FT2 2018 Aula 3 (Conduçao e Condiçoes de Contorno) (3)

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FENÔMENOS DE TRANSPORTE II
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
POR CONDUÇÃO
Profª Drª Cleide Mara Faria Soares
2
TC POR CONDUÇÃO
Regida empiricamente pela lei de Fourier, a TC por condução
ocorre pela difusão de energia devido a um gradiente de
temperatura que provoca movimento molecular aleatório em
meio estacionário.
Taxa de transferência de calor (W/m2) na
direção x
Constante de condutividade térmica do
material (W/m . K)
Gradiente de temperatura𝒒𝒙 = −𝒌
𝑻𝟐 − 𝑻𝟏
𝑳
3
TC POR CONDUÇÃO
A condutividade térmica (K), é uma importante propriedade do
material, que indica a taxa pela qual a energia é transferida pela
processo de difusão.
A condutividade térmica é intrinsicamente dependente do
estado físico do material.
SÓLIDOS > LÍQUIDOS > GASES
4
TC POR CONDUÇÃO
Faixa de condutividade térmica para vários estados da matéria em 
condições normais de temperatura e de pressão.
5
TC POR CONDUÇÃO
Dependência da condutividade com a temperatura para alguns 
materiais sólidos.
6
TC POR CONDUÇÃO
Dependência da condutividade com a temperatura para alguns gases 
a pressões normais.
7
TC POR CONDUÇÃO
Dependência da condutividade com a temperatura para alguns 
líquidos não-metálicos em condições de saturação.
8
TC POR CONDUÇÃO
Aplicando a conservação de energia e definindo um pequeno
volume de controle de um material sólido num sistema
arbitrário.
9
TC POR CONDUÇÃO
Os fluxos de condução de calor podem ser avaliados pela lei de
Fourier.
𝒒𝒙 = −𝒌∆𝒚∆𝒛
𝒅𝑻
𝒅𝒙
│𝒙
𝒒𝒚 = −𝒌∆𝒙∆𝒛
𝒅𝑻
𝒅𝒚
│𝒚
𝒒𝒛 = −𝒌∆𝒙∆𝒚
𝒅𝑻
𝒅𝒛
│𝒛
𝒒𝒙 + ∆𝒙= −𝒌∆𝒚∆𝒛
𝒅𝑻
𝒅𝒙
│𝒙 + ∆𝒙
𝒒𝒚 + ∆𝒚= −𝒌∆𝒙∆𝒛
𝒅𝑻
𝒅𝒚
│𝒚 + ∆𝒚
𝒒𝒛 + ∆𝒛= −𝒌∆𝒙∆𝒚
𝒅𝑻
𝒅𝒛
│𝒛 + ∆𝒚
10
TC POR CONDUÇÃO
O calor gerado no elemento é representado por:
𝒒𝒈𝒆𝒓 = 𝐪‴ ∆𝒙 ∆𝒚 ∆𝒛
Taxa em que a energia é gerada por
unidade de volume do meio (W/m³)
A variação de energia interna é dada por:
𝝏𝑼
𝝏𝒕
= 𝝆 𝒄𝒑 ∆𝒙 ∆𝒚 ∆𝒛
𝝏𝑻
𝝏𝒌
Calor específico do material
Capacidade de acúmulo de energia
interna por volume
Tempo
Temperatura
11
TC POR CONDUÇÃO
Balanço de energia
𝒒𝒙 + 𝒒𝒚 + 𝒒𝒛 − 𝒒𝒙 + ∆𝒙 + 𝒒𝒚 + ∆𝒚 + 𝒒𝒛 + ∆𝒛
+ 𝐪‴ ∆𝒙 ∆𝒚 ∆𝒛 = 𝝆 𝒄𝒑 ∆𝒙 ∆𝒚 ∆𝒛
𝝏𝑻
𝝏𝒕
−𝒌 ∆𝒚∆𝒛
𝒅𝑻
𝒅𝒙
│𝒙 − 𝒌 ∆𝒛∆𝒙
𝒅𝑻
𝒅𝒚
│𝒚 − 𝒌 ∆𝒙∆𝒚
𝒅𝑻
𝒅𝒛
│𝒛 + 𝒌 ∆𝒚∆𝒛
𝒅𝑻
𝒅𝒙
│𝒙+∆𝒙
+ 𝒌 ∆𝒛∆𝒙
𝒅𝑻
𝒅𝒚
│𝒚+∆𝒚 + 𝒌 ∆𝒙∆𝒚
𝒅𝑻
𝒅𝒛
│𝒛+∆𝒛 + 𝐪‴ ∆𝒙 ∆𝒚 ∆𝒛 = 𝝆 𝒄𝒑 ∆𝒙 ∆𝒚 ∆𝒛
𝝏𝑻
𝝏𝒕
𝑬𝒆 − 𝑬𝒔 ± 𝑬𝒈 = 𝑬𝒂𝒓
÷ ∆𝒙 ∆𝒚 ∆𝒛
12
TC POR CONDUÇÃO
÷𝑲
𝒌
𝒅𝑻
𝒅𝒙│𝒙+∆𝒙 − 𝒌
𝒅𝑻
𝒅𝒙│𝒙
∆𝒙
+
𝒌
𝒅𝑻
𝒅𝒚│𝒚+∆𝒚 − 𝒌
𝒅𝑻
𝒅𝒚│𝒚
∆𝒚
+
𝒌
𝒅𝑻
𝒅𝒛 │𝒛+∆𝒛 − 𝒌
𝒅𝑻
𝒅𝒛 │𝒛
∆𝒛
+
𝐪‴
𝒌
=
𝝆 𝒄𝒑
𝒌
𝝏𝑻
𝝏𝒕
13
TC POR CONDUÇÃO
Sabendo que:
𝛁𝟐𝐓 +
𝐪‴
𝒌
=
𝟏
α
𝝏𝑻
𝝏𝒕
14
TC POR CONDUÇÃO
Para sistemas térmicos transientes que não possuem fonte de calor:
𝝏𝟐𝐓
𝝏𝒙𝟐
+
𝝏𝟐𝐓
𝝏𝒚𝟐
+
𝝏𝟐𝐓
𝝏𝒛𝟐
=
𝟏
α
𝝏𝑻
𝝏𝒕
Para sistemas térmicos estacionários em relação ao tempo, com fonte
de calor:
𝝏𝟐𝐓
𝝏𝒙𝟐
+
𝝏𝟐𝐓
𝝏𝒚𝟐
+
𝝏𝟐𝐓
𝝏𝒛𝟐
+
𝐪‴
𝒌
= 𝟎
15
TC POR CONDUÇÃO
Para sistemas térmicos estacionários sem geração de calor:
𝝏𝟐𝐓
𝝏𝒙𝟐
+
𝝏𝟐𝐓
𝝏𝒚𝟐
+
𝝏𝟐𝐓
𝝏𝒛𝟐
= 𝟎
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TC POR CONDUÇÃO
Em termos de coordenadas cilíndricas:
𝟏
𝒓
𝝏
𝝏𝒓
𝒌𝒓
𝝏𝑻
𝝏𝒓
+
𝟏
𝒓𝟐
𝝏
𝝏∅
𝒌
𝝏𝑻
𝝏∅
+
𝝏
𝝏𝒛
𝒌
𝝏𝑻
𝝏𝒛
+ 𝐪‴ = 𝝆𝒄𝒑
𝝏𝑻
𝝏𝒕
A equação de calor também pode ser escrita em coordenadas
cilíndricas e esféricas.
17
TC POR CONDUÇÃO
Em termos de coordenadas esféricas:
𝟏
𝒓𝟐
𝝏
𝝏𝒓
𝒌𝒓𝟐
𝝏𝑻
𝝏𝒓
+
𝟏
𝒓𝟐 𝐬𝐞𝐧𝟐 ∅
𝝏
𝝏∅
𝒌
𝝏𝑻
𝝏∅
+
𝟏
𝒓𝟐 𝐬𝐞𝐧∅
𝝏
𝝏∅
𝒌𝒔𝒆𝒏∅
𝝏𝑻
𝝏∅
+ 𝒒‴ = 𝝆𝒄𝒑
𝝏𝑻
𝝏𝒕
18
CONDIÇÕES DE CONTORNO
O entendimento adequado da TC depende das condições físicas
existentes nas fronteiras do meio, as chamadas Condições de
Contorno ou Condições de Fronteiras. E se a situação variar com
o tempo, essa compreensão também depende das condições
existentes no meio em algum Instante inicial.
De forma geral, três tipos de
condições de contorno são
comumente encontradas na TC.
19
CONDIÇÕES DE CONTORNO
1. Condição de Dirichlet (Condição de contorno de primeira espécie)
Temperatura da superfície constante
𝑻 𝟎, 𝒕 = 𝑻𝒔
Ex: Uma superfície em contato íntimo com um
sólido em fusão ou com um líquido em ebulição.
2. Condição de Neumann (Condição de contorno de segunda espécie)
Fluxo de calor constante na superfície
Ex: Uma película isolante ou um aquecedor elétrico
junto a superfície.
(a) Fluxo de calor finito
−𝒌
𝒅𝑻
𝒅𝒙
│𝒙=𝟎 = 𝒒𝒔
20
CONDIÇÕES DE CONTORNO
2. Condição de Neumann (Condição de contorno de segunda espécie)
Fluxo de calor constante na superfície
Ex: Uma superfície perfeitamente isolada.
(b) Superfície adiabática ou isolada
3. Condição de Robin (Condição de contorno de terceira espécie)
Condição de convecção na superfície
Ex: Ocorrência de aquecimento (ou resfriamento)
por convecção na superfície.
−𝒌
𝒅𝑻
𝒅𝒙
│𝒙=𝟎 = 𝐡 (𝑻∞ − 𝑻(𝟎, 𝒕))
21
(EXERCÍCIO 2.2) A distribuição de temperatura através de uma parede
de 1 m de espessura num dado instante de tempo é dada por:
T(x) = a + bx + cx²
Em que T está em graus Celsius e x em metros, enquanto a = 900°C,
b = -300°C/m e c = -50°C. A parede gera um calor uniforme igual a q‴
= 1000 W/m³, e sua área é de 10 m², com as seguintes propriedades:
ρ = 1600 Kg/m³, k = 4040 W/m.K e Cp = 4 kJ/Kg.K.
a) Determine a taxa de transferência de calor que entra na parede
(x = 0) e que sai (x = 1).
b) Determine a taxa de variação da energia armazenada na parede.
c) Determine a taxa de variação de temperatura em relação ao tem
em que x = 0 e 0,5 m.
TC POR CONDUÇÃO
22
Etapa 1: Condições
 Condução unidimensional na direção do eixo x;
 O meio é isotrópico com propriedades constantes;
 Geração interna de calor uniforme, q‴ (W/m³).
Resolução:
TC POR CONDUÇÃO
Etapa 2: Esquema
23
Resolução:
TC POR CONDUÇÃO
Etapa 2: Cálculos
𝒒𝒆 = 𝟏𝟐𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝐖 𝐨𝐮 𝟏𝟐𝟎 𝐊𝐖
a)
𝒒𝒔 = −𝒌 𝑨
𝑻𝟐 − 𝑻𝟏
𝑳
│𝒙=𝟏
𝒒𝒔 = −𝟒𝟎
𝑾
𝒎.𝒌
𝐱 𝟏𝟎 𝒎²
(−𝟑𝟎𝟎 − 𝟏𝟎𝟎(𝟏)) [𝒌]
𝟏[𝒎]
𝒒𝒔 = 𝟏𝟔𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝐖 𝐨𝐮 𝟏𝟔𝟎 𝐊𝐰
24
Resolução:
TC POR CONDUÇÃO
Etapa 2: Cálculos
𝒒‴𝒈𝒆𝒓 = 𝟏𝟎𝟎𝟎
𝑾
𝒎³
b)
𝒒𝒈𝒆𝒓 = 𝟏𝟎𝟎𝟎
𝑾
𝒎³
𝐱 𝟏𝟎 𝒎² 𝐱 𝟏 𝒎
𝒒𝒈𝒆𝒓 = 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝐖 𝐨𝐮 𝟏𝟎 𝐊𝐰
𝑬𝒆 − 𝑬𝒔 + 𝑬𝒈 = 𝑬𝒂𝒓
𝑬𝒂𝒓 = 𝟏𝟐𝟎 𝐊𝐰 − 𝟏𝟔𝟎 𝐊𝐰 − 𝟏𝟎 𝐊𝐰
𝑬𝒂𝒓 = −𝟑𝟎 𝐊𝐰
25
Resolução:
TC POR CONDUÇÃO
Etapa 2: Cálculos
c)
𝝏𝑻
𝝏𝒕
= −𝟑𝟎𝟎 − 𝟏𝟎𝟎𝒙
𝝏𝟐𝐓 = −𝟏𝟎𝟎
𝐓 𝒙 = 𝟗𝟎𝟎 − 𝟑𝟎𝟎𝒙 − 𝟓𝟎𝒙²
𝝏𝑻
𝝏𝒕
= −𝟒𝟎
𝑾
𝒎.𝒌
𝐱
𝟏
𝟔𝟎𝟎𝟎
𝒎3
𝒌𝒈
𝐱
𝟏
𝟒𝟎𝟎𝟎
𝒌𝒈.𝑲
𝒌𝑱
𝐱 −𝟏𝟎𝟎
𝑲
𝒎2
+𝟏𝟎𝟎𝟎
𝑾
𝒎3
𝐱
𝟏
𝟏𝟔𝟎𝟎
𝒎3
𝒌𝒈
𝐱
𝟏
𝟒
𝒌𝒈.𝑲
𝒌𝑱
𝝏𝑻
𝝏𝒕
= 𝟒, 𝟔𝟗 𝐱 𝟏𝟎−𝟒
26
QUESTÕES
ENADE E CONCURSOS
27
APLICANDO OS CONHECIMENTOS ADQUIRIDOS
ENADE 2014 (Engenharias):
Um ambiente confortável termicamente é uma das condições que devem ser
consideradas em projetos de edificações. A fim de projetar um ambiente
interno com temperatura de 20°C para uma temperatura externa média de
35°C, um engenheiro considerou, no dimensionamento, um fluxo de calor
através de uma parede externa de 105 W/m², com espessura de 20 cm. Logo
abaixo são apresentados os valores de condutividade térmicapara alguns
materiais de construção. A fim de se obter a temperatura interna desejada,
qual desses materiais deve ser o selecionado? Esquematize o sistema.
a) Concreto = 1,40 (W/m.K)
b) Pedra natural = 1,00 (W/m.K)
c) Placa de aglomerado de fibras de madeira = 0,20 (W/m.K)
d) Placa de madeira prensada = 0,10 (W/m.K)
e) Placa com espuma rígida de poliuretano = 0,03 (W/m.K)
28
Etapa 1: Condições
 TC por condução unidimensional através da parede;
 A condutividade térmica (k) é constante;
 Condições de regime estacionário.
Resolução:
APLICANDO OS CONHECIMENTOS ADQUIRIDOS
Etapa 2: Esquema
29
MODOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR
Etapa 3: Cálculos
Resolução:
𝟏𝟎𝟓 𝐱 𝟎, 𝟐 = −𝒌 (−𝟏𝟓)
𝒌 =
𝟐𝟏
𝟏𝟓
= 𝟏, 𝟒
𝑾
𝒎.𝒌
30
APLICANDO OS CONHECIMENTOS ADQUIRIDOS
ENADE 2014 (Engenharias):
Um ambiente confortável termicamente é uma das condições que devem ser
consideradas em projetos de edificações. A fim de projetar um ambiente
interno com temperatura de 20°C para uma temperatura externa média de
35°C, um engenheiro considerou, no dimensionamento, um fluxo de calor
através de uma parede externa de 105 W/m², com espessura de 20 cm. Logo
abaixo são apresentados os valores de condutividade térmica para alguns
materiais de construção. A fim de se obter a temperatura interna desejada,
qual desses materiais deve ser o selecionado? Esquematize o sistema.
a) Concreto = 1,40 (W/m.K)
b) Pedra natural = 1,00 (W/m.K)
c) Placa de aglomerado de fibras de madeira = 0,20 (W/m.K)
d) Placa de madeira prensada = 0,10 (W/m.K)
e) Placa com espuma rígida de poliuretano = 0,03 (W/m.K)
31
APLICANDO OS CONHECIMENTOS ADQUIRIDOS
INSS - Analista 2014 (Engenharias):
Determine a condutividade térmica de um determinado material,
sabendo-se que o fluxo de calor através de uma placa composta por
esse material, com 1 cm de espessura e submetida a uma diferença de
temperatura de 20°C entre suas superfícies, é de 400 W/m2. Faça as
considerações e esquematize o sistema.
a) 0,2 W/m.°C
b) 0,02 W/m.°C
c) 0,01 W/m.°C
d) 0,04 W/m.°C
e) 0,8 W/m.°C
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Etapa 1: Condições
 TC por condução unidimensional através da parede;
 A condutividade térmica (k) é constante;
 Condições de regime estacionário.
Resolução:
APLICANDO OS CONHECIMENTOS ADQUIRIDOS
Etapa 2: Esquema
33
MODOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR
Etapa 3: Cálculos
Resolução:
400 𝐱 𝟎, 𝟎𝟏 = 𝒌 (𝟐𝟎)
𝒌 =
𝟒
𝟐𝟎
= 𝟎, 𝟐
𝑾
𝒎. °𝐂
34
APLICANDO OS CONHECIMENTOS ADQUIRIDOS
INSS - Analista 2014 (Engenharias):
Determine a condutividade térmica de um determinado material,
sabendo-se que o fluxo de calor através de uma placa composta por
esse material, com 1 cm de espessura e submetida a uma diferença de
temperatura de 20°C entre suas superfícies, é de 400 W/m2. Faça as
considerações e esquematize o sistema.
a) 0,2 W/m.°C
b) 0,02 W/m.°C
c) 0,01 W/m.°C
d) 0,04 W/m.°C
e) 0,8 W/m.°C