Curso de EES

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CURSO DE 
EES 
 
 
 
 
 
 
 Universidade de Brasília - UnB 
 Faculdade de Tecnologia - Bloco G - Sala GT-04/18 
Telefone: (61) 3107-5738 
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Introdução 
 
 Essa apostila serve tanto como uma introdução ao EES (“Engineering Equation Solver”) para 
os alunos de Termodinâmica quanto como uma revisão do software para alunos de Máquinas 
Térmicas. 
 
SOBRE O EES 
O software permite a resolução de grandes sistemas de equações, com as 
vantagens de possuir uma sintaxe simples e de não haver a necessidade de dizer ao 
programa em qual ordem as variáveis devem ser encontradas. 
Ele é particularmente utilizado nas matérias de termodinâmica por incluir 
uma série de funções termodinâmicas que fornecem valores de temperatura, 
pressão, entalpia, entropia, densidade, entre muitas outras propriedades, para uma 
variedade muito grande de materiais. 
Uma versão de demonstração do software pode ser obtida no endereço: 
http://www.fchart.com/ees/demo.php. A versão comercial é disponibilizada para os 
alunos da UnB, sendo que nesse caso o software é instalado com auxílio dos técnicos 
ou professores do Departamento de Engenharia Mecânica. 
 
 
 
 
 
 
 
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Primeiros Passos 
 
RESOLVENDO SISTEMAS DE EQUAÇÕES 
Ao abrir o programa, o EES criará um novo arquivo e abrirá a janela “Equations 
Window”, que é onde você deve escrever as equações do seu problema, seguindo a sintaxe 
do programa. 
Uma vez descrito o problema, você pode verificar se o sistema pode ser resolvido 
clicando em “Check Equations (Ctrl+K)” ou resolver o sistema clicando em “Solve 
(F2)” . 
Você pode iniciar com sistemas simples para verificar o funcionamento do programa: 
 x^2 – 4 = 0 a/b = 3 
 x + y = 3 a*b = 48 
 
VARIÁVEIS 
É possível dar qualquer nome para as variáveis. Algumas formas, contudo, equivalem 
a formatações específicas na Janela de Soluções (Ctrl+U ) ou na Janela de Equações 
Formatadas (F10 ). Segue alguns exemplos: 
 
Janela de Equações Janela de Soluções/Equações Formatadas 
 eta_turbina 
eta_turbina 
 DELTAT 
 deltaT 
 T_1 
 s_2_ideal 
 
 
 
 
 
 
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DIFERENÇAS ENTRE LINGUAS 
Ao utilizar o EES em português, deve ser usado a vírgula (“,”) como separador 
decimal e o ponto-e-vírgula (“;”) como separador de parâmetros em uma função. Em inglês, 
esses separadores são substituídos pelo ponto (“.”) e pela vírgula (“,”), respectivamente. 
T_1 = 273.15 [K] 
h_1 = enthalpy(air, T=T_1) 
 
O exemplo acima foi feito em um computador configurado para o Inglês. Ao abrir em 
um computador configurado para Português, o código não irá rodar. Utilizando-se a 
ferramenta replace (“Search > Replace”, ou Ctrl+R) é possível rapidamente trocar todos os 
separadores de um programa: 
T_1 = 273,15 [K] 
h_1 = enthalpy(air; T=T_1) aaa 
 
DEFINIÇÃO DE UNIDADES 
Você também pode atribuir unidades às variáveis, colocando-as entre [colchetes]: 
L = 100 [m] 
g = 10 [m/s^2] 
T = 2*pi*sqrt(L/g) 
Observe que ao resolver o sistema acima, a janela de soluções não irá definir uma 
unidade para o período T e irá alertar sobre um possível problema de unidades: 
g = 10 [m/s^2] L = 100 [m] T = 19.87 
1 potential unit problem was detected. 
Adicionar a unidade “[s]” ao final da linha “T = 2*pi*sqrt(L/g)” gera um erro de 
sintaxe. Para fornecer a unidade de T, basta clicar duas vezes no resultado da variável T: 
 
 
 
 
 
 
 
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É interessante definir as unidades esperadas de cada variável, já que assim o EES irá 
verificar se as unidades estão condizentes. 
Se for necessário definir a unidade de várias variáveis ao mesmo tempo, você pode 
segurar Ctrl enquanto clica em cada variável que terá a mesma unidade (várias entalpias h1, 
h2, h3, ..., por exemplo) e clicar duas vezes em qualquer uma das variáveis selecionadas. 
Todas as variáveis escolhidas receberão a variável fornecida: 
 
 
CONFIGURAÇÕES DO PROGRAMA 
As preferências do programa podem ser abertas com o atalho Ctrl+Alt+U, ou 
clicando-se duas vezes nas unidades padrões na parte inferior da janela de equações: 
 
Você deve prestar atenção justamente nas configurações de sistema de unidades da 
imagem acima. Isso porque as funções termodinâmicas (como, por exemplo, a função 
enthalpy vista em um exemplo na página 3) vão entender que os valores fornecidos em 
seus parâmetros estão nas unidades aqui configuradas, independentemente da unidade que 
você forneceu em colchetes. 
 
 
 
 
 
 
 
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COMENTÁRIOS 
Para estruturar o código, você pode querer escrever anotações que não devem ser 
lidas pelo programa. Para tanto, basta seguir um dos modelos abaixo: 
 “Comentários entre aspas ficam azuis” 
 “!Comentários entre aspas e com uma exclamação são vermelhos” 
 
FUNÇÕES DO EES 
Todas as funções do EES, sejam elas matemáticas, termodinâmicas ou qualquer 
outra, podem ser encontradas em “Options > Function Info” ou com o atalho 
Ctrl+Alt+F. 
 Toda função no EES possui a sintaxe na forma: 
 nomedafunção(parâmetro1, parâmetro2, ...) 
O nomedafunção se encontra sempre em inglês, independentemente da linguagem 
de instalação do software. 
 
 
 
 
 
 
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Funções Termodinâmicas 
 
 Seguem as explicações de algumas das funções de propriedades termodinâmicas no EES. 
Além destas, o software também inclui outras funções como densidade, calores específicos a pressão 
ou a volume constante, entre muitas outras. 
 
Observação – Parâmetros de Função Termodinâmica 
Nas funções termodinâmicas, o primeiro parâmetro é geralmente o 
material em questão, que pode ser escrito sem aspas, com ‘aspas simples’, ou na 
forma de uma variável de texto, sempre em inglês: 
 nomedafunção(air, ...) <-ou-> 
 
 nomedafunção(‘air’, ...) <-ou-> 
 
 var$ = ‘air’ 
 nomedafunção(var$, ...) 
O símbolo de cifrão ($) é o que determina que a variável “var” é uma 
variável de texto. Uma variável de texto pode ter nomes como “F$”, “fluido$” ou 
“MATERIAL$”. Já o seu valor deve ser sempre fornecido entre ‘aspas simples’. 
Além do material, devem ser fornecidas nos demais parâmetros o valor 
de propriedades termodinâmicas suficientespara o cálculo da propriedade que se 
deseja encontrar. 
Esses parâmetros são escritos sempre na forma “X = valor”, em que X é 
uma letra que representa a propriedade termodinâmica (P: Pressão, T: Temperatura, 
s: Entropia por unid. de massa, h: Entalpia por unid. de massa) e o valor pode ser 
tanto um número, quanto uma variável. 
 
 Exemplos de uso dessas funções podem ser encontrados na resolução do exercício de 
exemplo, ao final dessa apostila. 
 
 
 
 
 
 
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ENTALPIA POR UNIDADE DE MASSA – enthalpy (h) 
Cálculo: Pode ser calculada no EES (ou encontrada em uma Tabela Termodinâmica) a 
partir de uma única outra propriedade: a temperatura T. Também pode ser 
calculada a partir de P e s. 
Unidades: [J/kg] ou [kJ/kg], dependendo do sistema de unidades. 
 
ENTROPIA POR UNIDADE DE MASSA – entropy (s) 
Cálculo: Pode ser calculada no EES (ou encontrada em uma Tabela Termodinâmica) a 
partir de T e P ou de h e P. 
Unidades: [J/kg-K] ou [kJ/kg-K], dependendo do sistema de unidades. 
 
TEMPERATURA – temperature (T) 
Cálculo: Pode ser calculada no EES (ou encontrada em uma Tabela Termodinâmica) a 
partir de h ou a partir de P e s. 
Unidades: [K] ou [C], dependendo do sistema de unidades. 
 
PRESSÃO – pressure (P) 
Cálculo: Pode ser calculada no EES (ou encontrada em uma Tabela Termodinâmica) a 
partir de T e s ou h e s. 
Unidades: [Pa], [kPa], [MPa] ou [bar] dependendo do sistema de unidades. 
 
 
 
 
 
 
 
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Funções Matemáticas 
 
abs() Retorna o valor absoluto (módulo). 
sin/cos/tan() Funções Trigonométricas 
sinh/cosh() Funções Trigonométricas Harmônicas 
arcSin/Cos/Tan() Funções Trigonométricas Inversas 
ceil() Arredonda para o próximo número inteiro 
floor() Arredonda para o número inteiro anterior 
trunc() Despreza a parte decimal 
round() Arredonda para o número inteiro mais próximo 
convert(‘de’, ‘para’) Fornece o fator de correção entre duas unidades 
 Exemplo: convert(g*mm/s^2, N) = 10-6 
convertTemp(‘X’, ‘Y’, T) Converte a temperature T do valor na escala ‘X’ para o valor na escala 
‘Y’. Aceita as escalas Celsius (‘C’), Kelvin (‘K’), Farenheit (‘F’) e 
Rankine (‘R’). 
exp() e^x 
sqrt() Raíz quadrada 
ln() Logaritmo na base natural 
log10() Logaritmo na base 10 
 Outras funções podem ser encontradas no manual do EES, disponível em “Help > EES 
Manual”, incluindo funções lógicas if/then/else/and/or, loops e funções que solucionam integrais ou 
derivadas de forma numérica (mas não analítica). 
 
 
 
 
 
 
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Matrizes 
 
 É possível definir matrizes e vetores no EES fazendo-se o uso de colchetes com as 
coordenadas i e j da matriz. Basicamente, cada termo de uma matriz ou vetor no EES é uma variável 
diferente e precisa ser definido dessa forma. 
 “Matriz Identidade 2x2” 
 A[1,1] = 1; A[1,2] = 0 
 A[2,1] = 0; A[2,2] = 1 
 
 “Vetor B = (5,6,8)” 
 B[1] = 5; B[2] = 6; B[3] = 8 
 A utilidade de utilizar vetores está em reduzir o número de linhas de código. Isso é feito 
através dos comandos DUPLICATE e END. Segue um exemplo de uso: 
 “Progressão Geométrica” 
A_1 = 2 N = 6 
 A_2 = 4 vs. DUPLICATE i=1,N 
 A_3 = 8 A[i] = 2^i 
 A_4 = 16 END 
 A_5 = 32 
 A_6 = 64 
 
 
 
 
 
 
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Exercício de Exemplo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resolução 
 
1. Em uma mesma tubulação, a pressão do fluido é a mesma. Isso significa que os pontos 1, 5 e 
6 possuem a mesma pressão atmosférica de 100 kPa e os pontos 2, 3 e 4 possuem a mesma 
pressão da saída do compressor no ponto 2 de 1 MPa = 1000 kPa. 
P_1 = 100 [kPa] 
P_2 = 1000 [kPa] 
P_3 = P_2 
P_4 = P_3 
P_5 = P_6 
P_6 = P_1 
 
2. Podemos preencher em seguida os valores que já sabemos de T: 
T_1 = 300 [K] 
T_4 = 923 [K] 
T_3 = T_5 
 
3. Com os valores de P e T nos pontos 1 e 4, já conseguimos encontrar os valores de h e s 
nesses pontos, que, coincidentemente, são a entrada do compressor e da turbina. 
h_1 = enthalpy(air, T=T_1) 
s_1 = entropy(air, T=T_1, P=P_1) 
h_4 = enthalpy(air, T=T_4) 
s_4 = entropy(air, T=T_4, P=P_4) 
 
4. Para realizar o cálculo das propriedades nos pontos 2 e 5, precisamos realizar o cálculo do 
trabalho do compressor e da turbina. 
a. Esse cálculo é realizado supondo inicialmente uma situação ideal, em que a entropia 
na entrada e na saída é a mesma (processo isoentrópico). 
s_2_ideal = s_1 
s_5_ideal = s_4 
 
b. A partir da pressão na saída e da entropia ideal na saída (igual a entropia de entrada) 
é encontrada a entalpia ideal de saída. 
h_2_ideal = enthalpy(air, P=P_2, s=s_2_ideal) 
h_5_ideal = enthalpy(air, P=P_5, s=s_5_ideal) 
 
 
 
 
 
 
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c. A diferença entre a entalpia de entrada e a entalpia ideal de saída corresponde ao 
trabalho ideal do compressor ou da turbina. 
W_ideal_compressor = h_1 – h_2_ideal 
W_ideal_turbina = h_4 – h_5_ideal 
 
d. Aplica-se a fórmula da eficiência do compressor e da turbina. 
eta_compressor = W_ideal_compressor/W_compressor 
eta_turbina = W_turbina/W_ideal_turbina 
 
e. Encontra-se a entalpia real de saída do compressor (h_2) e da turbina (h_5) 
W_compressor = h_1 – h_2 
W_compressor = h_4 – h_5 
 
5. Com a entalpia e a pressão nos pontos 2 e 5, é possível determinar a temperatura e a 
entropia. 
T_2 = temperature(air, h = h_2) 
s_2 = entropy(air, P = P_2, h = h_2) 
T_5 = temperature(air, h = h_5) 
s_5 = entropy(air, P = P_5, h = h_5) 
 
6. Uma vez que temos a temperatura T_5, já temos a temperatura T_3 (vide item 2). Com a 
temperatura T_3 e a pressão P_3, obtemos as demais propriedades para o ponto 3. 
h_3 = enthalpy(air, T = T_3) 
s_3 = entropy(air, P = P_3, T = T_3) 
 
7. Aplicamos as fórmulas de balanço energético. 
W_util = W_turbina + W_compressor 
q_entra = h_4 – h_3 
eta_ciclo = W_util/q_entra 
 
8. Arrumamos o código no EES. 
a. OU de acordo com os respectivos estados de 1 a 5. 
b. OU de acordo com os pontos de entrada (in) e saída (out) do compressor e da 
turbina. Nesse caso, podemos fazer o uso de matrizes para minimizara quantidade 
de linhas de código. 
 
 
 
 
 
 
 
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Solução 
 
"!Organização por Estados" 
 
"Eficiências do Processo" 
eta_turbina = 0.9 
eta_compressor = 1 
 
"Estado 1 - Entrada do Compressor" 
T_1 = 300 [K] 
P_1 = 100 [kPa] 
h_1 = enthalpy(air, T = T_1) 
s_1 = entropy(air, T = T_1, P = P_1) 
 
"Cálculo do Trabalho do Compressor" 
s_2_ideal = s_1 
h_2_ideal = enthalpy(air, P = P_2, s = 
s_2_ideal) 
W_ideal_compressor = h_1 - h_2_ideal 
eta_compressor = W_ideal_compressor / 
W_compressor 
W_compressor = h_1 - h_2 
 
"Estado 2 - Saída do Compressor / Entrada do 
Regenerador" 
T_2 = temperature(air, h = h_2) 
P_2 = 1000 [kPa] 
s_2 = entropy(air, P = P_2, h = h_2) 
 
"Estado 3 - Saída do Regenerador / Entrada da 
Caldeira" 
T_3 = T_5 
P_3 = P_2 
h_3 = enthalpy(air, T = T_3) 
s_3 = entropy(air, T = T_3, P = P_3) 
 
"Estado 4 - Saída da Caldeira / Entrada da 
Trubina" 
T_4 = 923 [K] 
P_4 = P_3 
h_4 = enthalpy(air, T = T_4) 
s_4 = entropy(air, P = P_4, T = T_4) 
 
"Cálculo do Trabalho da Turbina" 
s_5_ideal = s_4 
h_5_ideal = enthalpy(air, P = P_5, s = 
s_5_ideal) 
eta_turbina = W_turbina / W_ideal_turbina 
W_ideal_turbina = h_4 - h_5_ideal 
W_turbina = h_4 - h_5 
 
"Estado 5 - Saída da Turbina" 
T_5 = temperature(air, P = P_5, s = s_5) 
s_5 = entropy(air, P = P_5, h = h_5) 
P_5 = 100 [kPa] 
 
"Balanço Energético" 
W_util = W_turbina + W_compressor 
Q_entra = h_4 - h_3 
eta_ciclo = W_util / Q_entra 
“!Organização por Entradas e Saídas com 
Matrizes” 
 
N=2 "2 Turbinas" 
 "Turbina 1: Compressor entre pontos 1 e 2 
(Turbina de Eficiência 
Invertida)" 
 "Turbina 2: Turbina entre pontos 4 e 5" 
 
eta[1] = 1/1 
eta[2] = 0.9 
 
T_in[1] = 300 [K] 
T_in[2] = 923 [K] 
 
P_in[1] = 100 [kPa] 
P_in[2] = 1000 [kPa] 
 
P_out[1] = 1000 [kPa] 
P_out[2] = 100 [kPa] 
 
DUPLICATE i = 1,N 
 h_in[i] = enthalpy(air, T = T_in[i]) 
 s_in[i] = entropy(air, T = T_in[i], P = 
P_in[i]) 
 s_out_ideal[i] = s_in[i] 
 h_out_ideal[i] = enthalpy(air, P = 
P_out[i], s = s_out_ideal[i]) 
 W_ideal[i] = h_in[i] - h_out_ideal[i] 
 eta[i] = W[i] / W_ideal[i] 
 W[i] = h_in[i] - h_out[i] 
 T_out[i] = temperature(air, h = h_out[i]) 
 s_out[i] = entropy(air, P = P_out[i], h = 
h_out[i]) 
END 
 
"Estado 3 - Saída do Regenerador / Entrada da 
Caldeira" 
T_3 = T_out[2] 
P_3 = P_out[1] 
h_3 = enthalpy(air, T = T_3) 
s_3 = entropy(air, T = T_3, P = P_3) 
 
"Balanço Energético" 
W_sist = SUM(W[i], i = 1,N) 
Q_sist = h_in[2] - h_3 
eta_sist = W_sist / Q_sist 
 
“!Vantagem extra da abordagem por matrizes: 
código pode ser facilmente 
escalado para ciclos muito 
maiores, com mais turbinas e 
compressores” 
 
 
 
 
 
 
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Gabarito 
 
 
 
 
 
 
 
 
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