Modulação linear - Princípios de Telecomunicações - Instituto Tecnológico de Aeronáutica

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ELE-31 Princ´ıpios de Telecomunicac¸o˜es
Prof. Manish Sharma
October 15, 2015
4 Modulac¸a˜o linear
Neste cap´ıtulo apresentamos a primeira modulac¸a˜o analo´gica, a modulac¸a˜o em amplitude no tempo e as suas
implicac¸o˜es em frequeˆncia. Para isto apresentamos tambe´m o conceito de sinais e sistemas em banda base e
banda passante, e a relac¸a˜o entre os dois. Este conceito sera´ utilizado futuramente na introduc¸a˜o a modulac¸o˜es
digitais.
4.1 Sinais e Sistemas em Banda Passante
• Convenc¸o˜es adotadas:
– A mensagem e´ um sinal em banda base x(t) qualquer, na˜o determinado a priori, mas com algumas
propriedades definidas, como algumas a seguir.
– W e´ a banda da mensagem x(t), i.e., |X(f)| ≈ 0 para |f | > W ., como mostra a figura 1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f
|X(f)
|
Figure 1: Espectro de um sinal com banda W = 0.6Hz. Este e´ o espectro de um filtro raiz de cosseno com
paraˆmetros T = 1 e β = 0.2. Este filtro e´ muito utilizado em comunicac¸o˜es digitais para sinais limitados em
banda.
– Por convenc¸a˜o, |x(t) ≤ 1∀t
1
– Consequentemente, a poteˆncia do sinal x(t) , definida como Sx, vale Sx =< |x(t)|2 >≤ 1.
– Em algumas situac¸o˜es poderemos utilizar para ana´lise o sinal tonal, definido como x(t) = Am ·
cos(2pifmt), onde Am ≤ 1 e fm < W . Este sinal tem espectro simples. A utilizac¸a˜o de um sinal
tonal permite em muitas situac¸o˜es analisar a resposta de sistemas, exceto talvez quando haja na˜o
linearidades. Para isso, podemos utilizar um sinal composto, definido como:
x(t) = A1 · cos(2pif1t) +A2 · cos(2pif2t) + · · · (1)
onde A1 +A2 + · ≤ 1
– Exemplo: Modulac¸a˜o de um sinal qualquer.
– Seja x(t)↔ X(f) um sinal em banda base.
– Se xbp(t) = x(t)·, enta˜o, pela convoluc¸a˜o dos espectros, temos:
Xbp(f) =
1
2
[X(f − fc) +X(f + fc)] (2)
cujo formato esta´ apresentado na figura 2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
f
|X bp
(f)|
Figure 2: Formato de Xbp(f) utilizando X(f) da figura 1 e fc = 3Hz. A banda ocupada vai de fc −W ate´
fc +W
4.1.1 Sinais em Banda Passante
• Seja vbp(t) um sinal real com espectro Vbp(f), como mostra a figura 31
• Como o sinal e´ real, ha´ simetria Hermitiana em torno da origem, mas na˜o necessariamente em torno de
±fc.
• Um sinal e´ um em banda passante se:
|Vbp(f)| ≈ 0para |f | < fc −W e |f | > fc +W (3)
1O subscrito bp indica que o sinal e´ banda passante, enquanto que o subscrito bb, se houver, indica que o sinal e´ em banda base.
2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f
|V bp
(f)|
Figure 3: Formato de Vbp(f) , na˜o sime´trico em torno de fc = ±3Hz.
• Isto e´, enquanto que o sinal em banda base(BB) tem espectro em torno da origem, o sinal em banda
passante(BP) tem espectro em torno de ±fc.
• Na˜o ha´ necessariamente simetria em torno de fc: o espectro poderia estar completamente entre fc e fc+W
e entre −fc e −(fc +W )
• Assim, ha´ va´rias possibilidades para escolha de fc, que normalmente e´ definido pelo contexto.
• Um poss´ıvel sinal BP e´:
vbp(t) = A(t) · cos(2pifct+ φ(t)) (4)
onde A(t) e´ um sinal em banda base. Por definic¸a˜o, A(t) e´ chamado de envolto´ria do sinal e φ(t) e´ a fase
do sinal. Tanto envolto´ria como fase sa˜o func¸a˜o do tempo. O seu formato esta´ mostrado na figura 4
• Tambe´m por definic¸a˜o, A(t) ≥ 0. Efeitos de amplitude negativa sa˜o absorvidos pela fase com a adic¸a˜o de
±pi quando necessa´rio.
• Poder´ıamos no plano complexo utilizar a representac¸a˜o da figura 5. A figura representada na˜o e´ um fasor
pois a frequeˆncia fc e´ eliminada. E´ como se o plano girasse com velocidade fc. Logo, para obter o fasor,
e´ necessa´rio fixar o eixo na origem e girar o plano fc vezes por segundo.
• Podemos decompor vbp(t) em dois termos utilizando as projec¸o˜es (em verde) do vetor da figura 5 nos dois
eixos, resultando em:
vi(t) , A(t) · cos(φ(t))
vq(t) , A(t) · sin(φ(t)) (5)
onde os subscritos se referem a em fase (In phase) e em quadratura (Quadrature).
• LogoF:
vbp(t) = vi(t) · cos(2pifct)− vq(t)sin(2pifct)
= vi(t) · cos(2pifct) + vq(t)cos(2pifct+ 90o) (6)
3
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-1
-0.5
0
0.5
1
t
v bp(
t)
Figure 4: Formato de um poss´ıvel vbp(f), com fc = 3Hz.O intervalo entre cruzamentos de zero e´
1
fc
= T0. Em
tracejado, na parte superior, o valor de |A(t)|.
que e´ a representac¸a˜o em quadratura, com termos em fase vi(t) e em quadratura vq(t).
• Esta representac¸a˜o possui vantagens para a gerac¸a˜o de sinais na pra´tica e para ana´lise espectral, decom-
pondo Vbp(f) em:
Vbp(f) =
1
2
[Vi(f − fc) + Vi(f + fc)] + j
2
[Vq(f − fc)− Vq(f + fc)] (7)
onde vi(t)↔ Vi(f) e vq(t)↔ Vq(f).
• A relac¸a˜o entre as representac¸o˜es e´:
A(t) =
√
vi(t)2 + vq(t)2
φ(t) = tan−1
[
vq(t)
vi(t)
] (8)
• Estas relac¸o˜es no tempo na˜o permitem relacionar os espectros atrave´s da Transformada de Fourier.
• Para que vbp(t) seja de fato um sinal em banda passante, e´ necessa´rio que Vi(f) = Vq(f) = 0 para
|f | > W , i.e., Vbp(f) e´ a composic¸a˜o de dois espectros em banda base, um dos quais sofre um desvio de
fase constante (multiplicac¸a˜o por j).
• Podemos definir o sinal em banda base equivalente2:
Vlp(f) , 12 [Vi(f) + jVq(f)]
= Vbp(f + fc) · u(f + fc) (9)
• No domı´nio do tempo esta definic¸a˜o equivale a:
vlp(t) = F−1{Vlp(f)} = 1
2
[vi(t) + j · vq(t)] (10)
2Alguns livros utilizam esta relac¸a˜o multiplicando por um fator de 2. Seguiremos a definic¸a˜o apresentada
4
f(t) 
𝜙(𝑡) 
ℜ 
ℑ 
𝑣𝑏𝑝(𝑡) 
𝑣𝑖(𝑡) 
𝑣𝑞(𝑡) 
Figure 5: Representac¸a˜o de vbp(t) no plano complexo. Em verde as projec¸o˜es nos eixos real e imagina´rio. A
frequeˆncia instantaˆnea f(t) e´ a derivada de φ(t) em func¸a˜o do tempo.
• Este sinal e´ potencialmente complexo e na˜o poderia existir na pra´tica.
• Alternativamente poder´ıamos obter o sinal vlp(t) como:
vlp(t) =
1
2
A(t) · exp(jφ(t)) (11)
• A relac¸a˜o no caminho contra´rio entre vbp(t) e vlp(t) e´ enta˜oF:
vbp(t) = <{A(t)exp[j2pifct+ jφ(t)]}
= 2<
{
A(t)
1
2
exp(jφ(t) · exp[j2pifct]
}
= 2<{vlp(t) · exp(j2pifct)}
(12)
que e´ chamada de transformac¸a˜o de banda base para banda passante.
• No domı´nio da frequeˆncia temos:
Vbp(f) = Vlp(f − fc) + V ∗lp(−f − fc) (13)
onde o primeiro termo da direita representa as frequeˆncias positivas e o segundo as frequeˆncias negativas.
• Assumindo que vbp(t) e´ real, ter´ıamos
Vbp(f) = Vlp(f − f)c), , f > 0 (14)
4.1.2 Transmissa˜o em Banda Passante
• Definimos o sistema em banda base da figura 6-(a).
• Obviamente, Ybp(f) = Xbp(f) ·Hbp(f)
5
hbp(t) 
Hbp(f) 
xbp(t) ybp(t)=xbp (t)*hbp (t) 
Em banda passante 
Em banda base 
hlp(t) 
Hlp(f) 
xlp(t) ylp(t)=xlp (t)*hlp (t) 
(a) 
(b) 
Figure 6: Relac¸a˜o entre sistemas (a) em banda base e (b) em banda passante.
• Tambe´m poder´ıamos utilizar o espectro em banda base equivalente:
Ylp(f) = Xlp(f) ·Hlp(f) (15)
onde:
Hlp(f) = Hbp(f + fc) · u(f + fc) (16)
e´ a func¸a˜o de transfereˆncia em banda base equivalente.
• Este me´todo permite entender o que acontece com os sinais equivalentes em banda base. Permite tambe´m
eliminar a necessidade de considerar a frequeˆncia da portadora para a ana´lise dos sinais.
• No tempo, ter´ıamos:
ylp(t) = F−1{Xlp(f) ·Hlp(f)} (17)
• O sinal em banda passante ybp(t) pode ser obtido de ylp(t) a partir da transformac¸a˜o de banda base para
banda passante.
• Alternativamente podemos definir os termos em fase, em quadratura, e a amplitude e fase correspondentes:
yi(t) = 2<{ylp(t)}
yq(t) = 2={ylp(t)}
Ay(t) = 2|ylp(t)|
φy(t) = arg[ylp(t)]
(18)
• Exemplo: atraso de portadora e de envolto´ria:
– Seja um sistema em banda passante com func¸a˜o de transfereˆncia:
Hbp(f) = K · exp[jθ(f)] (19)
para fl < |f |< fu, onde θ(f) e´ uma func¸a˜o na˜o linear.
6
– Em banda base, ter´ıamos:
Hlp(f) = K · exp[jφ(f + fc)] · u(f + fc) (20)
– A figura 7 mostra Hbp(f) e Hlp(f).
-fu 
f 
-fl 
K 
f 
fl fu 
K 
fl-fc 
 
fu-fc 
K 
fc 
(a) 
(b) 
Φ(f) 
Φ(fc) 
Figure 7: Resposta do sistema em (a)-banda passante e em (b)-banda base equivalente.
– Se a func¸a˜o θ(f) for aproximadamente linear em torno de fc, podemos representa-la bem com os dois
primeiros elementos da se´rie de Taylor em torno de fc, resultando em:
θ(f + fc) ≈ −2pi(tofc + t1f) (21)
onde:
to , − θ(fc)2pifc
t1 , − 12pi dθ(f)df |f=fc
(22)
– Para interpretar estes termos, vamos assumir que o sinal de entrada x(t) tem fase nula. Logo:
xbp(t) = Ax(t) · cos(2pifc)
xlp(t) =
1
2Ax(t)
(23)
– Assumindo ainda que Xbp(f) esta´ contido na banda de passagem, ter´ıamos:
Ylp(f) = K · exp[jφ(f + fc)] ·Xlp(f)
≈ K · exp[−j2pi(tofc + t1f)] ·Xlp(f)
≈ K · exp(−j2pifct0) · exp[−j2pit1)] ·Xlp(f)
(24)
– Nesta equac¸a˜o, K · exp(−j2pifct0) e´ uma constante e ·exp[−j2pit1)] corresponde a um atraso no
tempo.
– Logo, a sa´ıda em banda base e´:
ylp(t) ≈ {K · exp(−j2pifct0)}xlp(t− t1) = 1
2
K · exp(−j2pifct0) ·Ax(t− t1) (25)
7
e, em banda passante:
ybp(t) = KAx(t− t1)cos[2pifc(t− t0)] (26)
– Assim, t0 e´ o atraso da portadora e t1 e´ o atraso da envolto´ria.
– Como t1 independe de f , o sistema aproximadamente na˜o causa distorc¸a˜o
– Este resultado sera´ va´lido se dθ(f)df for aproximadamente constante na f de interesse. Caso isto na˜o
seja verdade, havera´ distorc¸a˜o.
• Outro exemplo: sistema passa banda simples
– Tambe´m chamado de circuito sintonizado, apresentado na figura 8
R 
C
 
vi(t) vo(t) 
L
 
0 500 1000 1500 2000
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
f
H
(f
)
Figure 8: Circuito sintonizado em 1kHz e sua resposta em frequeˆncia, com mo´dulo (linha cheias) e fase (linhas
tracejadas), para Q = 1 (preto), 10 (vermelho) e 100 (azul)
– A sua func¸a˜o de transfereˆncia e´ F:
H(f) =
1
1 + jQ
(
f
f0
− f0f
) (27)
onde:
f0 =
1
2pi
√
LC
Q = R
√
C
L
(28)
– A banda de passagem e´ definida como B = fu − fl = f0Q .
– No passado, devido a necessidade de implementac¸a˜o analo´gica e necessidade de garantir que os
esta´gios de ganho seriam esta´veis, o valor de Q era limitado entre 10 < Q < 100. Esta restric¸a˜o
ainda e´ va´lida nos dias de hoje em muitas situac¸o˜es, embora possa ser relaxada em esta´gios de
processamento digital.
8
– Esta restric¸a˜o sobre Q resultava na limitac¸a˜o:
0.01 <
B
fc
< 0.1 (29)
isto e´, a banda de transmissa˜o dependia da frequeˆncia utilizada. Isto causou a busca para sistemas
com fc grande, como por exemplo no caso de sate´lites, que chegam a operar em dezenas de gigahertz.
– Um exemplo desta situac¸a˜o e´ Wi-Fi, que utiliza uma banda de 40MHz para um fc em torno de
2.4GHz.
4.1.3 Bandas de Transmissa˜o
• Ha´ va´rias definic¸o˜es para banda de transmissa˜o, dependendo do contexto:
– Absoluta conte´m 100% da energia.
– -3dB: faixa onde o ganho do sistema e´ maior ou igual a
√
2
2 , resultando em perda de metade da
poteˆncia.
– -10dB: definic¸a˜o semelhante a anterior, mas com perda de 90% da poteˆncia do sinal.
– de ru´ıdo equivalente: banda do filtro passa faixas ideal que, ao ter como entrada um ru´ıdo com
densidade espectral de poteˆncia constante, resultaria na sa´ıda em um ru´ıdo com a mesma poteˆncia
do sistema em questa˜o.
– Ocupada: de acordo com a regulamentac¸a˜o:
– relativa: por exemplo, 60dB: banda onde a densidade espectral de poteˆncia do sinal e´ 60db menor
do que a densidade espectral de poteˆncia de pico.
• Outras definic¸o˜es podem aparecer em documentos te´cnicos.
4.2 Modulac¸a˜o em Amplitude com Portadora
• Ha´ verso˜es de modulac¸a˜o em amplitude:
– Com ou sem portadora
– Com as das ou uma das bandas laterais, como veremos a seguir.
• No caso da modulac¸a˜o em amplitude, a envolto´ria do sinal e´ proporcional a mensagem da seguinte forma:
A(t) = Ac[1 + µx(t)] (30)
onde µ e´ o ı´ndice de modulac¸a˜o e Ac e´ a amplitude da portadora
3.
• O sinal modulado xAMc (t) e´:
xAMc (t) = Ac[1 + µx(t)] · (2pifct+ φc) (31)
onde a fase da portadora φc e´ omitido por simplicidade, sem afetar os resultados.
• Para que a envolto´ria seja parecida com x(t), e´ necessa´rio que x(t) ≤ 1 e fc >> W , como veremos a
seguir.
• Se µ ≤ 1 na˜o havera´ alterac¸a˜o na fase da envolto´ria, resultando em:
φ(t) = 0
xci(t) = A(t)
xcq(t) = 0
(32)
3O subscrito c se refere a ”‘carrier”’ (em portugueˆs portadora), que e´ o sinal que ”‘carrega”’ ou ”‘porta”’ o sinal, assim com um
porta-avio˜es e´ um portador de avio˜es.
9
• Caso µ = 1 a amplitude pode variar de 0 a 2Ac.
• Caso µ < 1 havera´ inversa˜o de fase e distorc¸a˜o da envolto´ria
• A segunda condic¸a˜o (fc >> W ) do item acima diz que a portadora varia muito mais ra´pido do que o
sinal.
• Ja´ sabemos que no domı´nio da frequeˆncia teremos, para f > 0:
Xc(f) =
1
2
Acδ(f − fc) + µ
2
AcX(f − fc) (33)
• Necessariamente este sinal possui simetria Hermitiana, pois xAMc (t) e´ um sinal em banda passante real.
Logo, e´ poss´ıvel determinar X(f) para f < 0 a partir da definic¸a˜o!ao acima.
• O espectro esta´ mostrado na figura 9. Ele conte´m:
– Impulso da portadora em fc;
– Replicac¸a˜o de X(f) em torno de fc, o que resulta em bandas laterais sime´tricas, caso x(t) seja real.
fc 
f 
fc+W fc-W 
Banda ou 
lóbulo superior 
Banda ou 
lóbulo inferior 
Impulso 
Figure 9: Espectro de um sinal AM modulado com a presenc¸a de portadora.
• A banda de transmissa˜o e´ BAM = fc + W − (f − c −W ) = 2W , i.e., a banda necessa´ria e´ o dobro da
banda do sinal em banda base.
• A poteˆncia me´dia transmitida e´F:
SAMT ,< xAMc (t)2 >
= 12A
2
c < 1 + 2µx(t) + µ
2x(t)2 > + 12A
2
c < [1 + µx(t)]
2cos(2pifc)t >
= 12A
2
c [1 + µ
2Sx]
(34)
onde o segundo termo da segunda linha vale 0.
10
• Da equac¸a˜o anterior percebe-se que, independentemente de Sx, o fato do valor me´dio de x(t) ser diferente
de zero aumentaria a poteˆncia de transmissa˜o necessa´ria.
• Logo, este tipo de modulac¸a˜o na˜o e´ conveniente quando isto acontece.
• Como SAMT conte´m a poteˆncia da portadora e das bandas laterais e, em frequeˆncia, elas na˜o se sobrepo˜em,
podemos escrever, quando µ 6= 0:
SAMT = Pc + 2 · Psb (35)
onde:
– Pc =
1
2A
2
c e´ a poteˆncia da parte na˜o modulada da portadora.
– Psb =
1
4A
2
cµ
2Sx =
1
2µ
2SxPc e´ a poteˆncia de cada uma das bandas laterais (sb ⇒ side band).
• Como por convenc¸a˜o |µx(t)| ≤ 1∀t, µ2Sx ≤ 1 e Psb ≤ 12Pc.
• Assim, rearranjando os termos, chegamos a:
Pc = S
AM
T − 2Psb ≤ 12SAMT
PSB ≤ 14SAMT
(36)
ou seja, 50% ou mais da poteˆncia transmitida e´ utilizada para transmitir a portadora.
• Esta restric¸a˜o compromete a eficieˆncia do uso da poteˆncia dispon´ıvel deste tipo de modulac¸a˜o. Alternativas
mais eficientes neste aspecto sa˜o apresentadas a seguir.
4.2.1 Sinais e Espectro DSB
• Potencia desperdic¸ada na portadora poderia ser eliminada utilizando µ = 1 e tirando o termo constante.
Assim, o sinal modulado seria:
xDSBc (t) = Ac · x(t) · cos(2]pifct) (37)
que e´ chamado de AM-DSB(Double Side Band) ou simplesmente DSB.
• Ja´ vimos que, para f > 0, Xc(f) = 12X(f − fc)
• O espectro de um sinal DSB e´ semelhante ao espectro de um sinal AM com portadora, eliminando o
impulso em fc.
• A banda do sinal e´ Bt = 2W .
• No tempo, ha´ algumas diferenc¸as:
A(t) = Ac · |x(t)|
φ(t) =
{
0 para x(t) > 0
±180o para x(t) < 0
(38)
• A envolto´ria do sinal depende enta˜o do mo´dulo |x(t)|, e na˜o simplesmente de x(t). Logo, determinar a
envolto´ria na˜o e´ equivalente a determinar o sinal.
• Ha´ reversa˜o de fase quando a mensagem x(t)cruza o zero.
• Para recuperaremos a mensagem precisamos saber, ale´m da envolto´ria, dos instantes em que ha´ reversa˜o
de fase.
• Por outro lado, a poteˆncia total e´, na auseˆncia de portadora na˜o modulada:
SDSBT = 2 · PSB =
1
2
A2c · Sx (39)
e isto e´ va´lido mesmo que a me´dia de x(t) seja diferente de zero.
11
Varia´vel AM com portadora DSB
Amax 2 ·Ac Ac
PSB
1
4
A2cµ
2Sx
1
4
A2c · Sx
PSB
A2max
µ2Sx
16
Sx
4
Table 1: Comparac¸a˜o de PSBA2max
entre modulac¸o˜es AM com e sem portadora
• Isto e´, ha´ um aproveitamento melhor da energia dispon´ıvel.
• Na pra´tica, os transmissores possuem, ale´m de um limite de poteˆncia me´dia, um limite sobre a poteˆncia
de pico.4 Este valor de pico depende do quadrado da amplitude de pico, denominada aqui como Amax.
• Como a informac¸a˜o esta´ nas bandas laterais, pode ser u´til definir a relac¸a˜o PSBA2max . Esta relac¸a˜o esta´
apresentada na tabela abaixo para o caso com e sem portadoraF:
• Logo, dado o mesmo Amax, a modulac¸a˜o DSB resulta em quatro vezes mais poteˆncia para as bandas
laterais do que a modulac¸a˜o com portadora, sendo assim mais eficiente neste aspecto, utilizando ainda a
mesma banda de 2W .
• Este ganho em eficieˆncia ocorre com um custo de aumento de complexidade.
• Exemplo: comparac¸a˜o de alcance.
– Um transmissor possui dois limites: a poteˆncia media deve ser ST ≤ 3kW (onde W = Watts) e
A2max ≤ 8kW . O sinal a ser transmitido e´ uma onda senoidal com amplitude Am = 1, resultando em
Sx =
A2m
2 = 12. Qual modulac¸a˜o tera´ alcance maior?
– Para a modulac¸a˜o AM com µ = 1, temos considerando a restric¸a˜o de poteˆncia me´dia F:
PSB =
1
4Pc ⇒ Pc = 4PSB
SAMT = Pc + 2PSB = 4PSB + 2PSB = 6PSB ≤ 3kW ⇒ PSB ≤ 0.5kW
(40)
e, considerando a restric¸a˜o de poteˆncia de pico:
PSB =
1
16A
2
max · 12≤ 132 · 8kW = 0.25kW
(41)
Assim, o fator que de fato restringe a poteˆncia da informac¸a˜o e´ o valor da poteˆncia de pico.
– Para a modulac¸a˜o DSB temos:
SDSBT = 2PSB ≤ 3kW ⇒ PSB ≤ 1.5kW
PSB
A2max
= SX4 ⇒ PSB ≤ 18A2max = 1kW
(42)
Assim, para o caso DSB o limite tambe´m e´ a poteˆncia de pico.
– Comparativamente, a modulac¸a˜o DSB sem portadora resulta em quatro vezes mais poteˆncia de
informac¸a˜o. Considerando que a poteˆncia do sinal recebido depende do quadrado da distaˆncia e
dado um limiar de poteˆncia recebida necessa´ria para demodulac¸a˜o, a modulac¸a˜o DSB permitiria o
dobro do alcance.
4Por exemplo limitado pela tensa˜o de alimentac¸a˜o de um circuito analo´gico ou pela faixa de sinais representados atrave´s de
amostras digitais.
12
4.2.2 Modulac¸a˜o Tonal e Ana´lise Fasorial
• Modulac¸a˜o tonal ocorre quando a mensagem e´ um tom, isto e´, x(t) = Am · cos(2pifmt).
• Neste caso ter´ıamos, para a modulac¸a˜o com portadora, o seguinte sinal modulado:
xAMc (t) = Ac · cos(2pifct) +
AcµAm
2
· [cos(2pi(fc + fm)t) + cos(2pi(fc − fm)t)] (43)
• Para o caso sem portadora ter´ıamos:
xDSBc (t) =
AcAm
2
· [cos(2pi(fc + fm)t) + cos(2pi(fc − fm)t)] (44)
• O espectro destes sinais esta˜o apresentados na figura 10.
fc 
f 
fc+fm fc-fm fc 
f 
fc+fm fc-fm 
(a) (b) 
𝐴𝑐𝐴𝑚𝜇
2
 
𝐴𝑐𝐴𝑚
2
 
Figure 10: Espectro de modulac¸a˜o tonal para sistemas (a)- com portadora e (b)-sem portadora.
• Estes espectros permitem gerar uma representac¸a˜o fasorial que e´ u´til para entender o que aconteceria caso
houvesse supressa˜o de uma das bandas laterais, o que sera´ u´til nas pro´ximas sec¸o˜es.
• Por exemplo, o diagrama fasorial de uma modulac¸a˜o AM com portadora por um sinal tonal tal que
Amµ =
2
3 teria o formato da figura 11-(a). Referenciando o diagrama em relac¸a˜o a` frequeˆncia fc, ter´ıamos
que a amplitude resultante da soma de fasores e´ a envolto´ria. O resultado e´ sempre um valor real, cuja
envolto´ria vale, como esperado, Ac[1 +
2
3cos(2pifmt)].
• Se o canal causa distorc¸a˜o de amplitude e remove o lo´bulo inferior (fasor com frequeˆncia fc − fm, o
diagrama fica com o formato da figura 11-(b). A soma de fasores na˜o esta´ contida no eixo real e a
envolto´ria vale:
A(t) =
[(
Ac +
1
3
Accos(2pifmt)
)2
+
(
1
3
Acsin(2pifmt)
)] 12
= Ac
√
10
9
+
2
3
cos(2pifmt)
(45)
13
• Da equac¸a˜o anterior percebe-se que a distorc¸a˜o de amplitude causada pelo canal altera distorce a en-
volto´ria, que ja´ na˜o depende linearmente da mensagem.
fm 
-fm 
1 
1
3
𝜇𝐴𝑚 
1
3
𝜇𝐴𝑚 
(a) 
fm 
1 
1
3
𝜇𝐴𝑚 
(b) 
Figure 11: Diagramas fasoriais da modulac¸a˜o AM com portadora (a)-sem distorc¸a˜o e (b)-com distorc¸a˜o. Em
verde o fasor resultante. Ambos os diagramas esta˜o referenciados na frequeˆncia fc.
4.3 Circuitos
Tendo em vista as evoluc¸o˜es tecnolo´gicas e a existeˆncia de circuitos integrados conversores de frequeˆncia, esta
sec¸a˜o do livro e´ recomendada como leitura opcional aos interessados.
4.4 Modulac¸a˜o em amplitude com supressa˜o de banda lateral
• A modulac¸a˜o AM com portadora desperdic¸a energia com a portadora e utiliza uma banda de transmissa˜o
com o dobro do tamanho da banda da mensagem.
• A modulac¸a˜o DSB elimina a portadora, sendo mais eficiente do ponto de vista de poteˆncia, mas continua
utilizando uma banda de transmissa˜o com o dobro do tamanho da banda da mensagem.
• Reduzir uma das bandas laterais (em torno de fc) reduziria a banda de transmissa˜o. Ha´ duas possibili-
dades:
– SSB (Suppressed Side Band), onde uma das bandas laterais e´ completamente eliminada.
– VSB (Vestigial Side Banda), onde um vest´ıgio de uma das bandas laterais ainda e´ permitido, o que
possui vantagens pra´ticas na demodulac¸a˜o.
• Esta modificac¸a˜o e´ poss´ıvel pois os sinais anteriores possu´ıam simetria local em torno de ±fc. Assim,
qualquer banda lateral possui a informac¸a˜o necessa´ria para reconstruir a outra e consequentemente a
mensagem transmitida.
14
Modulador 
DSB 
Filtro passa 
faixas 
𝑥(𝑡) 
𝑥𝑐
𝐷𝑆𝐵(𝑡) 
𝑥𝑐
𝑆𝑆𝐵(𝑡) 
Figure 12: Modulador SSB obtido pela concatenac¸a˜o de um modulador DSB com um filtro passa faixas.
4.4.1 Sinais e espectro SSB
• Um sinal SSB poderia ser obtido a partir de um sinal DSB utilizando o diagrama da figura 12.
• Ha´ duas possibilidades de filtros passa-faixas, resultando nas duas variantes da modulac¸a˜o SSB, especifi-
cadas para f > 0:
– USB - Upper Side Band: a faixa de frequeˆncias maior que fc e´ mantida;
– LSB - Upper Side Band: a faixa de frequeˆncias menor que fc e´ mantida;
• O sinal SSB ainda deve ser um sinal real para que possa ser transmitido. Logo, ele possui simetria
Hermitiana, o que define as faixas presentes para f < 0.
• Nas duas variantes, ter´ıamos as seguintes relac¸o˜es:
SSSBT = PSB
BSSBT = W.
(46)
• A visualizac¸a˜o de um sinal SSB em frequeˆncia e´ fa´cil. A visualizac¸a˜o no tempo na˜o e´ fa´cil. Um caminho
para a compreensa˜o e´ analisar a modulac¸a˜o tonal, que resultaria no seguinte sinal no tempo:
xSSBc (t) =
1
2
Ac ·Amcos(2pit(fc ± fm)) (47)
onde o sinal depende da variante em utilizac¸a˜o.
• A envolto´ria deste sinal e´ constante. Logo, na˜o e´ poss´ıvel determinar a mensagem exclusivamente a partir
da envolto´ria.
• Um outro caminho poss´ıvel e´ analisar o modulador em banda base equivalente. O sinal na entrada do
filtro e´:
xbp(t) = Ac · x(t) · cos(2pifct) (48)
15
o que resulta no seguinte sinal em banda baseF:
xlp(t) =
Ac · x(t)
2
↔ Xlp(f) = 1
2
X(f) (49)
• Definimos a sa´ıda do filtro em banda passante (e sinal SSB) como sendo ybp(t) = xSSBc (t).
• O filtro passa faixas, em banda passante, tem o formato da figura 13-(a), com equivalente em banda base
apresentado na figura 13-(b). O filtro em banda base na˜o e´ real. Matematicamente, ter´ıamos5:
Hlp(f) = Hbp(f + fc) · u(f + fc)
=
{
u(f)− u(f −W ) para USBu(f +W )− u(f) para LSB
=
{
1
2 (1± sgn(f)) para |f | ≤W
0 caso contra´rio
(50)
f 
f 
fl-fc 
 
fu-fc 
fc 
(a) 
(b) 
fc+W -fc -(fc+W) 
Figure 13: Mo´dulo do filtro passa faixas para gerac¸a˜o do sinal SSB, representado em (a)-em banda passante e
(b)- em banda base equivalente. Em particular, este filtro gerara´ a variante USB.
• Como X(f) = 0 para |f | < W , ter´ıamos, ao multiplicarmos em frequeˆncia:
Ylp(f) = Xlp(f) ·Hlp(f)
=
1
4
Ac[Xlp(f)± sgn(f) ·Xlp(f)]
=
1
4
Ac[Xlp(f)± jX̂lp(f)]
(51)
onde utilizamos a relac¸a˜o −j · sgn(f) ·Xlp(t) = jX̂lp(f). No tempo, esta relac¸a˜o equivale a:
ylp(t) = F−1{Ylp(f)} = 1
4
Ac[xlp(t)± x̂lp(t)] (52)
5E´ importante saber exatamente qual e´ o valor de fc utilizado para a conversa˜o de banda passante para banda base. Este valor
fica na ”‘borda”’ direita (LSB) ou esquerda (USB) do filtro, e na˜o no meio dele
16
onde x̂lp(t) e´ a Transformada de Hilbert de xlp(t)
• Para obtermos o sinal em banda passante, utilizamos a conversa˜o de banda base para banda passante, o
que resulta em:
ybp(t) = x
SSB
c (t) =
1
2
Ac[x(t) · cos(2pifct)∓ x̂(t) · sin(2pifct)] (53)
que e´ o sinal SSB desejado.
• A utilizac¸a˜o da Transformada de Hilbert pode apresentar dificuldades. Caso x(t) seja um trem de pulsos
retangulares, por exemplo, x̂(t) tenderia a infinito nos pontos de descontinuidade dos pulsos retangulares.
Assim como a transformada de Hilbert na˜o pode ser exatamente implementada, estes valores tendendo a
infinito tambe´m na˜o poderiam ser exatamente representados. O melhor que se pode fazer e´ aproximar o
ideal, resultando em supressa˜o na˜o ideal da banda lateral.
4.4.2 Gerac¸a˜o de Sinais SSB
• Um filtro passa faixas ideal como o necessa´rio para implementar a modulac¸a˜o SSB ideal Na˜o existe.
• Um filtro real atenuara´ de forma na˜o perfeita a banda na˜o desejada, o que pode ser aceita´vel dentro dos
requisitos do sistema.
• Muitos sinais pra´ticos na˜o conte´m o n´ıvel DV, o que flexibiliza a frequeˆncia de corte do filtro passa faixas.
• Por exemplo, o sinal com espectro da figura 14 possui uma regia˜o de transic¸a˜o entre fc − β ate´ fc + β.
fc 
fc-β 
f 
fc+W fc-W fc+β 
Ganho do Filtro 
R
eg
iã
o
 d
e
 t
ra
n
si
çã
o
 
Figure 14: Sinal (em azul) com regia˜o de transic¸a˜o com largura 2β. O ganho de amplitude do filtro, em verde,
decai de forma mais suave nesta regia˜o do que no caso ideal, o que pode facilitar a sua implementac¸a˜o
• Desta forma, o filtro tambe´m pode transitar da faixa de passagens para a faixa de rejeic¸a˜o (onde o ganho
e´ zero) mais suavemente.
• Na pra´tica, utiliza-se frequeˆncias intermedia´rias para implementar filtros com transic¸a˜o com largura de
2β, pois geralmente β << fc, impossibilitando a implementac¸a˜o do filtro diretamente em fc.
17
• Alternativamente, poder´ıamos utilizar a expressa˜o para o sinal SSB e gera-lo diretamente, sem a necessi-
dade de gera o sinal DSB, utilizando o modulador da figura 15, que possui a dificuldade da implementac¸a˜o
do filtro de Hilbert Hq(f).
~ 
Hq(f) 
x(t) 
X 
X 
-90o 
+ 𝑥𝑐𝑆𝑆𝐵(𝑡) 
Figure 15: Gerac¸a˜o direta de sinal SSB utilizando filtro de Hilbert.
4.4.3 Sinais e Espectro VSB
• Devido ao filtro passa faixas no limite de fc, SSB na˜o e´ uma boa escolha quando a mensagem possui
conteu´do em baixas frequeˆncias, o que equivale a dizer que o valor de β do item anterior e´ baixo ou zero.
• Uma alternativa e´ a modulac¸a˜o VSB - Vestigial Side Band, que mante´m um vest´ıgio da banda eliminada
pela modulac¸a˜o SSB.
• A resposta em frequeˆncia do filtro passa faixas seria formato qualitativo semelhante ao da figura 16-(a),
que pode ser descrito como:
H(f) = u(f − fc)−Hβ(f − fc), para f> 0 (54)
onde Hβ(f − fc) e´ o filtro VSB. Ele tem o formato qualitativo de 16-(b). Isto e´, Hβ(f) = Hβ(−f) e
Hβ(f) = 0 para |f | > β.
• O filtro VSB e´ um filtro implementa´vel de supressa˜o de banda lateral com largura 2β. A banda de
transmissa˜o e´ enta˜o:
BV SBT = W + β (55)
• Na maioria dos casos, β << W e BV SBT ≈ W . Do ponto de vista espectral e temporal, VSB e´ mais
parecido com SSB do que com DSB.
• Genericamente, qualquer sinal modulado pode ser escrito como:
xc(t) =
1
2
Ac[xi(t) · cos(2pifct)− xq(t) · sin(2pifct)] (56)
18
fc-β 
f 
fc+β fc fc-β 
f 
fc+β fc 
(a) (b) 
Figure 16: (a) Filtro utilizado para gerar sinal VSB e (b) filtro VSB
• Por exemplo, na modulac¸a˜o DSB, xq(t) = 0. Na modulac¸a˜o SSB, xq(t) = ±x̂(t). No caso VSB, temos
que:
xq(t) = x̂(t) + xβ(t) (57)
onde:
xβ(t) = 2 · j
∫ β
−β
Hβ(f) ·X(f) · exp(j2pift)df (58)
• O valor de xβ(t) foi obtido utilizando a propriedade da convoluc¸a˜o e da relac¸a˜o entre convoluc¸a˜o no tempo
e produto em frequeˆncia.
• Se β << W , enta˜o xβ(t) ≈ 0 e xq(t) ≈ x̂(t). Assim, a afirmac¸a˜o de semelhanc¸a entre SSB e VSB e´
justificada.
• Na˜o e´ fa´cil determinar a poteˆncia transmitida de um sinal VSB, mas sabemos que provavelmente deve ser
maior que a modulac¸a˜o SSB e menor do que a modulac¸a˜o DSB, dependendo do valor de β. Assim:
1
4
A2cSX ≤ SV SBT ≤
1
2
A2cSX (59)
• A modulac¸a˜o VSB como apresentada foi obtida pela passagem de um sinal DSB por um filtro espec´ıfico.
Nada impede que um sinal AM (com portadora) sepassadoada pelo mesmo filtro, o que resultaria em um
sinal com portadora atenuada, denominado VSB+C (C de carrier).
• O sinal transmitido fica enta˜o:
xV SB+Cc (t) = Ac{[1 + µx(t)] · cos(2pifct)− µxq(t) · sin(2pifct)} (60)
com termos em fase e em quadratura dados por:
xci(t) = Ac[1 + µx(t)]
xcq(t) = Acµxq(t)
(61)
19
• A envolto´ria deste sinal e´:
A(t) =
√
x2ci(t) + x
2
cq(t)
= [A2c [1 + µx(t)]
2 +A2cµ
2x2q(t)]
1
2
= A2c [1 + µ · x(t)] ·
{
1 +
µ2 · x2q(t)
[1 + µ · x(t)]2
} 1
2
(62)
• Esta equac¸a˜o tem dois fatores:
– O primeiro depende linearmente da envolto´ria
– O segundo termo pode ser interpretado como um causador de distorc¸a˜o do primeiro
• Se o valor de µ na˜o for muito grande e β for relativamente pequeno, o segundo termo acima causaria
apenas uma pequena distorc¸a˜o, o que pode ser tolera´vel. Desta forma, a envolto´ria do sinal VSB+C seria
aproximadamente linear em relac¸a˜o ao sinal, permitindo assim a detecc¸a˜o por envolto´ria.
4.5 Conversa˜o em frequeˆncia e Demodulac¸a˜o
• Modulac¸o˜es em amplitude causam deslocamento do espectro para frequeˆncias mais altas.
• A demodulac¸a˜o enta˜o exigira´ a translac¸a˜o do espectro para frequeˆncias mais baixas.
• Ha´ dois tipos de demodulac¸a˜o:
– S´ıncrona
– Ass´ıncrona.
• A conversa˜o em frequeˆncia, por sua vez, desloca o espectro de um sinal ja´ modulado para outra faixa de
frequeˆncias, na˜o necessariamente para em torno de f = 0.
• Esta conversa˜o pode ser u´til por exemplo para a utilizac¸a˜o de circuitos com caracter´ısticas espectrais
espec´ıficas, como por exemplo amplificadores, osciladores e filtros6. Tambe´m pode ser u´til para demod-
ulac¸a˜o.
4.5.1 Conversa˜o em frequeˆncia
• Considere por exemplo o sinal DSB:
xc(t) = Ac · x(t) · cos(2pif1t) (63)
• A ”‘remodulac¸a˜o”’ deste sinal resultaria em:
xc(t) · cos(2pif2t) = 1
2
Ac · x(t)[cos(2pi[f1 + f2]t) + cos(2pi[f1 − f2]t)] (64)
isto e´, o sinal agora e´ composto de duas modulac¸o˜es DSB: uma em f1 + f2 e outra em f1 − f2.
• Eliminando um dos termos atrave´s de filtros, obter´ıamos enta˜o a translac¸a˜o do sinal originalmente em
torno de f1 para em torno de f1 + f2, por exemplo.
• O nome do dispositivo que realiza este tipo de conversa˜o se chama conversor de frequeˆncia, mixer, upcon-
verter ou downconverter.
• Devido a necessidade de uma grande taxa de amostragem para representar sinais com bandas altas, esta
conversa˜o normalmente e´ feita de forma analo´gica.
20
Filtro X Saída EntradaOscilador Local 
Figure 17: Diagrama ba´sico de um conversor de frequeˆncia.
• O diagrama ba´sico de um conversor esta´ mostrado na figura 17.
• Exemplo 1: Sistema Brasileiro de Coleta de Dados Ambientais:Muitas (800) estac¸o˜es de medic¸a˜o de
varia´veis clima´ticas esta˜o distribu´ıdas no territo´rio nacional. Os dados destas estac¸o˜es sa˜o transmitidos
para o INPE atrave´s de um sate´lite (CBERS). As estac¸o˜es transmitem, por diversos motivos,as mensagens
utilizando fc ≈ 400MHz, enquanto que o sate´lite retransmite estas informac¸o˜es para a estac¸a˜o terrena
utilizando cerca de 2.3GHz.
• Exemplo 2: Retransmissor com conversa˜o de frequeˆncias, apresentado na figura 18
6 GHz 4 GHz 
6 GHz 4 GHz 
X 
X 
 
~ 
6GHz 4GHz 
4GHz 6GHz 
2GHz 
Figure 18: Me´todo para converter dois sinais ao mesmo tempo, evitando interfereˆncias na transmissa˜o ou no
circuito, utilizando um u´nico oscilador.
4.5.2 Demodulac¸a˜o s´ıncrona
• Todas as modulac¸o˜es lineares podem ser demoduladas pelo demodulador por produto apresentado na
figura 19. Este demodulador tambe´m e´ chamado de demodulador s´ıncrono, pois o seu funcionamento
exige que o oscilador local saiba exatamente a frequeˆncia e fase do oscilador do transmissor.
6Relembrando, filtros passa faixa analo´gicos normalmente tem faixa de passagem entre 1% e 10% da frequeˆncia central.
21
LPF 
B = W 
X yD(t) xc(t) 
ALOcos(2πfct+ϕLO) 
Figure 19: Diagrama gene´rico de um conversor s´ıncrono.
• Para analisar o seu funcionamento, definimos o sinal modulado abaixo, que pode representar qualquer das
modulac¸o˜es vistas neste cap´ıtulo:
xc(t) = [Kc +Kµx(t)cos(2pifct)−Kµxq(t)sin(2pifct) (65)
• Fazer Kc = 0 elimina a portadora. Fazer xq(t) = 0 gera o sinal DSB.
• A passagem deste sinal gene´rico pelo demodulador produto gera o sinal :
xc(t) ·ALOcos(2pifct) = ALO
2
{[Kc +Kµx(t)] + [Kc +Kµx(t)cos(2pifct)−Kµxq(t)sin(4pifct)} (66)
• O filtro passa baixas elimina os termos em 2fc, resultando em:
yD(t) = KD[Kc +Kµx(t)] (67)
onde KD e´ uma constante de demodulac¸a˜o que depende do n´ıvel do sinal recebido e do ganho do filtro
passa baixas na faixa de passagem.
• Um filtro passa altas eliminaria a constante Kc
• Este me´todo tambe´m funcionaria para a modulac¸a˜o VSB, como visualizado na figura 20
• Este me´todo parece fa´cil mas exige o conhecimento de duas grandezas na˜o dispon´ıveis na recepc¸a˜o: a
frequeˆncia central e a fase exata do sinal recebido. Determinar estas varia´veis e´ dif´ıcil, em particular
para os casos SSB e VSB. Soluc¸o˜es como PLL e Costas Loop sa˜o utilizadas, o que adiciona complexidade
no receptor. Um esquema que introduz um mecanismo gene´rico de sincronismo esta´ na figura 21. O
sincronismo e´ extremamente importante na transmissa˜o de dados digitais: a sua auseˆncia pode inviabilizar
a comunicac¸a˜o.
• O efeito da auseˆncia de sincronismo pode ser observado considerando a modulac¸a˜o DSB tonal, o que
resultaria em:
yD(t) = KDcos(2pifmt) · cos(2pif ′t+ φ′) (68)
onde f ′ = fc − fLO e φ′ = φc − φLO.
22
f=0 
Sinal SSB 
Após Filtragem 
fc 
f 
f 
2fc -2fc -fc 
Figure 20: Visualizac¸a˜o do processo de demodulac¸a˜o para sinais VSB, utilizando demodulac¸a˜o s´ıncrona. A
combinac¸a˜o das duas partes em torno de f = 0 se complementam pois Hβ(f) = −Hβ(−f)
• Se φ′ = 0 temos:
yD(t) =
KD
2
[cos(2pit[fm + f
′] + cos(2pit[fm − f ])] (69)
isto e´, o sinal recebido sera´ semelhante a um instrumento sendo afinado (como por exemplo um violino
ou guitarra). Para f ′ pequeno, o sinal desaparecera´ e reaparecera´ no tempo, na medida em que os dois
cossenos acima se combina de forma aproximadamente destrutiva ou construtiva.
• Se f ′ = 0 temos:
yD(t) = KDcos(2pifmt) · (cos(φ′) (70)
isto e´, o erro de fase atenua o sinal. No caso extremo quando φ′ = ±pi, o sinal desaparecera´ por completo.
• Para o caso SSB ou VSB, um erro de estimac¸a˜o de frequeˆncia causara´ um desvio constante de frequeˆncia.
Se houver va´rios tons em harmonia entre si, o deslocamento constante causara´ uma desafinac¸a˜o. Subje-
tivamente, erros de ate´ 10Hz sa˜o tolera´veis, dependendo da sensibilidade de um ouvinte, por exemplo.
• Um erro de fase causaria, para SSB ou VSB, distorc¸a˜o de fase. Dentro de limites, esta distorc¸a˜o pode ser
aceita´vel.
4.5.3 Demodulac¸a˜o ass´ıncrona - Detector de envolto´ria
• A demodulac¸a˜o da modulac¸a˜o AM na˜o exige sincronismo pois, na˜o havendo inversa˜o de fase, a envolto´ria
conte´m a mensagem. Como a envolto´ria independe de fc ou de φc, estes na˜o precisariam ser estimados.
Assim, basta detectar a envolto´ria para recuperar a mensagem.
• O caminho contra´rio desta lo´gica e´ que o detector de envolto´ria so´ consegue demodular corretamente
sinais sem inversa˜o de fase, isto e´, com portadora.
• Um detector simples esta´ apresentado na figura 22, que nada mais e´ do que um circuito retificador
concatenado com dois filtros, um passa baixas e outro passa altas.
23
Filtro X Saída Entrada 
Sincronizador 
 
~ 
fLO, 
ϕLO 
Figure 21: Esquema gene´rico para demodulac¸a˜o s´ıncrona com sincronizador
Figure 22: Circuito detector de envolto´ria simples. Um circuito melhor utilizaria um retificador de onda
completa.
• Se W << 1R1C1 << fc, o filtro passa baixas so´ responde a variac¸o˜es na envolto´ria do sinal de entrada.
• O filtro passa altas elimina o termo DC.
• Apesar do diodo ser um elemento Na˜o linear, este detector de envolto´ria e´ chamado de linear pois a sa´ıda
depende linearmente da envolto´ria do sinal de entrada.
• Modulac¸o˜es DSB e SSB tambe´m poderiam ser detectados utilizando este detector, desde que a portadora
seja reintroduzida. Isto, entretanto, exige o conhecimento exato da fase e frequeˆncia do sinal de entrada.,
na˜o eliminando portanto a necessidade de sincronismo.
• Este circuito retificador esta´ presente em va´rios equipamentos que na˜o desejam receber sinais AM. Por
conta disso e´ que ha´ interfereˆncia.
• O processo de demodulac¸a˜o esta´ representado graficamente na figura 23.
• O detector de envolto´ria tambe´m pode ser utilizado para o controle automa´tico de ganho, se o n´ıvel do
sinal variar lentamente.
24
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-2
-1
0
1
2
x
cA
M
(
t)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.5
1
1.5
2
|x
cA
M
(
t)
|
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
-0.5
0
0.5
1
E
n
v
o
lt
ó
r
ia
 -
 m
é
d
ia
Figure 23: Visualizac¸a˜o do processo de demodulac¸a˜o ass´ıncrona para sinais AM, no tempo
4.6 Exerc´ıcios
Questo˜es conceituais 1,2,4,5,6,7,8,9,10, 15.
Problemas 4.1.1 4.1.4. 4.1.6. 4.1.12 4.1.15 4.2.1 4.2.2 4.2.4 4.2.6 4.2.9 4.2.11 4.4.1
4.4.2 4.4.4 4.4.9 4.4.13 4.4.13 4.5.1 4.5.6 4.5.7 4.5.10 4.5.11,
25