Propagação de Erros

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Propagação de Erros
Sabemos que medidas indiretas são resultantes de operações com medidas diretas, sabemos também que essas medidas diretas possuem erros, que por sua vez tornam as medidas indiretas menos precisas, resulta daí o nome erro propagado da medida indireta. De outra forma, quando calculamos com duas ou mais medidas diretas que contenham erros, é certo que esta medida calculada seja menos precisa que as medidas diretas, devido aos erros irem se acumulando toda vez que manipulamos matematicamente as medidas envolvidas no cálculo. Este é o motivo deste estudo, que é a importância de expressarmos corretamente as medidas indiretas, ou pelo menos com valores aproximados, já que nunca poderemos obter valores exatos experimentalmente. 
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Equação do erro indeterminado
Considere uma medida indireta “y” como sendo uma função de outras medidas diretas “ x1 , x2 , x3 ,..., xn ”, em termos matemáticos escrevemos isto como: y = f (x1 , x2 , x3 ,..., xn). Assim podemos definir a diferencial desta função (ou variação da função) em termos das variações de cada uma das variáveis ( x1 , x2 , x3 ,.., xn ) como sendo:
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Onde:
é a derivada parcial da função em relação ao xi, ou seja derivamos a função apenas em relação ao xi escolhido. Então podemos substituir as diferenciais pelos respectivos desvios, e isto se aplica à função e às variáveis. De outra forma trocamos o dx pelo desvio da medida direta (chamaremos de Δx), ficando assim:
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Agora visualizaremos em um gráfico de uma medida indireta que apresenta apenas uma variável:
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Se yi é uma função de xi [ yi = f(xi)], e fazendo x’ = xi±Δxi, então podemos obter a incerteza de yi pela projeção da incerteza Δxi. E escrevemos assim:
Para uma função dependente de mais de uma variável y = f (x1 , x2 , x3 ,..., xn), usamos a seguinte expressão:
Essa expressão é uma expansão da primeira, e se chama equação do erro indeterminado.
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Derivadas parciais
Exemplo: Considere a função f a duas variáveis, dada por:
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Para obtermos a derivada parcial em relação à x, consideramos a segunda variável y como constante (isto é seu valor não se
altera). Assim derivamos a função:
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Método de Kleine e McClintock