Modulação Angular ou exponencial Princípios de Telecomunicações Instituto Tecnológico de Aeronáutica

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ELE-31 Princ´ıpios de Telecomunicac¸o˜es
Prof. Manish Sharma
October 26, 2015
5 Modulac¸a˜o Angular ou exponencial.
Neste cap´ıtulo apresentamos as modulac¸o˜es angulares, como gera-las e as consequeˆncias espectrais. Tambe´m
apresentamos me´todos de demodulac¸a˜o e os efeitos que distorc¸o˜es e interfereˆncias podem causar.
5.1 Modulac¸a˜o em Fase e em Frequeˆncia
• Recapitulando, um sinal modulado qualquer pode ser escrito como xc(t) = A(t) · cos(2pif(t) + φ(t)).
• Genericamente, um sinal com envolto´ria constante e fase varia´vel teria a seguinte expressa˜o:
xc(t) = Ac · cos(2pifct+ φ(t)) (1)
• O argumento do cosseno e´ um angulo, tambe´m chamado de fase, cujo valor instantaˆneo na expressa˜o
acima vale:
θc(t) , 2pifct+ φ(t) (2)
• Reescrevendo a expressa˜o acima obtemos:
xc(t) = Ac · cos(θc(t)) = Ac · <{exp(j · φc(t))} (3)
que da´ origem ao nome modulac¸a˜o exponencial, que e´ considerada uma modulac¸a˜o linear.
• No caso da modulac¸a˜o em fase (PM-Phase Modulation), o valor de φ(t) vale
φ(t) = φ∆ · x(t), (4)
onde x(t) obedece a`s convenc¸o˜es sobre a mensagem adotadas no cap´ıtulo anterior e φ∆ ≤ 180o, para evitar
ambiguidades. O valor de φ∆ e´ o maior desvio de fase poss´ıvel.
• Assim, o sinal modulado PM tem o formato:
xPMc (t) = Ac · cos(2pifct+ φ∆ · x(t)) (5)
• O diagrama fasorial deste sinal esta´ mostrado na figura 1. A velocidade de rotac¸a˜o do fasor na˜o e´ constante.
O angulo total e´ a soma da rotac¸a˜o 2pifct mais φ(t).
• Assim como a velocidade linear de um objeto e´ a variac¸a˜o de posic¸a˜o de um objeto em uma reta, a
velocidade angular e´ a variac¸a˜o do angulo. Matematicamente:
f(t) =
1
2pi
ω(t) , 1
2pi
dθc(t)
dt
= fc +
1
2pi
dφ(t)
dt
(6)
• A func¸a˜o f(t) e´ a frequeˆncia instantaˆnea de rotac¸a˜o. Embora a sua unidade seja Hz, o seu valor na˜o se
equivale ao f encontrado no espectro, como veremos em breve.
1
f(t) 2πfct 
ϕ(t) 
A 
Figure 1: Diagrama fasorial de um sinal com modulac¸a˜o FM/PM. Em vermelho a projec¸a˜o do fasor no eixo
real.
• No caso de modulac¸a˜o em frequeˆncia (FM-Frequency Modulation), a mensagem esta´ na frequeˆncia in-
stantaˆnea, que vale:
fFM (t) , fc + f∆x(t) (7)
onde f∆ e´ o maior desvio de frequeˆncia instantaˆnea do sinal e deve ser menor do que fc para que f(t) ≥
0,∀t.
• Como para FM a relac¸a˜o entre fase instantaˆnea e frequeˆncia instantaˆnea e´ dφ(t)dt = 2pif∆x(t), temos que
a frequeˆncia instantaˆnea pode ser escrita como:
φ(t) = φ(t0) + 2pif∆
∫ t
t0
x(λ)dλ (8)
onde a fase inicial vale φ(t0). Assumiremos por simplicidade que ela vale zero no instante t = 0.
• O sinal modulado e´ enta˜o:
xFMc (t) = Ac · cos
(
2pifct+ 2pif∆
∫ t
0
x(λ)dλ
)
(9)
• Se x(t) tiver um n´ıvel DC diferente de zero, a integral divergira´. Na pra´tica isto equivale a um desvio de
frequeˆncia constante que pode sere incorporado a fc.
• As modulac¸o˜es PM e FM sa˜o muito parecidas. Uma pode ser obtida a partir da outra com o uso de
integradores ou derivadores, como mostra a tabela 1.
• Em ambos os casos a amplitude do sinal e´ constante, o que permite afirmar que ST = A
2
c
2 F.
• O sinal xc(t) vale zero de forma na˜o perio´dica. Se fc for grande o suficiente, a informac¸a˜o sobre frequeˆncia
instantaˆnea pode ser obtida exclusivamente a partir dos cruzamentos de zero. Esta propriedade sera´
utilizada futuramente na demodulac¸a˜o de sinais modulados em fase.
2
Modulac¸a˜o φ(t) f(t)
PM φ∆ · x(t) 12pi dφ(t)dt
FM 2pif∆
∫ t
0
x(λ)dλ fc + f∆x(t)
Table 1:
• Embora a frequeˆncia instantaˆnea esteja, no caso da modulac¸a˜o FM, entre fc ± f∆, a banda ocupada e´
maior do que 2f∆. E´ poss´ıvel melhorar o desempenho da modulac¸a˜o FM aumentando o valor de f∆, ate´
um certo limite.
5.1.1 PM e FM de faixa estreita
• Qualquer sinal em banda passante pode ser escrito como:
xc(t) = xci(t)cos(2pifct)− xcq(t)sin(2pifct) (10)
• Utilizando a se´rie de Taylor das func¸o˜es seno e cosseno, escrevemos, com base no diagrama fasorial
referenciado em fc:
xci(t) = Accos(φ(t)) = Ac
[
1− 12!φ2(t) + · · ·
]
xcq(t) = Acsin(φ(t)) = Ac
[
φ(t)− 13!φ3(t) + · · ·
] (11)
• Supondo que |φ(t)| << 1 (radiano), temos que xci(t) ≈ Ac e xcq(t) ≈ Acφ(t). A condic¸a˜o sobre φ(t)
caracteriza a modulac¸a˜o de faixa estreita (narrowband).
• Nestas condic¸o˜es:
xc(t) ≈ Ac · cos(2pifct)−Acφ(t) · sin(2pifct)
Xc(f) ≈ Ac2 δ(f − fc) + j2AcΦ(f − fc) para f > 0.
(12)
• Para a modulac¸a˜o PM, Φ(f) = φ∆X(f). Para FM, Φ(f) = − jf∆X(f)f . Logo, a banda do sinal modulado
sera´ de aproximadamente 2W , onde W e´ a banda de x(t).
• Exemplo: quando o sinal de entrada e´ x(t) = sinc(2Wt), temos que X(f) = 12W Π
(
f
2W
)
. Logo, o espectro
de xc(t) para sinais PM e FM seriam aqueles da figura 2-(a) e (b), respectivamente.
5.1.2 Modulac¸a˜o tonal.
• E´ conveniente no caso gene´rico analisar o resultado da modulac¸a˜o tonal. So´ e´ necessa´rio fazer esta ana´lise
uma vez, ao considerarmos que o sinal de entrada e´:
x(t) =
{
Am · sin(2pifmt) PM
Am · cos(2pifmt) FM
(13)
• Ambos os sinais resultariam em φ(t) = β · sin(2pifmt), onde:
β =
{
φ∆Am para PM
f∆ · Amfm para FM
(14)
• Para que a modulac¸a˜o seja considerada de faixa estreita, necessitamos que β << 1. Neste caso, o sinal
modulado fica:
xc(t) ≈ Accos(2pifct)−Acβsin(2pifmt) · (sin(2pifc)
= Accos(2pifct) +
Acβ
2 [cos(2pi(fc+ fm)t)− cos(2pi(fc− fm)t)]
(15)
cujo espectro e diagrama fasorial esta˜o na figura 3.
3
fc-W 
 
(a) (b) 
fc+W 
 
fc 
 
fc-W 
 
fc+W 
 
fc 
 
Figure 2: Espectros resultantes da modulac¸a˜o (a)-PM e (b)-FM de faixa estreita, quando a mensagem e´ uma
sinc.
• Um fasor com frequeˆncia relativa negativa e´ que garante que a envolto´ria do sinal e´ constante.
• No caso gene´rico para qualquer β, o sinal modulado e´:
xc(t) = Ac[cos(φ(t)) · cos(2pifct)− sin(φ(t)) · sin(2pifct)] (16)
• Embora xc(t) na˜o seja perio´dico em t, tanto cos(φ(t)) quanto sin(φ(t)) sa˜o perio´dicos, pois, por exemplo,
cos(φ(t)) = cos(β · sin(2pifmt)). Logo, eles possuem podem ser escritos como uma se´rie de Fourier, dada
por:
cos(β · sin(2pifmt)) = J0(β) +
∞∑
n par
2 · J0(β) · cos(2pinfmt)
sin(β · sin(2pifmt)) =
∞∑
n ı´mpar
2 · J0(β) · sin(2pinfmt)
(17)
onde Jn(β) e´ a func¸a˜o de Bessel do primeiro tipo e ordem n, cuja definic¸a˜o e´:
Jn(β) ,
1
2pi
∫ pi
−pi
exp[j(β · sin(λ)− nλ)]dλ (18)
• Substituindo estes valores em xc(t) chegamos na conclusa˜o que o sinal modulado conte´m, ale´m da porta-
dora, um nu´mero infinito de senoides separadas igualmente de fm.
• Ao representarmos o espectro unilateral, as frequeˆncias negativas devem ser rebatidas.
• A princ´ıpio, a banda de transmissa˜o de um sinal tonal e´ infinita.
• Amplitudes das frequeˆncias fc + n · fm, n 6= 0, dependem das func¸o˜es de Bessel, cujas principais pro-
priedades sa˜o:
4
fc 
f 
fc+W 
fc-W 
(a) 
𝐴𝑐𝛽
2
 
𝐴𝑐𝛽
2
 
𝐴(𝑡) 
fm 
-fm 
(b) 
𝐴𝑐 
𝐴𝑐𝛽
2
 
Figure 3: (a)-Espectro aproximado da modulac¸a˜o tonal e (b)-diagrama fasorial correspondente, referenciado
em fc.
1. A amplitude da portadora depende de J0(β). Consequentemente, depende da mensagem transmitida.
Ha´ valores de β tal que J0(β) = 0.
2. O nu´mero de linhas laterais com amplitudes relevantes (acima de um certo valor) depende de β.
Quando β << 1, apenas J0 e J1 sa˜o relevantes, o que confirma a ana´lise anterior. Com β maior,
Jn(β) sera´ relevante para um valor de n maior.
3. Quanto maior o valor de β, maior a banda que conte´m senoides com amplitude relevante.
• Podemos desenhar Jn(β) em func¸a˜o de β, para va´rios n, como mostrado na figura 4-(a) e (b)-em func¸a˜o
de nβ . Uma interpretac¸a˜o das figuras e´ a seguinte:
– Jn(β) em func¸a˜o de
n
β e´ semelhante a uma envolto´ria espectral dasbandas laterais. Ao multiplicarmos
o eixo horizontal por βfm obtemos a amplitude dos sinais nas frequeˆncias fc + nfm.
– Jn(β) decai monotonicamente para
n
β > 1, e |Jn(β)| << 1 para nβ >> 1
• Em FM, e´ poss´ıvel manter o valor de Am · f∆ e ao mesmo temo aumentar o valor de β ao diminuir fm,
pois β = Am·f∆fm . Isto permite manipular a escolha de β, mantendo o maior desvio em frequeˆncia.
5.1.3 Ana´lise Fasorial
• Voltando ao sinal de faixa estreita e modulac¸a˜o tonal, temos que o sinal modulado e´:
xc(t) ≈ Accos(2pifct)−Acβsin(2pifmt) · (sin(2pifc)) (19)
5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-0.5
0
0.5
1

J
n
( 
)
 
 
n = 0
n = 1
n = 2
n = 5
n = 10
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
n
-
J
n
( 
)
 
 
 = 1
 = 2
 = 5
 = 10
Figure 4: Duas visualizac¸o˜es das func¸o˜es de Bessel.
onde φ(t) = βsin(2pifmt). A amplitude e fase deste sinal podem ser aproximadas
1:
A(t) =
√
A2c + (βsin(2pifmt))
2
≈ Ac
[
1 +
β2
4
− β
2
4
cos(4pifmt)
]
φ(t) = arctan
[
Acβsin(2pifmt)
Ac
]
≈ β · sin(2pifmt)
(20)
• Embora a fase tenha o valor desejado, a amplitude na˜o. Ela deveria ser constante mas na˜o e´.
• Para corrigir a distorc¸a˜o em amplitude, acrescentamos termos em fc ± 2fm, o que causaria distorc¸a˜o na
fase.
• Para corrigir esta nova distorc¸a˜o na fase, adicionar´ıamos senoides em fc± 3fm, o que novamente causaria
distorc¸a˜o em amplitude(menor do que a distorc¸a˜o original), e assim suscetivamente.
• Logo, para haver nenhuma distorc¸a˜o em fase e em amplitude ao mesmo tempo, precisamos adicionar
termos em fc ± nfm indefinidamente.
• Os termos de ordem ı´mpar causam modulac¸a˜o em frequeˆncia por gerar o termo em quadratura com a
portadora, enquanto que os termos de ordem par corrigem a distorc¸a˜o em amplitude por estarem em fase
com a portadora.
5.2 Banda de transmissa˜o e distorc¸a˜o
• Em geral, a banda de transmissa˜o que conte´m todo o sinal e´ infinita, mesmo que a banda do sinal
transmitido seja finita.
1Aproximamos
√
1 + x ≈ 1 + 1
2
x ,primeiros dois termos da se´rie de Taylor, e arctan(x) ≈ x.
6
• Na pra´tica, sistemas FM possuem banda finita e funcionam bem, mesmo que isto resulte em uma pequena
distorc¸a˜o causada pela eliminac¸a˜o de parte do espectro ideal.
• Deve-se analisar a relac¸a˜o distorc¸a˜o/banda ocupada e escolher um valor de banda ocupada que resulte
em uma distorc¸a˜o razoa´vel.
5.2.1 Estimativa de Banda de Transmissa˜o
• Em geral, a amplitude do espectro cai quanto mais distante de fc, isto e´, quanto maior |f − fc|.
• A partir de algum valor de |f − fc|, a amplitude do espectro pode ser considerada insignificante. O
significado de significaˆncia e´ varia´vel e depende do sistema.
• Ha´ resultados emp´ıricos.
• Retornando a` figura Jn(β) × nβ , observamos que o valor de Jn(β) cresce ra´pido quando |nβ | << 1, espe-
cialmente se β >> 1.
• Logo, |Jn(β)| e´ significante se |n| << β, isto e´, o conteu´do espectral significante esta´ entre os ı´ndices ±β.
• Para obter o equivalente em frequeˆncia, lembramos que na modulac¸a˜o FM, temos que β = Am · f∆fm . Logo:
W = n · fm = β · fm = Amf∆fm · fm = Am · f∆ (21)
isto e´, a banda de um sinal FM seria de 2Am · f∆, centralizada em fc.
• Esta conclusa˜o coincide com a intuic¸a˜o que a energia de um sinal FM estaria na frequeˆncia instantaˆnea,
e esta varia entre fc ±Am · f∆.
• Por outro lado, se J0(β) >> Jn 6=0(β)∀n, enta˜o todas as linhas laterais sa˜o relativamente pequenos em
relac¸a˜o a` linha em fc. Isto acontece se β << 1.
• Em um extremo, a conclusa˜o erroˆnea seria de que devemos transmitir somente o termo em fc, ou seja,
uma u´nica senoide cuja frequeˆncia na˜o varia no tempo. Devemos manter pelo menos os dois primeiros
termos (em fc − fm e fc + fm). Logo, para β pequeno, a banda do sinal e´ aproximadamente de 2fm.
• Em ambos os casos de β, a alterac¸a˜o de fm da modulac¸a˜o tonal altera linearmente a banda ocupada. Se um
sinal na˜o for tonal, aproximamos fm pela maior frequeˆncia existente no sinal
2. Uma interpretac¸a˜o poss´ıvel
e´ que desta forma estamos calculando a banda ”‘instantaˆnea”’ do sinal modulado quando a frequeˆncia
”‘instantaˆnea”’ da mensagem vale fm e que fm < W , a banda da mensagem.
• Qualitativamente podemos definir o espectro significante de outra maneira: considerando o valores de n
tal que |Jn(β)| > �, onde 0.01 < � < 0.1, dependendo da aplicac¸a˜o.
• Isto e´, se existe M tal que |JM (β)| > � e |JM+1(β)| < �, o espectro teria 2M + 1 linhas significativas no
total.
• A banda do sinal pode genericamente ser escrita como:
B = 2 ·M�(β) · fm (22)
onde M�(β) e´ uma func¸a˜o de β, parametrizada por �. O formato desta func¸a˜o esta´ na figura 5. Ela pode
ser aproximada por M(β) ≈ β + 2.
• Empiricamente, � = 0.01 e´ conservador, enquanto que � = 0.1 pode ser aceita´vel mas causa distorc¸a˜o
percept´ıvel.
2Esta aproximac¸a˜o considera, por exemplo, que a modulac¸a˜o de um sinal FM composto por duas senoides ocuparia a banda
2Am · fmax, onde fmax e´ a frequeˆncia da senoide mais ra´pida, ignorando a na˜o linearidade existente nessa modulac¸a˜o
7
Figure 5: Formato da func¸a˜o M�(β) para � = 0.01 e � = 0.1 (linhas cheias) e aproximac¸a˜o(linha tracejada).
• O valor de M(β) depende de β que, por sua vez, e´ inversamente proporcional a fm. Por outro lado, B da
equac¸a˜o acima depende linearmente de fm. Logo, a maior banda ”‘instantaˆnea”’ ocupada por um sinal
depende de alguma forma de fm < W . O seu valor ma´ximo seria a banda de fato do sinal modulado.
Usando a aproximac¸a˜o para M(β), chegamos a :
B ≈ 2(β + 2) · fm = 2 ·
(
Amf∆)
fm
+
)
· fm = 2(Amf∆ + 2fm) (23)
• Limitando pela nossa convenc¸a˜o sobre mensagens os valores de Am ≤ 1 e fm < W , conclu´ımos que o
maior valor de B ocorre quando Am = 1 e fm = W . Logo:
BFMT = maxB = 2(f∆ + 2W ), se β > 2 (24)
• Isto acontece com o valor β∗ = f∆W , que na˜o e´ o maior de β, mas sim o valor que maximiza a banda.
• Qualquer sinal suave com Am < 1 e fm < W necessitara´ de uma banda menor.
• Para um mensagem x(t) com banda W e razoavelmente suave, a banda de transmissa˜o seria a definida
acima, pois a frequeˆncia ”‘instantaˆnea”’ do sinal variaria lentamente, assim como a sua integral.
• Esta ana´lise ignora a na˜o linearidade da modulac¸a˜o exponencial.
• Pare resolver de forma parcial este problema, definimos a raza˜o de desvio, tambe´m conhecido como ı´ndice
de modulac¸a˜o:
D , f∆
W
(25)
• O conhecimento de uma func¸a˜o do tipo M(D) permitiria definir a banda de transmissa˜o como BT =
2M(D) ·W . Entretanto, na˜o ha´ como definir M(D).
8
• Para valores extremos de D temos que a banda de transmissa˜o vale:
BT =
{
2DW = 2f∆ D >> 1
2W D << 1 (modulac¸a˜o de faixa estreita)
(26)
• Estes resultados podem ser combinados em uma u´nica expressa˜o que assintoticamente assume os valores
acima:
BT ≈ 2(f∆ +W ) = 2(D + 1)W, (27)
que e´ chamada de regra de Carson.
• A regra de Carson e´ uma boa estimativa de banda para D << 2 e D >> 10. Entretanto, na regia˜o
2 < D < 20, a regra de Carson subestima a banda necessa´ria, empiricamente.
• Uma aproximac¸a˜o melhor na pra´tica e´ usar a seguinte fo´rmula:
BT ≈ 2(f∆ + 2W ) = 2(D + 2)W (28)
• Para modulac¸a˜o de faixa estreita, a regra de Carson superestima a banda necessa´ria, pois D + 1 > 1.
• As estimativas para banda de FM sa˜o va´lidas para o caso PM utilizando φ∆ no lugar de D. Assim:
BT = 2M(φ∆)W ≈ 2(φ∆ + 1)W (29)
• Caso as mensagens a serem transmitidas possuem descontinuidades no tempo, a frequeˆncia instantaˆnea
dos mesmos na˜o varia lentamente. As aproximac¸o˜es acima na˜o seriam va´lidas e seria necessa´rio por
exemplo medir a banda de transmissa˜o ou obter alguma expressa˜o anal´ıtica que permita a determinac¸a˜oda banda.
• Exemplo: FM comercial
– Por lei, f∆ = 75kHz.
– o sinal de entrada e´ um sinal de a´udio com conteu´do espectral relevante entre 30Hz e 15kHz. Logo,
W = 15kHz.
– Pelas contas acima: D = f∆W = 5.
– Pela regra de Carson, BT ≈ 2(5 + 1)W = 180kHz.
– Pela regra modificada: BT ≈ 2(5 = 2)W = 210kHz.
– Na pra´tica, usa-se BT = 200Khz.
– A utilizac¸a˜o de uma modulac¸a˜o tonal com fm = 15kHz e com paraˆmetros acima resultaria em β = 5
e (pela figura) M(β) ≈ 7. A banda de transmissa˜o seria de 210kHz.
– Se fm = 5kHz, o valor de β seria maior, β = 15 e M(15) ≈ 15. Entretanto, a banda seria de 150kHz,
menor do que o valor anterior
5.2.2 Distorc¸a˜o linear
• Nesta sec¸a˜o mostraremos como a modulac¸a˜o FM e´ robusta a distorc¸a˜o linear causada por um canal.
• O problema pode ser modulado como um canal com entrada xc(t), resposta H(f) e sa´ıda yc(t), onde:
xc(t) = Ac<{exp(2pifct+ φ(t)} (30)
• Em banda base equivalente ter´ıamos o sinal:
xlp(t) =
1
2
exp(jφ(t)) (31)
9
• Sabemos tambe´m que no domı´nio da frequeˆncia:
Ylp(f) = H(f + fc) · u(f + fc) ·Xlp(f), (32)
o que resulta no tempo em
ylp(t) = F [Ylp(f)] (33)
• Em banda passante ter´ıamos enta˜o
yc(t) = 2<{ylp(t) · exp(j2pif + ct)} (34)
• Ha´ problemas: operac¸o˜es Xlp(f) = F{xlp(t)} e ylp(t) = F [Ylp(f)] sa˜o complicadas e exigem ana´lise
nume´rica. Casos particulares podem ser analisados.
• Por exemplo, o sistema da figura 6 com resposta em amplitude e em fase linear teria a seguinte transfor-
mada de Fourier:
Hlp(f) = H(f + fc) · u(f + fc) =
(
K0 +
K1
fc
f
)
· exp[j(−2pitofc − 2pit1f)], (35)
resultando em:
Ylp(f) = K0exp(−j2pifcto)[Xlp(f) · exp(−j2pit1f)] + K1
j2pifc
exp(−j2pifct) · [(j2pif) ·Xlp(f) · exp(−j2pit1f)]
(36)
fc 
f 
arg[H(f)]=exp(-j2πft1) 
Linear com 
coeficiente 
𝐾1
𝑓1
 
-2πft0 
K0 
Figure 6: Resposta em frequeˆncia de H(f).
• Aparecem os termos:
– exp(−j2pifct0)→ atraso da portadora;
– exp(−j2pift1)→ atraso de grupo (linear em f);
– j2pif ·Xlp(f)→ derivada de xlp(t) em relac¸a˜o ao tempo.
10
• Com estas associac¸o˜es, conseguimos escrever a TF inversa de Ylp(f):
ylp(t) = K0 exp(−j2pifct0) · xlp(t− t1) + K1
j2pifc
exp(−j2pifct0)dx(t− t1)
dt
(37)
• A derivada de x(t) vale:
dx(t−t1)
dt =
d
dt
{
1
2
Ac · exp[jφ(t− t1)]
}
=
j
2
Ac
(
dφ(t− t1)
dt
)
exp(jφ(t− t1))
(38)
• Substituindo tudo na equac¸a˜o de ylp(t) chegamos a3:
ylp(t) = Kd exp[−j2pifct0]·
(
1
2
Acexp(jφ(t− t1))
)
+
K1
j2pifc
exp[−j2pifct0] j
2
Ac
(
dφ(t− t1)
dt
)
exp(jφ(t−t1))
(39)
• Este sinal em banda passante equivale a:
yc(t) = A(t)cos[2pifc(t− t0) + φ(t− t1)] (40)
onde:
A(t) = Ac
[
Kd +
K1
2pifc
dφ(t− t1)
dt
]
(41)
• Para sinais FM, temos a relac¸a˜o dφ(t−t1)dt 2pif∆x(t). Neste caso:
A(t) = Ac
[
Kd +K1
f∆
fc
x(t)
]
(42)
• Pela u´ltima equac¸a˜o percebe-se que, quando o sinal FM passa por um sistema com a resposta em frequeˆncia
definida, o sinal resultante sera´, ale´m de modulado em frequeˆncia, tambe´m modulado em amplitude.
• Este processo e´ chamado de conversa˜o FM-AM.Um detector de envolto´ria poderia ser utilizado para
recuperar a mensagem, pois este detector e´ insens´ıvel a variac¸o˜es na frequeˆncia da portadora de modulac¸o˜es
AM.
• A modulac¸a˜o em amplitude teria ı´ndice d emodulac¸a˜o µ = K1f∆Kdfc .
• Na˜o ha´ maiores problemas neste me´todo a na˜o ser que a distorc¸a˜o causada pelo sistema cause distorc¸a˜o
de fase do sinal, que e´ onde esta´ a informac¸a˜o.
5.2.3 Distorc¸a˜o na˜o linear e limitadores
• Distorc¸a˜o em amplitude pode causar conversa˜o FM-AM.
• Caso indesejada, esta distorc¸a˜o pode ser eliminada trave´s de um elemento na˜o linear controlada seguida
de alguma filtragem.
• Para esta ana´lise, usaremos o sinal vin(t) = A(t) ·cos(θc(t)), onde A(t) e´ a amplitude e θc(t) = 2pifct+φ(t)
e´ a fase.
• Este sinal passa por um dispositivo na˜o linear sem memo´ria, gerando um sinal vout(t). A relac¸a˜o entre
entrada e sa´ıda deste dispositivo e´ dada por uma func¸a˜o T [·]. A auseˆncia de memo´ria quer dizer que
vout(t = t∗) = T [vin(t = t∗)], isto e´, a sa´ıda no instante t∗ depende somente do valor de entrada no
instante t∗.
3Mantemos o j para mostrar que ele se cancelara´
11
• A func¸a˜o vin(t) na˜o e´ necessariamente perio´dica em t, mas e´ perio´dica em θc(t) com per´ıodo 2pi.
• Logo, vout(t) tambe´m e´ uma func¸a˜o perio´dica de θc(t) com per´ıodo 2pi, o que nos permite escrever a sua
se´rie de Fourier (em relac¸a˜o a θc(t)) como
4”’:
vout(t) =
∞∑
n=1
|2an| · cos(nθc + arg(an))
an =
1
2pi
∫
2pi
T [vin(θc)]exp(−jnθc)dθc
(43)
• Se a amplitude de T [vin(t)] varia com o tempo, os coeficientes an tambe´m variara˜o. Por outro lado, se
esta amplitude na˜o varia com o tempo, os coeficientes sera˜o constantes. Neste caso, o sinal de sa´ıda e´:
vout(t) = |2a1|cos(2pifct+ φ(t) + arg(a1)) + |2a2|cos(4pifct+ 2φ(t) + arg(a1)) + · · · (44)
• Pela expressa˜o acima percebe-se que a distorc¸a˜o na˜o linear gera modulac¸o˜es FM adicionais em harmoˆnicos
da frequeˆncia central, com amplitudes constantes |2an| e modulac¸a˜o em fase por nφ(t), mas uma fase
constante.
• Se estas modulac¸o˜es na˜o se sobreporem significantemente no espectro, o primeiro termo do somato´rio
acima poderia ser isolado utilizando um filtro passa faixas centrado em fc.
• Um elemento na˜o linear que tornaria a amplitude constante seria um limitador ideal, tambe´m conhecido
como clipper. A relac¸a˜o entre entrada e sa´ıda e´, em func¸a˜o de θc, e´:
vout =
{
v0 − pi2 < φ < pi2
−v0 pi2 < φ < 3pi2
(45)
• Nesta situac¸a˜o, os valores dos coeficientes sa˜o:
an =

2v0
npi n = 1,5,9,· · ·
−2v0
npi n = 3,7,11,· · ·
0 n = 2,4,6,· · ·
(46)
• O resultado e´ o sinal:
vout(t) =
4v0
pi
cos(2pifct+ φ(t))− 4v0
3pi
cos(6pifct+ 2φ(t)) + · · · (47)
• Mesmo filtrando, o primeiro termo conte´m mais do que 80% da poteˆncia do sinal F.
• Amplificadores na˜o lineares podem, pelo meso racioc´ınio, serem utilizados para gerar sinais FM com
grande eficieˆncia em poteˆncia.
• O mesmo me´todo tambe´m pode ser utilizado para corrigir pequenas variac¸o˜es na amplitude do sinal no
momento da recepc¸a˜o.
5.3 Gerac¸a˜o e detecc¸a˜o de sinais FM
• O componente chave para gerac¸a˜o de sinais FM e´ um VCO - Voltage Controlled Oscillator. Verso˜es
modernas equivalentes sa˜o DCO - Digitally Controlled Oscillator.
• Em um VCO, o sinal de sa´ıda e´ uma senoide cuja frequeˆncia varia instantaneamente com o n´ıvel do sinal
de entrada. Pode haver um termo constante, de modo que f(t) = fc + k · x(t), onde x(t) e´ o n´ıvel de
entrada e k e´ uma constante.
12
(a) (b) 
(c) (d) 
FM PM 
M
o
d
u
la
d
o
r 
D
em
o
d
u
la
d
o
r 
VCO 
𝑑
𝑑𝑡
 VCO x(t) xc(t) x(t) xc(t) 
𝑑
𝑑𝑡
 ENV xc(t) x(t) 
𝑑
𝑑𝑡
 ENV xc(t) xc(t) 
𝑑
𝑑𝑡
 
Figure 7: Modulador e demodulador para sinais FM e PM
• Utilizando um VCO, os moduladores FM e PM teriam diagrama de blocos da figura 7-(a) e (b), respec-
tivamente.
• Ha´ treˆs tipos u´teis de demoduladores AM:
– Conversor FM-AM
– Discriminador de variac¸a˜o de fase
– Detector de cruzamentos de zero.
5.3.1 Conversor FM-AM
• Um detector de envolto´ria pode ser utilizado para detectar sinais FM desde que haja uma conversa˜o
FM-AM.
• Como visto nas sec¸o˜es anteriores, um sistema cuja resposta em frequeˆncia tenha mo´dulo linear em
frequeˆncia pode causar esta conversa˜o.
• Outros dispositivos podem realizar esta operac¸a˜o, desde que de alguma forma a derivada do sinal aparec¸a.
• Assim, se xc(t) = Ac · cos(θc(t)), temos:
dx(t)
dt
= −Ac dθc(t)dt · sin(θc(t))
= 2piAc[fc + f∆ · x(t)] · sin(θc(t)± 180o)
(48)
• Como [fc+f∆ ·x(t)] ≥ 1] sempre, na˜o ha´ inversa˜ode fase do sinal e a envolto´ria e´ proporcional a` mensagem.
• A derivada pode alternativamente implementada por um circuito sintonizado. No tempo discreto, a
derivada deve ser aproximada por equac¸o˜es de diferenc¸as.
• Um diagrama que utiliza um detector de envolto´ria para recuperar a mensagem esta´ mostrado na figura
8.
4Omitimos t em θc(t) para facilitar o entendimento da periodicidade de vout(t) em relac¸a˜o a θc(t).
13
Limitador FPF 
𝑑
𝑑𝑡
 ENV 
Remove 
DC 
xc(t) KDx(t) 
Figure 8: Detector de envolto´ria precedido de corretor de distorc¸a˜o em amplitude
5.3.2 Discriminador de variac¸a˜o de fase
• Em vez de utilizar um circuito cuja sa´ıda varia linearmente com a fase, podemos utilizar um discriminador
de variac¸a˜o de fase.
• Para t1 pequeno, a derivada de um sinal pode ser aproximada como:
dv(t)
dt
≈ 1
t1
[v(t)− v(t− t1)] (49)
• Para FM, temos:
dφ(t)
dt
= 2pif∆x(t)
φ(t)− φ(t− t1) ≈ t1 · dφ(t)
dt
= 2pif∆t1 · x(t)
(50)
, isto e´, a diferenc¸a de fase em dois instantes pro´ximos e´ aproximadamente proporcional a` mensagem.
• Um atraso pode ser obtido atrave´s de uma linha de atraso. Utilizando a aproximac¸a˜o sin(x) ≈ x para x
pequeno, podemos utilizar o diagrama da figura 9.
5.3.3 Detector de cruzamentos de zero
• Um detector de cruzamentos de zero esta´ apresentado na figura 10. Os elementos deste circuito sa˜o:
– Um limitador, cuja sa´ıda e´ uma onda retangular com frequeˆncia varia´vel.
– Um circuito monoesta´vel, que tem dois estados: ativo e inativo. Quando o sinal de entrada deste
circuito cruza o zero no sentido negativo/positivo, o circuito fica ativo por um curto per´ıodo de
tempo, retornando ao estado inativo. Assim, a cada cruzamento de zero no sentido indicado, o
circuito monoesta´vel emite um pulso retangular curto com largura τ e amplitude A.
14
Limitador FPF 
Desvio 
de fase 
FPB xc(t) KDx(t) X 
cos(2πfct+ϕ(t)) 
sin(2πfct+ϕ(t)) 
Figure 9: Demodulador utilizando discriminador de fase.
– Um integrador janelado, cuja sa´ıda vale a integral do sinal de entrada entre os instantes t − T e t.
Funciona como um contador de quantos pulsos foram emitidos pelo circuito monoesta´vel nos u´ltimos
T segundos.
– Um eliminador de n´ıvel DC
• A ide´ia do detector de cruzamento de zero e´ que, se W << 1T << fc, o intervalo entre cruzamentos de
zero sera´ praticamente constante durante va´rios pulsos. Isto e´, 1f(t) permanece praticamente constante
durante T segundos.
• Nesta janela de tempo, teremos nT ≈ T · f(t) cruzamentos de zero no intervalo, que sera˜o contados pelo
integrador janelado, resultado em:
1
T
∫ t
t−T
v(λ)dλ =
1
nt
Aτ ≈ Aτf(t) (51)
• Apo´s eliminac¸a˜o do valor me´dio fc, obtemos a sa´ıda yD(t) ≈ KD · f∆ · x(t), onde KD e´ uma constante de
detecc¸a˜o.
• Detectores comerciais apresentam erro de demodulac¸a˜o menor do que 0.1% para valores de fc entre 1Hz
e 10MHz.
• Utilizando um divisor por L (que emite um pulso a cada L pulsos recebidos), a faixa de operac¸a˜o (e o
erro) de um detector aumenta por L.
• A vantagem deste tipo de detector e´ que eles sa˜o facilmente implementa´veis em circuitos digitais.
5.4 Exerc´ıcios
Questo˜es 1 2 3 4 5 7 9 12 13
Problemas: 5.1.1 5.1.4 5.1.8 5.1.12 5.1.15 5.1.17 5.2.1 5.2.3 5.2.5 5.2.8 5.2.9
5.2.16 5.3.10
15
Limitador 
Circuito 
Monoestável 
1
𝑇
 
𝑡
𝑡−𝑇
 Remove DC xc(t) KDfΔx(t) 
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
 
 
x
c
(t)
sgn(x
c
(t))
Pulsos
Figure 10: Detector de cruzamentos de zero.
16