FT2 2018 Aula 2.2 (Conduçao) (1)

Prévia do material em texto

FENÔMENOS DE TRANSPORTE II
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
POR CONDUÇÃO
Profª Drª Cleide Mara Faria Soares
2
TC POR CONDUÇÃO
Regida empiricamente pela lei de Fourier, a TC por condução
ocorre pela difusão de energia devido a um gradiente de
temperatura que provoca movimento molecular aleatório em
meio estacionário.
Taxa de transferência de calor (W/m2) na
direção x
Constante de condutividade térmica do
material (W/m . K)
Gradiente de temperatura𝒒𝒙 = −𝒌
𝑻𝟐 − 𝑻𝟏
𝑳
3
TC POR CONDUÇÃO
A condutividade térmica (K), é uma importante propriedade do
material, que indica a taxa pela qual a energia é transferida pela
processo de difusão.
A condutividade térmica é intrinsicamente dependente do
estado físico do material.
SÓLIDOS > LÍQUIDOS > GASES
4
TC POR CONDUÇÃO
Faixa de condutividade térmica para vários estados da matéria em 
condições normais de temperatura e de pressão.
5
TC POR CONDUÇÃO
Dependência da condutividade com a temperatura para alguns 
materiais sólidos.
6
TC POR CONDUÇÃO
Dependência da condutividade com a temperatura para alguns gases 
a pressões normais.
7
TC POR CONDUÇÃO
Dependência da condutividade com a temperatura para alguns 
líquidos não-metálicos em condições de saturação.
8
TC POR CONDUÇÃO
Aplicando a conservação de energia e definindo um pequeno
volume de controle de um material sólido num sistema
arbitrário.
9
TC POR CONDUÇÃO
Os fluxos de condução de calor podem ser avaliados pela lei de
Fourier.
𝒒𝒙 = −𝒌∆𝒚∆𝒛
𝒅𝑻
𝒅𝒙
│𝒙
𝒒𝒚 = −𝒌∆𝒙∆𝒛
𝒅𝑻
𝒅𝒚
│𝒚
𝒒𝒛 = −𝒌∆𝒙∆𝒚
𝒅𝑻
𝒅𝒛
│𝒛
𝒒𝒙 + ∆𝒙= −𝒌∆𝒚∆𝒛
𝒅𝑻
𝒅𝒙
│𝒙 + ∆𝒙
𝒒𝒚 + ∆𝒚= −𝒌∆𝒙∆𝒛
𝒅𝑻
𝒅𝒚
│𝒚 + ∆𝒚
𝒒𝒛 + ∆𝒛= −𝒌∆𝒙∆𝒚
𝒅𝑻
𝒅𝒛
│𝒛 + ∆𝒚
10
TC POR CONDUÇÃO
O calor gerado no elemento é representado por:
𝒒𝒈𝒆𝒓 = 𝐪‴ ∆𝒙 ∆𝒚 ∆𝒛
Taxa em que a energia é gerada por
unidade de volume do meio (W/m³)
A variação de energia interna é dada por:
𝝏𝑼
𝝏𝒕
= 𝝆 𝒄𝒑 ∆𝒙 ∆𝒚 ∆𝒛
𝝏𝑻
𝝏𝒌
Calor específico do material
Capacidade de acúmulo de energia
interna por volume
Tempo
Temperatura
11
TC POR CONDUÇÃO
Balanço de energia
𝒒𝒙 + 𝒒𝒚 + 𝒒𝒛 − 𝒒𝒙 + ∆𝒙 + 𝒒𝒚 + ∆𝒚 + 𝒒𝒛 + ∆𝒛
+ 𝐪‴ ∆𝒙 ∆𝒚 ∆𝒛 = 𝝆 𝒄𝒑 ∆𝒙 ∆𝒚 ∆𝒛
𝝏𝑻
𝝏𝒕
−𝒌 ∆𝒚∆𝒛
𝒅𝑻
𝒅𝒙
│𝒙 − 𝒌 ∆𝒛∆𝒙
𝒅𝑻
𝒅𝒚
│𝒚 − 𝒌 ∆𝒙∆𝒚
𝒅𝑻
𝒅𝒛
│𝒛 +−𝒌 ∆𝒚∆𝒛
𝒅𝑻
𝒅𝒙
│𝒙+∆𝒙
− 𝒌 ∆𝒛∆𝒙
𝒅𝑻
𝒅𝒚
│𝒚+∆𝒚 − 𝒌 ∆𝒙∆𝒚
𝒅𝑻
𝒅𝒛
│𝒛+∆𝒛 + 𝐪‴ ∆𝒙 ∆𝒚 ∆𝒛 = 𝝆 𝒄𝒑 ∆𝒙 ∆𝒚 ∆𝒛
𝝏𝑻
𝝏𝒕
𝑬𝒆 − 𝑬𝒔 ± 𝑬𝒈 = 𝑬𝒂𝒓
÷ ∆𝒙 ∆𝒚 ∆𝒛
12
TC POR CONDUÇÃO
÷𝑲
𝒌
𝒅𝑻
𝒅𝒙│𝒙+∆𝒙 − 𝒌
𝒅𝑻
𝒅𝒙│𝒙
∆𝒙
+
𝒌
𝒅𝑻
𝒅𝒚│𝒚+∆𝒚 − 𝒌
𝒅𝑻
𝒅𝒚│𝒚
∆𝒚
+
𝒌
𝒅𝑻
𝒅𝒛 │𝒛+∆𝒛 − 𝒌
𝒅𝑻
𝒅𝒛 │𝒛
∆𝒛
+
𝐪‴
𝒌
=
𝝆 𝒄𝒑
𝒌
𝝏𝑻
𝝏𝒕
13
TC POR CONDUÇÃO
Sabendo que:
𝛁𝟐𝐓 +
𝐪‴
𝒌
=
𝟏
α
𝝏𝑻
𝝏𝒕
14
TC POR CONDUÇÃO
Para sistemas térmicos transientes que não possuem fonte de calor:
𝝏𝟐𝐓
𝝏𝒙𝟐
+
𝝏𝟐𝐓
𝝏𝒚𝟐
+
𝝏𝟐𝐓
𝝏𝒛𝟐
=
𝟏
α
𝝏𝑻
𝝏𝒕
Para sistemas térmicos estacionários em relação ao tempo, com fonte
de calor:
𝝏𝟐𝐓
𝝏𝒙𝟐
+
𝝏𝟐𝐓
𝝏𝒚𝟐
+
𝝏𝟐𝐓
𝝏𝒛𝟐
+
𝐪‴
𝒌
= 𝟎
15
TC POR CONDUÇÃO
Para sistemas térmicos estacionários sem geração de calor:
𝝏𝟐𝐓
𝝏𝒙𝟐
+
𝝏𝟐𝐓
𝝏𝒚𝟐
+
𝝏𝟐𝐓
𝝏𝒛𝟐
= 𝟎
16
TC POR CONDUÇÃO
Em termos de coordenadas cilíndricas:
𝟏
𝒓
𝝏
𝝏𝒓
𝒌𝒓
𝝏𝑻
𝝏𝒓
+
𝟏
𝒓𝟐
𝝏
𝝏∅
𝒌
𝝏𝑻
𝝏∅
+
𝝏
𝝏𝒛
𝒌
𝝏𝑻
𝝏𝒛
+ 𝐪‴ = 𝝆𝒄𝒑
𝝏𝑻
𝝏𝒕
A equação de calor também pode ser escrita em coordenadas
cilíndricas e esféricas.
17
TC POR CONDUÇÃO
Em termos de coordenadas esféricas:
𝟏
𝒓𝟐
𝝏
𝝏𝒓
𝒌𝒓𝟐
𝝏𝑻
𝝏𝒓
+
𝟏
𝒓𝟐 𝐬𝐞𝐧𝟐 ∅
𝝏
𝝏∅
𝒌
𝝏𝑻
𝝏∅
+
𝟏
𝒓𝟐 𝐬𝐞𝐧∅
𝝏
𝝏∅
𝒌𝒔𝒆𝒏∅
𝝏𝑻
𝝏∅
+ 𝒒‴ = 𝝆𝒄𝒑
𝝏𝑻
𝝏𝒕
18
(EXERCÍCIO 2.2) A distribuição de temperatura através de uma parede
de 1 m de espessura num dado instante de tempo é dada por:
T(x) = a + bx + cx²
Em que T está em graus Celsius e x em metros, enquanto a = 900°C,
b = -300°C/m e c = -50°C. A parede gera um calor uniforme igual a q‴
= 1000 W/m³, e sua área é de 10 m², com as seguintes propriedades:
ρ = 1600 Kg/m³, k = 4040 W/m.K e Cp = 4 kJ/Kg.K.
a) Determine a taxa de transferência de calor que entra na parede
(x = 0) e que sai (x = 1).
b) Determine a taxa de variação da energia armazenada na parede.
c) Determine a taxa de variação de temperatura em relação ao tem
em que x = 0 e 0,5 m.
TC POR CONDUÇÃO
19
Etapa 1: Condições
 Condução unidimensional na direção do eixo x;
 O meio é isotrópico com propriedades constantes;
 Geração interna de calor uniforme, q‴ (W/m³).
Resolução:
TC POR CONDUÇÃO
Etapa 2: Esquema
20
Resolução:
TC POR CONDUÇÃO
Etapa 2: Cálculos
𝒒𝒆 = 𝟏𝟐𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝐖 𝐨𝐮 𝟏𝟐𝟎 𝐊𝐖
a)
𝒒𝒔 = −𝒌 𝑨
𝑻𝟐 − 𝑻𝟏
𝑳
│𝒙=𝟏
𝒒𝒔 = −𝟒𝟎
𝑾
𝒎.𝒌
𝐱 𝟏𝟎 𝒎²
(−𝟑𝟎𝟎 − 𝟏𝟎𝟎(𝟏)) [𝒌]
𝟏[𝒎]
𝒒𝒔 = 𝟏𝟔𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝐖 𝐨𝐮 𝟏𝟔𝟎 𝐊𝐰
21
Resolução:
TC POR CONDUÇÃO
Etapa 2: Cálculos
𝒒‴𝒈𝒆𝒓 = 𝟏𝟎𝟎𝟎
𝑾
𝒎³
b)
𝒒𝒈𝒆𝒓 = 𝟏𝟎𝟎𝟎
𝑾
𝒎³
𝐱 𝟏𝟎 𝒎² 𝐱 𝟏 𝒎
𝒒𝒈𝒆𝒓 = 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝐖 𝐨𝐮 𝟏𝟎 𝐊𝐰
𝑬𝒆 − 𝑬𝒔 + 𝑬𝒈 = 𝑬𝒂𝒓
𝑬𝒂𝒓 = 𝟏𝟐𝟎 𝐊𝐰 − 𝟏𝟔𝟎 𝐊𝐰 − 𝟏𝟎 𝐊𝐰
𝑬𝒂𝒓 = −𝟑𝟎 𝐊𝐰
22
Resolução:
TC POR CONDUÇÃO
Etapa 2: Cálculos
c)
𝝏𝑻
𝝏𝒕
= −𝟑𝟎𝟎 − 𝟏𝟎𝟎𝒙
𝝏𝟐𝐓 = −𝟏𝟎𝟎
𝐓 𝒙 = 𝟗𝟎𝟎 − 𝟑𝟎𝟎𝒙 − 𝟓𝟎𝒙²
𝝏𝑻
𝝏𝒕
= −𝟒𝟎
𝑾
𝒎.𝒌
𝐱
𝟏
𝟔𝟎𝟎𝟎
𝒎3
𝒌𝒈
𝐱
𝟏
𝟒𝟎𝟎𝟎
𝒌𝒈.𝑲
𝒌𝑱
𝐱 −𝟏𝟎𝟎
𝑲
𝒎2
+𝟏𝟎𝟎𝟎
𝑾
𝒎3
𝐱
𝟏
𝟏𝟔𝟎𝟎
𝒎3
𝒌𝒈
𝐱
𝟏
𝟒
𝒌𝒈.𝑲
𝒌𝑱
𝝏𝑻
𝝏𝒕
= 𝟒, 𝟔𝟗 𝐱 𝟏𝟎−𝟒
23
QUESTÕES
ENADE E CONCURSOS
24
APLICANDO OS CONHECIMENTOS ADQUIRIDOS
ENADE 2014 (Engenharias):
Um ambiente confortável termicamente é uma das condições que devem ser
consideradas em projetos de edificações. A fim de projetar um ambiente
interno com temperatura de 20°C para uma temperatura externa média de
35°C, um engenheiro considerou, no dimensionamento, um fluxo de calor
através de uma parede externa de 105 W/m², com espessura de 20 cm. Logo
abaixo são apresentados os valores de condutividade térmica para alguns
materiais de construção. A fim de se obter a temperatura interna desejada,
qual desses materiais deve ser o selecionado? Esquematize o sistema.
a) Concreto = 1,40 (W/m.K)
b) Pedra natural = 1,00 (W/m.K)
c) Placa de aglomerado de fibras de madeira = 0,20 (W/m.K)
d) Placa de madeira prensada = 0,10 (W/m.K)
e) Placa com espuma rígida de poliuretano = 0,03 (W/m.K)
25
Etapa 1: Condições
 TC por condução unidimensional através da parede;
 A condutividade térmica (k) é constante;
 Condições de regime estacionário.
Resolução:
APLICANDO OS CONHECIMENTOS ADQUIRIDOS
Etapa 2: Esquema
26
MODOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR
Etapa 3: Cálculos
Resolução:
𝟏𝟎𝟓 𝐱 𝟎, 𝟐 = −𝒌 (−𝟏𝟓)
𝒌 =
𝟐𝟏
𝟏𝟓
= 𝟏, 𝟒
𝑾
𝒎.𝒌
27
APLICANDO OS CONHECIMENTOS ADQUIRIDOS
ENADE 2014 (Engenharias):
Um ambiente confortável termicamente é uma das condições que devem ser
consideradas em projetos de edificações. A fim de projetar um ambiente
interno com temperatura de 20°C para uma temperatura externa média de
35°C, um engenheiro considerou, no dimensionamento, um fluxo de calor
através de uma parede externa de 105 W/m², com espessura de 20 cm. Logo
abaixo são apresentados os valores de condutividade térmica para alguns
materiais de construção. A fim de se obter a temperatura interna desejada,qual desses materiais deve ser o selecionado? Esquematize o sistema.
a) Concreto = 1,40 (W/m.K)
b) Pedra natural = 1,00 (W/m.K)
c) Placa de aglomerado de fibras de madeira = 0,20 (W/m.K)
d) Placa de madeira prensada = 0,10 (W/m.K)
e) Placa com espuma rígida de poliuretano = 0,03 (W/m.K)
28
APLICANDO OS CONHECIMENTOS ADQUIRIDOS
INSS - Analista 2014 (Engenharias):
Determine a condutividade térmica de um determinado material,
sabendo-se que o fluxo de calor através de uma placa composta por
esse material, com 1 cm de espessura e submetida a uma diferença de
temperatura de 20°C entre suas superfícies, é de 400 W/m2. Faça as
considerações e esquematize o sistema.
a) 0,2 W/m.°C
b) 0,02 W/m.°C
c) 0,01 W/m.°C
d) 0,04 W/m.°C
e) 0,8 W/m.°C
29
Etapa 1: Condições
 TC por condução unidimensional através da parede;
 A condutividade térmica (k) é constante;
 Condições de regime estacionário.
Resolução:
APLICANDO OS CONHECIMENTOS ADQUIRIDOS
Etapa 2: Esquema
30
MODOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR
Etapa 3: Cálculos
Resolução:
400 𝐱 𝟎, 𝟎𝟏 = 𝒌 (𝟐𝟎)
𝒌 =
𝟒
𝟐𝟎
= 𝟎, 𝟐
𝑾
𝒎. °𝐂
31
APLICANDO OS CONHECIMENTOS ADQUIRIDOS
INSS - Analista 2014 (Engenharias):
Determine a condutividade térmica de um determinado material,
sabendo-se que o fluxo de calor através de uma placa composta por
esse material, com 1 cm de espessura e submetida a uma diferença de
temperatura de 20°C entre suas superfícies, é de 400 W/m2. Faça as
considerações e esquematize o sistema.
a) 0,2 W/m.°C
b) 0,02 W/m.°C
c) 0,01 W/m.°C
d) 0,04 W/m.°C
e) 0,8 W/m.°C