Cinemática do ponto material

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CINEMÁTICA DO PONTO MATERIAL 
 
1.0 Conceitos 
 
Cinemática é a parte da Mecânica que descreve os movimentos. 
Ponto material é um corpo móvel cujas dimensões não interferem no estudo em questão. 
Trajetória é o conjunto das posições sucessivas de um móvel no decorrer do tempo. A forma 
da trajetória feita por um corpo depende do referencial. 
Origem dos espaços é o marco zero da trajetória. 
Referencial ou sistema de referência é o corpo em que identifica se um móvel está em 
movimento ou em repouso. Um corpo está em movimento em relação a um referencial 
quando a sua posição muda no decurso do tempo. Um corpo está em repouso em relação a 
um referencial quando sua posição não varia no decurso do tempo. 
 
2.0 Movimento em Uma Dimensão 
 
2.1 Posição 
 
Se um ponto material se desloca ao longo de uma trajetória retilínea, diz-se que ocupa uma 
certa posição P na reta. Para definir esta posição, escolhe-se uma origem O fixa na reta e um 
sentido positivo ao longo dela; mede-se a distância x de O a P atribuindo-se um sinal positivo 
ou negativo, de acordo com a orientação escolhida. A coordenada de posição no ponto 
material é a distância OP, representada por x. 
 
 
 
Quando a coordenada de posição x for conhecida para qualquer valor do tempo t, diz-se que o 
movimento do ponto será conhecido. 
Note que a posição não indica quando o móvel andou nem o sentido do movimento. 
 
2.2 Velocidade 
 
2.2.1 Velocidade Média 
 
Velocidade é uma grandeza que modifica diretamente a posição. 
 
A velocidade média da partícula no intervalo Δt é um vetor e é definida como o quociente 
entre o deslocamento Δx e o intervalo de tempo Δt. 
 
 
 
 
 
 
Este vetor independe da trajetória e fornece o resultado do movimento. 
 
A velocidade escalar média é dada por: 
 
 
 
 
 
 
Esta depende da trajetória e fornece detalhes do movimento. 
2.2.2 Velocidade Instantânea 
 
A velocidade instantânea do ponto material no instante t é obtida da velocidade média, 
considerando-se intervalos de tempo cada vez menores, tendendo a zero, ou seja, representa 
a velocidade de uma partícula num único instante de tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O sinal da velocidade instantânea depende da inclinação do gráfico posição em função do 
tempo. 
 
2.3 Aceleração 
 
2.3.1 Aceleração Média 
 
Aceleração é uma grandeza que modifica diretamente a velocidade. 
A aceleração média do ponto, no intervalo de tempo Δt, é um vetor e é definida como o 
quociente entre Δv e Δt: 
 
 
 
 
 
 
2.3.2 Aceleração Instantânea 
 
A aceleração instantânea do ponto material no instante t é obtida da aceleração média, 
considerando-se intervalos de tempo cada vez menores, tendendo a zero, ou seja, representa 
a aceleração de uma partícula num único instante de tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O sinal da aceleração instantânea depende da inclinação do gráfico velocidade em função do 
tempo. 
 
Quando a velocidade e a aceleração do corpo estão na mesma direção, o corpo se torna mais 
rápido. Se eles estiverem em direções opostas, a velocidade escalar do corpo diminui no 
tempo. 
 
2.4 Determinação do Movimento de um Ponto Material 
 
Um movimento é raramente definido entre x e t; muitas vezes, as condições do movimento 
estarão especificadas pelo tipo de aceleração que o ponto possui. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para qualquer caso de aceleração em função do tempo, posição ou velocidade, temos que: 
 
 
 
 
 
 
Utilizando a regra da cadeia, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos encontrar: 
 
 
 
 
 
Utilizando-se da integral, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS.: Lembrando que, ao resolver a integral, deve-se adicionar a constante C, pois se trata 
de uma integral indefinida. Geralmente na questão contém informações cujo objetivo é 
identificar esta constante. 
 
2.5 Movimento Retilíneo Uniforme 
 
Nesse movimento, a aceleração do ponto material é nula para qualquer valor de t, tornando a 
velocidade constante. 
 
A velocidade instantânea durante um intervalo de tempo é a mesma que a velocidade média 
durante o intervalo. 
 
 
 
Equação horária da posição: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.6 Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado 
 
Nesse movimento, a aceleração do ponto material é constante não-nula para qualquer valor 
de t. 
A aceleração instantânea durante um intervalo de tempo é a mesma que a aceleração média 
durante o intervalo. 
 
 
 
Equação horária da velocidade: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação horária da posição: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação da velocidade em função da posição (Equação de Torricelli): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A velocidade média é a soma aritmética da velocidade inicial e final: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como x – x0 = vxt, então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.6.1 Corpos em Queda Livre 
 
Corpos em queda livre sofrem efeito da gravidade g, que é constante. O vetor g aponta para 
baixo em direção ao centro da Terra com um módulo de 9,8 m/s². 
 
Corpo em queda livre é um corpo que se move livremente sob a influência apenas da 
gravidade, independe de seu movimento inicial. 
 
Como o movimento é vertical e a gravidade aponta para baixo, as equações do movimento 
com aceleração constante são adaptadas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS.: A diferença entre Queda livre e Lançamento Vertical é que este último depende de seu 
movimento inicial, ou seja, v y 0 adquire um valor diferente de zero na equação. 
 
 
 
 
 
 
 
3.0 Movimento em Duas e Três Dimensões 
 
Quando um ponto material desloca-se ao longo de uma curva, dizemos que está em 
movimento curvilíneo. 
 
3.1 Vetor Posição 
 
O vetor r é originado quando traçamos um vetor unindo a origem O ao ponto P, no instante t. 
 
 
 
3.2 Vetor Velocidade 
 
3.2.1 Vetor Velocidade Média 
 
A velocidade média no ponto material é definida como o quociente entre Δr e Δt. 
 
 
 
 
 
 
Independe da trajetória entre os dois pontos. 
 
 
 
3.2.2 Vetor Velocidade Instantânea 
 
A velocidade instantânea do ponto material no instante t é obtida quando Δt tende a zero: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A direção do vetor velocidade instantânea está ao longo da linha tangente à trajetória. 
3.3 Vetor Aceleração 
 
3.3.1 Vetor Aceleração Média 
 
A aceleração média do ponto material no intervalo de tempo Δt é definida como o quociente 
Δv/Δt. 
 
 
 
 
 
 
Em geral, a aceleração não é tangente à trajetória do material. 
 
3.3.2 Vetor Aceleração Instantânea 
 
A aceleração instantânea do ponto material no instante t é obtida quando Δt tende a zero: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.4 Componentes CartesianasO movimento tridimensional com aceleração constante é equivalente a três movimentos 
independes nas direções x, y e z. 
 
Princípio de Independência dos Movimentos Simultâneos: Se um móvel apresenta um 
movimento composto, cada um dos movimentos componentes se realiza como se os demais 
não existissem e no mesmo intervalo de tempo. 
 
Ou seja, um movimento não depende do outro para surgir e agir. 
 
Quando a posição de um ponto P for definida por suas coordenadas cartesianas x, y e z, é 
conveniente decompor sua velocidade v e sua aceleração a em função de tais componentes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS.: Na decomposição vetorial, o vetor g, como aponta para baixo na direção vertical, é 
decomposta apenas no eixo y, ou seja: g = gj. 
 
OBS.: A equação da trajetória não é r(t), e sim y(x). 
 
 
 
 
 
 
 
Adaptações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.5 Movimento de Projétil – Lançamento Horizontal e Oblíquo 
 
Modelo de simplificação: 
 A aceleração g é constante e direcionada para baixo. 
 O efeito da resistência do ar é desprezível. 
 A direção y é vertical e positiva apontando para cima. 
 No t = 0 o projétil parte da origem. 
 
 
Pelo desenho, podemos identificar que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A trajetória é completamente especificada conhecendo o ângulo e a velocidade inicial: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando (I) em (II), temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um projétil lançado sobre um solo plano, com trajetória simétrica, possui as seguintes 
características: 
 
Tempo de subida é igual ao tempo descida: 
 
 
 
 
 
 
Na altura máxima, vy = 0: 
 
 
 
 
 
 
No alcance, utiliza-se t = 2t1: 
 
 
 
 
 
 
 
No alcance máximo, utiliza-se θ = 45°: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analisando o desenho abaixo, percebe-se que o alcance será máximo quando o ângulo entre a 
trajetória e o eixo x for 45°. 
 
 
 
 
 
3.6 Movimento Circular Uniforme 
 
O vetor velocidade é sempre tangente à trajetória do corpo e perpendicular ao raio da 
trajetória circular, cujo módulo é constante, mas a direção não. 
O vetor aceleração é sempre perpendicular à trajetória e sempre aponta para o centro do 
círculo, sendo chamada de aceleração centrípeta. 
 
 
 
Por semelhança de triângulos, sabe-se que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo Δv por aΔt, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aproximando t para zero, a razão |Δr|/Δt aproxima-se da velocidade escalar v e a aceleração 
média torna-se instantânea: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS.: A aceleração centrípeta não é constante, pois ela muda frequentemente de direção ao 
se deslocar na trajetória circular. 
 
Período é o tempo necessário para uma revolução (volta) completa. Em 1 período, a partícula 
descola-se 2πr (comprimento de 1 volta): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.7 Movimento Circular Não-Uniforme 
 
Neste movimento a partícula move-se com uma velocidade cuja direção e módulo variam. O 
vetor velocidade é sempre tangente à trajetória, e o vetor aceleração faz um ângulo θ com a 
trajetória, sendo descrito como a soma vetorial entre a aceleração tangencial e a aceleração 
radial: 
 
 
 
A aceleração tangencial surge da mudança na velocidade escalar (módulo da velocidade) da 
partícula: 
 
 
 
 
 
 
A aceleração radial surge da mudança na direção do vetor velocidade: 
 
 
 
 
 
 
O módulo da aceleração é dado por: 
 
 
 
4.0 Velocidade Relativa 
 
Considere 2 partículas em movimento. Quando as suas velocidades estão em sentidos 
contrários, o módulo da velocidade relativa entre os corpos é dado pela soma dos módulos 
das velocidades; quando estão em sentidos iguais, o módulo é dado pela diferença dos 
módulos das velocidades. 
A velocidade relativa será aproximação quando houver um ponto de encontro, e de 
afastamento quando não houver. 
 
4.1 Composição de Movimento 
 
Considere: 
 Velocidade do barco: Velocidade relativa ( ). 
 Velocidade da correnteza: Velocidade de arrastamento ( ). 
 Velocidade resultante: ( ). 
 
Se um barco navega rio abaixo, ele navega a favor da correnteza. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se um barco navega rio acima, ele navega contra a correnteza. 
 
 
 
 
 
Se um barco atinge a outra margem navegando perpendicularmente às margens: 
 
 
 
 
 
Se um barco atinge a outra margem no ponto em frente ao ponto de partida, ele possui o 
menor deslocamento resultante possível, com a velocidade resultante perpendicular às 
margens.