FT2 2018 Aula 4 (Condução e Condições de Contorno)

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FENÔMENOS DE TRANSPORTE II
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
POR CONDUÇÃO
Profª Drª Cleide Mara Faria Soares
2
TC POR CONDUÇÃO
Regida empiricamente pela lei de Fourier, a TC por condução
ocorre pela difusão de energia devido a um gradiente de
temperatura que provoca movimento molecular aleatório em
meio estacionário.
Taxa de transferência de calor (W/m2) na
direção x
Constante de condutividade térmica do
material (W/m . K)
Gradiente de temperatura𝒒𝒙 = −𝒌
𝑻𝟐 − 𝑻𝟏
𝑳
3
TC POR CONDUÇÃO
A condutividade térmica (K), é uma importante propriedade do
material, que indica a taxa pela qual a energia é transferida pela
processo de difusão.
A condutividade térmica é intrinsicamente dependente do
estado físico do material.
SÓLIDOS > LÍQUIDOS > GASES
4
TC POR CONDUÇÃO
Faixa de condutividade térmica para vários estados da matéria em 
condições normais de temperatura e de pressão.
5
TC POR CONDUÇÃO
Dependência da condutividade com a temperatura para alguns 
materiais sólidos.
6
TC POR CONDUÇÃO
Dependência da condutividade com a temperatura para alguns gases 
a pressões normais.
7
TC POR CONDUÇÃO
Dependência da condutividade com a temperatura para alguns 
líquidos não-metálicos em condições de saturação.
8
TC POR CONDUÇÃO
Aplicando a conservação de energia e definindo um pequeno
volume de controle de um material sólido num sistema
arbitrário.
9
TC POR CONDUÇÃO
Os fluxos de condução de calor podem ser avaliados pela lei de
Fourier.
𝒒𝒙 = −𝒌∆𝒚∆𝒛
𝒅𝑻
𝒅𝒙
│𝒙
𝒒𝒛 = −𝒌∆𝒙∆𝒚
𝒅𝑻
𝒅𝒛
│𝒛
𝒒𝒙 + ∆𝒙= −𝒌∆𝒚∆𝒛
𝒅𝑻
𝒅𝒙
│𝒙 + ∆𝒙
𝒒𝒛 + ∆𝒛= −𝒌∆𝒙∆𝒚
𝒅𝑻
𝒅𝒛
│𝒛 + ∆𝒛
10
TC POR CONDUÇÃO
O calor gerado no elemento é representado por:
𝒒𝒈𝒆𝒓 = 𝐪‴ ∆𝒙 ∆𝒚 ∆𝒛
Taxa em que a energia é gerada por
unidade de volume do meio (W/m³)
A variação de energia interna é dada por:
𝝏𝑼
𝝏𝒕
= 𝝆 𝒄𝒑 ∆𝒙 ∆𝒚 ∆𝒛
𝝏𝑻
𝝏𝒕
Calor específico do material
Capacidade de acúmulo de energia
interna por volume
Tempo
Temperatura
11
TC POR CONDUÇÃO
Balanço de energia
𝒒𝒙 + 𝒒𝒚 + 𝒒𝒛 − 𝒒𝒙 + ∆𝒙 + 𝒒𝒚 + ∆𝒚 + 𝒒𝒛 + ∆𝒛
+ 𝐪‴ ∆𝒙 ∆𝒚 ∆𝒛 = 𝝆 𝒄𝒑 ∆𝒙 ∆𝒚 ∆𝒛
𝝏𝑻
𝝏𝒕
−𝒌 ∆𝒚∆𝒛
𝒅𝑻
𝒅𝒙
│𝒙 − 𝒌 ∆𝒛∆𝒙
𝒅𝑻
𝒅𝒚
│𝒚 − 𝒌 ∆𝒙∆𝒚
𝒅𝑻
𝒅𝒛
│𝒛 − (−𝒌 ∆𝒚∆𝒛
𝒅𝑻
𝒅𝒙
│𝒙+∆𝒙)
− (−𝒌 ∆𝒛∆𝒙
𝒅𝑻
𝒅𝒚
│𝒚+∆𝒚) − (−𝒌 ∆𝒙∆𝒚
𝒅𝑻
𝒅𝒛
│𝒛+∆𝒛) + 𝐪‴ ∆𝒙 ∆𝒚 ∆𝒛 = 𝝆 𝒄𝒑 ∆𝒙 ∆𝒚 ∆𝒛
𝝏𝑻
𝝏𝒕
𝑬𝒆 − 𝑬𝒔 ± 𝑬𝒈 = 𝑬𝒂𝒓
÷ ∆𝒙 ∆𝒚 ∆𝒛
12
TC POR CONDUÇÃO
÷ 𝒌
𝒅𝑻
𝒅𝒙 │𝒙+∆𝒙 −
𝒅𝑻
𝒅𝒙│𝒙
∆𝒙
+
𝒅𝑻
𝒅𝒚
│𝒚+∆𝒚 −
𝒅𝑻
𝒅𝒚
│𝒚
∆𝒚
+
𝒅𝑻
𝒅𝒛 │𝒛+∆𝒛 −
𝒅𝑻
𝒅𝒛 │𝒛
∆𝒛
+
𝐪‴
𝒌
=
𝝆 𝒄𝒑
𝒌
𝝏𝑻
𝝏𝒕
13
TC POR CONDUÇÃO
Sabendo que:
𝛁𝟐𝐓 +
𝐪‴
𝒌
=
𝟏
α
𝝏𝑻
𝝏𝒕
14
TC POR CONDUÇÃO
Para sistemas térmicos transientes que não possuem fonte de calor:
𝝏𝟐𝐓
𝝏𝒙𝟐
+
𝝏𝟐𝐓
𝝏𝒚𝟐
+
𝝏𝟐𝐓
𝝏𝒛𝟐
=
𝟏
α
𝝏𝑻
𝝏𝒕
Para sistemas térmicos estacionários em relação ao tempo, com fonte
de calor:
𝝏𝟐𝐓
𝝏𝒙𝟐
+
𝝏𝟐𝐓
𝝏𝒚𝟐
+
𝝏𝟐𝐓
𝝏𝒛𝟐
+
𝐪‴
𝒌
= 𝟎
15
TC POR CONDUÇÃO
Para sistemas térmicos estacionários sem geração de calor:
𝝏𝟐𝐓
𝝏𝒙𝟐
+
𝝏𝟐𝐓
𝝏𝒚𝟐
+
𝝏𝟐𝐓
𝝏𝒛𝟐
= 𝟎
16
TC POR CONDUÇÃO
Em termos de coordenadas cilíndricas:
𝟏
𝒓
𝝏
𝝏𝒓
𝒌𝒓
𝝏𝑻
𝝏𝒓
+
𝟏
𝒓𝟐
𝝏
𝝏∅
𝒌
𝝏𝑻
𝝏∅
+
𝝏
𝝏𝒛
𝒌
𝝏𝑻
𝝏𝒛
+ 𝐪‴ = 𝝆𝒄𝒑
𝝏𝑻
𝝏𝒕
A equação de calor também pode ser escrita em coordenadas
cilíndricas e esféricas.
17
TC POR CONDUÇÃO
Em termos de coordenadas esféricas:
𝟏
𝒓𝟐
𝝏
𝝏𝒓
𝒌𝒓𝟐
𝝏𝑻
𝝏𝒓
+
𝟏
𝒓𝟐 𝐬𝐞𝐧𝟐 Ɵ
𝝏
𝝏∅
𝒌
𝝏𝑻
𝝏∅
+
𝟏
𝒓𝟐 𝐬𝐞𝐧Ɵ
𝝏
𝝏Ɵ
𝒌𝒔𝒆𝒏Ɵ
𝝏𝑻
𝝏Ɵ
+ 𝒒‴ = 𝝆𝒄𝒑
𝝏𝑻
𝝏𝒕
18
CONDIÇÕES DE 
CONTORNO
19
Independente das coordenadas em que as transferência de calor
ocorram, existem diversos métodos para determinar a distribuição de
temperaturas num sistema a 2 ou 3 dimensões. Estes incluem soluções
analíticas, gráficas, analógicas e numéricas.
Considere uma placa retangular fina sem geração de calor. Três lados da
placa são mantidos a temperatura de T1, enquanto o quarto lado é
mantido a T2 ≠ T1.
Soluções analíticas
A placa está isolada nas superfícies superior e inferior, deste
modo ∂T/∂z é desprezível, e a temperatura é função somente
de x e y. Se a k é uniforme, a distribuição de temperatura
deve satisfazer a equação no Balanço de Energia:
𝝏𝟐𝐓
𝝏𝒙𝟐
+
𝝏𝟐𝐓
𝝏𝒚𝟐
+
𝝏𝟐𝐓
𝝏𝒛𝟐
+
𝐪‴
𝒌
=
𝟏
α
𝝏𝑻
𝝏𝒕
𝝏𝟐𝐓
𝝏𝒙𝟐
+
𝝏𝟐𝐓
𝝏𝒚𝟐
= 𝟎
CONDIÇÕES DE CONTORNO
T1
T2
T1
T1
x
y
20
Esta equação diferencial parcial de 2ª ordem pode ser resolvida pelo
método de separação de variáveis. A solução necessita de 2 condições
de contorno para cada variável dependente, ∅ = T2 ≠ T1.
𝝏𝟐∅
𝝏𝒙𝟐
+
𝝏𝟐∅
𝝏𝒚𝟐
= 𝟎 1
A solução da equação 1 implica na suposição de que a solução
pretendida para equação diferencial pode ser expressa como o
produto de duas funções, x e y, uma dependente somente de x e a
outra de y.
∅ 𝒙, 𝒚 = 𝑿 𝒙 𝒀(𝒚) 2
−𝟏
𝒙
𝝏𝟐𝑿
𝝏𝒙𝟐
=
𝟏
𝒚
𝝏𝟐𝒀
𝝏𝒚𝟐
3
Substituindo 2 em 1 e
dividindo XY, temos:
CONDIÇÕES DE CONTORNO
21
As variáveis estão separadas, onde o lado esquerdo é uma função de
x, e o lado direito é uma função apenas de y. cada lado é
independente do outro, uma vez que x e y são variáveis
independentes. Este fato exige que cada lado da equação seja igual, a
ƛ². Deste modo, temos 2 equações diferenciais ordinárias.
𝝏𝟐𝑿
𝝏𝒙𝟐
+ ƛ²𝒙 = 𝟎 4
𝝏𝟐𝒀
𝝏𝒚𝟐
− ƛ²𝒚 = 𝟎 5
As soluções da eq. 4 e 5, pode ser expressa por:
X 𝒙 𝑿 = 𝑪𝟏 cosƛ𝒙 + 𝑪2 senƛ𝒙
Y 𝒚 𝒀 = 𝑪𝟑 e−
ƛ𝒚+ 𝑪4 e
ƛ𝒚
CONDIÇÕES DE CONTORNO
22
Da equação 2, temos:
Para o esquema, teremos:
∅ = 𝑿𝒀
∅ = (𝑪𝟏 cosƛ𝒙 + 𝑪2 senƛ𝒙) x (𝑪𝟑 e−
ƛ𝒚+ 𝑪4 e
ƛ𝒚)
CONDIÇÕES DE CONTORNO
T1T1
T1
T2 f(w)
23
Condições de contorno:
𝐂. 𝐂. 𝟏:
y = 0 T = T1 Ɵ = 0 
𝐂. 𝐂. 𝟐:
x = 0 T = T1 Ɵ = 0 
𝐂. 𝐂. 𝟑:
x = L T = T1 Ɵ= 0 
𝐂. 𝐂. 𝟒:
y = w T2 = f(x) Ɵ = Ɵm . sen
𝝅 𝒙
𝑳
T = Ɵm sen
𝝅 𝒙
𝑳
+ T1
Ɵ = T - T1
CONDIÇÕES DE CONTORNO
24
Condições de contorno:
𝐂. 𝐂. 𝟏:
Ɵ = (𝑪𝟏 cosƛ𝒙 + 𝑪2 senƛ𝒙) x (𝑪𝟑 e−
ƛ𝒚+ 𝑪4e
ƛ𝒚)
𝟎 = (𝑪𝟏 cosƛ𝒙 + 𝑪2 senƛ𝒙) x (𝑪𝟑+ 𝑪4 )
≠ 0 = 0
(𝑪𝟑+ 𝑪4 ) = 0
𝑪𝟑 = −𝑪4
𝐂. 𝐂. 𝟐:
Ɵ = (𝑪𝟏 cosƛ𝒙 + 𝑪2 senƛ𝒙) x (𝑪𝟑 e−
ƛ𝒚+ 𝑪4e
ƛ𝒚)
𝟎 = (𝑪𝟏 cos Ɵ + 𝑪2 sen Ɵ) x (𝑪𝟑 e−
ƛ𝒚+ 𝑪4e
ƛ𝒚)
𝟎 = (𝑪𝟏 (𝟏) + 𝑪2 (𝟎)) x (𝑪𝟑 e−
ƛ𝒚+ 𝑪4e
ƛ𝒚)
𝟎 = 𝑪𝟏 (𝑪𝟑 e−
ƛ𝒚+ 𝑪4e
ƛ𝒚)
= 0 ≠ 0 
𝑪𝟏 = 0
CONDIÇÕES DE CONTORNO
25
𝐂. 𝐂. 𝟑:
Ɵ = (𝑪𝟏 cos ƛ𝑳 + 𝑪2 sen ƛ𝑳) x (𝑪𝟑 e−
ƛ𝒚+ 𝑪4e
ƛ𝒚)
Considerando que:
𝑪𝟏 = 0
𝑪𝟑 = −𝑪4 ou 𝑪4 = −𝑪𝟑
CONDIÇÕES DE CONTORNO
𝟎 = 𝑪2 sen ƛ𝑳 𝑪𝟑 (e−
ƛ𝒚 − eƛ𝒚)
Considerando: 
𝑪
𝟐
= 𝑪2 𝑪3
𝟎 = 𝑪sen ƛ𝑳
(e−ƛ𝒚−eƛ𝒚)
𝟐
𝟎 = 𝑪sen ƛ𝑳 x sen h ƛ𝒚
sen h ƛ𝒚 = 
(e−ƛ𝒚−eƛ𝒚)
𝟐
26
CONDIÇÕES DE CONTORNO
Para satisfazer esta condição: sen ƛ𝑳 = 0, que se verifica quando
ƛ =
𝒏 π
𝑳
, onde 𝒏 = 1, 2, 3, ... Existe, portanto, uma solução
diferente para cada 𝒏 inteiro, e cada solução possui sua
constante de separação da integração 𝑪𝒏.
Somando essa solução, temos:
Ɵ = σ𝒏=𝟏
∞ 𝑪𝒏𝒔𝒆𝒏
𝒏 π 𝒙
𝑳
𝒔𝒆𝒏 𝒉
𝒏 π 𝒚
𝑳
Pela 𝐂. 𝐂. 𝟒:
Ɵ𝒎 𝒔𝒆𝒏
𝒏 π 𝒙
𝑳
= ෍
𝒏=𝟏
∞
𝑪𝒏 𝒔𝒆𝒏
𝒏 π 𝒙
𝑳
𝒔𝒆𝒏 𝒉
𝒏 π 𝒚
𝑳
27
CONDIÇÕES DE CONTORNO
Examinando os termos em 𝒔𝒆𝒏Ɵ em cada lado da equação,
temos que 𝒏 = 𝟏 e o número inteiro é:
𝑪𝒏 = Ɵ𝟏 =
Ɵ𝒎
𝒔𝒆𝒏 𝒉
𝝅𝐰
𝑳
Ɵ𝒎 𝒔𝒆𝒏
𝝅 𝒙
𝑳
= 𝑪𝟏 𝒔𝒆𝒏
𝝅 𝒙
𝑳
𝒔𝒆𝒏 𝒉
𝝅𝐰
𝑳
+ 𝑪𝟐 𝒔𝒆𝒏
𝟐𝝅 𝒙
𝑳
𝒔𝒆𝒏 𝒉
𝟐𝝅 𝒘
𝑳
+ …
𝑪𝟏 = ? 𝒏 = 𝟏
Ɵ𝒎 𝒔𝒆𝒏
𝝅 𝒙
𝑳
= 𝑪𝟏 𝒔𝒆𝒏
𝝅 𝒙
𝑳
𝒔𝒆𝒏 𝒉
𝝅𝐰
𝑳
28
CONDIÇÕES DE CONTORNO
𝑪𝟏 =
Ɵ𝒎 𝒔𝒆𝒏
𝝅 𝒙
𝑳
𝒔𝒆𝒏
𝝅 𝒙
𝑳 𝒔𝒆𝒏 𝒉
𝝅 𝐰
𝑳
Ɵ =
Ɵ𝒎
𝒔𝒆𝒏 𝒉
𝝅 𝐰
𝑳
𝒔𝒆𝒏
𝝅 𝒙
𝑳
𝒔𝒆𝒏 𝒉
𝝅 𝒚
𝑳
𝑪𝟏 =
Ɵ𝒎
𝒔𝒆𝒏 𝒉
𝝅 𝐰
𝑳
Assim, a solução final é:
Ɵ = ෍
𝒏=𝟏
∞
𝑪𝒏 𝒔𝒆𝒏
𝒏 π 𝒙
𝑳
𝒔𝒆𝒏 𝒉
𝒏 π 𝒚
𝑳
29
CONDIÇÕES DE CONTORNO
Ɵ =
Ɵ𝒎
𝒔𝒆𝒏 𝒉
𝝅 𝐰
𝑳
𝒔𝒆𝒏
𝝅 𝒙
𝑳
𝒔𝒆𝒏 𝒉
𝝅 𝒚
𝑳
ou
Isotermas para condução bidimensional em uma chapa retangular.
30
CONDIÇÕES DE CONTORNO
Quando as condições de contorno não são tão simples como no
problema que acabamos de ver, a solução é obtida na forma de
uma série infinita. Por exemplo, se a temperatura na borda 𝒚 =
w é uma função de 𝒙, digamos 𝐓 𝐱,𝐰 = 𝑭(𝒚), então a solução
é a série infinita:
As soluções analíticas são úteis, mas existem poucos problemas
práticos com geometria e condições de contorno que podem ser
resolvidos analiticamente.
31
CONDIÇÕES DE CONTORNO
O entendimento adequado da TC depende das condições físicas
existentes nas fronteiras do meio, as chamadas Condições de
Contorno ou Condições de Fronteiras. E se a situação variar com
o tempo, essa compreensão também depende das condições
existentes no meio em algum Instante inicial.
De forma geral, três tipos de
condições de contorno são
comumente encontradas na TC.
32
CONDIÇÕES DE CONTORNO
1. Condição de Dirichlet (Condição de contorno de primeira espécie)
Temperatura da superfície constante
𝑻 𝟎, 𝒕 = 𝑻𝒔
Ex: Uma superfície em contato íntimo com um
sólido em fusão ou com um líquido em ebulição.
2. Condição de Neumann (Condição de contorno de segunda espécie)
Fluxo de calor constante na superfície
Ex: Uma película isolante ou um aquecedor elétrico
junto a superfície.
(a) Fluxo de calor finito
−𝒌
𝒅𝑻
𝒅𝒙
│𝒙=𝟎 = 𝒒𝒔
33
CONDIÇÕES DE CONTORNO
2. Condição de Neumann (Condição de contorno de segunda espécie)
Fluxo de calor constante na superfície
Ex: Uma superfície perfeitamente isolada.
(b) Superfície adiabática ou isolada
3. Condição de Robin (Condição de contorno de terceira espécie)
Condição de convecção na superfície
Ex: Ocorrência de aquecimento (ou resfriamento)
por convecção na superfície.
−𝒌
𝒅𝑻
𝒅𝒙
│𝒙=𝟎 = 𝐡 (𝑻∞ − 𝑻(𝟎, 𝒕))