CAPÍTULO 7 FORÇAS EM SUPERFÍCIES SUBMERSAS (2)

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136 
 
 
 
7.1 - EMPUXO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A figura representa um corpo de peso G, parcialmente submerso, flutuando 
na água, submetido na base a uma pressão P, uniforme em toda a extensão de 
sua base. A condição de flutuabilidade é que a somatória das forças verticais 
que agem sobre ele seja nula. Desta forma pode-se afirmar que: 
 
 
 
.
min
..
...:Re
.
0.
flutuantecorpopelçodeslocadolíquido
dopesooéprodutooeflutuantecorpopelo
deslocadolíquidodevolumeadodenoévolumeEste
flutuantecorpodosubmersapartedavolumeAh
GAhGsulta
hcilindrodobasenapressãoP
cilindrodobasedaáreaA
APG
VV
V
DD
D








 
 
 
 Define-se o empuxo como a resultante das forças de pressão que atuam 
em corpo, parcial ou totalmente submerso, na direção vertical , no sentido 
ascendente. \esta resultante está representada na equação acima por meio da 
força que se opõe ao peso do cilindro. 
Figura 7.1 
G 
Pressão 
h 
Água 
137 
 
 
 
Resulta: 
.
.
,.
:
deslocadolíquidodopesoEG
flutuantecorpopelodeslocadolíquido
dopesoaoigualévezsuaporEsteempuxoaoigualsejapesoseuoqueé
fluidomeioumemflutuesólidocorpoumqueparanecessáriacondiçãoA
Conclusão
flutuantecorpopelodeslocadolíquidodopesoao
igualéempuxooqueseverificaacimaequaçãodaAtravés
hAPAE
V
V
D
D





Exemplo 7.1 - Uma plataforma flutuante construída com chapas de aço de 
2,54 cm de espessura, tem 18,6 m de largura, 24,8 m de comprimento e 2,6 m de 
altura. A plataforma tem uma estrutura feita de vigas de aço, cujo peso equivale a 
24% do peso total das chapas. Calcular a altura da parte submersa da plataforma, 
sabendo que sobre ela encontra-se uma carga de 25.500 kgf localizada no centro 
longitudinal e transversal da plataforma. 
 
m
m
kgfaçodoespecíficopeso
kgfáguadaespecíficopeso
Dados
aço
a
3
3
/7800::
/1000:
:




 
Solução: 
 
 O peso das chapas é calculado pelo produto da área total pela espessura 
e pelo peso específico do aço, conforme segue: 
 
 
 
 
kgftotalpeso
kgfxflutuanteplataformadapeso
kgfxxxxx
LhBhBL
G
G
G
eG
T
F
Chapa
açoChapaChapa
544.166500.25044.141:
044.141745.11324,1:
745.11378000254,06,28,246,26,188,246,182
2



 
 
138 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A condição de flutuabilidade é que o peso total seja igual ao empuxo, sendo este 
é igual ao peso da água deslocada pelo flutuante. 
 
Resulta: 
 
 
mHHx
BLHE
aTG
36,0)8,246,18(1000544.166
)(

 
 
H 
B 
Figura 7.2 
B = 18,6 m 
L = 24,8m 
h = 2,6 
m 
139 
 
 
Na linguagem náutica, a coordenada vertical do ponto mais baixo submerso de 
um corpo navio denomina-se calado ( H ) da embarcação. 
 
Exemplo 7.2 - A figura representa uma bóia feita de aço com 2,0 cm de 
espessura, tendo a metade inferior submersa na água. A bóia está cheia com um 
material de peso específico 250 kgf/m3. Um contrapeso , totalmente submerso, 
tendo um volume de 5,8 m3 mantém o sistema em equilíbrio na posição da 
figura. 
Calcular o peso GC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados: 
 
Raio externo da esfera = 1,80 m 
Peso específico do aço: 7800 kgf/m3 
Peso específico da água: 1000 kgf/m3 
Peso específico do recheio da bóia: 250 kgf/m3 
 
Solução: 
 
A condição de equilíbrio desta bóia flutuante é que a somatória dos 
momentos de todas as forças que atuam no sistema, em relação ao mesmo ponto, 
seja nula. 
 
 
8,0 m 4,0 m 
Água 
A 
 
GC 
Figura 7.3 
140 
 
 
kgfxxxxx
bóiadaPeso
kgfx
contrapesoosobreEmpuxo
kgfxxx
bóiaasobreEmpuxo
sistemanoatuamqueForças
G
RRRG
VVE
ERE
B
ReaçoB
CCáguaC
BeáguaB
181.1214,3
3
4
250)(14,3
3
4
800.7
3
4
)(
3
4
:
800.58,51000.
208.1214,3
6
4
1000
3
4
.
2
1
:
78,178,180,1
8,1
333
3
1
3
1
3
33









 
 
 
Condição de equilíbrio 
 
kgf
xxx
G
G
EEGGM
C
C
CBCBA
690.5
800.58108.12128181.1212
0812812



 
 
Exemplo 7.3 - A prancha da figura está apoiada em um conjunto de 12 
tambores amarrados a ela, que garantem a sua flutuabilidade na posição 
indicada. ( nível da água no meio do tambor ). Os tambores têm 0,6 m de 
diâmetro interno 1,5 m de comprimento e estão cheios com um material de peso 
específico m . 
Calcular o peso específico deste líquido, sabendo que a prancha pesa 350 kgf, 
acarga sobre ela 400 kgf e cada tambor 50 kgf. 
Desprezar a espessura da parede dos tambores para efeito de cálculo do empuxo. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7.4 
141 
 
 
m
G
GG
GRG
ERE
kgf
EequilíbriodeCondição
xx
totalPeso
xxxL
tamboresdosdentromaterialdoPeso
kgfxxxxxL
tamboresossobreEmpuxo
sistemanoatuamqueForças
mm
T
mTmT
mmLmL
TáguaT
3
22
22
/6,19254361350.1
:
61350.1350400087,5125012
087,55,114,31212
543.25,114,3
2
1
000.112
2
1
.12
3,0
3,0











 
Exemplo 7.5 - A figura representa uma bóia de sinalização feita com chapas 
de aço de 1 cm de espessura. Um equipamento pesando 253 kg encontra-se 
dentro da bóia com seu centro de gravidade no centro geométrico da bóia. 
Sabendo que ela deve flutuar com a linha de água passando pelo seu plano 
diametral, calcular a reação do fundo do reservatório sobre o bloco, cujo peso é 
150 kgf. O cabo de aço que une a bóia ao bloco tem 2 cm de diâmetro e o bloco 
tem a forma prismática com 20 cm de diâmetro. 
Dados: 
aço = 7800 kgf/m
3 água = 1000 kgf/m
3 
Raio externo da bóia: 80 cm 
O bloco apóia-se no fundo do reservatório aderindo perfeitamente a ele. 
 
 
 
 
 
 
 
 
142 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
pressão 
Figura 7.5 
30 m 
água 
RF 
143 
 
 
 
kgfxx
hblocoosobrepressãodeForça
kgfxxx
açodecabodoPeso
kgfxxx
xbóianaEmpuxo
kgfxx
bóiadaPeso
sistemanoatuamqueForças
FF
DDF
GG
L
D
G
EE
RE
GG
RRG
PP
CBáguaP
CC
C
C
açoC
BB
eáguaB
BB
ieaçoB
945)(
4
14,3
)4,030(000.1
)(
4
:
7430
4
14,3800.7
4
:
072.114,3
6
4
000.1
3
4
2
1
.:
619)(14,3
3
4
800.7
3
4
.:
02,020,0
02,0
8,0
079,8,0
22
22
2
2
3
3
33
33
















 
 
kgffundodoação
equilíbriodeCondição
R
R
REFGGGG
F
F
FBPBlCEqB
969:Re
072.194515074253619
:



 
 
 
 
 
 
 
144 
 
 
 
Exemplo 7.6 - O balão esféricoda figura pesa 125 kgf e deverá transportar 
uma carga de 154 kgf. O ar interno encontra-se a 85 0C e a 740 mm de Hg. A 
temperatura e a pressão do ar atmosférico local são respectivamente 715 mm de 
Hg e 25 
0
C. Sabendo que o ar apresenta o comportamento do gás perfeito, nas 
condições do problema, calcular o diâmetro do balcão para garantir a 
flutuabilidade nas condições acima especificadas. 
Dados: 
 
empuxodecálculodeefeitoparabalãodoespessuraaldespresíveConsiderar
KkgmkgfGperfeitogáscomoardoteCons
kgfdomercúrioespecíficoPeso mHg
./.6,29:tan
/600.13:
3


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
empuxodecálculodeefeitoparabalãodoespessuraaldespresíveConsiderar
KkgmkgfGperfeitogáscomoardoteCons
kgfdomercúrioespecíficoPeso mHg
./.6,29:tan
/600.13:
3


 
 
 
 
 Figura 7.6 
145 
 
 
RGVG
RGVG
G
G
EEBalãoEI
IIBalãoII
C
B
externoardoPeso
ernoardoPeso
kgfacdaPeso
kgfbalãodoPeso
envolvidosPesos
EmpuxototalPesodadeflutuabilideCondição
3
3
3
4
..:
3
4
..:int
154:arg
125:
:
:









 
Para o ar atmosférico fica valendo a equação geral do gás perfeito. 
 
mm
mm
mP
mP
kgfkgf
ardoespecíficoPeso
kg
x
kg
x
Densidades
kgfxexternoAr
kgfxernoAr
RT
p
densidade
RT
P
V
m
mRTPV
II
EI
HgE
HgI
33
33
3
3
1240,19497,0:
1240,1
)27325(6,29
724.9
9497,0
)27385(6,29
064.10
:
/724.9600.13715,0715,0:
/064.10600.13740,0740,0:int
:














mR
E
dadeflutuabilideCondição
xxEEmpuxo
xxernoardoPeso
RR
GGG
RRRG
RRGRG
ICB
EE
III
26,77058,49761,3154125
:
7058,414,3
3
4
1240,1
3
4
.:
9761,314,3
3
4
.9497,0
3
4
.:int
33
333
333








 
146 
 
 
 
 
7.2 - FORÇA QUE ATUA EM UMA SUPERFÍCIE PLANA VERTICAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A figura representa uma barragem vertical de comprimento L e altura h, 
sujeita a uma coluna de água em toda a sua extensão. Um eixo de coordenadas 
vertical tem origem na superfície livre da água, de tal forma que a pressão cresce 
de cima para baixo, variando linearmente de acordo com a equação: 
 
zP 
 
 
 Desta forma, a pressão é representada por meio do diagrama acima, onde o 
valor máximo é na parte inferior da barragem: 
 
 
hP 
 
 
 
 
 
 A força da água sobre a parede é distribuída na forma de um triangulo, 
tendo o seu ponto de aplicação no seu centro geométrico. 
 
B 
z 
A 
h 
Figura 7.7 
147 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um elemento de superfície de espessura dz e comprimento L está sujeita à 
pressão P = γz que dá origem à força: 
 
 dF = (γz).(Ldz) 
 
A força atuando na superfície total da barragem de altura h é obtida pela 
integral abaixo: 
 
 
APF
LhA
h
P
hL
h
FLF
dzzLdzLzF
h
h h



  
2
)(
22
2
0 0



 
dF = PdA 
 L 
dz 
Figura 7.8 
148 
 
 
Conclusão: A força resultante da pressão de um líquido, atuando em uma 
parede vertical plana de forma retangular, é calculada pelo produto da pressão 
média sobre a parede, pela área da sua superfície. . 
 
 
 
7.2.1 - Ponto de aplicação da força resultante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O problema consiste em encontrar a distância do ponto de aplicação da 
força resultante até a superfície livre da água. O momento provocado por essa 
força, em relação ao ponto A deve ser igual ao momento produzido pela força 
distribuída ao longo da parede, em relação ao mesmo ponto. 
 
32
:Re
2
3
)(
3
0 0 0
3
2
h
h
z
LzLh
h
sultaLh
h
F
LzFdzLLdzzzzdFzF
h h h



   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
hz
3
2
 
B 
z 
A 
h 
_ 
z 
Figura 4.9 
149 
 
 
7.3 - Superfície plana vertical retangular situada abaixo do nível do líquido 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Neste caso, trata-se de uma comporta ( AB ) , totalmente submersa, com a 
cota do ponto A abaixo do nível da água. A comporta está sujeita à ação da força 
F e de um apoio no ponto B, podendo girar em torno de um eixo horizontal 
passando pelo ponto A. Quando a comporta gira, ela permite a passagem da 
água pelo conduto representado abaixo da barragem. 
 De acordo com a figura abaixo, a força resultante da ação da água sobre a 
superfície de comprimento ( L ) e altura ( AB ) calcula-se por meio da integral 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
22
zz ABZB
ZA
ZB
ZA
ZB
ZA
LzdzLzLdzPdAF

   
B 
z 
A 
h 
_ 
z 
M 
F 
Figura 7.10 
150 
 
 
 
 
      
 
 
APFsulta
LABerfíciedaáreaA
ABerfícienamédiapressãoP
L
L
LF
zz
zz
zzzzzzzz
zz
AB
AB
ABABABAB
AB






:Re
sup
2
sup
222
22


 
 
 
 
7.3.1 - Ponto de aplicação da força resultante 
 
 
 A Figura 4.11 mostra uma comporta ( AB ) sobre a qual está aplicada uma 
força de pressão distribuída segundo um diagrama trapezoidal. O ponto de 
aplicação da força resultante está localizado em uma profundidade tal que o 
momento produzido por esta força em relação ao ponto A seja igual ao momento 
produzido pelas forças de pressão distribuídas ao longo da na superfície ( AB ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
M 
B 
nível do reservatório 
 
dF = pdA 
z 
dz 
Figura 7.11 
151 
 
 
 
     zzzzzz
zzz
BAABAB
ZB
ZA
ZB
ZA
ZB
ZA
BA
L
zLtoporLF
L
dz
LLdzzzzdFzF
332222
332
32
:tan
2
3)(


   


 
 
Resulta; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4.6 - A figura abaixo representa dois reservatórios, um do lado 
esquerdo contendo água, e outro do lado direito contendo óleo. Os 
reservatórios são separados por uma parede e por uma comporta ( AB ) vertical, 
que gira em torno de um eixo horizontal passando pelo ponto A. No fundo do 
reservatório de óleo fica um obstáculo que mantém a comporta fechada. 
 
Calcular: 
1 - Força exercida pela água sobre a comporta AB 
2 - Força exercida pelo óleo sobre a comporta A 
3 - Coordenadas do ponto de aplicação da força exercida pela água. 
4 - Coordenada do ponto de aplicação da força exercida pelo óleo. 
3 - Reação RB aplicada sobre a comporta, necessária para manter o equilíbrio 
 
Dados: 
Comprimento da comporta: L = 12,6m 
Profundidade do ponto A: zA = 3,4 m ( medida do lado da água ) 
Profundidadedo ponto B: zB = 6,2 m ( medida do lado da água ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 zz
zz
AB
BAz
22
33
3
2


 
152 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reservatório de água 
 
 
mm xAkgfxP
22
28,356,12)4,32,6(/800.4)2,64,3(
2
000.1

 
 
kgfxAPRa 344.16928,35800.4 
 
 
 
 
Reservatório de óleo 
 
 
    mm zz BA 8,44,12,60,24,14,3 
 
 
 
 
B B 
água 
Ro 
Ra 
óleo 
 
 Za 
Zo 
A 
RB 
 1,4m 
Figura 7.12 
153 
 
 
kgfx
xAkgfxP
R
mm
o
159.10328,35924.2
28,356,12)4,32,6(/924.2)8,40,2(
2
000.1 22


 
 
 
Coordenadas do ponto de aplicação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
móleodoLado
máguadaLado
z
z
zz
zz
z
o
a
AB
AB
a
59,3
3
2
:
94,4
3
2
3
2
:
0,28,4
0,28,4
4,32,6
4,32,6
22
33
22
33
22
33











 
 
 
 
Força de reação aplicada na aresta B da comporta - RB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B 
103.159 kgf 
169.344 kgf 
4,94 m 
A 
RB 
 1,4m 
3,59 m 
2,8 m 
 2,0 m 
 3,4 m 
nivel do óleo 
nivel da água 
Figura 7.13 
154 
 
 
kgf
xx
ApontoaorelaçãoemforçasdasMomento
R
R
RRR
B
B
oaB
554.34
159.10359,1334.16954,18,2
)0,259,3()4,394,4(8,2



 
 
 
 
 
7.4 - Superfície plana inclinada de forma retangular 
 
 Vamos estudar a força que atua em uma comporta plana de forma 
retangular, inclinada, formando o ângulo α com o plano horizontal, conforme 
mostra a Figura 4.13. neste caso, vamos decompor a força resultante nas 
componentes vertical e horizontal e estudar , cada uma , separadamente. 
Vamos, inicialmente, adotar um elemento de comporta de comprimento dL, onde 
atua uma força elementar dF que pode ser decomposta em dFX e dFZ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
α 
α 
dZ 
dL 
dFX 
dF 
dFZ 
A 
B 
FX 
F 
FZ 
nível da água 
α 
Figura 7.14 
155 
 
 
7.4.1 - Componente horizontal da força resultante 
 
 
dF = p.(b.dL) = (ϒz).(b.dL) dF = (ϒz).(b dz/ senα) 
 
dFX = dF. Senα = (ϒz).(b dz/ senα)(senα) dF = (ϒz).(b dz) 
 
 
 
 Da equação acima, pode-se concluir que a componente horizontal é 
igual ao produto da pressão média na parede pela área da comporta, projetada no 
plano vertical ( AV ) 
 
 
7.4.2 - Empuxo em uma superfície plana inclinada 
 
 
 A componente vertical é a resultante do peso do líquido sobre a superfície 
onde ele se apoia. Portanto, basta calcular o volume do líquido sobre a superfície 
AB da figura e multiplicar pelo seu peso específ ico. Se o líquido se encontra na 
parte inferior da superfície, utiliza-se o conceito de empuxo. Este deverá ser igual 
ao peso do líquido deslocado pela superfície em questão. O volume deslocado é 
aquele que estaria acima da comporta AB até a superfície livre do líquido 
Vamos então, estudar três situações de configurações diferentes: 
 
1 - O volume deslocado tem a forma definida por um retângulo somado a um 
triângulo. 
2 - O volume deslocado tem a forma de um retângulo somado a um quarto de 
círculo. 
 
 
 
 
 
A
pp
F
zz
zz
F
zz
F
V
BA
x
AB
AB
x
AB
ZB
ZA
ZB
ZA
ZB
ZAx
b
bdzzbdzbzPdA
.
2
..
2
2
......
22






  


156 
 
 
3 - O volume deslocado tem a forma de um retângulo menos um quarto de 
círculo. 
 
 
Primeira situação - Nesse estudo vamos calcular o centro geométrico de um 
corpo submerso, cuja seção transversal tem a forma de um prisma, conforme 
indica a Figura 4.15. O centro geométrico da seção transversal é o centro de 
empuxo do corpo submerso. Na figura abaixo, calcula-se posição “x” do seu 
centro geométrico, em relação ao eixo que passa pela aresta “a”, da seguinte 
forma: 
O produto da distância “x” pela área da figura é igual á somatória dos produtos da 
área do retângulo por ( c/2 ) com a área do triângulo por ( c/3 ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Segunda situação: O centro geométrico da Figura 4.15 representa a soma de 
 
 
       
         
     
 
 ba
bac
x
ab
c
bax
acbcbc
bax
acbc
cbbaxba
c
cbbax
c
bacb
ba
x
c
ba
c
cb
c
c
ba
x












 





 
2
.
3
2.
3
.
3
3
.
33
..
3
..
2
.
3
1
..
2
1
2
.
2
.
3
..
2
.
2
.
 
c 
a 
b 
 
 x 
c/2 
 x 
c 
b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R 
 
 
 
 
 
 
a - b 
c 
c/3 
= + 
Figura 7.15 
157 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Terceira situação: A Figura 7.17 representa a diferença entre o retângulo de 
área ( aR ) e um quarto de círculo de área πR2/4. Observar que, neste caso, o 
eixo de referência passa pela aresta menor de comprimento (b). 
 
 
 
   
 
 
 Rb
RbR
x
RbRRb
x
bRRb
x
bRRb
x
R
Rb
R
bRx
R
RRR














 





 





 


























4
23
.
3
2
3
23
2
4
.
6
23
4
4
..
324
4
.
43
4
..
24
.
2
222
 
4R/3π 
R 
R R 
R 
b 
 
 
 
 
 
 
 
 x 
R/2 
 x 
R 
b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= + 
Figura 7.16 
158 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Variação da posição do centro de empuxo 
 
 
 
7.4.3 - Deslocamento do centro de empuxo de uma plataforma flutuante 
 
 A Figura 4.16 representa uma plataforma flutuante de base e seção 
transversal retangulares, sendo a largura “B” e o comprimento “L”. A plataforma 
flutua inicialmente na posição horizontal representada pela linha LA, indicando a 
profundidade “H” da parte submersa. Pode-se , portanto, afirmar que o empuxo é 
igual ao peso do volume do líquido deslocado: 
 VB = ( BLH ).(Peso específico do líquido) 
   
 
 
 Ra
RaR
x
RaRRa
x
aRRa
x
aRRa
x
R
Ra
R
aRx
R
RRR














 





 





 


























4
23
.
3
2
3
23
2
4
.
6
23
4
4
..
3
.
24
4
.
43
4
..
24
.
2
222
 
R/2 
 
x 
R 
a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= _ 
 
x 
R 
b 
R 
4R/3π 
R 
Figura 7.17 
159Admitindo-se que, pela ação de um agente externo, não representado na 
figura, o flutuante sofra uma inclinação de um ângulo “α” em relação ao eixo que 
passa pelo centro da seção transversal. Desta forma, a parte submersa assume a 
forma de um trapézio. O centro de empuxo, desloca-se de do centro do retângulo 
para o centro do trapézio. Vamos então calcular o deslocamento “x” do centro do 
retângulo para o centro do trapézio. 
 
 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
H-a 
H+a 
 B 
 x 
 B 
H-a 
B/6 
2a 
 B 
2B/3 
 LA 
 E E 
 a 
 a 
 H 
 B 
α 
 
 x 
Figura 7.18 
160 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicação: Quando um reservatório de seção retangular que contém um líquido 
sofre uma inclinação, o líquido dentro dele passa a assumir a forma de um 
trapézio e o seu centro de gravidade desloca-se a uma distância x da sua 
posição original, de acordo com a equação acima. 
 
 
Exemplo 4.7 - A comporta ABC da figura é , com 2,6 m de comprimento. 
Calcular: 
1 - Componentes horizontal e vertical da força que atua no lado esquerdo da 
comporta e as coordenadas dos respectivos pontos de aplicação. 
 
2 - Componentes horizontal e vertical da força que atua no lado direito da 
comporta e as coordenadas dos respectivos pontos de aplicação. 
Peso específico da água: 1.000 kgf/m3 
Representar todos os resultados na figura. 
Desprezar o peso próprio da comporta 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
H
tg
xsulta
B
a
tg
H
aB
x
aB
BHx
BaB
B
AHaH
x
B
12
:Re
2
666
.
2
2.
2
()
2  











 
 
161 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
mempuxodecentro
kgfx
x
BCerfícienampuxoE
maplicaçãodePonto
kgfmb
ESQUERDOLADO
VF
zzz
FzzzzF
DZ
ECE
XACCAX
33,12.
3
2
:
800.76,2
2
32
.1000.
sup
33,35.
3
2
3
2
:
005.326,2.)05(50.
2
1000
.)(.
2






 
B 
A 
água 
2 m 
água 
2 m 
3 m 
C 
Figura 7.19 
162 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
m
R
empuxodecentro
kgfb
BCsemiesferanampuxoE
maplicaçãodePonto
kgfb
DIREITOLADO
DVF
zzz
FzzF
DZ
ECE
XCCX
64,0
5,1
.
3
4
.
3
4
:
185.96,2.
8
..
8
..
0,23.
3
2
3
2
:
700.116,2.)3(3.
2
1000
.)(.
2
3
22







 
RB 
0,64 
3,33 m 
B 
C 
A 
2 m 
2 m 
3 m 
32.500 kgf 
7.800 kgf 
1,33 
2,0 m 
Figura 7.20 
163 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.5 - Exercícios 
 
 Exercício 7.5.1 - A comporta da figura está articulada em um eixo que 
passa pelo ponto A e apoiada no ponto B. 
Calcular o peso específico do material que enche totalmente a comporta, para 
que a força de reação no ponto B seja RB = 2.600 kgf. 
Comprimento da comporta: L = 4,2 m 
Diâmetro da comporta: D = 1,6 m 
a = 1000 kgf/m
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
RB 
1,2 m 
1,6 m 
água 
água 
Figura 7.21 
kgf
xxxx
DECÁLCULO
R
R
M
R
B
B
A
B
200.19
54700.1164,2185.933,1800.733,3500.32
0



 
164 
 
 
Exercício 7.5.2 - A comporta AB da figura é retangular e tem 10 m de 
comprimento. Para que ela fique fechada foi necessário instalar uma bóia de 3,6 m 
de raio pesando 50.000 kgf. 
Calcular: 
1 - Forças horizontal e vertical exercidas pela água do lado direito da comporta. 
2 - Reação na aresta RB, utilizando a figura para indicar as forças e os 
respectivos pontos de aplicação. 
 
Dados do lado esquerdo ( lado 1 ) 
Fx = 200.000 kgf Fz = 150.000 kgf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 m 
A 
água 
água 
R
B 
5 m 
3 m 
4 
m 
3 
m 
Figura 7.20 
165 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 7.5.3 - A comporta AB da figura é feita de um material de peso 
específico 480 kgf/m3 e está rigidamente ligada a uma placa plana horizontal, de 
peso desprezível. O conjunto tem 10 m de comprimento e pode girar em torno de 
uma aresta que passa pelo ponto C. o conjunto está apoiado na aresta que 
passa pelo ponto A. 
Calcular: 
1 - Componentes horizontal e vertical das forças que atuam sobre a superfície 
ABC e os respectivos pontos de aplicação. 
2 - Reação do apôio RA. 
DADOS: 
Peso específico da água: 1000 kgf/m3. 
 1,7m 
A 
RB 
5 m 
4 m 
3 m 
 3 m 
5,3 m 
Lado (1) 
Lado (2) 
yC2 
Figura 7.21 
166 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
FX(AB) = 27.500 kgf 
FZ(AB) = 98.125 kgf 
Gcomp = 47.100kgf 
FBC = 280.000 kgf 
RA = 27.935 kgf 
 
z = 5,88 m 
x = 1,06 m 
x = 1,06 m 
x = 1,17 m 
C 
A 
água B 
3,0m 
5,0m 
3,5m 
C 
RA 
Figura 7.24 
12 m 
5 cm 
água 
40 cm 
cm 
1,6 m 
Exercício 7.5.4 - Uma boia esférica 
feita de chapas de aço de 2 cm de 
espessura está preza em uma haste 
ligada a um tampão de um reservatório. A 
água passa pelo plano diametral da 
esfera, está sujeita ao empuxo. O tampão 
é feito de uma chapa de aço de 5 cm de 
espessura e 40 cm de diâmetro e está 
apoiado no fundo o reservatório. 
Considerando o peso do conjunto e as 
forças de pressão da água, calcular a 
reação de apoio sobre o fundo do 
reservatório. 
 
 
Figura 7.25 
167 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2,0m 
R
B 
PAR = 0,4 kgf/cm
2 
água 
água 
B 
2,5m 
3,0m 
2,0
m 
C 
AR 
A 
Exercício 7.5.5 - A comporta 
ABC da figura tem peso 
desprezível, está apoiada em 
uma aresta que passa pelo ponto 
B e pode girar em torno de um 
eixo horizontal que passa pelo 
ponto A. 
Calcular: 
1 - Forças horizontal e vertical e 
seus respectivos pontos de 
aplicação que atuam na 
superfície ACB. 
2 - Forças horizontal e vertical e 
seus respectivos pontos de 
aplicação que atuam na 
superfície AB. 
3 - Força R no ponto B 
Dados: 
Comprimento da comporta L = 
4,0 m 
Peso específico da água: 1000 
kgf/m3. 
 
 
Figura 4.26 
Exercício 7.5.6 - A figura representa 
uma comporta cilíndrica de 4,2 m de 
comprimento, articulada em um eixo 
horizontal que passa pelo ponto A e 
apoiada em B. Ao lado esquerdo da 
comporta, a água atinge a altura de 
2,4 m acima do ponto A. O cilindro é 
feito de aço de 2,0 cm de espessura e 
tem diâmetro externo de 3,2 m. 
Calcular:1 - Forças horizontal e vertical exercidas 
pela água sobre a comporta. 
2 - Peso da comporta, considerando 
as extremidades fechadas. 
3 - Força F necessária para manter a 
comporta em equilíbrio na posição 
indicada, sabendo que ela está aplicada 
no ponto de coordenada ZR = 2,6 m. 
Dados: 
Peso específico da água: 1.000 kgf/m3 
Peso específico do aço: 7.800 kgf/m3 
 
Água 
2,4 
m 
3,2 
m 
A 
B 
Z
R 
Figura 4.27 
168 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 7.5.8 - A figura representa uma comporta de 2,6 m de 
comprimento, constituída por uma parede com ¼ de cilindro, apoiada em uma 
aresta que passa pelo ponto A. Uma bóia de aço de 5cm de espessura está 
presa na comporta e esta pode girar em torno do ponto A .Abóia está cheia 
com um material de peso específico igual a 600 kgf/m3. 
Calcular a reação do apoio no ponto A. 
Dados: 
Peso específico da água: 1000 kgf/m3 
Peso específico do aço 7800 kgf/m3 
Desprezar os pesos da comporta e da haste de ligação com a bóia. 
 
 
 
 
 
 
Exercício 7.5.7 - A figura 
representa uma comporta formada 
por uma placa plana vertical ( AB ) 
ligada rigidamente a um semicilindro 
( BC ), ambos com comprimento de 
4,8 m. 
Calcular: 
1 - Forças horizontal que atua na 
parte ( AB ) da comporta e seu 
ponto de aplicação. 
2 - Força vertical que atua na parte 
( BC ) da comporta e seu ponto de 
aplicação. 
3 Reação do apoio no ponto ( C ). 
Dados: 
Peso específico da água: 1.000 
kgf/m3 
Peso específico do aço: 7.800 
kgf/m
3
 
 
2,4
m 
3,6 
3,2 
m 
B 
Água 
A 
B 
Água 
C 
Figura 4.28 
169 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 7.5.9 - Um submarino pesando 350.000 kgf flutua na superfície da 
água do mar, com 2/3 do seu volume total submerso. O peso específico da água 
do mar é 1040 kgf/m3. O submarino tem um tanque de lastro que deverá ser 
cheio com água salgada, para provocar a submersão total. 
Calcular: 
1 - Volume total do submarino. 
2 - Volume do tanque de lastro. 
3 - Se os tanques de lastro forem cheios com água doce ( peso específico igual 
a 1000 kgf/m
3
 ) , qual deverá ser a fração do volume do submarino que vai ficar 
fora da água salgada ? 
 
 
 
Exercício 7 5.10 - Um submarino tem um volume externo de 900 m3 e pesa 
700.000 kgf. Nesta situação ele flutua na água de um rio com peso específico de 
1.000 kgf/m3. O submarino tem um tanque de lastro de 350 m3, que pode ser 
parcialmente cheio com água com água para submergir. 
Pede-se: 
1 - Calcular o volume submerso do submarino, quando está com o tanque de 
lastro completamente vazio. Resp. 700 m3 
2 - Calcular o volume de água doce necessário para que o submarino fique 
totalmente submerso. Resp. 200 m3 
3 - Em seguida o submarino passa a navegar na água do mar, com peso 
específico de 1050 kgf/m3. Nesta condição verificar qual o volume que ficará fora 
da água. Resp. 43 m3 
4 - Se a água doce do lastro for trocada por água salgada, qual será a nova 
situação do submarino? 
Resp. 33,4 m3 fora da água 
 
1,6m 
A Água 
5,0 m 
2,6 m 
Figura 4.29 
170 
 
 
Exercício 7.5.11 - Um tanque cilíndrico de 1,5m2 de base e 2,6 m de altura, está 
cheio de óleo de peso específico 900 kgf/m3. O tanque encontra-se dentro e um 
tanque de água doce com peso específico de 1.000 kghf/m3. Pede-se: 
1 - Calcular a altura da parte submersa do cilindro. Resp. 2,26 m 
2 - Deseja-se que o cilindro passe a flutuar com a metade da sua altura fora da 
água, retirando-se uma parte do óleo, por meio de uma bomba com capacidade 
de 2,0L/s. Calcular o tempo necessário para a retirada do óleo. Resp. 1 min 33 s