1. Álgebra Vetorial

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Odete Amanda – UCSal – 2017.1 
Universidade Católica do Salvador 
Instituto de Ciências Exatas e das Engenharias 
Curso: Licenciatura em Matemática 
Geometria Analítica 1 
 
1. Álgebra Vetorial 
 
1.1 Introdução: 
A utilização da linguagem vetorial permite uma descrição elegante e unificada dos 
principais resultados da geometria Euclidiana bem como possibilita uma transição natural 
da formulação axiomática para a descrição analítica (em coordenadas) dessa mesma 
geometria. 
Nesta primeira parte do curso, estudaremos o básico da linguagem vetorial. Antes, 
porém, no intuito de motivá-los, vamos entender um pouco do papel fundamental que os 
vetores desempenham nas ciências naturais. 
Para entendermos o papel que os vetores desempenham nas ciências, começamos 
observando que, por um lado, diversas grandezas físicas ficam completamente determinadas 
por um único valor (um número real), num sistema de unidades. Assim por exemplo o 
volume de um corpo fica especificado quando dizemos quantos metros cúbicos esse corpo 
ocupa, bem como a massa, a temperatura, a carga elétrica, a energia, etc. 
Grandezas que ficam determinadas por um único valor real são denominadas 
grandezas escalares. 
 
Por outro lado, diversas grandezas físicas exigem para sua completa determinação, 
além de um valor numérico o conhecimento de sua direção orientada. Tais grandezas são 
denominadas grandezas vetoriais ou, simplesmente, vetores. 
O exemplo mais simples e ilustrativo é o deslocamento de um corpo. Se um corpo se 
move do ponto A para o ponto B, dizemos que ela sofreu um deslocamento de A para B. 
Para sabermos precisamente o deslocamento de um corpo precisamos conhecer o 
quanto ele se deslocou (a intensidade do deslocamento), mas também em que direção ele se 
deslocou. Pelas mesmas razões apresentadas serão grandezas vetoriais: a velocidade, a 
aceleração, a quantidade de movimento, a força(1) e o torque(2) . 
É importante que observemos que para as grandezas escalares uma parte 
significativa da utilidade de medi-las, isto é, associar-lhes um número, provém da riqueza 
de estruturas que possuem os números: estes podem ser somados, subtraídos, comparados, 
etc. 
Para que as grandezas descritas vetorialmente sejam úteis (tanto para a ciência como 
para a própria geometria) temos que construir no conjunto dos vetores estruturas análogas. 
Assim, também nesta primeira parte do curso, descreveremos e construiremos 
diversas operações vetoriais e suas interpretações. 
 
 
(1) Força: s.f. Física - Pode significar poder, energia, impulso. Com origem no latim, trata-se de uma 
grandeza vetorial, da qual não se tem uma definição precisa, única, expressa em palavras. 
(2) Torque: s.m. Física - Quantidade de torção exercida por uma força sobre um objeto. 
 Torque é uma força que tende a rodar ou virar objetos. Você gera um torque toda vez que aplica a 
força usando uma chave de boca. 
 
Odete Amanda – UCSal – 2017.1 
1.2 Segmentos Orientados 
Chamamos de segmento orientado a um segmento de reta que possui sua origem em 
um ponto e sua extremidade em outro. 
Tome-se, por exemplo, o segmento mostrado na figura 1. 
 
Na figura 1 o segmento de reta representado 
tem sua origem no ponto A e sua extremidade no 
ponto B. 
Escreve-se ̅̅ ̅̅ para indicar que o segmento sai 
de A para B. 
Dado um segmento ̅̅ ̅̅ , diz-se que o segmento 
 ̅̅ ̅̅ é o seu oposto. 
 
A reta r, à qual pertence o segmento ̅̅ ̅̅ é dita 
reta suporte do segmento. 
 
Dizemos que um seguimento é nulo quando sua origem coincide com sua 
extremidade, isto é: A ≡ B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados dois segmentos orientados e não nulos ̅̅ ̅̅ e ̅̅ ̅̅ , como os mostrados na figura 
3, dizemos que eles têm a mesma direção quando as suas retas suporte são paralelas ou 
coincidentes. 
Com relação ao seu sentido, dizemos que dois segmentos possuem o mesmo sentido 
quando, além de terem a mesma direção possuem a mesma orientação. 
Quando a orientação é oposta, dizemos que os segmentos são opostos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3 Medida de um segmento 
Fixada uma unidade de comprimento, podemos sempre associar a cada segmento 
orientado um número real não negativo que é denominado medida (ou comprimento) do 
segmento em relação à dada medida. 
 Os segmentos nulos têm medida (comprimento) igual a zero. 
r 
Figura 1 – Segmento de reta 
orientado ̅̅ ̅̅ . 
Figura 2 – Segmentos opostos. 
Figura 3 – Segmentos de mesmo sentido ( ̅̅ ̅̅ e EF̅̅̅̅ ) e de sentido contrário ( ̅̅ ̅̅ e ̅̅ ̅̅ ). 
E 
F 
Odete Amanda – UCSal – 2017.1 
Indica-se a medida do segmento ̅̅ ̅̅ por med ( ̅̅ ̅̅ ). 
É claro que med ( ̅̅ ̅̅ ) = med ( ̅̅ ̅̅ )! 
 
1.4 Equipolência 
Dizemos que dois segmentos são equipolentes quando eles possuem o mesmo 
comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
(1) Se os segmentos ̅̅ ̅̅ e ̅̅ ̅̅ são equipolentes, indicamos: ̅̅ ̅̅ ~ ̅̅ ̅̅ . 
(2) Se dois segmentos são nulos, eles são equipolentes. 
 
1.4.1 Propriedades da equipolência de segmentos 
(1) Reflexiva: ̅̅ ̅̅ ~ ̅̅ ̅̅ 
 (Todo segmento é equipolente a si mesmo.) 
(2) Simétrica: Se ̅̅ ̅̅ ~ ̅̅ ̅̅ então ̅̅ ̅̅ ~ ̅̅ ̅̅ 
 (Se o segmento ̅̅ ̅̅ é equipolente ao segmento ̅̅ ̅̅ , o contrário também é 
verdade, isto é: o segmento ̅̅ ̅̅ é equipolente ao segmento ̅̅ ̅̅ .) 
(3) Transitiva: Se ̅̅ ̅̅ ~ ̅̅ ̅̅ e ̅̅ ̅̅ ~ EF̅̅̅̅ então ̅̅ ̅̅ ~ EF̅̅̅̅ 
(4) Dados um segmento ̅̅ ̅̅ e um ponto C, existe um único ponto D tal que ̅̅ ̅̅ ~ ̅̅ ̅̅ . 
(5) Se ̅̅ ̅̅ ~ ̅̅ ̅̅ então ̅̅ ̅̅ ~ ̅̅ ̅̅ . 
(6) Se ̅̅ ̅̅ ~ ̅̅ ̅̅ então ̅̅̅̅ ~ ̅̅ ̅̅ . 
 
 
1.5 Exercício 
Considerando o prisma ao lado, cuja base é um 
hexágono regular, para cada classificação a seguir, 
destaque, se possível, dois pares de segmentos. Justifique 
sua escolha. 
1) Segmentos de mesma direção. 
2) Segmentos de mesmo sentido. 
3) Segmentos de mesma medida. 
4) Segmentos de mesma direção e sentido contrário. 
5) Segmentos equipolentes. 
Figura 4 – Segmentos equipolentes.