Momento de Inércia

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5 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS 
 
O dimensionamento e a verificação da capacidade resistente de barras, como de 
qualquer elemento estrutural dependem de grandezas chamadas tensões, as quais se 
distribuem ao longo das seções transversais de um corpo. Daí vem a necessidade de se 
conhecer claramente as características ou propriedades das figuras geométricas que 
formam essas seções transversais. 
A Figura abaixo ilustra uma barra reta de seção transversal constante, chamada barra 
prismática. O lado da barra que contém o comprimento (L) e a altura (h) é chamado de 
seção longitudinal e o que contém a largura (b) e a altura (h) é chamado de seção 
transversal. 
 
Figura 5.1 Barra prismática 
 
As principais propriedades geométricas de figuras planas são: 
Área (A) Momento de Inércia (I) 
Momento estático (M) Módulo de resistência (W) 
Centro de gravidade (CG) Raio de giração (i) 
 
5.1 Área 
 
 A área de uma figura plana é a superfície limitada pelo seu contorno. Para 
contornos complexos, a área pode ser obtida aproximando-se a forma real pela 
justaposição de formas geométricas de área conhecida (retângulos, triângulos, etc). 
A unidade de área é [ ]2L (unidade de comprimento ao quadrado). 
A área é utilizada para a determinação das tensões normais (tração e compressão) e 
das tensões de transversais ou de corte. 
 
 
 
5.2 Momento Estático 
 
 Analogamente à definição de 
momento de uma força em relação a um 
eixo qualquer, defini-se Momento Estático 
(M) de um elemento de superfície como o 
produto da área do elemento pela distância 
que o separa de um eixo de referência. 
dAxMedAyM yx ⋅=⋅= 
 
 
Momento Estático de uma 
superfície plana é definido como a 
somatória de todos os momentos estáticos 
dos elementos de superfície que formam a 
superfície total. 
∫ ∫==
A A
yx xdAMeydAM 
 
 
 A unidade do Momento Estático é área é [ ] [ ] [ ]32 LLxL = . 
 O Momento Estático é utilizado para a determinação das tensões transversais que 
ocorrem em uma peça submetida à flexão. 
 O Momento Estático de uma superfície composta por várias figuras conhecidas é a 
somatória dos Momentos Estáticos de cada figura. 
Exemplo: determinar o Momento Estático das figuras abaixo 
 
 
 
 
 
5.3 Centro de Gravidade 
 
 Se um corpo for dividido em partículas mínimas, estas ficam sujeitas à ação da 
gravidade, isto é, em todas estas partículas está aplicada uma força vertical atuando de 
cima para baixo. A resultante de todas estas forças verticais e paralelas entre si, constitui 
o peso do corpo. 
 Mesmo mudando a posição do corpo aplicando-lhe uma rotação, ele permanecerá 
sempre sujeito à ação da gravidade. Isto significa que as forças verticais girarão em 
relação ao corpo, mas continuaram sempre paralelas e verticais. O ponto onde se cruzam 
as resultantes dessas forças paralelas, qualquer que seja a posição do corpo, chama-se 
Centro de Gravidade (CG). 
 Portanto, atração exercida pela 
Terra sobre um corpo rígido pode ser 
representada por uma única força P. Esta 
força, chamada peso do corpo, é aplicada 
no seu baricentro, ou cento de gravidade 
(CG). O centro de gravidade pode 
localizar-se dentro ou fora da superfície. 
 O centro de gravidade de uma 
superfície plana é, por definição, o ponto 
de coordenadas: 
∫ ⋅===
A
y
CG dAxAA
M
x
1
 
 
onde: 
CGx = distância do CG da figura até o eixo y escolhido arbitrariamente; 
CGy = distância do CG da figura até o eixo x escolhido arbitrariamente; 
xM = momento estático da figura em relação ao eixo x; 
yM = momento estático da figura em relação ao eixo y; 
A = área da Figura. 
 
Centro de gravidade de áreas compostas por várias figuras 
 O centro de gravidade de uma superfície composta por várias figuras, é expresso 
por: 
 
Centro de gravidade de algumas figuras planas 
 
 
 
 
2
b
xCG = 
 
2
hyCG = 
 
 
3
b
xCG = 
 
 
3
hyCG = 
 
 
 
 
0=CGx 
 
0=CGy 
 
 
pi3
4ryCG = 
 
pi3
4r
xCG = 
 
pi3
4ryCG = 
 
 
ba
bahh
+
+
⋅=
2
31
 
 
ba
bahh
+
+
⋅=
2
32
 
 
 
 
 
 
Exemplos 
1. Determinar o centro de gravidade CG do retângulo 
em relação ao eixo x que passa pela sua base. 
Área do retângulo A = b ⋅ h 
O Momento Estático do retângulo em relação ao eixo 
x é somatória do produto de cada elemento de área dA 
pela sua distância em relação ao eixo x. 
 
Momento Estático Centro de gravidade 
dybdA ⋅= 
2
2
2
h
hb
hb
A
M
y xCG =
⋅
⋅
== 
∫ ∫ ⋅⋅=⋅=
A
h
o
x dybydAyM 2
hyCG = 
222
22 obhbybM
h
o
x
⋅
−
⋅
=




 ⋅
= 
2
2hbM x
⋅
= 
 
2. Determinar o CG da Figura. 
(medidas em centímetros) 
321 AAAA −−= 
( ) ( ) ( )3446158 ×−×−×=A 
284cmA = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Determinar o centro de gravidade da figura hachurada. 
 
 
 
4. Determinar o centro de gravidade da figura hachurada (medidas em centímetros) 
 
A figura hachurada pode 
ser o resultado de um 
retângulo (12x6) cm do 
qual foram retirados um 
triângulo e um semicírculo. 
 
 
 
 
 
Área da figura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momento estático 
 
 
 
Coordenada CGy do centro de gravidade 
 
 
Analogamente, determina-se a coordenada CGx . 
 
 
 
 
 
Coordenada CGx do centro de gravidade 
 
 
 
5.4 Momento de Inércia 
 
 O momento de inércia de uma superfície plana em relação a um eixo de referência 
é definido como sendo a integral de área dos produtos dos elementos de área que 
compõem a superfície pelas suas respectivas distâncias ao eixo de referência, elevadas 
ao quadrado. 
 
 A unidade do momento de inércia é [ ] [ ] [ ]422 LLL =× . 
 O momento de inércia é uma característica geométrica importantíssima no 
dimensionamento dos elementos estruturais, pois fornece, em valores numéricos, a 
resistência da peça. Quanto maior for o momento de inércia da seção transversal de uma 
peça, maior a sua resistência. 
 
Propriedade: 
O momento de inércia total de uma 
superfície é a somatória dos momentos de 
inércia das figuras que a compõe. 
xxxx IIII ,3,2,1 ++= 
 
 
Exemplo 
Determinar o momento de inércia da superfície hachurada em relação ao eixo x que passa 
pelo CG. (medidas em centímetros) 
 
 
5.5 Translação de eixos 
 O momento de inércia de uma 
superfície em relação a um eixo qualquer 
é igual ao momento de inércia em relação 
ao eixo que passa pelo seu centro de 
gravidade, acrescido do produto da área 
(A) pelo quadrado da distância que separa 
os dois eixos. 
22
CGyyCGxx xAIIyAII CGCG ⋅+=⋅+= 
 
 
onde: 
 
xI = momento de inércia da figura em relação ao eixo x. 
yI = momento de inércia da figura em relação ao eixo x. 
CGx
I = momento de inércia da figura em relação ao eixo CGx que passa pelo CG da figura. 
CGy
I = momento de inércia da figura em relação ao eixo CGy que passa pelo CG da figura. 
CGx = distância do eixo y até o eixo CGy . 
CGy = distância do eixo x até o eixo CGx . 
 
 O momento de inércia é utilizado para a determinação das tensões normais a que 
estão sujeitas as peças submetidas à flexão. 
 As formulações acima podem ser expressas em função do momento estático: 
 
 
 
Exemplo: 
 
Determinar o momento de inércia do retângulo em relação aos seguintes eixos: 
a) x, passando pela base inferior. 
b) CGx , passando pelo CG. 
 
 
 
 
Utilizando a formulação de mudança de eixosMomento de inércia no retângulo em 
Relação ao seu CG→ 12
3
,
hbI CGx
⋅
= 
5.6 Módulo Resistente 
 
 Define-se módulo resistente de uma superfície plana em relação aos eixos que 
contém o CG como sendo a razão entre o momento de inércia relativo ao eixo que passa 
pelo CG da figura e a distância máxima entre o eixo e a extremidade da seção estudada. 
 
 
onde: 
CGI = momento de inércia da peça em relação ao CG da figura 
x, y = distância entre o eixo do CG da figura e a extremidade da peça. 
 
 A unidade do módulo resistente é [ ][ ] [ ]
3
4
L
L
L
= 
 O módulo resistente é utilizado para o dimensionamento de peças submetidas à 
flexão. 
Para o retângulo, tem-se: 
 
 
5.7 Raio de Giração 
 
 Define-se raio de giração como sendo a raiz quadrada da relação entre o momento 
de inércia e a área da superfície. A unidade do raio de giração é o comprimento. O raio de 
giração é utilizado para o estudo da flambagem. 
 
A
Ii = cm
cm
cm
=2
4
 
 
 
 
 
 
 
Características Geométricas de algumas figuras conhecidas 
Figura Momento de inércia Momento 
resistente 
Raio de giração 
 
 
12
4hI x = 
 
6
3hWx = 
 
12
hix = 
 
 
 
12
3bhI
CGx
= 
 
 
6
2hbWx
⋅
= 
 
 
12
hix = 
 
 
 
36
3bhI
CGx
= 
 
 
12
2hbWx
⋅
= 
 
 
6
2⋅
=
hix 
 
 
 
64
4dI
CGx
pi
= 
 
 
32
3DWx
⋅
=
pi
 
 
 
4
Dix = 
 
 
 
( )
64
44 dDI
CGx
−
=
pi
 
 
 
( )
32
33 dDWx
−
=
pi
 
 
 
 
22
4
1 dDix += 
 
 
Exemplo 
A figura representa a seção transversal de 
uma viga “T”. Para a figura, determinar: 
a) o centro de gravidade; 
b) o momento de inércia em relação ao 
eixo x; 
c) os módulos Resistentes superior e 
inferior; 
d) o raio de giração. 
 (medidas em centímetros) x 
 
Para facilitar a determinação das propriedades geométricas de figuras compostas, convém 
montar a seguinte tabela: 
 
Figura b (cm) h (cm) CGy (cm) A (cm²) xM (cm³) CGiI ( 4cm ) xiI ( 4cm ) 
1 3 2 6 6 36 2 218 
2 2 7 3,5 4 49 57,17 228,67 
3 3 2 6 6 36 2 218 
∑ 26 121 664,67 
 
Centro de gravidade (CG) 
 
cm
A
M
y xCG 65,426
121
===
∑
∑
 
 
Como o eixo de referência passa pela base da figura, então cmy 65,4inf = e cmy 35,2sup = . 
Na coluna CGiI ( 4cm ) foi determinado o momento de inércia de cada figura, passando pelo 
respectivo centro de gravidade. Por se tratar de retângulos, utilizou-se a expressão 
12/3hbI x ⋅= . Em seguida, deve-se proceder à translação destes momentos de inércia 
para eixo x de referência para determinar a sua somatória. 
A translação de eixos é feita por meio da expressão: AyII CGx ⋅+= 2 . 
Obtido o momento de inércia total em relação ao eixo x, deve-se agora proceder à 
translação para o eixo x que passa pelo centro de gravidade da figura, por meio da 
seguinte expressão: 
 
A
M
II xxCg
2
−= 
26
12167,664
2
−=CGI 
 
O momento de inércia da figura em relação ao seu centro de gravidade é 455,101 cmICG = 
Em seguida, calculam-se os momentos resistentes: 
3
sup
sup, 21,4335,2
55,101
cm
y
IW CGx === 
3
inf
inf, 84,2165,4
55,101
cm
y
IW CGx === 
 
Finalmente, determina-se o raio de giração. 
 
A
I
i CGx = cmix 98,126
55,101
== 
 
Exercícios: Determinar as características geométricas das figuras abaixo: a) área; b) 
centro de gravidade ( )CGCG yx , ; c) momento de inércia em relação ao eixo x; c) momento 
de inércia em relação ao eixo x; d) módulo resistente superior e inferior; e) raio de giração. 
 
 
 
Respostas: 
216 cmA = cmyCG 4= 
4
,
33,141 cmI CGx = 
3
sup 33,35 cmW = 3inf 33,35 cmW = 
cmi 97,2= 
 
 
 
Respostas: 
286 cmA = cmyCG 105,5= 
4
,
73,683 cmI CGx = 
3
sup 67,139 cmW = 3inf 94,133 cmW = 
cmi 82,2= 
 
 
 
Respostas: 
225 cmA = cmyCG 7,1= 
4
,
08,56 cmI CGx = 
3
sup 99,16 cmW = 3inf 99,32 cmW = 
cmi 50,1= 
 
 
Respostas: 
218 cmA = cmyCG 0,4= 
4
,
166 cmI CGx = 
3
infsup 5,41 cmWW == 
cmi 04,3= 
 
 
Respostas: 
272,18 cmA = cmyCG 0,3= 
4
,
72,43 cmI CGx = 
3
infsup 57,14 cmWW == 
cmi 53,1= 
 
 
Respostas: 
22,23 cmA = cmyCG 4= 
4
,
06,179 cmI CGx = 
3
sup 76,44 cmW = 3inf 76,44 cmW = 
cmi 78,2=