Apostila Métodos Quantitativos Aplicados 2020

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IMPORTANTE: 
Esta apostila é utilizada exclusivamente 
com fins didáticos na Pós-Graduação do 
Senac em MG. Não deve ser considerada 
como base para consulta bibliográfica, mas 
como material orientativo. É proibida a 
reprodução total ou parcial, de qualquer 
forma ou por qualquer meio. A violação 
dos direitos de autor (Lei nº 9.610/98) é 
crime estabelecido pelo artigo 184 do 
Código Penal. 
 
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Minicurrículo do autor: 
Palestrante, Mestre em Matemática e 
Estatística, Coach Financeiro, Professional & 
Self Coach com Certificação Internacional pela 
Holos Desenvolvimento Humano, Educador 
Financeiro certificado DSOP, membro da 
Associação Brasileira de Educadores 
Financeiros – ABEFIN, especialista em 
educação financeira comportamental, Pós 
Graduado em Matemática e Estatística e 
Professor Universitário. 
Autor do livro Guia de Matemática Financeira 
com HP12C, integrante do quadro Economia 
Financeira da Rede Globo/TV Integração e 
autor do Curso Aprenda Tesouro Direto. 
Autor do canal no Youtube: Excelência no 
Bolso. 
www.youtube.com/ExcelenciaNoBolso 
Site: www.AndersonGoncalves.com.br 
E-mail: anderson@andersongoncalves.com.br 
fb.com/AndersonGoncalvesPalestrante 
fb.com/PalestranteAndersonGoncalves 
 
http://www.andersongoncalves.com.br/
mailto:anderson@andersongoncalves.com.br
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Ementa 
Natureza e fundamentos da estatística, tabelas e gráficos, distribuição de 
frequências, estatística descritiva (medidas de posição, dispersão, assimetria e 
curtose). 
 
Conceitos básicos da Matemática Financeira, capitalização simples e composta, 
taxas proporcionais e equivalentes, desconto comercial e desconto 
composto; Valor Presente Líquido (VPL); Taxa Interna de Retorno (TIR), 
Sistemas de Amortização e Taxas Compostas. Aplicações com HP12C e 
Excel. 
 
 
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Sumário 
Capítulo 1 – Fundamentos da Estatística ....................................................... 5 
Capítulo 2 – População, Amostra e Variáveis ................................................. 9 
Capítulo 3 – Distribuição de Frequências ..................................................... 13 
Capítulo 4 – Gráficos e Tabelas .................................................................... 14 
Capítulo 5 – Medidas de Posição ................................................................. 17 
Capítulo 6 -Medidas de Dispersão ............................................................... 19 
Capítulo 7 – Introdução a Matemática Financeira ......................................... 21 
Capítulo 8 – Juros Compostos ...................................................................... 26 
Capítulo 9 - Taxa de Juros ........................................................................... 30 
Capítulo 10 - Séries de Pagamentos ........................................................... 34 
Capítulo 11 - VPL e TIR ............................................................................... 38 
Capítulo 12 - Sistemas de Amortização ....................................................... 41 
Referências ................................................................................................... 44 
 
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Capítulo 1 – Fundamentos da Estatística 
1.1- OBJETIVO DO CAPÍTULO 
 
O objetivo neste capítulo apresentar os fundamentos e fases do método 
estatístico, conceitos básicos que serão estudados ao longo do curso, o método 
estatístico de pesquisa, coleta de dados, entre outros. 
 
 
 
1.2- MÉTODO CIENTÍFICO - Relação entre o projeto de pesquisa e o papel da 
estatística 
 
A estatística tem tido uma longa e estreita relação com a filosofia da ciência e sua 
epistemologia, embora a estatística, frequentemente tem sido modesta na sua 
extensão e pragmática na sua atitude. A estatística é a tecnologia da ciência e, 
portanto, a estatística deve estar presente desde o início da pesquisa. 
 
Roda do conhecimento científico. O papel da estatística. 
 
 
 
 
 
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Esquema de um projeto de pesquisa e o papel da Estatística 
 
 
O papel da pesquisa O papel da Estatística 
Conceitualização do objeto de 
pesquisa 
1. Definição do objeto de pesquisa 
2. Situação dos conhecimentos 
3. Modelo teórico e hipóteses ou 
questões da pesquisa 
 
 
A estatística ajuda a 
operacionalizar as 
hipóteses 
ou questões de pesquisa 
 
 
 
Escolha de uma estratégia de 
pesquisa 
4.a) Modelo de pesquisa escolhido 
4.b) Validade do modelo 
 
Por estratégia de pesquisa entende-
se a integração e articulação do 
conjunto das decisões a serem 
tomadas, para apreender de maneira 
coerente a realidade empírica, a 
fim de testar de maneira rigorosa as 
hipóteses ou questões de pesquisa 
 
 
Planificação operacional da 
pesquisa 
5) população estudada 
6) definição das variáveis e coleta de 
dados 
7) Análise de dados 
8) Cronograma e orçamento 
9) Pertinência da pesquisa 
10) Respeito às regras éticas 
 
 
 
 
A estatística ajuda na definição da 
população a ser estudada, na 
definição das variáveis, na coleta de 
dados e na análise. 
 
Fonte: Elaborador pelo autor 
 
 
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1.3 - FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO 
 
 
Fonte: Elaborado pelo autor 
Estatística descritiva 
a) Coleta dos dados: 
Após a definição do problema a ser estudado e o estabelecimento do planejamento 
da pesquisa, o passo seguinte é a coleta de dados. A coleta de dados pode ser direta 
ou indireta. 
A coleta é direta quando feita sobre elementos informativos de registros obrigatórios, 
como os nascimentos, casamentos e óbitos, a importação ou exportação de 
mercadorias etc. 
A coleta direta de dados pode ser classificada relativamente ao tempo em: 
• Contínua – quanto feita continuamente sem ser interrompido tal como a de 
nascimento e óbitos e outros 
• Periódica - quando feita em intervalos constantes de tempo, como os censos 
(de 10 em 10 anos), as avaliações mensais etc. 
• Ocasional – quando feita extemporaneamente, a fim de atender a uma 
conjuntura ou a uma emergência, como no caso de epidemias que assolam ou 
dizimam rebanhos inteiros. 
A coleta é indireta quando é inferida de elementos conhecidos (coleta direta) e/ou do 
conhecimento de outros fenômenos relacionados com o fenômeno estudado. Como 
exemplo, podemos citar a pesquisa sobre a mortalidade infantil, que é feita através de 
dados colhidos por uma coleta direta. 
 
Estatística
Descritiva
1. Coleta de dados 
Direta (primária)
Contínua
Periódica
Ocasional
Indireta 
(secundária) 
2. Organização dos 
dados
Crítica dos dados
Interna
Externa
Apuração dos 
dados
Manual
Eletrônica
3. Descrição dos 
dados
Gráficos
Tabelas
Inferêncial
Análise e 
interpretação dos 
dados 
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Crítica dos dados: 
Obtidos os dados, eles devem ser cuidadosamente criticados, à procura de possíveis 
falhas, imperfeições e erros, afim de não incorrermos em erros grosseiros ou de certo 
vulto, que possam influir sensivelmente nos resultados. 
A crítica é externa quando vida as causas dos erros por parte do informante, por 
distração ou má interpretação das perguntas que lhe foram feitas; é interna quando 
visa observar os elementos originais dos dados da coleta. 
b) Apresentação dos dados. 
Após a crítica dos dados convém organizá-los de maneira prática e racional, para 
melhor entendimento do fenômeno que se está estudando. A apresentação dos dados 
pode ser feita por meio de tabelas e/ou gráficos. 
c) Análisedos resultados 
O objetivo último da Estatística é tirar conclusões sobre o todo (população) a partir de 
informações fornecidas por parte representativa do todo (amostra). Assim, realizadas 
as fases anteriores, fazemos uma análise dos resultados obtidos, através dos métodos 
da Estatística Indutiva ou Inferencial, que tem por base a indução ou inferência, e 
tiramos desses resultados conclusões e previsões. 
 
 
 
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Capítulo 2 – População, Amostra e Variáveis 
2.1- OBJETIVO DO CAPÍTULO 
O objetivo desse capítulo é de apresentar as primeiras noções de conceitos 
estatísticos. Inicialmente começaremos com o estudo de variáveis, população, 
amostra e amostragem. 
2.2 - VARIÁVEIS: 
Quanto à sua origem, as variáveis ou observações podem ser obtidas de: 
• Respostas de Pesquisas. Quem aplica a pesquisa não tem nenhum 
controle intencional sobre os fatores que influenciaram as respostas: a 
contagem de habitantes de um país, o cadastro de clientes de um banco, a 
aceitação de um produto por um determinado tipo de consumidor, aplicação 
de testes psicológicos, avaliações, etc. 
• Respostas por Experimentos. Quem aplica o experimento tem controle 
intencional sobre os fatores que influenciam as respostas: o teste de 
estabilidade de produtos perecíveis frente a diferentes valores de temperatura 
e umidade, o desgaste de componentes de equipamentos mecânicos em 
condições especificadas, etc. 
Unidade elementar é qualquer pessoa, objeto ou coisa que faça parte de uma 
população. 
Dado é o resultado de investigação, cálculo ou pesquisa. 
Variável é toda característica que pode assumir diversos valores conforme a 
pessoa, objeto ou coisa. 
As respostas de uma pesquisa ou um experimento são a matéria-prima da análise 
estatística em que os dados ou observações são obtidos medindo as características 
de uma pessoa, objetos ou coisa. O conjunto dessas respostas ou observações 
forma uma unidade elementar, que em geral, está composta de uma ou mais 
características denominadas variáveis. 
a) Variável qualitativa: quando seus valores são expressos por atributos: sexo 
(masculino-feminino), cor da pele (branca, preta, amarela, vermelha, parda) etc.; 
b) Variável quantitativa: quando seus valores são expressos em números (salários 
dos operários, idade dos alunos de uma escola etc.). Uma variável quantitativa pode 
ser: 
 
 
 
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• Contínua: É aquela que pode assumir qualquer valor numa escala de valores 
e resulta frequentemente de uma medição sendo usada em geral, em alguma 
forma de medida, e se trata geralmente de valor aproximado. As medidas de 
comprimento, peso, altura, volume, etc. são exemplos típicos de variável 
contínua. 
• Discreta: é aquela que pode assumir apenas um conjunto limitado de valores 
em qualquer escala de medida e, em geral inteiros, sendo obtida mediante 
alguma forma de contagem. É uma variável cujos valores podem ser todos 
relacionados. Uma variável é discreta quando assume alguns valores dentro 
de certo intervalo. A produção diária de carros de uma fábrica de automóveis, 
é teoricamente um número inteiro de carros. O número de funcionários de 
uma empresa só pode ser um número inteiro, não pode ser fracionado. O 
número de filhos de um casal. O resultado de um sorteio. O número de 
habitantes de uma cidade. O número de alunos de uma sala de aula. O 
número de veículos faturados por uma empresa e quantidade vendida de um 
produto X, são exemplos de variáveis discretas. 
2.3 - POPULAÇÃO 
É o conjunto de objetos, pessoas, coisas ou itens que apresentam certa 
característica em comum. A população não se limita, apenas às pessoas, mas sim a 
todos os conjuntos com características próprias: produção, vendas, salários, 
população de uma cidade, etc. O conjunto pode ser finito ou infinito conforme o 
número de seus elementos. 
a) População Finita: 
É aquela que se consegue enumerar todos os elementos que a formam. Refere-se a 
um universo limitado em uma dada unidade de tempo. Exemplificando pode-se dizer 
que a quantidade de automóveis produzidos por uma fábrica por mês, a população 
de uma cidade, o número de alunos de uma sala de aula são exemplos de uma 
população finita. 
b) População Infinita: 
É aquela cujos elementos não podem se contados. Refere-se a um universo 
não delimitado. Os resultados (cara ou coroa) obtidos em sucessivos lances de uma 
moeda, o conjunto de números inteiros, reais ou naturais são exemplos de 
populações infinitas. 
2.4 - AMOSTRA 
Amostra é o subconjunto de unidades elementares selecionadas de uma 
população. 
2.5 - AMOSTRAGEM 
A amostragem é uma ferramenta que permite a você analisar um subconjunto de 
uma população, objetivando levantar informações sobre fatos relativos a esse 
subconjunto, com a intenção de inferir o comportamento da população. A amostra é 
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uma parte, um subconjunto de um espaço amostral. Uma amostra deve reunir 
características básicas de uma população. A amostragem permite recolher 
amostras, e ainda garante, tanto quanto possível, o acaso na escolha. 
Desta forma, cada elemento da população passa a ter a mesma chance de ser 
escolhido, o que garante à amostra o caráter de representatividade, e isto é muito 
importante, pois, como vimos, nossas conclusões relativas à população vão estar 
baseadas nos resultados obtidos nas amostras dessa população. 
A importância de uma amostra está na avaliação de grandezas desconhecidas de 
uma população e a qualidade desta avaliação depende basicamente da 
representatividade da amostra e a representatividade de uma amostra depende de 
sua capacidade de reproduzir as características básicas de sua população. Muito 
provavelmente você não será capaz de entrevistar toda uma população de pessoas 
ou examinar todo um conjunto de objetos, então você se orienta por um pequeno 
grupo retirado de uma população / conjunto. 
Você vai inferir o comportamento da população com base nos resultados descritos 
da amostra. Uma amostra é uma parte integrante de uma população e a diferença 
básica entre os conceitos de amostra e população é que a amostra representa parte 
do todo, enquanto a população representa o todo. Mas à medida que o tamanho da 
amostra for crescendo, tais informações vão se tornando cada vez mais verdadeiras. 
Diversos fatores justificam os trabalhos com amostras, no lugar de estudar a 
respectiva população, entre os quais, destacam-se: 
• Custo: as despesas com operacionalização estatística da população são 
geralmente bem maiores que com a averiguação de uma amostra. 
• Velocidade: as pesquisas realizadas com amostras são mais rápidas, em 
virtude de conter um menor número de unidades. 
• Praticidade: conforme o próprio conceito, às vezes, a dimensão da 
população tornas as pesquisas impraticáveis. 
2.5.1 - Amostragem casual ou aleatória simples: 
É o processo mais elementar e frequentemente utilizado. É equivalente a um sorteio 
lotérico. Pode ser realizada numerando-se a população de 1 a n e sorteando-se, a 
seguir, por meio de um dispositivo aleatório qualquer, x números dessa sequência, 
os quais corresponderão aos elementos pertencentes à amostra. 
2.5.2 - Amostragem proporcional estratificada: 
 
Muitas vezes a população se divide em estratos (sub-populações). Como é provável 
que a variável em estudo apresente, de estrato em estrato, um comportamento 
heterogêneo e, dentro de cada estrato, um comportamento homogêneo, convém que 
o sorteio dos elementos da amostra leve em consideração tais estratos. 
É exatamente isso que fazemos quando empregamos a amostragem proporcional 
estratificada, que, além de considerar a existência dos estratos, obtém os elementos 
da amostra proporcional ao número de elementos dos mesmos.12 
 
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2.5.3 – Amostragem sistemática: 
 
Quando os elementos da população já se acham ordenados, não há necessidade de 
construir o sistema de referência. São exemplos os prontuários médicos de um 
hospital, as casas de uma rua, as linhas de produção etc. Nestes casos, a seleção 
dos elementos que constituirão a amostra pode ser feita por um sistema imposto 
pelo pesquisador. 
Assim, no caso de uma linha de produção, podemos, a cada dez itens produzidos, 
retirar um para pertencer a uma amostra da produção diária. Neste caso, estaríamos 
fixando o tamanho da amostra em 10 % da população. 
 
2.5.4 – Amostragem por conglomerados (ou agrupamentos): 
 
Algumas populações não permitem, ou tornam extremamente difícil que se 
identifiquem seus elementos. Não obstante isso pode ser relativamente fácil 
identificar alguns subgrupos da população. Em tais casos, uma amostra aleatória 
simples desses subgrupos (conglomerados) pode ser colhida, e uma contagem 
completa deve ser feita para o conglomerado sorteado. Agrupamentos típicos são 
quarteirões, famílias, organizações, agências, edifícios etc. 
 
2.5.5 – Amostragem Acidental: 
 
Trata-se de uma amostra formada por aqueles elementos que vão aparecendo, que 
são possíveis de se obter até completar o número de elementos da amostra. 
Geralmente utilizada em pesquisas de opinião, em que os entrevistados são 
acidentalmente escolhidos. 
 
 
2.5.6 – Amostragem Intencional: 
 
De acordo com determinado critério, é escolhido intencionalmente um grupo de 
elementos que irão compor a amostra. O investigador se dirige intencionalmente a 
grupos de elementos dos quais deseja saber a opinião. 
 
2.5.7 – Amostragem por Quotas: 
 
Um dos métodos de amostragem mais comumente usados em levantamentos de 
mercado e em prévias eleitorais. Ele abrange três fases: 
 
1ª - classificação da população em termos de propriedades que se sabe, ou presume, 
serem relevantes para a característica a ser estudada; 
 
2ª - determinação da proporção da população para cada característica, com base na 
constituição conhecida, presumida ou estimada, da população; 
 
3ª - fixação das quotas para cada entrevistador a quem tocará a responsabilidade de 
selecionar entrevistados, de modo que a amostra total observada ou entrevistada 
contenha a proporção e cada classe tal como determinada na 2ª fase. 
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Capítulo 3 – Distribuição de Frequências 
3.1 - OBJETIVO DO CAPÍTULO 
O objetivo deste capítulo é estudar a forma pela qual podemos descrever os dados 
estatísticos resultantes de variáveis quantitativas, como é o caso das notas obtidas 
pelos alunos de uma classe, estaturas de um conjunto de pessoas, salários 
recebidos pelos operários de uma fábrica etc. 
3.2 – TABELAS DE FREQÜÊNCIA DE DADOS QUANTITATIVOS DISCRETOS. 
Iniciamos este tema com a construção de tabelas de frequência de uma amostra de 
dados quantitativos discretos que, em geral, medem contagens representadas por 
números positivos 0,1,2,3,...,n, por exemplo o número de pessoas atendidas em 
um determinado período de tempo, o número de transações financeiras 
realizadas pela internet em um determinado banco, a quantidade de peças 
defeituosa de um lote de produção, etc. Depois será tratada a construção de uma 
tabela de distribuição de frequência com dados contínuos que podem assumir 
qualquer valor do conjunto de números reais, por exemplo, o peso dos alunos de 
uma sala do curso primário, vendas diárias de uma empresa, o consumo mensal de 
energia elétrica, a rentabilidade diária das ações mais negociadas na Bolsa de 
Valores. Embora essa classificação dados quantitativos pareça fácil, a separação 
entre discretas e contínuas nem sempre é clara. 
3.2.1-Tabelas de frequências absolutas 
A frequência do valor de uma variável é o número de repetições desse valor. 
A tabela de frequências absolutas de uma variável é uma função formada pelos 
valores da variável e suas respectivas frequências; conhecidas também pelo nome 
de distribuição de frequências absolutas. 
3.2.2-Tabelas de frequências relativas 
 
 
A frequência relativa do valor de uma variável é o resultado de dividir sua 
frequência absoluta pelo tamanho da amostra. 
A tabela de frequências relativas de uma variável é uma função formada pelos 
valores da variável e suas respectivas frequências relativas; conhecidas como 
distribuição de frequências relativas. 
 
 
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Capítulo 4 – Gráficos e Tabelas 
4.1 - OBJETIVO DO CAPÍTULO 
Um dos objetivos da Estatística é sintetizar os valores que uma ou mais variáveis 
podem assumir, para que tenhamos uma visão global da variação dessa ou dessas 
variáveis. E isso ela consegue, inicialmente, apresentando esses valores em 
tabelas e gráficos. Veremos nesse capítulo os gráficos estatísticos mais comuns e 
utilizados para representar uma amostra de dados coletados de uma determinada 
população. 
4.2 - APRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS DADOS. 
Além de utilizar tabelas para resumir um conjunto de dados, os gráficos fornecem 
um impacto visual alternativo. Ao construir qualquer tipo de gráfico, é importante 
garantir que (assim como as tabelas) o gráfico receba um título adequado, cada um 
dos eixos sendo rotulado e uma escala sensata utilizada. Isso para que um gráfico 
faça sentido e seja facilmente compreensível, se nenhum dado acompanhá-lo. 
Neste capítulo, serão consideradas as formas mais comuns de representação 
gráfica utilizadas. Isso será feito, inicialmente, considerando-se um único conjunto de 
dados e fazendo-se a correspondência do gráfico mais apropriado aos tipos de 
dados (isto é, nominais, ordinais, discretos, contínuos). 
4.3 – GRÁFICO DE BARRAS / COLUNAS 
Este tipo de gráfico mais normalmente utilizado. Cada categoria é representada por 
uma barra retangular distinta, sendo a frequência indicada pelo comprimento/altura 
da barra. Esse gráfico pode ser utilizado para todos os tipos de dados, exceto dados 
contínuos e dados ordinais na forma de uma série temporal. 
 
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4.4 - GRÁFICO DE SETORES / “PIZZA” 
 
Aqui, todo conjunto de dados é representado por um círculo, e cada categoria é 
representada por uma parte desse círculo (isto é, um setor). A frequência é 
representada pelo ângulo e 360° representa o total de dados. 
 
De maneira análoga a um gráfico de barra/coluna, o gráfico de setores pode ser 
utilizado para a maioria dos tipos de dados. Entretanto, como um gráfico de setores 
é utilizado para mostrar que proporção todo é tomada por uma categoria, ele 
somente será útil se o número de categorias for pequena. 
 
 
 
4.5 – GRÁFICO DE LINHAS 
Este gráfico normalmente é utilizado para um propósito específico, isto é, apresentar 
dados de uma série temporal. Ele simplesmente consiste na variável do tempo 
plotada no eixo horizontal (x) e na segunda variável (seja ela vendas, lucros, custos 
de produção etc.) plotada no eixo (y). 
 
 
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PONTOS CHAVES A SEMREM LEMBRADOS 
1. Assim como as tabelas, certifique-se de que os gráficos possuam um título 
adequado e dê rótulos aos eixos. 
2. Os gráficos devem ser compatíveis com seu tipo de dados: 
a) Gráfico de barra/coluna – adequado para todos, exceto dados contínuos ou de 
séries temporais. 
b) Gráfico de setores – como o anterior bom para enfatizar proporções. c) 
Histograma – para um único conjunto de dados contínuos. 
d) Ogiva – dados contínuos 
e) Gráfico de Linhas – dados de séries temporais. 
3. Para categorias contínuas desiguais, utilize a densidade da frequência ao 
construir um histograma. 
 
 
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Capítulo 5 – Medidas de Posição 
5.1 - OBJETIVO DO CAPÍTULO 
Este capítulo tem comoobjetivo considerar várias medidas estatísticas que fornecem 
uma medida de tendência central de um conjunto de dados. Interpretar essas 
medidas e utilizá-las para localizar a maior concentração de valores de uma 
distribuição, isto é, se ela se localiza no início, no meio ou no final, ou ainda se há 
uma distribuição por igual. 
5.2 INTRODUÇÃO 
As medidas de posição são aquelas que podem ser identificadas no eixo das 
abscissas. As medidas de tendência central visam fornecer ao pesquisador 
informações representativas do núcleo das observações de um fenômeno relativo a 
qualquer campo da atividade administrativa, econômica, contábil, social e 
psicológica. Também é importante saber como os dados se espalham ou quão 
variadas são as observações e as estatísticas utilizadas para fazer isso; geralmente 
são chamadas de medidas de dispersão, que veremos no capítulo posterior. 
Pesquisadores em muitos campos têm usado o termos “média” em questões tais 
como qual a renda média de universitários já graduados? Quantos fumam em média, 
o adolescente? Qual a nota média de uma universitária? Em média, quantos são os 
acidentes automobilísticos que resultam diretamente da ingestão de bebidas 
alcoólicas, ou drogas? 
Uma forma útil de descrever um grupo como um todo consiste em encontrar um 
único número que represente o que é “médio” naquele conjunto particular de dados. 
Em pesquisa tal valor é conhecido por média de tendência central, uma vez que ela 
geralmente se localiza em torno do meio ou centro de uma distribuição, onde a maior 
parte dos dados tende a se concentrar. 
5.3 - MEDIDAS SIMPLES DE TENDÊNCIA CENTRAL 
Média Aritmética: A média aritmética é o ponto de equilíbrio de um conjunto 
numérico. Ela é o ponto de sustentação de um conjunto, sendo definida, como o 
valor de melhor representatividade de um conjunto. 
Mediana: A mediana é uma medida de tendência central que determina um valor 
que divide um conjunto numérico, e duas partes iguais. Praticamente, é a posição 
abaixo ou acima da qual se situam 50% dos casos. Dividindo-se um conjunto em 
duas partes iguais, aquela parte central é denominada mediana. 
Moda: A moda é uma medida de tendência central definida como o valor de maior 
frequência. A moda é aquele valor que mais se repete dentre os diversos valores de 
um conjunto. A moda é o valor preponderante, o valor dominante de um conjunto. 
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Pode-se haver um rol que não possua moda como também pode haver um que 
possua mais de uma moda, mas toda a filosofia dos estatísticos está em conjuntos 
uni modais. 
5.4 - ANÁLISE DAS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL. 
Embora a média, mediana e moda sejam medidas importantes de tendência central 
por serem fácies de serem obtidas e úteis para obter informações sobre uma 
amostra, elas devem ser utilizadas de acordo com a análise desejadas. 
Analisaremos primeiro, as principais vantagens e desvantagens dessas medidas. 
Vantagens Desvantagens 
MODA 
Fácil de calcular Pode ser afastada do centro dos 
dados. 
Não é afetada pelos dados 
extremos da 
amostra 
Difícil de incluir em 
funções 
Matemáticas 
Pode ser aplicada em qualquer 
escala: nominal, ordinal, 
intervalar e 
proporcional. 
Não utiliza todos os dados da 
amostra. 
MEDIANA 
Fácil de calcular. Difícil de incluir em 
funções matemáticas. 
Não é afetada pelos dados 
extremos da 
amostra. 
Não utiliza todos os dados da 
amostra. 
É um valor único. 
Pode ser aplicada nas escalas: 
ordinal, 
intervalar e proporcional. 
 
MÉDIA 
Fácil de compreender e aplicar. É a f e t a d a p e l o s d a d o s 
e x t r e m o s d a amostra. 
Utiliza todos os dados da amostra. É necessário conhecer todos os 
dados da amostra. 
É um valor único. 
Fácil de incluir em 
funções 
Matemáticas. 
 
Pode ser aplicada nas 
escalas: 
Intervalar e proporcional. 
 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
 
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Capítulo 6 -Medidas de Dispersão 
6.1 - OBJETIVO DO CAPÍTULO 
Este capítulo tem como objetivo considerar várias medidas estatísticas que fornecem 
uma medida de dispersão de um conjunto de dados. Interpretar essas medidas e 
saber como esses dados se espalham ou o quão são variadas as observações e as 
estatísticas utilizadas para fazer isso; geralmente são chamadas de medidas de 
dispersão ou de variabilidade. 
6.2 – INTRODUÇÃO 
Quase nunca uma única medida é suficiente para descrever de modo satisfatório um 
conjunto de dados. Tomemos como exemplo a caso da média aritmética, que é 
uma medida de locação, ou seja, de tendência central, largamente empregada, 
e consideremos os dois conjuntos de observações dados por: 
A={25,28,31,34,37} B={17,23,30,39,46} 
Qual a média aritmética dos dois conjuntos? 
Observação: O conjunto B apresenta maior dispersão de dados que o conjunto A. 
Torna-se então necessário estabelecer medidas que indiquem o grau de dispersão 
ou variabilidade, em relação ao valor central. 
6.3 – VARIÂNCIA - DESVIO PADRÃO 
A variância e o desvio-padrão são medidas de dispersão mais normalmente 
aplicadas e relacionam-se uma com a outra, já que a variância é o desvio padrão ao 
quadrado. A variância considera a posição de cada observação em relação ao valor 
médio do conjunto de dados, e define-se como a média do quadrado do desvio em 
relação à média. 
Como com a média, para certos cálculos, saber se os dados são provenientes de 
uma população ou de uma amostra é vital. 
6.4 – SIGNIFICADO DO DESVIO PADRÃO 
 
O desvio padrão depende da soma dos quadrados dos desvios dos dados da 
variável com relação a sua média. Portanto, quanto menor for o desvio padrão, mais 
valores da variável se aproximarão da média. Analisando a expressão do desvio 
padrão, podemos chegar a conclusões importantes: 
 
 
• Qualquer dado da amostra ou variável com desvio menor dói que o desvio 
padrão da variável estará mais próximo da média do que qualquer outro valor 
com desvio maior; 
• Quanto mais dados se afastarem da média, maior serão os desvios e, 
consequentemente, maior será o desvio padrão da variável; 
20 
 
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• Duas variáveis com média iguais e desvios padrão diferentes têm 
distribuições de frequência com formas diferentes. A distribuição da variável 
com maior desvio padrão será mais aberta do que a da variável com menor 
desvio padrão. 
 
 
21 
 
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Capítulo 7 – Introdução a Matemática Financeira 
7.1 INTRODUÇÃO 
Este capítulo introduz conceitos básicos e os principais fundamentos que norteiam o 
estudo da Engenharia Econômica. São apresentados os conceitos de fluxo de caixa, 
convenções e simbologias adotadas nas suas representações. 
O valor do dinheiro no tempo e a existência dos juros são elementos interligados e 
indispensáveis ao desenvolvimento do estudo de Engenharia Econômica. 
Esses conceitos, aparentemente simples, têm vários detalhes importantes que 
facilitam o entendimento do dinheiro ao longo do tempo. 
7.2 O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO 
Um velho ditado popular, ―é melhor um pássaro na mão do que dois voando‖. Ou 
seja, antes o pouco certo agora do que o muito duvidoso depois. Essa colocação 
nos dá o principal conceito estudos em finanças: o valor do dinheiro no tempo. 
Transações financeiras envolvem duas variáveis-chaves: dinheiro e tempo. Como o 
presente é certo e o futuro duvidoso, deve sempre existir alguma compensação para 
incertezas futuras. As compensações refletem o custo implícito ou explícito da 
transação financeira. 
Associado a uma operação de investimento, em que existe um sacrifício financeiro 
presente em prol da obtenção de benefícios futuros compensadores, ovalor do 
dinheiro no tempo resulta de alguns componentes básicos: 
• Risco 
• Utilidade 
• Oportunidade 
O dinheiro no tempo relaciona-se com a ideia de que, ao longo do tempo, o valor do 
dinheiro muda, quer em função de ter-se oportunidade de aplicá-lo, quer em função 
de sua desvalorização em relação à inflação, quer em função dos riscos corridos e 
das possibilidades de perda. 
7.3 FLUXO DE CAIXA - CONCEITOS E CONVENÇÕES BÁSICAS 
Ao avanço das tecnologias disponíveis para a realização dos cálculos financeiros 
tem tornado gradualmente mais simples as operações algébricas e as operações do 
dinheiro no tempo. Calculadoras e planilhas eletrônicas tem sido utilizadas para 
descomplicar as operações algébricas. Embora facilitem os cálculos, não possuem a 
22 
 
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principal característica de tomada de decisão de transferir ou não os recursos 
financeiros ao longo do tempo. 
Para facilitar a representação das operações financeiras e a identificação das 
variáveis relevantes, costuma-se empregar o diagrama de fluxo de caixa, ou 
simplesmente fluxo de caixa. 
Definição: Denomina-se fluxo de caixa a movimentação de recursos 
financeiros (entradas e saídas de caixa) ao longo de um período. Esse conjunto de 
entradas e saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo pode ter fluxos em 
empresas, investimentos, projetos e planejamento pessoal. 
A elaboração do fluxo de caixa é indispensável na análise de rentabilidade e custos 
de operações financeiras, e no estudo de viabilidade econômica de projetos e 
investimentos. 
A representação do fluxo de caixa é feita por meio de tabelas e quadros ou 
diagramas, como mostra a figura abaixo. 
 
 
7.4 REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 
 
Podemos definir como regime de capitalização os métodos pelo quais os capitais 
são remunerados. Os regimes de capitalização normalmente utilizados na 
Engenharia Econômica SIMPLES e COMPOSTOS, ou linear e exponencial, 
respectivamente. 
 
No regime de juros simples, apenas o capital inicial, também chamado de 
principal, rende juros. Nesse regime não se somam os juros do período ao capital 
para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Juros não são 
capitalizados e, em consequência disso, não rede juros. 
23 
23 
 
 
Os juros simples apresentam uma grande vantagem operacional sobre os juros 
compostos. Isso porque, para calculá-los, precisamos fazer apenas duas 
multiplicações, enquanto que os juros compostos são calculados com potenciação. 
Apesar de existirem fórmulas para o cálculo de juros simples, muitos preferem utilizar 
o conceito de porcentagem e o da lógica. 
 
Assim genericamente, os juros capitalizados por n períodos no regime de 
capitalização simples podem ser representados por: 
 
J=PV.n.i 
 
Onde: 
J =juros simples 
PV =Valor presente 
n = número de períodos de capitalização 
i =taxa de juros 
 
O montante ou valor futuro no regime de capitalização simples pode ser representado 
por: 
FV = PV + J 
FV = PV + PV.n.i 
(colocando PV em evidência no segundo membro) 
FV= PV (1+ n.i) 
Onde: 
FV = Montante ou valor futuro 
PV =Valor presente 
J =Juros 
n =número de períodos de capitalização 
i =taxa de juros 
 
7.5 DESCONTO “POR DENTRO”, OU RACIONAL 
 
No regime de capitalização simples, a taxa de juros sempre incide sobre o valor 
aplicado inicialmente. Nesse regime, as operações de desconto por dentro, ou 
racional, representam a aplicação direta da fórmula de capitalização de juros simples. 
 
A taxa de juros i , também denominada taxa de rentabilidade, ou, ainda taxa 
de desconto “por dentro”, pode ser obtida a partir de: FV= PV (1+n.i) 
 
O valor do desconto, expresso em $, corresponde aos juros acumulados no tempo. 
Assim, genericamente, ele pode ser obtido pela diferença entre o valor futuro (FV), 
ou montante, e o valor presente (PV), ou principal, desta forma, temos: 
24 
24 
 
 
Dd= FV – PV 
 
7.6 DESCONTO “POR FORA” OU COMERCIAL 
 
As operações de desconto por fora, ou comercial, ou ainda, desconto bancário, 
consistem em uma forma diferenciada da aplicação de juros simples. A taxa de juros 
incide sobre o valor futuro ou nominal da operação. Com a incidência do cálculo do 
desconto ou juros sobre o valor futuro, existe majoração dos valores. 
 
De modo geral, o desconto por fora, ou comercial é aquele valor que se obtém pelo 
cálculo dos juros simples sobre o valor nominal do compromisso que será saldado n 
períodos antes de seu vencimento acrescido de uma taxa prefixada cobrada sobre o 
valo nominal. Ou seja, a incidência da taxa de desconto por fora ou comercial se dá 
sobre o valor futuro da operação. 
 
Assim, o valor do desconto por fora, ou comercial, é dado por: Df = FV .n.id 
 
O valor presente PV, resultante do desconto sobre o montante FV , pode ser 
encontrado por: PV= FV (1- n.id ) 
 
Exercícios propostos 
 
1-Um investidor aplicou um principal de $1.000,00 para receber um montante 
de $1.300,00 no prazo de 36 meses. Determinar, no regime de juros simples: 
a) a rentabilidade trimestral do investidor; 
b) a taxa de desconto anual ("por fora") que corresponde à rentabilidade do item a. 
 
2-Um banco comercial empresta $15.000,00 a um cliente, pelo prazo de três meses, 
com uma taxa de 1% ao mês, juros simples, cobrados antecipadamente. Dessa 
forma, o valor líquido liberado pelo banco é de $14.550,00, e o cliente deve pagar os 
$15.000,00 no final do 3°. mês. Além disso, o banco exige um saldo médio de 
$1.500,00 ao longo de todo o prazo do empréstimo. Determinar a taxa de 
rentabilidade mensal do banco nessa operação, a juros simples. 
 
3-Uma empresa deseja descontar títulos num banco comercial que opera com 
uma taxa de desconto comercial de 1% ao mês, juros simples. O primeiro título 
tem um valor de $10.000,00 e vencimento no prazo de 90 dias. O segundo 
título tem um valor de $10.000,00 e vencimento no prazo de 180 dias. 
Determinar o valor a ser creditado pelo banco na conta dessa empresa, pelo 
desconto desses títulos. 
 
4-Uma empresa obtém num banco comercial um empréstimo de $10.000,00, com 
uma taxa de 1,2% ao mês (desconto "por dentro"), juros simples, que pode ser 
liquidado no final de cada mês. Decorridos três meses, essa empresa resolve liquidar 
esse empréstimo com recursos obtidos, no mesmo banco, por meio de um novo 
empréstimo, com uma taxa de 1% ao mês, também a juros simples. Decorridos 
alguns meses, a empresa decide liquidar o segundo empréstimo e verifica que o total 
25 
25 
 
 
de juros acumulados nos dois empréstimos é de $981,60. Determinar: 
 
a) o valor do segundo empréstimo suficiente para liquidar o primeiro; 
b) o valor do pagamento final para liquidar o segundo 
empréstimo; 
c) o prazo do segundo empréstimo; 
d) a taxa média mensal, a juros simples, paga pela empresa, considerando 
os dois empréstimos em conjunto. 
 
Respostas 
1) a) i = 2,5 % ao trimestre ; b) d = 7,6923 % ao ano 
2) i = 1,1494 % ao mês 
3) PV = $19.100,00 
4) a) PV2 = $10.360,00 ; b) FV2 = $10.981,60 ; c) n2 = 6 meses ; d) i médio = 
1,0907 % ao mês 
 
 
 
 
 
26 
 
 
 
Capítulo 8 – Juros Compostos 
8.1 INTRODUÇÃO 
 
No mundo real, a maior parte das operações que envolvem o valor do 
dinheiro no tempo costuma calcular juros incidentes sobre montantes 
obtidos em períodos imediatamente anteriores. A forma de capitalização em 
situações em que ocorrem incidências de ―juros sobre juros‖ recebe o 
nome de regime de capitalização composta, ou, de uma forma resumida, 
regime de juros compostos. 
 
O objetivo deste capítulo é desenvolver as fórmulas básicas de juros 
compostos, fluxo de caixa e sua simbologia, cálculo do Valor Atual 
(presente) e Valor Futuro (montante) e suas aplicações. As soluções serão 
apresentadas utilizando a calculadora HP 12C e Excel. 
 
No Brasil, a maioria das operações de mercado financeiro é calculadaa 
juros compostos; por exemplo: 
 
• Certificados de Depósitos Bancários (CDB) 
• Tesouro Direto 
• Fundos de Investimento 
• Caderneta de Poupança 
• Financiamentos 
• Crediários 
• Leasing 
 
8.2 JUROS COMPOSTOS 
 
No regime de juros compostos ou capitalização composta, os juros de 
cada período, quando não são pagos no final do período, devem ser 
somados ao capital e, consequentemente, também passam a render juros 
(“daí vem o nome usado popularmente juros sobre juros”) 
 
A esse processo dá-se o nome de capitalização de juros, e como ele 
acontece no regime de juros compostos é chamado de capitalização 
composta. 
 
Dedução da Expressão Genérica. 
 
Uma operação de empréstimo de $100,00 por três meses, a uma taxa 
de 60% a.m., os juros de cada período incidirão sobre o montante do final 
do período anterior. Assim, a composição dos valores futuros (montantes), 
mediante ao emprego de juros simples e compostos, pode ser vista na tabela 
abaixo. 
 
27 
 
 
Tabela - Capitalização simples e composta 
 
Período (meses) 
Valor Futuro (montante) 
Simples Composto 
0 $ 100,00 $ 100,00 
0,1 $ 106,00 $ 104,81 
0,5 $ 130,00 $ 126,49 
0,8 $ 148,00 $ 145,65 
1 $ 160,00 $ 160,00 
2 $ 220,00 $ 256,00 
3 $ 280,00 $ 409,60 
 
O valor futuro calculado no regime de capitalização composta supera aquele 
obtido no regime de capitalização simples para os períodos posteriores à 
unidade. Para períodos menores do que 1, o valor futuro, calculado mediante 
ao emprego de juros simples, é maior. Veja a figura abaixo. 
 
8.3 DEFINIÇÕES DE VARIÁVEIS: 
 
Definimos algumas variáveis para facilitar a utilização e adaptações aos 
recursos da calculadora HP12C e no Excel, vejamos: 
 
HP 12C Excel Descrição 
PV VP Valor Presente, capital, valor inicial. 
FV VF Valor Futuro, montante, valor de resgate. 
n Nper Período, medido em dias, meses, bimestres trimestres, semestres, 
anual, etc. 
i Taxa Taxa de juros, rentabilidade. 
Genericamente, a fórmula de capitalização de juros compostos pode ser 
deduzida da seguinte maneira: 
 
Suponha que um capital PV seja aplicado a uma taxa de juros i durante certo 
período de tempo, os montantes constituídos no fim de cada um dos n períodos 
em que o capital ficar aplicado serão, respectivamente: 
28 
 
 
 
O montante no fim de n períodos, chamado de FV é dado: FV = PV (1 + i) n 
A expressão (1 + i) n é comumente chamada de fator (ou fator de multiplicação) 
de PV para FV, o que significa que é o fator que, multiplicado por PV, determina 
FV. Esse fator que só depende de n e i, são encontrados em tabelas financeiras 
para cada valor de n e i. 
E os juros podem ser calculados pela diferença: J = FV − PV 
 
Exercícios propostos 
 
Considerar em todos os problemas o ano comercial com meses de 30 dias. 
1. Determinar o montante acumulado em seis trimestres, com uma taxa de 1,2% 
ao mês, no regime de juros compostos, a partir de um principal de $10.000,00. 
2. Determinar o principal que deve ser investido para produzir um montante 
de $20.000,00, num prazo de dois anos, com uma taxa de 12% ao semestre, no 
regime de juros compostos. 
3. Um investidor aplicou $ 10.000,00 para receber $11.200,00 no prazo de um 
ano. Determinar a taxa de rentabilidade mensal investidor, no regime de juros 
compostos. 
4. Determinar o montante acumulado em oito trimestres a partir de um principal 
aplicado de $10.000,00, com uma taxa de 1,2% ao mês, no regime de juros 
compostos. 
5. Determinar o número de meses necessários para se fazer um capital triplicar 
de valor, com uma taxa de 1% ao mês, no regime de juros compostos. 
6. Um investidor deseja fazer uma aplicação financeira a juros compostos de 
1,5% ao mês, de forma a garantir uma retirada de $10.000,00 no final do 6º mês 
e outra de $20.000,00 no final do 12º mês, a contar da data de aplicação. 
Determinar o menor valor que deve ser investido para permitir a retirada desses 
valores nos meses indicados. 
7. Uma dívida de $80.000,00 vence daqui a 5 meses. Considerando uma taxa 
de juros de 1,3% a.m., obtenha seu valor atual nas seguintes datas: 
a) hoje; 
b) daqui a 2 meses; e 
c) 2 meses antes do vencimento. 
8. Quanto devo aplicar hoje a juros compostos e à taxa de 1,5% a.m. para fazer 
frente a um compromisso de $27.000,00 daqui a 2 meses? 
 
Respostas 
1 - $12.395,08 2 - $12.710,36 3 - 0,9489% 
4 - %13.314,73 5 - 110<n<111 meses 6 - $25.873,17 
7 – a) $74.996,80 b) $76.959,39 c) $77.959,87 
8 - $26.207,87 
 
29 
 
 
8.4 EQUIVALÊNCIAS DE CAPITAIS 
 
No regime de juros compostos, dois (ou mais) conjuntos de capitais são 
equivalentes com uma mesma taxa dada se as somas dos valores dos capitais 
de cada um desses conjuntos, calculados com essa taxa, em qualquer data, e 
em idênticas condições, produzem valores iguais. No regime de juros 
compostos consideraremos sempre a forma de desconto racional. 
 
Exercícios complementares 
 
1) A Corporação Paripiranga Ltda. assinou um contrato para a venda de um 
artigo por $92.000,00. A empresa receberá o pagamento apenas daqui a três 
anos. Sabe-se que o artigo custou á empresa um valor presente de $48.000,00 
dois anos atrás. Qual a taxa efetiva mensal recebida pela empresa na operação 
da venda desse artigo? 
2) Mariana não sabe onde investir os $180.000,00 que economizou e que 
pretende dispor por 3 anos. Um corretor de imóveis lhe oferece a oportunidade 
de comprar um lote de terreno numa área que nos próximos três anos receberá 
benfeitorias que provocarão um aumento natural de valor. O corretor afirma que 
daqui a três anos esse terreno estará valendo no mínimo $230.000,00. 
Sabe-se que Mariana espera remunerar seu investimento com uma taxa 
de juro mínima de 1,4% ao mês. A compra do terreno é uma boa opção de 
investimento? Por quê? 
3) Uma pessoa tomou emprestados $10.000,00, obrigando-se a pagá-los em 
três parcelas mensais e iguais, com juros compostos de 5% a.m. De quanto 
serão essas parcelas se a primeira vencer a 90 dias do empréstimo? 
4) Uma empresa deseja liquidar uma nota promissória de $10.000,00 vencida a 
três meses, e ainda antecipar o pagamento de outra de $ 50.000,00 com cinco 
meses a decorrer até seu vencimento. Determinar o valor do pagamento a ser 
feito de imediato pela empresa para liquidar essas duas notas promissórias, 
levando em consideração uma taxa de 1,2% ao mês, juros compostos, e 
assumindo os meses com 30 dias. 
5) Um banco de investimento que opera com juros compostos de 1% ao mês 
está negociando um empréstimo com uma empresa que pode liquidá-lo com um 
único pagamento de $106.152,02, no final do 6º mês, a contar com a assinatura 
do contrato. Determinar o valor que deve ser abatido do principal desse 
empréstimo, no ato da contratação, para que esse pagamento seja limitado em 
$ 90.000,00, e para que a taxa de 1% ao mês seja mantida. 
Respostas 
1) 1,0902% 
2) Calculando o PV para o terreno temos PV=139.431,67, como o preço do 
terreno é de $180.000,00 superior ao que Mariana desejaria pagar. Não seria 
uma boa alternativa. 
3) $4.048,47 
4) $57.469,39 
5) $15.215,93 
30 
 
 
Capítulo 9 - Taxa de Juros 
9.1 INTRODUÇÃO 
Atualmente, no mercado financeiro, existe uma série de terminologias e 
conceitos sobre as taxas de juros que muitas vezes confundem os próprios 
profissionais das instituições especializadas. 
Neste capítulo, procuraremos abordar, de forma simples e clara, o conceito das 
principais terminologias existentes. 
Quando utilizamos a HP-12C percebemos que ela está baseada na condição 
de que a unidade referencial de tempo da taxa de juros coincide com a unidade 
referencial de tempo dos períodos de capitalização. Um taxa de 6%, por 
exemplo, pode ser interpretada como sendo: 
a) uma taxa de 6% ao ano, e nesse caso os períodos de capitalização (n) 
correspondem a anos; 
b) um taxa de 6% ao semestre, e nesse caso os períodos de 
capitalização (n) correspondem a semestres, e assim por diante.Entretanto, nos problemas práticos, as taxas de juros e os períodos de 
capitalização nem sempre satisfazem essas condições. 
9.2 TAXA EFETIVA 
Taxa efetiva é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo 
coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. São exemplos 
de taxas efetivas: 
• 2% ao mês, capitalizados mensalmente; 
• 3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente; 
• 6% ao semestre, capitalizados semestralmente; 
• 10% ao ano, capitalizados anualmente. 
Nesse caso, tendo em vista a coincidência nas unidades de medida dos 
tempos da taxa de juros e dos períodos de capitalização, costuma-se dizer: 2% 
ao mês, 3% ao trimestre, 6% ao semestre, 10% ao ano. 
A taxa efetiva é utilizada nas calculadoras financeiras e nas funções financeiras 
das planilhas eletrônicas, como por exemplo, o Excel. 
 
 
31 
 
 
9.3 TAXAS PROPORCIONAIS – JUROS SIMPLES 
Taxas proporcionais são taxas de juros fornecidas em unidades de 
tempo diferentes que, ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um 
mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado no final daquele 
prazo, no regime de juros simples. 
9.4 TAXAS EQUIVALENTES – JUROS COMPOSTOS 
Taxas equivalentes são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo 
diferentes que ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo 
prazo produzem um mesmo montante acumulado no final daquele tempo, no 
regime de juros compostos. 
O conceito de taxas equivalentes está, portanto, diretamente ligado ao regime 
de juros compostos, e é esclarecido pelos exemplos dados abaixo. 
Assim vemos que a diferença entre taxas equivalentes e taxas proporcionais se 
prende exclusivamente ao regime de juros considerado. As taxas proporcionais 
se baseiam em juros simples e as taxas equivalentes se baseiam em juros 
compostos. 
Quando queremos encontrara a taxa equivalente algebricamente, 
podemos utilizar a seguinte fórmula: 
 
 
9.5 TAXA NOMINAL 
Taxa nominal é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não 
coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa 
nominal geralmente é fornecida em termos anuais, e os períodos de 
capitalização podem ser semestrais, trimestrais, mensais ou diários. São 
exemplos de taxas nominais: 
• 12% ao ano, capitalizados mensalmente; 
• 24% ao ano, capitalizados semestralmente; 
• 10% ao ano, capitalizados trimestralmente; 
32 
 
 
• 18% ao ano, capitalizados diariamente. 
A taxa nominal, apesar de bastante utilizada no mercado, não representa uma 
taxa efetiva e, por isso, não deve ser usada nos cálculos financeiros, no regime 
de juros compostos. 
Toda taxa nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva implícita, que é a 
taxa de juros a ser aplicada em cada período de capitalização. Essa taxa 
efetiva implícita é sempre calculada de forma proporcional, no regime de juros 
simples. 
Nos exemplos anteriores, a taxas efetivas que estão implícitas nos enunciados 
das taxas nominais são as seguintes: 
 
Devemos então abandonar os valores das taxas nominais e realizar todos 
os cálculos financeiros, no regime de juros compostos, com valores das taxas 
efetivas correspondentes, ou seja, 1% ao mês. 12% ao semestre, 2,5% ao 
trimestre e 0,05% ao dia. 
Conforme podemos observar, a taxa efetiva implícita de uma taxa nominal 
anual é sempre obtida no regime de juros simples. A taxa anual equivalente a 
essa taxa efetiva implícita é sempre maior que a taxa nominal que lhe deu 
origem, pois essa equivalência é sempre feita no regime de juros compostos. 
Essa taxa anual equivalente será tanto maior quanto maior for o número de 
períodos de capitalização da taxa nominal. 
9.6 TAXA REAL DE JUROS 
A taxa real de juros nada mais é que a apuração de ganho ou perda em 
relação a uma taxa de inflação ou de um custo de oportunidade. Na verdade, 
significa dizer que a taxa real de juros é o verdadeiro ganho financeiro. 
Se considerarmos que determinada aplicação financeira render 10% em um 
determinado período, e que no mesmo período ocorreu uma inflação de 8%, é 
33 
 
 
correto afirmar que o ganho real dessa aplicação não foi 10%, tendo em vista 
que o rendimento correspondente sofreu uma desvalorização de 8% no mesmo 
período; dessa forma temos de encontrar qual é o verdadeiro ganho em 
relação à inflação, ou seja, temos de encontrar a Taxa Real de Juros. 
O cálculo da taxa real pode ser feito através da seguinte expressão: 
 
Exercícios Propostos 
Considere em todos os problemas o ano comercial com 360 dias. 
1) Determinar as taxas mensal e trimestral equivalentes à taxa de 9,0% ao ano. 
2) Determinar a taxa diária equivalente à taxa de 6% ao semestre. 
3) Determinar as taxas efetivas trimestral e anual equivalente à taxa de 1,05% 
ao mês. 
4) Determinar as taxas efetivas anuais equivalentes às taxas de 2,0% ao 
trimestre e 4% ao semestre. 
5) Determinar a taxa efetiva mensal equivalente a uma taxa nominal de 8,5% 
ao ano, capitalizados trimestralmente. 
Respostas 
1 - 0,72073 % ao mês; 2,17782 % ao trimestre. 
2 - 0,03238 % ao dia 
3 - 3,18319 % ao trimestre; 13,35373 % ao ano. 
4 - 8,24322 % ao ano; 8,16 % ao ano. 
5 - 0,70337 % ao mês 
 
34 
 
 
 
Capítulo 10 - Séries de Pagamentos 
10.1 INTRODUÇÃO 
Nos Capítulos anteriores foram analisadas as operações financeiras, em que, 
ou um único capital era aplicado para a formação de um montante, ou uma 
dívida assumida era saldada com um único pagamento; neste último caso 
incluem-se também os descontos de títulos. 
Os exemplos dados ou exercícios propostos que envolviam várias aplicações 
de capitais ou vários pagamentos feitos em datas diferentes foram resolvidos 
como se cada uma dessas aplicações ou cada um desses pagamentos fosse 
independente. Esse procedimento acarretou, na maioria das vezes, uma 
sobrecarga de cálculos na resolução desses problemas. 
10.2 RENDA 
Essas séries de capitais disponíveis ou pagamentos vencíveis em datas 
diferentes constituem o que se chama renda. 
Cada um dos pagamentos da série se chama termo, prestação ou 
simplesmente pagamento da renda. Os intervalos de tempo entre os 
vencimentos de dois pagamentos consecutivos são chamados períodos da 
renda. 
As rendas podem ser certas ou aleatórias. Certas são aquelas cujos 
pagamentos têm vencimentos, valores e número preestabelecidos e a taxa de 
juros fixada. Aleatórias são aquelas cujos pagamentos têm vencimentos, 
valores e número aleatórios ou a taxa variável, como acontece com os 
rendimentos de ações ou prêmios de seguro. Apenas as primeiras serão 
tratadas aqui, com a denominação genérica de rendas, pois apenas estas 
podem ter valores determinados por cálculos matemáticos. 
10.3 CLASSIFICAÇÃO DE RENDAS 
De modo geral, uma série uma prestação, ou pagamento corresponde a toda e 
qualquer sequência de entradas ou saídas de caixa com um dos seguintes 
objetivos: (1) amortização de uma dívida ou (2) capitalização de um montante. 
As séries podem ser classificadas de diferentes formas: 
35 
 
 
Quanto ao número de 
prestações 
Finitas: quando ocorrem durante um período 
predeterminado 
de tempo. 
Infinitas: quando ocorrem de forma ad etermum, 
isto é, 
quando os pagamentos ou recebimentos duram 
infinitamente. 
Quanto a 
periodicidades dos 
pagamentos 
Periódicas: quando os pagamentos ou 
recebimentos ocorrem 
a intervalos constantes. 
Não periódicas: quando os pagamentos ou 
recebimentos acontecem em intervalos 
irregulares de tempos 
Quanto ao valor das 
prestações 
Uniformes: quando os pagamentos ou 
recebimentos são sempre de mesmo valor. 
Não uniformes: quando os pagamentos ou 
recebimentos apresentam valores distintos. 
 
10.4 PAGAMENTOS OU RECEBIMENTOS IGUAIS 
As séries uniformes apresentam prestações iguais. São bastante comuns em 
operações comerciais, como financiamentos de eletroeletrônicos, 
financiamento imobiliário etc. Em se tratandode uma sequência de 
pagamentos, sua representação genérica pode ser vista abaixo. 
 
10.5 CÁLCULOS COM SÉRIES UNIFORMES NA HP 12C 
As principais funções financeiras da HP 12C para operações com séries 
uniformes são: 
[n] Número de pagamentos, aproximado para o inteiro superior. 
[i] Taxa da série (válido para séries uniformes e não uniformes) 
[PV] Do inglês Present Value, valor presente, capital, etc. 
[PMT] Do inglês Payment, valor da prestação (ou pagamento) 
[FV] Do inglês Future Value, valor futuro, montante, etc. 
 
Para operar com o registrador PMT da HP 12C, e preciso inicialmente 
determinar se a série calculada é postecipada (configurada por [g] [END]) ou 
antecipada (configurada por [g] [BEG]). 
36 
 
 
É de extrema necessidade fazer considerações em relação as convenções dos 
sinais da HP 12C. Desembolsos de caixa devem ser colocados com sinal 
negativo e recebimentos com o sinal positivo. No caso de a convenção dos 
sinais não ser respeitada e todos os parâmetros serem abastecidos com o 
mesmo sinal, a HP 12C alerta o usuário com a seguinte mensagem: 
Error 5: erro em operações com juros compostos. Provavelmente, algum valor 
foi colocado com o sinal errado (todos os valores tem o mesmo sinal) ou 
valores de i, PV e FV são tais que não existe solução n. 
 
10.6 CÁLCULOS COM SÉRIES UNIFORMES NO EXCEL 
As principais funções financeiras do Excel para operações com séries 
uniformes são: 
Função PGTO 
Retorna o pagamento periódico de uma anuidade de acordo com pagamentos 
constantes e com uma taxa de juros constante. 
Sintaxe: PGTO(taxa;nper;vp;vf;tipo) 
Para obter uma descrição mais detalhada dos argumentos em PGTO, consulte 
a função VP. Taxa: é a taxa de juros por período. 
Nper: é o número total de pagamentos pelo empréstimo. 
Vp: é o valor presente — o valor total presente de uma série de pagamentos 
futuros. 
Vf: é o valor futuro, ou o saldo, que você deseja obter depois do último 
pagamento. Se Vf for omitido, será considerado 0 (o valor futuro de 
determinado empréstimo, por exemplo, 0). 
Tipo: é o número 0 ou 1 e indica as datas de vencimento. 
 
37 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
1) Um empréstimo, cujo principal é de $ 20.000,00, foi realizado a juros 
compostos, e deve ser liquidado mediante o pagamento de 12 prestações 
mensais, iguais e sucessivas. Determinar o valor dessas prestações sabendo-
se que a taxa de juros cobrada é de 12% ao ano, capitalizados mensalmente, 
e que a 1ª prestação ocorre 30 dias após a liberação dos recursos. 
 
2) Um principal de $10.000,00,deve ser liquidado em quatro prestações 
semestrais, iguais e sucessivas. Determinar o valor dessas prestações para 
uma taxa de 1,5% ao mês, a juros compostos. 
 
3) Um empresário deseja obter um financiamento para adquirir um 
equipamento, cujo valor à vista é de $10.000,00. Para diminuir o valor das 
prestações, ele pretende dar uma entrada de $ 3.000,00 por ocasião da compra. 
Determinar o valor das 24 prestações mensais, iguais e sucessivas, para a parte 
financiada, sabendo - se que o financiamento é realizado a juros compostos de 
15% ao ano, capitalizados mensalmente, e que a 1ª prestação ocorre 30 dias 
após a liberação dos recursos. 
 
4) Um equipamento cujo valor á vista é de $25.000,00 está sendo financiado a 
juros compostos de 12% ao ano, capitalizados mensalmente, no prazo de um 
ano. Determinar o valor que deve ser dado de sinal, a título de entrada, para 
que o valor das 12 prestações mensais, iguais e sucessivas, seja limitado a $ 
1.7000,00. Assumir que a 1ª ocorre 30 dias após a liberação dos recursos. 
 
5) Um cliente de uma agência de automóveis adquiriu um veículo financiado em 
24 prestações de $1.500,00 com uma taxa de juros de 1% ao mês, no regime 
de juros compostos. No final de um ano, esse cliente procurou a mesma agência 
para vender esse automóvel, e a agência lhe ofereceu $18.000,00, para 
pagamento à vista. Determinar a parcela que deve ser paga ao cliente para que 
a agência adquira esse veículo assumindo o restante do financiamento, com a 
mesma taxa de 1% ao mês. 
 
 
RESPOSTAS 
 
1 - PMT = $1.776,98 
2 - PMT = $3.110,05 
3 - PMT = $339,41 
4 - Sinal = $5.866,37 
5 - $1.117,38 
 
 
38 
 
 
Capítulo 11 - VPL e TIR 
11.1 INTRODUÇÃO 
O objetivo deste capítulo é apresentar operações que envolvem séries não 
uniformes (fluxo de caixas não homogêneos) de pagamento, que apresentam 
períodos diferentes. Basicamente, dois critérios são empregados nas análises: 
a taxa interna de retorno (TIR ou IRR) e o valor presente líquido (VPL ou NPV). 
11.2 SÉRIES COM PRESTAÇÕES DIFERENTES 
As séries não uniformes apresentam valores de prestações diferentes. Desde 
modo utilizamos dois parâmetros no seu estudo: o VPL e a TIR 
• VPL: Valor Presente Líquido (ou NPV, do inglês. Net Present Value) 
representa a soma, na data zero, de todos os fluxos de caixa da série 
não uniforme. Às vezes, é denominado Valor Atual líquido (ou VAL) 
• TIR: Taxa Interna de Retorno (ou IRR, do inglês, Internal Rate of 
Return) corresponde ao valor da taxa de juros que torna nulo o valor do 
VPL. 
11.3 VALOR PRESENTE LÍQUIDO 
O Valor Presente Líquido (VPL) determina o valor líquido o investimento, 
descontado com a Taxa Mínima de Atratividade (TMA) na data zero. Através 
deste cálculo podemos avaliar um determinado projeto de investimento na data 
presente. 
O VPL de um fluxo de caixa é igual ao valor presente de suas parcelas futuras 
(que são descontadas com uma determinada taxa de desconto -TMA), somado 
algebricamente com a grandeza colocada na data zero. 
Um projeto de investimento é considerado atrativo quando o VPL for positivo, 
sendo que o projeto que apresentar maior VPL será o projeto mais atrativo. 
11.4 VALOR PRESENTE LÍQUIDO – EXCEL 
O Excel apresenta as funções VPL e XVPL, ambas para cálculo do valor 
presente líquido. Vejas as sintaxes dessas duas funções: 
Função VPL: Calcula o valor líquido atual de um investimento utilizando a 
taxa de desconto e uma série de futuros pagamentos (valores negativos) e 
receita (valores positivos). 
 
 
 
39 
 
 
11.5 TAXA INTERNA DE RETORNO – TIR 
 
A taxa interna de retorno (TIR) representa o valor do custo de capital que torna 
o VPL nulo. Corresponde, portanto a uma taxa que remunera o valor investido 
no projeto. Quando superior ao custo de capital do projeto, este deve ser 
aceito. 
A TIR representa também a taxa efetiva recebida no investimento, desde que 
os valores de retorno sejam reaplicados pela TIR, podendo ser calculada ao 
ano, ao mês ou qualquer outro período. Normalmente, é calculada de forma 
anual. 
Para analisar a TIR, basta compará-la com a TMA. Se a TIR for superior à 
TMA, o projeto é atrativo; no entanto, se a TIR for inferior à TMA, significa que 
o rendimento esperado do projeto é inferior ao nível mínimo desejado pelo 
investidor. É evidente que se a TIR for negativa, o projeto apresentará prejuízo 
efetivo. 
No Excel: TIR 
Função TIR - Retorna a taxa interna de retorno de uma sequência de fluxos de 
caixa representada pelos números em valores. Estes fluxos de caixa não 
precisam ser iguais como no caso de uma anuidade. Entretanto, os fluxos de 
caixa devem ser feitos em intervalos regulares, como mensalmente ou 
anualmente. A taxa interna de retorno é a taxa de juros recebida para um 
investimento que consiste em pagamentos (valores negativos) e receitas 
(valores positivos) que ocorrem em períodos regulares. 
Exercícios propostos 
1) A Transportadora Rápido Como o Vento pensa em comprar um novo 
caminhão no valor de $70.000,00. Os fluxos de caixa decorrentes do 
investimento estão apresentados na tabela seguinte. Sabendo que o custo de 
capital da empresa é igual a 12%a.a., estime o VPL e a TIR. 
2) Um banco concede a uma empresa um empréstimo de $600.000,00 para ser 
pago em 3 prestações vencíveis em 1,2 e 3 meses com valores de 
$200.000,00, $300.000,00 e $400.000,00, respectivamente. Qual a taxa de 
jurosdesse empréstimo? 
3) Um equipamento é vendido à vista por $1.300.000,00 ou então tal quantia 
pode ser financiado com $300.000,00 de entrada mais três parcelas mensais 
de $400.000,00 cada uma. Qual a taxa de juros desse financiamento? 
4) Uma matéria-prima é vendida por $90.000,00 em 3 parcelas mensais e 
iguais, sem acréscimo sendo a primeira dada como entrada. Se o pagamento 
for efetuado a vista, há um desconto de 5% sobre o preço de venda. 
40 
 
 
a) Qual a taxa de juros do financiamento? 
b) Qual a melhor alternativa para o comprador, se ele consegue aplicar seu 
dinheiro a 1,7% a.m.? 
5) Uma pessoa aplicou $500.000,00 e recebeu $200.000,00 após 1 mês, 
$250.000,00 após 2 meses e $300.000,00 após 3 meses. Qual a taxa interna 
de retorno? 
Respostas 
1 -NPV: 27884,0197; TIR:36,3742 
2- 20,61% a.m. 
3 – 9,7% a.m. 
4 – a) 5,36% b) à vista 
5 – 21,65% a.m. 
 
41 
 
 
Capítulo 12 - Sistemas de Amortização 
12.1 INTRODUÇÃO 
Os objetivos deste capítulo consistem em discutir de forma mais clara e 
simples possível os principais conceitos associados aos sistemas de 
amortização, que, basicamente, podem ser três tipos principais: americano, 
francês ou com amortizações constantes. 
A necessidade de recursos obriga àqueles que querem fazer investimentos a 
tomarem empréstimos e assumirem dívidas que são pagas com juros de forma 
que variam de acordo com contratos estabelecidos entre as partes 
interessadas. 
As formas de pagamento dos empréstimos são chamadas sistemas 
de amortização. 
Os sistemas de amortização são os mais variados, alguns prevendo 
pagamento único, outros possibilitando parcelamentos. Alguns desses 
sistemas de amortização são mais comuns e tem até denominações próprias, 
como o sistema PRICE. Outros não têm denominações próprias e, quando 
utilizados, são descritos pormenorizadamente nos contratos de empréstimo. 
Quando a forma escolhida para a amortização de uma dívida prevê pagamento 
parcelado, existe interesse, tanto por parte do devedor como por parte do 
credor, em conhecer, a cada período de tempo, o estado da dívida, isto é, o 
total pago e o saldo devedor. Por isso, é comum a elaboração de 
demonstrativos que acompanham cada pagamento do empréstimo. Não existe 
um modelo único de demonstrativo mas todos eles devem constar o valor de 
cada pagamento e o saldo devedor, devendo, ainda, o valor de cada 
pagamento ser subdividido em juros e amortização (devolução do principal 
emprestado). 
12.2 SISTEMAS E METODOLOGIAS DE CÁLCULOS DE JUROS E 
AMORTIZAÇÕES 
As classificações dos sistemas de amortização são usualmente feitas com 
base na forma de cálculos das anuidades. Geralmente, os sistemas podem ser 
de três tipos principais: americano, francês (PRICE) ou amortizações 
constantes (SAC). 
Nos sistema americano, os juros são pagos periodicamente, sendo o 
principal quitado apenas no final da operação. Alguns ativos financeiros, como 
os bonds (títulos de dívida pública ou corporativa) ou as debêntures, 
empregam esse sistema na determinação do ressarcimento dos juros e da 
quitação do principal. 
42 
 
 
No sistema francês, também denominado de Tabela Price, as prestações são 
constantes, ou seja, as séries são sempre uniformes. Assim, o pagamento dos 
juros é decrescente, enquanto as amortizações do principal são crescentes. 
No sistema de amortizações constantes, ou simplesmente, SAC, as 
amortizações são uniformes e o pagamento de juros decai com o tempo. Logo, 
as prestações são decrescentes. 
12.3 SISTEMA FRANCÊS – TABELA PRICE 
Nessa modalidade de amortização, a dívida é resgatada ou quitada mediante 
uma série de n pagamentos periódicos, sucessivos e iguais. Quando as 
prestações são mensais e a taxa apresentada é anual com capitalização 
mensal, o sistema francês recebe o nome de Tabela Price. Corresponde ás 
series uniformes já estudadas anteriormente. 
TABELA DE AMORTIZAÇÃO 
Exemplo 
 
O financiamento de um equipamento no valor de R$57.000,00 é feito pelo 
sistema francês de amortização em seis meses, à taxa de 15%a.m., construa 
uma tabela de amortização. 
 
Período Saldo 
Inicial 
Pagamentos Saldo 
Devedor Juros Amortização Prestação 
0 57.000,00 
1 57.000,00 8550,00 6511,50 15.061,50 50.488,50 
2 50.488,50 7.573,27 7.488,23 15.061,50 43.000,27 
3 43.000,27 6.450,04 8.611,46 15.061,50 34.388,80 
4 34.388,80 5.158,32 9.903,18 15.061,50 24.485,62 
5 24.485,62 3.672,84 11.388,66 15.061,50 13.096,96 
6 13.096,96 1.964,54 13.096,96 15.061,50 0,00 
Total 33.369,01 57.000,00 90.369,00 
 
12.4 SISTEMA SAC 
Nesse sistema de amortização a dívida (PV) assumida é quitada em n parcelas 
iguais, em que o valor de cada amortização é igual a VP/n. Os juros incidentes 
sobre o saldo devedor são quitados juntamente com a amortização do 
principal. Assim, como saldo devedor e o pagamento de juros decrescem, as 
parcelas são decrescentes. 
Exemplo 
Um empréstimo no valor de $16.000,00 deve ser quitado em quatro parcelas 
mensais mediante o pagamento do Sistema de Amortização Constante – SAC. 
43 
 
 
A taxa de juros mensal da operação é igual a 2%. Calcule o valor de cada 
parcela, sabendo que a primeira será paga dentro de 30 dias. 
Período Saldo 
Inicial 
Pagamentos Saldo 
Devedor Juros Amortização Prestação 
0 16.000,00 
1 16.000,00 320,00 4.000,00 4.320,00 12.000,00 
2 12.000,00 240,00 4.000,00 4.240,00 8.000,00 
3 8.000,00 160,00 4.000,00 4.160,00 4.000,00 
4 4.000,00 80,00 4.000,00 4.080,00 0,00 
Total 800,00 16.000,00 16.800,00 
 
Exercícios propostos 
1) Um principal de $10.000,00 é financiado pelo prazo de quatro meses, a uma 
taxa de 1,5% ao mês, no regime de juros compostos. Determinar os valores 
dos juros pagos no final do 4º mês, no Sistema PRICE. 
2) Um principal de $10.000,00 é financiado pelo prazo de quatro meses, a uma 
taxa de 1,5% ao mês, no regime de juros compostos. Determinar os valores 
dos juros pagos no final do 4º mês, no Sistema de Amortizações Constantes - 
SAC. 
3) Um financiamento com um principal de $10.000,00 deve ser liquidado num 
prazo de cinco anos, a uma taxa de juros compostos de 9% ao ano, por meio 
dos Sistema Price, determinar o valor dos juros contidos na 3ª prestação. 
4) Um financiamento cujo principal é $10.000,00 deve ser liquidado por meio 
de 12 prestações mensais, a serem pagas a partir de 30 dias após a liberação 
dos recursos. As seis primeiras prestações são iguais a $1.000,00 e as seis 
últimas prestações também devem ter valores iguais. Determinar o valor 
dessas últimas seis prestações para que a taxa efetiva de juros desse 
financiamento seja igual a 1,2% ao mês, no regime de juros compostos. 
5) Uma mercadoria cujo valor à vista é de $3.500,00 pode ser paga em 4 
prestações mensais e iguais, sendo dados ao cliente 2 meses de carência ( ou 
seja, a primeira prestação vence três meses após a compra). Sendo de 
$1.134,91 o valor de cada uma das prestações, calcule a taxa mensal de juros 
pela financiadora. 
Respostas 
1) $38,34 2) $37,50 3) $585,70 4) $792,07 5) 6% a.m. 
 
 
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