Introdução à Cinemática

Prévia do material em texto

Cinemática 
É a parte da Física que estuda os movimentos sem 
considerar as suas causas. Na Cinemática estudamos o 
movimento do corpo em si, sem considerar o que está 
causando este movimento. 
 
 
Na Física este conceito é de fundamental importância, pois 
a partir dele podemos definir o movimento ou o repouso de 
um determinado corpo ou partícula, por exemplo. O 
referencial pode ser inercial ou não inercial. Em nossas 
abordagens vamos admitir referenciais que é encontram em 
repouso ou que se movimentam com velocidade 
constante, isto é, são referenciais denominados referenciais 
inerciais. 
 
 
 Repouso: Podemos dizer que um corpo se encontra em 
repouso quando sua distância não varia com o passar do 
tempo em relação a um dado referencial. 
 Movimento: Podemos dizer que um corpo se encontra 
em movimento quando sua distância varia com o passar do 
tempo em relação a um dado. 
 
 
Podemos definir trajetória como a linha que liga as posições 
de um móvel em um certo intervalo de tempo. A trajetória 
não é absoluta, ela depende do observador.
Movimento em uma dimensão
 
 
Considere um inseto saindo do ponto A, indo até o ponto B 
e posteriormente indo e parando no ponto C conforme a 
figura. 
A B 
 
Podemos dizer que o inseto percorreu um espaço de 7 m, 
isto é, neste caso podemos dizer que o espaço percorrido 
pelo móvel foi de 7 m. ∆s = 3 m + 4 m = 7 m No entanto, 
o deslocamento neste caso é o módulo do vetor que une o 
ponto inicial e final, conforme a figura B. 
Neste caso o valor (módulo) do deslocamento é dado por: 
 
 
 
 A velocidade média é a razão entre o espaço percorrido 
(distância) por um móvel e o tempo gasto por este móvel 
para percorrer esta distância. Podemos representar a 
velocidade média através da seguinte relação matemática. 
Onde: 
∆s: é o espaço percorrido 
∆t: é o intervalo de tempo 
Unidade de Medida de Velocidade Média: A unidade de 
medida de velocidade média no SI (Sistema Internacional de 
Unidades) é o m/s, porém, outra unidade de velocidade muito 
utilizada em nosso cotidiano é o km/h. A transformação 
entre estas duas unidades pode ser realizada utilizando o 
esquema que segue. 
Exemplos: A distância, por estrada de rodagem, entre 
Cuiabá e Salvador é de 3400,8 km. Um ônibus demora dois 
dias e quatro horas desde sua saída de Cuiabá e chegada a 
Salvador, incluindo dez horas de paradas para refeições, 
abastecimentos etc. Qual a velocidade escalar média desse 
ônibus, durante os dois dias e quatro horas de viagem? 
 
 
 
A velocidade vetorial média considera o deslocamento ao 
invés do espaço percorrido. Neste caso podemos obter o 
valor da velocidade vetorial média através da equação: 
 
 
Referencial 
 
Movimento e Repouso 
 
Trajetória 
Espaço percorrido (∆s) e deslocamento (𝑑 ⃗ ) 
 
Velocidade Escalar Média (Vm) 
 
Velocidade Vetorial Média (Vm) 
 
Exemplo 1. Considere que o inseto da figura gasta 10 s para 
sair do ponto A e chegar no ponto Determine: 
 
A velocidade escalar média neste 
intervalo de tempo. 
A velocidade vetorial média neste 
intervalo de tempo. 
 
 
 
A velocidade escalar instantânea representa a velocidade de 
um corpo ou partícula em um instante t. Neste caso o 
intervalo de tempo deve ser o menor intervalo de tempo, 
isto é, o intervalo de tempo deve tender à zero. Utilizamos 
a notação de taxa de variação (derivada) para representar 
esta velocidade 
 
 
 
Vamos considerar uma partícula se movimentando em uma 
trajetória retilínea com velocidade constante. Neste caso a 
posição da partícula varia com o passar do tempo e em 
cada instante teremos uma posição diferente. 
 
s: é a posição final que o móvel ocupará. 
s0: é a posição inicial do móvel, representa a posição de 
partida. 
v: é a velocidade, que neste caso é sempre constante. 
t: é o tempo ou instante. 
 
Exemplo: 
1. Considere os móveis A e B conforme a figura. Admita que 
eles iniciem os seus movimentos de forma simultânea e 
descrevam movimentos retilíneos com velocidades 
constantes. Calcule: 
a) o instante do encontro dos móveis. 
b) a posição de encontro dos móveis. 
 
Para a resolução deste problema devemos inicialmente 
construir a função horária para cada um dos móveis. 
Carro A: 
 
Podemos admitir que o ponto de partida do carro A é 0, 
desta forma como a distância entre os móveis é de 300 km, 
podemos admitir automaticamente que a posição inicial do 
caminhão B será de 300 km. Assim: 
 
Caminhão B: 
𝐒𝐁 = 𝐒𝟎 + 𝐯 . 𝐭 
Como descrito anteriormente, a posição inicial do caminhão 
B, será admitida como 300 km. Um aspecto importante a 
ser considerado para o caminhão é o fato de o sentido do 
seu movimento ser contrário ao carro A. 
Esta situação deve ser expressa na função horária do 
caminhão através da inserção de um sinal (-) negativo na 
velocidade do caminhão. Assim: 
𝐒𝐁 = 𝟑𝟎𝟎 – 𝟗𝟎. t 
Podemos então considerar que no momento do encontro 
as posições dos móveis serão iguais, ou seja, sempre que 
dos móveis se encontrarem, teremos: 𝐒𝐀 = 𝐒𝐁. 
Considerando as funções anteriormente construídas a 
igualdade apresentada fica representada como: 
 
b) Para calcularmos a posição do encontro dos móveis em 
relação ao ponto 0 km, podemos utilizar qualquer uma das 
duas funções horárias, pois como admitimos que elas serão 
iguais no encontro, o resultado será o mesmo para cada 
uma delas. No exemplo vamos escolher a função horária do 
carro A. 𝐒𝐀 = 𝟎 + 𝟔𝟎. 𝐭. Devemos inserir o instante do 
encontro anteriormente na equação: 
 
2. Um caminhão com velocidade constante de 72 km/h 
possui 16 m de comprimento. Determine quanto tempo um 
carro de 4 m de comprimento e com velocidade de 144 
km/h levará para ultrapassar por completo o caminhão, 
considerando a figura como momento inicial da 
ultrapassagem. 
SA =0 + 40.t 
SC = 20 + 20.t 
No momento da ultrapassagem, teremos: 
SA = Sc 
0 + 40.t = 20 + 20.t 
40.t – 20.t = 20 
20. t = 20 t = 20 
20 ∴ t = 1 s 
 
Velocidade Escalar Instantânea (v) 
 
Movimento com Velocidade Constante 
 
Movimento com velocidade variável 
É o movimento em que o móvel possui uma velocidade 
variável no decorrer do tempo, isto é, ela não é constante, 
pois existe aceleração que não varia com o decorrer do 
tempo. 
 
 
Aceleração ou aceleração escalar média é uma grandeza 
física que considera a variação de velocidade de um móvel 
em um certo intervalo de tempo. 
 
am: aceleração 
∆v: variação de velocidade 
∆t: variação do tempo 
 
 
É o valor da aceleração quando o limite do intervalo de 
tempo em questão tende à zero. 
 
 
 Velocidade em função do tempo 
 
v: é a velocidade final no instante t. 
v0: é a velocidade inicial no instante t = 0. 
a: é a aceleração. 
t: é o tempo (instante). 
 
Exemplo 1. Um carro inicialmente em repouso parte com 
uma aceleração de 2 m/s2 . Determine a sua velocidade 
após 6 s. 
 
 
 Posição em função do tempo 
 
s: é a posição do móvel no instante 
s0: é a posição inicial do móvel. 
v0: é a velocidade inicial do móvel. 
a: aceleração. 
t: é o tempo. 
Exemplo 1. Um carro parte do repouso, da origem das 
posições com uma aceleração de 4 m/s 2 . Determine a 
posição do móvel no instante 5 s. 
 
 Velocidade em função do espaço percorrido 
 
 
v: é a velocidade final. 
v0: é a velocidade inicial. 
a: é a aceleração. 
∆s = espaço percorrido entre a variação da velocidade. 
 
Exemplo 1. Um carro inicialmente em repouso parte com 
uma aceleração de 4 m/s 2. Determine a sua velocidade 
após ele percorrer 50 m. 
 
 
Na ausência da resistência do ar, um corpo em movimento 
vertical para cima ou para baixa está sujeito exclusivamente 
às forças de natureza gravitacional, logo, a sua aceleração 
nestes casos assume o valor g que para o planeta Terra 
próximo de sua superfície vale aproximadamente: 
 
Como se trata de um movimento com velocidade variável 
todas as funções vistas anteriormente podem ser aplicadaspara o estudo deste tipo de movimento. 
Exemplo 1. Um corpo é lançando verticalmente para cima a 
partir do solo com uma velocidade inicial de 49 m/s. Adote 
g = 9,8 m/s2 e calcule: a) o tempo gasto pelo corpo para 
atingir a altura máxima; b) a altura máxima atingida pelo 
corpo; 
 
Aceleração Escalar Média 
Aceleração Escalar Instantânea 
Funções do movimento com velocidade 
variável 
Corpos em queda livre 
 
Movimento em duas dimensões
É a parte da cinemática que estuda o movimento das 
partículas simultaneamente nos eixos x e y. 
 
 
Consiste em transformar um vetor em componentes nas 
direções x e y 
 
 
𝐀𝐱 = 𝐀. 𝐜𝐨𝐬 𝛉 
𝐀𝐲 = 𝐀. 𝐬𝐞𝐧 𝛉 
 
 
 
Exemplo 1. Decomponha o vetor abaixo. Use: 
cos 60° = 0,5 
sen 60° = 0,8 
Ax = A. cos θ 
Ax = 100. cos 60° 
Ax = 100. 0,5 
𝐀𝐱 = 𝟓𝟎 
Ay = A. sen θ 
Ay = 100. sen 60° 
Ay = 100.0,8 
𝐀𝐲 = 𝟖0 
 
 
 
São vetores que têm módulo exatamente igual a 1. Eles são 
utilizados para especificar uma determinada direção e não 
possuem nenhum outro significado físico. 
 
O módulo de cada vetor unitário é igual a 
1, isto é, |�̂�| = |�̂�| = |�̂�| = 1 
 
 
Podemos escrever o vetor A em notação 
de vetor unitário. Desta forma o vetor 
ficaria representado por: 𝐀 = 𝟓𝟎𝐢 + 𝟖𝟎𝐣 
 
Qualquer grandeza física vetorial pode ser 
representada pela notação de vetor unitário. Esta notação 
facilita a operação de soma de vetores. 
Exemplo 2. Encontre a soma de dois vetores 𝐴⃗⃗ e 𝐵⃗⃗⃗⃗ que 
estão no plano xy e dados por: 
𝐴⃗⃗ = (2,0�̂�+ 2,0�̂�) 
𝐵⃗⃗⃗ = (2,0�̂�− 4,0�̂�) 
𝑅⃗⃗= 𝐴⃗⃗ + 𝐵⃗⃗⃗⃗ = (2,0�̂�+ 2,0�̂�) + (2,0�̂�− 4,0�̂�) 
𝑅⃗⃗ = (2,0 + 2,0)�̂�+ (2,0 − 4,0)�̂� 
𝑅⃗𝑥 = 4 𝑒 𝑅⃗𝑦 = −2 
Para encontrarmos o módulo do vetor 𝑅⃗⃗⃗, devemos utilizar: 
 
 
 
 
Neste caso o movimento de uma partícula pode ser 
considerado como dois movimentos independentes, um em 
cada eixo. Desta forma qualquer influência na direção x não 
afeta o movimento da direção y e vice-versa. 
Exemplo 3. Uma partícula se move no plano xy, começando 
da origem em t = 0 com velocidade inicial tendo uma 
componente x de 20 m/s e uma componente y de -15 m/s. 
A partícula experimenta uma aceleração na direção x, dada 
por ax = 4,0 m/s2 
a) Determine o vetor velocidade total a qualquer instante; 
 
b) Calcule a velocidade vetorial e a velocidade escalar da 
partícula em t = 5,0 s e o ângulo que o vetor velocidade 
forma com o eixo x. 
Velocidade vetorial para t = 5,0 s 
𝑣⃗⃗ = [(20 + 4.5)�̂�− 15�̂�] 
𝑣⃗⃗ = [(20 + 20)�̂�− 15�̂�] 
𝒗⃗⃗⃗⃗ = (𝟒𝟎�̂�− 𝟏𝟓𝒋) m/s 
Ângulo com o eixo x 
tan 𝜃 = −15 40 = − 
0,375 
𝜽 = −𝟐𝟏° 
 
Velocidade escalar para t = 5,0 s 
 
Decomposição de Vetores 
Vetores Unitários 
Movimento bidimensional com 
aceleração constante 
 
 
 
 
Considere um corpo sendo lançado com velocidade inicial vo 
e com uma certa inclinação em relação à horizontal. Neste 
caso teremos um lançamento denominado oblíquo e para 
sua melhor compreensão, realizamos a análise deste 
movimento em duas dimensões, isto é, um movimento 
somente na direção do eixo x e outro movimento somente 
na direção do eixo vertical y. 
 
Como neste tipo de movimento teremos e decomposição 
nos eixos as equações de movimento anteriormente 
estudadas passarão a ter a representação modificada para 
efeito de melhor compreensão. 
 Funções para o lançamento de projéteis 
Inicialmente devemos considerar que o móvel é lançado com 
uma velocidade inicial 𝑣⃗⃗0 e esta velocidade deve ser 
decomposta em x e y. 
 
 
 
 
 No eixo x 
No eixo x o móvel realiza um movimento com velocidade 
constante, logo, podemos utilizar a posição em função do 
tempo adaptada da seguinte forma. 
 
 No eixo y 
No eixo y a velocidade do móvel é variável e sujeita à ação 
da gravidade. Neste caso as equações ficam assim 
representadas. 
 
Alcance horizontal e altura máxima de um projétil realizando 
as devidas transformações nas funções anteriormente 
apresentadas podemos definir uma equação para a 
obtenção da altura máxima alcançada pelo móvel e para o 
alcance máximo obtido no lançamento. 
 
No instante em que o corpo alcança a altura máximo a sua 
velocidade vertical é nula, logo podemos escrever: 
 
Para o alcance máximo teremos: 
 
Exemplo 1. Um atleta de salto em distância sai do solo com 
uma inclinação de 20,0° em relação a horizontal e com uma 
velocidade de 11,0 m/s. a) Qual a alcance de seu salto? b) Qual 
a altura máxima que ele atinge durante o salto? 
 
Exemplo 2. Um avião voa a uma altura de 320 m, com 
velocidade constante e horizontal, cujo módulo é de 60,0 m/s. 
Num determinado instante, uma bomba é solta do avião. 
a) Quanto tempo a bomba levará para atingir o solo? 
Neste caso o ângulo de lançamento é igual a 0°. 
 
 
b) Qual o alcance horizontal da bomba? 
Obs. A fórmula vista 
anteriormente para alcance 
máximo é válida somente quando 
o ângulo de lançamento é 
diferente de 0°. 
 
 
Movimento de Projéteis 
Movimento circular uniforme 
É o movimento em que o móvel descreve uma trajetória 
circular levando sempre o mesmo intervalo de tempo para 
realizar uma volta completa. 
 
 
É uma grandeza que considera o número de voltas dadas 
em certo intervalo de tempo. Se um corpo em MCU realiza 
20 voltas em 10 s, podemos utilizar a seguinte ideia 
matemática: 
 
 
 
É o tempo gasto por um corpo ou partícula para realizar 
uma volta completa. O período tem como unidade do sistema 
internacional o segundo (s), no entanto, outras unidades de 
tempo podem perfeitamente serem utilizadas. 
 
 
 
 
 
 ∆θ = é o ângulo descrito na trajetória. 
 ∆t = é o intervalo de tempo. 
 w = é a velocidade angular. 
] 
 
 
A fórmula anteriormente apresentada é a definição clássica 
utilizada para o cálculo de velocidade angular, porém, ela 
também pode ser relacionada com os conceitos de 
frequência e período abordados na semana anterior. 
 
 
 
A velocidade linear de um corpo em MCU pode ser 
representada na figura do exemplo abaixo. 
 
 
 
A relação entre qualquer grandeza angular e qualquer 
grandeza linear como as velocidades, por exemplo, podem 
ser obtidas multiplicando a grandeza angular pelo raio da 
trajetória. No caso das velocidades podemos escrever: 
 
Note que neste caso, a fórmula serve para calcular o módulo 
da velocidade linear e por este motivo não temos a seta de 
indicação de vetor sobre a letra v. v: é o módulo da velocidade 
linear w: é a velocidade angular R: é o raio da trajetória 
 
 
A aceleração centrípeta é responsável pela variação da 
direção e do sentido da velocidade linear no MCU. Para o 
cálculo da aceleração centrípeta devemos utilizar a seguinte 
fórmula: 
 
A figura abaixo representa a direção e o sentido da 
aceleração centrípeta em relação à velocidade linear. 
 
 
 
Considere um copo se movimentando conforme a trajetória 
dada, a aceleração total do corpo é dada 
 
Definimos a aceleração total da partícula como sendo a soma 
vetorial de duas componentes de aceleração: 
 
= Aceleração tangencial 
Responsável pela variação do módulo do vetor 
velocidade. 
= Aceleração Radial Responsável pela variação da 
direção e sentido do vetor velocidade. Ela é 
equivalente a aceleração centrípeta.
Aceleração tangencial e aceleração radial 
 
Frequência (F) 
Período (T) 
Relação Entre Período e Frequência 
Velocidade Angular (w) 
Relação entre Velocidade Angular 
Frequência e Período 
Velocidade linear (v⃗ ) 
Relação entre w e v⃗ 
Aceleração Centrípeta 𝒂⃗⃗ 𝒄p 
p