Aula Variações Ondulatórias

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Análise das Variações 
Variações Ondulatórias 
 
 
Análise das Variações Ondulatórias 
 
 
Prof. Luiz Gil Solon Guimarães 
Os fenômenos ondulatórios são muito comuns. 
Por exemplo, o mar agitado apresenta ondas que se movimentam em direção à costa. 
Certamente você já observou ondas se chocando em rochas num movimento cíclico regular. 
A dinâmica de entrada de uma pessoa no mar a partir de um rochedo deve ser a de aguardar 
a onda bater e, no seu retorno, mergulhar rapidamente, aproveitando o ciclo das ondas. 
Outro exemplo de fenômeno ondulatório é o conjunto de ondas que se forma em águas 
paradas quando um barco passa. 
 
 
Agora vamos falar sobre os abalos sísmicos que, apesar de não serem muito relevante para 
nós brasileiros, não podem ser esquecidos Os abalos sísmicos são movimentos 
ondulatórios que ocorrem em certas zonas da superfície terrestre. As ondas 
sísmicas propagam-se do interior da Terra até à superfície e seus efeitos podem ser 
devastadores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
As ondas em cordas facilitam muito a observação do fenômeno ondulatório. Para 
isso basta fixar uma das extremidades da corda e produzir um movimento de 
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“sobe e desce” na outra ponta. Isso pode ser feito facilmente em uma sala de 
aula pelo professor com o auxílio de um aluno, como na foto abaixo. 
 
 
 
Em shows musicais ao ar livre são muito comuns as torres com caixas de som 
com elevadas potências. Os alto-falantes vibram e produzem ondas 
sonoras de grande energia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Essas ondas mencionadas até aqui são ditas ondas mecânicas, pois transferem 
energia de um ponto para outro em um determinado meio. Portanto, necessitam 
de um suporte material para se propagarem. Elas se formam pela vibração de 
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corpúsculos (constituintes da matéria) que constituem o meio no qual a 
propagação ocorre. Portanto, as ondas do mar, as ondas do lago, as ondas 
sismícas, as ondas em cordas e as ondas sonoras são ondas mecânicas. 
 
Existem ondas que não necessitam do meio para se propagarem. São as ondas 
eletromagnéticas. Elas se propagam no ar, na água, ou em outros meios 
materiais, mas também se propagam no vácuo. 
 
Assim como as ondas mecânicas, as ondas eletromagnéticas estão cada vez 
mais presentes no nosso dia a dia. A mais famosa é a luz, mas o sinal do rádio 
da TV e do celular são ondas eletromagnéticas. Também podemos citar o 
infravermelho, as microondas, o Raio X e o GPS. A única onda eletromagnética 
que podemos ver é a luz que, pelas suas variações, nos permite a visão das 
cores. As demais não são captadas pelo nosso sistema visual. 
 
A luz emitida pelas estrelas propaga-se no espaço vazio através de ondas 
luminosas, que são um tipo de ondas eletromagnéticas, não precisando de um 
suporte material para se propagarem. O mesmo raciocínio serve para o sol que 
nos inunda todos os dias com a sua luz. 
Quando se utiliza uma corda para produzir uma onda, verifica-se facilmente o 
fenômeno ondulatório, mas não há deslocamento de matéria na direção de 
propagação da onda. Cada ponto da corda permanece na mesma posição 
horizontal, mas oscila de cima para baixo e vice versa. A onda transporta 
energia, mas não transporta, na direção de propagação, qualquer ponto material 
da corda. Para comprovar isso basta marcar um ponto na corda e produzir a 
onda. O ponto marcado ficará subindo e descendo. 
O efeito visual da onda (“OLA”) é produzido nos estádios de futebol apenas com 
o movimento de se levantar e sentar de forma sincronizada, como se fosse o 
ponto marcado na corda mencionado no parágrafo anterior. O fenômeno 
ondulatório é produzido sem que nenhuma pessoa saia do seu lugar. 
As ondas eletromagnéticas são bem mais complexas do que as ondas 
mecânicas e estão previstas para a disciplina Física Teórica Experimental III. 
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As ondas eletromagnéticas são resultado das combinações de campos elétricos e 
campos magnéticos que se propagam no espaço, dando origem à sua denominação. 
Na figura, o campo elétrico é representado pela letra E e o magnético, perpendicular, 
pela letra B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Após esta introdução, vimos que as variações ondulatórias são muito 
importantes para o nosso dia a dia e para a engenharia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Antes de falarmos em números, vamos conhecer as principais características de 
uma onda. 
Amplitude e comprimento de onda 
Tanto a Amplitude como o 
comprimento de onda são 
comprimentos que podem ser 
medidos normalmente. 
No SI (Sistema Internacional de 
Unidades), a unidade de 
referência é o metro. 
A amplitude é a altura máxima atingida por um pulso em relação a posição de 
repouso. 
O comprimento de onda é a dimensão de um ciclo completo da onda, que pode ser 
medido entre dois pontos que posuam a mesma amplitude, como mostra a figura. 
 
Período e frequência 
O período é o tempo que um comprimento de onda passa por um referencial. No SI, 
o período é medido em segundos. 
A frequência é uma medida um pouco mais complexa. Ela é definida como sendo a 
quantidade de ciclos completos passam por um referencial fixo em um determinado 
tempo. A frequência é medida em hertz (hz), que representa o número de ciclos por 
segundo. 
Na figura aparecem duas ondas, uma 
com frequência de 3 hz e outra de 10 hz. 
Na primeira, de 3 hz, percebe-se um 
comprimento de onda maior. Nas duas 
estão marcados os tempos de 1 segundo 
no eixo horizontal que representa o 
tempo. 
Na primeira podemos contar 3 ciclos 
completos em 1 segundo (1 hz) e na 
segunda pode-se contar 10 ciclos 
completos (10 hz). 
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Agora que já conhecemos um pouco mais das variações ondulatórias, podemos 
avançar e analisá-las numericamente. 
Vamos imaginar uma corda em repouso com os referenciais da figura, onde o 
eixo x coincide com a corda em repouso e o eixo y, perpendicular, se encontra na 
extremidade esquerda da corda e um ponto P, genérico, está localizado em uma 
posição x qualquer. 
 
 
 
 
 
 
 
Se imaginarmos uma onda na corda da figura, uma das configurações possíveis 
é a da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A ideia é possuirmos uma equação que consiga representar numericamente a 
posição de um ponto da corda quando a onda passa, ou seja, precisamos 
conseguir representar numericamente a posição de qualquer ponto da corda 
para, por exemplo, conseguirmos desenhar a onda. 
 
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Equação da onda periódica: 
� = ���� 	�	
 ��
 −
�
�� +	��� 
Aqui temos várias considerações: 
• y: posição referente ao eixo vertical (ordenada) 
• T: período da onda 
• x:posição referente ao eixo horizontal (abiscissa) 
• λ: comprimento de onda 
• ��: fase inicial (deslocamento horizontal inicial) 
• O ângulo representado pela expressão entre colchetes está em radianos. 
 
Antes de prosseguirmos, vamos retornar para a trigonometria e revermos os 
conceitos de seno, cosseno e tangente. 
Nosso início se dará pelo círculo trigonométrico, que nada mais é do que um 
círculo de raio unitário e centro na origem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como o círculo possui raio unitário e está centrado na origem, repare que os pontos 
do círculo possuem valores de abscissas e ordenadas entre -1 e 1. 
Outrainformação que vale a pena lembrar é a marcação dos ângulos. O início (0o) 
se dá no ponto A e os ângulos crescem positivamente no sentido anti-horário. 
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Por último, vamos lembrar que o círculo é dividido em 4 quadrantes, sendo o 1º 
entre 0 e 90º, o 2º entre 90 e 180º , o 3º entre 180 e 270º e o 4º entre 270 e 360º, 
conforme a figura. 
Evoluindo o raciocínio, vamos associar o eixo x aos cossenos e o eixo y aos senos. 
Considerando apenas pontos do círculo, vamos analisar um ponto P qualquer do 
círculo, com um ângulo θ, medido a partir do ponto 0o, como acabamos de discutir. 
Por ser um ponto do círculo, P está a uma distância unitária do centro e possui, 
como abiscissa, cosseno de θ e como ordenada seno de θ. 
 
 
Dessa forma, os valores possíveis para o seno e para o cosseno também variam de 
-1 até 1. 
 
Atividade 1 
Utilize o programa GeoGebra para gerar os gráficos de y=cos(x) e y=sen(x). 
• Qual a diferença entre os gráficos? 
• Quais os valores máximos e mínimos? 
• Altere a expressão y=cos(x) para y = A . cos(x). O que acontece com 
os valores máximos e mínimos quando atribuímos valores para A, por 
exemplo 2 ou 3? 
• Altere a expressão para y = cos(A . x). O que acontece com o 
comprimento da onda quando atribuímos valores para A, por exemplo 
2 ou 0,5? 
• Altere a expressão para y = cos(x + A). O que acontece com o gráfico 
quando atribuímos valores para A, por exemplo 2 ou 0,5? 
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Retornando à equação da onda, vemos a presença do cosseno que será calculado a 
partir de uma série de fatores que independente de seus valores, produzirão um 
resultado que será um valor entre -1 e 1. Este valor do cosseno será multiplicado 
pela amplitude, gerando um valor para y, que obrigatoriamente será entre A e –A. 
 
Vamos construir o gráfico de uma onda com amplitude de 1,5 m, período de 3 s, 
comprimento de onda de 4m e fase inicial igual a zero. 
Expressão da onda: � = �, �	. ��� 	�	
 ���−
�
	�� 
Para que a gente possa ter um controle manual do processo, vamos utilizar o 
Microsoft Excel para a construção do gráfico. Inicialmente vamos montar uma tabela 
com valores de x variando de 0 a 6m. Como o comprimento de onda é 4m, nossa 
representação terá uma vez e meia o comprimento da onda. Vamos criar pontos a 
cada 20 cm, ou seja 0,2 m. Na primeira coluna estão os valores de x e na segunda, 
os valores de y. 
 
 
 
X Y 
0 -0,75 
0,2 -0,311867536 
0,4 0,156792695 
0,6 0,610104965 
0,8 1,00369591 
1 1,299038106 
1,2 1,467221401 
1,4 1,491782843 
1,6 1,370318186 
1,8 1,114717238 
2 0,75 
2,2 0,311867536 
2,4 -0,156792695 
2,6 -0,610104965 
2,8 -1,00369591 
3 -1,299038106 
3,2 -1,467221401 
3,4 -1,491782843 
3,6 -1,370318186 
3,8 -1,114717238 
4 -0,75 
4,2 -0,311867536 
4,4 0,156792695 
4,6 0,610104965 
4,8 1,00369591 
5 1,299038106 
5,2 1,467221401 
5,4 1,491782843 
5,6 1,370318186 
5,8 1,114717238 
6 0,75