CÁLCULO FUNÇÕES DE UMA E VÁRIAS VARIÁVEIS Pedro A Morettin, Samuel Hazzan, Wilton de O Bussab

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CÁLCULO – FUNÇÕES DE UMA E VÁRIAS VARIÁVEIS 
Pedro A. Morettin, Samuel Hazzan, Wilton de O. Bussab. 
 
 
Capítulo 3 – Funções 
1 
 
 
Introdução 
 
Função é uma forma de estabelecer uma ligação entre dois conjuntos, sujeita a algumas 
condições. Antes, porém, será exposta uma forma de correspondência mais geral, chamada 
relação. 
Sejam dois conjuntos A e B. Uma relação S entre os dois conjuntos é qualquer subconjunto de 
A x B (A cartesiano B). 
Definida uma relação, podemos considerar dois novos conjuntos, domínio e imagem: 
O domínio de S, D(S), é o conjunto dos elementos x ∈A para os quais existe um y∈B tal que 
(x,y) ∈S. 
A imagem de S, Im(S), é o conjunto dos y∈B para os quais existe um x∈A tal que (x,y)∈S. 
Temos que D(S) ⊂ A e Im(S) ⊂ B 
Por exemplo, sejam os conjuntos A = {1,2,3} e B = {2,3,4,5} e seja a relação dada por 
 
 S = {(x, y)∈A x B / y = x+1} 
 
Daí, S = {(1,2),(2,3),(3,4)}, D(S) = {1,2,3} e Im(S) = {2,3,4} 
 
 
 
Conceito de Função 
 
Função é um caso particular de relação. 
Sejam dois conjuntos A e B. Uma relação f de A em B é uma função se e somente se: 
 
(a) Todo elemento x pertencente a A tem um correspondente y pertencente a B definido pela 
relação, chamado imagem de x. 
(b) A cada x pertencente a A não podem corresponder dois ou mais elementos de B por meio de 
f. 
 
Então, uma função é formada por três elementos: dois conjuntos, A e B, e uma regra f que 
associa a cada elemento de A, o domínio da função, apenas um único elemento em B, o contra 
domínio. 
A imagem y é representada por f(x), onde x é a variável independente e y é a variável 
dependente.Temos que Im(S) ⊂ B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo 3 – Funções 
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Funções Reais de uma Variável Real 
 
Seja uma função com domínio em A e contra domínio em B. 
Domínio é o conjunto onde a função é definida, e o conta-domínio é o conjunto onde a função 
toma valores.Se estes dois conjuntos são subconjuntos dos reais, dizemos que 
f é uma função real de variável real. 
Por exemplo, seja a função dada por ( ) 2f x x= , sendo A=N* 1 e B = � 
Assim, 
 
(1) 2, (2) 4, (3) 6...f f f= = = 
 
Temos ainda Im(f) = {2,4,6,...2n,...} ⊂ B 
 
 
Primeiras Normas Elementares para o Estudo de uma Função 
 
Domínio 
 
Dada uma função, muitas vezes devemos saber qual o domínio da função, ou seja, para quais 
valores da variável independente x a função está definida. 
Quando não é mencionado o domínio da função, convenciona-se como sendo os reais. 
Por exemplo,
2
( )
3
f x
x
=
−
, esta função está definida para todos os reais exceto para x=3. Então 
o domínio da função é D(f) = � - {3} 
 
 
 
Funções Crescentes e Decrescentes 
 
 
Seja uma função f definida num intervalo [a,b], em que x1 e x2 pertencem a este intervalo. 
 
Uma função é crescente se 1 2 1 2( ) ( ) x x f x f x> ⇒ > 
Uma função é não decrescente se 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x> ⇒ ≥ 
Uma função é decrescente se 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x> ⇒ < 
Uma função é não crescente se 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x> ⇒ ≤ 
Se a função assume sempre o mesmo valor, isto é, f(x) = cte, trata-se de uma função constante. 
 
 
 
 
 
 
 
1
 N* = {1, 2, 3,...} 
 
 
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Capítulo 3 – Funções 
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Pontos de Máximo e de Mínimo 
 
Seja o seguinte gráfico 
 
-2 -1 0 1 2 3 4 5
 
 
 
Vemos que para x = 3, esta função atinge seu menor valor, chamado de mínimo absoluto. Isto 
significa que para qualquer outro valor de x∈D, a função assume um valor maior. Por outro lado, 
para x = 0 a função atinge um ponto de mínimo, chamado mínimo relativo. Abaixo serão 
formalizadas estas idéias. 
Seja uma função definida num domínio D. Um ponto 0x D∈ é um ponto de máximo relativo se 
existir um intervalo aberto A, com centro em x0, tal que 
 
0( ) ( ) x A Df x f x≤ ∀ ∈ ∩ 
 
Analogamente, um ponto 0x D∈ é ponto de mínimo relativo se existir um intervalo aberto A, 
com centro em x0, tal que 
 
0( ) ( )f x f x≥ x A D∀ ∈ ∩ 
 
Dizemos que x0 é um ponto de máximo absoluto se 
 
0( ) ( ) x Df x f x≤ ∀ ∈ 
 
e x0 é um ponto de mínimo absoluto se 
 
 0( ) ( ) x Df x f x≥ ∀ ∈ 
 
No gráfico acima, o ponto x=0 é mínimo relativo, x=1 é máximo relativo e x=3 é mínimo 
absoluto. 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo 3 – Funções 
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Principais Funções Elementares e suas Aplicações 
 
Função Constante 
 
É uma função do tipo y = k, onde k é uma constante real. 
Seja o gráfico da função f(x )= 3 
 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
-6 -4 -2 0 2 4 6
 
 
Função do 1º grau 
 
É uma função do tipo y = m.x+ n , m e n são constantes 
Seu gráfico é uma reta. 
A constante n é o intercepto do gráfico no eixo y, chamado de coeficiente linear da reta. 
A constante m é o coeficiente angular da reta e representa a taxa de variação de y dada uma 
variação na variável independente x. 
O coeficiente angular é encontrado pela relação m = 
y
x
∆
∆
 = 0
0
y y
x x
−
−
 , isto é, bastam dois pontos 
para se encontrar o coeficiente angular da reta. 
 
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-4 -2 0 2 4 6
 
 
Este é o gráfico da função y = x+1 
O coeficiente linear é encontrado fazendo x=0 e então o intercepto está no ponto (0,1). 
 
 
 
 
 
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Capítulo 3 – Funções 
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O coeficiente angular é encontrado escolhendo dois pontos que pertencem à reta y=x+1, por 
exemplo, A(2,1) e B(3,2), que resulta em m=
3 2
2 1
−
−
=1, ou seja, dada uma variação de uma 
unidade em x ocorrerá a variação de uma unidade em y. 
Em geral, quando m>0, a função é crescente e quando m<0, a função é decrescente. 
Note que o coeficiente angular é igual à tangente do ângulo entre a reta e o eixo x. 
Então, como m = 0
0
y y
x x
−
−
, temos que y - y0 = m (x-x0) é a equação geral da reta. 
Daí, para se caracterizar uma reta basta um coeficiente angular e um ponto. 
 
 
Função Quadrática 
 
È uma função do tipo 
 
 2y ax bx c= + + , 
 
Em que a,b e c são constantes reais com a ≠ 0. O gráfico deste tipo de função é chamado de 
parábola. 
O comportamento da parábola depende em parte de a e em parte do valor de ∆ . 
Se a > 0, a concavidade é voltada para cima e se a < 0 é voltada para baixo. 
Se ∆ > 0, a função tem duas raízes reais; 
Se ∆ = 0 , a parábola tem duas raízes iguais e interceptará o eixo x em um único ponto; 
Se ∆ < 0 a parábola não tem raízes reais. 
 
Seja o gráfico da função f(x) = x2-2x 
-4 -2 0 2 4 6
 
 
As raízes (interceptos com o eixo x) da parábola são x = 0 e x=2. 
No caso, como a > 0 a concavidade é voltada para cima e como ∆ > 0 há duas raízes reais e 
distintas. 
O vértice também pode ser descoberto: vemos vx =1, e então como vy =
2 2v vx x− , temos vy = -1 
Para valores de x∈]0,2[, temos y < 0 e para x<0 e x>2, temos y > 0. 
 
 
 
 
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Capítulo 3 – Funções 
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Função Polinomial 
 
É uma função do tipo 
 
 1 2 10 1 2 1 0( ) ...
n n n
nf x a x a x a x a x a
− −
−
= + + + + + 
 
Então, a função constante é uma função polinomial de grau zero, a função linear, de grau um e a 
função quadrática é uma função polinomial de grau 2. 
 
 
Função Racional 
 
É toda função cuja imagem é o quociente de dois polinômios, sendo o denominador um 
polinômio não nulo. 
Por exemplo, a função 
1
( )
1
x
f x
x
+
=
−
 
 
Um caso importante é a função 
1
( )f x
x
= , que é uma hipérbole. 
O domínio desta função são os reais exceto o zero. 
O gráfico de uma hipérbole, para valores positivos de x é mostrado abaixo: 
0
2
4
68
10
12
0 1 2 3 4 5
 
Vemos que à medida que x se aproxima de zero o valor 
1
x
 tende ao infinito. 
 
 
Função Potência 
 
É uma função do tipo 
 
 ( ) nnf x x= ∈� 
 
Daí, uma função potência pode ser f(x) = x2 ou f(x) = x -1 = 
1
x
, ou f(x) = 1/ 2x x= 
 
 
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Função Exponencial – Modelo de Crescimento Exponencial 
 
De um modo geral, se uma grandeza com valor inicial 0y crescer a uma taxa igual a k por unidade 
de tempo, então, após um tempo x, medida na mesma unidade de k, o valor dessa grandeza será 
dado por: 
0 (1 )
x
y y k= + 
 
que é conhecida como função exponencial 
O padrão gráfico se altera quando (1+k)>1 e quando (1+k)está entre 0 e 1. 
 
 
Logaritmos 
 
O uso de logaritmos tem sua motivação para resolver questões onde a variável está no expoente. 
Por exemplo, 2x = 8. Como 8 = 23, temos que x = 3. 
Em geral temos 
 
 a y = log
y
a N N= ⇔ 
 
Daí, y é o logaritmo do número N na base a.Os valores N e a devem ser positivos e diferentes de 
um. 
As bases mais utilizadas são a base 10 e a base e (número de Euler, e = 2,718284...).Este último 
é indicado por lnN = lgeN. 
Propriedades de Logaritmos 
( 1) log . log log
( 2) log log log
( 3) log log
log
( 4) log (mudança de base)
log
a a a
a a a
a a
c
a
c
P M N M N
M
P M N
N
P M M
M
P M
a
α
α
= +
= −
=
=
 
O gráfico do logaritmo se altera quando a > 1 e quando a∈]0,1[. 
O gráfico de Logaritmo na base 2 é esboçado a seguir: 
-4
-2
0
2
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 
O ponto de intersecção com eixo x é o ponto (1,0). 
 
 
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Capítulo 3 – Funções 
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Vemos também, que o logaritmo não está definido para valores negativos de x e que quanto mais 
próximo x estiver de zero o logaritmo tende para menos infinito. 
 
Quando a base do logaritmo está entre zero e um, o formato da curva se altera: 
 
 
-4
-2
0
2
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 
 
Neste caso quando x se aproxima de zero a função tende para mais infinito. 
 
 
Funções Trigonométricas 
 
Serão descritas as funções seno, cosseno e tangente. 
O seno e o cosseno têm o domínio como sendo os reais e ambos assumem valores no intervalo 
[-1,1].Trata-se de funções limitadas. 
O gráfico do seno é mostrado a seguir: 
 
 
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
 
 
A intersecção com o eixo x é feita fazendo f(x) = senx = 0, e, portanto, x = kπ , onde k é um 
inteiro. A análise para o cosseno é similar. 
A função tangente é definida como f(x) = tgx =
cos
senx
x
.O domínio da função tangente são os reais, 
excluindo os pontos onde o cosseno se anula.A função tangente assume valores em todo o 
conjunto dos reais.