ESTATISTICA AMBIENTAL

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O Autor: 
William Costa Rodrigues é Agrônomo, Doutor em Agronomia (Fito-
tecnia) e Pós-Doutor em Entomologia, pela Univ. Federal Rural do 
Rio de Janeiro. Prof. da Universidade Severino Sombra e no Instituto 
Superior de Tecnologia de Paracambi/ FAETEC-RJ, ministra aulas de 
Ecologia1, Toxicologia1, Climatologia1, Estudos de Impacto Ambien-
tal1, Estatística Aplicada2 e Auditoria Certificação Ambiental2, na gra-
duação e de Estatística Ambiental1 e Biondicadores Ambientais1 na 
especialização de Planejamento e Gestão Ambiental1, onde também é 
Supervisor Pedagógico. Atua como desenvolvedor de softwares agrí-
colas e Científicos. Coordenador Geral do projeto Entomologistas do 
Brasil (www.ebras.bio.br�) e Editor-Chefe do Periódico Online En-
tomoBrasilis (www.periodico.ebras.bio.br�). Coordenador e autor de 
capítulos no livro Citricultura Fluminense: Principais pragas e 
seus inimigos naturais. Trabalha ativamente com análise estatística 
em projetos na área agrícola e ambiental. O autor poderá ser contatado 
através do e-mail: wcostarodrigues@yahoo.com.br�. Para maiores 
informações acesse o currículo Lattes do autor no seguinte endereço: 
http://lattes.cnpq.br/9873385223698434�. 
 
Esta Obra: 
A apostila Estatística Ambiental foi inicialmente utilizada no progra-
ma de Pós-Graduação Lato Sensu, Planejamento e Gestão Ambiental e 
no Curso de graduação em Gestão Ambiental, na disciplina Estatística 
Aplicada, tendo como objetivo informar o discente sobre os princípios 
básicos da estatística, relacionando-a com a metodologia científica, 
possibilitando um entendimento básico sobre o assunto. Hoje a aposti-
la é também utilizada em cursos de graduação e desde 2009 mudou o 
título para Estatística Aplicada. 
 
Esta obra é distribuída através da Creative Commons Licence. 
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/br� 
 
 
Copyright©2003Copyright©2003Copyright©2003Copyright©2003----2020202010101010, W.C. Rodrigues, W.C. Rodrigues, W.C. Rodrigues, W.C. Rodrigues 
 
 
1
 Disciplina Ministrada na Universidade Severino Sombra 
2
 Disciplina Ministrada no Instituto Superior de Tecnologia em Paracambi, RJ- Curso de Gestão Ambiental 
8ª Edição 
Revisada e Ampliada 
Com listas de Exercícios 
 
Sumário 
 
1 Introdução ................................................................................................................. 1 
1.1 Crescimento e Desenvolvimento da Estatística Moderna ................................ 1 
1.2 Variação ao Acaso ............................................................................................ 1 
2 Ensaio x Experimentação ......................................................................................... 2 
3 Conceitos Estatísticos ............................................................................................... 2 
3.1 Estatística Descritiva ........................................................................................ 2 
3.2 Inferência Estatística......................................................................................... 2 
3.3 Tipos de Dados ................................................................................................. 3 
3.3.1 Variáveis Aleatórias Categorizadas .............................................................. 3 
3.3.2 Variáveis Aleatórias Numéricas ................................................................... 3 
4 Por que Utilizar a Estatística .................................................................................... 4 
5 Planejamento Experimental ...................................................................................... 4 
5.1 Fases do Planejamento ..................................................................................... 4 
5.1.1 Problema ....................................................................................................... 5 
5.1.2 Informações Existentes ................................................................................. 5 
5.1.3 Noções Gerais Sobre Hipótese ..................................................................... 5 
5.1.4 Formulação das Hipóteses ............................................................................ 6 
5.1.4.1 Elaborando as hipóteses........................................................................ 6 
5.1.4.2 Hipótese Estatística x Hipótese Científica ........................................... 6 
5.1.5 Testando as Hipóteses .................................................................................. 6 
5.1.6 Riscos na Tomada de Decisão Através Teste de Hipóteses ......................... 6 
5.1.7 Aleatorização ................................................................................................ 7 
5.2 Erros de Observações ....................................................................................... 7 
5.2.1 Erros do Observador ..................................................................................... 7 
5.2.2 Erro do Método de Observação .................................................................... 7 
5.2.3 Por Falta de Resposta ................................................................................... 8 
5.3 Controle dos Erros nas Observações ................................................................ 8 
5.4 Métodos de Coleta de Dados ............................................................................ 8 
5.4.1 Fontes Primárias ........................................................................................... 8 
5.4.2 Fontes Secundárias ....................................................................................... 8 
5.5 Pesquisa Observacional .................................................................................... 9 
5.6 Pesquisa Experimental ...................................................................................... 9 
5.6.1 Princípios da Experimentação .................................................................... 10 
5.7 Tipos de Amostras .......................................................................................... 10 
5.7.1 Amostras Simples ao Acaso ....................................................................... 10 
5.7.2 Amostra Estratificada ................................................................................. 11 
5.7.3 Amostra Sistemática ................................................................................... 11 
5.7.4 Amostra por Área ....................................................................................... 11 
5.7.5 Amostra por Conglomeradas ...................................................................... 11 
5.7.6 Amostra Selecionada .................................................................................. 11 
5.8 Determinação do Tamanho da Amostra ......................................................... 12 
5.8.1 Tamanho da Amostra para Dados Discretos .............................................. 12 
5.8.2 Tamanho da Amostra para Dados Contínuos ............................................. 13 
6 Tabela ..................................................................................................................... 14 
6.1 Elementos Fundamentais de uma Tabela Estatística ...................................... 14 
6.2 Elementos Complementares de uma Tabela Estatística ................................. 14 
6.3 Observações para a Construção de Tabelas Estatísticas ................................. 15 
6.4 Sinais Convencionais Utilizados em Tabela Estatística ................................. 15 
 
6.5 Tipo de Tabela ................................................................................................ 15 
6.5.1 Tabela Simples (Unidimensional) .............................................................. 15 
6.5.2 Tabela de Dupla Entradaou Cruzada (Bidimensional) .............................. 16 
7 Representação Gráfica dos Dados Estatísticos ....................................................... 16 
7.1 Gráficos de Colunas ....................................................................................... 16 
7.2 Gráficos em Barras ......................................................................................... 17 
7.3 Gráficos de Linhas .......................................................................................... 18 
7.4 Gráficos de Pizza ............................................................................................ 18 
7.5 Gráficos Compostos ....................................................................................... 19 
8 Probabilidade Estatística......................................................................................... 19 
8.1 Regras para Combinar Probabilidade ............................................................. 21 
8.2 Probabilidade Condicionada ........................................................................... 22 
9 Técnicas Estatísticas Para Análise de dados .......................................................... 22 
9.1 Medidas de Tendência Central ....................................................................... 22 
9.1.1 Média Aritmética Simples ( X ) .................................................................. 23 
9.1.2 Média Aritmética Ponderada ...................................................................... 23 
9.1.3 Média Aritmética de Dados Agrupados em Intervalos .............................. 24 
9.1.4 Mediana (Me) ............................................................................................. 24 
9.2 Medidas de Variação ...................................................................................... 25 
9.2.1 Desvio-Médio (DM) ................................................................................... 25 
9.2.2 Desvio Padrão ............................................................................................. 26 
9.3 Variância ou Quadrado Médio ....................................................................... 27 
9.4 Erro-Padrão da Média - s(x) ........................................................................... 27 
9.5 Coeficiente de Variação.................................................................................. 28 
9.6 Curva de Distribuição Normal ........................................................................ 28 
9.6.1 Limites de Confiança .................................................................................. 29 
9.6.2 Erro Padrão ................................................................................................. 30 
9.7 Teste de Normalidade dos Dados ................................................................... 30 
9.8 Teste de Klomogorov-Smirnov (K-S) ............................................................ 31 
9.9 Teste de Shapiro-Wilks (S-W) ....................................................................... 31 
10 Testes Paramétricos e Não Paramétricos ................................................................ 31 
10.1 Teste t - Student .............................................................................................. 31 
10.1.1 Dados Pareados (Amostras Dependentes) .............................................. 32 
10.1.2 Dados Pareados (Amostras Independentes) ........................................... 33 
10.1.3 Dados Não-Pareados - Variâncias Desiguais (Heterocedásticas)........... 34 
10.1.4 Dados Não-Pareados - Variâncias Iguais (Homocedásticas) ................. 35 
10.2 Teste Qui-Quadrado (χ²) ................................................................................ 36 
10.3 Tabela de Contingência .................................................................................. 36 
10.4 Teste de Kruskal-Wallis ................................................................................. 37 
10.5 Teste de Friedman (Análise da Variância) ..................................................... 39 
11 Correlação Linear ................................................................................................... 40 
11.1 Coeficiente de Correlação (r) ......................................................................... 40 
11.1.1 Correlação de Pearson ............................................................................ 40 
11.1.2 Correlação de Spearman ......................................................................... 41 
11.1.3 Aspectos Gerais da Correlação Linear ................................................... 41 
11.2 Coeficiente de Determinação (r²) ................................................................... 42 
11.3 Coeficiente de Alienação (K) ......................................................................... 42 
11.4 Significância do Teste de Correlação ............................................................. 42 
11.4.1 Significância Baseada nos Intervalos ..................................................... 42 
11.4.2 Significância Baseada no Teste t para r (Pearson) ................................. 43 
 
12 Análise de Regressão .............................................................................................. 43 
12.1 Regressão Linear Simples .............................................................................. 44 
12.2 Regressão Linear Múltipla.............................................................................. 45 
12.3 Regressão Múltipla ......................................................................................... 45 
13 Transformação de Dados ........................................................................................ 46 
13.1 Raiz Quadrada ................................................................................................ 46 
13.2 Transformação Logarítimica .......................................................................... 46 
13.3 Transformação Angular (Arcoseno) ............................................................... 46 
13.4 Considerações Gerais ..................................................................................... 46 
14 Testes Específicos Para Análise de Populações e Comunidades ........................... 47 
14.1 Índice de Diversidade e Dominância Populacional ........................................ 47 
14.1.1 Índice de Margalef (α) ............................................................................ 47 
14.1.2 Índice de Glason (Dg) ............................................................................. 47 
14.1.3 Índice de Menhinick (Dm) ...................................................................... 47 
14.1.4 Índice de Shanon-Wiener (H') ................................................................ 47 
14.1.5 Índice de Dominância Berger-Parker (d)................................................ 47 
14.2 Exemplo .......................................................................................................... 48 
14.3 Índice de Similaridade entre Populações ........................................................ 48 
14.3.1 Quociente de Similaridade...................................................................... 48 
14.3.2 Porcentagem de Similaridade ................................................................. 48 
14.3.3 Índice de Afinidade ................................................................................ 49 
14.3.4 Constância .............................................................................................. 49 
14.3.5 Índice de Associação (IA) ...................................................................... 49 
15 Lista de Exercícios.................................................................................................. 50 
16 Bibliografia .............................................................................................................54 
17 Anexos .................................................................................................................... 56 
 
 
Índice de Tabelas 
Tabela 1. Resultados da interpretação de 500 fotos aéreas de diversas áreas com 
presença de mata. (dados fictícios) ........................................................................... 7 
Tabela 2. Dados do peso de 10 crianças antes e depois da administração a base de folhas 
de mandioca (dados fictícios). ................................................................................ 32 
Tabela 3. Dados de um experimento com a taxa de crescimento de mudas de duas 
leguminosas em sistema agro-silvo-pastoril, numa área de re-vegetação (dados 
fictícios). ................................................................................................................. 33 
Tabela 4. Resultados das amostras de cinco diferentes áreas delimitadas pelas 
características edáficas do solo, em quatro diferentes profundidades. Os dados 
apresentados referem-se a o poluente α-β-16-Imaginol-Poluentis, em mg.mm³ de 
solo ......................................................................................................................... 39 
Tabela 5. Correlação de Spearman entre as notas brutas de matemática e biologia (Zar, 
1999). ...................................................................................................................... 41 
Tabela 6. Classificação do valor r através de intervalos de 0 a 1. .................................. 42 
Tabela 7. Classificação do valor r através de intervalos de acordo com e Teste de Rugg.
 ................................................................................................................................ 43 
Tabela 8. Série de dados da correlação da flutuação populacional do pulgão Toxoptera 
aurantii (Homoptera, Aphididae) em função da brotação foliar de tangerina cv 
Poncã, sob cultivo orgânico na Fazendinha Agroecológica, no período de outubro 
de 2002 e outubro de 2003 (Extraído de Rodrigues, 2004). Exemplo para o 
Microsoft Excel. ..................................................................................................... 43 
Tabela 9. Índices de diversidade de cochonilhas em agroecossiema cítrico. ................. 48 
Tabela 10. Duas comunidades com sua composição de espécies em percentagem ....... 49 
Tabela 11. Valores de t -student em níveis de 5% e 1% (α=0,05 a 0,01) de 
probabilidade. ......................................................................................................... 57 
Tabela 12. Valores de χ² (Qui-quadrado) em níveis de 5% e 1% (α=0,05 a 0,01) de 
probabilidade .......................................................................................................... 58 
Tabela 13. Valores críticos para o Coeficiente de Correlação de Spearman (rs) ............ 59 
Tabela 14. Valores para transformação %arcsen ....................................................... 60 
Tabela 15. Valores mínimos de j, significativos a 0,5% (Southwood, 1971). ............... 61 
 
Índice de Figuras 
Figura 1. Diagrama de uma estatística descritiva, com seus diversos níveis de 
categorias. ................................................................................................................. 3 
Figura 2. Diagrama de tipos de dados estatísticos. ........................................................... 4 
Figura 3. Interpretação dos dados experimentais. O gráfico à esquerda, baseado em 
apenas dois pares de valores anotados para X e Y (que definem os pontos A e B), 
parece sugerir que Y cresce à medida que X cresce, entretanto no gráfico à direita, 
em que foram registrados outros valores intermediários (definidos pelos pontos B e 
C), mostra que a relação entre X e Y obedece a uma lei mais completa. ............... 10 
Figura 4. Produção de veículos no Brasil (1992-1996). ................................................. 16 
Figura 5. Alunos formados na Universidade Federal de Pernambuco em 1999. ........... 17 
Figura 6. Preferência de programas de televisão por sexo. ............................................ 17 
Figura 7. Produção de cebola no Brasil em 1992. .......................................................... 17 
Figura 8. Crescimento demográfico do Brasil de 1995 a 1999. ..................................... 18 
Figura 9. Fatia de mercado de empresas de venda de seguros de saúde no estado do Rio 
de Janeiro. ............................................................................................................... 18 
Figura 10. Eleitores por estado da região Sudeste do Brasil. ......................................... 19 
Figura 11. Flutuação populacional de pulgão preto dos citros em função da temperatura 
média em 1996, no campus da Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro. .... 19 
Figura 12. Curva de distribuição normal simétrica, onde µ é a média e s o desvio 
padrão. .................................................................................................................... 28 
Figura 13. Curvas de distribuição normal das freqüências de X, tendo a mesma média 
(µ) e diferentes graus de dispersão dos valores de X, isto é, desvios padrões (s) 
diferentes. ............................................................................................................... 29 
Figura 13. Curva normal padrão, tendo por parâmetros µ=0 e s= 1. As áreas sob a curva 
assinaladas entre os traços verticais indicam as percentagens de valores de X aí 
contidas. .................................................................................................................. 29 
Figura 15. Os valores de Z (compreendidos entre -Z e +Z) correspondem aos 
afastamentos de X em relação à média µ, medidos em unidades de desvio-padrão. 
A probabilidade (P) com que X possa ter valor menor que uma coordenada 
escolhida (C) é indicada pela área, sob a curva, situada à esquerda de C. ............. 30 
Figura 16. Correlação linear simples positiva (A); e inversa ou negativa (B), 
apresentando a linha de tendência de regressão linear simples de dados fictícios. 42 
Figura 17. Janela de configuração da linha de tendência (linha de regressão) e 
configuração da equação de regressão no Microsoft Excel. ................................... 44 
Figura 18. Regressão linear simples entre a flutuação populacional de T. aurantii e a 
brotação foliar de tangerina cv. Poncã, em cultivo orgânico de tangerina cv. Poncã, 
na Fazendinha Agroecológica, no período de outubro de 2002 a outubro de 2003 
(Adaptado de Rodrigues, 2004). ............................................................................. 44 
Figura 19. Correlação múltipla da amplitude térmica (variável x), brotação (variável y) e 
a flutuação populacional de Toxoptera citricida (variável z), em cultivo orgânico 
de tangerina cv. Poncã, na Fazendinha Agroecológica, no período de outubro de 
2002 a outubro de 2003 (Adaptado de Rodrigues, 2004). ...................................... 45 
Figura 20. Regressão múltipla entre a flutuação populacional de T. aurantii e a brotação 
foliar de tangerina cv. Poncã, em cultivo orgânico de tangerina cv. Poncã, na 
Fazendinha Agroecológica, no período de outubro de 2002 a outubro de 2003 
(Adaptado de Rodrigues, 2004). ............................................................................. 45 
Figura 20. Fluxograma Para Auxiliar na Escolha de Testes Estatísticos ....................... 56 
 
Apostila de Estatística Aplicada - 2010 
 
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1
 
1 Introdução 
 Diariamente estamos envolvidos em análises estatísticas, por exemplo, quando 
você é abordado na rua para responder qual o candidato irá votar na próxima eleição, 
quando o IBGE faz uma visita a sua casa para o censo. Desta forma, você está fazendo 
parte da estatística, mas não é só desta forma que vocêfaz parte do infinito mundo da 
estatística. Quando você está desempregado ou empregado, está fazendo parte da esta-
tística, quando seu salário aumenta, faz parte também. Bom, podemos ver que em quase 
tudo, eu disse quase tudo, podemos empregar a estatística, obviamente que não pode-
mos deixar a estatística dominar nossas vidas, pois o principal objetivo desta ferramenta 
é auxiliar na tomada de decisão ou de avaliar uma determinada situação e poder melhor 
indicar o caminho para uma tomada de decisão. 
 A estatística, como parte da matemática aplicada, trata da coleta, da análise e da 
interpretação de dados observados. Estudando os mais variados fenômenos das diversas 
áreas do conhecimento, ela representa um valioso instrumento de trabalho nos dias de 
hoje. 
 Na área ambiental, o estudo da estatística justifica-se pela necessidade de desen-
volver pesquisas, realizar experimentos, e mesmo pela utilização dos resultados e pes-
quisas feitas, realizar experimentos, e mesmo pela utilização dos resultados e pesquisas 
feitas por aqueles que a isso se dediquem, seja visando o aprimoramento de métodos e 
técnicas de investigação, seja por exigências do próprio desenvolvimento do país. 
 
1.1 Crescimento e Desenvolvimento da Estatística Moderna 
 Historicamente, o crescimento e o desenvolvimento da estatística moderna po-
dem ser relacionados a três fatores isolados – a necessidade dos governos de coletar 
dados dos cidadãos, o desenvolvimento da teoria da probabilidade e o advento da in-
formática. 
 Foram levantados dados através dos registros históricos. Durante as civilizações 
egípcias, grega e romana, os dados eram obtidos principalmente com o objetivo de reco-
lherem impostos e para o recenseamento militar. Na Idade Média, as instituições religi-
osas freqüentemente mantinham registros relativos a nascimentos, morte e casamentos. 
No Brasil o censo é realizado a cada 10 anos, avaliando o crescimento populacional e a 
distribuição desta população no território nacional entre outros aspectos avaliados. De 
fato, a crescente necessidade dos censos ajudou a incentivar o desenvolvimento de e-
quipamentos de tabulação no início do século XX. Isso levou ao desenvolvimento de 
computadores mainframe e finalmente a revolução dos computadores pessoais. 
 
1.2 Variação ao Acaso 
 O que dificulta ao trabalho de pesquisador e exige a análise estatística é a pre-
sença, em todos os dados obtidos, de efeitos fatores não controlados (que podem ser 
controlados). Esses efeitos, sempre presentes, não podem ser conhecidos individualmen-
te e alteram pouco ou muito, os resultados obtidos. Eles são indicados pela designação 
geral de variação do acaso ou variação aleatória. O efeito dessa variação do acaso é tal 
que pode alterar completamente os resultados experimentais. Assim, ao comparar no 
campo duas paisagens, poderá haver, se a avaliação for, em dias diferentes, uma interfe-
rência da luz solar, que irá interferir na distinção das cores. As variações ao acaso po-
dem ser exemplificadas como: temperatura ambiente, aferição do aparelho utilizado 
para mensurar, variação nos intervalos de amostragem, variação no horário de coleta 
dos dados, etc. 
 
William Costa Rodrigues 
 
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2
 
 
2 Ensaio x Experimentação 
 Existem diferenças básicas entre os dois métodos de avaliar um dado científico. 
As diferenças vão desde a simples forma de avaliar e encarar a coleta dos dados até a 
forma de apresentação dos dados. Abaixo no Quadro 1 são listadas as diferenças entre 
os dois métodos. 
 
Quadro 1. Diferenças entre Ensaio e Experimentação. 
Ensaio Experimentação 
 Tempo de duração da avaliação é curta, obje-
tivando somente uma pré-avaliação dos resul-
tados. 
 O tempo de avaliação deverá ser o suficiente 
para que os dados coletado possam garantir 
uma avaliação, com margem de erro menor 
possível. 
 O número de amostras é reduzido. O número de amostra deverá ser suficiente 
para avaliar os dados com a maior precisão 
possível 
 O tamanho do experimento é reduzido. O tamanho do experimento deverá ser sufici-
ente para avaliar os dados. 
 As variações ao acaso são parcialmente con-
trolados, não havendo rigor. 
 As variações ao acaso são controladas com 
rigor, possibilitando assim menor erro amos-
tral e na análise estatística. 
 A análise e interpretação dos dados não podem 
possuir muito rigor e deve se adequar ao tipo 
de ensaio realizado, número de amostras, nú-
mero de amostragens realizadas, etc. 
 A análise e interpretação dos dados deverão 
ser rigorosas e adequadas ao tipo de experi-
mentação realizada. 
 
 
3 Conceitos Estatísticos 
 
3.1 Estatística Descritiva 
 Pode ser definida como os métodos que envolvem a coleta, a apresentação e a 
caracterização de um conjunto de dados de modo a descrever apropriadamente as várias 
características deste conjunto. 
 Embora os métodos estatísticos descritivos sejam importantes para a apresenta-
ção e a caracterização dos dados, foi o desenvolvimento de métodos estatísticos de infe-
rência, como um produto de teoria da probabilidade, que levou à ampla aplicação da 
estatística em todos os campos de pesquisas atuais. 
 
3.2 Inferência Estatística 
 Pode ser definida como os métodos que tornam possível a estimativa de uma 
característica de uma população ou a tomada de uma decisão referente à população com 
base somente em resultados de amostras (Figura 1). 
 Para tornar mais claro esta definição, as definições seguintes são necessárias: 
Uma população (ou universo) é a totalidade dos itens ou objetos a ser considerado. 
Uma amostra é a parte da população selecionada para análise. 
Um parâmetro é a medida calculada para descrever uma característica de toda uma 
população. 
Uma estatística é a medida calculada para descrever uma característica de apenas uma 
amostra da população. 
 
Apostila de Estatística Aplicada - 2010 
 
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3
 
 Para melhor elucidar estes conceitos, digamos que há uma necessidade de saber 
a opinião da qualidade de vida no campus de sua faculdade. A população, ou universo, 
será todos os alunos da faculdade, enquanto a amostra consistirá os estudantes selecio-
nados para participar da pesquisa. O objetivo da pesquisa é descrever várias atitudes ou 
características de toda a população (os parâmetros). Isto seria alcançado utilizando-se 
as estatísticas obtidas da amostra de estudantes para estimar atitudes ou características 
de interesse da população. Desse modo, um aspecto principal da inferência é o processo 
que utiliza a estatística amostral para tomar decisões sobre os parâmetros da população. 
 
 
Figura 1. Diagrama de uma estatística descritiva, com seus diversos níveis de categorias. 
 A amostra pode ser definida também como o conjunto de observações extraídas de uma fonte 
(população), segundo determinadas regras e critérios, sendo a população a fonte de observa-
ções. 
 A população pode ser constituída de elementos simples, como é o caso dos seres humanos ou 
das plantas superiores ou das bactérias, ou por elementos coletivos, como é o caso das irman-
dades com mais de um indivíduo, das famílias, ou das pessoas que habitam uma casa. 
 
 A necessidade da inferência estatística deriva da necessidade da amostragem. 
Quando a população se torna grande, é geralmente dispendioso demais, consome muito 
tempo e é muito cansativo obter informações sobre a população inteira. Decisões perti-
nentes às características da população devem ser baseadas na informação contida numa 
amostra da população. 
 
3.3 Tipos de Dados 
 Existem basicamente dois tipos de dados de características de variáveis aleató-
rias que podem ser estudadas e que produzem os resultados ou os dados observados: 
categorizados ou numéricos (Figura 2). 
 
3.3.1 Variáveis Aleatórias Categorizadas 
 Este tipo de variável produzrespostas categorizadas. Por exemplo, você tem 
carro? Sim Não. 
 
3.3.2 Variáveis Aleatórias Numéricas 
 Produz respostas numéricas, podendo ser números discretos ou contínuos. A 
resposta para pergunta: "Quantos livros você possui?", a resposta é discreta, enquanto a 
reposta para "Qual a sua altura?", é contínua. 
 Dados discretos são respostas numéricas que surgem a partir de processo de con-
tagem e dados contínuos são repostas numéricas que surgem a partir de um processo de 
medição. 
PPooppuullaaççããoo//UUnniivveerrssoo 
AAmmoossttrraa 
PPaarrââmmeettrroo 
EEssttaattííssttiiccaa 
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4
 
 Na Figura 2, segue exemplos de variáveis tanto para aleatórias categorizadas, 
quanto para aleatórias numéricas (discretas e contínuas). 
 
Figura 2. Diagrama de tipos de dados estatísticos. 
 
 
4 Por que Utilizar a Estatística 
 A Estatística é uma área da matemática muito utilizada hoje em dia, entretanto 
o uso inadequado e fanático desta ferramenta torna muito difícil a compreensão dos 
resultados e levam-na ao descrédito. 
 A Estatística nada mais é que uma ferramenta que poderá auxiliará na interpre-
tação dos resultados e poderá confirmar a hipótese a ser testada ou simplesmente recu-
sá-la. 
 Desta forma devemos ter muito cuidado ao utilizar à estatística, como a ferra-
menta que irá dizer se, por exemplo, "uma área será condenada por poluição de metais 
pesado no solo". O que pode ocorrer é que a estatística irá indicar uma diferença numé-
rica, caberá ao profissional avaliar os parâmetros não previsíveis no modelo matemático 
e tomar a decisão. 
 
 
5 Planejamento Experimental 
 
5.1 Fases do Planejamento 
 Quando realizamos um estudo, primeiro consideramos sua importância. Em se-
guida, traçamos os objetivos que pretendemos alcançar e a finalidade de sua realização. 
Se houver alguma informação que possa auxiliar como ponto de partida, esta poderá 
fornecer alguns indicadores ou ensinar novas técnicas que servirão para complementar 
nossa experiência. Estas informações deverão ser avaliadas e criticadas, pois os dados 
poderão apresentar falhas ou nada representaram para o estudo do problema ou para a 
elaboração das hipóteses a serem formuladas. Em suma, diremos que os dados selecio-
nados devem ser os estritamente necessários. 
 
Tipos de Dados 
Categorizadas Numéricas 
Você possui 
carro? 
ƒ Sim ƒ Não 
Discretas Contínuas 
Qual sua altura? Quantas revistas você 
assina? 
5 1,75m 
Apostila de Estatística Aplicada - 2010 
 
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5.1.1 Problema 
 Ao planejar o problema que se vai pesquisar, deverá ser dada especial atenção 
aos seguintes pontos: 
 Definição da importância do problema que se estuda; 
 Determinação do(s) objetivo(s) e finalidade da investigação. 
 
 Definir a importância do problema que se estuda é explicar o que vamos estudar. 
Será impossível o planejamento das etapas subseqüentes se não ficar claramente evi-
denciado o problema a investigar. Não basta, por exemplo, dizer que se vai estudar a 
biodiversidade da floresta atlântica, o efeito da poluição do rio Paraíba do Sul, pois pro-
vavelmente nenhum pesquisador terá possibilidade e capacidade de abordar todos os 
aspectos da biodiversidade ou da poluição. É importante também especificar sua exten-
são. 
 
5.1.2 Informações Existentes 
 Antes de empreender o experimento, o pesquisador deve revisar tudo o que diz 
respeito ao fato em estudo, com a finalidade de saber o que já se conhece sobre o assun-
to. Decerto serão encontrados vários subsídios que fornecerão valiosa colaboração para 
o estudo. 
 A revisão bibliográfica sobre o assunto deverá sofrer cuidadosa seleção para que 
os resultados mais afins possam ser aproveitados no conforto e discussão posteriores à 
da pesquisa. 
5.1.3 Noções Gerais Sobre Hipótese 
 A hipótese, resultado de um raciocínio indutivo (consciente ou subconsciente), 
requer demonstração ou prova de sua adequação. Sabemos que a veracidade de uma 
hipótese nunca pode ser demonstrada ou provada definitivamente. O que se faz é verifi-
car se ela não seria falsa; o que nos levaria a rejeitá-la e a formular outra, se necessário. 
 Enquanto não se possa demonstrar que ela é incorreta, mantém-se a hipótese 
como boa. Dela deduzimos as conseqüências ou fazemos previsões. 
 Por sua vez, essas conseqüências e previsões serão testadas, para ver se a hipóte-
se adotada ainda se mantém ou não. 
 O planejamento de pesquisa consiste, portanto, na elaboração de um plano de 
observação, ou de experimentação, destinado a contestar determinada hipótese, por mais 
justa e sólida que possa parecer. A estratégia para isso depende da natureza do problema 
em causa. 
 Muitas vezes, o que se tem em vista é verificar uma relação de causa e efeito: 
queremos saber se a variável X e a variável Y, peculiares a determinado fenômeno, 
guardam entre si relações de causa e efeito (direta ou indiretamente). 
 Na prática, teremos de montar uma observação ou uma experiência em que se 
possa verificar o aparecimento de Y quando ocorre X, ou alterações dos valores de Y 
quando varia X, de tal forma que se possa demonstrar a existência de uma relação cons-
tante entre os valores de X e Y. A variável X, que precede a outra, é chamada variável 
independente, enquanto Y, que se supõe depender de X, é a variável dependente. 
 Do ponto de vista operacional, podemos encontrar duas situações. Uma própria 
de fenômenos sobre os quais não podemos influir nem exercer qualquer controle, limi-
tando-se o estudo científico à observação de como X e Y se apresentam espontaneamen-
te, então, como observar e medir seus valores e como analisar as relações qualitativas e 
quantitativas que possam existir entre eles (ver item Pesquisa Observacional, p. 9). A 
outra seria a interdependência das duas variáveis. 
 
William Costa Rodrigues 
 
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5.1.4 Formulação das Hipóteses 
 A estatística, testa duas hipóteses, que geralmente são denominadas de H0 ou 
Hipótese nula e H1 ou Hipótese alternativa. 
 As hipóteses estatísticas não necessariamente deverão ser idênticas à hipótese 
científica. 
 
5.1.4.1 Elaborando as hipóteses 
 O pressuposto a hipótese estatística é sempre testar a nulidade dos dados. Por 
exemplo, em um experimente está sendo testada a capacidade de duas substâncias pos-
suírem o mesmo poder de reação química, nas proporções utilizadas. A H0 deverá ser a 
seguinte: As substâncias possuem a mesma capacidade de reação. Já a H1, será As 
substâncias não possuem a mesma capacidade de reação. 
 A hipótese nula admite que os resultados sejam iguais ou com diferenças aleató-
rias entre os tratamentos. 
n3210 X ...XXX :H === 
 
 Já a hipótese alternativa, testa a falta de nulidade ou falta de diferenças aleató-
rias entre os tratamentos. 
n321a X ...XXX :H ≠≠≠ 
 
5.1.4.2 Hipótese Estatística x Hipótese Científica 
 A hipótese estatística testa somente os dados numéricos obtidos através de um 
modelo matemático fixo e contendo restrições, que não o permite avaliar variáveis 
complexas e multáveis (clima, efeito antrópico, etc.). 
 A hipótese científica poderá ser a mesma hipótese estatística ou basear-se nela, 
porém a resposta para entendimento dos resultados, não será somente baseada em um 
modelo matemático. Desta forma, valerá além da experiência do pesquisador, uma boa 
revisão bibliográfica e uma interpretação imparcial dos dados, somada com uma facili-
dade de concluir de acordo não somente pelos números, mas pela descrição do fato, seja 
ela: biológica, social, etc. 
 
5.1.5 Testando as Hipóteses 
 Existem várias formas de testar as hipóteses elaboradas. Normalmente testa-se 
através de modelos matemáticos, que são denominados testes estatísticos, que se divi-
dem basicamente em Teste Paramétricos e NãoParamétricos, que serão visto no item 
Técnicas Estatísticas Para Análise de dados, p. 22. 
 
5.1.6 Riscos na Tomada de Decisão Através Teste de Hipóteses 
 Quando se utiliza uma estatística para tomar decisão sobre um parâmetro da po-
pulação, existe um risco de se chegar a uma conclusão incorreta. Na verdade, dois tipos 
de erro podem ocorrer quando aplicamos a metodologia do teste de hipóteses: 
 Um erro do tipo I ocorre se a hipótese nula H0 for rejeitada quando de fato é 
verdadeira e não deveria ser rejeitada. 
 Um erro do tipo II ocorre se a hipótese nula H0 for aceita quando de fato é falsa 
e não deveria ser aceita. 
 
Apostila de Estatística Aplicada - 2010 
 
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5.1.7 Aleatorização 
 Na oportunidade em que organizamos os ensaios devemos proporcionar condi-
ções idênticas para cada tratamento, possibilitando que se houver algum erro este seja 
atribuído ao acaso, ou seja, não tendencioso. Com este processo o erro experimental 
poderá ser mensurado através do modelo matemático utilizado para analisar os dados. 
 
5.2 Erros de Observações 
 Quanto aos componentes de uma população, o pesquisador terá a oportunidade 
de verificar a existência de diferenças entre os mesmos. 
 Através da observação ou coleta de dados, haverá sempre uma discrepância en-
tre as amostragens realizadas, seja por falha no aparelho utilizado ou pela desatenção do 
observador. São os erros experimentais oriundos de fatores que não podem ser controla-
dos. 
 
5.2.1 Erros do Observador 
 O grau de treinamento dos observadores, o excesso de trabalho, seu estado físico 
e condições ambientais podem ser as principais causas de erros das observações. Como 
exemplo, poderíamos citar a experiência de que participaram cinco técnicos especiali-
zados em análise de foto aérea (foto interpretação), que examinaram em épocas separa-
das por um período de dois meses, as mesmas 500 fotos, com a finalidade de verificar a 
degradação ambiental acentuada das áreas fotografadas. As fotos foram interpretadas 
separadamente por cada técnico conforme a Tabela 1. 
 Erros cometidos pelo observador deverão ser considerados no modelo matemáti-
co escolhido para análise dos dados. Entretanto se estes erros forem muito distantes, ou 
seja, forem muito discrepantes, o modelo matemático poderá não prevê erro tão grande. 
Assim o treinamento dos observadores deverá ser de forma a permitir um menor erro 
experimental possível. 
 
Tabela 1. Resultados da interpretação de 500 fotos aéreas de diversas áreas com presença de mata. (dados 
fictícios) 
Observador Fotos onde a degradação foi considerada positiva (nº) 1ª leitura 2ª leitura 
A 118 139 
B 69 78 
C 83 88 
D 96 89 
E 106 92 
 
 Observa-se pela tabela acima que em nenhuma das duas ocasiões os diferentes 
observadores coincidiram quanto ao número de fotos consideradas positivas para o refe-
rido diagnóstico. O mesmo foi verificado em relação a cada um dos observadores que 
apresentaram resultados diferentes entre as duas leituras. 
 Devemos concluir que, tais discordâncias não refletem uma variação real, e sim 
cometida por quem procedeu à leitura do material fotográfico. 
 
5.2.2 Erro do Método de Observação 
 Os métodos de observação possuem erros mais ou menos importantes. Por isso 
há uma preocupação natural de todo pesquisador em aperfeiçoá-los ou substituí-los por 
outros métodos mais eficientes a fim de aumentar a exatidão dos resultados. 
William Costa Rodrigues 
 
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 Cada método em particular pode ter uma série de fatores que conduzem à distor-
ção dos resultados. 
 
5.2.3 Por Falta de Resposta 
 Este tipo de erro poderá ou não ocorrer no experimento. Ele ocorrerá se não 
houver a possibilidade de obter, dentro da metodologia, o dado que irá compor o con-
junto de informações a serem analisadas. Por exemplo, na coleta de informações a res-
peito da poluição de um determinado córrego, houve uma seca muito intensa secando a 
água no ponto de coleta pré-determinado, desta forma, houve um erro por falta de res-
posta, assim não poderá o observador coletar em outro ponto, já que a metodologia pre-
viu que aquele era o ponto a ser amostrado. 
 Em experimento, que constituem blocos e parcelas, o erro por falta de resposta 
ocorrerá através da perda de uma parcela. 
 Os modelos matemáticos que prevêem erros por falta de resposta são apropria-
dos, pois irão permitir uma flexibilidade de estimar o dado faltoso. 
 
5.3 Controle dos Erros nas Observações 
 Apesar da distinção que procuramos dar ás diferentes fontes de erros. Devemos 
lembrar que eles são bastante independentes. 
 Qualquer que seja a causa dos erros anteriormente abordados, estes poderão ser 
reduzidos ou eliminados de acordo com as coisas que os determinam. 
 Os erros dependentes dos observadores podem ser minimizados por uma prepa-
ração e por um treinamento mais eficientes, assim como por uma melhoria das condi-
ções físicas e de trabalho. 
 Os erros causados pelos métodos de observação podem ser reduzidos selecio-
nando-se o funcionamento dos aparelhos utilizados. 
 
5.4 Métodos de Coleta de Dados 
 Embora a maioria das experimentações as informações devam ser retiradas dire-
tamente no "campo", em muitas ocasiões podem-se aproveitar dados previamente obti-
dos por outras pessoas. No primeiro caso, consideramos que a informação foi recolhida 
de fonte primária e no segundo caso dizemos que a fonte é secundária. 
 
5.4.1 Fontes Primárias 
 Quando não há informações dos dados que queremos estudar, devemos ir a a-
campo para obtê-lo, assim a metodologia deverá prever a coleta de dados na fonte pri-
mária. 
 Um exemplo deste tipo de fonte é a coleta de água para a análise de poluição de 
um determinado córrego. A coleta esta sendo realizada no campo, não sendo utilizados 
dados previamente coletados por outro pesquisador. 
 
5.4.2 Fontes Secundárias 
 Quando as informações que nos interessa já foram coletadas por outro pesquisa-
dor, podemos utilizá-las. Este tipo de fonte é chamado secundário, pelo simples fato, da 
coleta dos dados ter sido realizada por outra pessoa. É óbvio que a qualidade deverá ser 
levada em consideração, além do que, devemos verificar a metodologia utilizada, para 
saber se esta poderá responder ao questionamento que a pesquisa propõe-se a responder. 
 
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5.5 Pesquisa Observacional 
 Em certos campos da biologia e das ciências sociais, por exemplo, os métodos 
experimentais podem ser difíceis ou mesmo impossíveis de aplicar. Então a observação 
científica adquire grande importância e deve ser feita com o máximo de cuidado. 
 Teorias tão fundamentais como a da evolução forma estabelecidas com base 
exclusiva na observação da natureza. A viagem de Darwin ao redor do mundo permitiu-
lhe coligir tal quantidade de informações que pôde consubstanciar a hipótese formulada 
por Lamarck, Saint Hilaire e outros naturalistas sobre a evolução dos seres vivos. Dar-
win buscou correlacionar as características próprias das espécies com as condições do 
meio em que vivia cada uma delas. Suas observações sobre as relações entre organismos 
e o meio contribuíram decisivamente para a criação da ecologia. 
 A observação deve ser inteligente e sagaz, de modo permitir clara distinção entre 
os fatos que são relevantes, para o estudo em causa, e os inúmeros outros que se apre-
sentam concomitantemente. Por isso deve ser atenta, precisa e metódica. Deve ser per-
sistente, completa, porém analítica. 
 Exige que o pesquisador seja curioso, paciente, objetivo e imparcial; capaz de 
com os olhos isentos de preconceitos e a cabeça livre das fórmulas tradicionais, de idéi-
as fixas ou baseadas em dogmas ou em autoridades que não demonstraram cabalmente, 
na praticam a validade de suas bases. 
 Sempre que possível, portanto,as observações devem ser corretamente registra-
das, repetidas e quantificadas, partindo-se de medidas rigorosas que permitam a análise 
estatística dos dados. 
 
5.6 Pesquisa Experimental 
 A experimentação ou simplesmente experimento é um método científico e de 
observação dos fatos ou fenômenos naturais, sob condições particulares estabelecidas 
pelo pesquisador. 
 Em sua essência, a experimentação deve permitir comparar o efeito de suas ou 
mais condições ou tratamentos, bem definidos, sobre um atributo do organismo ou ma-
terial que é objeto da pesquisa. 
 As condições, que o pesquisador seleciona ou manipula na experiência, são ge-
ralmente denominadas variáveis dependentes, enquanto que as mudanças observadas em 
conseqüência, no atributo, são as variáveis independentes. Assim, em estudos de dietas 
ou os alimentos administrados seriam as variáveis independentes, e o crescimento em 
peso ou altura, corresponderiam às variáveis dependentes. 
 Em experiências mais simples, os valores de uma variável independente (eixo 
das abscissas - X), são confrontados com os dados da variável dependente (eixo das 
ordenadas - Y). Por vezes, apenas duas condições da variável são testadas (por exemplo: 
duas temperaturas, duas concentrações de uma substância, a presença ou a ausência de 
luz, a administração ou não de um medicamento, etc.). Mas, como a resposta do orga-
nismo ou do fenômeno pode não ser diretamente proporcional à intensidade do fator 
ensaiado, torna-se em geral necessário experimentar três ou mais valores de variável 
independente, para que se possa apreciar seu efeito e estabelecer a lei do fenômeno. 
(Figura 3). 
 
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1
0
 
B
A
5
10
15
20
25
30
A B
X
Y
A
C
D
B
5
10
15
20
25
30
35
A B C D
X
Y
 
Figura 3. Interpretação dos dados experimentais. O gráfico à esquerda, baseado em apenas dois pares de 
valores anotados para X e Y (que definem os pontos A e B), parece sugerir que Y cresce à medida que X 
cresce, entretanto no gráfico à direita, em que foram registrados outros valores intermediários (definidos 
pelos pontos B e C), mostra que a relação entre X e Y obedece a uma lei mais completa. 
 
5.6.1 Princípios da Experimentação 
 A experimentação é a forma que o pesquisador, seja na área científica ou social, 
encontra para estimar os dados da pesquisa que irá realizar. 
 Os princípios básicos da experimentação científica são: 
a. A experimentação deverá ter impreterivelmente repetições, para assegurar que a 
resposta não foi obtida por mera casualidade e sim por inerência do tratamento. 
b. A casualização é um princípio fundamental, pois permite que o experimento possa 
ser regido por efeitos gerais a todos os experimentos. Assim as parcelas dos trata-
mentos deverão ser distribuídas ao acaso pelo experimento, caso a área experimental 
não apresente uniformidade; 
c. O controle das variáveis aleatórias (chuva, vento, temperatura, efeito antrópico, 
etc.), deverá ser controlado, caso não seja possível, recomenda-se que o efeito seja 
igual para todos os tratamentos ou itens testados; 
d. O experimento deverá ser realizado de acordo com uma técnica já conhecida e testa-
da; 
e. Caso a técnica a ser utilizada seja original, esta deverá ser experimentada antes de 
ser utilizada na experimentação; 
f. Os modelos estatísticos a serem utilizados na experimentação deverão ser adequados 
ao que se pretende responder, ou seja, deverá haver uma adequação da metodologia 
(objetivos) com o modelo, para que os resultados possam levar o pesquisador a uma 
resposta coerente e segura; 
g. Amostragens regulares, quando possíveis, pois permitem uma melhor análise dos 
dados; 
h. Certificação de que as pessoas envolvidas na experimentação possuam treinamento e 
conhecimento a cerca do modelo estatístico e da metodologia a ser empregada. 
 
5.7 Tipos de Amostras 
5.7.1 Amostras Simples ao Acaso 
 Um dos métodos mais usados. Emprega-se este processo, quando dispomos de 
uma população que apresenta características homogêneas, isto é, pouca variação no con-
junto dos elementos, ou seja, variância próxima ou igual à média. 
 
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5.7.2 Amostra Estratificada 
 Utilizada quando dispomos de informações de que a população apresenta carac-
terísticas heterogêneas, isto é, grande número de fatores ou variáveis que podem com-
prometer as conclusões se não eliminados, através de um procedimento correto. 
 A população heterogênea é transformada em subpopulações homogêneas. Estas 
subpopulações têm nome de estratos. O tamanho da amostra será determinado em fun-
ção da variância de característica a estudar em cada estrato, ou então considerando o 
número de seus elementos e procedendo-se a um percentual de cada estrato. Obtém-se, 
assim, uma amostra estratificada proporcional. 
 Considera-se este tipo de amostra que possibilita maior precisão quanto aos re-
sultados. 
 
5.7.3 Amostra Sistemática 
 Aplicada quando a população apresenta um número finito de elementos e os da-
dos estão distribuídos aleatoriamente. O número de elementos da amostra será obtido da 
seguinte forma: 
 Numa população constituída por 500 elementos e a amostra por 50 elementos, 
onde N = 500 e n = 50 dividem-se N por n, isto é, 500 por 50, obtendo-se 10, em segui-
da, sorteia-se um número da primeira dezena e, a partir dele, escolhem-se os demais, 
observando-se que se o número sorteado for, por exemplo, cinco, o segundo deverá ser 
15, o terceiro será 25, e assim por diante, até obterem-se os 50 elementos que constitui-
rão a amostra. 
 
5.7.4 Amostra por Área 
 Utiliza mapas geográficos de cidades e municípios. As unidades que comporão a 
amostra serão sorteadas em função das condições de variabilidade existentes, podendo a 
seqüência ser obtida através de sorteio de ruas e residências. A família poderá ser a uni-
dade mais simples a ser pesquisada. 
 
5.7.5 Amostra por Conglomeradas 
 Visto que, pela estratificação, o uso de amostragem nos conduz a ganhar em 
precisão. Embora a subdivisão da população seja em estratos, para que, de cada um, 
utiliza-se uma quantidade de elementos – o que torna o método de seleção um pouco 
mais trabalhoso – ele redunda conseqüentemente em ganho de precisão, o que é, no en-
tanto, compensado apenas pela diminuição das tarefas. Após a determinação dos con-
glomerados da população, sorteiam-se aleatoriamente os conglomerados que irão parti-
cipar da amostra. 
 Outros métodos de seleção poderão ser associados para determinação dos ele-
mentos de cada conglomerado para compor a fração amostral. 
 
5.7.6 Amostra Selecionada 
 Este tipo de amostra se caracteriza por elementos que o pesquisador seleciona 
para avaliar o perfil de seus componentes, considerando que os mesmos apresentam 
pelo menos uma característica em comum. 
 Por exemplo, na área de saúde é comum a realização de pesquisas de que são 
selecionados os pacientes portadores de determinadas enfermidades. Poderia ser a doen-
ça de Parkinson, hepatite, tuberculose, entre outras. Portanto, neste caso, só farão parte 
do estudo indivíduos portadores de enfermidade a ser pesquisada. 
 
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5.8 Determinação do Tamanho da Amostra 
 É muito comum um pesquisador indagar qual o número de amostras a serem 
estabelecidas para uma determinada pesquisa de campo, laboratório ou uma simples 
investigação. 
 A determinação do tamanho da amostra depende de alguns fatores: 
1. Tamanho da população alvo. Quanto ao número de elementos que compõe, pode-
mos classificar em finitas e infinitas. Na obtenção do tamanho amostral será importante 
esta informação. 
 Na população finita, por exemplo, N= 3.000, a obtenção da amostra se torna 
menoscomplexa do que nos casos de populações infinitas de (N= 800.000). 
 
2. Variância ou porcentual. Em alguns casos são empregadas características que apre-
sentam determinada variabilidade. Em outros casos, observamos a percentagem de cer-
tas características em um conjunto. Dependendo do tipo de investigação, ora usamos a 
variância, ora usamos a percentagem. 
 
3. Nível de confiança (αααα). Deve-se imaginar que, ao apresentarmos um valor percentu-
al, referente à taxa de prevalência do fenômeno estudado na amostra observada, aquele 
valor tem, em relação ao valor percentual da população, uma diferença, que é, a priori, 
arbitrada pelo pesquisador. Esta diferença arbitrada é considerada tendo em conta um 
nível de acerto que normalmente consideramos de 95% ou 99% de confiança, ou seja, o 
nível de confiança de que aquela diferença arbitrada realmente ocorra até o limite de 
diferença proposto. 
 Os níveis de confiança propostos rotineiramente são de 95% e 99% de confian-
ça. Simbolizado pela letra z, este valor é substituído na fórmula (1) por uma constante 
1,96, quando o nível de confiança corresponde a 95%, e por 2,58 quando o nível de con-
fiança é de 99%. 
 
4. Informação da literatura (p). Toda pesquisa a realizar em que investigamos a taxa 
de prevalência que fenômeno apresenta, na literatura, resultados os quais utilizaremos 
quando da determinação do valor de n em relação ao valor de p. Chamamos q o valor 
complementar de p para 100%, ou seja, p + q = 100%. 
 
5. Erro de amostragem (e). Ao procedermos às técnicas de amostragem para determi-
nação do tamanho da amostra (n), entende-se que a amostra obtida apresentará um de-
terminado valor para a taxa de prevalência de certo evento. Normalmente é esperada 
uma diferença em relação à taxa de prevalência da população-alvo. Esta diferença é 
conhecida como erro de amostragem, a qual geralmente é arbitrada pelo pesquisador. 
 
5.8.1 Tamanho da Amostra para Dados Discretos 
 Quando dispomos de variáveis discretas, utilizamos as seguintes fórmulas: 
 n 2
2
0
e
qpz ××
= (Equação 1) 
 
N
n1
n
n
0
0
+
=
 (Equação 2) 
 Onde n0: número inicial; Z: nível e confiança; p: valor obtido de trabalho anteri-
ormente realizado; N tamanho da população; q: 100%-p; (P-p): erro arbitrado pelo pes-
quisador. 
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 Quando se trata de trabalho original e não se dispõe de nenhum valor usamos 
p=50%. 
 Em populações finitas, são utilizadas as fórmulas (1) e (2). Para populações infi-
nitas e para as que N seja um valor muito elevado, apenas a fórmula (1) deve ser utiliza-
da. 
 Exemplo: com a finalidade para verificar a incidência de doença de Chagas em 
uma população de certa região, desejamos determinar o tamanho da amostra, sendo o 
tamanho da população igual a 40.000 pessoas. 
 Considerando uma prevalência de anos anteriores igual a 20% com valor z = 
1,96 (α=5%) e sendo estabelecida um erro de 4%, qual seria o número de elementos que 
a amostra deveria conter? 
 A fórmula adequada para mensurar o tamanho da amostra é a equação 1. Desta 
forma temos: 
Z = 1,96; p = 20%; q = 80%; e (P-p)= 4% 
384100 3,84 
16
600.184,3
 n 
4
802096,1
n 02
2
0 =×∴
×
=∴
××
= 
35,380
1,0096
384
n 
40.0000
3841
384
 n ==∴
+
=
 
 
 O número de indivíduos que deveríamos examinar para a determinação da pre-
valência é de 384 para uma população infinita e 380, para uma população finita. 
 
5.8.2 Tamanho da Amostra para Dados Contínuos 
 Para variáveis quantitativas contínuas, dispomos das seguintes fórmulas: 
( ) XX
Sz
n 2
22
0
−
×
=
 (Equação 1) 
 
N
n1
n
n
0
0
+
=
 (Equação 2) 
 
 Onde n0: número inicial; z: nível de confiança; X : média da amostra; X : média 
da população alvo; S: desvio padrão obtido de trabalho anteriormente realizado. ( X -
X ): erro arbitrado pelo pesquisador; N: tamanho da população. 
 Não sendo encontrado um desvio padrão em outro trabalho, procede-se a uma 
pré-amostragem, retirando-se 30 observações da população e calculando-se o desvio 
padrão da característica a ser estudada. 
 A utilização das fórmulas (1) e (2), deste item, tem procedimento semelhante ao 
amostrado para variáveis discretas. 
 
 Exemplo: numa pesquisa para determinar a taxa média de hemoglobina dos in-
divíduos de uma comunidade, deparamos com o problema de definir o tamanho da a-
mostra. Apenas sabemos que a população desta comunidade é de aproximadamente de 
25.000 indivíduos, o que torna impraticável utilizar todos os elementos. Face a isto, 
resolvemos determinar o número de elementos que comporão a amostra. Selecionamos 
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4
 
ao acaso 30 elementos, determinamos o valor do teor de hemoglobina de cada um e cal-
culamos a variância (medida de dispersão), cujo valor foi igual a 9mg2. 
 Para tal estudo, a fórmula a empregar para determinação do tamanho da amostra 
será a fórmula 1 deste item. 
 A precisão considerada para esta pesquisa foi de 0,5mg e o valor z= 1,96. Substi-
tuindo na fórmula teremos: 
138138,2976n 
25,0
34,5744
n 
25,0
98416,3
n 
5,0
996,1
n 0002
2
0 ≅=∴=∴
×
=∴
×
= 
1375411,137n 
1,0055
138,2976
n 
000.25
138.29761
138,2976
n ≅=∴=∴
+
=
 
 Para o estudo a será realizado recomenda-se que o número mínimo de indivíduos 
será igual a 138 para populações infinitas e 137 para populações finitas. 
 
6 Tabela 
 Trata-se simplesmente de um quadro, que sintetiza em conjunto de observações, 
com o objetivo de uniformizá-la e racionalizá-la, de forma a tornar mais simples e fácil 
seu entendimento. Desta forma, uma tabela deve ser construída de modo a fornecer o 
máximo de esclarecimentos, com o mínimo espaço, começando com sua legenda que 
deve ser explicativa. 
 
6.1 Elementos Fundamentais de uma Tabela Estatística 
a) Legenda: é a indicação contida na parte superior da tabela, onde deve estar de-
finido o fato observado, com a especificação de local e época, referentes a esse 
fato, ou seja, deve ser autoexplicativa; 
o Exemplo: Número (N), freqüência relativa (F) de fêmeas e riqueza de 
espécies (S) de moscas-das-frutas (Diptera: Tephritidae) capturadas nas 
armadilhas McPhail, em três municípios da região Norte e dois municí-
pios da região Noroeste do Estado do Rio de Janeiro (maio de 2005 a 
abril de 2007). 
b) Corpo: construído por linhas e colunas, que fornecem o conteúdo das informa-
ções prestadas. 
c) Cabeçalho: é a parte da tabela que apresenta a natureza do que contém cada co-
luna. Ou seja, apresenta o conteúdo referente a cada coluna. 
o Exemplo: 
Local Ocorrência (nº) 
 
d) Coluna indicadora: é a que determina o que contêm cada linha. Ou seja, apre-
senta o conteúdo referente a cada linha. 
Local Ocorrência (nº) 
Região metropolitana 
Região serrana 
Região dos lagos 
e) Linha/Coluna de Totais: quando pertinente a tabela deverá apresentar uma li-
nha e/ou coluna de totais, contendo a soma dos valores das linhas e colunas. 
 
6.2 Elementos Complementares de uma Tabela Estatística 
a) Fonte: designa a entidade/autor que forneceu os dados estatísticos. 
Apostila de Estatística Aplicada - 2010 
 
P
á
g
in
a
1
5
 
o Exemplo: Fonte: IBGE, IBOPE, Ministério da Agricultura 
b) Notas: esclarecimentos de natureza geral, a nota pode ser usada para indicar 
uma informação extra do cabeçalho, que não cabe na respectiva célula, ou escla-
recer a natureza da informação. 
 Preferencialmente, as fontes e notas devem ser inseridas no rodapé da tabela, ou seja, logo a-
baixo dela e com fonte menor que o corpo. 
 
6.3 Observações para a Construção de Tabelas Estatísticas 
 As recomendações aqui são meramente formais e facilitam o entendimentodos 
dados inseridos dentre da tabela. Desta forma, uma tabela: 
 Não deverá ser fechada lateralmente; 
 As casas (células) não deverão estar em branco, apresentando sempre um núme-
ro ou sinal convencional; 
 As linhas horizontais deverão estar presentes somente na divisão do cabeçalho e 
corpo e entre o corpo e a linha de total. 
 As linhas verticais devem ser evitadas, exceto quando houver a coluna de total, 
onde o uso é facultativo, mas em geral não se usa. 
 Poderão ser utilizadas linhas alternativas ou em faixas, com fundo cinza claro, 
em geral 10%, para diferenciar uma linha da outra e facilitar a leitura da tabela, 
principalmente quando há muitas linhas. Inclusive este sombreamento pode ser 
utilizado no cabeçalho e na linha de total da tabela. 
 
6.4 Sinais Convencionais Utilizados em Tabela Estatística 
 São também convenções, referentes ao aspecto formal de uma tabela estatística: 
 Três pontos (...): quando o dado (informação) existe, mas não dispomos dele; 
 Ponto de Interrogação (?): quando há dúvida quanto à exatidão de determinado 
dado; 
 O zero (0): quando o valor for realmente zero; 
 Traço horizontal (- ou −): quando não houve dado na coleta do mesmo. 
 Mais ou menos (±): quando os dados inseridos na tabela representam a média e o 
desvio-padrão utiliza-se deste símbolo, ou seja, o número antes representa a mé-
dia e depois representa o desvio padrão, respectivamente. 
o Exemplo: 12,54±3,2455 
 
6.5 Tipo de Tabela 
6.5.1 Tabela Simples (Unidimensional) 
 É uma tabela que possui dados ou informações relativas a uma única variável. 
Ou seja, uma coluna com a variável que se quer representar e outras colunas com os 
dados numéricos a serem exibidos pela tabela. 
Exemplo: 
Taxa de crescimento de variedades de leguminosas submetidas a um composto rico em 
matéria orgânica, no município de Vassouras, RJ, de janeiro a abril de 2009. 
Variedade Taxa de Crescimento (cm) 
Amendoim forrageiro 20 
Crotalaria juncea 15 
Crotalaria spectabilis 19 
Gliricídia 08 
 
William Costa Rodrigues 
 
P
á
g
in
a
1
6
 
6.5.2 Tabela de Dupla Entrada ou Cruzada (Bidimensional) 
 Este tipo de tabela possui dados relativos a mais de uma variável. Ou seja, uma 
coluna para a variável e outras colunas para cada variável, que serão representadas nu-
mericamente nas linhas. 
Programação Gênero Total Masculino Feminino 
Noticiário 08 05 13 
Musical 10 10 20 
Novela 07 15 22 
Esportivo 15 06 21 
Outros 05 03 08 
Total 45 39 84 
 
 
7 Representação Gráfica dos Dados Estatísticos 
 Gráfico estatístico nada mais é do que uma forma de apresentação dos dados 
estatísticos. Tem como objetivo produzir, em quem o analisa, uma informação direta e 
objetiva do fenômeno em análise. 
 Convém ressaltar que o mais relevante é interpretar os resultados, ou seja, reco-
nhecer no gráfico alguma(s) medida(s) estatística(s) que possa(m) eventualmente se-
ja(m) demonstrada(s) no gráfico. 
 
7.1 Gráficos de Colunas 
 É a representação estatística de uma série estatística por meio de retângulos con-
tíguos, dispostos verticalmente, ou seja, perpendiculares ao eixo x e paralelas ao eixo y. 
As barras possuem mesma base (eixo x), entretanto seus valores dependem dos dados 
das variáveis dependentes (eixo y). 
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
92 93 94 95 96
Ano
V
eí
cu
lo
s
(m
ilh
a
re
s 
de
 
u
n
id
a
de
s)
 
Figura 4. Produção de veículos no Brasil (1992-1996). 
 Este tipo de gráfico é utilizado geralmente para séries temporais (Figura 4), séries específicas 
(Figura 5) ou séries geográficas (Figura 6). 
Apostila de Estatística Aplicada - 2010 
 
P
á
g
in
a
1
7
 
0
50
100
150
200
250
Advogados Médicos Engenheiros
Profissão
A
lu
n
o
s 
(n
º
)
 
Figura 5. Alunos formados na Universidade Federal de Pernambuco em 1999. 
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Masculino Feminino
Sexo
Pe
ss
o
a
s 
(n
º
) a - Noticiário
b - Musical
c - Novela
d - Esportivo
e - Outros
 
Figura 6. Preferência de programas de televisão por sexo. 
7.2 Gráficos em Barras 
 É a representação de uma série estatística por meio de retângulos dispostos hori-
zontalmente, ou seja, perpendicular ao eixo y e paralelo o eixo x. Os retângulos possuem 
mesma altura e os seus comprimentos são variáveis, de acordo com os valores das vari-
áveis dependentes. 
0 50 100 150 200 250 300 350
Minas Gerais
Pernambuco
Sta. Catarina
R.G. Sul
São Paulo
Produção cebola (mil toneladas)
 
Figura 7. Produção de cebola no Brasil em 1992. 
 É normalmente utilizado em séries geográficas ou na representação de séries específicas. 
 
William Costa Rodrigues 
 
P
á
g
in
a
1
8
 
7.3 Gráficos de Linhas 
 Este tipo de gráfico é utilizado em séries temporais ou que os dados tenham re-
lação “entre si”. Um exemplo é a flutuação populacional de um animal ou planta ou a 
flutuação demográfica de um país (Figura 8). 
 
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1995 1996 1997 1998 1999
Ano
Po
pu
la
çã
o
 
(em
 
m
ilh
õe
s)
 
Figura 8. Crescimento demográfico do Brasil de 1995 a 1999. 
 
7.4 Gráficos de Pizza 
 São gráficos utilizados em séries geográficas que possibilitam a visualização 
dos resultados na forma de porcentagem. Vale ressaltar que os valores a serem especifi-
cados devem ser os valores reais, pois os programas calculam automaticamente a por-
centagem. 
49%
16% 11%
24%
Empresa A
Empresa B
Empresa C
Empresa D
 
Figura 9. Fatia de mercado de empresas de venda de seguros de saúde no estado do Rio de Janeiro. 
Apostila de Estatística Aplicada - 2010 
 
P
á
g
in
a
1
9
 
 
Figura 10. Eleitores por estado da região Sudeste do Brasil. 
 Nete caso há uma subdivisão, separando os dois menores valores de percentagem dos dados 
 
 
7.5 Gráficos Compostos 
 Podemos ter gráficos compostos e assim trabalhar com duas séries independen-
tes. Como é o caso de séries específicas e séries temporais. Ou mesmo variáveis com 
mesma série, mas com escalas numéricas diferentes (Figura 11). 
 
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez
Período levantamento
Te
m
pe
ra
tu
ra
 
(ºC
)
0
2
4
6
8
10
12
Fl
u
tu
a
çã
o
 
po
pu
la
ci
o
n
a
l (
%
)
Temperatura média Toxoptera citricida
 
Figura 11. Flutuação populacional de pulgão preto dos citros em função da temperatura média em 1996, 
no campus da Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro. 
 
 
8 Probabilidade Estatística 
 Os acontecimentos na natureza ocorrem e se repetem segundo normas e leis. A 
maior ou menor ocorrência de um determinado acontecimento deve-se às circunstâncias 
nas quais ele se realiza. Assim não podemos assumir como certo a ocorrência do acon-
tecimento, uma vez que está sujeita a uma série de fatores. Contudo, podemos tomar 
decisões, tendo-se em vista experiências anteriores, com bases nos mais prováveis resul-
William Costa Rodrigues 
 
P
á
g
in
a
2
0
 
tados. Essa tomada de decisão, quando o conhecimento da ocorrência de um determina-
do acontecimento, não é exata, é feita através do conceito de probabilidade. 
 A probabilidade pode ser conceituada, usando o bom senso, como o grau de 
crença que podemos ter na ocorrência de qualquer acontecimento eventual. 
 Para firma esta ilustração, consideremos duas urnas, A e B, cada qual contendo 
200 bolas de igual tamanho e mesmo material, distribuídas sem qualquer regularidade 
em seu interior. A respeito dessas urnas temos a informação de que existem 100 bolas 
de cor preta e outras tantas de cor vermelha na urna A, enquanto a urnaB contém 199 
bolas de cor preta e apenas uma de cor vermelha. 
 Suponhamos, agora, um jogo no qual as bolas de urna A devem ser extraídas 
uma de cada vez, às cegas e não exaustivamente, isto é, com retorno imediato de cada 
bola extraída dessa urna. Se nos pedíssemos para optar por uma aposta na retirada de 
uma bola preta ou na de uma bola vermelha da urna A, responderíamos, prontamente, 
que nos é indiferente apostar em uma ou na outra cor. Por que prontamente? Talvez 
porque saibamos, empiricamente, que, por existir a mesa quantidade de bolas pretas e de 
bolas vermelhas distribuídas na urna A sem qualquer regularidade, isto é, ao acaso, não 
se deve esperar que as bolas com uma das cores sejam extraídas preferencialmente. 
 Pelas mesmas razões empíricas diríamos que, em relação à urna B, optaríamos 
por apostar na extração de uma bola de cor preta, pois o nosso grau de crença a respeito 
da extração de uma bola preta da urna B é maior do que aquele a respeito da extração de 
uma bola vermelha. 
 O bom senso que empregamos em relação aos jogos com as urnas de nosso e-
xemplo pode ser traduzido em termos matemáticos por intermédio do conceito clássico 
de probabilidade. Assim, pode-se dizer que num conjunto de n casos igualmente possí-
veis e mutuamente exclusivos, submetidas às mesmas condições físicas, se x desses ca-
sos são favoráveis a um acontecimento a, a probabilidade do acontecimento a será ex-
pressa por intermédio da divisão do número de casos favoráveis ao acontecimento a 
pelo número de casos igualmente possíveis e mutuamente exclusivos, isto é: 
n
x
 P(a) =
 
 Em relação à urna A, pode-se dizer que existem n = 200 casos igualmente possí-
veis e mutuamente exclusivos ou incompatíveis, isto é, se uma determinada bola for 
retirada em uma extração, as outras necessariamente não serão naquela mesma extração. 
Desses casos, 100 são favoráveis a retirada de uma bola preta e 100 favoráveis a retirada 
de uma bola vermelha. Desse modo, se apostarmos na extração de uma bola preta tere-
mos um número de caso favoráveis x = 100, portanto: 
2
1
200
100
 P(a) == , isto é, 0,5 ou 50% 
 Em relação à urna B, teremos que a probabilidade de extrair uma bola preta será: 
0,995 
200
199
 P(a) ==
 ou 99,5% 
 Em relação à extrair uma bola vermelha termos: 
0,005 
200
1
 P(a) ==
 ou 0,5% 
 
 De outra forma, seja F o número de casos favoráveis à ocorrência do evento A e 
C o número de casos contrários. Chamamos de probabilidade de ocorrência de A na 
razão do número de casos favoráveis à ocorrência (F) pelo numero de casos totais (F + 
C). 
Apostila de Estatística Aplicada - 2010 
 
P
á
g
in
a
2
1
 
CF
F
 (A) p
+
=
 
 A fórmula acima não é aplicável se o espaço amostrado for finito e os acontecimentos igualmen-
te prováveis. 
Exemplo 1: 
 Supondo que uma sacola contendo 3 bolas amarelas, 4 vermelhas e 6 brancas. 
Qual a probabilidade de tirarmos uma bola amarela? 
Solução: 
Nº casos favoráveis (F) = 3 
Nº casos contrários (C) = 10 (4 +6) 
Nº casos totais (F+C) = 13 (10 + 3) 
0,2308
13
3
103
3
 (A) p ==
+
=
 
 A probabilidade é de 0,2308, ou seja 23,08%. Assim a probabilidade poderá ser 
expressa em porcentagem, já que assumimos que F+C é o total, este valor passa a ser 
100%. 
 Nesse caso a probabilidade irá variar entre 0 e 1, como podemos verificar na 
item 8.1 Regras para Combinar Probabilidade. 
 
 
Exemplo 2: 
 Qual a probabilidade de um dado espermatozóide conter um cromossoma x? 
Solução: 
 Partindo da pressuposição de que é igualmente possível ter x e y, a probabilidade 
é de ½. 
 Dois conceitos são fundamentais para o entendimento da probabilidade: 
 Se a ocorrência de um evento é certa, sua probabilidade é 1. Se sua não-
ocorrência é certa, sua probabilidade é 0 (zero). Em qualquer outro caso, a pro-
babilidade é uma fração entre 0 e 1; 
 Se a probabilidade de um evento acontecer é p, a probabilidade de não acontecer 
é 1-p. Chamamos aqui a probabilidade de “ um evento não ocorrer “ de q. Assim 
temos: 
o q = 1-p logo, p + q = 1 
 
8.1 Regras para Combinar Probabilidade 
 As duas regras a seguir representam um método simplificado de trabalhar e ope-
rar com probabilidade. 
 Regra 1 – A probabilidade de um grupo de evento, mutuamente exclusivos, ocor-
rer é a soma das probabilidades de cada evento. 
 Dois eventos são ditos mutuamente exclusivos se a ocorrência de um deles, em 
dado ensaio, exclui a possibilidade de ocorrência do outro. 
Exemplo: 
 Qual probabilidade de tirarmos um Ás ou uma Rainha de um baralho de cartas? 
Solução: 
 A probabilidade de tirarmos um Ás é 4/52, pela definição de probabilidade. É 
também válido para uma rainha. 
 Desta forma: 
13
2
52
4
52
4
 p =+=
 (pela regra 1) 
William Costa Rodrigues 
 
P
á
g
in
a
2
2
 
 Regra 2 – A probabilidade de que dois ou mais eventos independentes ocorram 
juntos é o produto das probabilidades individuais. 
Exemplo: 
 Dois pais de olhos castanhos são heterozigotos para o alelo olhos azuis? 
 ¼ é dado pela primeira Lei de Mendel. 
16
1
4
1
4
1
 p =×=
 
 
8.2 Probabilidade Condicionada 
 Sejam A e B dois eventos associados a um experimento E. Representamos por 
P(B/A) a probabilidade condicionada do evento B quando A tiver ocorrido. Sempre que 
calculamos P (B), dado A, estaremos essencialmente calculando P (B) em relação ao 
espaço amostral reduzindo a (A) em lugar de fazê-lo em relação ao espaço amostral (S). 
quando calculamos P (B/A), estaremos nos perguntando o quanto provável será estare-
mos em (B), sabendo que devemos estar em (A). Isto é, espaço amostral fica reduzido 
de (S) para (A). 
Exemplo: 
 Dois dados equilibrados são lançados, registrando-se os resultados com (x1, x2). 
Por isso, o espaço amostral (A) pode ser representado pela seguinte matriz de 36 resul-
tados igualmente prováveis. 














=
)6 ,6()2 ,6()1 ,6(
)6 ,2()2 ,2()1 ,2(
)6 ,1()2 ,1(1) 1, (
 A
K
LMLMMM
K
K
 
 
Consideramos os dois eventos seguintes: 
A = {(x1, x2)|x1 + x2 = 10} e B = {(x1, x2)|x1 > x2} 
A = {(5, 5), (4, 6), (6, 4)} 
B = {(2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2), (4, 3), (5, 3), (6, 3), (5, 
4), (6, 4), (6, 5)} 
36
15
 (B) P 
36
3
 (A) P ==
 
 
 Existem várias outras aplicações e formas de utilizar a probabilidade, que poderão ser encon-
trada na vasta literatura sobre estatística e probabilidade. 
 
9 Técnicas Estatísticas Para Análise de dados 
 
9.1 Medidas de Tendência Central 
 Os fenômenos quando estudados estatisticamente, são traduzidos por um conjun-
to de dados numéricos. A descrição desse conjunto de dados torna-se mais clara quando 
se obtêm medidas que resumem as informações necessárias. Essas medidas dão-nos o 
valor típico do conjunto de dados. 
 Os valores típicos de um conjunto de dados tendem a se localizar no centro da 
série. São, por isso, chamados medidas de tendência central. 
 A importância das medidas de tendência central é dupla: 
 Representam ou resumem todos os valores obtidos pelo grupo e, como tal, for-
necem uma descrição precisa da execução do grupo como um todo, e; 
Apostila de Estatística Aplicada - 2010 
 
P
á
g
in
a
2
3
 
 Permitem o confronto de dois ou mais grupos. 
 Usam-se, em geral, três medidas de tendência central: média aritmética (simples, 
ponderada, de dados agrupados em intervalos), mediana e moda. 
 
9.1.1 Média Aritmética Simples ( X ) 
 A média aritmética simples é a soma dos valores ou medidas, divididas pela 
quantidade destes. Sendo representado pela fórmula: 
n
x
X ∑= 
 Onde X : representa a média; ∑x : a soma das variáveis; e o n o números de 
indivíduos ou elementos. 
 Exemplo: