disponível em: 
https://cutt.ly/cFuEteR. Acesso em: 6 abr. 2022.
Além desse jogo específico, o site disponibiliza outros jogos com a 
mesma temática. Você poderá explorá-los para sistematizar e ampliar os 
seus conhecimentos sobre a adição.
De acordo com Coll e Teberosky (2000, p. 86), “para facilitar uma adição, podemos utilizar diversas 
estratégias”, sendo elas:
• Comutar: utilizando-se da propriedade comutativa da adição, para calcular 2 + 7 = 9, em vez de 
acrescentar 7 ao número 2, que é menor, podemos acrescentar 2 a 7, que é um raciocínio mais 
simples, ou seja, 7 + 2 = 9.
• Decompor: ao resolver a adição 5 + 6 = 11, basta adicionar 5 + 5 = 10 e depois acrescentar 1 ao 
resultado (10 + 1 = 11). Esse tipo de estratégia é pautado na propriedade associativa da adição, 
que permite decompor as parcelas por agrupamentos.
80
Unidade II
• Compensar: para fazer a adição 3 + 5 = 8, podemos “acrescentar e retirar”. Por exemplo: para 
3 + 5 = 8, calculamos 4 + 4 = 8. Neste caso, “o resultado é o mesmo porque retiramos 1 do 5 
para acrescentá-lo ao 3, ou seja, compensamos o que tiramos de um número com o que 
acrescentamos ao outro” (COLL; TEBEROSKY, 2000, p. 86). 
• Arredondar: na adição 9 + 8 = 17, como só falta 1 para o 9 ser 10, podemos adicionar 10 + 8 = 18 
e retirar 1 do resultado (18 – 1 = 17), obtendo o total de 17. 
Exemplo de aplicação
E você? Quais dessas estratégias você costuma utilizar para resolver adições? Comutar, decompor, 
compensar ou arredondar?
Compreendidas as partes, propriedades e fatos básicos da adição e suas implicações nas estratégias 
de cálculo, adiante apresentamos duas técnicas operatórias comumente utilizadas no contexto 
escolar para a resolução de adições. 
Método padrão 
Essa técnica operatória, ao longo da história, tem sido a mais utilizada no contexto escolar. Nesse 
método, segundo Coll e Teberosky (2000, p. 87):
 
Para fazer uma adição, escrevemos um número embaixo do outro, de 
modo que os algarismos que correspondem a quantidades semelhantes 
(unidades, dezenas, centenas etc.) fiquem na mesma coluna. Em seguida, 
adicionamos os algarismos um a um, da direita para a esquerda, por colunas. 
Se o resultado dessa adição parcial tiver mais de um algarismo, escrevemos 
apenas o algarismo da direita e adicionamos o algarismo da esquerda na 
coluna seguinte à esquerda. Por exemplo, vejamos, passo a passo, como 
adicionar 325 + 496.
 5
+ 6
325
+ 496
11 1
1A)
 2
+ 9
325
+ 496
12 21
111B)
 3
+ 4
325
+ 496
8 821
111C)
Observe que para compreender detalhadamente os procedimentos envolvidos no método padrão 
– cujo registro, pelo fato de ocultar todas as etapas e conceitos envolvidos, é muito econômico –, os 
autores resolveram isoladamente cada uma das adições. Entretanto, existe um fato importante a ser 
considerado neste procedimento que comumente é reproduzido pelos professores dos anos iniciais 
do Ensino Fundamental: embora as operações 5 + 6, 2 + 9 e 3 + 4 tenham sido realizadas a partir do 
valor absoluto desses números, não podemos desconsiderar de forma alguma que na verdade estamos 
operando conceitualmente com os seus valores relativos.
81
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
Glossário
Valor absoluto: não depende da posição em que o algarismo se encontra no número. 
Por exemplo: o valor absoluto do algarismo 2 no número 325 é 2. 
Valor relativo: depende da posição, ou seja, da ordem em que o algarismo ocupa 
no número. Por exemplo: o valor relativo do algarismo 2 no número 325 é 20, ou duas 
dezenas, ou vinte unidades. O valor relativo, basicamente, se refere ao valor posicional do 
algarismo no número.
Para exemplificar as trocas e transformações de valores relativos ocultas no método padrão, observe 
o passo a passo a seguir: 
B)
 20
+ 90
325
+ 496
120
10
21
100A)
 5
+ 6
325
+ 496
11 1
10
 300
+ 400
325
+ 496
800
100
821
C)
A princípio, fica evidente que o algarismo 1 tem diferentes valores, dependendo da ordem que as 
adições foram realizadas no número. Sendo assim, ao adicionar 5 + 6 = 11, o número 1 não representa 
1 unidade, mas 10 (uma dezena). O mesmo acontece em 10 + 20 + 90 = 120, em que o número 1 
corresponde a 100 (uma centena).
Apesar de ser um procedimento econômico e sintético no papel, para executar com maestria o 
método padrão, é preciso ter consciência e compreensão de todas as trocas e transformações de valores 
relativos que acontecem nesse processo. Entretanto, geralmente, pelo fato de o detalhamento de seus 
procedimentos passar despercebido nas aulas de Matemática, muitos estudantes transitam de um 
ano para outro realizando cálculos de adição de maneira mecânica e fragmentada, com base no valor 
absoluto dos algarismos, e não a partir do entendimento da composição do número como um todo e 
dos valores posicionais dos algarismos que o compõem. 
Percebemos aqui, portanto, quão importante é a compreensão das regularidades do sistema de 
numeração decimal, estudadas no item 2.1.1 deste livro-texto, e quais são as suas implicações na 
operação de adição. 
 Observação
O método padrão tradicionalmente também é conhecido nas escolas 
como a técnica do “vai um”. Entretanto, existe um equívoco conceitual 
considerável nessa atribuição. Numa adição, ao adicionarmos parcelas cujo 
resultado é igual ou maior que dez, na verdade “vão dez” – uma dezena 
– e não “vai um”. O mesmo acontece nas ordens e classes do número, 
82
Unidade II
sucessivamente, quando adicionamos parcelas cujo resultado é igual ou 
maior que cem: no procedimento, deve-se dizer que “vão cem” – uma 
centena – e não “vai um”.
Por isso, futuro(a) pedagogo(a), é de suma importância revisar este 
conceito em sua formação, procurando se adaptar à linguagem correta e 
substituindo a expressão “vai um” por “vão dez”, “vão cem”, “vão mil” etc., 
conforme as transformações e trocas que acontecem numa mesma adição.
Decomposição
Outra técnica operatória para a resolução de adições chama-se decomposição. 
Para Bittar, Freitas e Pais (2013, p. 29): “A decomposição de um número em unidades, dezenas e 
centenas é muito útil para calcular o resultado de uma adição”. Essa utilidade é justificada pelo fato de 
ser um método pautado na identificação do valor posicional dos algarismos no número, decompondo-os 
em parcelas. 
Veja o exemplo a seguir:
 200 + 10 + 3
100 + 20 + 7
300 + 40 + 0 = 340
213 + 127 = 
10
“Vão dez”
Nota-se que a técnica por decomposição é mais transparente do que a do método padrão. Antes 
de calcular, faz-se necessário identificar e registrar o valor posicional de cada algarismo no número, 
organizando-os em ordem, para somente então adicionar as parcelas considerando os valores relativos. 
Esse tipo de procedimento é essencial a ser introduzido nos anos iniciais do Ensino Fundamental, 
pois além de articular as características do sistema de numeração decimal ao cálculo da adição, deixa 
explícitos para o estudante os valores das trocas etransformações que acontecem.
Assim, portanto, o ideal é que antes de ser apresentado aos estudantes o método padrão, eles 
tenham a oportunidade de vivenciar o cálculo escrito por decomposição. Essa transposição certamente 
irá auxiliá-los na identificação dos processos que são ocultados no método tradicional, como “vão dez”, 
“vão cem” etc.
Exemplo de aplicação
Você aprendeu a resolver adições por meio de qual técnica? Pelo método padrão ou por decomposição?
Muitos professores aprenderam a calcular adições por meio do método padrão, por isso costumam 
afirmar que preferem esse tipo de técnica, já que para eles é um procedimento familiar. Entretanto, 
83
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
os pedagogos que lecionam do 1º ao 5º do Ensino Fundamental precisam dominar os procedimentos 
de ambas as técnicas, permitindo aos estudantes a ampliação de repertório de maneiras diferentes de 
resolver adições, bem como a transição de uma técnica para outra, priorizando o aprofundamento dos 
processos que acontecem nesses procedimentos de cálculo. 
5.1.3.1.2 Subtração
Apresentamos adiante as partes de uma subtração, suas principais propriedades e fatos básicos.
As partes de uma subtração, também conhecidos como termos, são nomeados como minuendo, 
subtraendo e resto ou diferença. Sendo assim, os números antes do sinal de igualdade são denominados, 
respectivamente, minuendo (quantidade total), subtraendo (quantidade a ser retirada) e resto ou 
diferença (que se refere ao que sobrou). Veja:
Partes da subtração
Subtraendo
23- =
Resto (diferença)
214
Minuendo
237 237
- 23
Minuendo
Subtraendo
214 Resto (diferença)
Enquanto operações inversas da adição, as propriedades da subtração também refletem essa 
importante característica. A subtração, portanto, no que se refere às relações quantitativas com números 
naturais, não é comutativa ou associativa, e o elemento neutro pode interferir em seu resultado.
A propriedade comutativa, basicamente, refere-se à troca de ordem entre as parcelas ou termos. 
No caso da subtração, essa propriedade não se aplica, pois 40 - 30 = 10 é diferente de 30 - 40 = -10. Ou 
seja, o resultado se difere, não permanece o mesmo, assim como acontece na adição.
A subtração também não é associativa, pois nela não podemos associar três ou mais parcelas, assim 
como fazemos na adição. Assim como ocorre na propriedade comutativa, quando fazemos subtrações 
com vários números, não podemos subtrair a partir de qualquer ordem, pois isso interfere diretamente 
no resultado. Por exemplo: 
8 - (5 - 3) (8 - 5) - 3 
8 - 2 3 - 3
6 0
O elemento neutro também não se aplica à subtração. Isso ocorre porque, apesar de uma quantidade 
menos zero não alterar o resultado, o contrário se difere, resultando num número negativo. Veja:
9 - 0 = 0
0 - 9 = -9
84
Unidade II
Os fatos básicos da subtração são cálculos compostos de termos com números de um só algarismo 
possíveis de serem calculados rápida e mentalmente, sem auxílio de registro escrito ou recursos 
tecnológicos. Por exemplo: 1 - 1 = 0, 2 - 1 = 1, 3 - 2 = 1 etc.
Veja a figura a seguir, que apresenta todos os fatos básicos da subtração envolvendo números 
naturais: 
- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
8 8 7 6 5 4 3 2 1 0
7 7 6 5 4 3 2 1 0
6 6 5 4 3 2 1 0
5 5 4 3 2 1 0
4 4 3 2 1 0
3 3 2 1 0
2 2 1 0
1 1 0
Colunas 
(vertical)
Linhas 
(horizontal)
Figura 30 – Fatos básicos da subtração
Exemplo de aplicação
Observe o quadro atentamente e reflita sobre as seguintes questões: 
• Enquanto no quadro dos fatos básicos da adição, tanto a linha quanto a coluna iniciam com o 
algarismo zero, neste quadro, referente aos fatos fundamentais da subtração, a linha começa com 
zero, porém a coluna inicia com o número dez. Por que isso acontece?
• O que ocorre quando um número é subtraído por ele mesmo? Qual é o resultado? Existe um padrão?
• Identifique as subtrações com os mesmos resultados. Por exemplo: 10 - 8 = 2, 9 - 7 = 2, 8 - 6 = 2 
etc. Como esses resultados estão dispostos no quadro? 
• Se o quadro fosse preenchido em sua totalidade, quais seriam as subtrações e os seus 
respectivos resultados? 
Certamente você observou que no quadro dos fatos fundamentais da subtração a primeira linha inicia 
com zero e a primeira coluna inicia com o número dez. Isso ocorre porque como estamos abordando 
os fatos fundamentais da subtração, se a coluna também começasse com zero, teríamos o resultado de 
85
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
números negativos. Por exemplo: 0 - 1 = -1. Neste caso, por não possuir as propriedades comutativa e 
associativa, a subtração de números naturais tem como regra ter o minuendo maior que o subtraendo, 
para que se tenha como diferença (resto) um número natural maior que zero.
Outro aspecto interessante sobre os fatos básicos da subtração, que pode ser adotado como regra, 
é que todo número subtraído por ele mesmo sempre terá resultado igual a zero. Essa afirmação pode 
ser generalizada para números de qualquer grandeza, ou seja, mesmo para aqueles compostos de 
mais de um algarismo. Por exemplo: 11 - 11 = 0, 124 - 124 = 0 etc. Observe na figura a seguir os 
resultados destacados:
- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
8 8 7 6 5 4 3 2 1 0
7 7 6 5 4 3 2 1 0
6 6 5 4 3 2 1 0
5 5 4 3 2 1 0
4 4 3 2 1 0
3 3 2 1 0
2 2 1 0
1 1 0
Figura 31 – Fatos básicos da subtração iguais a zero
Se o quadro dos fatos básicos da subtração fosse preenchido em sua totalidade, certamente teríamos 
resultados com números negativos, ou seja, menores que zero. Isso ocorre porque em certo momento 
da coluna o número que representa o minuendo fica menor que o subtraendo, tendo como resto (ou 
diferença) um número negativo. Por exemplo: 8 - 9 = -1, 7 - 8 = -1, 7 - 9 = -2 e assim por diante, 
conforme exemplificado a seguir:
- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
8 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1
7 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2
6 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3
5 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
4 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5
3 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6
2 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
1 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
Números negativos 
(menores que zero)
Figura 32 – Fatos básicos da subtração: números negativos
86
Unidade II
Assim como na adição, o domínio dos fatos básicos da subtração é essencial para a resolução de 
cálculos mentais realizados no dia a dia, bem como a possibilidade de generalização de regras para 
números de outras grandezas. Por exemplo: se 7 - 3 = 4, logo, 70 - 30 = 40 ou ainda 700 - 400 = 300, 
entre outras possibilidades.
 Saiba mais
Desenvolva o raciocínio de cálculo mental por meio do jogo a seguir:
WORDWALL. Pare dos fatos básicos: adição e subtração. [s.d.]b. 
Disponível em: https://cutt.ly/6Fphb4h. Acesso em: 6 abr. 2022.
Gire a roleta e responda rapidamente o resultado de cada operação!
De acordo com Coll e Teberosky (2000, p. 87) “para fazermos uma subtração, podemos utilizar 
diversas estratégias”, sendo elas:
• Descontar: para encontrar o resultado de 11 - 3, desconta-se 3 de 11, ou seja, retira-se 3 de 11 e 
considera-se a quantidade que sobrou, que são 8. Por exemplo:
Quantidade 
descontada
Quantidade 
que sobrou
Figura 33 
Fonte: Coll e Teberosky (2000, p. 87).
• Contar acrescentando: para encontrar o resultado da subtração 14 - 9, conta-se acrescentando 
de um em um a partir do número menor, ou seja, do 9 até chegar no 14, que dá 5. Esta estratégia 
também é denominada sobrecontagem. Por exemplo: reserve o número 9 e conte os números 
posteriores a ele até chegar no 14, ou seja, 10, 11, 12, 13 e 14. No caso, a quantidade de números 
contados será a diferença, ou seja, o resultado da subtração. 
87
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
• Contar retirando: esta estratégia é inversa da anterior. Sendo assim, no lugar de partir da 
contagem do número menor, é realizada uma contagem decrescente, do maior para o menor, 
contando-se retirando de um emum de 14 a 9, cujo resultado também dá 5. Por exemplo: reserve 
o número 14 e conte os números anteriores a ele até chegar no 9, ou seja, 13, 12, 11, 10 e 9. No 
caso, a quantidade de números contados será a diferença, ou seja, o resultado da subtração. 
Exemplo de aplicação
Você costuma usar quais destas estratégias para resolver subtrações? Descontar, contar acrescentando 
ou contar retirando?
Ao resolver subtrações, procure utilizar estratégias pouco utilizadas por você, como forma de 
flexibilização de raciocínio e também familiarização com novos procedimentos. 
Essas estratégias são muito eficientes para quantidades pequenas. Entretanto, quando temos 
que subtrair números com vários algarismos, faz-se necessário conhecer outras formas de cálculo 
da subtração. 
Método padrão
É o método mais utilizado nos anos iniciais do Ensino Fundamental. De acordo Coll e Teberosky 
(2000, p. 89):
Para fazer uma subtração, escrevemos o número menor embaixo do maior, 
de modo que as unidades, dezenas, centenas etc. coincidam na mesma 
coluna. Depois subtraímos os algarismos um a um, por colunas. Quando 
um algarismo do número que precisamos subtrair for maior que seu 
correspondente da mesma coluna, temos duas soluções. 
— Adicionar 10 unidades ao algarismo menor e, para compensar, tirar 
uma unidade do algarismo que está imediatamente à sua esquerda.
— Adicionar 10 unidades ao algarismo menor e, para compensar, 
adicionar, no número que está embaixo, uma unidade ao algarismo 
da coluna imediatamente à esquerda.
 4
- 1
764
- 481
3 3
A)
 7
- 4
 7
- 4
764
- 481
764
- 481
2
2
6
5
16
16
5
6
283
283
C)
 6
- 8
 6
- 8
764
- 481
764
- 481
8
8
16
16
16
16
5
6
83
83
B)
1
1
88
Unidade II
 Observação
Coll e Teberosky (2000) são uma referência espanhola. Aqui no Brasil, é 
mais comum o uso do primeiro exemplo indicado, em que, para compensar, 
faz-se necessário tirar uma unidade do algarismo que está imediatamente 
à sua esquerda no minuendo, do que o segundo exemplo, que indica a 
ação de adicionar a partir do subtraendo – ou seja, do número que está 
embaixo – uma unidade ao algarismo da coluna imediatamente à esquerda. 
Portanto, se você desconhece o segundo procedimento, fique tranquilo(a) 
e considere-o como uma possibilidade de aprendizagem.
É importante ressaltar que o método padrão, além de muito complexo, é econômico, não explicitando 
todas as trocas e transformações que acontecem ao recorrer ao algarismo posicionado à esquerda. 
Assim como acontece na adição, este tipo de procedimento induz à identificação do valor absoluto do 
algarismo, e não do valor relativo que está condicionado à posição – ordem e classe – que ocupa no 
número. Sendo assim, no exemplo indicado, devemos considerar que não houve a troca de apenas uma 
unidade de 7, mas sim uma dezena, para então compor o número 16, de maneira que fosse possível 
subtrair 8. 
 Saiba mais
Para você, é correto dizer “pegar emprestado” ao resolver subtrações?
Confira a resposta da Profa. Dra. Kátia Smole a esta importante questão 
no vídeo a seguir:
É correto dizer “pega emprestado” na subtração? - Minuto Mathema. 
Brasil: Grupo Mathema, 2017. 2 min. Disponível em: https://bit.ly/3wb4iuI. 
Acesso em: 1º abr. 2022.
Método expandido ou por decomposição
Para subtrair números compostos de vários algarismos, nesta técnica podemos decompor os 
números, considerando o valor posicional dos algarismos, separando-os em subtrações parciais, 
mais simples. 
Veja o exemplo a seguir de uma subtração em que o recurso a uma ordem superior não é necessária:
60 + 7
- 40 + 1
20 + 6 = 26
67 - 41 =
89
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
Agora, veja outro exemplo, cujo recurso a uma ordem superior se faz necessário para resolver 
a subtração:
70 + 2
- 30 + 8
30 + 4 = 34
72 - 38 =
1060
Observe que no método por decomposição as trocas que acontecem durante o procedimento de 
cálculo ficam mais explícitas, sendo possível identificar as transformações que acontecem no número. 
É importante ressaltar que na técnica por decomposição o sinal de adição é necessário, pois para 
compor o resultado – ou seja, a diferença – faz-se necessário reagrupar os valores das ordens do número 
(30 + 4 = 34).
Exemplo de aplicação
E você, futuro(a) pedagogo(a), aprendeu a resolver subtrações por meio de qual técnica? Pelo método 
padrão ou por decomposição?
5.1.3.2 Campo multiplicativo
Apesar de o título campo multiplicativo mencionar explicitamente a multiplicação, para Vergnaud 
(1996, 2009), como as operações de multiplicação e divisão fazem parte de uma mesma família, 
existem estreitas conexões entre elas. Sendo assim, podemos compreender que os problemas do campo 
multiplicativo compõem o trabalho com um conjunto de situações envolvendo multiplicações 
e divisões. 
Exemplo de aplicação
Você sabe como calcular a prova real de uma multiplicação? 
Vamos relembrar?
 15
- 15
 15
- 15
3
5
5
3
 3
x 5
00 0015
Divisão 1 Divisão 2
Prova real
Multiplicação
Operação de origem
A prova real é apenas um dos exemplos em que podemos identificar claramente as conexões entre 
a multiplicação e a divisão.
90
Unidade II
Atualmente o ensino da multiplicação e divisão valoriza a compreensão de 
conceitos, por isso, configura-se em uma nova lógica, tendo como ponto 
de partida problematizações em que a criança utilize procedimentos 
pessoais para resolvê-las, propõe o estudo de regularidades e dos fatos 
básicos da multiplicação/divisão para então iniciar o trabalho com os 
algoritmos. As problematizações envolvendo as operações do campo 
multiplicativo devem oferecer aos estudantes diferentes significados e 
contextos variados adequados às diferentes ideias multiplicativas (SÃO 
PAULO, 2019b, p. 92).
Assim como no campo aditivo, Vergnaud (1996, 2009) contribui para a identificação de inúmeras 
situações-problema em que podemos empregar o uso da multiplicação e divisão. De acordo com esse 
pesquisador, há duas grandes categorias de problemas do campo multiplicativo que ele denomina 
isomorfismo de medidas e produto de medidas.
Proporcionalidade
Isomorfismo 
de medidas
Multiplicação 
comparativa
Produtos 
das medidas
Configuração 
retangular
Combinatória
Categorias
Figura 34 
Fonte: São Paulo (2019b, p. 93).
Vergnaud (1996, 2009) define isomorfismo de medida como uma estrutura conceitual que envolve 
proporção e comparação direta simples entre duas grandezas, como pessoas e objetos, alimentos e 
instrumentos de medida, bens e custos etc. Nessa estrutura, portanto, concentram-se situações 
multiplicativas que envolvem proporcionalidade e comparação. 
Problemas de proporcionalidade
Os problemas de proporcionalidade implicam a relação direta e proporcional entre duas variáveis. 
Essas relações podem variar entre a ideia de “um a muitos” ou de “muitos a muitos”. Os enunciados a 
seguir explicitam essas relações:
91
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
Quadro 11 – Problemas de proporcionalidade
“Um a muitos”
Yasmin toma 6 copos de água por dia. 
Quantos copos de água ela toma em 7 dias?
1 – 6
7 – ?
“Muitos a muitos”
Numa maratona, Yasmin correu 12 quilômetros 
em 2 horas. Se manter o mesmo ritmo, quantos 
quilômetros ela correrá em 3 horas?
2 – 12
3 – ?
Os problemas de proporcionalidade envolvendo a relação “um a muitos”, por possuírem uma 
estrutura conceitual mais simples, são menos complexos. Por isso, são recomendados para o trabalho 
mais aprofundado com os alunos dos anos iniciais do Ensino Fundamental. 
De acordo com os enunciados apresentados, para resolver o problema envolvendo a relação 
“um a muitos” é necessário primeiramente identificar as variáveis ou razões envolvidas (copo e 
quantidade de dias) multiplicando as quantidades indicadas, ou seja, 7 × 6 = 42. Já na relação 
“muitos a muitos”, as variáveis (ou seja, as razões) não são tão explícitas. O estudante precisa 
perceber a proporcionalidade entre horas e quilômetros, sendonecessário identificar a quantidade 
de quilômetros percorridos em 1 hora para resolver o problema, a partir do seguinte raciocínio: 
se em 2 horas Yasmin percorreu 12 quilômetros, em 1 hora ela percorreu 6 quilômetros. Sendo 
assim, em 3 horas ela percorrerá 18 quilômetros.
Sobre os problemas de proporcionalidade nos anos iniciais do Ensino Fundamental, é importante 
ressaltar que:
 
Na maioria das vezes, as crianças no início da escolaridade resolvem esses 
problemas por procedimentos pessoais, usando desenhos ou esquemas para 
mostrar seu raciocínio. Às vezes, resolvem aditivamente ou subtrativamente, 
não apresentando indicações de usar o raciocínio multiplicativo. No 
entanto, é preciso evoluir. Pesquisadores afirmam que a evolução do 
raciocínio multiplicativo se dá pelo envolvimento das crianças com os 
vários significados da multiplicação e com os contextos adequados a esses 
significados (SÃO PAULO, 2019b, p. 94).
Exemplo de aplicação
Seguindo os exemplos apresentados anteriormente, formule dois enunciados de problemas de 
proporcionalidade, sendo um envolvendo a relação “um a muitos” e o outro as razões “muitos a muitos”. 
92
Unidade II
Problemas de comparação
Assim como no campo aditivo, o campo multiplicativo também possui situações comparativas. 
A diferença entre esses conceitos é que enquanto a ideia aditiva envolve a noção de “quantos a mais” ou 
“quantos a menos”, no campo multiplicativo, a comparação se desenvolve a partir de relação “quantas 
vezes mais” (dobro, triplo, quádruplo, metade, terça parte etc.). 
Quadro 12 – Problemas de comparação
Dobro
Yasmin tem 5 anos, Léo tem o dobro dessa idade. 
Quantos anos Léo tem? 
Metade
Léo tem 10 anos, Yasmin tem a metade dessa idade.
Quantos anos Yasmin tem? 
Observe nos enunciados apresentados a estreita relação entre a multiplicação e a divisão. 
Enquanto no primeiro problema a resolução requer o procedimento de “duas vezes mais” ou “dobro” 
para resolução, ou seja, 5 × 2 = 10, no segundo problema, partindo da mesma situação, pelo fato de 
modificar a incógnita da pergunta, a resolução requer uma divisão a partir da ideia de metade, ou 
seja, 10 / 2 = 5.
A respeito do trabalho com os problemas de comparação do campo multiplicativo nos anos iniciais 
do Ensino Fundamental, é importante ressaltar que “as crianças resolvem esse tipo de problema por 
estratégias pessoais, no geral usando desenhos, agrupando a quantidade de um elemento e depois 
usando a relação comparativa e indicando ‘quantas vezes mais’ se repete aquele agrupamento” 
(SÃO PAULO, 2019b, p. 95).
Exemplo de aplicação
Consulte e pesquise, em livros didáticos de Matemática do 1º ao 5º ano do Ensino Fundamental, 
enunciados que envolvem o significado de multiplicação comparativa. Esta é uma ótima estratégia para 
identificar e se familiarizar com diferentes tipos de problema.
Vergnaud (1996, 2009) considera que os problemas envolvendo produtos de medida sejam mais 
complexos do que a estrutura de isomorfismo de medida. Por isso, recomenda-se que as situações 
multiplicativas de configuração retangular e combinatória sejam trabalhadas com profundidade a partir 
do 4º ano do Ensino Fundamental.
Problemas de configuração retangular
Por permitir o desenvolvimento de noções de área, situações de configuração retangular estão 
relacionadas à medida ou quantidade de objetos num determinado espaço físico com características 
retangulares. Por exemplo: calcular a quantidade de objetos que estão dispostos em fileiras organizadas 
93
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
em linhas e colunas. Assim, “os contextos que propiciam esse significado podem ser caixas de frutas, 
ovos, poltronas de auditórios, teatros etc.” (SÃO PAULO, 2019b, p. 95). 
Quadro 13 – Problemas de configuração retangular
Configuração retangular
Um salão tem 6 fileiras com 5 cadeiras cada uma. 
Quantas cadeiras há nesse salão? 
Observe na análise dimensional a seguir a resolução do problema:
6 colunas
(cadeiras)
5 linhas
(cadeiras)
Figura 35 – Análise dimensional
Adaptada de: https://cutt.ly/YF7fexS. Acesso em: 11 mar. 2022.
A partir dessa representação é possível identificar que para resolver esse tipo de problema, chegando 
ao total de cadeiras na sala, faz-se necessário multiplicar a quantidade de fileiras pela quantidade de 
cadeiras, ou seja, 6 × 5 = 30. Para a resolução, o procedimento é o mesmo, por exemplo, de quando se 
deve calcular a área de uma figura geométrica com características retangulares.
Exemplo de aplicação
Observe a operação a seguir:
6 × 4 = 24
Com essa mesma operação, elabore um enunciado de problema envolvendo a ideia de configuração 
retangular, considerando o contexto caixa de ovos.
94
Unidade II
Problemas de combinatória
“Como o próprio nome já diz, para determinar o resultado desse tipo de problema é preciso fazer 
todas as combinações possíveis entre os todos os termos. Os contextos apropriados para esse tipo de 
problema envolvem combinações de roupas, de sanduíches [...]” (SÃO PAULO, 2019b, p. 96).
Quadro 14 – Problema de combinação
Combinatória Yasmin tem 2 calças e 3 camisetas de cores diferentes. De quantas maneiras ela pode se arrumar combinando as calças com as camisetas? 
Diferentemente da ideia de configuração retangular, em que a resolução requer uma análise 
dimensional do espaço, o raciocínio de resolução do problema de combinatória envolve a necessidade 
de compor subconjuntos. Veja o exemplo:
Figura 36 – Composição de subconjuntos
Adaptada de: https://cutt.ly/IF7fQJn. Acesso em: 11 mar. 2022.
Assim, a multiplicação que representa a ideia de agrupamentos por subconjuntos é 2 × 3 = 6, que 
significa duas calças para três camisetas.
Exemplo de aplicação
Sabendo que a divisão é a operação inversa à multiplicação, como se resolve o problema a seguir?
Yasmin tem em sua mala 8 peças de roupas. Se 4 são bermudas, quantas são camisetas? 
95
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
Uma vez compreendidas as ideias do campo multiplicativo, passamos agora a discutir as diferentes 
técnicas no trabalho com as operações aritméticas de multiplicação e divisão nos anos iniciais do Ensino 
Fundamental. Mas, antes disso, ressaltamos a importância do ensino concomitante de situações-problema 
contextualizadas, com as técnicas e estratégias operatórias, cujo intuito é contribuir para a ampliação 
do repertório dos estudantes no que se refere à variedade de ideias multiplicativas (proporcionalidade, 
comparação, configuração retangular e combinatória). 
5.1.3.2.1 Multiplicação
Antes de apresentarmos diferentes tipos de técnicas operatórias para a resolução de multiplicações, 
faz-se necessário compreender alguns conceitos importantes, sendo eles: as partes de uma 
multiplicação, as principais propriedades que a constituem e seus fatos básicos.
A multiplicação simples é composta pelos fatores (multiplicando e multiplicador) e pelo produto (ou 
resultado). Veja a seguir:
Partes da multiplicação
Fator
7x =
Produto
588
Fator
84 84
x 7
Fator (multiplicando)
Fator (multiplicador)
588 Produto
Assim como a adição, a multiplicação é comutativa, associativa e possui um elemento neutro. Além 
disso, possui as características distributiva e do elemento inverso.
A multiplicação é comutativa, pois a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, 
independentemente da ordem em que você multiplicar os fatores, o resultado sempre será o mesmo. 
Por exemplo:
5 × 6 = 30
6 × 5 = 30
A propriedade associativa está relacionada à possibilidade de associar ou agrupar três ou mais 
fatores de maneiras diferentes, conforme a conveniência, não interferindo em seu resultado. Veja o 
exemplo a seguir:
Resolução A
(12 x 5) x 6
60 x 6
360
Resolução B
12 x (5 x 6)
12 x 30
360
12 × 5 × 6 = 
Enquanto na adição o elemento neutro é o zero, na multiplicação é o número 1 que representa a 
neutralidade, pois todo número multiplicado por 1 é igual a ele mesmo. Por exemplo:
99 × 1 = 99
96
Unidade II
 Observação