Transmissão de Sinais e Filtragem - Instituto Tecnológico de Aeronáutica

Prévia do material em texto

ELE-31 Princ´ıpios de Telecomunicac¸o˜es
Prof. Manish Sharma
September 9, 2015
3 Transmissa˜o de Sinais, Filtros
O objetivo deste cap´ıtulo e´ que, ao final dele, possamos modelar e analisar as alterac¸o˜es sobre os sinais provocadas
por:
• transmissa˜o do sinal atrave´s de um canal;
• manipulac¸o˜es propositais do sistema (filtragem);
atrave´s da resposta ao impulso de um sistema, no tempo e em frequeˆncia. Apresentamos tambe´m o conceito de
densidade espectral de espectral e como esta se comporta atrave´s de um sistema.
3.1 Resposta de sistemas LTI Linear Time Invariantes)
• Um sistema e´ uma caixa preta com
– x(t) = sinal de entrada ;
– y(t) = sinal de sa´ıda.
• A grandeza destes sinais depende do contexto
• Um sistema e´ definido pela relac¸a˜o entre entrada e sa´ıda, definida genericamente como a aplicac¸a˜o do
operador F a` entrada.
Sistema 
F[] 
x(t) y(t) 
Figure 1: Sistema
1
3.1.1 Resposta ao Impulso e Integral por Superposic¸a˜o
• Se o sistema na˜o possui nenhuma energia armazenada, a relac¸a˜o entrada/sa´ıda pode ser escrita como:
y(t) = F[x(t)] (1)
onde F e´ um operador que relaciona a entrada com a sa´ıda.
• Para um sistema ser LTI, ele deve ser Linear e TI (time invariant- invariante no tempo.)
• A parte da linearidade exige que, se x(t) =
∑
k
akxk(t)c, com ak, constantes, enta˜o:
y(t) =
∑
k
akF[xk(t)] (2)
• A parte de invariabilidade no tempo exige que:
F[x(t− td)] = y(t− td) (3)
isto e´, um deslocamento no tempo na entrada causa somente o mesmo deslocamento na sa´ıda.
• Sistemas com elementos discretos combinados (resistor, capacitor, indutor) geram equac¸o˜es do tipo:
an
dny(t)
dtn
+ · · ·+ a1 dy(t)
dt
+ a0y(t) = bm
dmx(t)
dtm
+ · · ·+ b1 dx(t)
dt
+ b0x(t) (4)
com constantes que dependem dos valores dos elementos discretos.
• o valor de n depende do nu´mero de elementos que armazenam energia
• E´ dif´ıcil de obter uma expressa˜o direta para y(t) em func¸a˜o da entrada sem recorrer ao fato de que este
sistema e´ LTI.
• Uma relac¸a˜o expl´ıcita entre entrada e sa´ıda vem da resposta ao impulso h(t), definida como:
h(t) , F[x(t) = δ(t)] (5)
• Como qualquer sinal cont´ınuo x(t) pode ser escrito como x(t) = x(t) ∗ δ(t), temos que, para qualquer x(t)
cont´ınuo, a sa´ıda pode ser escrita como:
y(t) = F[x(t)]
= F[x(t) ∗ δ(t)]
= F[
∫ ∞
−∞
x(λ)δ(t− λ)]dλ
Usando a propriedade da linearidade e sendo x(λ) constantes,
=
∫ ∞
−∞
x(λ)F[δ(t− λ)]]dλ
Usando a propriedade de invariaˆncia no tempo,
=
∫ ∞
−∞
x(λ)h(t− λ)dλ
=
∫ ∞
−∞
h(λ)x(t− λ)dλ
= x(t) ∗ h(t)
(6)
• A u´ltima integral e´ a integral por superposic¸a˜o
• Para analisarmos um sistema precisamos enta˜o de h(t)
2
• Dado um sistema, e´ fisicamente imposs´ıvel gerar um impulso como δ(t) e´ definido. Determinac¸a˜o de h(t)
pode ser feita utilizando uma entrada x(t) = u(t), o que gera uma sa´ıda g(t):
g(t) , F[x(t) = u(t)]⇒ h(t) = dg(t)
dt
F (7)
pois
d
dt
[v(t) ∗ w(t)] = v(t) ∗ dw(t)
dt
(8)
• Exemplo: Resposta de um sistema de ordem um:
– Entrada e´ tensa˜o x(t), sa´ıda e´ tensa˜o y(t).
– Qual e´ a sa´ıda quando a entrada e´ um pulso retangular com amplitude A e largura τ?
– Equac¸a˜o do sistema (tensa˜o):
RC
dy(t)
dt
+ y(t) = x(t) (9)
– Quando a entrada e´ um degrau u(t), a sa´ıda e´ encontrada como sendo g(t) =
(
1− exp
(
− t
RC
))
u(t).
– Logo, a resposta ao impulso e´
h(t) =
dg(t)
dt
=
1
RC
exp
(
− t
RC
)
(10)
– A resposta do sistema para qualquer entrada x(t) pode agora ser obtida via convoluc¸a˜o.
– Para o pulso retangular em questa˜o: a sa´ıda e´ definida por treˆs equac¸o˜es:
y(t) =

0, t < 0
A
(
1− exp
(
− t
RC
))
, 0 < t < τ
A
(
1− exp
(
− τ
RC
))
· exp
(
− t− τ
RC
)
, t > τ
(11)
R 
C
 
x(t) y(t) 
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.5
1
x(
t)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.5
1
g
(t
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.5
1
h
(t
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.5
1
t
y(
t)
Figure 2: Sistema de ordem um do exemplo.
3
3.1.2 Func¸a˜o de Transfereˆncia e Resposta ao Impulso
• Na presenc¸a de um sistema, a ana´lise temporal dos sinais pode ficar mais complicada.
• Ana´lise em frequeˆncia fornece geralmente perspectiva melhor
• Ana´lise pode ser feita via func¸a˜o de transfereˆncia, definida como :
H(f) ,
∫ ∞
−∞
h(t)exp(−j2pift)dt (12)
isto e´, a TF da resposta ao impulso no tempo, quando existir.
• Se h(t) for real enta˜o H(f) tera´ simetria Hermitiana
• Para interpretar H(f), vamos supor que a entrada e´ x(t) = Axexp(jφx)exp(j2pif0t), para −∞ < t < ∞
que e´ um fasor com fase φx e frequeˆncia f0. Assim:
y(t) = x(t) ∗ h(t)
=
∫ ∞
−∞
h(λ)Axexp(jφx)exp(j2pif0(t− λ))dλ
= Axexp(jφx)exp(j2pif0t)
∫ ∞
−∞
h(λ)exp(−j2pif0λ)dλ
= Axexp(jφx)exp(j2pif0t)H(f0)
(13)
• Escrevendo H(f0) = |H(f0)|exp(j · arg[H(f0)], ter´ıamos y(t) = Ayexp(jφy)exp(j2pif0t), onde Ay =
Ax|H(f0)| e φy = φx + arg[H(f0).
• Como AyAx = |H(f0)|, |H(f)| e´ o ganho em amplitude do sistema em func¸a˜o da frequeˆncia
• Como φy − φx = arg[H(f0)], arg[H(f)], e´ o desvio de fase do sistema em func¸a˜o da frequeˆncia
• Logo, H(f) e´ a resposta em frequeˆncia do sistema
• Seja x(t)↔ X(f). Como y(t) = x(t) ∗ h(t), temos, pelo teorema da convoluc¸a˜o, que:
Y (f) = X(f)H(f) (14)
onde Y (f) e´ o espectro da sa´ıda, obtido como o produto do espectro de entrada X(f) com a func¸a˜o de
transfereˆncia H(f).
• Alternativamente, |Y (f)| = |X(f)||H(f)| e arg[Y (f)] = arg[X(f)] + arg[H(f)]
• Se x(t) tem energia finita, podemos obter a energia de y(t) via:
Ey =
∫ ∞
−∞
|Y (f)|2df =
∫ ∞
−∞
|H(f)|2|X(f)|2df (15)
• Quando x(t) = δ(t), X(f) = 1, uma constante em todas as frequeˆncias. Neste caso, Y (f) = H(f)
• Resumindo, temos as relac¸o˜es dadas pela figura 3:
• Podemos obter H(f), sem envolver h(t)
• Quando sabemos a equac¸a˜o diferencial relacionando a entrada e sa´ıda, temos F:
H(f) =
bm(j2pif)
m + · · ·+ b1(j2pif) + b0
an(j2pif)n + · · ·+ a1(j2pif) + a0 (16)
4
h(t) x(t) y(t)=x(t)*h(t) 
X(f) H(f) Y(f)=X(f)∙H(f) 
domínio do tempo 
domínio de frequência 
Figure 3: Relac¸a˜o entre varia´veis.
• Um outro caminho e´ calcular o estado estaciona´rio do sistema em resposta a um fasor, o que nos permitiria
obter a relac¸a˜o entre amplitudes e fases entre sa´ıda e entrada. Por exemplo, se a entrada de um sistema
for um fasor com fase e frequeˆncia conhecida, a sa´ıda sera´, apo´s um tempo muito grande, um fasor com
fase e frequeˆncia mensura´vel.
• Exemplo: Resposta em frequeˆncia de um sistema com ordem 1
– O mesmo sistema do exemplo anterior pode ser visto como duas impedaˆncias Zr e Zc em se´rie, a
sa´ıda sendo a tensa˜o sobre Zc.
– A sa´ıda y(t) tem relac¸a˜o estaciona´ria com a entrada dada pelo divisor de tensa˜o formado, que tem
equac¸a˜o:
y(t) = x(t)·ZcZr+Zc
y(t)
x(t)
=
Zr
Zr + Zc
=
1
j2pifC
R+ 1j2pifC
=
1
1 + j2pifCR
=
1
1 + j
(
f
B
) = H(f)
(17)
onde B , 12piRC e´ o paraˆmetro do sistema
– O ganho em amplitude e desvio de fase sa˜o:
|H(f)| = 1√
1 + (f/B)2
arg[H(f)] = −arctan(f/B)
(18)
– Este sistema e´ um filtro passa baixas com paraˆmetro B pois o ganho e´ praticamente unita´rio para
f << B e muito baixo (<< 1) para f >> B
– O paraˆmetro B e´ uma medida de banda de passagem, ou seja, quais frequeˆncias este sistema permite
passar por ele.
5
Operac¸a˜o no tempo Expressa˜o no tempo Func¸a˜o de transfereˆncia
Multiplicac¸a˜o por escalar y(t) = ±Kx(t) H(f) = ±K
Derivada y(t) = dx(t)dt H(f) = (j2pif)
Integrac¸a˜o y(t) =
∫ t
−∞ x(t)dt H(f) = (j2pif)
−1
Deslocamento no tempo y(t) = x(t− td) H(f) = exp(−j2piftd)
Table 1: Relac¸o˜es entreoperac¸o˜es e Func¸o˜es de transfereˆncia
– Se a entrada x(t) e´ um sinal com banda W , isto e´, o conteu´do espectral e´ desprez´ıvel para |f | > W ,
enta˜o ha´ treˆs cena´rios poss´ıveis:
1. W << B → H(f) ≈ 1 e arg[H(f)] ≈ 0. Assim, Y (f) = H(f) · X(f) ≈ X(f) e o sinal na˜o e´
distorcido. A sa´ıda tem o formato de x(t).
2. W ≈ B, enta˜o Y (f) = H(f) ·X(f) 6= X(f) e ha´ distorc¸a˜o. A sa´ıda tem na˜o tem o formato nem
de x(t) ou de y(t)
3. W >> B . Dentro da banda B do sistema, X(f) ≈ X(0), isto e´, o espectro X(f) varia
pouco dentro da banda B e pode ser aproximado pelo seu valor em f = 0. Assim, Y (f) =
H(f) · X(f) ≈ H(f) · X(0). Nesta situac¸a˜o, X(0) pode ser aproximado por um impulso no
tempo. Logo, y(t) , x(t) ∗ h(t) ≈ δ(t) ∗ h(t) = h(t). A sa´ıda tem o formato de h(t).
3.1.3 Ana´lise por diagrama de Blocos
• Sistemas podem ser obtidos e/ou analisados por blocos menores representando equac¸o˜es mais simples:
• E´ poss´ıvel combinar blocos para obter resposta do sistema
• Por hipo´tese, juntar blocos na˜o altera as respostas dos mesmos, o que na˜o e´ sempre va´lido na pra´tica por
causa das interac¸o˜es de impedaˆncia de entrada e sa´ıda com o comportamento do bloco.
• Algumas combinac¸o˜es poss´ıveis:
– Ligac¸a˜o em paralelo : H(f) = H1(f) +H2(f)
– Ligac¸a˜o em se´rie: H(f) = H1(f) ·H2(f)
– Realimentac¸a˜o (negativa):
Y (f) = H1(f)[X(f)−H2(f)Y (f)
Y (f) = X(f)
[
H1(f)
1 +H1(f) ·H2(f)
]
(19)
Logo, H(f) =
H1(f)
1 +H1(f) ·H2(f)
3.2 Distorc¸a˜o de Sinais durante Transmissa˜o
• Um canal e´ um sistema de transmissa˜o que:
– dissipa energia, causando atenuac¸a˜o;
– Acumula energia, causando alterac¸a˜o no formato dos sinais que passam por ele
• Assumindo que o canal e´ um sistema LTI (nem sempre verdade), quando na˜o havera´ distorc¸a˜o?
6
H1(f) 
H2(f) 
H1(f) 
H2(f) 
H1(f) H2(f) 
Ligação em Série 
Ligação em Paralelo Realimentação negativa 
+ 
+ 
+ 
- 
Figure 4: Ligac¸o˜es poss´ıveis
3.2.1 Transmissa˜o sem Distorc¸a˜o
• Dado x(t), y(t) e´ uma versa˜o na˜o distorcida de x(t) se:
y(t) = K · x(t− td) (20)
isto e´, se x(t) sofre somente um atraso no tempo e uma multiplicac¸a˜o por um escalar, ambos constantes.
• Em frequeˆncia a relac¸a˜o anterior equivale a:
Y (f) = K ·X(f) · exp(−j2piftd) (21)
isto e´:
– A resposta em amplitude e´ constante
– O desvio de fase e´ linear em f e vale −2piftd ± 180o
• E´ necessa´rio que o sistema H(f) tenha estas propriedades somente na faixa de frequeˆncia de interesse,
pois fora dela o sinal de entrada na˜o existe
• Sistemas que na˜o respeitam esta regra podem causar distorc¸a˜o, que podem ser classificadas em :
– Distorc¸a˜o em amplitude: |H(f)| 6= K
– Distorc¸a˜o em fase: arg[H(f)] 6= −2piftd ± 180o
– Distorc¸a˜o na˜o linear, como por exemplo um diodo. Este tipo de distorc¸a˜o pode gerar conteu´do
energe´tico em frequeˆncias que o sinal originalmente na˜o ocupa.
3.2.2 Distorc¸a˜o Linear
• Inclui a distorc¸a˜o de amplitude e distorc¸a˜o de fase:
• A distorc¸a˜o de amplitude e´ causada por:
– Excesso de atenuac¸a˜o ou amplificac¸a˜o de algumas frequeˆncias
– Resposta desproporcional
7
• Na maioria dos casos, e´ suficiente que a resposta em amplitude do sistema seja plana em amplitude na
faixa de interesse
• Exemplo:
– x(t) = cos(2pif0t)− 1
3
cos(6pif0t) +
1
5
cos(10pif0t)
– O resultado e´ uma onda aproximadamente quadrada
– Atenuac¸a˜o em baixa frequeˆncia afeta termo em f0, resultando em uma onda quadrada que na˜o
consegue manter o seu n´ıvel
– Atenuac¸a˜o em alta frequeˆncia afeta termo em 5f0, resultando em uma onda que sobe lentamente.
– A onda original e as duas verso˜es atenuadas esta˜o na figura 5
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 
-1 
-0.5 
0 
0.5 
1 
x
(t
) 
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 
-0.5 
0 
0.5 
S
em
 t
er
m
o
 e
m
 f
 0 
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 
-1 
-0.5 
0 
0.5 
1 
t 
S
em
 t
er
m
o
 e
m
 5
f 0
 
Figure 5: Resultado de eliminac¸a˜o seletiva de termos da Se´rie de Fourier de uma onda aproximadamente
quadrada
• A distorc¸a˜o de fase acontece quando o desvio de fase na˜o e´ linear em func¸a˜o da frequeˆncia.
• Para um sinal x(t) = cos(2pift), um atraso em td resultaria em y(t) = x(t − td) = cos[(2pif)(t − td)] =
cos(2pift− 2piftd). Logo, o atraso de fase e´ φ(f) = −2piftd.
• O valor de td pode variar em func¸a˜o de f .
• Assim, se H(f) causa um desvio de fase, a func¸a˜o que relaciona td em func¸a˜o de f e arg[H(f)] e´:
td(f) =
arg[H(f)]
2pif
(22)
• Para que na˜o haja distorc¸a˜o, o atraso temporal em todas as frequeˆncias deve ser o mesmo, isto e´, td(f)
deve ser constante. Caso isto seja verdade, o desvio de fase do sistema sera´ linear em f .
• Ha´ uma grande diferenc¸a entre dizer que td(f) e´ constante e dizer que φ(f) e´ constante. No segundo caso,
temos um atraso de fase constante, o que causa distorc¸a˜o.
8
• Exemplo:
– Sinal : x(t) = cos(2pif0t)− 12cos(4pif0t)
– Atraso de fase constante de pi/2, resultando em x′(t) = cos(2pif0t+ pi/2)− 12cos(4pif0t+ pi/2), como
mostra a figura 6
– No sinal original, os picos na˜o coincidem.
– No sinal distorcido, os picos coincidem. Logo, ha´ alterac¸a˜o de formato
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x(t
)
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-2
-1
0
1
2
t
x(t
)'
Figure 6: Resultado de adic¸a˜o de fase constante a cada um dos termos de um sinal perio´dico. Em azul o sinal
resultante.
• Em algumas situac¸o˜es, o atraso de fase pode ser linear em torno de um ponto central. Neste caso, para
um canal com resposta em frequeˆncia plana, a equac¸a˜o da resposta e´ do tipo:
H(f) = A · exp(−j2piftg + jφ0) (23)
• Neste caso arg[H(f)] = −2piftg + φ0.
• Para um sinal modulado transmitido to tipo:
x(t) = x1(t)cos(2pifct)− x2(t)sin(2pifct) (24)
a informac¸a˜o esta´ nas func¸o˜es x1(t) e x2(t), enquanto que o seno e o cosseno esta˜o portando a informac¸a˜o
e sa˜o chamadas de portadoras.
• Este sinal, ao passar pelo sistema com resposta acima, resultaria em:
y(t) = Ax1(t− tg)cos(2pifc(t− tg) + φ0)−Ax2(t− tg)sin(2pifc(t− tg) + φ0) (25)
onde o termo φ0 foi absorvido pelas portadoras.
• Assim, a informac¸a˜o foi atrasada em tg, denominado atraso de grupo ou atraso de envolto´ria.
9
• A portadora foi atrasada em td = −φ02pifc , que e´ o atraso de fase
• Para ser poss´ıvel recuperar a informac¸a˜o sem distorc¸a˜o, tg deve ser constante.
• Pelas equac¸o˜es anteriores,:
arg[H(f)] = −2piftg + φ0
dφ(f)
df
= −2pitg
tg = − 1
2pi
dφ(f)
df
(26)
• O u´ltimo termo deve ser constante dentro da faixa de interesse, o que e´ uma restric¸a˜o menor do que a
restric¸a˜o de que td deve ser constante
• Para resolver o problema de distorc¸a˜o linear, podemos utilizar em algumas situac¸o˜es um equalizador
• Um dos me´todos e´ utilizar um sistema com resposta em frequeˆncia igual a H(f)−1. Este me´todo e´
chamado Zero Forcing Equalizer
• As vezes H(f) na˜o e´ conhecido ou varia no tempo, lentamente ou rapidamente. Neste caso podemos
utilizar um equalizador adaptativo ou algum outro tipo de soluc¸a˜o.
• Distorc¸o˜es na˜o lineares geram harmoˆnicos. Se estes estiverem na banda do sinal, eles interferira˜o de forma
possivelmente irrevers´ıvel.
3.3 Perdas de transmissa˜o e Decibe´is
Leitura para casa.
3.4 Filtros e Filtragem
• Na pra´tica todo sistema de comunicac¸a˜o tem filtros para:
– Isolar o sinal desejado
– Eliminar interfereˆncias
– Reduzir ru´ıdo ao mı´nimo
– Outras atividades
• Ha´ filtros reais, que podem ser implementados de forma causal e resultando em atraso finito, e ideais, que
na˜o podem.
• O entendimento de filtros ideais ajuda a entender filtros reais e as implicac¸o˜es de suas limitac¸o˜es.
3.4.1 Filtros Ideais
•Na˜o causam distorc¸a˜o numa faixa de frequeˆncias
• Tem ganho igual a zero nas outras faixas
• Por exemplo, um filtro passa faixas (BPF - Band Pass Filter) teria a seguinte resposta em frequeˆncia:
HBPF (f) =
{
Kexp(−j2piftd), fl ≤ |f | ≤ Fu
0, c.c
(27)
o que equivale ao formato das figura 7.
• A banda passante e´ definida como B , fu − fl, medido por convenc¸a˜o somente nas frequeˆncias positivas.
10
fl 
f 
B 
fu 
|H(f)|=K 
arg[H(f)]=exp(-j2πftd) 
Figure 7: Resposta em frequeˆncia de um filtro BP ideal.
• Um filtro passa baixas (LPF) tem fl = 0, resultando na resposta em frequeˆncia:
HLPF (f) =
{
Kexp(−j2piftd), |f | ≤ B
0, c.c
(28)
• Um filtro passa altas (HPF) teria fu =∞, resultando na resposta em frequeˆncia:
HHPF (f) =
{
Kexp(−j2piftd), |f | > fl
0, c.c
(29)
• Tambe´m podemos utilizar o filtro rejeitor de faixa (BRF - Band Reject Filter), que e´ definido como:
HBRF (f) =
{
0, fl ≤ |f | ≤ Fu
Kexp(−j2piftd), c.c
(30)
• Nenhum destes filtros e´ fisicamente realiza´vel, isto e´, na˜o podem ser implementados com recursos finitos.
• Por exemplo, um filtro LPF com resposta em frequeˆncia:
H(f) = K · exp(−j2piftd)Π
(
f
2B
)
(31)
teria como resposta ao impulso:
h(t) = F−1{H(f)} = 2 ·B ·K · sinc[2B(t− td)]F (32)
• Assim, h(t) 6= 0 para t < 0, o que o torna na˜o causal. O sistema teria que responder ao impulso antes dele
acontecer. Na˜o poder´ıamos tornar o filtro causal aumentando o atraso td pois a durac¸a˜o de h(t) tambe´m
e´ infinita. Logo, este filtro e´ fisicamente imposs´ıvel.
11
• Embora estes filtros seja impratica´veis, eles sa˜o u´teis para analisar filtros reais. Tambe´m servem como
refereˆncia para desempenho de filtros reais.
• Alguns filtros reais podem ser aproximados muito bem por estes filtros ideais.
• Neste curso utilizaremos filtros ideais.
3.4.2 Sinais limitados no tempo ou em frequeˆncia
• Um sinal v(t) e´ limitado em frequeˆncia se V (f) = 0 para |f | > W , para algum valor de W .
• Um sinal v(t) e´ limitado no tempo se v(t) = 0 para t < t1, t > t2 e t1 < t2, isto e´, o sinal comec¸a em t1 e
termina em t2.
• Ao filtrar um sinal limitado no tempo utilizando um filtro ideal, o sinal resultante na˜o e´ limitado no
tempo, pois ele e´ obtido pela convoluc¸a˜o de um sinal limitado no tempo com um sinal ilimitado no tempo
(sinc)
• Pela propriedade da dualidade, ao limitar um sinal idealmente no tempo, o sinal resultante sera´ ilimitado
em frequeˆncia.
• A conclusa˜o e´ que a limitac¸a˜o simultaˆnea de um sinal no tempo e em frequeˆncia e´ imposs´ıvel.
• Por outro lado, conteu´do (energia) ale´m de um certo limite (de tempo ou frequeˆncia) pode ser neglig´ıvel.
• Assim, um sinal pode ser aproximadamente limitado no tempo e em frequeˆncia ao mesmo tempo.
3.5 Filtros de Quadratura e Transformada de Hilbert
• U´teis quando desejamos separar sinais pela fase.
• Sera˜o utilizados na modulac¸a˜o AM
• O filtro de quadratura:
– adianta em 90o frequeˆncias negativas
– adianta em −900 frequeˆncias positivas
• Em frequeˆncia esta definic¸a˜o equivale a F:
Hq(f) = −j · sgn(f) =
{
−j, f > 0
j, f < 0
(33)
• No tempo, partindo da transformada de Fourier da func¸a˜o sinal1, a definic¸a˜o acima equivale a:
Hq(f) = −j · sgn(f)↔ − 1
pit
= hq(t) (34)
• Quando y(t) = x(t) ∗ hq(t), dizemos que y(t) e´ a transformada de Hilbert (TH) de x(t), notac¸a˜o xˆ(t)2:
xˆ(t) , x(t) ∗ 1
pit
=
1
pi
∫ ∞
−∞
x(λ)
t− λdλ (35)
• Embora chamemos esta operac¸a˜o de transformada, o domı´nio de xˆ(t) continua sendo o tempo.
1sng(t)↔ 1
jpif
2Esta definic¸a˜o pode conter ou na˜o o sinal negativo, que utilizamos e adotamos por convenc¸a˜o. Caso o sinal na˜o esteja presente,
o resultado sera´ o inverso. Entretanto, no escopo deste curso e na maioria dos livros de Telecomunicac¸o˜es, o sinal negativo sera´
utilizado.
12
• O ca´lculo desta integral e´ complicado, em particular quando t = λ.
• hq(t) e´ na˜o causal. Logo, na˜o e´ realiza´vel. Pode ser aproximado.
• Propriedades u´teis desta transformada:
– x(t) e xˆ(t) tem a mesma amplitude em frequeˆncia pois | − j · sgn(f)| = 1
– Se xˆ(t) e´ a TH de x(t), enta˜o −x(t) e´ a TH de xˆ(t). F
– x(t) e xˆ(t) sa˜o ortogonais, isto e´,
lim
T→∞
x(t)xˆ(t)dt = 0 (36)
• Exemplo: TH de um cosseno:
– Sinal x(t) = Acos(2pifct)
X(f) =
A
2
[δ(f − fc) + δ(f + fc)]
Xˆ(f) = −jA
2
[δ(f − fc) + δ(f + fc)]sgn(f)
= −jA
2
[δ(f − fc)− δ(f + fc)]
(37)
– Assim, xˆ(t) = Asin(2pifct). Este resultado pode ser utilizado para qualquer o ca´lculo da TH de
qualquer sinal perio´dico.
• Exemplo: TH de um pulso retangular.
– x(t) = A[u(t)− u(t− τ)]
– A integral pode ser calculada para treˆs regio˜es, como mostra a figura 8
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-0.5
0
0.5
1
1.5

x( )
, h(
-( -
t))
A 
B 
C 
t t 
2t τ 
Figure 8: Sobreposic¸a˜o de x(λ)(azul) com h(t− λ)(preto)
13
– Para 0 < t < τ2 , a a´rea A cancela a a´rea B, e a TH se reduz ao ca´lculo da a´rea C:
xˆ(t) =
1
pi
∫ ∞
−∞
x(λ)
t− λdλ
=
∫ τ
2t
A
pi
1
t− λdλ
= −A
pi
ln[t− λ]
∣∣∣∣τ
2t
=
A
pi
ln
[
t
τ − t
]
(38)
– Para τ2 < t < τ , a situac¸a˜o e´ semelhante, resultando na mesma integral com limites de 0 a τ − 2t
– Para t < 0 ou t > τ2 , na˜o ha´ cancelamento de a´reas, mas ha´ uma u´nica parte da integral:
xˆ(t) =
A
pi
∫ τ
0
1
t− λdλ
=
A
pi
ln
[∣∣∣∣ tt− τ
∣∣∣∣] (39)
– O sinal resultante esta´ na figura 9.
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
t
x(t
);x^
(t)
Figure 9: Resultado da transformada de Hilbert de x(t).
– Os instante onde xˆ(t) vai para infinito sa˜o os extremos de distorc¸a˜o de fase. Isto pode ser interpretado
como o instante em que os picos amplitude de todos os termos da Transformada de Fourier se
combinam de forma construtiva no tempo, enquanto que no sinal original o que ocorre e´ a combinac¸a˜o
de todas as ”‘bordas”’ dos termos da Transformada de Fourier para causar a descontinuidade no
tempo.
3.6 Correlac¸a˜o e Densidade Espectral
• Permitem analisar va´rios tipos de sinais, inclusive sinais aleato´rios
14
3.6.1 Correlac¸a˜o de sinais de poteˆncia
• Sinais de poteˆncia na˜o precisam necessariamente serem reais ou perio´dicos, mas precisam ter 0 < Pv <∞,
onde:
Pv ,< |v(t)|2 >=< v(t) · v(t)∗ > (40)
onde <> indica a me´dia e v(t)∗ e´ o complexo conjugado de v(t)
• Propriedades da me´dia <>F:
– < z(t)∗ >=< z(t) >∗
– < z(t− td) >=< z(t) >,∀td
– < a1z1(t) + a2z2(t) >= a1 < z1(t) > +a1 < z1(t) >
• Se v(t) e w(t) sa˜o sinais de poteˆncia, o produto escalar deles e´ < v(t) ·w∗(t) > e serve como uma medida
de similaridade entre eles.
• Esta medida vem da desigualdade de Schwarz, que diz:
| < v(t) · w∗(t) > |2 ≤ Pv · Pw (41)
• com igualdade se v(t) = aw(t), com a constante, i.e., sinais sa˜o proporcionais.
• A correlac¸a˜o cruzada e´ definida como sendo:
Rvw(τ) ,< v(t) · w∗(t− τ) >=< v(t+ τ) · w ∗ (t− τ) > (42)
isto e´, o produto escalar de um sinal com o outro conjugado de outro sinal adiantado em τ → varia´vel
independente.
• E´ uma medida de semelhanc¸a entre v(t) e w∗(t− τ).
• Versa˜o ”‘aproximada”’ do produto escalar. Temos tambe´m que Rvw(τ = 0) ,< v(t) · w∗(t) >
• Tambe´m podemos definir a correlac¸a˜o cruzada para sinais aleato´rios de poteˆncia. Neste caso, ter´ıamos,
para v(t) e w(t) aleato´rios:
Rvw(τ) , E{v(t) · w(t− τ)∗} (43)
onde E{v(t)} indica a esperanc¸a de v(t), para todas as realizac¸o˜es poss´ıveis.3
• Propriedades:
– |Rvw(τ)|2 ≤ PvPw
– Rvw(τ) = R
∗
vw(−τ)
• A autocorrelac¸a˜o e´ a correlac¸a˜o de um sinal com ele mesmo, atrasado:
Rv(τ) ,< v(t) · v∗(t− τ) >=< v(t+ τ) · v ∗ (t) > (44)
• E´ uma medida de similaridade ou dependeˆncia estat´ıstica: se Rv(τ) e´ grande, v(t)e´ parecido com v(t−τ),
caso contra´rio, na˜o e´.
• Propriedades F:
– Rv(0) = Pv
– |Rv(τ)| ≤ Rv(0)
3Esta definic¸a˜o e´ va´lida quando v(t) e w(t) sa˜o estaciona´rios no sentido amplo, cujo entendimento na˜o e´ necessa´rio neste
momento.
15
– Rv(−τ) = R∗v(τ)
• As duas primeiras propriedades dizem que o ma´ximo da autocorrelac¸a˜o e´ na origem. A terceira nos diz
que a autocorrelac¸a˜o tem simetria Hermitiana.
• Se v(t) for real, Rv(τ) sera´ real com simetria par F
• Se v(t) for perio´dico, Rv(τ) tambe´m sera´. F
• Seja z(t) = v(t)± w(t). Enta˜o: Rz(τ) = Rv(τ) +Rw(τ)± [Rvw(τ) +Rwv(τ)].
• Se v(t) e w(t) sa˜o descorrelacionados para qualquer τ , enta˜o:
Rvw = Rwv = 0,∀τ (45)
e consequentemente Rz(τ) = Rv(τ) +Rw(τ)
• Quando τ = 0 temos, para sinais descorrelacionados:
Rz(0) = Rv(0) +Rw(0)
Pz = Pv + Pw
(46)
isto e´, sinais descorrelacionados na˜o cancelam as suas poteˆncias.
• Exemplo: correlac¸a˜o de fasores e senoides.
– Para dois fasores com frequeˆncias f1 e f2, a correlac¸a˜o cruzada e´:
< exp(j2pif1t)exp(j2pif2t) > = lim
T→∞
1
T
∫ T
2
−T2
exp([2pi(f1 − f2)]dt
= lim
T→∞
sinc[T (f1 − f2)] =
{
1, f1 = f2
0, c.c.
(47)
– Com fasores v(t) = Cvexp(j2pifvt) e w(t) = Cwexp(j2pifwt), temos:
Rvw(τ) =< [Cvexp(j2pifvt)][C
∗
wexp(−j2pifw(t− τ)) >
= CvC
∗
wexp(j2piτfw) < exp(j2pifvt) · exp(j2pifwt) >
=
{
0, fv 6= fw
CvC
∗
wexp(j2piτfw), fv = fw
(48)
i.e., fasores com frequeˆncias diferentes sa˜o descorrelacionados.
– A autocorrelac¸a˜o e´ Rv(τ) = Rvv(τ), que vale:
Rv(τ) = |Cv|2exp(j2pifvτ) (49)
– Quando temos senoides, chegamos a:
z(t) = Acos(2pif0t+ φ)→ Rz(τ) = A
2
2
cos(2pif0τ) (50)
i.e., Rz(τ) e´ real, par, perio´dico, tem ma´ximo em τ = 0± 2mpif0 , m inteiro, e o ma´ximo vale Pz.
– A fase φ na˜o aparece em Rz(τ). Logo, na˜o e´ poss´ıvel determinar z(t) a partir de Rz(τ)
16
3.6.2 Correlac¸a˜o de sinais de Energia
• Definic¸o˜es anteriores na˜o servem para sinais de energia pois me´dias tenderiam a zero.
• Pequenas modificac¸o˜es matema´ticas sa˜o necessa´rias.
• Um sinal v(t) e´ de energia se 0 < Ev <∞, onde Ev e´:
Ev ,
∫ ∞
−∞
v(t)v∗(t)dt (51)
• A correlac¸a˜o de dois sinais de energia e´:
Rvw(τ) ,
∫ ∞
−∞
v(t)w∗(t− τ)dt
Rv(τ) , Rvv(τ)
(52)
• A integral acima possui as mesmas propriedades matema´ticas da me´dia temporal, gerando assim resultados
semelhantes.
• Para qualquer par de sinais:
|Rvw(τ)|2 ≤ EvEw (53)
• A correlac¸a˜o tambe´m e´ semelhante a uma convoluc¸a˜o, onde τ e´ a varia´vel independente e t e´ a varia´vel
dummy utilizada. Assim:
Rvw(τ) = v(τ) ∗ w∗(−τ)
Rv(τ) = v(τ) ∗ v∗(−τ) (54)
• Uma das consequeˆncias e´ que, se quisermos determinar por quanto um sinal v(t) foi atrasado, devemos
”‘filtra-lo”’ por um filtro cuja reposta ao impulso e´ o complexo conjugado revertido do sinal. Este filtro e´
chamado de filtro casado.
• A TF permite relac¸o˜es adicionais:
Rv(0) =
∫ ∞
−∞
v(t)v ∗ (t)dt = Ev =
∫ ∞
−∞
|V (f)|2dt
Rvw(0) =
∫ ∞
−∞
v(t)w∗(t)dt = Ev =
∫ ∞
−∞
V (f)W ∗(f)df
(55)
• Combinado estes termos obtemos a desigualdade de Schwarz no domı´nio da frequeˆncia:
|Rvw(0)|2 ≤ EvEw = Rv(0)Rw(0)
⇒
∣∣∣∣∫ ∞∞ V (f)W ∗(f)df
∣∣∣∣2 ≤ ∫ ∞∞ |V (f)|2df +
∫ ∞
∞
|W (f)|2df (56)
e novamente com igualdade se os sinais forem proporcionais
• Este me´todo permite o reconhecimento de padro˜es, como por exemplo o utilizado no GPS
3.6.3 Correlac¸o˜es e sistemas
• Para um sistema h(t) com entrada x(t) e sa´ıda y(t), podemos ter interesse em Rxy(τ) e Ry(τ), a partir
de Rx(τ).
• Sabemos que y(t) = x(t) ∗ h(t).
17
• Assim:
Ryx(τ) =
∫ ∞
−∞
y(t)x∗(t− τ)dt
=
∫ ∞
−∞
[x(t) ∗ h(t)] · x∗(t− τ)dt
=
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
h(λ)x(t− λ) · x∗(t− τ)dλdt
=
∫ ∞
−∞
h(λ)
∫ ∞
−∞
x(t− λ) · x∗(t− τ)dtdλ
=
∫ ∞
−∞
h(λ)Rx(τ − λ)dλ
= h(τ) ∗Rx(τ)
(57)
• Como Ry(τ) =
∫∞
−∞ y(t)y
∗(t− τ)dt, obtemos utilizando um caminho semelhante:
Ry(τ) =
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
y(t)h∗(λ)x ∗ (t− τ − λ)dλdt
=
∫ ∞
−∞
h∗(λ)
∫ ∞
−∞
y(t)x ∗ (t− τ − λ)dtdλ
=
∫ ∞
−∞
h∗(λ)Ryx(τ + λ)dλ
=
∫ ∞
−∞
h∗(−λ)Ryx(τ − λ)dλ
= h∗(−τ) ∗Ryx(τ) = Ry(τ)
(58)
• Substituindo o resultado anterior obtemos:
Ry(τ) = h
∗(−τ) ∗ h(τ) ∗Rx(τ) (59)
3.6.4 Func¸a˜o de Densidade Espectral
• Representam a distribuic¸a˜o de poteˆncia ou energia no domı´nio da frequeˆncia
• Notac¸a˜o: Gv(f) para um sinal v(t)
• A´rea sob Gv(f) e´ igual a poteˆncia/energia me´dia do sinal:∫ ∞
−∞
Gv(f)df = Rv(0) (60)
• Dado o sistema anterior e H(f) = F{h(t)}, a relac¸a˜o entre densidades e´:
Gy(f) = |H(f)|2Gx(f) (61)
• Assim o valor |H(f)|2 indica o ganho em poteˆncia/energia do sinal. Fisicamente, ao amplificar um sinal
em amplitude por |H(f)|, a sua poteˆncia sera´ amplificada por |H(f)|2
• Combinando as duas equac¸o˜es acima chegamos a :
Ry(0) =
∫ ∞
−∞
|H(f)|2Gx(f)df (62)
• A interpretac¸a˜o f´ısica e´:
– Um sinal com Gx(f) qualquer;
18
– passando por um filtro passa faixas com ganho unita´rio muito estreito, com faixa ∆f ;
– resultara´ na sa´ıda em na seguinte densidade espectral:
Gy(f)
{
Gx(f), fc − ∆f2 < f < fc + ∆f2
0, c.c.
(63)
– Com ∆f muito pequeno, Gx(f) ≈ Gx(fc) dentro da banda de largura ∆f , e Ry(0) ≈ Gx(fc) ·∆f .
– Como a unidade de Ry(0) deve ser poteˆncia ou energia e a unidade de ∆f deve ser Hertz, a unidade
de Gx(fc) e de Gy(f) deve ser Watts/Hertz ou Joules/Hertz.
– Este valor deve enta˜o ser real e na˜o negativo
• Determinac¸a˜o de Gv(f) a partir de v(t) e´ feita pelo teorema de Wiener-Kinchine, que apresentamos sem
demonstrac¸a˜o:
Gv(f) = Fτ{Rv(τ)} ,
∫ ∞
−∞
Rv(τ)exp(−j2pifτ)dτ (64)
• A relac¸a˜o inversa e´:
Rv(τ) = F−1{Gv(f)} ,
∫ ∞
−∞
Gv(f)exp(j2pifτ)dτ (65)
• Resultando no par:
Rv(τ)↔ Gv(f) (66)
• Se v(t) e´ um sinal de energia, as equac¸o˜es acima resultara˜o em:
Gv(f) = |V (f)|2 (67)
• Se v(t) e´ um sinal de poteˆncia perio´dico com se´rie de Fourier v(t) =
∞∑
n=−∞
c(nf0)exp(j2pinf0), enta˜o a
sua densidade espectral de poteˆncia sera´:
Gv(f) =
∞∑
n=−∞
|c(nf0)|2δ(f − nf0) (68)
o que tem relac¸a˜o com o teorema de Parseval.
• Para o caso particular onde v(t) = Acos(2pif0t+ φ), temos:
Gv(f) = F
{(
A2
2
)
cos(2pif0τ)
}
= A
2
4 [δ(f − f0) + δ(f + f0)
(69)
4 Exerc´ıcios
Questo˜es 9,10,12,13,15.
Problemas: 3.1.1 3.1.5 3.1.6 3.1.9 3.1.10 3.1.18 3.1.19 3.1.20 3.2.1 3.2.4 3.2.8 3.4.1 3.4.2 3.5.1
3.5.2 3.5.5 3.6.3 3.6.6 3.6.13 3.6.16
19