A aplicação de equações diferenciais na Análise de esforços cortantes e momento fletor em vigas variadas com base

Prévia do material em texto

A APLICAÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NA ANÁLISE DE ESFORÇOS CORTANTES E MOMENTO FLETOR EM VIGAS VARIADAS COM BASE ANALÍTICA NO FTOOL.
José Victor Magalhães Gomes¹
João Victor de Freitas²
André Lopes de Lima³
RESUMO 
Esse trabalho tem o objetivo de analisa momentos fletores e esforços cortantes através do cálculo diferencial de certas equações diferencias, e mostra como e prático usar ferramentas como Ftool para analisar e calcular forças internas em algumas vigas. Algumas equações diferencias nos permite calcular esforços cortantes, através de momentos fletores em uma viga ou estrutura que são causados pela carga distribuída ao longo da estrutura ou viga, esses cálculos são de extrema importância no planejamento e execução do projeto. 
Palavras-chaves: momento; vigas; forças; Ftool; equação diferencial
1.INTRODUÇÃO 
Esforços internos em uma estrutura caracterizam as ligações internas de tensões, isto é, esforços internos são integrais de tensões ao longo de uma seção transversal de uma barra. Esforços internos representam o efeito de forças e momentos entre duas porções de uma estrutura reticulada resultantes de um corte em uma seção transversal. Equações e diagrama de esforços cortantes representam a soma algébrica de todas forças contidas no plano YZ, perpendicular ao eixo da peça. Produzindo esforço que tende a deslizar uma seção em relação a outra, provocando tensões de cisalhamento. 
_________________________________________________
¹ Graduando em Ciência e tecnologia (UFERSA) – victorcfalx5@hotmail.com
² Graduando em Ciência e tecnologia (UFERSA) –  joaovictor_freitas@hotmail.com
³ Graduando em Ciência e tecnologia (UFERSA) –  andrelopessfla@gmail.com
O momento fletor representa a soma algébrica dos momentos relativas a seção YX, contidos no eixo da peça, gerados por cargas aplicadas transversalmente ao eixo longitudinal. Produzindo esforço que tende a curvar o eixo longitudinal, provocando tensões normais de tração e compressão na estrutura. As Equações diferencias são usadas para uma melhor analise matemática das condições de equilíbrio para vigas que também podem ser impostas em pequenas porções isoladas infinitesimais, o que resulta em relações diferenciais de equilíbrio entre a taxa de carregamento transversal, o esforço cortante e o momento fletor. Esses esforços cortantes e o monte fletor também pode ser analisado no Ftool. 
O Ftool é um software livre que permite a criação e análise estrutural de estruturas planas, ele visa a criação de protótipos eficientes e ao mesmo tempo simples de diversos tipos de estrutura. Sua versão mais básica fornece ao usuário ferramentas para que o mesmo possa elaborar e analisar modelos estruturais e obter resultados de uma forma mais factível e dinâmica. 
No Ftool podem ser obtidos diagramas de esforços internos e deformações, quanto de linhas de influência em qualquer ponto da estrutura e envoltórias de esforços para três tipo. Podemos definir seções transversais de formas e materiais diversos. Membros estruturais podem ser calculados pelas teorias de Euler-Bernouilli ou Timoshenko. Apoios podem ser rígidos ou elásticos e podem ser rotacionados, ou aceitar deslocamentos impostos. Isso permite que diversos tipos de estruturas, das mais simples às mais complexas, possam ser modeladas no Ftool em poucos minutos. Nesse trabalho foram analisadas vigas de concreto e de metal. 
 
2.ANÁLISE E DESENVOLVIMENTO 
Dada uma viga bi apoiada podemos obter os diagramas de esforços cortantes e momentos fletores, seguindo uma série de passos. O primeiro passo é encontrar as reações nos apoios da viga, para isso usamos as condições de equilíbrio de um corpo estático considerando que os apoios estão reagindo aos esforços e momentos aplicados na viga. Claro que não podemos supor qualquer tipo de reação nos apoios, cada tipo de apoio gera um tipo de reação e por causa desses tipos de reações classificamos os apoios de diferentes modos. A imagem abaixo representa alguns dos tipos de apoio e também as reações que estes podem produzir. 
Tabela 1: Tipos de apoios e reações produzidas. 
Dessa forma sabendo o tipo de reação que certos apoios podem gerar usamos as equações abaixo: 
𝑛	𝑛
	⃗𝐹⃗ 𝑖 	𝑀⃗⃗ 𝐴𝑖 
𝑖	𝑖
A equação (1) diz que a soma vetorial das forças aplicadas na viga deve gerar o vetor nulo e a equação (2) diz que a soma dos momentos das forças aplicadas na viga em relação a um ponto “A” qualquer (torques) deve ser nula, garantindo essas duas condições garantimos o equilíbrio da viga. 
Após calculados as reações de apoios da viga fazemos seções nela para calcularmos os efeitos das forças e momentos em cada seção da viga. As seções que devem ser feitas na viga de modo que cada porção da viga fique entre um apoio e uma força, ou entre um apoio e um carregamento, entre forças, entre carregamentos e entre forças e carregamentos. Após definidos os cortes em cada um deles consideramos três reações, uma força ou esforço cortante, um momento fletor e uma reação normal, usando as equações (1) e (2), devemos obter funções onde a variável independente é um comprimento limitado pelos pontos iniciais e finais da seção trabalhada, que diz como o esforço cortante o momento fletor e a reação normal, afetam essa seção da viga, após encontradas essas funções calculamos seus valores nos intervalos do tamanho da viga. 
Por fim o diagrama de esforços cortante descreve a variação dos esforços cortantes ao longo das seções transversais da estrutura e o diagrama de momento fletor descreve a variação dos momentos fletores ao longo das seções transversais da estrutura. 
Agora trabalhando com uma viga qualquer, na qual temos um diagrama de esforços cortantes e momentos fletores em uma fração ∆x da viga a taxa média de variação dos esforços cortantes é dada pela razão: 
𝑄
 = 𝛼 (3) 
𝑥
Para o momento fletor temos a expressão é análoga, temos: 
𝑀
 = 𝛽 (4) 
𝑥
Se aplicarmos nas equações (3) e (4) o limite quando ∆x tende a 0, teremos nesse caso: 
	𝛥𝑄	𝑑𝑄
𝑙𝑖𝑚𝛥𝑥→0 	 = 	 (5) 
	𝛥𝑥	𝑑𝑥
	𝛥𝑀	𝑑𝑀
𝑙𝑖𝑚𝛥𝑥→0 	 = 	 (6) 
	𝛥𝑥	𝑑𝑥
Chamamos (5) e (6) de derivada do esforço cortante em relação a x e derivada do momento fletor em relação a x respectivamente. 
Agora com essas relações diferenciais podemos usar suas definições matemáticas para analisar as forças cortantes e os momentos fletores em qualquer ponto. Por exemplo a segunda derivada nos daria a concavidade da curva do diagrama de esforço cortante e do diagrama de momento fletor. Se em um ponto 𝑥0 qualquer tivermos 
𝑑2𝑄(𝑥0)
2	> 0 (7) 
𝑑𝑥
𝑑2𝑀(𝑥0)
2	>0 (8) 
𝑑𝑥
𝑑2𝑄(𝑥0)
2	< 0 (9) 
𝑑𝑥
𝑑2𝑀(𝑥0)
2	<0 (10) 
𝑑𝑥
As equações (7) e (8) indicam que a concavidade está voltada para cima, já as equações (9) e (10) indicam que a concavidade está voltada para baixo. 
Se em um ponto 𝑥0 qualquer tivermos: 
𝑑𝑄(𝑥0)
 = 0 (11) 𝑑𝑥
𝑑𝑀(𝑥0)
 = 0 (12) 
𝑑𝑥
As equações (11) e (12) nos mostram que nesse ponto temos um valor máximo ou mínimo para o esforço cortante e para o momento fletor. 
Em diversos casos uma análise matemática para que possamos desenhar os diagramas de esforços cortantes e momentos fletores se torna extremamente complicada e cansativa, e o esforço será ainda maior se o número de viga a ser analisado for muito grande, por isso uma ferramenta que facilitará consideravelmente o cálculo e a representação dos diagramas de momento fletor e esforços cortantes é o software FTOOL (Two-dimensional Frame Analysis Tool). Com ele basta que o usuário represente a viga que será analisada, representando os tipos de apoio e os tipos de força ou momentos que estão agindo sobre a viga. Em seguida basta usar as funções do FTOOL, que ele irá gerar automaticamente os diagramas de momento fletor e esforços cortantes. 
Para fazer esse processo abrimos o FTOOL. Inicialmente ele irá abrir com o layout abaixo.Figura 1: Layout inicial do FTOOL. 
Para se trabalhar é aconselhável marcar as opções GRID e SNAP que irão criar pontos na área de trabalho que lhe permitirá trabalhar de forma que as linhas traçadas sejam traçadas apenas entre os pontos marcados. 
 
Figura 2: Layout inicial do FTOOL.
Após marcadas as opções acima devemos criar a viga a ser analisada, para isso clicamos na opção INSERT MEMBER e em seguida traçamos a viga em qualquer local da área de trabalho e do tamanho desejado. No caso a viga criada tem um tamanho de 10 metros. 
 
 
Figura 3: Layout inicial do FTOOL.
Após desenhada a viga adicionamos os apoios. Para isso usamos a opção SUPPORT CONDITIONS. Com essa ferramenta selecionamos o ponto da viga onde será colocado o tipo de apoio. 
 
Figura 4: Layout inicial do FTOOL.
Caso o ponto onde se encontra o apoio esteja em um local qualquer da viga selecionamos a opção INSERT NODE e colocamos o ponto em um local qualquer da viga. 
 
Figura 5: Layout inicial do FTOOL.
Após selecionado o ponto onde estará um dos apoios na janela ao lado encontramos diferentes tipos de combinações para os tipos de reações que os apoios irão gerar. 
 
Figura 6: Layout inicial do FTOOL.
No caso analisado temos dois apoios fixos neste caso selecionamos as opções FIX para os eixos X e Y, estas opções indicam que o apoio irá gerar reações apenas nos eixos X e Y em seguida clicamos na opção APPLY SUPPORT CONDITIONS TO SELECTED 
NODES e o apoio será representado na viga. 
 
Figura 7: Layout inicial do FTOOL.
Seguimos as instruções das figuras 4, 6 e 7, para os demais pontos onde devem estar os apoios da viga. No caso analisado esse foi o resultado obtido: 
 
Figura 8: Layout inicial do FTOOL.
Agora devemos adicionar na viga os esforços e os momentos atuantes na mesma. Para isso devemos marcas os pontos de aplicação das forças e intervalos de carregamentos usando a opção INSERT NODE como é descrito na figura 5. Os pontos e intervalos marcados estão abaixo. 
 
Figura 9: Layout inicial do FTOOL.
 
Nas opções marcadas abaixo escolhemos as forças e carregamentos que irão atuar nos pontos e intervalos da viga. 
 
Figura 10: Layout inicial do FTOOL.
Ao selecionarmos a opção para adicionarmos uma força ou momento selecionamos o ponto desejado, após isso clicamos na opção CREATE NEW NODAL FORCES. Dessa forma teremos a tela abaixo. 
 
Figura 11: Layout inicial do FTOOL.
Após clicarmos na opção CREATE NEW NODAL FORCES damos um nome a força que será criada. 
 
Figura 12: Layout inicial do FTOOL.
Na janela destacada abaixo adicionamos os valores das componentes do eixo X e Y da força aplicada no ponto e em seguida clicamos na opção APPLY NODAL FORCES TO SELECTED NODES. 
 
Figura 13: Layout inicial do FTOOL.
Aplicadas a força teremos o mostrado abaixo 
 
Figura 14: Layout inicial do FTOOL.
Clicando em uma das opções destacadas podemos adicionar um carregamento sendo que ele pode ser uniforme ou linear, neste caso o carregamento será uniforme. 
 
Figura 15: Layout inicial do FTOOL.
Em seguida salvamos o nome do carregamento do mesmo modo que fizemos para uma força. Selecionamos um intervalo onde o carregamento será aplicado. 
 
Figura 16: Layout inicial do FTOOL.
Digitamos os valores do carregamento na viga e aplicamos no intervalo selecionado. O resultado obtido será algo semelhante a este. 
Figura 17: Layout inicial do FTOOL.
 
Fazemos os mesmos procedimentos descritos acima para os demais pontos ou intervalos em que devem ser aplicados esforços ou carregamentos. No final obtivemos o seguinte 
 
Figura 18: Layout inicial do FTOOL.
Agora devemos escolher um material e um formado para a viga. Vale ressaltar que estes dados não interferem no cálculo dos diagramas de esforços cortantes e momentos fletores, porem o programa necessita desses dados para que ele possa realizar os procedimentos necessários. Para isso usamos as opções destacadas 
 
Figura 19: Representação de uma viga com carga no FTOOL.
Na opção MATERIAL PARAMETERS podemos escolher o tipo de material da viga. 
Após selecionarmos a opção MATERIAL PARAMETERS selecionamos a opção CREATE NEW MATERIAL PARAMETERS. 
 
Figura 20: Representação de uma viga com carga no FTOOL.
Na opção CREATE NEW MATERIAL PARAMETERS damos um nome para o material da viga e o selecionamos.
 
Figura 21: Representação de uma viga com carga no FTOOL.
Após selecionado o material da viga teremos a seguinte tela. Na área destacada temos algumas informações sobre o material. 
 
Figura 22: Representação de uma viga com carga no FTOOL.
Na opção SELECTION PROPERTIES, escolhemos uma forma e dimensionamos a viga. 
 
Figura 23: Representação de uma viga com carga no FTOOL.
Após feitos todos estes passos salvamos o projeto. Na opção SAVE MODEL salvamos o projeto, escolhemos uma pasta e o nomeamos. 
 
Figura 24: Representação de uma viga com carga no FTOOL.
Agora por fim aplicamos as funções destacadas abaixo e poderemos obter os diagramas de esforços internos da viga. 
 
Figura 25: Representação de uma viga com carga no FTOOL.
3.RESULTADO
Para a viga criada os resultados obtidos foram os representados abaixo. 
Na opção AXIAL FORCE obtemos o diagrama das forças normais no interior da viga em cada corte em que a viga foi dividida. 
 
Figura 1: Diagrama de força axial no FTOOL.
Na opção SHEAR FORCE obtemos o diagrama de esforços cortantes da viga. 
 
Figura 2: Diagrama de esforços cortantes no FTOOL.
E por fim na opção BENDING MOMENT obtemos o diagrama de momento fletor 
 
Figura 3: Diagrama de momento fletor no FTOOL.
Por fim na opção DEFORMED CONFIGURATION podemos obter a deformação da viga. 
 
Figura 4: Diagrama da deformação da vida no FTOOL.
5.CONCLUSÃO 
O presente trabalho demostrou exemplos de analises matemáticas usando equações diferenciais fáceis de serem resolvidas, mas, a outros problemas em que fica extremamente complexo a resolução por equações diferenciais. Então, afim de resolver esse problema é utilizado um programa simples é fácil de ser usado o Ftool.
6.REFERENCIAS 
HIBBELER, R.C. Estática - Mecânica para Engenharia. 12ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall. 2011.
MARTHA, Luiz Fernando. Two-dimensional Frame Analysis Tool, versão 4.00. ALIS Soluções em Engenharia e Sistemas, 14 de jul. de 2017: Software livre. 
MARTHA, L.F. Análise de estruturas – Conceitos e métodos básicos. 2ª ed. São Paulo: Elsevier. 2017.
PONTIERI, C.M.S. Uma aplicação das equações diferenciais á deflexões de vigas. 2013. 66. Trabalho de Conclusão de Curso - Universidade Federal Rural do Semiárido, Pau dos Ferros.