APOSTILA II CIÊNCIAS CONTÁBEIS

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INSTITUTO LOURENÇO MARQUES 
BACHAREL EM CIÊNCIAS CONTÁBEIS 
Prof.ª.: CLEAN MARIA REIS LOURENÇO 
DISCIPLINA: MATEMÁTICA I 
PÓLO DE RIACHINHO/ANGICO 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA II 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANANÁS – TO 
AGOSTO/2012 
 
Prof.ª. Clean Maria Reis Lourenço – Graduada em Licenciatura em Matemática – Fundação Universidade do 
Tocantins, Licenciatura em Computação – UFRPE e Especialista em Mídias na Educação UFT. 
 
1. JUROS COMPOSTO 
 
O Capitalização composta; 
O Cálculo do montante e do principal a juros compostos; 
O Equivalência de capitais a juros compostos - a equação de valor; 
 
2. OBJETIVOS DA AULA 
 
O O objetivo desta aula é apresentar o cálculo de juros composto por meio de 
fórmulas de juros e montante. 
 
3. JUROS COMPOSTO 
3.1 Regime de capitalização composta ou exponencial 
 
O regimente de juros compostos é o mais comum no dia a dia, no sistema 
financeiro e no cálculo econômico. Nesse regime os juros gerados a cada período são 
incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Ou seja, o 
rendimento gerado pela aplicação será incorporado a ela, passando a participar da 
geração do rendimento no período seguinte; dizemos, então, que os juros são 
capitalizados. 
Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao 
principal. No regime de juros simples não há capitalização, pois apenas o capital inicial 
rende juros. 
Se aplicarmos R$ 1 000,00 durante três meses à taxa de 20%a.m., teremos os 
seguintes rendimentos e montantes no regime de juros simples e no regime de juros 
compostos. 
 Juros Simples Juros Compostos 
Mês Rendimento Montante Rendimento Montante 
1 1000 x0,2 = 200 1200 1000x0,2 = 200 1200 
2 1000 x0,2 = 200 1200 1200x0,2 =240 1440 
3 1000 x0,2 = 200 1200 1440x0,2=288 1728 
 
 
1 
 
Prof.ª. Clean Maria Reis Lourenço – Graduada em Licenciatura em Matemática – Fundação Universidade do 
Tocantins, Licenciatura em Computação – UFRPE e Especialista em Mídias na Educação UFT. 
 
O O dinheiro cresce mais rapidamente a juros compostos do que juros simples. 
O A juros compostos o dinheiro cresce exponencialmente em progressão 
geométrica ao longo do tempo; 
O Os rendimentos são incorporados ao saldo anterior e passam, por sua vez a 
render juros. 
O No regime de juros simples o montante cresce linearmente, pois os juros de um 
determinado período não são incorporados ao principal. 
 
3.2 Capitalização e desconto a juros compostos: cálculo do montante e do 
principal 
Vejamos que acontece com o montante de um capital aplicado a juros 
compostos por três meses: 
Término do mês 1: M = C x (1 + i) 
Término do mês 2: M = C x (1 + i) x (1 + i) 
Término do mês 3: M = C x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) 
 
Generalizando para n períodos, podemos calcular diretamente o montante M 
resultante da aplicação do principal C durante n períodos a uma taxa de juros 
compostos i: 
 
 
A fórmula expressa o montante ao fim de n períodos como uma função 
exponencial do capital inicial aplicado. A taxa de juros deve ser sempre referida à 
mesma unidade de tempo do período financeiro. 
O fator é chamado fator de capitalização ou fator de valor futuro para 
aplicação única. 
O cálculo do valor presente de um montante ou pagamento único é 
simplesmente o inverso do cálculo do montante. 
 
 
 O fator ; é conhecido como fator de valor presente, fator de desconto ou 
fator de atualização para pagamento único. 
Esquematicamente, os fatores de valor futuro e de valor presente 
 ; permitem efetuar as seguintes operações: 
M = C 1 i 𝑛 
C= M 1 i ;𝑛 
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Tocantins, Licenciatura em Computação – UFRPE e Especialista em Mídias na Educação UFT. 
 
 
 
 
 
 
 
 
No diagrama, a flecha horizontal superior representa o processo de desconto 
de um pagamento ou montante único e a inferior, o processo de capitalização de um 
principal. 
Os fatores e ; têm as seguintes finalidade: 
 O fator “Empurra” grandezas para a frente; permite encontrar o 
montante ou valor futuro de um aplicação. Ou seja, capitaliza um principal 
levando-o a uma data posterior. 
 O fator ; “puxa” grandezas para trás; permite encontrar o principal 
de um determinado montante. Ou seja, desconta um valor futuro trazendo – o 
a uma data anterior. 
 
 
 
Exemplos 1.1 
Uma pessoa toma R$ 30.000,00 emprestados, a juros de 3% ao mês, pelo prazo de 
10 meses, com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido? 
 
Temos: C = 30.000, n = 10 meses, i = 3% a.m .= 0,03 a . m. 
 
Como: 
 
 
 
 
 
Exemplos 1.2 
Calcule o montante de R$ 20.000,00 a juros compostos de 3,5% ao mês, durante 35 
meses? 
 
Temos: C = 20.000, n = 35 meses, i = 3,5% a . m. = 0,035 a . m. 
 
3 
Exemplos para encontrar o Montante 
M = C (1 + i)n 
M = 30.000 (1 + 0,03)10 
M = 30.000 x 1,34392 
M = 40.317,60 
 
 
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Daí, 
 
 
 
 
 
 
Exemplos 1.3 
Calcule o montante de R$ 50.000,00, a juros compostos de 2,25% ao mês, no fim de 4 
meses. 
 
Temos: C = 50.000, n = 4 meses, i = 2,25% a . m. = 0,0225 a . m. 
 
Com isso, 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos 1.4 
Qual o capital que, em 6 anos à taxa de juros compostos de 15% a.a., monta R$ 14 
000,00? 
Temos: M = 14 000, n= 6, i = 15 a.a. = 0,15 a.a. 
Aplicando a fórmula para calcular o capital temos, 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos 1.5 
O montante de R$ 17.408,94 foi obtido após a aplicação de um capital a juro composto 
por um período de 6 meses à taxa de 1% a.m. Qual foi o capital aplicado? 
Temos: M = 17 408,94 n= 6 meses, i = 1 a.a. = 0,01 a.a. 
Substituindo os dados na fórmula pelos seus respectivos valores numéricos temos: 
Exemplos para encontrar o Capital 
 
C= 
𝑀
 1 : i 𝑛
 
 
C= 
14 000
 1 : 0,15 6
 
C= 
14 000
 1 ,15 6
 
 
 
C= 
14 000
2,313060
 
C = 6 052,59 
 
M = 20.000 (1 + 0,035)35 
M = 20.000 (1,035)35 
M = 20.000 (3,33359) 
M = 66.671,80 
 
M = 50.000 (1 + 0,0225)4 
M = 50.000 (1,0225)4 
M =50.000 (1,09308) 
M = 54.654,00 
 
4 
 
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Portanto: 
 
 
 
 
O capital aplicado foi de R$ 16.400,01. 
Exemplos 1.6 
Calcule o capital inicial que, no prazo de 5 meses, a 3% ao mês, produziu o montante 
de R$ 4.058,00. 
 
Temos: M = 4 058 n= 5 meses, i = 3 a.m. = 0,03 a.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos 1.7 
A que taxa de juros um capital de R$ 13 200,00 pode transformar-se em R$ 35 112,26, 
considerando um período de aplicação de sete meses? 
Dados: C = 13 200, M = 35 112,26, n = 7, i = ? 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos 1.8 
Exemplos para encontrar a taxa 
M = C (1 + i)n 
35 112,26 = 13 200 (1 + i)7 
13 200 (1 + i)7 = 35 112,26 
(1 + i)7 = 
35 112,26
13 200
 
1 + i = 2,66
7 
 
 
C= 
𝑀
 1 : i 𝑛
 
 
C= 
17 408,94
 1 : 0,01 6
 
C= 
17 408,94
 1 ,01 6
 
 
 
C = 
𝑀
 1 : i𝑛
 
 
C= 
4 058
 1 : 0,03 5
 
C= 
4 058
 1 ,03 5
 
 
 
 
C= 
17 408,94
1,061520
 
C = 16 400,01 
 
 
C= 
4 058
1,159274
 
C = 3 500,47 
 
i = 1,149 – 1 
i = 0,149 
i = 0,15 = 15% a.m. 
 
5 
 
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A que taxa de juros um capital de R$ 2000,00 obtém um rendimento R$ 280,00, em 
dois meses? 
Dados: C = 2000, J= 280, M = 2000+280= 2280, n =2, i = ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos 1.9 
Um capital de R$ 51 879,31 aplicado por seis meses resultou em R$ 120 000,00. Qual 
a taxa efetiva ganha? 
Dados: C = 51 879,31 , M = 120 000, n =6 meses, i = ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos 1.10 
Em que prazo um empréstimo de R$ 35.000,00 pode ser pago pela quantia de R$ 
47.900,00, se a taxa de juros compostos cobrada for de 4% a.m.? 
Dados: C = 35 0000 , M = 47 900, i = 4%a.m. = 0,04a.m. , n =? 
 
 
 
 
 
 
Portanto, o empréstimo pode ser pago em 8 meses 
Exemplos para encontrar o tempo 
M = C (1 + i)n 
2280 = 2000 (1 + i)2 
2000 (1 + i)2 = 2 280 
(1 + i)7 = 
2280
 2000
 
1 + i = 1,14
⬚
 
 
M = C (1 + i)n 
120 000 = 51 879,31 (1 + i)6 
 51 879,31 (1 + i)2 = 120 000 
(1 + i)6 = 
120 000
 51 879,31
 
1 + i = 2,3130
6
 
 
i = 1,0677 – 1 
i = 0,0677 
i = 6,77 = 6,77% a.m. 
 
i = 1,15 – 1 
i = 0,15 
i = 15 = 15% a.m. 
 
6 
M = C (1 + i)n 
47 900 = 35 000 (1 +0,04)n 
 35 000 (1 + 0,04)n = 47 900 
(1,04)n = 
47 900
 35 000
 
(1,04)n =1,3685 
 
n = 
log 1,3685 
log 1,04
 
n = 
0,3137
 0,0392
 
n = 8 
 
 
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Tocantins, Licenciatura em Computação – UFRPE e Especialista em Mídias na Educação UFT. 
 
3.3 Equivalência de capitais a juros compostos – Equação de Valor 
 
Dois capitais, com datas de vencimento determinadas, são equivalentes 
quando, levados para uma mesma data à mesma taxa de juros, tiverem valores iguais. 
O conceito de taxas equivalentes está, portanto, diretamente ligado ao regime 
de juros compostos. 
 
Exemplos 1.11 
Calcular o valor presente(capital) do conjunto de capitais apresentado a seguir e 
verificar se a juros compostos de 10% eles são equivalentes. 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
Dados: C1 = 2000, C2 = 2200, C3 = 2420, C4 =2662, i = 10%a.m. = 0,10a.m. 
 
 1
 1 
 
 2
 1 
 
 3
 1 
 
 4
 1 
 
 
2000
 1,10 
 
2200
 1,10 
 
2420
 1,10 
 
2662
 1,10 
 = 1 818,18 
C = 1 818,18 x 4 = 7 272,72 
 
Exemplos 1.11 
Considere dois títulos: um de R$ 100.000,00 e outro de R$ 104.040,00, vencendo, 
respectivamente, em 2 e 4 meses. Com uma taxa de juros (composto) de 2% ao mês, 
verifique se, para a data atual, são valores equivalentes. 
 1
 1 
 
 2
 1 
 
10000
 1 0,02 2
 
104 040
 1 0,02 4
 
Capital Mês de Vencimento 
R$ 2 000,00 1 
R$ 2 200,00 2 
R$ 2 420,00 3 
R$ 2 662,00 4 
7 
 
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10000
 1,02 
 
104 040
 1,02 
 
10000
1,0404
 
104 040
1,0824
 
9611,87 9611,87 
Portanto, são equivalentes. 
3.4 Aplicações Com Períodos Fracionários 
 
No regime de capitalização composta, quando o período é fracionário podem 
ser usadas duas convenções: cálculo pela convenção linear e cálculo pela convenção 
exponencial. 
 
3.4.1-Convenção Exponencial 
 
Neste caso, remunera-se a aplicação, com juros compostos, durante todo o 
período (inteiro + fração). O montante cresce segundo uma curva exponencial. 
 
Exemplos 1.12 
O capital de R$ 12.000,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa de 60% ao ano, 
capitalizada trimestralmente, pelo prazo de 8 meses. Determine o montante. 
Solução: 
C = R$ 12.000,00, i = 60% a.a., capitalizados trimestralmente = 15% a.t. 
n = 8 meses = 
8 
3
 trimestres = 2,666667 trimestres, M = ? 
 
 
 
 
 
3.4.2- Convenção linear 
Neste caso, a parte inteira do período é remunerada a juros compostos. O 
montante assim obtido é, então, remunerado a juros simples, no período 
correspondente à parte fracionária. 
 
Exemplos 1.13 
 
8 
M= C ( 1 + i ) n 
M= 12.000 ( 1 + 0,15 )2,666667 
M = 12.000 x 1,451647 
M = R$ 17.419,76 
 
 
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O capital de R$ 12.000,00 foi aplicado a juros compostos à taxa de 60% ao ano, 
capitalizada trimestralmente, durante 8 meses. Determine o montante. 
Solução: 
C = R$ 12.000,00, i = 60% a.a., capitalizados trimestralmente = 15% a.t. 
n = 8 meses =
8
3
 trimestres = 2,666667 trimestres, M = ? 
 
 
 
 
 
Observação: O montante obtido através da convenção linear é sempre um pouquinho 
maior que o montante obtido pela convenção exponencial 
 
 
TEMA: JUROS COMPOSTOS 
Calcular o montante 
 
1 - O montante produzido por R$ 10 mil aplicados a juros simples, à taxa de 1% ao 
mês, durante seis meses, é igual a: 
 
R$ 10.000,60 
R$ 10.006,00 
R$ 10.060,00 
R$ 11.600,00 
R$ 10.600,00 
02 - O montante produzido por R$ 10 mil aplicados a juros simples, à taxa de 1% ao 
bimestre, durante seis meses, é igual a: 
 
a) R$ 10.000,30 
b) R$ 10.003,00 
c) R$ 10.030,00 
d) R$ 10.300,00 
e) R$ 11.300,00 
Atividade de aprendizagem 
9 
M = C( 1 + i ) n x (1 + i x 
𝑝
𝑞
 ) 
M = 12.000 (1 + 0,15 )2 x (1 + 0,15 x 0,666667 ) 
M = R$ 17.457,00 
 
 
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03 - [ESAF] A aplicação de um capital de R$ 10.000,00 no regime de juros compostos, 
pelo período de três meses, a uma taxa de 10% ao mês, resulta, no final do 3º mês, 
num montante acumulado. 
 
a) R$ 3.000,00 
b) R$ 13.000,00 
c) inferior a R$ 13.000,00 
d) superior a R$ 13.000,00 
e) menor do que aquele que seria obtido pelo regime de juros simples 
 
04 - [Cesp-UnB, CEF Gerente Júnior 2004 (nível superior)] Um capital de R$ 2.000,00 
foi aplicado à taxa de 3% a.m. por 60 dias e, o de R$ 1.200,00, à taxa de 2% a.m. por 
30 dias. Se a aplicação foi a juros compostos: 
 
a) o montante total recebido foi de R$ 3.308,48. 
b) o montante total recebido foi de R$ 3.361,92. 
c) o montante total recebido foi de R$ 4.135,64. 
d) a diferença positiva entre os montantes recebidos foi de R$ 897,80. 
e) a diferença positiva entre os montantes recebidos foi de R$ 935,86. 
Calcular a taxa 
 
05 - Um empréstimo de R$ 10 mil foi quitado, dois meses depois, por R$ 10.400,00. 
Considerando o regime de juros simples, qual a taxa de juros mensais desta 
operação? 
 
a) 1% ao mês. 
b) 2% ao mês. 
c) 3% ao mês. 
d) 4% ao mês. 
e) 5% ao mês. 
06 - Um empréstimo de R$ 10 mil foi quitado, dois meses depois, por R$ 10.609,00. 
Considerando o regime de juros compostos, qual a taxa de juros mensais desta 
operação? 
 
10
0 
 
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Tocantins, Licenciatura em Computação – UFRPE e Especialista em Mídias na Educação UFT. 
 
a) 1% ao mês. 
b) 2% ao mês. 
c) 3% ao mês. 
d) 4% ao mês. 
e) 5% ao mês. 
Calcular o capital 
 
07 - Um capital de R$ 6.000,00 foi aplicado a juros compostos durante três meses à 
taxa de 2% a.m. 
a) Qual o Montante? 
b) Qual o Total de Juros auferidos? 
08 - Que capital aplicado a juros compostos à taxa de 2,5% a.m., produz um montante 
de R$3.500,00 após um ano? 
 
09 - Qual o capital que, aplicado a juros compostos, durante nove anos, à taxa de 10% 
a.a., produz um montante de $ 175.000,00? 
 
Convenção linear e convenção exponencial 
 
10 - Um capital de R$ 60.000,00 é emprestado à taxa de juros compostos de 86% ao 
ano, por 5 anos e 4 meses. Tendo por base a capitalização anual, qual será o valor 
futuro: 
a) por convenção linear; 
b) por convenção exponencial? 
 
Bibliografia Básica 
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira: Aplicações à Análise de Investimentos. São 
Paulo: Prentice Hall, 2002. 
Bibliografia Complementar 
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática Comercial e Financeira Fácil. São Paulo: Saraiva, 2001. 
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