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Funções – Cálculo Diferencial e Integral I – Professor Marcelo Alberti P ág in a1 “Aquilo que ouço, esqueço. Aquilo que vejo, recordo. Aquilo que faço, entendo.” (Confucio) EP 14/03/2018 Números Desigualdades e Valores Absolutos O Cálculo baseia-se no sistema de números reais. Vamos ver alguns conjuntos numéricos Números Naturais: Números Inteiros: Números Racionais: Os números racionais são razões de números inteiros. Como exemplo temos: Ocorre também as dízimas periódicas, que são escritas como razão de inteiros, portanto são números racionais: Estes números tem representação decimal infinita, e que se repete, os algarismos que se repente é chamado de período. Alguns números não podem ser escritos como razão de inteiros, e estes números formam o conjunto dos Números Irracionais ( ). Dentre eles, temos: A representação decimal dos números irracionais, é infinita, e não se repete. Funções – Cálculo Diferencial e Integral I – Professor Marcelo Alberti P ág in a2 Números Reais O conjunto dos Números Reais ( ), é união dos números racionais com os números Irracionais, isto é, . - Os números reais podem ser representados por pontos sobre uma reta. A direção positiva é indicada por uma flecha. È marcado um ponto de referência O, chamado, origem, que corresponde ao número real 0. - Cada número real positivo é representado pelo ponto da reta que está a unidades de distância, à direita, da origem. - Cada número real negativo – é representado pelo ponto da reta que esta a unidades de distância, à esquerda, da origem. - Todo número real é representado por um ponto sobre a reta, e todo ponto sobre a reta corresponde a um único número real. - O número real associado ao ponto é chamado coordenada de . EP 16/03/2018 - Os números reais são ordenados. Ou seja, Dizemos que e escrevemos se for um número positivo. Geometricamente, isso significa que está à esquerda de sobre a reta real. Dizemos que e escrevemos , se for um número positivo. Geometricamente, isso significa que está à direita de sobre a reta real. O símbolo , significa que ou , e dizemos que Conjunto é uma coleção de objetos, chamados elementos do conjunto. Se S for um conjunto e é um elemento de S, escrevemos, . Caso b não seja elemento de S, escrevemos, . A intersecção de dois conjuntos, S e T, é o conjunto , que consiste em todos os elementos que estão em S e em T. ( em outras palavras, é a parte comum de S e T). O conjunto vazio, denotado por , é o conjunto que não contém elemento algum. Funções – Cálculo Diferencial e Integral I – Professor Marcelo Alberti P ág in a3 Intervalos Certos conjuntos de números reais, são denominados intervalos. Se , o intervalo aberto de até consiste em todos os números reais entre e e é denotado pelo símbolo . Na notação de conjuntos, temos: Graficamente, para indicar um intervalo aberto, se usa bolinhas vazias. Se , o intervalo fechado de até consiste em todos os números reais entre e , incluindo e , e é denotado pelo símbolo . Na notação de conjuntos, temos: Graficamente, para indicar intervalo fechado se usa bolinhas cheias. Tabela de Intervalos: Funções – Cálculo Diferencial e Integral I – Professor Marcelo Alberti P ág in a4 Desigualdades: Regras para desigualdades: 1. Se , então . 2. Se e , então . 3. Se e , então . 4. Se e , então . 5. Se , então . Exemplo 1: Resolva a inequação . Exemplo 2: Resolva as inequações . EP 17/03/2018 Exemplo 3: Resolva a inequação . Exemplo 4: Resolva a inequação . Exemplo 5: Resolva a inequação EP 21/03/2018 Valor Absoluto O valor absoluto de um número , denotado por , é a distância de até 0 na reta real. E representa o maior número do conjunto , ou equivalentemente, Funções – Cálculo Diferencial e Integral I – Professor Marcelo Alberti P ág in a5 Propriedades: Sejam e números reais quaisquer e um número inteiro. Então: 1- 2- 3- 4- Se , 5- se e somente se 6- se e somente se 7- se e somente se ou Desigualdade Triangular: Se e forem quaisquer números reais, então Distância: A distância entre os números reais e é . Exemplos: 1) A distância entre – e é: 2) A distância entre e é: Plano Coordenado Um par ordenado de números reais é uma dupla de números reais , tais que se e somente se . Funções – Cálculo Diferencial e Integral I – Professor Marcelo Alberti P ág in a6 Consideremos duas retas perpendiculares: uma horizontal (orientada positivamente para a direita) e a outra vertical (orientada positivamente para cima). Sejam os pontos e , então a distância entre e é: Propriedades: i) ii) d se e somente se, . iii) iv) Exemplo: A distância entre os pontos e é:______ EP 23/03/2018 Retas A inclinação (ou coeficiente angular) de uma reta não vertical que passa pelos pontos e é Obs.: A inclinação de uma reta vertical não esta definida. Equação de uma reta na forma Ponto-inclinação Uma equação da reta passando pelo ponto e tendo inclinação é Funções – Cálculo Diferencial e Integral I – Professor Marcelo Alberti P ág in a7 Exemplo: 1) Determine uma equação da reta que passa por com inclinação . 2) Determine uma equação da reta que passa pelos pontos e . Equação de uma reta na forma Inclinação-Intersecção com o Eixo y Uma equação da reta com inclinação e intersecção com o eixo y em é: Equação da reta na forma Geral é dada por: . Exemplo 1: Represente no plano coordenado o gráfico da reta Exemplo 2: Represente graficamente a inequação Retas Paralelas e Perpendiculares 1) Duas retas não verticais são paralelas se e somente se tiverem a mesma inclinação. 2) Duas retas com inclinações e são perpendiculares se e somente se ; isto é, suas inclinações são recíprocas opostas: Trigonometria A medida de um ângulo em radianos é dada pela razão: Como o comprimento de um semicírculo de é . Então, isto é, No plano coordenado consideremos um círculo de raio 1 orientado no sentido anti-horário. Funções – Cálculo Diferencial e Integral I – Professor Marcelo Alberti P ág in a8 A equação da circunferência é: Portanto, o comprimento da circunferência é: Considere o ângulo . Definição: O seno do ângulo é: O cosseno do ângulo é: A tangente do ângulo é: A cotangente do ângulo é: Identidade Fundamental da Trigonometria Definição: A secante do ângulo é: A cossecante do ângulo é: Propriedades: Funções – Cálculo Diferencial e Integral I – Professor Marcelo Alberti P ág in a9 EP - 24/03/2018 Observação: Adição de Arcos: 1) 2) 3) Lei dos Senos Seja um triângulo de vértices e , assim seus lados são e e os respectivos ângulos são e . Lei dos Cossenos Área de um Triângulo Funções – Cálculo Diferencial e Integral I – Professor Marcelo Alberti P ág in a1 0 Funções Definição: Uma função é uma lei (regra) que associa, a cada elemento em um conjunto D, exatamente um elemento, chamado , em um conjunto E. Indicamos: Exemplos de funções: (1) A área de qualquer círculo está em função do seu raio. (2) O volume de uma esfera está em função do seu raio. (3) [ Lei de Boyle ] O volume de uma massa gasosa é inversamente proporcional a pressão. (4) [ Lei de Poiseville ] O fluxo sanguíneo através de um vaso sanguíneo. Definição: O conjunto de todos é chamado domínio da função . Denotamos: . Definição: O conjunto de todos é chamado contradomínio da função . Denotamos: Definição: A imagem de é o conjunto de todos os valores possíveis de obtidos quando varia por todo o domínio. Denotamos: Funções – Cálculo Diferencial e Integral I – Professor Marcelo Alberti P ág in a1 1 O número é o valor de em e é lido “ de ”. O símbolo que representa um número arbitrário no domínio de uma função é denominado uma variável independente. Um símbolo que representa um número na imagem de é denominado uma variável dependente. Observação: . Observação: Duas funções são iguais se tem o mesmo domínio e a mesma regra. Definição: O gráfico de uma função é o conjunto Exemplo 1: A área de um círculo de raio , é . Exemplo 2: . Exemplo 3: Determine o domínio da função . Exemplo 4: Encontre o domínio da função . Exemplo 5: Ache o domínio de . Exemplo 6: Determine o domínio da função Funções – Cálculo Diferencial e Integral I – Professor Marcelo Alberti P ág in a1 2 Funções definidas por partes São funções definidas por fórmulas distintas em diferentes partes de seu domínio. Exemplo 7: Uma função é definida por Avalie . Exemplo 8: Esboce o gráfico da função Função Módulo É a função definida por . Exemplo 9: Esboce o gráfico da função valor absoluto . Exemplo 10: Esboce o gráfico da função . Simetria Se uma função satisfaz para todo número em seu domínio, então é chamada função par. Funções – Cálculo Diferencial e Integral I – Professor Marcelo Alberti P ág in a1 3 O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y. Se satisfaz para cada número em seu domínio, então é chamada função ímpar. O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem. Exemplo 11: Determine se a função é par, ímpar ou nenhum dos dois. Funções Crescentes e Decrescentes Uma função é chamada crescente em um intervalo I se: quando em I Uma função é chamada decrescente em um intervalo I se: quando em I Funções – Cálculo Diferencial e Integral I – Professor Marcelo Alberti P ág in a1 4 Considerando a função do gráfico acima temos: - No intervalo , , quando , portanto, a função é crescente no intervalo ; - No intervalo , , quando , portanto, a função é decrescente no intervalo ; - No intervalo , , quando , portanto, a função é crescente no intervalo ; FUNÇÕES ESSENCIAIS Função Linear Uma função linear é toda função da forma, Onde é uma função de , ou seja, . O gráfico de uma função linear é uma reta. Na função linear, , temos que é o coeficiente angular da reta e é a intersecção com o eixo . Uma característica relevante das funções lineares, é que elas variam a uma taxa constante. O Domínio de uma função linear é o conjunto dos números reais. Se (coeficiente angular da reta é positivo), a função é crescente para todo real. Se (coeficiente angular da reta é negativo), a função é decrescente para todo real. Se (coeficiente angular da reta é nulo), a função é constante para todo real. Funções – Cálculo Diferencial e Integral I – Professor Marcelo Alberti P ág in a1 5 Polinômios Uma função P é denominada polinômio se Onde é um número inteiro não negativo e os números são constantes chamados coeficientes do polinômio. O domínio de qualquer polinômio é . Se o coeficiente dominante , então o grau do polinômio é . - Um polinômio de grau 1, é da forma , que é uma função linear. - Um polinômio de grau 2, é da forma , e é chamado função quadrática. O gráfico de uma função quadrática é sempre uma parábola obtida pelas translaçõesda parábola . A parábola abre-se (tem concavidade voltada) para cima se e para baixo quando - Um polinômio de grau 3 tem a forma , e é chamado função cúbica. Funções Potência Uma função da forma , onde é uma constante, é chamada função potência. Temos alguns casos: , onde é um inteiro positivo. Os gráficos de são polinômios com somente um termo. Abaixo os gráficos de , para , observe que todos passa m pela origem. Funções – Cálculo Diferencial e Integral I – Professor Marcelo Alberti P ág in a1 6 , onde é um inteiro positivo. A função é uma função raiz. Para , ela é a função raiz quadrada , cujo domínio é e cujo gráfico é a parte superior da parábola , como indicado na figura abaixo: Para temos a função raiz cúbica , cujo domínio é e cujo gráfico é a cúbica , como indicado na figura abaixo: O gráfico de , será: Similar ao de , para par. Similar ao de , para ímpar. . A função é a função recíproca. O gráfico de uma função recíproca , ou , é uma hipérbole com os eixos coordenados como suas assíntotas. Funções – Cálculo Diferencial e Integral I – Professor Marcelo Alberti P ág in a1 7 Funções Racionais Uma função racional é a razão de dois polinômios: Onde e são polinômios. O domínio consiste em todos os valores de tais que . A função é uma função racional com domínio , cujo gráfico esta abaixo: Funções Algébricas Uma função é chamada função algébrica se puder ser construída por meio de operações algébricas (como adição, subtração, multiplicação, divisão e extração de raízes) a partir de polinômios. Toda função racional é uma função algébrica. Alguns exemplos: Os gráficos de funções algébricas podem assumir diversas formas, como por exemplo: Funções – Cálculo Diferencial e Integral I – Professor Marcelo Alberti P ág in a1 8 Funções Exponenciais As funções exponenciais são da forma , em que é uma constante positiva. O domínio de uma função exponencial é , e a imagem é . Essas funções são úteis na modelagem de muitos fenômenos naturais, como crescimento populacional (se e decaimento radioativo (se . Funções Logarítmicas As funções logarítmicas , onde a base é uma constante positiva, são inversas das funções exponenciais. O domínio é e a imagem é . Exemplo 1: Classifique as funções a seguir em um dos tipos discutidos. a) b) c) d) Funções – Cálculo Diferencial e Integral I – Professor Marcelo Alberti P ág in a1 9 Transformações de FUNÇÕES Deslocamentos Verticais e Horizontais (Translações): , desloque o gráfico de em unidades para cima; , desloque o gráfico de em unidades para baixo; , desloque o gráfico de em unidades para a direita; , desloque o gráfico de em unidades para a esquerda; Reflexões e Expansões Horizontais e Verticais: , expanda o gráfico de verticalmente por um fator de ; , comprima o gráfico de verticalmente por um fator de ; , comprima o gráfico de horizontalmente por um fator de ; , expanda o gráfico de horizontalmente por um fator de ; , reflita o gráfico de em torno do eixo ; , reflita o gráfico de em torno do eixo ; Funções – Cálculo Diferencial e Integral I – Professor Marcelo Alberti P ág in a2 0 Exemplo 2: Dado o gráfico de , use transformações para obter os gráficos de , , , e . Exemplo 3: Esboce o gráfico das funções: a) . b) c) d) Solução: a) Funções – Cálculo Diferencial e Integral I – Professor Marcelo Alberti P ág in a2 1 b) c) d) Funções – Cálculo Diferencial e Integral I – Professor Marcelo Alberti P ág in a2 2 Combinações de Funções Duas funções g podem ser combinadas como: E são definidas como: Se o domínio de é e o domínio de é , então: Definição : Dadas duas funções , a função composta (também chamada composição de ) é definida por O domínio de é o conjunto de todos os no domínio de tais que está no domínio de . Exemplo 4: Se e , encontre as funções compostas e . Exemplo 5: Se e , encontre cada uma das funções e seus domínios: a) b) c) d) Exemplo 6: Encontre se , e . Exemplo 7: Dada a função , encontre as funções e tal que . Funções – Cálculo Diferencial e Integral I – Professor Marcelo Alberti P ág in a2 3 Funções Exponenciais Uma função exponencial é uma função da forma , onde é uma constante positiva. Lembremos que: Funções – Cálculo Diferencial e Integral I – Professor Marcelo Alberti P ág in a2 4 As funções são definidas de três forma, de acordo com a sua base. Propriedades dos Expoentes Se e forem números positivos e e , quaisquer números reais, então 1. 2. 3. 4. Exemplo 1: Esboce o gráfico da função e determine seu domínio e imagem. O Número O número é o número de Euler, na qual é a base da função exponencial, na qual a inclinação da reta tangente a curva da função exponencial de base , , no ponto , é . Temos que a inclinação das retas tangentes em , é para e para Podemos chamar a função de função exponencial natural. Funções – Cálculo Diferencial e Integral I – Professor Marcelo Alberti P ág in a2 5 Exemplo 2: Faça o gráfico de e diga qual o domínio e a imagem. Funções Inversas e Funções Logarítmicas Definição 1: Uma função é chamada função injetora se ela nunca assume o mesmo valor duas vezes; isto é, Teste da Reta Horizontal Uma função é injetora se nenhuma reta horizontal intercepta seu gráfico em mais de um ponto. Funções – Cálculo Diferencial e Integral I – Professor Marcelo Alberti P ág in a2 6 Definição 2: Seja uma função injetora com domínio A e imagem B. Então, a sua função inversa tem domínio imagem A e é definida por Para todo em B. Como a letra x é usada tradicionalmente para a variável independente, podemos escrever: Assim, temos as equações de cancelamento:Funções – Cálculo Diferencial e Integral I – Professor Marcelo Alberti P ág in a2 7 Como achar a Função Inversa de uma Função Injetora Passo 1: escreva Passo 2: Isole x nessa equação, escrevendo-o em termos de (se possível). Passo 3: Para expressar como uma função de , troque por . A equação resultante é . Exemplo 3: Encontre a função inversa de O gráfico de é obtido refletindo-se o gráfico de em torno da reta Exemplo 4: Esboce os gráficos de e de sua função inversa usando o mesmo sistema de coordenadas. Funções Logarítmicas Se e , a função exponencial é crescente ou decrescente, e portanto, injetora pelo teste da reta horizontal. Assim, existe uma função inversa , chamada função logarítmica com base denotada por . Assim, como Temos: Pelas equações de cancelamento, temos: para todo para todo A função logarítmica tem domínio e a imagem . O gráfico é a reflexão do gráfico de em torno da reta . Funções – Cálculo Diferencial e Integral I – Professor Marcelo Alberti P ág in a2 8 Propriedades de Logaritmos Se forem número positivos, então 1. 2. 3. Exemplo 5: Use as propriedades de logaritmos para calcular . Logaritmos Naturais O logaritmo na base é chamado logaritmo natural e tem uma notação especial: Propriedades: Exemplo 6: Encontre se . Exemplo 7: Resolva a equação . Exemplo 8: Expresse como um único logaritmo. Exemplo 9: Esboce o gráfico da função . Fórmula de Mudança de Base Para todo número positivo , temos:
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