Geometria_I_Geometria_I

Prévia do material em texto

Geometri
 
metria I 
 
Apresentação 
A Geometria mostra-se presente desde a constituição dos primeiros 
conhecimentos matemáticos elaborados pelo homem para compreender e 
relacionar-se com o meio onde vivia, passando por sua sistematização, pelo 
matemático grego Euclides, e seu posterior desenvolvimento que levou ao 
surgimento de “outras geometrias” (Boyer, 1994). 
Esse registro da presença da Geometria, desde a antiguidade, sua 
importância na atualidade e as dificuldades relacionadas à sua apropriação, 
enquanto conhecimento escolar vem motivando um olhar mais profundo para 
essa área da Matemática e seu ensino. Os conhecimentos geométricos 
constituem parte importante do currículo de Matemática na Educação Básica, 
pois, por meio deles, o aluno desenvolve um tipo de pensamento espacial que 
lhe permite compreender, de forma organizada, o mundo em que vive 
(BRASIL, 1998). 
Neste contexto, os cursos de Licenciatura em Matemática têm por 
responsabilidade organizar seus currículos de maneira à atender o que emerge 
das Diretrizes Curriculares para a Formação de Professores de Matemática 
com relação ao desenvolvimento dos conhecimentos matemáticos. Devem, 
também, atender às demandas de uma sociedade em constante transformação 
que busca na Escola a apropriação de conhecimentos que lhes possibilite agir 
e atuar nessa mesma sociedade com competência e responsabilidade. 
Assim, a Geometria I, disciplina do segundo semestre do Curso de 
Licenciatura em Matemática – EAD da Universidade Luterana do Brasil tem por 
objetivo formalizar o estudo da geometria euclidiana plana e o material aqui 
apresentado busca apresentar os subsídios necessários para que tal objetivo 
seja alcançado. Este material foi produzido e organizado pelas professoras 
Ana Brunet e Carmen Kaiber as quais fazem parte do corpo docente do curso 
de Licenciatura em Matemática da Universidade Luterana do Brasil (ULBRA). 
Alinhado a proposta da disciplina os conteúdos serão apresentados em 
10 capítulos contendo apontamentos teóricos, o desenvolvimento de 
demonstrações e encaminhamentos que permitam realizá-las, bem como a 
apresentação de atividades as quais permitam aplicar os conhecimentos 
desenvolvidos. 
No texto e nas atividades serão propostas construções com régua e 
compasso, tarefas que envolvam a construção de material com uso de 
diferentes recursos para explorar o mesmo objeto. 
Ao longo do texto desenhos serão utilizados com frequência, mas 
alertamos aos leitores que esses devem ser vistos como facilitadores da 
intuição e linguagem. Os registros apresentados em absoluto esgotam, 
abrangem ou mesmo representam todas as situações possíveis. 
Como em diferentes textos que apresentam conteúdos da Geometria as 
notações podem ser diferentes, introduziremos a notação que vamos adotar 
no decorrer do texto de cada capítulo e, também, no glossário do Capítulo 1. 
Os símbolos algébricos serão os que consideramos usuais e também estarão 
listados no glossário do Capítulo 1, embora não definidos no corpo do texto. 
Por fim, destacamos que em certas atividades, especialmente as que 
envolvem demonstrações, o gabarito vai apresentar indicações ou sugestões 
para o encaminhamento das soluções, ficando a cargo do estudante compor o 
texto final. 
 
Um bom trabalho a todos! 
Sumário 
 
Capítulo 1 – O Pensamento Geométrico na História 
Capítulo 2 – Sobre Retas e Pontos 
Capítulo 3 – Sobre Segmentos, Semirretas, Ângulos e Semiplanos 
Capítulo 4 – Medição de Segmento e Ângulo 
Capítulo 5 – Triângulos e outros Polígonos 
Capítulo 6 – Um pouco mais sobre Triângulos 
Capítulo 7 – Ângulo Externo: o teorema e suas consequências 
Capítulo 8 – V axioma e a Geometria Euclidiana 
Capítulo 9 – Sobre Quadriláteros 
Capítulo 10 – Semelhança de Triângulos 
 
 
O Pensamento Geométrico na História 
 Ana Brunet e Carmen Kaiber 1 
Introdução 
Neste capítulo iremos fornecer um breve quadro do desenvolvimento 
histórico da Geometria (do grego geos – terra/metrias – medida e significa 
medida da terra) desde a pré-história, passando pelas civilizações egípcia e 
grega chegando à atualidade. Introduziremos, também, algumas ideias 
norteadoras do discurso matemático que usaremos neste livro. 
Primórdios 
Eves (1992) chama de “geometria subconsciente” as primeiras 
considerações que o homem fez a respeito da Geometria. Sugere que tais 
considerações são muito antigas constituídas a partir de simples observações 
provenientes da capacidade humana de reconhecer configurações físicas, 
comparar formas e tamanhos. Padrões repetidos e simétricos são evidências 
deixadas em decorações de objetos, sendo que alguns desses padrões datam 
de 25.000 a.C. conforme Rooney (2012). 
A partir das configurações físicas do mundo que o cercava, como o 
contorno da lua e do sol, sementes, conchas, folhas, é possível que o homem 
primitivo tenha percebido curvas e simetrias. Ao necessitar carregar água em 
suas jornadas deve ter desenvolvido a noção de capacidade volumétrica. 
Evidenciaram a noção de perpendicular e paralela ao construir muros e 
moradias. 
Antiguidade 
As margens dos rios Tigre e Eufrates na Mesopotâmia foi berço de 
sociedades desenvolvidas. Os sumérios, por volta de 3500 a.C., começaram a 
desenvolver um sistema de símbolos que evoluiu até tornar-se uma forma 
abrangente e completa de escrita, a cuneiforme (GARBI, 2010). Mais de 
100.000 tábuas de argila da Babilônia sobreviveram até os dias de hoje, pois 
eram cozidas ao fogo. Muitas exibem problemas matemáticos e uma em 
particular, com cerca de 4000 anos de idade, apresenta o registro de um 
problema de geometria (ROONEY, 2012). 
 
1. Ana Regina Gregory Brunet é mestre em Matemática na área de Geometria e 
Topologia (UFRGS) e docente do curso de Licenciatura em Matemática da ULBRA. 
Carmen Teresa Kaiber é doutora em Ciências da Educação pela Universidade 
Pontifícia de Salamanca e docente do curso de Licenciatura em Matemática e do PPGECIM da 
ULBRA. 
As enchentes anuais do rio Nilo fertilizavam o solo dos antigos egípcios 
tornando-o favorável à agricultura. Credita-se a eles o avanço da Geometria a 
um nível mais elevado de desenvolvimento, denominado por Eves (1992) de 
“geometria científica”. Por escreverem em papiros, material perecível feito 
de uma planta abundante as margens do Nilo, pouco restou de seus registros. 
Garbi (2010) apresenta o papiro de Ahmes (Figura 1), também conhecido 
como papiro de Rhind em homenagem ao seu descobridor, como um dos 
documentos mais célebres do segundo milênio a.C. Escrito por volta de 1650 
a.C. pelo escriba Ahmes, o documento de 33 cm de altura por 5 m de 
comprimento apresenta 84 problemas matemáticos práticos e contempla 
tópicos em aritmética, geometria, pesos e medidas. Segundo Rooney (2012), o 
texto é cópia de outro mais antigo, escrito aproximadamente 200 anos antes, 
que por si só deveria conter material ainda mais antigo. 
Figura 1 – Parte do papiro de Ahmes 
 
Fonte: 
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000001622/000
0019008.png 
O papito de Moscou, de autor desconhecido (GARBI, 2010; EVES, 1992) 
é mais antigo que o de Ahmes e contem 25 problemas. Dentre eles, um dos 
mais famosos é o que fornece um exemplo numérico com as instruções para o 
cálculo correto do volume do tronco de pirâmide de bases quadradas (Figura 
2). 
Figura 2 - Papiro de Moscou: cálculo do volume do tronco de pirâmide 
 
Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm36/papirode.htm 
O papiro de Ahmes junto com o de Moscou são nossas principais fontes 
de informação a respeito da matemática egípcia e registram 26 problemas de 
Geometria (EVES, 1992). Os registros das atividades intelectuais, ao longo do 
desenvolvimento da humanidade, evidenciam que a inteligência humana foi 
capaz de perceber propriedades gerais e relações queincluíam as observações 
anteriores como casos particulares. Situações que eram consideradas 
diferentes poderiam ser resolvidas pelo mesmo procedimento geral. Garbi 
(2010, p. 10) nomeou de “aprendizado indutivo ou empírico” ao “processo de 
observação de padrões que se repetiam e que, por indução, levavam os 
pioneiros a crer que se estava diante de verdades gerais”. Por exemplo, a 
comparação entre a diagonal e o lado de um quadrado ou entre o perímetro e 
o diâmetro de circunferências levam a constantes. A Geometria tornou-se 
“um conjunto de receitas práticas e resultados de laboratório” (EVES, 1992, 
p. 3). Vários livros de história da Matemática trazem as palavras do grego 
Heródoto (c. 484 – 425 a.C.) considerado o “pai da História”: 
Esse faraó [Sesóstris] realizou a partilha das terras, concedendo a 
cada egípcio uma porção igual, com a condição de ser-lhe pago 
todos os anos certo tributo; se o rio carregava alguma parte do lote 
de alguém, o prejudicado ia procurar o rei e expor-lhe o ocorrido. O 
soberano enviava agrimensores para o local, para determinar a 
redução sofrida pelo terreno, passando o proprietário a pagar um 
tributo proporcional ao que restara. Eis, ao que me parece, a origem 
da Geometria, que teria passado do Egito para a Grécia (GARBI, 
2010, p. 12). 
A partir da interação comercial com os egípcios e mesopotâmicos, os 
gregos tomaram contato e absorveram os conhecimentos básicos de 
Geometria, Aritmética e Astronomia acumulados por séculos por esses povos. 
Os gregos transformaram a geometria empírica, ou científica, dos egípcios e 
babilônios antigos no que Eves (1992) chama de geometria “sistemática” ou 
“demonstrativa”. Na literatura é unânime a informação de que foi na Grécia 
antiga do século VI a.C. em Mileto que viveu Tales, conhecido como um dos 
“sete sábios” da antiguidade. Tales de Mileto teria estudado no Egito e é 
atribuída a ele a revolucionária ideia que deu rumos definitivos ao 
pensamento matemático, ou seja, a de que suas verdades devem ser 
justificadas, demonstradas, provadas por meio do raciocínio (GARBI, 2010). 
Por isso, é considerado fundador da geometria demonstrativa (EVES, 1992). 
Pitágoras (de Samos/Crotona, sec. V a.C.) foi fortemente influenciado 
pelas ideias de Tales (GARBI, 2010), porém há dúvidas sobre o contato direto 
entre esses dois grandes matemáticos gregos. Segundo Garbi (2010) foram os 
pitagóricos os primeiros a produzir demonstrações razoavelmente rigorosas e 
os primeiros a enxergar a Matemática como algo abstrato, pairando acima da 
realidade física. 
Durante o período pré-platônico de quase dois séculos transcorrido 
entre as fundações da escola de Pitágoras, em Crotona, e a Academia de 
Platão, em Atenas, os geômetras começaram a dar-se conta de que a ideia 
revolucionária de Tales, segundo a qual as verdades matemáticas devem ser 
provadas, não poderia ultrapassar certos limites, ou seja, alguns princípios 
básicos deveriam ser admitidos sem demonstração (GARBI, 2010). Esse foi o 
início da “axiomática material”, conforme Eves 
[...] os gregos desenvolveram a noção de discurso lógico como uma sequência de 
afirmações obtidas por raciocínio dedutivo a partir de um conjunto aceito de 
afirmações iniciais. Então tanto as afirmações iniciais como as derivadas do 
discurso são afirmações sobre a questão técnica do discurso e, por isso, envolvem 
termos especiais ou técnicos. Os significados desses termos devem ser claros para 
o leitor e, assim, os gregos sentiam que o discurso deveria começar com uma 
lista de explanações e definições desses termos técnicos. Depois dessas 
explanações e definições terem sido dadas, as afirmações iniciais, chamadas 
“axiomas” e/ou “postulados” do discurso, deveriam ser enunciados. Essas 
afirmações iniciais, segundo os gregos, deveriam ser cuidadosamente escolhidas 
de maneira que sua veracidade fosse completamente aceitável pelo leitor em 
vista das explanações e definições já citadas. (1992, p. 9) 
 
Garbi (2010) sugere a possibilidade de que, nesse mesmo período, 
surgiu o Método de Redução ao Absurdo ou Prova por Contradição que consiste 
em demonstrar certos teoremas não por uma dedução direta, mas por um 
caminho indireto. 
Por fim destacamos Euclides (c. 300 a.C.), um dos geômetras gregos 
mais importantes. Sua obra Os Elementos ainda está em vigor nos dias de hoje 
e uma tradução direta do grego para o português foi realizada por Irineu 
Bicudo em 2009 na qual consta que nada de errado foi encontrado nos 13 
livros que compõe a obra. “O toque de gênio de Euclides está não na 
descoberta de teoremas, o que certamente fez, mas na organização lógica 
com que os apresentou e provou de forma concatenada, preenchendo as 
lacunas deixadas por outros.” (GARBI, 2010, p. 58). 
Atualidade 
No decorrer deste livro traremos outras notas históricas pertinentes ao 
assunto abordado no momento. Por hora, expomos que a axiomática material 
evoluiu lentamente até o final do século XIX e culminou no modelo 
generalizado de modo a fornecer uma forma de discurso abstrato conhecido 
como “axiomática formal” (EVES, 1992). Este é o discurso que utilizaremos 
neste livro. Garbi (2010) coloca como a maior diferença conceitual entre a 
Geometria de hoje e a de Euclides aquilo que denominamos de “conceitos 
primitivos” para os quais não há definição. Conceitos primitivos também são 
chamados de noções primitivas ou objetos não definidos. David Hilbert (1862 – 
1943) foi um matemático extremamente rigoroso e em seu clássico trabalho 
Grundlagen der Geametrie (Fundamentos de Geometria) propôs uma 
abrangente fundamentação que elimina as deficiências dos Elementos. 
Existem vários tipos de geometria, mas aqui vamos tratar da Geometria 
Euclidiana Plana, que possui esse nome em homenagem ao já citado 
matemático grego Euclides. Podemos interpretar o conteúdo de geometria a 
ser desenvolvido como um “edifício geométrico”. Definiremos objetos 
geométricos, demonstraremos propriedades e estabeleceremos relações entre 
esses objetos por proposições e teoremas. Para tanto usaremos argumentação 
e nossa base, “os alicerces”, serão os axiomas e os conceitos primitivos 
enunciados por Hilbert. 
Proposições e teoremas geralmente são implicações, isto é, podem ser 
escritos na forma “se... então...”. Ao validarmos uma proposição por 
argumentação justificada estaremos garantindo a validade da tese, sempre 
que as hipóteses forem satisfeitas. Assim, por exemplo, o clássico teorema de 
Pitágoras nos diz que “Se um triângulo é retângulo então a soma dos 
quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”. A hipótese é: um 
triângulo é retângulo; e a tese é: a soma dos quadrados dos catetos é igual ao 
quadrado da hipotenusa. Ora, a validade da fórmula está sujeita ao triângulo 
ser retângulo, sua hipótese. Caso contrário o teorema não faz referência, ou 
seja, se não há garantia de que o triângulo é retângulo, não há como 
garantirmos que o quadrado da medida de um de seus lados é a soma dos 
quadrados das medidas de seus outros dois lados. 
Em linguagem natural as proposições podem ser enunciadas de 
diferentes maneiras. “Em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa 
é igual à soma do quadrado dos catetos” é outra forma de enunciar o teorema 
de Pitágoras. A proposição “Se dois ângulos de um triângulo são congruentes, 
então o triângulo é isósceles” possui como hipótese “dois ângulos de um 
triângulo são congruentes” e sua tese é “o triângulo é isósceles”. Ela pode ser 
enunciada, por exemplo, como “Um triângulo é isósceles sempre que dois de 
seus ângulos são congruentes” ou “Sempre que dois ângulos de um triângulo 
são congruentes o triângulo é isósceles” ou “Quando dois ângulos de um 
triângulo são congruentes, ele é isósceles” ou “ Dois ângulos de um triângulos 
serem congruentes implica que o triângulo é isósceles” ou “Todo triângulo 
que possui dois ângulos congruentes é isósceles”. Enfim, em linguagem 
natural podemos enunciar proposições de muitas formas e o leitor deve ficaratento para discernir entre hipótese e tese. 
Recapitulando 
Eves (1992) classifica em cinco fases o desenvolvimento histórico do 
pensamento geométrico. A geometria subconsciente ocorreu na pré-história e 
é caracterizada pelo reconhecimento de configurações físicas e comparação 
de formas e tamanhos. As evidências remanescentes desta etapa são, por 
exemplo, cerâmicas decoradas com padrões simétricos e a construção de 
muros e moradias. Na passagem da pré-história para a antiguidade emergiu a 
geometria científica a partir da necessidade da medição das terras. Por 
registrarem em papiro, material perecível, poucos documentos restaram. Os 
papiros de Ahmes (ou de Rhind) e o de Moscou são as principais fontes de 
informação desta fase que se caracteriza pela criação e uso de receitas 
práticas a partir de um aprendizado indutivo. A Geometria passou a ser 
considerada sistemática ou demonstrativa na Grécia antiga. O importante 
pensador Tales (sec. VI a.C.), considerado fundador desta fase, deu rumos 
definitivos ao pensamento matemático ao enunciar que as verdades 
matemáticas devem ser justificadas, demonstradas, provadas por meio de 
raciocínio. Pitágoras (sec. V a.C.) foi muito influenciado pelas ideias de Tales 
e a escola dos pitagóricos são atribuídas as produções de demonstrações 
razoavelmente rigorosas e a visão da Matemática como algo abstrato. No 
período pré-platônico, os geômetras deram-se conta que alguns princípios 
básicos deveriam ser admitidos sem demonstração. Isto caracteriza a chamada 
axiomática material e é neste nível de pensamento que Euclides (sec. III a.C.) 
produz sua obra. Nos séculos subsequentes a axiomática material evoluiu 
lentamente até culminar na axiomática formal no século XIX. A principal 
diferença conceitual entre esses dois tipos de pensamento são os conceitos 
primitivos, para os quais não há definição, da axiomática formal. 
Utilizaremos os axiomas e os conceitos primitivos tais como foram 
enunciados por Hilbert para a construção da teoria da Geometria Euclidiana 
Plana. Descreveremos os entes geométricos, estabeleceremos relações e 
propriedades pelos teoremas e proposições os quais serão validados mediante 
argumentação justificada (isto é, demonstrados ou provados). Não existe uma 
receita para demonstrar uma proposição. Deve-se ficar atento as hipóteses (o 
que temos) e a tese (o que queremos) da proposição em questão para, então, 
desenvolver a argumentação que valida a tese, sempre que as hipóteses forem 
verdadeiras. 
Referências Bibliográficas 
BICUDO, Irineu. Os Elementos/Euclides: tradução e introdução de Irineu 
Bicudo. São Paulo: UNESP, 2009. 
BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1994. 
EVES, Howard. Geometria – Série: Tópicos de História da Matemática – para 
uso em sala de aula. São Paulo: Atual, 1992. 
GARBI, Gilberto Geraldo. A Rainha das Ciências: um passeio histórico pelo 
maravilhoso mundo da matemática. 5 ed. Ver. e apml. São Paulo: Livraria da 
Física, 2010. 
NASSER, Lilian e TINOCO,Lucia. Curso Básico de Geometria – Enfoque Didático. 
Módulo I, Formação de Conceitos Geométricos. Projeto Fundão. Rio de 
Janeiro: UFRJ/IM, 2004. 
ROONEY, Anne. A História da Matemática – Desde a criação das pirâmides até 
a exploração do infinito. São Paulo: M. Books do Brasil, 2012. 
 
Atividades 
1. A partir dos estudos desenvolvidos nesse capítulo, e de acordo com os 
autores apontados, marque (X) somente nas sentenças verdadeiras. 
a) ( ) A chamada “geometria subconsciente” refere-se as primeiras 
manifestações do homem relacionadas à Geometria, a partir de 
observações e ações no espaço físico do seu entorno, as quais 
possibilitaram o reconhecimento de configurações e padrões, formas 
e tamanhos. 
b) ( ) Credita-se aos antigos egípcios o avanço da Geometria a um 
nível mais elevado denominado “geometria científica”, 
caracterizada pela capacidade do homem de, a partir de 
observações, extrair propriedades e estabelecer relações. 
c) ( ) Tales de Mileto é autor da obra Os Elementos. 
d) ( ) O papiro de Ahmes, também conhecido como papiro de Rhind, 
junto com o de Moscou são os primeiros documentos matemáticos 
conhecidos e as principais fontes de informação a respeito da 
matemática egípcia. 
e) ( ) Com os egípcios a Geometria chegou a um nível axiomático. 
2. Analise as sentenças e complete com ‘V’ se a sentença é verdadeira e 
‘F’ se falsa. 
( ) A Tales de Mileto é atribuída a ideia de que na Matemática as 
“verdades” devem ser justificadas, demonstradas e provadas 
baseadas em um raciocínio lógico. 
( ) Euclides (300 a.C.), autor da obra Os Elementos, organizou os 
conhecimentos geométricos (e matemáticos de modo geral) 
conhecidos até então de modo coerente, apresentando um 
encadeamento lógico a partir de premissas básicas e 
demonstrações. 
( ) A Geometria Euclidiana que temos hoje é a mesma desde 
aproximadamente 300 a.C. quando Euclides a organizou. 
( ) Axiomas ou postulados são afirmações iniciais que não precisam 
ser demonstradas. 
( ) Assim como os axiomas, proposições e teoremas também não 
precisam ser demonstrados. 
Agora assinale a alternativa correta. 
a) V – V – V – V – F 
b) V – V – F – F – V 
c) V – V – F – V – F 
d) F – V – F – V – F 
e) V – F – F – V – F 
3. Considere as proposições a seguir: 
I) Sejam AB e BA semirretas então a união de AB e BA é a reta 
determinada por A e B. 
II) Duas retas distintas perpendiculares a uma mesma reta são paralelas. 
Sobre estas proposições podemos afirmar (marque com um ‘X’ apenas as 
opções verdadeiras). 
a) ( ) Em I “ AB e BA semirretas” é a hipótese e “a união de AB e 
BA” é a tese. 
b) ( ) Em II “duas retas distintas perpendiculares” é a hipótese e “a 
uma mesma reta são paralelas” é a tese. 
c) ( ) Em II “duas retas distintas perpendiculares a uma mesma reta” 
e a hipótese é “são paralelas” é a tese. 
d) ( ) A proposição II não apresenta tese. 
e) ( ) Em I “ AB e BA semirretas” é a hipótese e “ AB ∪ BA = AB” 
é a tese. 
4. Dadas as proposições abaixo, identifique a hipótese e a tese: 
a) Sejam AB e BA semirretas então a intersecção de AB e BA é AB . 
b) Sejam A e B dois conjuntos tais que A ⊂ B e B ⊂ A então A = B. 
c) Sejam a e b dois números tais que abeba ≤≤ então a = b. 
5. Dadas as proposições abaixo, identifique a hipótese e a tese: 
a) Duas retas distintas ou não se intersectam ou se intersectam em um 
único ponto. 
b) Ângulos opostos pelo vértice tem a mesma medida. 
c) Em um triângulo retângulo o quadrado da medida da hipotenusa é 
igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos. 
_____________________________________________________________________ 
Gabarito 
1. São verdadeiras as afirmações a, b, d. 
2. Alternativa correta: c. 
3. São verdadeiras as afirmações c, e. 
4. a) Hipótese: AB e BA semirretas. 
 Tese: intersecção de AB e BA é AB . 
 b) Hipótese: A e B dois conjuntos tais que A ⊂ B e B ⊂ A. 
 Tese: A = B 
 c) Hipótese: a e b dois números tais que abeba ≤≤ 
 Tese: a = b 
5. a) Hipótese: retas distintas. 
 Tese: não se intersectam ou se intersectam em um único ponto. 
 b) Hipótese: ângulos opostos pelo vértice. 
 Tese: tem a mesma medida. 
 c) Hipótese: triângulo é retângulo. 
 Tese: o quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados 
das medidas dos catetos. 
 
Glossário 
Destacamos aqui a notação utilizada ao longo do livro. 
A, B, C ponto 
r, s, t reta 
AB reta AB 
AB semirreta AB 
AB segmento de extremidades A e B 
α, β, θ, ... ângulo 
BÔA ângulo de vértice em O 
sr ⊥ retas r e s perpendiculares 
r || s retas r e s paralelas 
 ≅ congruência 
.... medida 
∆ABC triângulo ABC 
C(A, r) circunferência de centro A e raio r 
∈ pertence 
∉ não pertence 
⊂ está contido 
⊄ não está contido 
⊃ contém 
⇔ equivalência 
⇒ implicação lógica 
∧ e 
∨ ou 
∃ existe, existe pelomenos um 
∀ para todo, qualquer que seja 
 
 
 
 
Sobre Pontos e Retas 
 Ana Brunet e Carmen Kaiber2 
Introdução 
Os axiomas de Incidência formam o primeiro grupo de axiomas e 
relacionam pontos e retas. Neste capítulo estudaremos tais relações bem 
como enunciaremos os elementos geométricos e definiremos novos objetos. 
Elementos Geométricos 
Os elementos geométricos que concebemos são: plano, reta e ponto. 
As retas e os pontos estão contidos no plano, sendo as retas formadas por 
pontos. Os elementos geométricos não são passíveis de definição. Outro 
conceito primitivo é a relação de pertinência. Um ponto está ou não está em 
uma reta, por exemplo, ou um ponto pertence ou não pertence a uma reta. 
Na geometria que iremos estudar a Geometria Euclidiana Plana, nosso 
universo é o plano ao qual podemos associar a uma superfície sem curvatura 
que se estende infinitamente para todos os lados. Pontos são adimensionais e 
serão anotados por letras maiúsculas do alfabeto, como por exemplo: A, B, C. 
 A reta é um subconjunto do plano que se estende em apenas dois 
sentidos sem quebras ou curvatura. Anotamos retas por letras minúsculas do 
alfabeto, por exemplo: t, r, s. Utilizamos o símbolo ‘∈’ para anotar quando 
um ponto pertence a uma reta. Assim, se o ponto A está na reta r escrevemos: 
A ∈ r. 
Os Axiomas de Incidência 
Considere dois pontos distintos A e B. Represente-os em uma folha. 
Quantas retas você consegue traçar passando por esses pontos? 
Axioma I1: Dois pontos distintos determinam uma única reta, ou seja, para 
quaisquer dois pontos distintos existem uma e somente uma reta passando por 
eles. 
Representamos a reta determinada por A e B por AB������ (Figura 3). 
 
 
2Ana Regina Gregory Brunet é mestre em Matemática na área de Geometria e 
Topologia (UFRGS) e docente do curso de Licenciatura em Matemática da ULBRA. 
Carmen Teresa Kaiber é doutora em Ciências da Educação pela Universidade 
Pontifícia de Salamanca e docente do curso de Licenciatura em Matemática e do PPGECIM da 
ULBRA. 
Figura 3 - Reta passando pelos pontos A e B 
 
Se três ou mais pontos pertencem à mesma reta dizemos que são 
pontos colineares. A Figura 4 ilustra a situação dos pontos A, B e C colineares. 
Figura 4 - A, B e C pontos colineares. 
 
Quando duas ou mais retas possuem todos os pontos em comum 
dizemos que as retas são coincidentes. 
O axioma I1 nos fornece a relação entre dois pontos e uma reta, mas a 
garantia de existência de pontos nos é dada pelo próximo axioma, o axioma I2 
enunciado a seguir. 
Axioma I2: Em cada reta existem pelo menos dois pontos distintos. Existem ao 
menos três pontos distintos que não são colineares. 
A Figura 5 destaca a representação da existência de pontos 
caracterizando pontos colineares e não colineares. 
Figura 5 - Existência de pontos 
 
Quando duas retas distintas possuem um ponto em comum chamamos 
de retas concorrentes e dizemos que elas concorrem no ponto comum. 
Também é usual dizer que as retas passam pelo ponto, se cortam no ponto ou 
se interceptam no ponto comum. A Figura 6 ilustra duas retas s e t que 
concorrem no ponto P. 
Figura 6 - Retas s e t concorrem em P 
 
Consequências dos axiomas de Incidência 
Com os axiomas de Incidência I1 e I2, o primeiro grupo de axiomas, 
podemos garantir algumas propriedades sobre retas e pontos. 
Proposição1: Se duas retas são distintas então elas não se interceptam ou se 
interceptam em apenas um ponto. 
Demonstração: (redução ao absurdo) Sejam r e s duas retas distintas, isto é, 
duas retas cujos pontos não são todos comuns. Suponhamos, então, que elas 
possuam dois ou mais pontos comuns. O axioma I1 nos garante que elas são a 
mesma reta. Isso contradiz a hipótese de serem retas distintas. Logo, duas 
retas distintas podem ter, no máximo, um ponto em comum. 
∎ 
Nada nos garante, até agora, a existência de retas que não possuam 
pontos comuns às quais denominamos paralelas. Também são chamadas de 
paralelas as retas coincidentes, isto é, uma reta é paralela a ela mesma. 
Então chamamos de retas paralelas as retas que possuem todos os pontos em 
comum ou que não possuem pontos comuns. 
Proposição2: Existem pelo menos três retas distintas. 
Demonstração: Para cada par de pontos, dos três existentes pelo axioma I2, o 
axioma I1 garante a existência de uma única reta passando por eles. As três 
retas são distintas, pois caso contrário, os pontos seriam colineares, o que não 
ocorre, já que I2 garante os três pontos não colineares. 
∎ 
Proposição3: Existe pelo menos um ponto não pertencente a uma reta dada. 
Demonstração: Consideremos a reta r. O axioma I2 garante dois pontos em r. 
Esse mesmo axioma garante a existência de um terceiro ponto não colinear a 
esses dois. Logo existe pelo menos um ponto não pertencente a uma reta 
dada. 
∎ 
Proposição4: Existe pelo menos uma reta que não passa por um ponto dado. 
Demonstração: Seja P ponto. O axioma I2 garante a existência de dois outros 
pontos não colineares a P pelos quais passa uma única reta (axioma I1). Assim 
existe pelo menos uma reta que não passa por P. 
∎ 
Proposição5: Existem pelo menos duas retas passando por um ponto dado. 
Demonstração: Seja P ponto. O axioma I2 garante a existência de dois outros 
pontos não colineares a P. Sejam A e B tais pontos. Consideremos, agora, as 
retas determinadas pelos pontos P e A e P e B cuja existência é garantida pelo 
axioma I1. As duas retas são distintas, pois P, A e B são não colineares, e 
concorrem em P. Portanto existem pelo menos duas retas que passam por um 
ponto dado. 
∎ 
Consideremos, agora, três retas e pensemos na posição em que elas 
podem estar no plano. Podemos representar como destacado no quadro da 
Figura 7. 
Figura 7 - posição relativa entre três retas 
Zero pontos de intersecção 
 
Um ponto de intersecção 
 
Dois pontos de intersecção 
 
Três pontos de intersecção 
 
Todos os pontos em comum 
 
Dentre as configurações exibidas na Figura 7, com o grupo de axiomas 
de Incidência podemos garantir como vimos apenas as possibilidades de três 
pontos de intersecção ou todos os pontos comuns. Os casos de nenhum ponto 
em comum ou exatamente dois pontos comuns somente poderão ser 
garantidos após enunciarmos o axioma V, também conhecido como V 
postulado. Já o caso de exatamente um ponto em comum, será garantido no 
próximo capítulo, a partir do segundo grupo de axiomas, com os axiomas de 
Ordem. 
Recapitulando 
Os elementos geométricos ponto, reta e plano são conceitos primitivos. 
Também é um conceito primitivo a relação de pertinência. A reta é formada 
por pontos e é um subconjunto do plano, nosso universo. 
Neste segundo capítulo enunciamos o primeiro grupo de axiomas, os 
axiomas de Incidência: 
I1: Dois pontos distintos determinam uma única reta, ou seja, para 
quaisquer dois pontos distintos existem uma e somente uma reta passando por 
eles. 
I2: Em cada reta existem pelo menos dois pontos distintos. Existem ao 
menos três pontos distintos que não são colineares. 
Com esses axiomas é possível garantir uma ‘geometria’ com três pontos 
e três retas distintas que se interceptam em exatamente um ponto. 
Referências Bibliográficas 
BARBOSA, João L. M. Geometria Euclidiana Plana. Coleção do Professor de 
Matemática. Rio de Janeiro: IMPA/CNPq, 1995. 
EFIMOV, N.V. Geometria Superior. Moscou: Mir. 
REZENDE, Eliane Q. F. e QUEIROZ, Lúcia B. de. Geometria Euclidiana Plana e 
construções geométricas. Campinas, SP: UNICAMP, 2000. 
 
 
Atividades 
1. Leia com atenção as sentenças 
I) Plano, reta e ponto são elementos geométricos primitivos e não são 
passíveis de definição. 
II) A notação utilizada para nomear uma reta são letras maiúsculas do 
alfabeto. 
III) Entre pontos e retas podemos estabelecer uma relação de 
pertinência. 
IV) Um ponto pode pertencer (∈ ) ou não pertencer (∉ ) a uma 
determinadareta. 
Com relação a estas sentenças é correto afirmar que: 
a) As sentenças I, II, III e IV são verdadeiras. 
b) Apenas as sentenças I, II e III são verdadeiras. 
c) Apenas as sentenças I, III e IV são verdadeiras. 
d) Apenas as sentenças I, II e IV são verdadeiras. 
e) Apenas as sentenças II, III e IV são verdadeiras. 
2. Sobre as relações entre retas e pontos estudadas neste capítulo, analise 
as sentenças e complete com ‘V’, se a sentença é verdadeira e ‘F’, se 
falsa. 
( ) Três pontos distintos são sempre colineares. 
( ) Quatro pontos, todos distintos, podem determinar: ou 
exatamente uma reta ou exatamente quatro retas ou 
exatamente seis retas. 
( ) Por quatro pontos, todos distintos, pode passar uma só reta. 
( ) Existem três pontos distintos que não pertencem a uma mesma 
reta. 
Agora assinale a alternativa correta: 
a) V – V – V – V 
b) V – V – V – F 
c) F – V – F – V 
d) F – V – V –V 
e) F – V – F - F 
3. Leia com atenção as sentenças. 
I) Por dois pontos distintos passa uma reta. 
II) Uma reta contém dois pontos distintos. 
III) Dois pontos distintos determinam uma e somente uma reta. 
IV) Por três pontos dados passa uma só reta. 
É correto afirmar que: 
a)As sentenças I, II, III e IV são verdadeiras. 
b)Apenas as sentenças I, II e III são verdadeiras. 
c)Apenas as sentenças I e III são verdadeiras. 
d)Apenas as sentenças III e IV são verdadeiras. 
e)Apenas as sentenças II e IV são verdadeiras. 
4. A partir dos estudos desenvolvidos neste capítulo, marque (X) somente 
nas sentenças verdadeiras. 
a) ( ) Considerando que os pontos A, B e C pertencem a uma reta r é 
possível afirmar que esses três pontos são colineares. 
b) ( ) Duas retas são chamadas concorrentes quando possuem pelo 
menos um ponto em comum. 
c) ( ) Retas coincidentes possuem todos os seus pontos em comum. 
d) ( ) Retas que não possuam pontos comuns são chamadas de 
paralelas. 
e) ( ) Retas paralelas são retas que não possuem pontos em comum 
ou possuem todos os pontos comuns. 
5. Observe a figura e leia com atenção as sentenças assinalando: 
1 Se a sentença for verdadeira. 
2 Se a sentença for falsa. 
 
( ) Os pontos D, A e E são colineares. 
( ) Os pontos D, A, e C são colineares. 
( ) Os pontos J e F estão do mesmo lado que o ponto C com respeito a 
reta r 
( ) As retas r e s se interceptam no ponto A. 
( ) Os pontos L e I não estão do mesmo lado que o ponto E com 
respeito a reta s. 
( ) O ponto A é ponto de intersecção das retas r e s. 
( ) r ∩ s = {A} 
( ) r // s 
___________________________________________________________________ 
Gabarito 
1. Afirmação correta: c 
2. Alternativa correta: d 
3. Afirmação correta: b 
4. São verdadeiras as sentenças a, c, d, e. 
5. A associação é: 1, 2,1, 1, 2, 1, 1, 2. 
 
Sobre Segmentos, Semirretas, Ângulos e Semiplanos 
 Ana Brunet e Carmen Kaiber 3 
Introdução 
Neste capítulo, o ‘castelo geométrico’ segue colocando seus alicerces. 
Iniciaremos com a apresentação de mais um conceito primitivo, a noção de 
estar entre e enunciaremos os axiomas de Ordem. Com eles a geometria 
aproxima-se mais do que nossa intuição nos leva a crer. Teremos infinitas 
retas com infinitos pontos cada. Algumas construções simples, com régua cega 
e compasso, serão sugeridas no decorrer do capítulo. Definiremos 
subconjuntos de retas: os segmentos e semirretas. A partir das semirretas 
introduziremos o objeto ângulo. Apresentaremos a ideia de congruência e 
finalizaremos este capítulo com o axioma da Separação do Plano e algumas de 
suas consequências. 
Axiomas de Ordem 
Os axiomas de Ordem, o segundo grupo de axiomas, relacionam pontos 
que estão sobre uma mesma reta. Observe a Figura 8: 
Figura 8 - C entre A e B 
 
Podemos dizer que o ponto C está entre os pontos A e B (anotamos A – 
C – B). A relação de ‘estar entre’ é um conceito primitivo e satisfaz os 
seguintes axiomas: 
Axioma II1: Dados três pontos A, B e C de uma reta. Se C encontra-se entre A 
e B então A, B e C são distintos. 
Axiomas II2: Dados três pontos distintos de uma reta, um e apenas um deles 
localiza-se entre os outros dois. 
 
1 Ana Regina Gregory Brunet é mestre em Matemática na área de Geometria e 
Topologia (UFRGS) e docente do curso de Licenciatura em Matemática da ULBRA. 
Carmen Teresa Kaiber é doutora em Ciências da Educação pela Universidade 
Pontifícia de Salamanca e docente do curso de Licenciatura em Matemática e do PPGECIM da 
ULBRA. 
Embora os axiomas II1 e II2 versem sobre três pontos colineares, a 
garantia de existência de três ou mais pontos colineares é dada pelo próximo 
axioma (Figura 9). 
Axioma II3: Dados dois pontos distintos A e B sempre existe um ponto C entre 
A e B e um ponto D tal que B está entre A e D. 
Figura 9 - Existe C entre A e B e D tal que B está entre A e D 
 
Segmento 
Podemos pensar, então, no conjunto dos pontos formado pelos pontos 
A, B e por todos os pontos entre A e B. A esse conjunto denominamos 
segmento AB (Figura 10). Os pontos A e B são chamados extremos do 
segmento. Anotamos o segmento AB por AB . 
Figura 10 - Segmento AB 
 
Observamos que o conjunto de pontos que compõe um segmento são 
todos colineares. Assim, um segmento sempre está contido em uma reta. A 
reta que contém um segmento é chamada reta suporte do segmento. Com 
relação ao segmento AB da Figura 10, podemos afirmar que o mesmo está 
contido na reta determinada pelos pontos A e B. Em linguagem simbólica, 
temos 
AB � AB������ � AB������ 	 AB 
Para concretizar um pouco as ideias sugerimos aos leitores que utilizem 
uma régua para desenhar uma reta suporte CD�����. Para o próximo passo utilize 
um compasso. Coloque a ponta seca do compasso no ponto P da Figura 11 e a 
outra ponta no ponto Q. Com essa abertura e sem alterá-la, coloque a ponta 
seca do compasso no ponto C e faça uma marca com a outra ponta sobre a 
reta suporte CD�����. Denomine o ponto de E. O segmento CE construído é um 
transporte do segmento PQ. 
Figura 11 – Segmento PQ 
 
Observamos que os segmentos determinados pelos pontos P e Q e pelos 
pontos C e E são diferentes, pois são constituídos por pontos distintos. 
Lembramos que para dois conjuntos serem iguais temos que ter todos os 
elementos do primeiro pertencentes ao segundo e vice – versa. Mas para um 
conjunto estar contido em outro é apenas necessário e suficiente que todo 
elemento do primeiro pertença ao segundo. 
Proposição6: O segmento AB e o segmento BA são o mesmo segmento. 
Demonstração: Consideremos o segmento AB e o segmento BA. Então, 
ABBABAABBAAB ⊂∧⊂⇔= 
Primeiro mostraremos que o segmento AB está contido no segmento BA, 
isto é, que todo ponto que pertence ao segmento AB também pertence ao 
segmento BA. Então, seja C um ponto do segmento AB. Se C está no segmento 
AB, então C é igual ao A ou C é igual ao B ou C está entre A e B por definição 
de segmento. Bem, se C é igual ao A ou ao B, C pertence ao segmento BA, 
pois A e B pertencem a esse segmento por definição. Agora, se C está entre A 
e B, então C está entre B e A, pois o axioma II2 garante que um e apenas um 
ponto localiza-se entre os outros dois. Mas, se C está entre B e A, logo C está 
no segmento BA. Portanto, todo ponto C do segmento AB está no segmento 
BA, isto é, o segmento AB está contido no segmento BA. 
De forma análoga mostra-se que o segmento BA está contido no 
segmento AB. Portanto, como os conjuntos que definem os segmentos estão 
contidos um no outro, eles são o mesmo conjunto. Isto é, o segmento AB é 
igual ao segmento BA. 
∎ 
Proposição7: Um segmento possui infinitos pontos. 
Demonstração: Seja AB segmento e suponhamos ele tenha exatamente n 
pontos, com n natural. Podemos representar, então, o conjunto de pontos que 
compõe AB por 
{C1, C2, C3, ... , Cn-1, Cn} 
com C1 = A, Cn = B e Ci entre Ci – 1 e Ci+1, i ∈ {2, 3, ... , n – 1}. 
Mas o axioma II3 garante a existência deC entre Cn-1 e Cn. Logo existem pelo 
menos n + 1 pontos entre A e B o que contradiz a hipótese da existência de 
exatamente n pontos no segmento. Portanto, existem infinitos pontos em um 
segmento. 
∎ 
Semirreta 
Denominamos de semirreta OA (Figura 12) ao conjunto dos pontos 
formado pelo segmento OA e por todos os pontos C tais que A está entre O e 
C. O ponto O é chamado de origem da semirreta. Anotamos a semirreta de 
origem no ponto O e que passa por A por OA������. 
Figura 12 - Semirreta OA������ 
 
Semirretas opostas ou complementares são semirretas contidas numa 
mesma reta suporte e que possuem somente a origem comum (Figura 12). 
Figura 13 - OA������ e OB������ semirretas opostas ou complementares 
 
 Semirretas e retas suporte serão muito utilizadas nas construções 
geométricas. 
Ângulo 
Chamamos de ângulo a figura formada por duas semirretas de mesma 
origem que não estejam contidas em uma mesma reta. As semirretas são 
chamadas de lados do ângulo e a origem de vértice do ângulo. Observamos 
que para um ângulo ficar bem definido bastam três pontos não colineares 
desde que fixado um para o vértice. Observe a marca de ângulo na Figura 14. 
Figura 14 - Ângulo AO
B 
 
Anotamos o ângulo AOB por AO
B, BO
A, ou simplesmente Ô quando ficar 
claro no contexto a qual ângulo nos referimos. Também é usual letras 
minúsculas do alfabeto grego, como α, β, θ, para designar ângulos. 
Descreveremos, agora, os procedimentos para o transportar um ângulo. 
Em nossa descrição usaremos o ângulo AÔB da Figura 14 como ângulo a ser 
transportado. Para nos referir ao desenho gerado pelo compasso ao fixar a 
ponta seca e deslizar a outra ponta sobre o papel, usaremos a palavra arco. 
Esperamos que com essa descrição passo a passo você consiga realizar o 
transporte. Então, dado um ângulo como o da Figura 14: 
1º passo: Construímos uma semirreta auxiliar O�C�������. 
2º passo: Com a ponta seca do compasso fixa em O e abertura arbitrária 
marque com a outra ponta do compasso nas semirretas OB������ e OA������ os pontos D e 
E, respectivamente. 
3º passo: Com a ponta seca do compasso fixa em O’ e mesma abertura no 
compasso do passo anterior traçamos um arco. Este arco intercepta O′C������� num 
ponto F. 
4º passo: Coloque uma ponta do compasso sobre o ponto E e outra sobre o 
ponto D. Com essa abertura e com a ponto seca do compasso em F traçamos 
um arco. Ele intercepta o arco anterior nos pontos G e G’. 
Os ângulos FÔ’G ou FÔ’G’ são o ângulo AÔB transportado. 
Consideraremos, ainda, dois casos degenerados de ângulos (Figura 15). 
O primeiro é formado por semirretas complementares ao qual denominamos 
raso. O segundo é formado por semirretas coincidentes e chamamos nulo. 
Figura 14 - BÔA ângulo raso e OC������ ângulo nulo 
 
Sejam OA������ e OC������ um par de semirretas complementares e OB������ e OD������ outro 
par de semirretas complementares (Figura 15). Os ângulos AÔB e CÔD são 
chamados de ângulos opostos pelo vértice (OPV) e AÔD e BÔC também são 
OPV. 
Figura 15 - AÔB e CÔD ângulos opostos pelo vértice (OPV) 
 
Axioma da Separação do Plano 
Sejam r uma reta e A um ponto não pertencente a r. Dizemos que os 
pontos A e B estão do mesmo lado com respeito a reta r (Figura 16) quando AB 
não intercepta r. 
Figura 16 - A e B estão do mesmo lado com relação a reta r 
 
Considere uma reta r e um ponto A não pertencente a ela, o conjunto 
formado pelos pontos da reta r e por todos os pontos que estão do mesmo 
lado de A com relação a essa reta é chamado de semiplano determinado por r 
e contendo A. Para garantir que todos os pontos que não estão do mesmo lado 
que A com respeito à reta r unidos com r formam um único semiplano 
precisamos do axioma da Separação do Plano. 
Axioma II4: Uma reta r determina exatamente dois semiplanos onde a 
intersecção é r. 
Proposição8: Se A e B estão de lados opostos com respeito à reta r e B e C 
estão em lados opostos também, então A e C estão do mesmo lado com 
respeito a r. 
Demonstração: O axioma II4 garante que ou A e C estão do mesmo lado com 
respeito a reta r ou estão em lados opostos e não existe outra possibilidade. 
Assim, se A e C estivessem em lados opostos, como A e B estão em lados 
opostos, só resta para C estar do mesmo lado que B, o que não ocorre por 
hipótese. 
∎ 
Observamos que fixada uma reta r e com este axioma é possível separar 
o plano em três conjuntos disjuntos, a saber, os pontos que estão de um lado 
da reta, os que estão do outro lado e os pontos da reta. Com ele também 
conseguimos definir de maneira precisa três conjuntos disjuntos do plano 
determinados por um ângulo. 
Consideremos, então, um ângulo AÔB. Chamamos região interior do 
ângulo AÔB a intersecção do conjunto formado por todos os pontos que estão 
do mesmo lado que A com respeito a reta OB������ com o conjunto dos pontos que 
estão do mesmo lado que B com respeito a reta OA������. Anotamos essa região por 
int α. Se um ponto está na região interior do ângulo, dizemos que ele é um 
ponto interior do ângulo. Quando um ponto não está no ângulo nem em sua 
região interior dizemos que ele está na região exterior do ângulo e o 
denominamos ponto exterior do ângulo. 
Na Figura 17, o ponto C está na região interior do ângulo α, Q e P estão 
na região exterior, as semirretas OA������ e OB������ são os lados e O é o vértice do 
ângulo. 
Figura 17 - Região interior do ângulo 
 
Proposição9: Se C e D estão em lados distintos do ângulo não degenerado 
AÔB, então os pontos do segmento DC que estão entre C e D pertencem ao 
interior do ângulo AÔB. 
Demonstração: Sejam AÔB ângulo, C e D distintos de O, tais que C ∈ OA������ e D ∈ 
OB������. Seja E tal que E está entre C e D. Queremos mostrar que E ∈ int AÔB. 
Então temos que verificar que E está do mesmo lado que B com respeito a 
reta OA������ e está do mesmo lado que A com respeito a reta OB������. Como as retas 
OA������ e OC����� são iguais e também são iguais as retas OB������ e OD������, já que O, A e C são 
colineares, o que ocorre, também com O, B e D, basta mostrarmos que E está 
do mesmo lado que D com respeito a reta OC����� e E está do mesmo lado que C 
com respeito a reta OD������. 
 Para mostrar que D e E estão do mesmo lado com respeito a reta OC 
vamos supor, por redução ao absurdo, que eles estão em lados opostos e 
concluir contradição. Se D e E estão do mesmo lado com respeito a reta OC�����, o 
segmento DE intercepta OC����� em um ponto F. Se F é igual a C, então C está 
entre D e E, mas isto contradiz o axioma II2, visto que E está entre D e C. Se F 
for distinto de C, então as retas OC�����, CF����� e ED������ serão coincidentes. Isto nos leva 
a O, C e D colineares, o que contradiz a hipótese de AÔB ângulo não 
degenerado. Assim, D e E estão do mesmo lado com respeito a reta OC�����. 
 Para mostrar que E e C estão do mesmo lado com respeito a reta OD������ 
procedemos de forma análoga. 
 Portanto todos os pontos de um segmento, cujos extremos estão sobre 
lados distintos de um ângulo, que estão entre os extremos do segmento 
pertencem ao interior do ângulo. 
∎ 
Dois ângulos são adjacentes quando possuem um lado comum e suas 
regiões interiores são disjuntas (Figura 18). 
Figura 18 - α e β ângulos adjacentes 
 
Existe um caso particular de ângulos adjacentes formados por duas 
semirretas opostas e uma terceira semirreta de mesma origem e diferente das 
primeiras (Figura 19). A esse par de ângulos denominamos par linear. 
Figura 19 - AÔC e CÔB par linear 
 
Congruência 
De forma intuitiva, consideramos dois objetos congruentes quando é 
possível sobrepô-los sem os deformar e não ocorrem sobras nem faltas. Por 
exemplo, se for possível coincidir os extremos dos segmentos AB e CD, sem 
deformá-los, então esses segmentos são congruentes (propriedade simétrica). 
São congruentes, também, ângulos cuja sobreposição sem deformação dos 
seus vértices e lados é possível. É claro que um objeto é congruente a ele 
mesmo (propriedade reflexiva) ese dois objetos são congruentes a um 
terceiro, então são congruentes entre si (propriedade transitiva). Usaremos o 
símbolo ‘≅’ para anotar congruência entre objetos. Assim, se os ângulos BÂC 
e DÊF são congruentes, escrevemos: BÂC ≅ DÊF. 
Se o leitor realizou a construção do transporte de segmento sugerida 
neste capítulo, então construiu um segmento CE congruente ao segmento PQ. 
Os ângulos FÔ’G ou FÔ’G’ resultantes do transporte do ângulo AÔB são todos 
congruentes entre si (isto será provado no Capítulo 6). Ou seja, transportar 
uma figura geométrica é construir outra figura congruente a primeira. 
Com a relação de congruência podemos definir novos objetos. Se dois 
ângulos de um par linear são congruentes, então cada um deles é um ângulo 
reto. Se for possível coincidir o vértice e um dos lados de um ângulo com o 
vértice e um dos lados de um ângulo reto e o outro lado do ângulo, com 
exceção da origem, ficar contido na região interior do ângulo reto, então o 
ângulo é agudo. Se for possível coincidir o vértice e um dos lados de um 
ângulo com o vértice e um dos lados de um ângulo reto e o outro lado do 
ângulo reto, com exceção da origem, ficar contido na região interior do 
ângulo, então o ângulo é obtuso. Na Figura 20, AÔB é reto (observe a marca 
de ângulo reto), BÔC é agudo e BÔD é obtuso. 
Figura 20 - Ângulo reto, agudo e obtuso 
 
Dizemos que duas retas são perpendiculares quando se interceptam 
formando um ângulo reto (Figura 21). Notação: r ⊥ s 
Figura 21 - r e s retas perpendiculares 
 
Quando a reta r é perpendicular a reta s em P, dizemos que P é o pé da 
perpendicular. 
A construção de uma reta perpendicular s a uma reta r dada por um 
ponto P de r pode ser realizada pelos passos: 
1º passo: Com uma abertura qualquer e a ponta seca do compasso em P 
marcamos na reta r os pontos A e B. 
2º passo: Abra um pouco mais o compasso e com a ponta seca em A traçar um 
arco em cada semiplano determinado por r. 
3º passo: Com a mesma abertura do segundo passo colocar a ponta seca do 
compasso sobre B e traçar um arco em cada semiplano determinado por r. 
Observamos que deve ocorrer a intersecção entre os arcos desenhados no 
segundo e terceiro. Caso não tenha ocorrido, aumente-os para que ocorra. 
4º passo: nomear de C e D os pontos de intersecção obtidos no terceiro passo 
e traçar a reta que passa pelos pontos C e D. 
A reta CD����� é a reta s procurada. Somente validaremos esta afirmação no 
Capítulo 6. Porém você pode dobrar o papel de sua construção, de forma que 
as semirretas PA����� e PB������ coincidam. A dobra do papel deve coincidir com a reta s 
construída. Portanto, intuitivamente, os ângulos AP
D e DP
B, que formam um 
par linear, são congruentes. Portanto cada um deles é um reto. Assim as retas 
r e s formam um ângulo reto e são perpendiculares. 
Dizemos que a semirreta OC������ é bissetriz do ângulo AÔB quando C está no 
interior do ângulo AÔB e os ângulos AÔC e CÔB forem congruentes. Observe o 
traço que identifica e marca a congruência entre os ângulos na Figura 22. 
Figura 22 - OC������ bissetriz de AÔB 
 
 A existência e unicidade da bissetriz serão verificadas no próximo 
capítulo. Por hora, vamos propor a construção com régua cega e compasso da 
bissetriz de um dado ângulo a partir da sua descrição. Então, represente um 
ângulo AÔB em uma folha de papel e siga os passos dados. 
1º passo: Com a ponta seca do compasso em O e abertura qualquer traçar um 
arco que intercepta os lados OA������ e OB������ nos pontos C e D, respectivamente. 
2º passo: Com a ponta seca do compasso em C traçar um arco no interior do 
ângulo. 
3º passo: Ainda com mesma abertura do segundo passo e ponta seca do 
compasso em D traçamos outro arco. Nomear de P a intersecção com o arco 
do passo anterior. 
Observamos que se os arcos do segundo e terceiro passo não se interceptaram 
procure aumentá-los um pouco até obter a intersecção. 
4º passo: Traçar a semirreta OP������. 
A semirreta OP������ obtida no quarto passo é a bissetriz do ângulo AÔB. A 
justificativa desta construção será dada no Capítulo 6. De forma intuitiva, ao 
sobrepor os lados do ângulo AÔB e vincar a dobra, a marca vincada deve 
coincidir com o desenho da bissetriz, pois para que OP������ seja a bissetriz do 
ângulo AÔB os ângulos AÔP e PÔB devem ser congruentes. 
Recapitulando 
Com a noção de estar entre e os axiomas de Ordem podemos garantir a 
existência de infinitos pontos. Segmentos são formados por pares de pontos, 
seus extremos, e todos os pontos que estão entre seus extremos, portanto um 
segmento está contido em uma reta, denominada reta suporte do segmento. 
Pares de pontos distintos também definem uma única semirreta, desde que 
fixado um dos pontos para a origem, portanto semirretas também são 
subconjuntos de retas. O último axioma enunciado neste capítulo foi o axioma 
da Separação do Plano o qual garante que uma reta r determina exatamente 
dois semiplanos onde intersecção é a reta r. 
Pares de semirretas de mesma origem e não colineares determinam um 
ângulo cujo vértice é a origem das semirretas. Associamos a cada ângulo duas 
regiões: interior e exterior. Consideramos dois casos degenerados de ângulos: 
o raso e o nulo. Ângulos adjacentes possuem o vértice e um lado comum, 
além disso, não possuem pontos interiores comuns. Um par linear é formado 
por três semirretas de mesma origem, sendo duas delas opostas. Dois pares 
distintos de semirretas opostas de mesma origem definem dois pares de 
ângulos OPV. Definimos ângulo reto como aquele que é congruente ao seu par 
linear e a partir dele, ângulo agudo e obtuso. Duas retas são perpendiculares 
quando formam um ângulo reto. A bissetriz de um ângulo é uma semirreta 
com origem no vértice do ângulo e seus outros pontos na região interior do 
ângulo, com a propriedade dos dois ângulos adjacentes formados por cada 
lado do ângulo e a bissetriz serem congruentes. 
Além disso, introduzimos construções geométricas com régua cega e 
compasso. O transporte de segmento e ângulo e a construção da bissetriz de 
um ângulo foram os procedimentos descritos. 
Referências Bibliográficas 
 
BARBOSA, João L. M. Geometria Euclidiana Plana. Coleção do Professor de 
Matemática. Rio de Janeiro: IMPA/CNPq, 1995. 
EFIMOV, N.V. Geometria Superior. Moscou: Mir. 
REZENDE, Eliane Q. F. e QUEIROZ, Lúcia B. de. Geometria Euclidiana Plana e 
construções geométricas. Campinas, SP: UNICAMP, 2000. 
 
Atividades 
As questões 1 e 2 referem-se a figura abaixo. 
 
1. Considerando a figura analise as afirmações e complete com ‘V’, se 
verdadeira, e ‘F’, se falsa. 
( ) D ∈ AC 
( ) AD ⊂ AC 
( ) C ∈ CD 
( ) B ∉ AC 
( ) AC ⊂ CA 
Agora assinale a alternativa correta. 
a) V – V – F – F – F 
b) V – F – V – V – V 
c) F – F –V – V – F 
d) F – F – V – V – V 
e) V – V – V – F – F 
2. Ainda com relação à figura analise as afirmações e complete com ‘V’ 
se verdadeira e ‘F’ se falsa. 
( ) CD ⊂ AD 
( ) A ∉ AD 
( ) CA ⊄ AC 
( ) D ∈ AC 
( ) AD ⊃ DC 
Agora assinale a alternativa correta. 
a) ( ) V – V – V – F – V 
b) ( ) V – F – V – V – V 
c) ( ) V – F – V – F – V 
d) ( ) V – V – F – F – V 
e) ( ) F – F – V – F – V 
3. Observe a figura e leia com atenção as sentenças assinalando: 
1 Se a sentença for verdadeira. 
2 Se a sentença for falsa. 
 
a) ( ) AF e AC são semirretas complementares. 
b) ( ) Os pontos A, D, C e E são colineares. 
c) ( ) Os pontos G e C estão no mesmo semiplano determinado por s. 
d) ( ) O ponto D é exterior ao ângulo EBAˆ . 
e) ( ) BD e BC são semirretas complementares. 
f) ( ) O ponto A é interior a BC . 
h) ( ) O ponto G é interior ao ângulo EBCˆ 
i) ( ) DEé semirreta contida na reta s. 
j) ( ) BC é segmento contido na semirreta AC . 
4. Mostre que uma semirreta AB possui infinitos pontos além dos 
pontos do segmento AB . 
5. Mostre que uma reta ABpossui infinitos pontos além dos pontos da 
semirreta AB . 
As questões 6e 7 devem ser respondidas considerando as figuras I, II, 
III, IV, V e VI. 
 
 
I 
 
II 
 
III 
 
 
IV 
 
 
V 
 
VI 
 
6. Considerando as figuras marque com um ‘X’ somente as sentenças 
verdadeiras. 
a) ( ) O ângulo destacado em V é reto. 
b) ( ) O ângulo destacado em I é obtuso e o destacado em VI é agudo. 
c) ( ) O ângulo destacado em I é agudo e o destacado em VI é obtuso. 
d) ( ) Em IV, EPGEPGGPD ˆˆˆ ⇒≅ reto 
e) ( )Os ângulos destacados em I e V são agudos. 
7. Ainda com relação às figuras marque com um ‘X’ somente as 
sentenças verdadeiras. 
a) ( ) OC é bissetriz do ângulo BOAˆ . 
b) ( ) GPDˆ e EPGˆ formam par linear. 
c) ( ) FPDˆ e EPGˆ são ângulos opostos pelo vértice. 
d) ( ) COAˆ e COBˆ são congruentes. 
e) ( ) PG é bissetriz de EPDˆ . 
f) ( ) FPEˆ e GPEˆ são ângulos adjacentes. 
g) ( ) SQR ˆ e TQS ˆ formam par linear. 
h) ( ) QS é bissetriz de TQRˆ . 
8. Leia com atenção as sentenças assinalando: 
(1) Se a sentença for verdadeira. 
(2) Se a sentença for falsa. 
a) ( ) Considere OA e OB duas semirretas complementares e OC uma 
semirreta qualquer, os ângulos AÔC e CÔB são adjacentes. 
b) ( ) Considere OA e OB duas semirretas complementares e OC uma 
semirreta qualquer distinta das anteriores, os ângulos AÔC e CÔB 
formam um par linear. 
c) ( ) Considere duas retas AB e CD tais que AB e CDque se 
interceptam em um ponto O, sendo A – O – B e C – O – D, podemos 
dizer que os ângulos AÔC e BÔD são opostos pelo vértice. 
d) ( ) Considere duas retas AB e CD tais que AB e CD se interceptam 
em um ponto O, sendo A – O – B e C – O – D, podemos dizer que os 
ângulos AÔC e BÔD são adjacentes. 
______________________________________________________________________ 
Gabarito 
1. Afirmação correta: d. 
2. Afirmação correta: c. 
3. A associação é: 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1. 
4. Encaminhamento da demonstração: Leia no livro a demonstração da 
proposição 7. Use redução ao absurdo e o axioma II3. 
5. Encaminhamento da demonstração: proceda de forma análoga ao 
exercício anterior. 
6. São verdadeiras as sentenças: a, c, d. 
7. São verdadeiras as sentenças: a, b, c, d, f. 
8. A associação é: 1, 1, 1, 2. 
 
Medição de Segmento e Ângulo 
 Ana Brunet e Carmen Kaiber 4 
 
Introdução 
Estudaremos a medida de segmentos e ângulos que aqui nada mais é do 
que reais não negativos associados aos objetos geométricos. A atribuição de 
valores para ângulos e segmentos é com base no terceiro grupo de axiomas, os 
axiomas de Medição de Segmento e Medição de Ângulo, com os quais 
exploraremos propriedades dos objetos já apresentados. 
Valor Absoluto 
Para dar sequência aos nossos estudos vamos definir o valor absoluto ou 
módulo de um número real x, que representamos por , onde 
 
Observamos que números simétricos possuem o mesmo módulo. Por 
exemplo, o valor absoluto de 2 é 2 e o de – 2 é 2 também. 
Medição de Segmento 
Se dois pontos A e B não estão muito afastados um do outro, podemos 
achar a distância entre eles utilizando uma régua comum. Observe a Figura 
23. 
Figura 23 - Uso da régua para medir a distância entre dois pontos. 
 
 
Temos que a distância entre A e B é 3, ou a medida de AB é 3 u.c. Com 
uma régua colocamos o número zero sobre A e o número três cai sobre B ou o 
 
4 Ana Regina Gregory Brunet é mestre em Matemática na área de Geometria e 
Topologia (UFRGS) e docente do curso de Licenciatura em Matemática da ULBRA. 
Carmen Teresa Kaiber é doutora em Ciências da Educação pela Universidade 
Pontifícia de Salamanca e docente do curso de Licenciatura em Matemática e do PPGECIM da 
ULBRA. 
x



<−
≥
=
0,
0,
xsex
xsex
x
A B 
zero sobre o B e o 3 fica sobre o A. Mas esta atribuição poderia ser diferente, 
como na Figura 24. 
Figura 24 - Medida da distância entre dois pontos 
 
Esta atribuição de valores é com base nos seguintes axiomas: 
Axioma III1: A todo ponto de uma reta podemos associar um número real e a 
todo número real podemos associar um ponto da reta. Além disso, fixado um 
ponto e um número esta associação é única. 
Ao número real associado ao ponto de uma reta chamamos coordenada 
do ponto. A atribuição de coordenadas é chamada de sistema de coordenadas. 
Nas figuras 23 e 24, temos: 
Primeiro Sistema: a coordenada de A é zero e a coordenada de B é 3. 
Segundo Sistema: a coordenada de A é 3 e a coordenada de B é 0. 
Terceiro Sistema: a coordenada de A é 2 e a coordenada de B é 5. 
Quarto sistema: a coordenada de A é - 1 e a coordenada de B é 2. 
Axioma III2: A todo par de pontos de uma reta podemos associar um número 
não negativo. Este número é zero se e somente se os pontos forem 
coincidentes. Além disso, este número é determinado pelo valor absoluto da 
diferença das coordenadas. 
O número que se refere o axioma acima é chamado de distância entre 
os pontos ou medida do segmento. A sigla u.c. significa unidades de 
comprimento. Notação: �AB� 
Observamos que o axioma III2 também nos diz que: 
�AB� � |b � a| � |a � b| 
onde b é a coordenada de B e a é a coordenada de A. 
Nos exemplos das figuras 23 e 24, temos: 
Primeiro sistema: 
�AB� � |b � a| � |3 � 0| � |3| � 3 u. c. 
ou 
�AB� � |a � b| � |0 � 3| � |�3| � 3 u. c. 
Segundo sistema: 
�AB� � |b � a| � |0 � 3| � |�3| � 3 u. c. 
ou 
�AB� � |a � b| � |3 � 0| � |3| � 3 u. c. 
Terceiro sistema: 
�AB� � |a � b| � |2 � 5| � |�3| � 3 u. c. 
ou 
�AB� � |b � a| � |5 � 2| � |3| � 3 u. c. 
Quarto sistema: 
�AB� � |a � b| � |�1 � 2| � |�3| � 3 u. c. 
ou 
�AB� � |b � a| � |2 � �1!| � |3| � 3 u. c. 
Proposição10: (Colocação da régua) Seja AB������ uma semirreta e d um número 
real positivo. Então existe apenas um ponto C na semirreta AB������ tal que a 
medida do segmento AC é d u.c. 
Demonstração: O axioma III1 nos permite atribuir a coordenada “0” (zero) 
para o ponto A e escolhermos o ponto C cuja coordenada é d, com d positivo. 
Assim, temos: 
�AC� � |d � 0| � |d| � d u.c. 
 O ponto C é único, pois o mesmo axioma III1 garante que fixado um 
ponto e um número a associação é única. 
∎ 
Assim em qualquer sistema de coordenadas, que use a mesma unidade 
de medida, o real associado a um segmento é o mesmo. Da proposição 10 
decorre imediatamente que dois ou mais segmentos congruentes possuem a 
mesma medida e segmentos que possuem a mesma medida são congruentes. 
A partir da ideia de distância podemos imaginar um conjunto de pontos 
cuja distância a um ponto fixo seja constante, isto é, o conjunto de pontos 
que equidistam de um ponto dado. Dados, então, um ponto A e um número 
real positivo r, definimos circunferência de centro A e raio r ao conjunto de 
pontos do plano cuja distância até A é r. Notação: C (A, r). Para traçar 
circunferências utilizamos o compasso. 
Axioma III3: Sejam A, B e C pontos de uma reta. Se C pertence ao segmento 
AB, então a soma das medidas dos segmentos AC e CB é igual a medida do 
segmento AB. 
Isto é: 
C # AB $ �AB� � �AC� % �CB� 
Decorre imediatamente do axioma III3 que: 
A � C � B $ �AB� & �AC� ' �AB� & �CB� 
Proposição11: Se em uma semirreta AB������ considerarmos um segmento AC cuja 
medida é menor do que a do segmento AB, então C está entre A e B. 
Demonstração: Seja C ponto pertencente a semirreta AB������, com C diferente de 
A, C diferente de B e tal que a medida do segmento AC é menor que a do 
segmento AB. Temos duas possibilidades: ou C entre A e B ou B entre A e C. 
Suponhamos que B está entre A e C. Daí, pelo axioma III3, temos: 
�AC� & �AB� ' �AC� & �BC� 
Mas isso contradiz a hipótese do segmento AC ter medida menor que o 
segmento AB. Logo a única possibilidade é C entre A e B. 
∎ 
Uma importante consequência dessa última proposição é a relação 
entre os pontos e as coordenadas. Se considerarmos A, B e C pontos de uma 
mesma reta e a, b e c suas respectivas coordenadas o ponto C estará entre A 
e B se, e somente se c estiver entre a eb (Figura 25). Isto é, 
A – C – B ( a < c < b v b < c < a 
Figura 25 - Relação entre pontos e coordenadas 
 
Consideremos, agora, um segmento AB, em particular um ponto C entre 
A e B e tal que a medida do segmento AC é igual a medida do segmento CB. 
Neste caso, dizemos que C é ponto médio de AB. A existência e unicidade do 
ponto médio serão verificadas na proposição 13. Mas iremos precisar do 
resultado da proposição 12 para a demonstração. 
Proposição12: Para quaisquer a e b números reais, com a < b, vale: 
a ) a % b2 ) * 
Demonstração: Sejam a e b reais, com a < b. Então, por hipótese, temos: 
a < b 
Somando a nos dois membros da desigualdade, vem: 
2a < a + b 
Multiplicando por ½ ambos os lados da desigualdade, obtemos: 
a ) a % b2 
De forma análoga, somando b em ambos os membros da desigualdade inicial, 
podemos obter: 
a % b2 ) * 
Portanto, para quaisquer números reais, com a < b, vale: 
a ) a % b2 ) * 
∎ 
Proposição13: Todo segmento possui um ponto médio. Além disso, este ponto 
é único. 
 
Figura 26 - Ponto médio de um segmento 
 
Demonstração: Inicialmente vamos provar a existência. Pelo axioma III2, 
escolhemos c o ponto cuja coordenada é 
2
ba +
, onde a é a coordenada de A e 
b é a coordenada de B. Pela proposição anterior, temos: a < 
2
ba +
< b. Logo C 
está entre A e B (Figura 26). Vamos mostrar que a medida do segmento AC é 
igual a medida do segmento CB. Isto é, 
+AC,,,,+ � +CB,,,,+ 
Temos: 
�AC� � -. % *2 � .- 
�AC� � -. % * � 2.2 - 
�AC� � -* � .2 - 
Por outro lado, temos: 
�CB� � -* � . % *2 - 
�CB� � -2* � . � *2 - 
�CB� � -* � .2 - 
Ou seja, a medida do segmento AC é igual a medida do segmento CB o 
que verifica a existência do ponto médio. 
Agora vamos provar que este ponto é único. Suponhamos que existam 
dois pontos médios no segmento AB, com a coordenada de A e b coordenada 
de B. Sejam C e E pontos médios com coordenadas c e e respectivamente. 
Então: 
i. C ponto médio do segmento AB implica que C pertence ao 
segmento AB e: 
�AC� � �/0�2 � |* � .|2 
ii. E ponto médio do segmento AB implica que E pertence ao 
segmento AB e: 
�AE� � �/0�2 � |* � .|2 
Consideremos a semirreta AB������ e o real d � |123|
4 positivo. Então, pela 
proposição 10, existe um único D tal que a medida do segmento AD é d. 
Portanto os pontos C e E são coincidentes. Assim o ponto médio de um 
segmento é único. 
∎ 
Para construir o ponto médio de um dado segmento AB basta tomar o 
compasso com a abertura em um tamanho maior que a medida do segmento 
AB e traçar as circunferências de mesmo raio, uma com centro em A e outra 
com centro em B. A seguir, marcar e nomear de P e Q as intersecções destas 
circunferências, que ocorrem nos dois semiplanos determinados pela reta 
suporte de AB. A intersecção da reta determinada pelos pontos P e Q com o 
segmento AB é o ponto médio M de AB. Certifique-se disto com uma régua 
graduada, a medida do segmento AM deve ser igual a do segmento MB. Ou 
certifique-se por dobradura, por sobreposição dos segmentos AM e MB. Na 
sobreposição não podem ocorrer sobras ou faltas, o que indica congruência 
entre estes segmentos. 
A reta PQ obtida na construção do ponto médio do segmento AB é 
chamada mediatriz do segmento AB. Os pontos dessa reta possuem a 
propriedade de equidistar dos extremos do segmento AB, como veremos no 
Capítulo 6, todos os pontos de uma reta que foi construída como PQ����� 
equidistam dos extremos do segmento que a gerou, e somente os pontos dela 
possuem esta propriedade. Dado um segmento, a construção de sua mediatriz 
pode ser realizada pelo traçado da reta determinada pelas intersecções de 
duas circunferências de centro nos extremos do segmento e raio de medida 
maior que a do segmento. 
Medição de Ângulo 
De forma semelhante à medição de segmentos, precisamos de um 
sistema de coordenadas para medirmos ângulo. O instrumento utilizado para 
tal medição é o transferidor. Adotaremos a unidade graus (0) para medição de 
ângulos. Esta unidade de medida de ângulos é herança dos antigos babilônios. 
A atribuição de valores para ângulos é baseada nos axiomas III4, III5 e III6. 
Axioma III4: A todas as semirretas de mesma origem contidas em um mesmo 
semiplano podemos associar um número entre 0º e 180° e para todo número 
entre 0° e 180° podemos associar uma semirreta. Além disso, fixado uma 
semirreta e um número a associação é única. 
O número entre 0° e 180° associado à semirreta de mesma origem é 
chamado de coordenada (Figura 27). 
Figura 27 - Sistema de coordenadas para ângulos 
 
Axioma III5: A todo par de semirretas de mesma origem podemos atribuir um 
número entre 0° e 180°. Este número é 0° se e somente se as semirretas 
forem coincidentes e 180º se e somente se as semirretas forem opostas. Além 
disso, este número é determinado pelo valor absoluto da diferença das 
coordenadas. 
O número que se refere o axioma acima é chamado de medida do 
ângulo. Notação: �AÔB� � |b7 � a7|, onde bo é a coordenada de OB������ e a° é a 
coordenada de OA������. 
É claro que dois ou mais ângulos congruentes possuem a mesma medida 
e ângulos que possuem mesma medida são congruentes. Observamos que o 
leitor deve ficar atento à diferença entre a medida de um ângulo e as 
coordenadas associadas às semirretas que o compõe. Para organizar as ideias 
consideremos um ângulo AÔB ao qual associamos às semirretas OA������ e OB������ as 
coordenadas 25o e 80o respectivamente como representado na Figura 28. 
Neste caso a medida do ângulo AÔB é 55 o, valor que pode ser obtido pelo 
módulo da diferença das coordenadas. 
Figura 28 – Coordenadas e medida de ângulo 
 
 Se você realizou a construção da bissetriz sugerida no Capítulo 3, faça 
uso do transferidor para verificar que os ângulos AÔP e PÔB, oriundos da 
construção da semirreta OP������, possuem mesma medida. O próximo axioma nos 
permitirá adicionar medidas de ângulos adjacentes. 
Axioma III6: Sejam AÔB um ângulo e OC������ uma semirreta cujos pontos, com 
exceção da origem, estão na região interior de AÔB então: 
�AÔB� � �AÔC� % �CÔB� 
Dizemos que dois ângulos são suplementares quando a soma de suas 
medidas é 180° e complementares quando a soma de suas medidas é 
90°(Figura 29). 
Figura 29 - α e β suplementares, α e γ complementares. 
 
 Alertamos ao leitor que ângulos complementares são ângulos cuja soma 
das suas medidas é 900 e semirretas complementares são semirretas com 
origem comum e contidas numa mesma reta suporte. Neste contexto, nos 
referiremos ao complemento e suplemento de um ângulo como o número que 
falta para completar 900 e 1800, respectivamente. 
Dos axiomas e definições expostos decorrem algumas propriedades. 
Proposição14: Sejam AÔC e BÔC um par linear, então AÔC e BÔC são 
suplementares. 
Demonstração: Por hipótese os ângulos AÔC e BÔC formam um par linear. 
Consideremos o semiplano em que se encontra a semirreta OC������. Então pelo 
axioma III6, vale: 
BÔCAÔCAÔB += 
Sendo o ângulo AÔB raso, sua medida é 180º. Assim a soma das medidas 
dos ângulos AÔC e BÔC é 180º, o que define ângulos suplementares. 
∎ 
Proposição15: Ângulos opostos pelo vértice são congruentes. 
Demonstração: Sejam AÔB e CÔD ângulos OPV, tais que os pontos A, O e C são 
colineares. Então os ângulos AÔB e BÔC formam par linear, bem como os 
ângulos CÔD e CÔB. Logo, a proposição 14 nos garante que: 
�AÔB� % �BÔC� � 1807 e �CÔD� % �CÔB� � 1807 
Assim, podemos escrever: 
�AÔB� % �BÔC� � �CÔD� % �CÔB� 
Portanto podemos concluir que: 
�AÔB� � �CÔD� 
Isto é, os ângulos AÔB e CÔD possuem a mesma medida, logo são 
congruentes. 
∎ 
Proposição16: Todo ângulo reto mede 90º. Reciprocamente, todo ângulo de 
medida 900 é reto. 
Demonstração: Seja α um ângulo reto e β ângulo que faz par linear com α. 
Pela definição de ângulo reto α e β são congruentes, logo possuem a mesma 
medida. A proposição 14 garante que eles também são suplementares. Assim: 
:+α+ % +β+ � 180=
 +α+ � +β+ > 
Donde podemos concluir quea medida de α é 900. Assim, todo ângulo 
reto mede 900. 
Reciprocamente, consideremos um ângulo AÔB de medida 900. 
Coloquemos um sistema de coordenadas de forma que à semirreta OB������ seja 
associada a coordenada 00 no semiplano que contem a semirreta OA������. Como a 
medida do ângulo é 900, a semirreta OA������ terá coordenada 900. Consideremos a 
semirreta OC������ de coordenada 1800 que é oposta à semirreta OB������. O ângulo AÔC, 
assim construído, mede 900. Logo, AÔB possui mesma medida que seu par 
linear AÔC. Portanto AÔB e AÔC formam um par linear e são congruentes o 
que define AÔB como ângulo reto. 
∎ 
Na construção da perpendicular no Capítulo 3, você pode se certificar 
com o transferidor que os quatro ângulos determinados pelas retas r e s 
medem 900, ou seja, são ângulos retos. 
Proposição17: Um ângulo agudo mede menos que 900 e um ângulo obtuso 
mede entre 900 e 1800. 
Demonstração: Pela definição de ângulo agudo é possível coincidirmos um de 
seus lados com um lado de um ângulo reto de forma que seu outro lado, com 
exceção do vértice, esteja contido na região interior do reto. Podemos 
associar um sistema de coordenadas atribuindo 00 aos lados coincidentes. O 
outro lado do reto terá coordenada 900. Assim o segundo lado do agudo terá 
coordenada entre 00 e 900, portanto sua medida, dada pelo valor absoluto da 
diferença de suas coordenadas, será menor que 900. 
 Para mostrar que um ângulo obtuso mede entre 900 e 1800 
procedemos de forma análoga e fica a cargo do leitor esta validação. 
∎ 
Proposição18: Existe e é única a bissetriz de um ângulo. 
Demonstração: Iniciaremos mostrando a existência. Seja AÔB ângulo. O 
Axioma III4 nos permite associar à semirreta OA������ a coordenada 00. Esse mesmo 
axioma garante que existe um único número entre 00 e 1800 associado à 
semirreta OB������. Seja d0 esse número. Consideremos, agora, a semirreta OC������ de 
coordenada (d/2)0 cuja existência é garantida, também, pelo mesmo axioma. 
Esta semirreta possui todos os seus pontos, com exceção da origem, na região 
interior do ângulo AÔB, pois caso contrário teria como coordenada um número 
maior que d0. Como as coordenadas das semirretas OA������, OC������ e OB������ são 00, (d/2)0 
e d0 respectivamente, decorre do axioma III5 que os ângulo AÔC e CÔB medem 
(d/2)0 cada. Isto é, a semirreta OC������ é a bissetriz de AÔB. 
Vamos, agora, mostrar a unicidade da semirreta OC������. Suponhamos que a 
semirreta OD������ seja, também, bissetriz de AÔB. Novamente podemos considerar 
o sistema de coordenadas no qual à semirreta OA������ é associada à coordenada 00 
e a coordenada de OB������ será d0 como fizemos na demonstração da existência. 
Então, como OD������ é bissetriz de AÔB, a medida dos ângulos AÔD e DÔB é (d/2)0 
(Exercício 15 deste capítulo). Assim a coordenada de OD������ é (d/2)0 e coincide 
com a coordenada de OC������. Portanto as semirretas OC������ e OD������ são a mesma 
semirreta, pois estão associadas à mesma coordenada (axioma III4). 
∎ 
Proposição19: Se AÔC e CÔB formam um par linear, então suas bissetrizes 
formam um ângulo reto. 
Demonstração: Sejam AÔC e CÔB um par linear e OD������ e OE������ suas respectivas 
bissetrizes. Queremos mostrar que DÔE é reto. 
As medidas dos ângulos AÔD e DÔC são iguais e são iguais, também, as 
medidas dos ângulos CÔE e EÔB, por definição de bissetriz. Temos também 
que AÔC e CÔB são suplementares, pois formam par linear. Além disso, o 
axioma III6 garante que a soma das medidas de AÔD com DÔC é igual a medida 
de AÔC e a soma das medidas de CÔE com EÔB é igual a medida de CÔB, pois 
OD������ e OE������ são bissetrizes dos ângulos AÔC e CÔB e todos os seus pontos, com 
exceção da origem, estão na região interior dos respectivos ângulos. Então: 
?@@
A
@@B �AÔD� � �DÔC�
�CÔE� � �EÔB�
�AÔC� % �CÔB� � 180°
 �AÔD� % �DÔC� � �AÔC�
 �CÔE� % �EÔB� � �CÔB�
> 
Daí, 
2�DÔC� % 2�CÔE� � 180° 
Isto é, 
�DÔC� % �CÔE� � 90° 
Como, por hipótese, AÔC e CÔB formam par linear e as semirretas OD������ e 
OE������ são suas respectivas bissetrizes, a semirreta OC������ está na região interior do 
ângulo DÔE. Portanto, o axioma III6 permite escrevermos que 
�DÔE� � 90° 
Logo, as bissetrizes de um par linear formam um ângulo reto. 
∎ 
Proposição20: Por cada ponto de uma reta passa uma única perpendicular. 
Demonstração: (Existência) Sejam r reta e P ponto de r. Sejam, também, A e 
B pontos de r tais que P está entre A e B. Escolhemos um dos semiplanos 
determinados por r e associamos a coordenada 00 à semirreta PB������. O axioma 
III4 garante a existência de PC����� semirreta com coordenada 900 no semiplano 
escolhido. Então o ângulo BP
C mede 900, logo é reto. Assim, a reta suporte de 
PC����� forma um ângulo reto com r, portanto r e a reta PC����� são perpendiculares. 
(Unicidade) Suponhamos que existam duas retas, s e s’, perpendiculares 
a r passando por P. Escolhemos o mesmo sistema de coordenadas da prova da 
existência. Temos, então, duas semirretas PC����� e PC′������ contidas no semiplano 
escolhido e em s e s’, respectivamente. Como s é perpendicular a r, nesse 
sistema de coordenadas, a coordenada de PC����� é 900 e s’ perpendicular a r 
também nos dá sua coordenada 900. Portanto a medida do ângulo formado 
pelas semirretas PC����� e PC′������ é 00, ou seja, s e s’ são retas coincidentes. 
Logo, por cada ponto de uma reta passa uma única perpendicular. 
∎ 
Recapitulando 
Com os axiomas de medição de segmentos e ângulos pudemos associar 
sistemas de coordenas a esses objetos. Com isso exploramos propriedades dos 
objetos geométricos e definimos novos objetos como ângulos suplementares e 
complementares. A existência e unicidade do ponto médio, da bissetriz e da 
perpendicular a uma reta por um ponto pertencente a ela foram alguns dos 
resultados. A ideia geométrica de congruência foi associada à igualdade de 
medida. Definimos circunferência como o conjunto de pontos que equidistam 
de um ponto dado e mediatriz como o conjunto dos pontos que equidistam 
dos extremos de um segmento. 
Outros resultados importantes são: a colocação da régua, a relação 
entre pontos e coordenadas, congruência entre ângulos OPV, ângulos que 
formam par linear são suplementares, um ângulo é reto se e somente se sua 
medida é 900, um ângulo agudo mede menos de 900 e um obtuso entre 900 e 
1800. 
Referências Bibliográficas 
BARBOSA, João L. M. Geometria Euclidiana Plana. Coleção do Professor de 
Matemática. Rio de Janeiro: IMPA/CNPq, 1995. 
EFIMOV, N.V. Geometria Superior. Moscou: Mir. 
REZENDE, Eliane Q. F. e QUEIROZ, Lúcia B. de. Geometria Euclidiana Plana e 
construções geométricas. Campinas, SP: UNICAMP, 2000. 
Atividades 
1. Sejam A, B, C pontos de uma reta, faça uma figura 
representando-os sabendo que a medida de ABé 5 u.c., de AC é 2 u.c. e 
de BC é 7 u.c. Qual ponto encontra-se entre os outros dois? 
2. Dados três pontos colineares A, B, C tais que a medida de AB seja 
o triplo da medida deBC . Calcule as medidas de AB e BC sabendo que a 
medida de AC é 32 cm. 
3. No plano se tem quatro pontos distintos A, B, C e D e uma reta r 
que não passa por nenhum deles. Sabe-se que os segmentos AB e CD 
cortam a reta e que o segmento AC não a corta. O que pode ser dito sobre 
o segmento BD? 
4. Sejam A, B e C pontos de uma reta. Se a medida do segmento AB 
é 3 u.c. e a do segmento BC é 2 u.c. determine as coordenadas de A e de 
C, sabendo que a coordenada de B é 5, que a coordenada de A é menor do 
que 5 e que a coordenada de C é maior do que 5. Qual ponto se encontra 
entre os outros dois? Qual o ponto que está entre os outros dois? Justifique. 
5. Represente todos os pontos do plano cuja distância até um ponto 
A é 4 u.c. Nomeie o objeto representado. 
6. Leia com atenção a situação descrita: 
Dados os pontos A, B, C e D colineares como na figura. Sabe-se que as 
medidas dos segmentos AC e BD são iguais. Mostre que são iguais as medidas 
dos segmentos AB e