Fundamentos da Matemática Financeira e Estatística Aplicada

Prévia do material em texto

FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 
Beniamin Achilles Bondarczuk 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 1 
Prezado aluno, 
Esta apostila é a versão estática, em formato .pdf, da disciplina online e contém 
todas as informações necessárias a quem deseja fazer uma leitura mais linear 
do conteúdo. 
Os termos e as expressões destacadas de laranja são definidos ao final da 
apostila em um conjunto organizado de texto denominado NOTAS. Nele, você 
encontrará explicações detalhadas, exemplos, biografias ou comentários a 
respeito de cada item. 
Além disso, há três caixas de destaque ao longo do conteúdo. 
A caixa de atenção é usada para enfatizar questões importantes e implica um 
momento de pausa para reflexão. Trata-se de pequenos trechos evidenciados 
devido a seu valor em relação à temática principal em discussão. 
A galeria de vídeos, por sua vez, aponta as produções audiovisuais que você 
deve assistir no ambiente online – aquelas que o ajudarão a refletir, de forma 
mais específica, sobre determinado conceito ou sobre algum tema abordado na 
disciplina. Se você quiser, poderá usar o QR Code para acessar essas produções 
audiovisuais, diretamente, a partir de seu dispositivo móvel. 
Por fim, na caixa de Aprenda mais, você encontrará indicações de materiais 
complementares – tais como obras renomadas da área de estudo, pesquisas, 
artigos, links etc. – para enriquecer seu conhecimento. 
Aliados ao conteúdo da disciplina, todos esses elementos foram planejados e 
organizados para tornar a aula mais interativa e servem de apoio a seu 
aprendizado! 
Bons estudos! 
 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 2 
Fundamentos da Mat. Financeira e Estat. 
Aplicada - Apostila 
Apresentação 
O mundo dos negócios não deveria se dissociar da academia e vice-versa. 
Desde a Administração Científica de Taylor até os dias de hoje, o mundo 
empresarial tem buscado suporte nas Ciências Exatas para resolver seus 
inúmeros problemas. O domínio de conceitos matemáticos, que abrange 
fenômenos tanto determinísticos quanto probabilísticos, vem-se evidenciando 
como competência básica para o profissional bem-sucedido. 
Pensando nesse contexto, esta disciplina introduz noções de Matemática 
Financeira e de Estatística Aplicada, que são essenciais para entender conceitos 
afins a essas áreas e solucionar problemas. 
O conteúdo está distribuído de modo uniforme: metade abordará o primeiro 
tema e a outra metade, o segundo, mas não é necessário entender aquele 
antes deste. 
Sendo assim, esta disciplina tem como objetivos: 
1. Explicar conceitos fundamentais da Matemática Financeira; 
2. Definir noções básicas de Estatística Aplicada. 
 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 3 
Aula 1: Juros e taxa de juros 
Introdução 
Você bem sabe que os empreendimentos, os negócios, as empresas, o 
governo, as pessoas, enfim, todos nós – querendo ou não – estamos inseridos 
em um sistema que regula as relações de troca com base em dinheiro. 
Nesse contexto, é muito importante entendermos as regras que regem o 
sistema financeiro e como ocorre o processo de transformação do valor ao 
longo do tempo. O domínio dessas normas pode ajudar um agente decisor na 
escolha do melhor caminho a ser trilhado no desenvolvimento de algum 
negócio. 
Afinal, a sobrevivência de um empreendimento está associada, muitas vezes, à 
habilidade de decisão do gerente, de forma oportuna e com base em estudos 
de viabilidade econômica. 
No núcleo de tudo isso, estão os conceitos de juros e taxa de juros – essenciais 
a este estudo. Nesta aula, portanto, daremos ênfase a tais noções. 
Objetivo: 
1. Explicar noções básicas de juros simples e compostos; 
2. Definir os conceitos de taxas de juros efetivas e nominais. 
Conteúdo 
Noções de Matemática Financeira 
Para darmos início a esta disciplina, vamos conhecer, primeiro, alguns conceitos 
básicos e os principais fundamentos que norteiam o estudo da Matemática 
Financeira. 
 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 4 
Comecemos pelo valor do dinheiro no tempo e pelos juros: elementos 
interligados e essenciais ao desenvolvimento do estudo dessa área do 
conhecimento. Vejamos o vídeo a seguir: 
Percebeu que quando você pede emprestado a alguém, por determinado 
período, algum bem ou dinheiro, é natural que lhe pague, ao fim desse prazo, 
alguma compensação financeira além do valor emprestado? 
Essa compensação pode ser: 
• Um aluguel – no caso de um bem; 
• Os juros – no caso de dinheiro. 
Termos utilizados na análise das situações 
Na análise das situações como a apresentada anteriormente, em que 
desejamos avaliar o dinheiro no tempo, é conveniente utilizarmos alguns 
termos. 
São eles: 
Principal 
Também chamado de capital inicial ou, simplesmente, capital. Trata-se do 
valor emprestado em alguma transação financeira. 
Remuneração do capital 
Definição atribuída aos juros. Os estudos dos mecanismos que regem sua 
formação e sua incorporação ao capital constituem a base principal da 
Matemática Financeira. 
Montante 
Soma dos juros com o capital em determinado período. 
 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 5 
Outro termo bastante utilizado é a capitalização. Vejamos o que o mesmo 
significa e suas ramificações: 
 
Capitalização 
Incorporação dos juros ao capital. 
Período de capitalização 
Intervalo de tempo decorrente entre cada capitalização. 
Sistemas ou regimes de capitalização: 
Juros simples 
Juros calculados sobre o capital inicial que se incorporam a ele ao fim de cada 
período de capitalização. 
Juros compostos 
Juros calculados sobre o montante do período anterior, que se incorporam ao 
capital ao fim de cada período de capitalização. 
 
Atenção 
 A seguir, entenderemos melhor todos esses conceitos! 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 6 
Juros: remuneração do capital 
Você sabe como os juros são fixados e como podemos obter seu valor em um 
período, em unidades monetárias? 
Vejamos: 
Taxa percentual e unidade de tempo 
Os juros são fixados por meio de uma taxa percentual que sempre se refere a 
uma unidade de tempo. Por exemplo: 
• 10% ao ano (a.a.); 
• 5% ao semestre (a.s.); 
• 2% ao mês (a.m.) etc. 
Valor por período 
Quando desejamos obter o valor dos juros de um período, em unidades 
monetárias, aplicamos a taxa de juros sobre o capital, conforme o exemplo a 
seguir: 
Capital aplicado -> R$ 100,00 
Taxa de juros -> 6% a.a. 
Valor de juros ao final de um ano -> 6% x R$ 100,00 = (6/100) x 100,00 
= R$ 6,00 
Montante: valor do dinheiro no tempo 
Vejamos, a seguir, uma cena do filme O Auto da Compadecida: 
Na cena que acabamos de assistir, os personagens Chicó, Rosinha e João Grilo 
armaram um plano para utilizar o dinheiro que havia sido deixado para Rosinha, 
pela sua vó, como herança. Entretanto, eles não contavam com o fato de que a 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 7 
unidade monetária daquele momento era diferente da unidade do tempo da 
avó de Rosinha, ou seja, o dinheiro não possuía mais valor algum. 
A partir do que vimos na cena e considerando o conceito de juros da 
Matemática Financeira a que nos referimos anteriormente, podemos perceber 
que hoje, 100 unidades monetárias NÃO SÃO iguais a 100 unidades 
monetárias em qualquer outra data! 
Vamos analisar, então, uma aplicação de capital na data de hoje: 
Capital aplicado -> R$ 100,00 
Taxa de juros -> 6% a.a. 
Rendimento -> R$ 6,00 
Montante gerado ao final de um ano -> R$ 106,00 
De acordo com a ideia de que o valor do dinheiro muda ao longo dotempo, 
valores de datas diferentes são grandezas que só podem ser comparadas e 
somadas algebricamente após sua movimentação para uma mesma data, com 
a respectiva aplicação de uma taxa de juros. 
Portanto, ao planejar o escopo de determinado projeto, um gerente estabelece, 
por exemplo, um cronograma físico-financeiro que leva em conta a progressão 
do capital ao longo do tempo, considerando como premissa determinada taxa 
de juros para fazer suas projeções. 
Juros simples 
No regime de capitalização a juros simples, a compensação financeira, ou seja, 
os juros são diretamente proporcionais: 
Ao valor do capital emprestado (C), dentro de um período – dia, mês, ano, 
semestre etc. 
 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 8 
À quantidade de períodos em que esse valor fica emprestado. 
Nesse regime, apenas o capital inicial – o principal – rende juros. Não se 
somam os juros do período ao capital para o cálculo de novos juros nos 
períodos seguintes. Em outros termos, os juros não são capitalizados e, 
consequentemente, não rendem novos juros. 
Exemplo 
Para fixarmos o conceito que vimos anteriormente, vamos analisar o exemplo a 
seguir? 
Crescimento de R$ 1.000,00 a juros simples de 6% a.a. 
 
Saldo do início do ano 
Um investimento de R$ 1.000,00 (mil unidades monetárias) é feito em um 
banco, no prazo de dois anos, com uma taxa de juros de 6% a.a., no regime de 
juros simples. 
Juros do ano 
O objetivo é obter o valor do saldo desse investimento no final de cada um dos 
dois anos da operação. Sendo assim, temos: Crescimento de R$ 1.000,00 a 
juros simples de 6% a.a. 
Saldo no final do ano 
Observando a evolução do dinheiro no tempo, podemos constatar que o 
crescimento do capital é linear, ou seja, os juros de cada ano são os mesmos. 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 9 
Fórmula de juros simples 
Uma vez que entendemos que, nos juros simples, o crescimento do capital 
ocorre de forma linear, de acordo com determinada taxa proporcional, podemos 
estabelecer uma fórmula que forneça um montante a partir de um capital 
inicial. Vejamos: 
 
Agora, considere a taxa percentual i = r/100. Nesse caso, temos a seguinte 
fórmula equivalente: 
 
Onde: 
j 
A letra representa os juros produzidos. 
C0 
Essa variável representa o capital emprestado. 
r/100 
Taxa de juros. 
n 
Número de meses. 
 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 10 
Diante das fórmulas citadas anteriormente, você consegue dizer quais são as 
fórmulas derivadas que explicitam cada uma das variáveis que vimos? 
Simples! 
C0 
 
i 
 
n 
 
Juros no período 
Voltemos para o exemplo numérico apresentado. Utilizando as fórmulas 
anteriores, concluímos que os juros nesse período são: 
 
A soma do capital com os juros produzidos em determinado período é 
denominada Montante (Cn), ou seja: 
 
 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 11 
Considerando o regime de juros simples, no qual j = C x i x n, temos: 
 
Portanto, nesse regime, obtemos os valores listados a seguir pelas expressões 
matemáticas correspondentes: 
Montante
Capital
período n
Taxa i
 
 
Atenção 
 As fórmulas apresentadas valem para qualquer período, mas é 
necessário expressar a taxa r e o período n na mesma unidade 
de tempo. 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 12 
Juros compostos 
A capitalização composta ocorre quando os juros são capitalizados e passam 
a render novos juros. Sendo assim, os juros de cada período são calculados 
sobre o saldo existente no início do respectivo período, e não apenas sobre o 
capital inicial – principal – aplicado. 
Para fixarmos esse conceito, vamos analisar um exemplo? 
Um investimento de R$ 1.000,00 é feito em um banco, no prazo de dois anos, 
com uma taxa de juros de 6% a.a., no regime de juros compostos. 
O objetivo é obter o valor do saldo desse investimento no final de cada um dos 
dois anos da operação. 
Sendo assim, temos: 
 
Considerando os exemplos numéricos das aplicações nos regimes de juros, é 
possível observar que o dinheiro cresce mais rapidamente a juros compostos do 
que a juros simples. 
Além disso, no regime de juros compostos, cada valor é obtido a partir do 
anterior pela multiplicação de uma razão constante igual a: 1,06 (1,00 + 
6%). 
Fórmula de juros compostos 
Agora que já entendemos a regra que orienta o regime de juros compostos – 
por meio do qual a taxa é aplicada sempre no período anterior –, podemos 
obter uma expressão matemática que forneça o montante a partir de 
determinado capital inicial em função da taxa e do período. 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 13 
Considere, então, as seguintes informações: 
Cn 
Montante ao fim de n períodos de capitalização no regime de juros compostos. 
C0 
Capital no período em que ocorreu o empréstimo. 
i 
Taxa de juros. 
J n 
juros do período n. 
O montante C1 relativo ao primeiro período de capitalização é calculado da 
seguinte forma: C0 + J1. Isso equivale a aplicar a taxa i de juros simples 
durante um período ao capital C0. Sendo assim, temos: 
Esse mesmo raciocínio pode ser aplicado em períodos sucessivos, ou seja: 
Logo, ao fim de n períodos, o montante Cn pode ser dado pela seguinte 
fórmula: 
É possível, também, obter a expressão que fornece o capital inicial em função 
do montante Cn, da taxa i e do período n. Desse modo, temos: 
Revendo conceitos 
Após a definição das noções de montante e capital nos regimes de juros 
simples e compostos, que lhe permitiu familiarizar-se com notações alternativas 
utilizadas em bibliografias da Matemática Financeira, vamos conhecer outras 
acepções dos mesmos conceitos dentro da área. 
 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 14 
Você lembra das equações de juros simples e compostos que vimos 
anteriormente? Vejamos, agora, as formas alternativas como essas equações 
podem ser apresentadas: 
 
Note que, nessas equações, podemos substituir o conceito Montante (Cn) por 
Valor Futuro (VF) ou Future Value (FV)! 
Podemos substituir, também, o Capital, principal ou capital inicial (C0) = Valor 
Presente (VP) ou Present Value (PV)! 
Equivalência entre taxa de juros 
As informações financeiras que constam em contratos ou, até mesmo, na mídia 
são fornecidas fazendo referência à taxa de juros que nem sempre utilizam 
como referência um mesmo período. 
Para comparar e subsidiar uma decisão, em muitos casos, é necessário calcular 
a equivalência entre taxas em períodos diferentes, o que dá origem às taxas 
equivalentes. Essa abordagem é pertinente quando tratamos do regime de 
juros compostos. 
Tomemos, então, o exemplo da tabela a seguir: 
 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 15 
Observe que a aplicação por três meses, à taxa de 10% a.m., proporciona um 
rendimento igual a 33,1% a.t. – aplicada por um trimestre. 
Em outros termos, um mesmo montante pode ser obtido a partir de um capital 
inicial e de taxas distintas com períodos-base diferentes. 
Períodos de capitalização e tomado para análise 
Alguns problemas são apresentados com período de capitalização da taxa de 
juros diferente do período tomado para análise. 
Um exemplo seria obter o saldo de um empréstimo de R$ 1.000,00 por seis 
meses, considerando os juros de 46,41% ao quadrimestre. 
Uma das possíveis soluções é transformar a taxa quadrimestral em uma taxa 
mensal equivalente e aplicar a expressão matemática de juros compostos. 
Extrato 
Valor do empréstimo: R$ 1.000,00 
Período: 6 meses 
Juros ao quadrimestre: 46,41%Vamos avaliar, então, um capital (VP) que evoluiu em quatro meses (VF): 
 
Podemos interpretar essa evolução a partir das seguintes taxas: 
 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 16 
 
Portanto, a expressão matemática genérica para a obtenção da equivalência é: 
 
onde: 
n = número de períodos de capitalização da taxa im de período-base m. 
m = número de períodos de capitalização da taxa in de período-base n. 
No problema exemplificado, o período-base pode ser o quadrimestre, e a 
aplicação da expressão anterior resulta em: 
 
Logo, o saldo do empréstimo de R$ 1.000,00 por seis meses, considerando os 
juros de 46,41% ao quadrimestre, é: 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 17 
 
Atividade proposta 1 
Agora que você já sabe calcular a equivalência entre taxa de juros, 
vamos fazer uns exercícios! 
a) Uma taxa de 10% ao mês equivale a que percentagem ao quadrimestre 
(a.q.)? 
b) Uma taxa de 50% ao semestre equivale a que percentagem ao mês (a.m.)? 
Chaves de resposta: 
 
Taxas nominais e efetivas 
Você sabe o que são taxas nominais e efetivas e onde elas são aplicáveis? 
Vejamos: 
Taxas nominais 
O uso da expressão taxa nominal é aplicável no regime de juros compostos. 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 18 
Um exemplo seria considerar uma taxa de juros de 15% a.a., capitalizados 
mensalmente. Nesse caso, podemos observar que a taxa é anual, mas a 
capitalização é mensal. 
 
Listamos, aqui, algumas taxas nominais: 
• 12% ao semestre com capitalização bimestral; 
• 14% ao quadrimestre com capitalização trimestral; 
• 25% ao ano com capitalização semestral. 
Esse é o caso dos rendimentos da caderneta de poupança. Costuma-se 
informar que a poupança rende 6% a.a. mas também é usual ouvir que rende 
0,5% a.m. Portanto, podemos expressar a taxa da caderneta de poupança em 
termos anuais da seguinte forma: 6% a.a. com capitalização mensal. 
Nesse contexto, as taxas devem ser divididas pelo número de períodos de 
capitalização (6% ÷ 12 = 0,5%), como se fossem taxas proporcionais de 
juros simples, apesar de serem capitalizadas por juros compostos. 
Taxas efetivas 
Já estamos cientes de que a utilização do termo nominal está associada a taxas 
de juros compostos como uma forma aproximada que simula um 
comportamento proporcional de juros simples. 
Em função disso, muitas vezes, é necessário saber mensurar o valor efetivo de 
determinada transação financeira, até porque muitos fatores o mascaram. Um 
deles é expressar a taxa praticada com referência nominal. Nesse caso, o custo 
efetivo será maior do que o expresso nominalmente. 
Um exemplo seria calcular o custo efetivo anual de uma taxa de 36% a.a. com 
capitalização mensal. Com esse período de capitalização, precisamos dividir a 
taxa anual por 12, a fim de calcular quanto ela representa em termos mensais. 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 19 
Sendo assim, temos: 
36% / 12 = 3% a.m. 
Logo, podemos obter o custo efetivo anual por meio do cálculo da taxa 
equivalente, ou seja: 
(1 + i)1 = (1,03)12 
(1 + i) = 1,425761 
i = 1,425761 - 1 
i = 0,425761 ou 42,5761% a.a. 
Vamos aplicar o conhecimento que acabamos de adquirir através de um 
exemplo? 
Suponhamos que uma aplicação de R$ 10.000,00 tenha sido feita à taxa de 36 
% a.a., capitalizada mensalmente. Vamos, agora, calcular o montante obtido no 
final do ano. 
A taxa de 36% a.a. é nominal, pois seu período anual é diferente do período de 
capitalização mensal. 
Logo, considerando a relação entre as unidades de tempo dessas taxas, a taxa 
efetiva da operação é proporcional à taxa dada. Em outros termos, como 1 ano 
= 12 meses, então, a taxa efetiva i será dada por: 
 
Portanto, o montante VF será obtido por: 
VF = 10.000 × (1 + 0,03)12 = 10.000 × 1,42576 = R$ 14.257,60 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 20 
Atividade proposta 2 
Antes de finalizarmos esta aula, vamos fazer uma atividade! 
Determinada empresa precisa de recursos por 12 meses. Ao pesquisar o 
mercado financeiro para resolver essa questão, a organização encontrou três 
alternativas de empréstimo que parecem ser atraentes. São elas: 
1ª – taxa de juros nominal de 24% a.a. com capitalização semestral; 
2ª – taxa de juros efetiva de 24% a.a.; 
3ª – taxa de juros nominal de 24% a.a. com capitalização mensal. 
Com base no que estudamos ao longo desta aula, classifique, nesse contexto, 
as alternativas apresentadas da melhor para a pior. 
Chave de resposta 
http://pos.estacio.webaula.com.br/Cursos/POS300/docs/a1_t18_ch
ave_resposta.pdf 
Aprenda Mais 
Para saber mais sobre os tópicos estudados nesta aula, sugerimos a seguinte 
leitura: 
PUCCINI, A. L. Matemática Financeira objetiva e aplicada. 6. ed. São 
Paulo: Saraiva, 1999. cap. 2-6. 
Referências 
FREIRE, P. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática 
educativa. São Paulo: Paz e Terra, 2007. 
LEITE, M. S. Diversidade e saberes no ensino superior, 2005. 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 21 
PIMENTA, S. G.; ANASTASIOU, L. G. C. Do ensinar à Ensinagem. In: 
Docência no Ensino Superior, vol. I. São Paulo: Cortez, 2002. p. 201 a 243. 
 
RIBEIRO, M. L. O Ensino Universitário: um olhar sobre as representações de 
estudantes de Licenciatura, 2008. 
Exercícios de fixação 
Questão 1 
Um empresário resolveu aplicar R$ 10.000,00 em um banco que remunera seus 
depósitos a uma taxa de 4% a.t., no regime de juros simples. Qual o montante 
que poderá ser retirado pelo empresário no final do 9o trimestre? 
a) R$ 14.233,12 
b) R$ 13.600,00 
c) R$ 12.400,00 
d) R$ 12.233,12 
e) R$ 13.400,00 
Questão 2 
Um empresário resolveu aplicar R$ 10.000,00 em um banco que remunera seus 
depósitos a uma taxa de 4% a.t., no regime de juros compostos. Qual o 
montante que poderá ser retirado pelo empresário no final do 9° trimestre? 
a) R$ 14.233,12 
b) R$ 13.600,00 
c) R$ 12.400,00 
d) R$ 12.233,12 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 22 
e) R$ 13.400,00 
Questão 3 
Você precisa tomar um empréstimo de um ano a uma taxa de juros capitalizada 
anualmente. Logo, o melhor sistema de capitalização é o: 
a) Simples – dependendo do valor. 
b) Tanto faz – para taxas iguais. 
c) Composto – para taxas iguais. 
d) Simples – para taxas iguais. 
e) Composto – dependendo do valor. 
Questão 4 
Você aplica uma quantia de 100.000,00 reais no prazo de cinco meses e tem 
como remuneração desse capital a quantia de R$ 11.240,00. Qual é a taxa de 
juros simples ao mês dessa operação? 
a) 2,50% 
b) 3,75% 
c) 2,25% 
d) 3,15% 
e) 2,15% 
Questão 5 
Admitindo uma taxa de 8% a.m. em regime de juros compostos, em quantos 
meses um investimento duplicará? 
a) 3 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 23 
b) 5 
c) 8 
d) 9 
e) 12 
Questão 6 
Em uma análise de investimentos, foi utilizada uma taxa nominal de 10% a.a. 
com capitalização trimestral. Nesse caso, qual é a taxa efetiva mensal 
equivalente? 
a) 0,182% a.m. 
b) 0,28105% a.m. 
c) 0,6361% a.m. 
d) 0,8265% a.m. 
e) 0,94033% a.m. 
Questão 7 
Um investidor lhe pediu ajuda para calcular o montante acumulado no final de 
dois anos, em uma aplicação de R$ 10.000,00 à taxa de 12% a.a. com 
capitalização mensal. O montante a ser informado é: 
a) R$ 11.375,47 
b) R$ 12.697,35 
c) R$ 13.362,34 
d) R$ 12.514,58 
e) R$ 13.269,77 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 24 
 
 
Questão 8 
Uma empresa precisa avaliar a rentabilidade de um investimento, determinando 
o montante acumuladono final de quatro anos. Se o capital investido foi R$ 
100.000,00, no regime de juros compostos, qual é o montante, considerando 
uma taxa de 6,134% a.s.? 
a) R$ 154.018,40 
b) R$ 148.225,00 
c) R$ 158.386,90 
d) R$ 153.496,50 
e) R$ 161.003,80 
Questão 9 
A fim de auxiliar um gerente de projeto, você foi consultado para calcular a 
taxa efetiva anual equivalente a uma taxa nominal de 9% a.a. com período de 
capitalização semestral. Sua resposta foi: 
a) 9,2025% a.a. 
b) 8,2810% a.a. 
c) 8,6361% a.a. 
d) 7,8265% a.a. 
e) 9,9403% a.a. 
Questão 10 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 25 
Um empresário obtém um financiamento de 18.000,00 reais, sem entrada, para 
pagamento em uma única prestação, daqui a quatro meses, por R$ 20.350,00. 
Qual é a taxa anual de juros dessa operação, considerando que o regime de 
capitalização é composto? 
a) 38,2525% a.a. 
b) 43,2810% a.a. 
c) 44,5026% a.a. 
d) 39,8865% a.a. 
e) 42,9403% a.a. 
 
 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 26 
Aula 2: Fluxos de Caixa e descontos 
Introdução 
A administração bem-sucedida de finanças em negócios requer um amplo 
entendimento dos inúmeros processos que contêm atividades de pagamentos e 
de recebimentos de diversas naturezas ao longo de um período de tempo. 
Essas atividades caracterizam Fluxos de Caixa que podem ser administrados 
com o auxílio de softwares aplicativos específicos, planilhas eletrônicas e/ou 
calculadoras, e com a indispensável competência do profissional habilidoso que 
entende não só os princípios por traz das operações automatizadas como 
também sabe julgar e tirar proveito dos resultados apresentados. 
Esta aula apresenta, portanto, os fundamentos das operações em fluxos de 
caixa e os conceitos dos diversos tipos de desconto utilizados na matemática 
financeira. Dentro da análise de índices, existe a necessidade de entendimento 
de que não existe uma quantidade definida de índices a serem elaborados e 
considerados, mas também a necessidade de se entender o setor e muitas 
vezes a economia como um todo. 
A análise com a utilização de índices compreende o conceito efetivo de índice e 
sua funcionalidade dentro do processo de gestão. 
Nesta aula, examinaremos os índices de maneira detalhada e as informações 
que cada tipo de análise fornecer, possibilitando entender que o conjunto 
desses índices é uma ferramenta valiosa se bem utilizada. 
Objetivo: 
1. Definir o conceito de Fluxo de Caixa e sua representação gráfica; 
2. Examinar os tipos de desconto utilizados em Matemática Financeira. 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 27 
Conteúdo 
Fluxos de Caixa 
Você sabe o que significa Fluxo de Caixa? Antes de começarmos nossa aula, 
vejamos um vídeo que descreve, de maneira simples, esse conceito: 
Como vimos no vídeo, denomina-se fluxo de caixa o conjunto de entradas e 
saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo. Podemos ter fluxos de caixa, 
entre outros, de: 
• Empresas; 
• Investimentos; 
• Projetos; 
• Operações financeiras. 
O diagrama de fluxo de caixa é uma ferramenta importante para facilitar a 
compreensão de elementos da matemática financeira. 
Usualmente, as transações financeiras são representadas esquematicamente 
por diagramas ou por meio de planilhas (tabelas ou quadros). 
Fluxo de Caixa em Planilhas 
Para planejamento e controle financeiro é comum o uso de planilhas 
eletrônicas, uma vez que ao organizarmos as informações em linhas e colunas 
fica fácil a utilização dos recursos automáticos de cálculo. 
Vamos ver um exemplo! 
 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 28 
 
Descrição 
Normalmente, as colunas são organizadas com a descrição da entrada ou saída 
no caixa nas primeiras colunas. 
Movimento e saldo 
Em seguida, uma coluna registra a quantia movimentada e a seguinte o saldo. 
Data 
Pode-se também registrar data, período ou outras informações julgadas 
importantes. 
Fluxo de Caixa em Diagramas 
Apesar da facilidade de cálculo dos fluxos de caixa representados em planilhas, 
muitas vezes é mais interessante trabalhar com a representação em diagramas. 
Essa abordagem facilita o entendimento de processos financeiros e auxilia o 
desenvolvimento de soluções de problemas. 
A convenção básica para a representação de fluxos de caixa em diagramas é 
utilizar setas orientadas para cima ou para baixo conforme se queira registrar 
respectivamente recebimentos (entradas) ou pagamentos (desembolsos). Essas 
setas podem estar dispostas acima ou abaixo da linha horizontal, que 
representa o tempo. 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 29 
 
 
Recebimentos 
As entradas de caixa correspondem aos recebimentos, têm sinais positivos e 
são representadas por setas apontadas para cima (acima ou abaixo da linha). 
Pagamentos 
As saídas de caixa correspondem aos pagamentos, têm sinais positivos e são 
representadas por setas apontadas para baixo (acima ou abaixo da linha). Elas 
indicam desembolso de caixa. 
Eixo horizontal 
A escala horizontal representa o tempo, dividido em períodos descontínuos, 
expresso em dias, semanas, meses, trimestres, semestres ou anos. Os pontos 
0, 1, 2, 3, n, substituem as datas de calendários, e são estipulados em função 
da necessidade de indicarem as posições relativas entre as diversas datas. 
Assim, o ponto 0 representa a data inicial (hoje), o ponto 1 indica o final do 1º 
período e assim por diante. 
Os intervalos de tempo de todos os períodos são iguais, e os valores 
monetários só podem ser colocados no início ou no final de cada período, 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 30 
dependendo da convenção adotada. Nenhum valor deve ser colocado ao longo 
dos períodos, uma vez que eles não são contínuos. 
Veja um exemplo de diagrama de fluxo de caixa. 
Podemos representar da seguinte maneira a operação de compra de um bem 
no valor de $1000, para pagamento, com juros e sem entrada, em quatro 
prestações mensais de $ 300: 
 
 
 
Atenção 
 Apesar de não ser essencial na representação, o comprimento 
das setas orientadas (vetores) no fluxo de caixa em diagrama 
pode ser proporcional ao valor movimentado. No exemplo, todas 
as prestações são representadas por setas de igual tamanho e o 
valor de compra é representado por uma seta maior, porém não 
proporcional às setas dos pagamentos. 
 
Transformando um fluxo de caixa em planilha em diagrama 
Agora, vejamos um exemplo de fluxo de caixa em planilha: 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 31 
 
Podemos representar esse movimento em um fluxo de caixa em diagrama. Mas 
como faremos isso? 
Para o registro, as datas originais podem ser simplificadas por uma 
representação em períodos enumerados a partir de zero (inicial). 
A correspondência entre o distanciamento entre as datas dos movimentos e a 
correspondente representação em períodos deve ser observada. 
Vejamos a seguir! 
A representação em diagrama do fluxo de caixa em planilha pode ser a 
seguinte: 
 
 
Atenção 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 32 
 Tanto na representação em planilha quanto na representação 
em diagrama o registro das movimentações reflete o momento 
das transações sem nenhuma análise do valor do dinheiro no 
tempo. Portanto, o saldo observado em uma representação em 
planilha não leva em conta o regime de juros aplicado, sendo 
uma simples soma algébrica das entradas menos as saídas. 
O fluxo de caixa é normalmente utilizado como base para o 
transporte das quantias nele contidas para uma determinada 
data (período) de interesse.Descontos 
A ideia de oferecer desconto, normalmente, está associada a ações de 
marketing que visam seduzir clientes para a compra de bens. Entretanto, nem 
sempre esses clientes têm o real entendimento do significado das taxas 
anunciadas. 
Basicamente, quando se fala em desconto no âmbito da Matemática Financeira, 
pensamos no tempo em que se encontra a base sobre a qual uma determinada 
taxa de desconto é anunciada (presente ou futuro) e no tipo de regime de 
capitalização (simples ou composto). 
Considerando o tempo presente como a base sobre a qual determinado 
desconto é oferecido, tratamos de analisar os cálculos associados no regime de 
juros simples e depois no de juros compostos. 
 
Desconto Por Dentro 
No regime de juros simples, a taxa de descon-to por dentro, ou taxa de juros 
i, é também conhecida como taxa de rentabilidade. Ela incide diretamente 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 33 
sobre o valor presente e pode ser obtida pela conhecida expressão dos juros 
simples explicitando-se a taxa i. Vejamos: 
 
Expresso em unidades financeiras, o valor do desconto corresponde aos juros 
acumulados no tem-po pode ser obtido pela diferença entre o valor futuro VF, 
ou montante, e o valor presente VP, ou principal, ou seja, desconto = VF - VP. 
O valor do desconto por dentro (Dd) é obtido multiplicando-se o valor presente 
VP pela taxa de desconto i e pelo prazo da operação n, obtendo-se: 
 
O valor presente é sempre a incógnita, sendo normal-mente conhecidos o valor 
futuro VF, o prazo n e a taxa de desconto i. 
 
Atenção 
 Sabendo-se que Dd = VF - VP e obtendo-se VP a partir de VF = 
VP (1 + i x n) 
Tem-se: 
 
Exemplo prático em um regime de juros simples 
Considerando um regime de juros simples, vamos determinar o valor da taxa 
mensal de desconto por dentro usada em uma opera-ção de desconto de 2 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 34 
meses de um título cujo valor de resgate é $12.000,00 e cujo valor do principal 
é $10.850,00? 
Vejamos as etapas a serem seguidas: 
Para determinarmos a taxa mensal, primeiramente precisamos identificar os 
dados do problema: 
VP = $10.850,00 
VF = $12.000,00 
n = 2 meses 
Em seguida, basta aplicar a fórmula que acabamos de ver: 
 
ou 5,30% ao mês. 
Exemplo prático em um regime de juros compostos 
No regime de juros compostos, como os juros de cada período, quando não 
são pagos no final do período, devem ser somados ao capital e passam a 
render juros, a taxa de descon-to por dentro incide diretamente sobre o valor 
presente e pode ser obtida pela conhecida expressão dos juros compostos 
explicitando-se i: 
 
 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 35 
Determinar o valor do investimento que deve ser realizado com uma taxa de 
2% ao mês no regime de juros compostos, que produzirá um montante 
acumulado ao fim de 12 meses de $1.000,00. Além do cálculo do valor do 
investimento, determinar também o valor do desconto por dentro. 
As etapas a serem seguidas são as mesmas que seguimos no exemplo de 
regime simples. Você está lembrado? 
O primeiro é identificar os dados do problema: 
n = 12 meses 
i = 2% ao mês 
VF = $1.000,00 
Depois, aplicamos a fórmula: 
 
O desconto por dentro pode ser calculado diretamente pela definição: 
 
 
Desconto Por Fora 
Considerando o desconto por fora, no regime de juros simples, os descontos 
de cada período são obtidos pela aplica-ção da taxa de desconto d sempre 
incidindo diretamente sobre o valor futuro VF (ou montante), fazendo com que 
os descontos tenham o mesmo valor em todos os períodos (VF x d). 
Para n períodos temos: 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 36 
 
O valor presente VF, resultante do desconto por fora sobre o montante VF, 
durante n períodos, é obtido a juros simples utilizando-se as respectivas 
definições: 
 
 
Atenção 
 É importante observar que a unidade referencial de tempo da 
taxa de desconto d deve coincidir com a unidade referencial de 
tempo utilizada para definir o número de períodos n e que o 
produto d x n não pode ser maior ou igual a 1 (não faz sentido 
ter VP ≤ 0). 
 
Exemplo prático 1 
Agora, vamos ver um exemplo? 
Imaginemos uma operação de desconto de 90 dias, de um título com valor de 
resgate de $20.000,00 e com valor do principal igual a $16.850,00. Como 
faremos para determinar o valor da taxa mensal de desconto por fora utilizada 
na operação? 
Dados: VF = $20.000,00, VP = $16.850,00, n = 90 dias = 3 meses 
ou seja, 5,25% ao mês. 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 37 
Relacionamento das taxas 
Tendo sido apresentadas as expressões do cálculo de desconto por dentro e 
por fora no regime de juros simples, é possível relacionar as duas taxas e 
obter a seguinte expressão: 
 
Considerando o desconto por fora, no regime de juros compostos, os 
descontos de cada período são obtidos pela aplicação da taxa de desconto d 
por período, sobre o capital existente no início do período de desconto (VP). 
Assim, as seguintes expressões podem ser obtidas: 
 
 
Atenção 
 Assim como foi observado no regime de juros simples, a unidade 
referencial de tempo da taxa de desconto por fora d deve 
coincidir com a unidade referencial de tempo utilizada para 
definir o número de períodos n. 
Dessa maneira, a expressão do desconto por fora no regime de 
juros compostos é: 
Df = VF - VP = VF - VF x (1 - d)n = VF x [1 - (1-d)n] 
Exemplo prático 2 
Vamos ver um exemplo! 
Para um título com o valor de $100.000,00, com 90 dias para seu vencimento, 
que é descontado no regime de juros compostos, com uma taxa de desconto 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 38 
por fora igual a 1,4% ao mês, o que devemos fazer para determinar o valor 
presente e o valor deste desconto? 
Clique nos títulos abaixo e descubra o resultado. 
Dados 
VF = $100.000,00 
n = 90 dias = 3 meses 
d = 1,4% ao mês 
Equação 
VP = VF x (1-d)n = 100.000 x (1-0,014)3 = $95.858,53 
Desconto por fora 
Df = VF - VP = 100.000 - 95.858,53 = $4.141,47 
Atividade proposta 
Considerando uma taxa de 2% ao mês, no regime de juros compostos, é 
possível observar, conforme diagrama abaixo, que no final do terceiro mês são 
depositados $400,00. 
 
a) Determine o valor acumulado no final do sexto mês deste depósito; 
b) Que valor deveria ser investido no final do primeiro mês para que fosse 
obtido os $400,00 conforme o diagrama? 
Chave de resposta 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 39 
O valor acumulado no final do sexto mês pode ser obtido diretamente utilizado 
a fórmula do Valor Futuro no regime de juros compostos com n=3, VP = 
400,00 e i= 0,02: 
VF = 400,00(1 + 0,02)3 = $424,48 
Para se obter os $400,00 no final do terceiro mês, o valor investido no final do 
primeiro mês pode ser obtido utilizando a fórmula do Valor Presente no regime 
de juros compostos com n = 2, VF = $400,00 e i = 0,02: 
 
Aprenda Mais 
Para saber como criar seu fluxo de caixa, assista ao vídeo a seguir: 
• https://www.youtube.com/watch?v=LTXawJF3Zfw 
Para saber mais sobre o que estudamos até aqui, leia os capítulos 2 a 4 da obra 
a seguir: 
• PUCCINI, A. L. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. São Paulo: 
Saraiva, 1999, 6. ed. 
 
 
 
 
Referências 
ASSAF NETO, A. Matemática Financeira e suas Aplicações. São Paulo: 
Atlas, 2001, 6. ed. 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 40 
PUCCINI, A. L. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. São Paulo: 
Saraiva, 1999, 6. ed. 
Exercícios de fixação 
Questão1 
Observe o fluxo de caixa apresentado no diagrama e compare no final do sexto 
mês o saldo do caixa sem considerar juros com o saldo, considerando um 
regime de juros simples com taxa de 5% ao mês. 
a) Em módulo, há uma diferença de 70% entre o saldo com juros em relação 
ao sem; 
b) Em módulo, há uma diferença de 30% entre o saldo com juros em relação 
ao sem; 
c) Em módulo, há uma diferença de 50% entre o saldo com juros em relação 
ao sem; 
d) Em módulo, há uma diferença de 75% entre o saldo com juros em relação 
ao sem; 
e) Em módulo, há uma diferença de 25% entre o saldo com juros em relação 
ao sem. 
Questão 2 
Observe o fluxo de caixa apresentado no diagrama e compare no final do sexto 
mês o saldo do caixa sem considerar juros com o saldo, considerando um 
regime de juros compostos com taxa de 5% ao mês. 
a) Em módulo, há uma diferença de 37% entre o saldo com juros em relação 
ao sem; 
b) Em módulo, há uma diferença de 45% entre o saldo com juros em relação 
ao sem; 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 41 
c) Em módulo, há uma diferença de 32% entre o saldo com juros em relação 
ao sem; 
d) Em módulo, há uma diferença de 25% entre o saldo com juros em relação 
ao sem; 
e) Em módulo, há uma diferença de 18% entre o saldo com juros em relação 
ao sem. 
Questão 3 
Considerando que no período zero o Valor Presente (VP) é a soma do 
transporte de todos os valores dos outros períodos no fluxo de caixa 
apresentado no diagrama abaixo, considerando um regime de juros simples de 
6% ao mês, VP é igual a: 
a) $125,00 
b) $112,27 
c) $98,43 
d) $104,14 
e) $101,23 
Questão 4 
Considerando que no período zero o Valor Presente (VP) é a soma do 
transporte de todos os valores dos outros períodos no fluxo de caixa 
apresentado no diagrama abaixo, considerando um regime de juros compostos 
de 6% ao mês, VP é igual a: 
a) $104,14 
b) $102,45 
c) $99,46 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 42 
d) $106,35 
e) $101,23 
Questão 5 
Observe o fluxo de caixa apresentado no diagrama abaixo que descreve a 
dinâmica dos recebimentos mensais obtidos após investimentos. Considerando 
juros compostos de 8% ao mês, quando é que o saldo ficou igual a zero? 
a) Entre o 5º e o 6º mês; 
b) Entre o 6º e o 7º mês; 
c) Entre o 7º e o 8º mês; 
d) Entre o 8º e o 9º mês; 
e) Entre o 9º e o 10º mês. 
Questão 6 
Determine o valor da taxa mensal de desconto "por dentro", a juro simples, 
que faz um investimento de $5.000,00 se transformar em $6.800,00, num 
prazo de 30 meses. 
a) 1,65% ao mês; 
b) 0,98% ao mês; 
c) 1,31% ao mês; 
d) 1,20% ao mês; 
e) 1,14% ao mês. 
Questão 7 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 43 
Determine o valor do desconto "por dentro" obtido quando é realizado um 
investimento com uma taxa de 5% ao mês no regime de juros compostos, que 
produz um montante acumulado ao fim de 36 meses de $10.000,00. 
a) $6.892,14 
b) $7.686,23 
c) $5.744,46 
d) $6.931,33 
e) $7.764,28 
Questão 8 
Determine o valor do desconto "por fora" no regime de juros simples com a 
taxa de 1,4% ao mês de um título de $4.000,00 que vence em 90 dias. 
a) $168,00 
b) $246,00 
c) $157,00 
d) $195,00 
e) $216,00 
Questão 9 
Determine o valor do desconto "por fora" com taxa de 1,3% ao mês no regime 
de juros compostos de um título com o valor de $150.000,00 e com 120 dias 
para seu vencimento. 
a) $12.549,18 
b) $8.943,37 
c) $7.649,21 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 44 
d) $5.372,55 
e) $6.825,41 
Questão 10 
Considerando um ano comercial de 360 dias, determine a taxa anual de 
desconto "por fora" correspondente a taxa de desconto "por dentro" de 1,5% 
ao mês de um título com 30 dias a decorrer. 
a) 16,65% ao ano; 
b) 19,98% ao ano; 
c) 15,31% ao ano; 
d) 18,20% ao ano; 
e) 17,73% ao ano. 
 
 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 45 
Aula 3: Sistemas de amortização e Fluxo de Caixa 
Introdução 
As pessoas físicas e jurídicas periodicamente realizam pagamentos. A 
capacidade e/ou conveniência de realizá-los de uma única vez ou 
parceladamente é considerada no momento do fechamento de um negócio ou 
da assinatura de um contrato. 
Esta aula apresenta as regras utilizadas na matemática financeira para cálculos 
em série de pagamentos, assim como o cálculo de amortizações e equivalência 
de Fluxo de Caixa. 
Objetivo: 
1. Descrever as séries de pagamentos utilizadas na matemática financeira; 
2. Identificar o conceito de equivalência de fluxo de caixa e os sistemas de 
amortização comumente utilizados. 
Conteúdo 
Séries uniformes 
Inicialmente, desenvolveremos as fórmulas usadas nas soluções de proble-mas 
envolvendo séries uniformes de pagamentos ou recebi-mentos, no regime de 
juros compostos. 
As prestações, pagamentos ou recebimentos, são usualmente conhecidos como 
a abordagem do Modelo Price, na qual todas as prestações têm um mesmo 
valor, e normalmente são representadas pela sigla PMT. 
 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 46 
 
Atenção 
 Fórmulas simplificadas para a capitalização e para o desconto de 
parcelas podem ser obtidas mediante a utilização da expressão 
para a soma de termos de uma progressão geométrica, que 
apresentaremos no decorrer desta aula. 
 
Obtendo o Valor Futuro correspondente 
Para entender melhor o que acabamos de ver, vamos considerar o fluxo de 
caixa a seguir que explicita um pagamento periódico, PMT, com o objetivo de 
se obter o Valor Futuro correspondente, VF, no final do período: 
O problema consiste em determinar o montante acumulado VF. 
Isso acontecerá no final de n períodos, a partir da capitalização das n 
prestações de uma série uniforme. 
Todas essas séries possuem o mesmo valor e igual a PMT, com uma taxa de 
juros i por período, no regime de juros compostos. 
A série uniforme PMT obedece à convenção de final de período, sendo, 
portanto, denominada uma Série Postecipada! 
Após exercício algébrico, transportando para o futuro cada prestação para o 
final do período considerado na série, pode-se deduzir a fórmula a seguir: 
 
 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 47 
Utilizando a mesma expressão, PMT pode ser obtido a partir de VF: 
 
http://pos.estacio.webaula.com.br/Cursos/POS597/docs/a3_exemplos1.pdf 
para acessar alguns exemplos de exercícios resolvidos. 
Obtendo o Valor Presente correspondente 
Agora, vamos considerar o fluxo de caixa a seguir que explicita um pagamento 
periódico, PMT, com o objetivo de se obter o Valor Presente correspondente, 
VP, no início do período. 
 
A obtenção do VP a partir do pagamento periódico PMT consiste no desconto 
das n prestações de uma série uniforme, todas com o mesmo valor e igual a 
PMT, com uma taxa de juros i por período e no regime de juros compostos. 
Da mesma maneira como no cálculo do VF, no cálculo do VP a série uniforme 
PMT obedece à convenção de final de período, sendo, portanto, denominada 
uma Série Postecipada. 
Após exercício algébrico, transportando para o presente cada prestação para o 
final do período considerado na série, pode-se deduzir a fórmula a seguir: 
 
 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 48 
Utilizando a mesma expressão, PMT pode ser obtido a partir de VP: 
 
http://pos.estacio.webaula.com.br/Cursos/POS597/docs/a3_exemplos2.pdf 
para acessar alguns exemplos de exercícios resolvidos. 
Amortização 
Tendo sido apresentadas as fórmulas para calcular VF e VP nas séries de 
pagamentos, consideraremos o conceito de Amortização.Em termos genéricos, amortização é a parte da prestação que não corresponde 
aos juros, ou seja, é a parte real que a dívida diminui: 
 
Estudo da amortização 
Observando, por exemplo, o último exercício resolvido, podemos estudar a 
amortização em cada um dos períodos. 
 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 49 
 
Observando os valores da coluna Amortização podemos perceber que a cada 
mês os valores seguem a mesma progressão da taxa do período, ou seja, 1%: 
Podemos afirmar que qualquer amortização do Modelo Price pode ser obtida 
a partir da primeira amortização pela fórmula: 
Ou seja, por exemplo, 
Conceito de Equivalência de Fluxos de Caixa 
Considerando uma determinada taxa de juros no regime composto, podemos 
afirmar que dois ou mais fluxos de caixa são equivalentes se seus Valores 
Presente (VP) forem iguais. 
Como estamos no regime de juros compostos, as verificações quanto à 
equivalência são feitas pela já conhecida fórmula que calcula os valores do 
fluxo para os períodos desejados. 
Planos Equivalentes de Financiamento 
A fim de estudar a equivalência de fluxos de caixa, vamos considerar a situação 
do exercício resolvido já apresentado (exemplo 2), no qual se determinou o 
valor das prestações mensais de um financiamento com juros mensais de 1%, 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 50 
no regime de juros compostos, com prazo da operação de cinco meses e VP de 
$3.000,00. 
A equação utilizada foi a seguinte: 
 
Na condição desse problema, com prestações mensais iguais – Modelo Price, 
foi possível analisar mês a mês a composição do pagamento, contendo a 
parcela dos juros e da amortização. 
Vejamos:
 
O Modelo Price costuma ser utilizado em operações de financiamento 
imobiliário e de crédito direto ao consumidor. 
Considerando esse fluxo de caixa como exemplo, veremos, a seguir, outras três 
possibilidades de se pagar o financiamento mantendo-se as mesmas condições 
de juros e prazo! 
Outras possibilidades 
Uma primeira alternativa é considerar um único pagamento no final do prazo. 
Assim, a amortização da dívida também seria única. 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 51 
 
Observando a amortização nesse quadro, o financiamento de $3.000,00 é 
liquidado em um único pagamento de $3.153,03, no final do quinto mês, que 
inclui juros de $153,03. 
Outro fluxo de caixa equivalente possível, também com uma única 
amortização, seria pagar os juros no final de cada mês e a amortização no 
último mês. 
 
 
Observando esse quadro, o financiamento de $3.000,00 é liquidado em cinco 
pagamentos mensais de $30,00, correspondentes aos juros de cada mês, e 
mais um pagamento de $3.000,00, no final do quinto mês, para a amortização. 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 52 
Um outro fluxo de caixa equivalente é o que considera as amortizações 
constantes Sistema de Amortizações Constantes – SAC. 
Nesse caso, a amortização é obtida pela divisão do VP pelo prazo! 
 
Atenção 
 Essa modalidade de pagamento é usualmente utilizada em 
operações de financiamento imobiliário e nos financiamentos de 
longo prazo de um modo geral. 
 
Análise dos Planos Equivalentes de Pagamento 
Considerando as possibilidades apresentadas de fluxo de caixa, podemos 
verificar a equivalência, pois todos têm o mesmo valor presente de $3.000,00 
se descontados na mesma taxa de 1% ao mês. 
 
 
 
Atenção 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 53 
 Ao observarmos as várias tabelas com os fluxos, notamos que, 
de acordo com o plano de pagamento, os valores pagos diferem, 
dando a impressão de não equivalência. No entanto, se 
reaplicarmos os juros sacados antes do prazo final nos 
respectivos planos na mesma taxa de 1% ao mês e realizarmos 
a soma, obteremos em todos os casos o valor que falta para 
chegar a $153,03. 
 
Juros Médios 
Considerando uma situação em que a taxa de juros não é conhecida mas sabe-
se o valor fixo de uma prestação – Modelo Price, o VP e o prazo PMT = 
$618,12, VP = $3.000,00 e prazo de 5 meses, por exemplo. 
Para encontrar um valor aproximado para a taxa de juros pode-se proceder da 
seguinte maneira: 
Determinar o prazo médio do financiamento pela média aritmética do prazo 
com o número 1 (no exemplo, (5+1)/2 = 3 meses). 
Determinar a porcentagem total de juros em relação a VP (soma dos 
juros/VP), no exemplo, $90,60/$3.000,00 = 0,0302. 
 
Determinar os juros médios dividindo a porcentagem obtida no item 2 pelo 
prazo no item 1. No exemplo, 0,0302/3 = 0,010067 ou 1,0067% ao mês. 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 54 
Aplicando esse conceito no fluxo com Sistema de Amortizações Constantes 
teríamos: 
Percentual de juros = $90,00/$3.000,00 = 0,03 e, portanto, juros médios de 
0,01 ou 1% ao mês. 
Atividade proposta 
Sabendo que: 
• PMT1 = $1.000,00; 
• PMT2 = $900,00; 
• PMT3 =$1.312,16. 
Determine a taxa efetiva mensal, no regime de juros compostos, que faz com 
que os dois fluxos de caixa da figura abaixo sejam equivalentes. 
 
Aprenda Mais 
Para saber mais sobre o que estudamos até aqui, leia os capítulos 6 e 8 da obra 
a seguir: 
• PUCCINI, A. L. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. São Paulo: 
Saraiva, 1999, 6. ed. 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 55 
Referências 
ASSAF NETO, A. Matemática Financeira e suas Aplicações. São Paulo: 
Atlas, 2001, 6. ed. 
PUCCINI, A. L. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. São Paulo: 
Saraiva, 1999, 6. ed. 
Exercícios de fixação 
Questão 1 
Um banco financia automóveis em um prazo de três anos com uma taxa efetiva 
de 2% ao quadrimestre, no regime de juros compostos. Qual o valor da 
prestação quadrimestral de um automóvel cujo valor à vista é de $60.000,00? 
a) $9.433,12 
b) $8.250,53 
c) $7.350,93 
d) $8.233,52 
e) $7.455,07 
Questão 2 
Uma dívida deve ser liquidada em duas prestações quadrimestrais iguais a 
$1.500,00. Determine o valor do VP dessa dívida sabendo-se que o 
financiamento foi estabelecido com uma taxa de 2% ao mês no regime de juros 
compostos. 
a) $3.118,12 
b) $3.021,57 
c) $2.855,14 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 56 
d) $2.933,12 
e) $2.666,01 
Questão 3 
Um financiamento de $2.000,00 de VP deve ser amortizado em cinco 
prestações mensais iguais e sucessivas. A taxa de juros no financiamento é de 
3% ao mês, no regime de juros compostos. Determine o valor da prestação 
mensal sabendo que o pagamento da primeira prestação deverá ocorrer no ato 
da liberação dos recursos. 
a) $501,37 
b) $423,99 
c) $467,14 
d) $512,12 
e) $489,54 
Questão 4 
Um banco remunera os depósitos de seus investidores na base de 1,3% ao 
mês, no regime de juros compostos. Um investidor realiza nesse banco cinco 
depósitos mensais de $600,00. Determine o valor do saldo acumulado no final 
do oitavo mês após o primeiro depósito. 
a) $3.242,28 
b) $3.123,99 
c) $3.567,14 
d) $3.312,12 
e) $3.489,54 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 57 
Questão 5 
Sabendo que uma caderneta de poupança oferece uma taxa de juros de 0,5% 
ao mês, no regime de juros compostos, determine o valor do depósito que 
acumule um montante de $12.000,00 no final de um ano, imediatamente após 
o último depósito. 
a) $942,28 
b) $823,99 
c) $967,14 
d) $814,17 
e) $972,80 
Questão 6 
Considere um financiamento de $3.800,00 contratado para pagamento em dez 
meses no qual se pagou de juros um total de $265,00. Determine os juros 
médios desse financiamento. 
a) 1,1823% ao mês; 
b) 1,2814%ao mês; 
c) 0,9831% ao mês; 
d) 1,2679% ao mês; 
e) 1,2503% ao mês. 
 
Questão 7 
Considere os fluxos de caixa abaixo e determine X para que eles sejam 
equivalentes com uma taxa de juros de 12% ao ano. 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 58 
a) X= $4.798,47 
b) X= $5.697,35 
c) X= $4.972,34 
d) X= $5.314,58 
e) X= $5.064,45 
Questão 8 
Considere os fluxos equivalentes na figura abaixo e calcule a razão entre PMT1 
por PMT2 com uma taxa de juros de 10% ao ano. 
 a) 0,426543; 
b) 0,245642; 
c) 0,398192; 
d) 0,453675; 
e) 0,547234. 
Questão 9 
O valor das prestações mensais de um financiamento com juros mensais de 
1%, no regime de juros compostos, com prazo da operação de cinco meses e 
VP de $1.000,00 é de $206,04. Considerando o Modelo Price, o total de juros 
pagos é de: 
a) $30,20; 
b) $26,40 
c) $32,25 
d) $43,50 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 59 
e) $54,60 
Questão 10 
Um financiamento com juros mensais de 1%, no regime de juros compostos, 
com prazo da operação de cinco meses e VP de $1.000,00 é negociado no 
modelo de amortizações constantes (SAC). Nesse caso, o total de juros pagos 
é de: 
a) $40,00; 
b) $56,30; 
c) $45,20; 
d) $30,00; 
e) $42,10. 
 
 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 60 
Aula 4: Análise de investimentos 
Introdução 
Os empreendedores bem-sucedidos são aqueles que, apesar de tomarem 
decisões que envolvem riscos, sabem avaliá-los objetivamente. 
Grande parte das decisões sobre investimentos envolvem cálculos inerentes à 
matemática financeira, utilizando conceitos e fórmulas para análise de possíveis 
linhas de ação na tomada de decisão. 
Nesta aula, apresentaremos algumas metodologias utilizadas na matemática 
financeira para análise de investimentos, assim como utilizaremos a calculadora 
HP 12C como ferramenta versátil na solução de diversos problemas. 
Objetivo: 
1. Descrever metodologias para análise de investimentos; 
2. Definir a calculadora HP 12C como ferramenta útil e prática para a solução 
de problemas de matemática financeira. 
Conteúdo 
Análise de investimentos 
Alguns critérios objetivos devem ser observados para que as avaliações possam 
indicar o melhor caminho a seguir para a análise de um projeto ou de 
alternativas de investimentos. 
Inicialmente, é importante observar que, para cada alternativa, os fluxos de 
caixa correspondentes devem ser conhecidos. Em projetos, obtemos os fluxos 
de caixa por várias maneiras. 
 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 61 
 
 
 
 
 
 
Uma vez conhecidas as receitas e os custos, construímos o fluxo de caixa 
esperado para um determinado projeto! 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 62 
 
Receitas e custos 
No que diz respeito aos conceitos relacionados à análise de um projeto ou de 
alternativas de investimentos, podemos destacar dois importantes: 
Custo de oportunidade 
As análises precisam também incluir o chamado custo de oportunidade do 
capital. O custo de oportunidade é o retorno que se obteria se os recursos do 
projeto fossem aplicados na melhor alternativa possível ao projeto em questão, 
considerando que essa alternativa foi abandonada para que se realizasse o 
projeto. 
Taxa de atratividade 
Outro importante conceito correlacionado é o de taxa de atratividade. 
Considerando que é possível tomar empréstimos no mercado financeiro à taxa 
de juros de mercado para realizar empreendimentos ou que se possam aplicar 
os recursos nesse mercado a essa mesma taxa, esta é considerada a mínima 
taxa de atratividade para o empreendimento, pois reflete o custo de 
oportunidade do capital. Por essa razão, normalmente adotamos a taxa de 
juros de mercado para descontarmos fluxos de caixa. 
Alternativas de investimentos em empreendimentos 
Para compararmos alternativas de investimentos em empreendimentos, alguns 
critérios podem ser utilizados. São eles: 
• Critério do Valor Presente; 
• Critério da razão Benefício/Custo; 
• Critério da Taxa Interna de Retorno. 
 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 63 
A seguir, traremos de cada um desses critérios! 
Critério do Valor Presente 
O valor presente de um empreendimento é o Valor Presente (VP) do seu fluxo 
de caixa que é obtido mediante o desconto do fluxo de caixa a uma taxa que 
reflita o custo de oportunidade do capital investido nesse empreendimento. 
Considerando o caso de uma única alternativa para o empreendimento, o VP 
de seu fluxo de caixa indicará a viabilidade desse empreendimento. 
Vejamos: 
VP > 0, empreendimento viável 
VP = 0, indiferente 
VP < 0, empreendimento inviável 
Caso o VP do empreendimento for maior ou igual a zero, podemos entender 
que, para a taxa de juros considerada, o valor que atribuímos hoje às suas 
receitas futuras é maior ou igual aos custos de sua implantação e de sua futura 
operação, representando portanto os lucros futuros na data atual. 
Logo, quanto maior for o VP, melhor o empreendimento. 
 
Atenção 
 É comum utilizar o Valor Presente Líquido (VPL), na 
consideração de cálculo de viabilidade, pois este reflete a receita 
líquida do empreendimento. 
 
Cálculo do Valor Presente 
Considere o seguinte exemplo de cálculo do VPL em um projeto: 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 64 
 
O VPL de $8,41 indica o lucro do empreendimento no final do quinto ano. 
Como é maior do que zero indica a viabilidade, ou seja, a progressão das 
receitas supera a dos custos. 
Análise das alternativas de empreendimentos 
Quando existem alternativas de empreendimentos a serem analisadas temos de 
considerar se: 
As alternativas geram receitas iguais com custos distintos 
Essa condição se observa quando as receitas seguem um padrão bem definido 
em uma relação direta com os resultados esperados do projeto. Nesse caso, 
dispensamos o fluxo de receitas e nos concentramos na análise do fluxo de 
custos. A alternativa a ser escolhida é aquela que possui o menor VP, indicando 
menor custo. 
As alternativas geram receitas iguais com custos distintos 
 
Existindo lucro, a alternativa a ser escolhida é aquela que apresenta maior VP, 
indicando maior lucro esperado. 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 65 
Quando as alternativas apresentam receitas e custos distintos, é necessário ter 
uma base única de tempo (duração) para que comparações possam ser feitas. 
Alternativas com durações distintas não podem ser comparadas. Nesse caso, a 
saída é repetir as atividades com seus respectivos fluxos no tempo procurando 
um múltiplo comum, até que se consiga empreendimentos com a mesma 
duração. 
Outra abordagem para o caso de receitas e custos distintos é nivelar as 
durações das alternativas pela menor duração e calcular o valor residual das 
outras nessa data. Esse procedimento é aplicado quando a repetição do 
empreendimento para a busca do tempo múltiplo comum conduz a análise num 
horizonte de tempo tão grande que torna a abordagem pouco realista. Na 
prática, o que se faz é calcular o VP do resto do fluxo de caixa usando, para 
isso, a taxa interna de retorno do empreendimento ao invés da taxa de 
mercado. 
Critério da Razão Benefício/Custo 
A razão Benefício/Custo é a razão entre o VP das receitas pelo VP dos custos. 
Para sabermos se o empreendimento é viável, devemos considerar as seguintes 
alternativas: 
B/C > 1 
Se a fração for maior do que 1, é porque o VP das receitas é maior, sendo 
portanto a situação desejável. 
Conclusão: empreendimento viável. 
B/C = 1 
 
Se a fração for iguala 1, os VP da receita e custo são iguais, correspondendo a 
uma situação de indiferença entre realizar ou não o empreendimento. 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 66 
Conclusão: indiferente. 
B/C < 1 
Se a fração obtida for menor do que 1 é porque o VP dos custos é maior, 
indicando que o empreendimento não deve ser realizado. 
Conclusão: empreendimento inviável. 
Critério da Taxa Interna de Retorno (TIR) 
A Taxa Interna de Retorno (TIR), é a taxa que torna o VP igual a zero, ou 
seja, indica o limiar da viabilidade de um empreendimento associado a um 
determinado fluxo de caixa. 
Como a expressão algébrica que indica o VP de um fluxo de caixa é um 
polinômio de grau n, em que n indica o fluxo de caixa mais distante da data de 
cálculo do VP, ao igualarmos a zero esse polinômio, temos uma equação que 
matematicamente admite n soluções. 
Normalmente, a taxa interna de retorno é uma referência. O empreendedor 
pode comparar a TIR com alguma taxa mínima aceitável, por exemplo, 
i<sub>0</sub>. Nesse caso, podemos analisar algumas situações: 
 
 
 
 
 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 67 
Uso da calculadora HP-12C 
Agora, nós estudaremos os conceitos essenciais para o entendimento das 
operações financeiras da calculadora HP-12C, que é uma calculadora 
desenvolvida para atender às demandas de cálculos nas áreas financeira e 
estatística, capaz de efetuar operações matemáticas e buscar soluções 
otimizadas via algoritmos nela embutidos. 
Você conhece essa calculadora? 
 
Uma característica da HP-12C é a disposição de várias teclas especiais para 
cálculos: 
• Estatísticos 
Média, desvio-padrão, regressão linear. 
• Financeiros 
n, i, PV, PMT e FV. 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 68 
Características e Operações Básicas 
A calculadora dispõe de quatro memórias transitórias denominadas X, Y, Z e T. 
Elas operam como se fossem uma pilha de quatro valores e possuem as 
seguintes características: 
A primeira memória, a X, é sempre aquela cujo conteúdo aparece no visor. 
As memórias Y, Z e T atuam como se estivessem empilhadas nessa ordem em 
cima da memória X; 
Os conteúdos das memórias X e Y são utilizados em todas as operações 
aritméticas; 
Os conteúdos das quatro memórias são movimentados na sequência do 
empilhamento quando:• A tecla ENTER é acionada; 
• São efetuadas operações aritméticas (+,˗, ×, ÷); 
• São acionadas as teclas R, ou X><Y. 
O conteúdo de cada uma das memórias pode ser substituído nas 
movimentações. Por exemplo, quando o conteúdo da memória X é transferido 
para a memória Y, a Y passa a conter o valor existente em X, e essa continua 
com seu valor inalterado. 
 
Atenção 
 Quando um número é digitado, ele passa a ocupar a memória X. 
Ao se acionar ENTER o conteúdo de X é transferido para Y, o de 
Y para Z, o de Z para T, e o conteúdo de T é descartado, ou 
seja, todos os conteúdos da pilha sobem um nível e o da 
memória T é perdido. 
 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 69 
Para tratar das quatro memórias transitórias da calculadora HP-12C, devemos 
destacar algumas teclas desse equipamento. Vamos ver quais são elas e para 
que servem? 
 
CHS 
A tecla CHS troca o sinal (change sign) do conteúdo da memória X. 
R 
A tecla R troca os conteúdos das quatro memórias, Y para X, X para T, T para 
Z e Z para Y. 
XY 
A tecla XY permuta os valores das memórias X e Y. 
CLX 
A tecla CLX limpa o conteúdo da memória X (clear X). 
 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 70 
Tecla STO (store) 
É utilizada para armazenar e operar valores em 20 memórias fixas indexadas de 
0 a 9 e de .0 a .9. 
Para armazenar um número em uma das memórias fixas, é preciso digitar o 
número, STO, e o endereço da memória. 
Por exemplo, se digitarmos 30, STO e 1, o número 30 será guardado na 
memória 1. 
Tecla RCL (recall) 
Serve para chamar os valores das 20 memórias fixas para o visor da 
calculadora. Para isso basta digitar o endereço da memória desejada após o 
RCL. 
+, ˗, ×, ÷ 
As teclas +,˗, ×, ÷ efetuam as operações aritméticas com o conteúdo das 
memórias X e Y utilizando a seguinte lógica: número1, ENTER, número2, 
operador. A operação é mostrada no visor. 
 
Atenção 
 A maioria das teclas da HP-12C tem mais de uma função, o que 
pode ser observado nas cores amarela ou azul dos símbolos ou 
caracteres em várias teclas ou acima dessas. 
O acesso às funções é obtido pelas teclas amarela (f) e azul (g). 
Para realizarmos as funções amarela ou azul de cada tecla, basta 
que as teclas amarela (f) e azul (g) sejam, respectivamente, 
acionadas imediatamente antes de pressionar a tecla desejada. 
No que diz respeito à limpeza das memórias na HP-12C, essa 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 71 
pode ser feita:• Pela tecla CLX (clear X); 
• Pela função amarela FIN (limpa as cinco memórias 
financeiras: n, i, PV, PMT e FV); 
• Pela função amarela REG (limpa de uma vez as memórias 
transitórias, fixas e financeiras). 
 
Vamos ver um exemplo de cálculo feito nessa calculadora? 
Teclas financeiras 
Como o objetivo nesta aula é utilizar a calculadora para solução de problemas 
financeiros, convém apresentar as convenções adotadas para as teclas 
financeiras: 
 
n 
Número de períodos de capitalização de juros para vários períodos. Os valores 
de n podem ser números inteiros ou fracionários. 
i 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 72 
Taxa de juros por período de capitalização, expressa em porcentagem. 
PV 
Valor Presente (VP). 
PMT 
Valor de cada prestação de uma série uniforme que ocorre no final de cada 
período (série postecipada) ou no início de cada período (série antecipada). 
FV 
Valor Futuro (VF). 
 
Atenção 
 Para realizar cálculos:• Para uma série postecipada é 
necessário ativar a função azul END. 
• Para uma série antecipada, é necessário ativar a função azul 
BEG. Nesse caso o visor mostra a palavra BEGIN para 
informar que a função está ativa. 
 
Informações básicas 
Ao utilizarmos a calculadora HP-12C, devemos estar atentos às seguintes 
informações: 
 
A calculadora interliga os cinco elementos financeiros seguindo as regras de 
juros compostos. Problemas que envolvem apenas quatro elementos devem ser 
resolvidos com a anulação do quinto elemento, que não participa do problema. 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 73 
Os valores monetários (PV, FV e PMT) devem ser registrados na calculadora 
sempre de acordo com a convenção de sinal, isto é, entradas de caixa 
(recebimentos) devem ter o sinal positivo, e as saídas de caixa (pagamentos) 
sinal negativo. 
A calculadora HP-12C aceita o valor de n como um número inteiro ou 
fracionário, porém é necessário um procedimento adicional para assegurar que 
o tratamento do regime de juros compostos será feito no caso de n fracionário. 
Se nada for feito, a calculadora adotará para a parte inteira de n o regime de 
juros compostos e para a parte fracionária o regime de juros simples. 
Para garantir o tratamento no regime de juros compostos é acionar as teclas 
STO e EEX. O visor mostrará a letra C indicando que o cálculo será feito no 
regime de juros compostos. 
No caso de fluxos de caixa não homogêneos, ou seja, quando não há 
regularidade que justifique aplicação de séries de pagamentos/recebimentos, as 
cinco funções financeiras da HP-12C não são indicadas para o melhor 
aproveitamento dos cálculos. 
Essa situação é o caso da maioria dos fluxos de caixa de projetos para os quais 
normalmente calculamos VPL e TIR. O caminhoindicado é inserir o fluxo de 
caixa na memória da calculadora pelo uso das teclas azuis (acesso g) CF0 
(fluxo no período zero) e CFj (demais fluxos a partir do período 1) e utilizar as 
funções financeiras NPV (Net Present Value – VPL) e IRR (Internal Rate of 
Return – Taxa Interna de Retorno). 
 
Atividade Proposta 
Pretende-se vender uma empresa com base em sua expectativa de ganhos 
futuros. Com base no quadro a seguir, que contém os custos e receitas 
esperados, partindo-se da premissa de que a taxa de atratividade do negócio é 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 74 
de 15% e de que o menor valor de venda da empresa é representado pela sua 
expectativa de ganhos, calcule o seu VPL e interprete o resultado obtido. 
 
Chave de resposta 
Inicialmente, obtemos o fluxo de caixa correspondente: 
 
Utilizando a calculadora HP-12C: 
40; CHS; g; CF0; 0; g; CFj; 10; g; CFj; 20; g; CFj; 20; g; CFj; 10; g; CFj; 
20; g; CFj. 
Com o fluxo registrado podemos calcular o VPL: 15; i; f; NPV. 
O resultado do VPL é, portanto, $5.770.000,00. 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 75 
Aprenda Mais 
Para saber mais sobre os tópicos estudados nesta aula, sugerimos a leitura dos 
capítulos 6 ao 9 do seguinte livro: 
• PUCCINI, A. L. Matemática Financeira objetiva e aplicada. 6. ed. São 
Paulo: Saraiva, 1999. cap. 2-6. 
Referências 
ASSAF NETO, A. Matemática Financeira e suas Aplicações. São Paulo: 
Atlas, 2001, 6.ª ed. 
PUCCINI, A. L. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. São Paulo: 
Saraiva, 1999, 6. ed. 
Exercícios de fixação 
Questão 1 
A fim de que seja tomada uma decisão quanto à venda de uma empresa calcule 
o VPL do fluxo de caixa a partir das informações abaixo. A taxa de atratividade 
é de 10% ao ano. 
a) 14,12 
b) 12,53 
c) 10,93 
d) 16,89 
e) 18,07 
Questão 2 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 76 
Dada a tabela a seguir com as receitas e os custos de um empreendimento, 
calcule a razão benefício/custo do mesmo considerando uma taxa de 
atratividade de 10% ao ano. 
a) 0,93 
b) 0,97 
c) 1,07 
d) 1,34 
e) 1,16 
Questão 3 
Dado o fluxo de caixa abaixo que representa um empreendimento e calcule sua 
respectiva Taxa Interna de Retorno (TIR). 
a) 27,56% a.a. 
b) 25,00% a.a. 
c) 26,32% a.a. 
d) 31,26% a.a. 
e) 30,72% a.a. 
Questão 4 
Determine o VP do fluxo de caixa da tabela a seguir considerando uma taxa de 
juros de 12% a.a. 
a) $229,54 
b) $223,99 
c) $267,14 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 77 
d) $212,12 
e) $289,55 
Questão 5 
Qual a TIR do projeto cujo fluxo de caixa está transcrito no quadro abaixo? 
a) 19,26% 
b) 23,48% 
c) 16,88% 
d) 21,65% 
e) 20,72% 
Questão 6 
Utilizando a calculadora HP-12C, determine o Valor Presente de um 
financiamento com juros mensais de 2%, no regime de juros compostos, 
estabelecido em 10 prestações sucessivas mensais iguais a $2.000,00. 
a) $17.582,76; 
b) $17.729,27; 
c) $17.634,12; 
d) $17.965,17; 
e) $17.797,21. 
Questão 7 
Um banco remunera os depósitos de seus investidores na base de 1,3% ao 
mês, no regime de juros compostos. Um investidor realiza nesse banco cinco 
depósitos mensais de $600,00. Utilizando a calculadora HP-12C, determine o 
valor do saldo acumulado no final do oitavo mês após o primeiro depósito. 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 78 
a) $3.242,28 
b) $3.123,99 
c) $3.567,14 
d) $3.312,12 
e) $3.489,54 
Questão 8 
A compra de um automóvel anunciado a $30.000,00 está sendo financiada em 
36 prestações mensais de $1.295,00. Utilizando a calculadora HP-12C, 
determine a taxa efetiva mensal cobrada nesse financiamento, no regime de 
juros compostos. 
a) 2,84%; 
b) 2,73%; 
c) 2,61%; 
d) 2,58%; 
e) 2,43%. 
Questão 9 
O preço à vista de um equipamento é igual a $13.700,00. O anúncio de venda 
desse equipamento é $3.700,00 de entrada mais 24 prestações mensais de 
$570,00. Utilizando a calculadora HP-12C, determine a taxa efetiva mensal de 
juros cobrada na parte financiada. 
a) 2,68%; 
b) 2,53%; 
c) 2,61%; 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 79 
d) 2,58%; 
e) 2,43%. 
Questão 10 
Considere o fluxo de caixa abaixo e utilizando a calculadora HP-12C calcule o 
VPL para uma taxa de desconto de 12% ao ano. 
a) $408,00; 
b) $565,30; 
c) $451,20; 
d) $417,02; 
e) $424,10. 
 
 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 80 
Aula 5: Probabilidade 
Introdução 
As situações-problema encontradas no dia a dia do profissional de negócios, em 
sua grande maioria, não se enquadram nos modelos dos fenômenos 
determinísticos analisados na física e na engenharia, nos quais observamos 
nítidas relações de causalidade, como, por exemplo, a variação de velocidade 
dos corpos atraídos para o centro da Terra (aceleração da gravidade). 
Nos casos em que é possível examinar relações entre variáveis, porém sem 
nítida relação de causalidade e com certo grau de aleatoriedade, a modelagem 
que relaciona as variáveis pode ser feita ao considerarmos o fenômeno como 
de natureza probabilística. 
Esta aula apresenta conceitos fundamentais de estatística descritiva e conceitos 
de correlação e regressão no tratamento de conjuntos de dados entre os quais 
se deseja estabelecer algum grau de relação. 
Objetivo: 
1. Apontar os fundamentos de estatística descritiva; 
2. Definir os conceitos de correlação e regressão e sua importância para as 
relações entre variáveis. 
Conteúdo 
Conceitos elementares: estatística, população e amostra 
Para iniciar nossos estudos, vamos entender as diferenças entre estatística, 
população e amostra? 
 
 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 81 
Estatística 
É um resumo de dados. Os dados são necessários para gerar informações, 
tanto para aplicação estratégica quanto operacional, utilizadas para auxiliar na 
tomada de decisão. Entretanto, os dados brutos são apresentados de maneira 
desordenada e é necessário decodificá-los em informação e conhecimento. Para 
isso existem métodos científicos para a coleta, resumo e apresentação de dados 
que viabilizam análises objetivas para auxílio à solução de problemas. 
População 
É um grande conjunto sobre o qual desejamos colher informações. A população 
que seja considerada de interesse para algum estudo pode ser finita ou infinita, 
e pode estar mais ou menos acessível. Em alguns casos, é praticamente 
impossível ter acesso à totalidade do universo em questão. 
Amostra 
É um subconjunto de uma população utilizado para coletar dados quando é 
impraticável observar a totalidade do grupo. Se uma amostra é representativa 
de sua população de origem, é possível analisar certas características dessa 
população a partir de medidas colhidas na amostra. A parte da estatística que 
trata da representatividade chama-se inferência. A parte da estatística que 
procura somente descrever os dados, sem tirar conclusões sobre um grupo 
maior, é a estatística descritiva. 
Tratamento dos dados 
Essencialmente, o tratamento dos dados é feito em amostras. 
Para que seja mais fácil de identificar parâmetros de interesse, muitas vezes 
utilizamos gráficos que nos ajudam a destacar certas estatísticas calculadas. 
Planilhas eletrônicas com seus recursos gráficos são muito úteis para o cálculo 
e a apresentação de resultados de estatísticas. 
 
 
 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 82 
O cálculo de estatísticas é feito por meio de fórmulas matemáticas que buscam 
medir determinadas características de interesse.