Vigas biapoiadas

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DESCRIÇÃO
Estudo das vigas biapoiadas sob carregamento, descrição da geometria das vigas e dos
carregamentos possíveis, conceitos dos efeitos internos, esforço cortante V e momento fletor
M, modelagem computacional das vigas biapoiadas.
PROPÓSITO
Compreender, por meio das equações de equilíbrio da estática, as reações nos dois apoios da
viga isostática, bem como os efeitos da flexão e do cisalhamento.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta, uma calculadora
científica ou a de seu smartphone/computador, além de um software para auxiliar a traçar os
diagramas de esforço cortante e de momento fletor.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Identificar a geometria e os carregamentos de uma viga biapoiada isostática
MÓDULO 2
Calcular os efeitos internos de flexão e cisalhamento numa viga biapoiada isostática
MÓDULO 3
Esquematizar os diagramas de estado de vigas biapoiadas isostáticas
MÓDULO 4
Compreender a modelagem computacional das vigas biapoiadas isostáticas
BEM-VINDO AO ESTUDO SOBRE A IMPORTÂNCIA DAS VIGAS NAS ESTRUTURAS
MÓDULO 1
 Identificar a geometria e os carregamentos de uma viga biapoiada isostática
INTRODUÇÃO
Uma viga é um elemento estrutural prismático de uma grande estrutura que suporta
carregamentos externos.
Em função do tipo de carregamento sobre a viga, vários são os efeitos internos possíveis:
O esforço cortante ou cisalhante.
A flexão.
A torção.
O esforço normal.
As vigas podem estar vinculadas de diversas maneiras. Algumas dessas possibilidades estão
mostradas na figura.
 
Fonte: Produção interna.
Vigas vinculadas de formas distintas. Fonte: o autor.
Neste tema, serão estudadas particularmente as vigas biapoiadas isostáticas.
São vigas que se encontram vinculadas a dois apoios sendo um do primeiro gênero e o outro
de segundo gênero. Elas podem estar ou não em balanço, conforme ilustra a figura a seguir.
 
Fonte: Produção interna.
Vigas biapoiadas isostáticas. Fonte: O autor.
Nesta fase introdutória do tema, será feita uma abordagem bastante simples a respeito da
estaticidade das vigas biapoiadas. Elas podem ser:
HIPOSTÁTICAS (SEM ESTABILIDADE)
As vigas hipostáticas (apoiadas sobre dois roletes, por exemplo), sob determinada condição de
carregamento, podem não manter o equilíbrio.
ISOSTÁTICAS (ESTATICAMENTE DETERMINADA)
As isostáticas estão vinculadas de tal forma que três são as reações de apoio que podem ser
determinadas utilizando apenas as três equações do equilíbrio estático
( ∑Fx= 0 ; 
HIPERESTÁTICAS (ESTATICAMENTE
INDETERMINADA)
As hiperestáticas apresentam mais que três reações de apoio, necessitando, portanto, de
equações auxiliares (de deformação, por exemplo).
Na figura, a seguir, são apresentadas algumas dessas vigas.
 
Fonte: Produção interna.
Vigas hipostáticas, isostáticas e hiperestáticas. Fonte: O autor.
GEOMETRIA E OS CARREGAMENTOS DE
UMA VIGA BIAPOIADA
No item anterior, a viga foi descrita como um elemento estrutural prismático.
De maneira bem coloquial, as vigas são elementos de grande comprimento, vinculadas a
apoios, que resistem a carregamentos externos.
 
Fonte: Por Carmen Hauser / Shutterstock.
Há uma gama de possibilidades para as seções retas das vigas. Podem ser constantes ou
variáveis ao longo do comprimento L da barra (viga).
Seções comuns na Engenharia são as retangulares (quadradas), em forma de I, em forma de
T, em forma de C, circulares etc.
Ademais, o tipo de material também apresenta um grande espectro. Podem ser de metais, de
madeira, de concreto etc.
 COMENTÁRIO
A escolha da forma geométrica e do material da viga será estudada em disciplinas posteriores.
A figura seguinte apresenta algumas possibilidades citadas, em que a_a’ e b_b’ são os cortes.
 
Fonte: Produção interna.
Seções retas de vigas: retangular e “em I”. Fonte: O autor.
Em relação ao carregamento que as vigas biapoiadas podem estar submetidas, existem dois
grandes grupos: concentrado e distribuído. Cada um deles pode ser associado à força (carga)
ou carga momento.
Devemos ter em mente que as várias partes de uma grande estrutura se vinculam de alguma
forma.
 EXEMPLO
Uma viga de um prédio pode estar sendo o apoio transversal de outras duas ou três vigas.
Anteriormente, já foi feita uma abordagem em que se mostrou a diferença entre os conceitos
de força concentrada e de força distribuída.
FORÇA 
CONCENTRADA
No caso da força concentrada, o ponto de sua aplicação é único, mas a linha de ação pode ser
qualquer uma. Linha de ação vertical à viga é bastante comum. Perceba, porém, que na
primeira figura do módulo, existe uma situação em que a força concentrada tem linha de ação
oblíqua em relação à viga.
Além de alguns exemplos já mostrados em figuras anteriores, é possível supor algumas
pessoas em pé num apartamento, numa reunião familiar. A força que cada pessoa faz sobre a
laje é considerada uma força concentrada.
Observe no croqui da figura, a seguir, a situação descrita para uma dessas pessoas.
 
Fonte: O autor.
Representação de uma força (carga) concentrada. Fonte: O autor.
Ainda dentro da ideia de carga concentrada, é possível pensar em uma carga momento
aplicada sobre uma viga.
Observe o esquema da figura a seguir, em que uma carga momento no sentido horário é
aplicada à viga no ponto destacado. Lembrando que o momento é um vetor; em nosso estudo
das vigas biapoiadas, perpendicular ao plano da viga, podendo estar “entrando” ou “saindo”
deste (regra da mão direita).
No exemplo da figura, o momento é um vetor com direção perpendicular ao plano e “entrando”
neste.
 
Fonte: O autor.
Representação de uma carga momento sobre uma viga.
CARGA 
DISTRIBUÍDA
No grupo das cargas distribuídas, é importante ressaltar que elas podem ser apresentadas em
termos de distribuição ao longo de uma área, contudo, o estudo deste tema limita-se a vigas
biapoiadas e, portanto, a carga será distribuída ao longo de um comprimento.
Suponha uma viga homogênea de comprimento 4m e peso 2.000N. A ideia é distribuir esse
peso ao longo do comprimento da viga.
Pelo fato de a viga ser homogênea, há 2.000 N divididos por 4 m equivalendo a q = 500 N/m.
Outro exemplo comum na engenharia civil, a respeito de cargas distribuídas ao longo de um
comprimento, é a parede de um apartamento onde os tijolos estão assentados sobre uma
base.
A figura seguinte representa a situação real da parede e sua representação gráfica, ou seja, a
de uma carga distribuída.
 
Fonte: Produção interna.
Esquema de força distribuída ao longo de um comprimento. Fonte: O autor.
SUBSTITUIÇÃO DE UMA CARGA
DISTRIBUÍDA POR UMA CONCENTRADA
Em muitas situações, para o cálculo de reações em vigas biapoiadas, será importante fazer a
substituição da carga distribuída pela concentrada equivalente.
Essa troca significa conhecer que vetor único (intensidade, direção, sentido e ponto de
aplicação) representando uma carga concentrada é capaz de substituir a carga distribuída
provocando os mesmos efeitos físicos no sistema.
A figura, a seguir, apresenta uma situação genérica de substituição de uma carga distribuída
q(x) pela sua carga equivalente concentrada F.
 
Fonte: Produção interna.
Figura 8 – Substituição de uma carga distribuída por uma concentrada. Fonte: O autor.
Para se determinar a intensidade da força concentrada F, é necessária a determinação da área
sob a curva da carga distribuída, ou seja, F = ∫ a b q ( x ) · d x e do ponto de aplicação
(centroide da área sob a curva da carga distribuída).
Dois casos de carregamentos distribuídos são apresentados na figura a seguir (uniformemente
e linearmente distribuídos).
A determinação da intensidade e localização (centroide) são bem simples.
Nos dois casos, a intensidade da carga concentrada equivalente será numericamente igual à
área do retângulo (base x altura) ou à área do triângulo retângulo (base x altura/2).
• Em relação ao centroide, o do retângulo localiza-se no encontro das diagonais, ou seja, a
vertical passa pelo ponto médioda base.

• Quando a carga distribuída for de acordo com um triângulo retângulo, o centroide localiza-se,
em relação ao ângulo reto, a 1/3 da base e a 1/3 da altura.
 
Fonte: Produção interna.
Cargas distribuídas particulares. Fonte: O autor.
 EXEMPLO
Suponha que uma viga biapoiada isostática esteja sob um carregamento distribuído linear,
conforme a figura. Considere a viga com comprimento 6 m e peso desprezível. Faça a
substituição do carregamento por um equivalente concentrado.
 
Fonte: Produção interna.
SOLUÇÃO:
Inicialmente, será determinada a intensidade da carga equivalente ao carregamento distribuído.
O módulo (intensidade) é determinado pela área do triângulo 
(b . h/2 = 10 . 6/2 = 30 kN).
No caso da carga triangular, a linha de ação da carga concentrada equivalente localiza-se a 1/3
do vértice do ângulo reto. Nesse caso, a (1/3) . 6 = 2 m do apoio B.
Assim, a substituição fica de acordo com a figura a seguir.
 
Fonte: Produção interna.
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERE AS VIGAS I, II E III REPRESENTADAS NAS FIGURAS
(FONTE: O AUTOR) COM PESOS DESPREZÍVEIS. TODAS ELAS ESTÃO
VINCULADAS DUPLAMENTE E COM OS CARREGAMENTOS
APRESENTADOS. 
 
 
 
QUANTO À ESTATICIDADE DAS VIGAS, É CORRETO AFIRMAR QUE:
A) I – hipostática; II – isostática e III – hiperestática.
B) I – hiperestática; II – isostática e III – hipostática.
C) I – hipostática; II – hiperestática e III – isostática.
D) I – isostática; II – hipostática e III – hiperestática.
E) I – hiperestática; II – hipostática e III – isostática.
2. (FCC ‒ 2014 ‒ METRÔ-SP ‒ TÉCNICO SISTEMAS METROVIÁRIOS ‒
CIVIL) CONSIDERE A VIGA ISOSTÁTICA A SEGUIR: 
 
 
 
PARA O EQUILÍBRIO EXTERNO, AS REAÇÕES NOS APOIOS A E B SÃO,
RESPECTIVAMENTE,
A) RVA, RVB e MB.
B) RHA, RVB e RHB.
C) RVA, RHA, RVB.
D) RVA, RVB e RHB.
E) RVA, RHA e MB.
3. CONSIDERE UMA VIGA BIAPOIADA COM UM CARREGAMENTO NO
PLANO XY. ESSA VIGA PODE SER CLASSIFICADA EM HIPOSTÁTICA,
ISOSTÁTICA E HIPERESTÁTICA. CONSIDERANDO A VIGA EM QUESTÃO
COMO ISOSTÁTICA, É POSSÍVEL AFIRMAR QUE OS APOIOS SÃO DE
PRIMEIRO E DE SEGUNDO GÊNERO. A JUSTIFICATIVA PARA ESSA
AFIRMAÇÃO ENCONTRA-SE NA OPÇÃO:
A) O número de incógnitas (reações) n é igual ao número de equações do equilíbrio (q), ou
seja, 
n = q = 3.
B) O número de incógnitas (reações) n é maior que o número de equações do equilíbrio (q), ou
seja, 
n = 4 e q = 3.
C) O número de incógnitas (reações) n é igual ao número de equações do equilíbrio (q), ou
seja, 
n = q = 4.
D) O número de incógnitas (reações) n é menor que o número de equações do equilíbrio (q),
ou seja, 
n = 3 e q = 4.
E) O número de incógnitas (reações) n é menor que o número de equações do equilíbrio (q),
ou seja, n = 4 e q = 5.
4. CONSIDERE UMA VIGA ISOSTÁTICA BIAPOIADA COM O
CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO DE 5 KN/M AO LONGO DO VÃO DA VIGA
DE 4 M. 
 
 
 
CASO SEJA NECESSÁRIA A SUBSTITUIÇÃO DESSE CARREGAMENTO,
AS SUAS INTENSIDADE E LOCALIZAÇÃO SERÃO:
A) 20 kN e a 1 m do apoio A.
B) 20 kN e a 3 m do apoio A.
C) 20 kN e a 2 m do apoio A.
D) 10 kN e a 2 m do apoio A.
E) 10 kN e a 1 m do apoio A.
5. UMA VIGA ISOSTÁTICA BIAPOIADA NAS EXTREMIDADES APRESENTA
SEÇÃO RETA QUADRANGULAR DE LADO 120 MM. SOBRE TODA A
EXTENSÃO DA VIGA, EXISTE UM CARREGAMENTO Q(X), DADO EM
KN/M, QUE VARIA COM O COMPRIMENTO X DA VIGA DE ACORDO COM
A FUNÇÃO Q(X) = X2. CONSIDERANDO QUE O COMPRIMENTO X DA
VIGA É DE 3 M, DETERMINE O MÓDULO DA FORÇA CONCENTRADA
EQUIVALENTE, EM KN.
A) 9
B) 16
C) 25
D) 27
E) 36
6. A FIGURA REPRESENTA UMA VIGA BIAPOIADA COM UM
CARREGAMENTO LINEARMENTE DISTRIBUÍDO. DESCONSIDERANDO O
PESO DA VIGA E SENDO SEU COMPRIMENTO IGUAL A 3 M, DETERMINE
A FUNÇÃO DA CARGA DISTRIBUÍDA SOBRE A VIGA Q(X), EM QUE X É A
DISTÂNCIA HORIZONTAL A PARTIR DO APOIO A. AS REAÇÕES NOS
APOIOS A E B VALEM, RESPECTIVAMENTE, 6 E 12 KN. 
 
A) q(x) = 3.x
B) q(x) = 4x
C) q(x) = 3x + 6
D) q(x) = - 4x + 6
E) q(x) = 3x + 12
GABARITO
1. Considere as vigas I, II e III representadas nas figuras (fonte: O autor) com pesos
desprezíveis. Todas elas estão vinculadas duplamente e com os carregamentos
apresentados. 
 
 
 
Quanto à estaticidade das vigas, é correto afirmar que:
A alternativa "B " está correta.
Veja a solução desta questão no vídeo a seguir.
2. (FCC ‒ 2014 ‒ METRÔ-SP ‒ Técnico Sistemas Metroviários ‒ Civil) Considere a viga
isostática a seguir: 
 
 
 
Para o equilíbrio externo, as reações nos apoios A e B são, respectivamente,
A alternativa "D " está correta.
O apoio A é de primeiro gênero só impedindo translação na vertical. Logo, RVA. O apoio B é de
segundo gênero, impedindo translações na vertical e na horizontal. Assim, RVB e RHB.
3. Considere uma viga biapoiada com um carregamento no plano xy. Essa viga pode ser
classificada em hipostática, isostática e hiperestática. Considerando a viga em questão
como isostática, é possível afirmar que os apoios são de primeiro e de segundo gênero.
A justificativa para essa afirmação encontra-se na opção:
A alternativa "A " está correta.
No caso das vigas biapoiadas isostáticas com um apoio de primeiro gênero e um de segundo
gênero, o número de incógnitas (reações) é igual a 3, pois o apoio de primeiro gênero
apresenta 1 reação e o de segundo gênero 2 reações.
São três as equações do equilíbrio (∑Fx=0;∑Fy=0 e ∑Mz=0).
Dessa forma, um sistema linear 3 x 3 é escrito e a resolução leva à solução das reações.
4. Considere uma viga isostática biapoiada com o carregamento distribuído de 5 kN/m ao
longo do vão da viga de 4 m. 
 
 
 
Caso seja necessária a substituição desse carregamento, as suas intensidade e
localização serão:
A alternativa "C " está correta.
A intensidade é dada pela área do retângulo, ou seja, b . h = 5 . 4 = 20 kN e a linha de ação
passa pelo ponto médio da base do retângulo. Assim, 4/2 = 2 m de ambos os apoios A e B.
5. Uma viga isostática biapoiada nas extremidades apresenta seção reta quadrangular de
lado 120 mm. Sobre toda a extensão da viga, existe um carregamento q(x), dado em
kN/m, que varia com o comprimento x da viga de acordo com a função q(x) = x2.
Considerando que o comprimento x da viga é de 3 m, determine o módulo da força
concentrada equivalente, em kN.
A alternativa "A " está correta.
Veja a solução desta questão no vídeo a seguir.
6. A figura representa uma viga biapoiada com um carregamento linearmente distribuído.
Desconsiderando o peso da viga e sendo seu comprimento igual a 3 m, determine a
função da carga distribuída sobre a viga q(x), em que x é a distância horizontal a partir
do apoio A. As reações nos apoios A e B valem, respectivamente, 6 e 12 kN. 
 
A alternativa "B " está correta.
Como a carga distribuída é linear, a função associada é do primeiro grau em relação à variável
x. Genericamente, q(x) = a.x + b. Observando-se a figura do enunciado, em A, ou ainda, para x
= 0, q = 0. Substituindo x e q na expressão (q(x) = a.x + b), tem-se 0 = a.0 + b. Logo, 0 = 0 + b
e, portanto, b = 0. Assim, a expressão q(x) = a.x + b reduz-se a q(x) = a.x. Na extremidade B, x
= 3. Substituindo na expressão q(x) = a.x, tem-se q = 3a.
Substituindo a carga distribuída por uma concentrada equivalente (área do triângulo), 
F = (bxh/2) = (3.a.3)/2 = 4,5.a. O DCL da figura é mostrado a seguir.
Observe que a força concentrada F atua a 1/3 de B, ou seja (1/3) x 3 = 1m de B e 2m de A.
Aplicando-se as equações de equilíbrio rotacional do corpo rígido:
∑Mz=0 (sentido anti-horário do momento positivo).
Aplicando-se o momento das forças em relação ao ponto A, tem-se 
RBY x 3 – F x 2 = 0 → 12.3 - 4,5.a. 2 = 0.
Logo, 36 - 9.a = 0 → 9a = 36 → a = 36/9 = 4.
Assim, a expressão para o carregamento será dada por q(x) = 4.x
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Vários ramos da Engenharia apresentam muitos exemplos em que são aplicadas as vigas, um
dos principais elementos estruturais para muitos autores.
Na Engenharia Civil, por exemplo, é fácil perceber a presença desses elementos na fase
intermediária da construção de um prédio, pois antes do fechamento das paredes,ficam
evidentes as vigas, dentre outros elementos estruturais.
Na Engenharia Mecânica também existem exemplos em grandes estruturas metálicas. O
modelo prático, que será apresentado, possui algumas simplificações em sua modelagem, mas
é didático para a percepção das vigas biapoiadas sob determinado carregamento.
Suponha um carro estacionado (equilíbrio estático) de massa aproximadamente 1.800 kg.
Devido à presença do motor na parte dianteira, o peso não é igualmente distribuído entre os
eixos dianteiro e traseiro. Suponha que 40% do peso seja suportado pelo eixo traseiro.
 
Fonte: Por merrymuuu/Shutterstock
Para simplificar a modelagem, será suposto um eixo contínuo de seção circular constante e
comprimento 2,0 m. Além disso, será feito um estudo que envolve o modelo físico, sua
representação esquemática por meio do diagrama do corpo livre (DCL) e cálculos das reações
nos apoios.
Inicialmente, será determinado o peso do carro e a fração desse suportada pelo eixo traseiro.
Considerando a aceleração da gravidade local igual a 10m/s2, o peso (P = m.g) será igual a
1800.10, ou seja, 18.000 N (18 kN). Apenas 40% desse valor é suportado pelas rodas
traseiras. Dessa forma, 40% x 18 kN é igual a 7,2 kN.
A seguir, há um esquema do eixo e as rodas traseiras vistos sob a óptica de um observador
localizado na parte posterior do carro.
 
Fonte: Por Yuri Schmidt/Shutterstock
O eixo é uma viga biapoiada em que as rodas são os vínculos.
Considerando que o valor de 7,2 kN seja distribuído uniformemente ao longo do comprimento
do eixo, é possível imaginar um modelo de uma carga distribuída sobre ele.
Dessa forma, a carga distribuída q será dada por 7,2 kN divididos por 2 m, ou seja:
q = 7,2 / 2 = 3,6 kN/m.
Na figura, a seguir, veja o DCL para a situação descrita.
 
Fonte: Produção interna.
A partir das equações do equilíbrio estático ∑ F x = 0 ; ∑ F y = 0 (equilíbrio translacional) e ∑ M
z = 0 (equilíbrio rotacional) é possível determinar os valores de RV1 e RV2.
No caso apresentado, pela simetria da configuração geométrica e do carregamento, é imediata
a determinação das reações, uma vez que elas serão iguais.
A carga distribuída equivale a uma força concentrada de intensidade igual à área do retângulo,
b . h = 3,6 . 2 = 7,2 kN que atua no ponto médio do eixo.
Na equação do equilíbrio em y, tem-se:
∑ F y = 0 → R V 1 + R V 2 = 7 , 2

 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como as reações (RV1 e RV2) são iguais, RV1 + RV1 = 7,2 → 2.RV1 = 7,2 → RV1 = 7,2/2 = 3,6
kN.
Assista agora à análise de um caso real
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE UMA VIGA METÁLICA CUJA SEÇÃO RETA SEJA UM “I”.
SUPONHA QUE A VIGA ESTEJA BIAPOIADA EM SUAS EXTREMIDADES
DE TAL FORMA QUE SEJA ISOSTÁTICA. 
 
SENDO SEU PESO IGUAL A 30 KN E O COMPRIMENTO DE 6 M,
DETERMINE A CARGA Q DISTRIBUÍDA AO LONGO DO COMPRIMENTO
DA VIGA, SUPONDO-A CONSTANTE:
A) 180 kN/m
B) 90 kN/m
C) 10 kN/m
D) 5 kN/m
E) 1 kN/m
2. SEJA UMA VIGA BIAPOIADA COM PESO DESPREZÍVEL E
CARREGAMENTO E DIMENSÕES MOSTRADOS NA FIGURA. 
 
 
 
FAZENDO A SUBSTITUIÇÃO DA CARGA DISTRIBUÍDA POR UMA
CONCENTRADA, SUA INTENSIDADE E LOCALIZAÇÃO SERÃO,
RESPECTIVAMENTE:
A) 600 kN e a 3,5 m do apoio A.
B) 600 kN e a 2,5 m do apoio A
C) 300 kN e a 3,0 m do apoio A.
D) 300 kN e a 4,0 m do apoio A.
E) 300 kN e a 2,5 m do apoio A.
GABARITO
1. Considere uma viga metálica cuja seção reta seja um “I”. Suponha que a viga esteja
biapoiada em suas extremidades de tal forma que seja isostática. 
 
Sendo seu peso igual a 30 kN e o comprimento de 6 m, determine a carga q distribuída
ao longo do comprimento da viga, supondo-a constante:
A alternativa "D " está correta.
 
Como a viga é homogênea, o seu peso pode ser distribuído ao longo de seu comprimento de
forma constante.
Assim, q = 30 kN/6m = 5 kN/m
2. Seja uma viga biapoiada com peso desprezível e carregamento e dimensões
mostrados na figura. 
 
 
 
Fazendo a substituição da carga distribuída por uma concentrada, sua intensidade e
localização serão, respectivamente:
A alternativa "C " está correta.
 
A intensidade da força concentrada equivalente à carga distribuída é numericamente igual à
área do triângulo, ou seja, b . h/2 = 200 . 3/2 = 300 kN. A localização para essa distribuição é a
1/3 do ângulo reto. Portanto, 1/3 . (3) = 1m. Assim, 1 + 2 = 3 m do apoio A.
MÓDULO 2
 Calcular os efeitos internos de flexão e cisalhamento numa viga biapoiada isostática
INTRODUÇÃO
Considere uma viga sob um carregamento externo genérico.
Ao se estudar internamente as seções desse elemento estrutural, é possível perceber os
efeitos decorrentes das ações externas. Cada seção interna pode estar submetida aos
seguintes efeitos: flexão, torção e os esforços cortante e normal.
A abordagem desse tema particulariza a viga e o carregamento aplicado. A suposição é que a
viga se encontra biapoiada com um carregamento (força) no seu plano e momentos fletores
perpendiculares a esse plano. Serão avaliados apenas os efeitos interno de cisalhamento
(esforço cortante) e de flexão (momento fletor).
A figura a seguir mostra essa situação de maneira esquemática.
 
Fonte: Produção interna.
Viga biapoiada sob carregamento no plano.
EFEITOS INTERNOS DE FLEXÃO E DE
CISALHAMENTO
Ao se estudar os efeitos internos numa seção de uma viga sob um carregamento, é
fundamental que o aluno perceba que o corte feito para “expor” a seção interna de estudo é tão
somente uma abstração. Não ocorre, de fato, um rompimento físico da viga.
Ao se efetuar o corte (a_a’) na viga, duas “partes” dessa surgirão (à esquerda e à direita do
plano de corte).
Será possível, portanto, o estudo da seção interna a partir de uma dessas duas partes em que
a viga se dividiu (abstratamente).
Observe o corte da viga na figura:
 
Fonte: Produção interna.
Corte de uma viga e as seções “expostas”.
Com o corte da viga e a exposição da seção interna, os efeitos internos são indicados por M
(momento fletor) e V (esforço cortante). A figura, a seguir, apresenta estes dois vetores (M e V)
na seção interna em ambas as partes da viga.
 
Fonte: Produção interna.
Esforços internos – momento fletor e esforço cortante.
A figura anterior mostra o esforço cortante V (tangente à seção interna) e o momento fletor M
convencionados como positivos. Perceba a Terceira Lei de Newton (ação-reação) sendo
aplicada.
O momento fletor na parte esquerda da viga tem sua reação na parte da direita, assim como o
esforço cortante.
 ATENÇÃO
Atente que os pares de M e V têm sentidos opostos, como prevê a Terceira Lei de Newton.
DETERMINAÇÃO DOS EFEITOS INTERNOS
DE FLEXÃO E CISALHAMENTO EM UMA
VIGA
Para a determinação dos efeitos internos (esforço cortante V e momento fletor M), em uma
dada seção da viga, serão utilizadas as equações do equilíbrio estático do corpo rígido
bidimensional, ou seja:
∑ F x = 0 ; ∑ F y = 0 (equilíbrio translacional)
∑ M z = 0 (equilíbrio rotacional)
Em linhas gerais, inicialmente são determinadas as reações nos apoios da viga, considerando-
a como um corpo único. Conhecendo-se os valores das reações nos vínculos da viga, faz-se o
corte na região da viga que se deseja estudar e separa-se uma das duas partes.
Uma vez que a viga se encontra em equilíbrio, qualquer uma das partes escolhidas também
estará em equilíbrio. Assim, novamente as equações do equilíbrio são utilizadas e os valores
de V e M são determinados.
O exemplo a seguir mostra os passos descritos.
 EXEMPLO
(FCC ‒ 2014 ‒ TRF - 3ª REGIÃO ‒ Analista Judiciário ‒ Engenharia Civil). Considere a figura:
 
Fonte: Produção interna.
O momento fletor, distante 1m do apoio A, em kN.m, será igual a:
A) 36 
B) 18 
C) 27 
D) 72 
E) 9 
SOLUÇÃO:
1º passo: Determinação das reações nos apoios
Inicialmente, será feita a “troca” da carga distribuída pela carga concentrada equivalente e
desenhado o DCL da barra.
A intensidade da carga concentrada é dada pela área do retângulo, ou seja, 
b .h = 18 . 4 = 72 kN e seu ponto de aplicação no ponto médio da viga (4/2 = 2 m).
Os apoios A e B são, respectivamente, do primeiro e segundo gêneros. Em A existe uma
reação vertical (VA) e em B duas reações, uma vertical (VB) e outra horizontal (HB).
Segue o diagrama do corpo livre da viga.
 
Fonte: Produção interna.
Aplicando-se as equações de equilíbrio do corpo rígido:
∑ F x = 0 → H B = 0
∑ F y = 0 → V A + V B – 72 = 0 → V A + V B = 72 ( * )
∑ M z = 0 (sentido anti-horário do momento positivo). Aplicando-se o momento das forças
em relação ao ponto B, tem-se 72 . 2 – VA . 4 = 0. Logo, 144 - 4.VA = 0, ou ainda 4.VA =
144 → VA = 144/4 = 36 kN. Da equação (*), VA + VB = 72.
Substituindo VA = 36 kN, tem-se 36 + VB = 72 → VB = 72 – 36 = 36 kN.
 COMENTÁRIO
Nesse exemplo, em particular, o carregamento e a simetria do problema facilitam a
determinação das reações. Como não há carregamento horizontal, HB = 0 e, pela simetria do
carregamento, VA = VB = 36 kN.
2º passo:
Determinação dos esforços internos na seção de estudo
Observe na figura do exemplo o plano de seccionamento distante 1 m do apoio A.
Fazendo o corte na viga e escolhendo-se a parte esquerda, tem-se:
 
Fonte: Produção interna.
Perceba que na parte esquerda da viga, o carregamento distribuído atua apenas sobre o
comprimento de um metro (corte).
Na figura à direita, há o DCL com a representação da força concentrada equivalente (área do
retângulo b . h = 18 . 1) de 18 kN atuando a 0,5 m de A.
Aplicando-se as equações de equilíbrio do corpo rígido:
• ∑ F x = 0 (satisfeita)
• ∑Fy=0→VA–V’–F=0→36–V’–18=0→V’=36-18→V’=18 kN
• ∑ M z = 0 (sentido anti-horário do momento positivo).
Aplicando-se o momento das forças em relação ao ponto C (seção do corte), tem-se:
• M’ + F' . 0,5 – VA . 1 = 0.
• Logo, M’ + 18 . 0,5 – 36 . 1 = 0.
• Assim, M’ + 9 – 36 = 0 → M’ = 36 – 9 = 27 kN.m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. (IBFC - 2016 – EBSERH - ENGENHEIRO CIVIL (HUAP-UFF)) ASSINALE A
ALTERNATIVA CORRETA: UMA VIGA BIAPOIADA COM 6 M DE
COMPRIMENTO E UMA CARGA DISTRIBUÍDA DE 550 KN/M, POSSUI O
MOMENTO NO MEIO DO VÃO:
A) 2.650 kN.m
B) 2.600 kN.m
C) 2.700 kN.m
D) 2.475 kN.m
E) 2.455 kN.m
2. SUPONHA UMA VIGA ISOSTÁTICA BIAPOIADA EM SUAS
EXTREMIDADES EM APOIOS DO PRIMEIRO E SEGUNDO GÊNEROS (A –
À ESQUERDA E B – À DIREITA), COM CARREGAMENTO
UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDO DE 8 KN/M E COMPRIMENTO DE 4 M. OS
MOMENTOS FLETORES (EM KN.M) NAS EXTREMIDADES A E B DA VIGA
SÃO, RESPECTIVAMENTE, IGUAIS A:
A) 12 e 12
B) 24 e 0
C) 32 e 32
D) 0 e 0
E) 2 e 32
3. (VUNESP ‒ 2017 ‒ PREFEITURA DE ITANHAÉM ‒ SP ‒ ENGENHEIRO
CIVIL) UMA VIGA, SIMPLESMENTE APOIADA, DE 6 M DE COMPRIMENTO
É SUBMETIDA A APENAS UMA CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA
DE 4 KN/M CORRESPONDENTE AO SEU PESO PRÓPRIO. O MOMENTO
FLETOR E A FORÇA CORTANTE NA SEÇÃO TRANSVERSAL NO MEIO DA
VIGA (A 3 M DOS APOIOS), EM KN.M E KN, SÃO, RESPECTIVAMENTE:
A) 40 e 10
B) 36 e 12
C) 18 e zero
D) 18 e 12
E) 12 e 24
4. (FCC ‒ 2012 ‒ TRF ‒ 2ª REGIÃO ‒ ANALISTA JUDICIÁRIO ‒
ENGENHARIA CIVIL) A FIGURA REPRESENTA UMA VIGA BIAPOIADA
COM EXTENSÃO (L) SENDO SOLICITADA POR UM CARREGAMENTO
UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDO (Q). 
 
 
 
ANALISANDO A VIGA, O ESFORÇO CORTANTE (Q), EM KN, E O
MOMENTO FLETOR (M), EM KN.M, NO CENTRO DA VIGA, SÃO IGUAIS,
RESPECTIVAMENTE, A:
A) Q = 0 e M = 0
B) Q=q·L e M=q·L24
C) Q=q·L4 e M=q·L28
D) Q=0 e M=q·L28
E) Q=q.L28 e M=0
5. (FCC ‒ 2014 ‒ TRF ‒ 1ª REGIÃO ‒ ANALISTA JUDICIÁRIO ‒
ENGENHARIA CIVIL) PARA UMA VIGA ENGASTADA COM BALANÇO DE
3,0 M, O VALOR DO MOMENTO MÁXIMO NO ENGASTE É IGUAL A 121,5
KN.M. PARA ESSE VALOR DE MOMENTO, A CARGA DISTRIBUÍDA
RETANGULAR POR METRO MÁXIMA EXISTENTE, EM KN/M, É IGUAL A
A) 27
B) 40,5
C) 81
D) 13,5
E) 49,5
6. (FGV ‒ 2010 ‒ FIOCRUZ ‒ TECNOLOGISTA EM SAÚDE ‒ ENGENHARIA
CIVIL) EM UMA VIGA ENGASTADA E LIVRE, SUBMETIDA A UM
CARREGAMENTO UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDO DE INTENSIDADE Q,
A EXPRESSÃO QUE DEFINE, EM VALOR ABSOLUTO, O ESFORÇO
CORTANTE A UMA DISTÂNCIA X DA EXTREMIDADE LIVRE, É:
A) qx
B) qx/2
C) qx/4
D) qx2/2
E) E) qx2/8
GABARITO
1. (IBFC - 2016 – EBSERH - Engenheiro Civil (HUAP-UFF)) Assinale a alternativa correta:
Uma viga biapoiada com 6 m de comprimento e uma carga distribuída de 550 kN/m,
possui o momento no meio do vão:
A alternativa "D " está correta.
Trocando-se a carga uniformemente distribuída pela concentrada equivalente (área do
retângulo), tem-se 
F = b . h = 550 . 6 = 3.300 kN. Pela simetria, cada apoio terá reação vertical V1 = V2.
Como V1 + V2 = 3300, 2.V1 = 3300 → V1 = 3300/2 = 1650 kN. Fazendo o seccionamento da
viga no ponto médio (6/2 = 3 m) e desenhando seu DLC da parte à esquerda do corte, tem-se:
Aplicando-se a equação de equilíbrio (rotação) do corpo rígido:
∑Mz=0 (sentido anti-horário do momento positivo). Aplicando-se o momento das forças em
relação ao ponto C (seção do corte), tem-se M + F . 1,5 – V1 . 3 = 0. Logo, 
M + 1650 . 1,5 – 1650 . 3 = 0 → M + 2475 – 4950 = 0 → M = 4950 – 2475 = 2.475 kN.m.
2. Suponha uma viga isostática biapoiada em suas extremidades em apoios do primeiro
e segundo gêneros (A – à esquerda e B – à direita), com carregamento uniformemente
distribuído de 8 kN/m e comprimento de 4 m. Os momentos fletores (em kN.m) nas
extremidades A e B da viga são, respectivamente, iguais a:
A alternativa "D " está correta.
Como os apoios são de primeiro e segundo gênero, não oferecem reações de momento.
Portanto, os valores das reações de momento nos apoios são iguais a zero.
3. (VUNESP ‒ 2017 ‒ Prefeitura de Itanhaém ‒ SP ‒ Engenheiro Civil) Uma viga,
simplesmente apoiada, de 6 m de comprimento é submetida a apenas uma carga
uniformemente distribuída de 4 kN/m correspondente ao seu peso próprio. O momento
fletor e a força cortante na seção transversal no meio da viga (a 3 m dos apoios), em
kN.m e kN, são, respectivamente:
A alternativa "C " está correta.
Veja a solução desta questão no vídeo a seguir.
4. (FCC ‒ 2012 ‒ TRF ‒ 2ª REGIÃO ‒ Analista Judiciário ‒ Engenharia Civil) A figura
representa uma viga biapoiada com extensão (L) sendo solicitada por um carregamento
uniformemente distribuído (q). 
 
 
 
Analisando a viga, o esforço cortante (Q), em kN, e o momento fletor (M), em kN.m, no
centro da viga, são iguais, respectivamente, a:
A alternativa "D " está correta.
Fazendo a troca da carga uniformemente distribuída pela concentrada equivalente, tem-se F =
b . h = q . L.
Pela simetria, as reações verticais nos apoios A e B serão iguais. Como VA + VB = q.L, 2.VA =
q.L → VA = q.L/2.
Fazendo o seccionamento da viga no ponto médio (L/2) e desenhando o DLC da parte
esquerda da viga, tem-se:
Aplicando-se as equações de equilíbrio translacional e rotacional do corpo rígido:
• ∑Fx=0 (satisfeita)
• ∑Fy=0→VA-V–F=0→q.L/2-V–q.L/2=0→V=0
• ∑Mz=0 (sentido anti-horário do momento positivo). Aplicando-se o momento das forças em
relação ao ponto da seção do corte, tem-se M + F . L/4 – VA . L/2 = 0.
• Logo, M+q.L2·L4-q.L2·L2=0→M+q.L28-q.L24=0→M=-q.L28+q.L24→M=q.L28
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 ATENÇÃO
No próximo módulo, estudaremos o diagrama do momento fletor (DMF) de uma viga biapoiada,
com um carregamento uniformemente distribuído, além de ser mostrado que o momento fletor
máximo ocorre no ponto médio da viga e tem valor dado pela expressão q.L28.
5. (FCC ‒ 2014 ‒ TRF ‒ 1ª REGIÃO ‒ Analista Judiciário ‒ Engenharia Civil) Para uma
viga engastada com balanço de 3,0 m, o valor do momento máximo no engaste é igual a
121,5 kN.m. Para esse valor de momento, a carga distribuída retangular por metro
máxima existente, em kN/m, é igual a
A alternativa "A " está correta.
Considere o desenho esquemático do que foi descrito no enunciado da questão, isto é, uma
viga engastada com um carregamento uniformemente distribuído:
Fazendo a substituição da carga distribuída pela concentrada equivalente, que atua no ponto
médio da viga,encontra-se para módulo F = b . h = 3.q, que é numericamente igual à área do
retângulo.
A força F equivalente atua no ponto médio da barra (L/2). O equilíbrio rotacional é garantido
quando, em módulo, o momento no engaste for igual ao momento provocado por F, em relação
ao engaste.
Em termos matemáticos, há:
M = F.(L/2)
Substituindo M, F e L, tem-se: 121,5 = 3q.(1,5) → 121,5 = 4,5.q → q = 121,5/4,5 = 27
kN/m
6. (FGV ‒ 2010 ‒ FIOCRUZ ‒ Tecnologista em Saúde ‒ Engenharia Civil) Em uma viga
engastada e livre, submetida a um carregamento uniformemente distribuído de
intensidade q, a expressão que define, em valor absoluto, o esforço cortante a uma
distância x da extremidade livre, é:
A alternativa "A " está correta.
Veja a solução desta questão no vídeo a seguir.
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Um projeto tem várias etapas que culminam na concepção do produto. Neste momento do
tema, iniciamos o estudo para o dimensionamento de um elemento estrutural muito presente
em vários ramos da Engenharia: a viga.
Em passos futuros, outros conceitos serão apresentados, mas que necessariamente carecerão
dos conceitos aprendidos na disciplina.
Suponha que um aluno esteja estagiando e auxiliando em um projeto cujo engenheiro
responsável pediu que o estagiário determinasse os esforços internos (cortante e momento
fletor) em uma viga a 1 m da sua extremidade esquerda.
O aluno lembrou de suas aulas de Mecânica dos Sólidos e, percebendo que precisava de mais
informações, falou com o engenheiro, que disse que a viga em questão tem comprimento 3 m e
um carregamento linear crescente, a partir da extremidade esquerda (0) até a extremidade
direita (12 kN/m). Ainda pensando sobre a questão, o aluno perguntou ao engenheiro como
essa viga estava vinculada.
A resposta foi que era biapoiada, sendo os apoios de segundo e primeiro gêneros, à
esquerda e à direita da viga, respectivamente.
Com todas essas informações, o aluno criou o modelo mostrado na figura a seguir.
 
Fonte: Produção interna.
Inicialmente, o aluno determinou as reações nos apoios A e B. O primeiro passo foi fazer a
substituição do carregamento distribuído linearmente pela carga concentrada equivalente.
A intensidade da carga concentrada equivale à área do triângulo, ou seja, 
 
F = (b . h)/2 = (12 . 3)/2 = 18 kN.
O ponto de aplicação fica a 1/3 do ângulo reto, no caso descrito, o apoio B. Assim, F terá ponto
de aplicação a 1 m de B.
Na figura, seguinte, está o DCL da viga determinado pelo aluno.
 
Fonte: Produção interna.
O aluno aplicou as equações de equilíbrio do corpo rígido:
• ∑ F x = 0 → R A X = 0
• ∑ F y = 0 → R A Y + R B Y – 18 = 0 → R A Y + R B Y = 18 ( * )
• ∑ M z = 0 (sentido anti-horário do momento positivo).
Momento das forças em relação a A, tem-se
-18 · 2 + RBY · 3 = 0 → -36 + RBY · 3 = 0 →RBY · 3 = 36 → RBY = 36/3 = 12 kN.
Da equação (*), RAY + RBY = 18 → RAY + 12 = 18 → RAY = 18 – 12 → RAY = 6 kN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Determinadas as reações, o aluno fez o corte (1_1’) mostrado na figura de seu modelo inicial e
desenhou o DCL da parte esquerda da viga. O modelo para esse corte é mostrado na figura a
seguir.
 
Fonte: Produção interna.
O valor da carga concentrada equivalente foi determinado pelo aluno calculando a área do
triângulo (4.1)/2 = 2 kN. O ponto de aplicação encontra-se a 1/3 m da seção de corte. O valor
de q’ é proporcional à distância ao ponto A. Para 3 m, o valor é de 12 kN/m, para 1 m (3 vezes
menor), q’ será dado por 12/3 = 4 kN/m.
Novamente, o aluno aplicou as equações de equilíbrio do corpo rígido:
• ∑ F x = 0 (satisfeita)
• ∑Fy=0→RAY–V–F’=0→6–V–2=0→–V=-6+2→V=4 kN
• ∑ M z = 0 (sentido anti-horário do momento positivo). Momento das forças em relação à
seção de corte, tem-se 
2 . (1/3) – 6 . 1 + M = 0 → 2/3 – 6 + M = 0 → M = 6 – 2/3 → M = 16/3 kN.m.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Caso real de determinação dos esforços internos em uma viga.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE UMA VIGA BIAPOIADA ISOSTÁTICA COM UMA FORÇA
CONCENTRADA EM SEU PONTO MÉDIO, CONFORME A FIGURA. SENDO
F = 20 KN E O VÃO IGUAL A 4 M, DETERMINE O ESFORÇO CORTANTE E
O MOMENTO FLETOR NA SEÇÃO LOCALIZADA A 1 M DO APOIO A. 
 
A) 20 kN e 20 kN.m
B) 10 kN e 20 kN.m
C) 20 kN e 10 kN.m
D) 10 kN e 10 kN.m
E) 0 kN e 10 kN.m
2. CONSIDERE A VIGA BIAPOIADA ISOSTÁTICA COM 6 M DE VÃO E
CARREGAMENTO LINEARMENTE DISTRIBUÍDO, CONFORME A FIGURA
A SEGUIR. 
 
 
 
DETERMINE O ESFORÇO CORTANTE, EM MÓDULO, ATUANTE NA
SEÇÃO INTERNA LOCALIZADA A 2 M DE A.
A) 600 N
B) 800 N
C) 1000 N
D) 1800 N
E) 2000 N
GABARITO
1. Considere uma viga biapoiada isostática com uma força concentrada em seu ponto
médio, conforme a figura. Sendo F = 20 kN e o vão igual a 4 m, determine o esforço
cortante e o momento fletor na seção localizada a 1 m do apoio A. 
 
A alternativa "D " está correta.
 
Pela simetria, as reações verticais em A e B são iguais.
Como VA + VB = F → VA + VB = 20 → 2.VA = 20 → VA = 20/2 = 10 kN.
Fazendo a secção da viga no ponto localizado a um metro do apoio A, o DCL correspondente
será o apresentado na figura a seguir:
Aplicando-se as equações de equilíbrio translacional e rotacional do corpo rígido:
• ∑Fy=0→VA-V=0→10-V=0→V=10 kN
• ∑Mz=0 (sentido anti-horário do momento positivo).
• Aplicando-se o momento das forças em relação ao ponto da seção do corte, tem-se M – VA.1
= 0. Logo, M – 10 = 0, M = 10 kN.m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Considere a viga biapoiada isostática com 6 m de vão e carregamento linearmente
distribuído, conforme a figura a seguir. 
 
 
 
Determine o esforço cortante, em módulo, atuante na seção interna localizada a 2 m de
A.
A alternativa "A " está correta.
 
A intensidade (ou módulo) da carga concentrada F equivalente à área sob a curva q(x). 
Assim, (1800 . 6)/2 = 5400 N. O ponto de aplicação fica a 1/3 do ponto A, ou seja, 6/3 = 2 m. 
Observe o DCL da viga.
DCL da barra:
A partir das equações de equilíbrio do corpo rígido, as reações nos apoios A e B podem ser
determinadas:
• ∑Fx=0→AX=0
• ∑Fy=0→AY+BY–F=0→AY+BY=5400(*)
• ∑Mz=0 (sentido anti-horário do momento positivo).
Momento das forças em relação ao ponto A, tem-se:
• BY . 6 – 5400 . 2 = 0 → 6.BY – 10.800 = 0 → 6.BY = 10.800 → BY = 10.800/6 = 1800 N.
• Substituindo BY = 1800 N na equação (*), tem-se:
• AY + BY = 5400 → AY + 1800 = 5400 → AY = 5400 – 1800 = 3600 N.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Seccionando-se a barra no ponto pedido no enunciado e pela proporção, o valor da carga
distribuída a partir dessa seção é:
(2/3) . 1800 = 1200 N/m.
A força concentrada equivalente é igual a (1200 . 4)/2 = 2400 N. Observe o DCL.
Do equilíbrio na vertical, V + 1800 = 2400, Logo, V = 2400 – 1800 = 600 N.
MÓDULO 3
 Esquematizar os diagramas de estado de vigas biapoiadas isostáticas
INTRODUÇÃO
A apresentação deste tema baseia-se apenas no estudo e compreensão dos esforços internos
cortante e de flexão em uma viga.
• No módulo anterior, fizemos exemplos e exercícios para mostrar a metodologia de como
determinar esses esforços para uma seção particular da viga.

• Neste momento, apresentaremos uma análise geral.
Considerando o eixo da viga como o eixo x, por exemplo, e as extremidades com valores zero
e L (comprimento da viga), será possível determinar expressões para o esforço cortante e o
momento fletor como função de x, ou seja, V(x) e M(x).
A partir das expressões V(x) e M(x), vários aspectos podem ser abordados. É possível plotar
os gráficos do diagrama de esforço cortante (DEC) e do diagrama do momento fletor (DMF).
Ademais, é possível a determinação do valor do esforço cortante/ momento fletor em quaisquer
pontos da viga diretamente a partir das expressões V(x) e M(x).
 COMENTÁRIO
Outro aspecto é a determinação de valores específicos e a posição em que elesocorrem,
como o momento fletor máximo em uma viga sob dado carregamento e a sua localização na
viga.
Complementando o estudo do DEC e do DMF, serão apresentadas equações diferenciais que
relacionam o carregamento q(x), V(x) e M(x) e algumas propriedades geométricas dos
diagramas que auxiliam na elaboração deles.
ELABORAÇÃO DOS DIAGRAMAS DE
ESFORÇO CORTANTE (DEC) E MOMENTO
FLETOR (DMF) DE VIGAS BIAPOIADA
Antes de efetivamente determinarmos o DEC e o DMF de uma viga, será adotada a convenção
de que os valores positivos de V e M estarão acima do eixo longitudinal da viga e os valores
negativos, abaixo.
Na figura, a seguir, há um exemplo de uma viga biapoiada com carregamento uniformemente
distribuído e o DEC e o DMF correspondentes com a convenção de sinais adotada.
 
Fonte: Produção interna.
DEC e DMF de uma viga biapoiada.
Em linhas gerais, a determinação das expressões V(x) e M(x) é feita iniciando-se pelo cálculo
das reações de apoios da viga.
Após, é feito um corte genérico a uma distância x da origem (extremidade esquerda da viga) e
estuda-se a parte esquerda da viga em termos de equilíbrio, ou seja, são aplicadas as
equações:
∑ F x = 0 ; ∑ F y = 0 (equilíbrio translacional) e ∑ M z = 0 (equilíbrio rotacional).
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, serão determinadas expressões para o esforço cortante e para o momento fletor
em função da variável x. Generalizando, por vezes são necessários cortes distintos em função
do carregamento.
A fim de que essas ideias qualitativas da metodologia sejam entendidas de forma quantitativa,
segue um exemplo para a construção do DEC e do DMF de uma viga biapoiada.
Exemplo:
Suponha uma viga biapoiada de comprimento L e com uma carga concentrada F distante a
unidades de comprimento do apoio A e b unidades de comprimento do apoio B. Dessa forma, a
+ b = L.
Observe a figura a seguir.
 
Fonte: Produção interna.
Determinação das reações nos apoios. Observe o diagrama do corpo livre da barra.
 
Fonte: Produção interna.
Aplicando-se as equações de equilíbrio do corpo rígido à viga, tem-se:
∑ F x = 0 (satisfeita)
∑ F y = 0 → V A + V B – F = 0 → V A + V B = F ( * )
∑ M z = 0 (sentido anti-horário do momento positivo).
Aplicando-se o momento das forças em relação ao ponto de apoio A, tem-se:
- F . a + VB . (a + b) = 0. A soma dos valores de a e b vale o comprimento da barra (a + b
= L).
Substituindo na equação -F · a+VB · (a+b)=0→-
F · a+VB · (L)=0→VB · (L)=F · a→VB=F.aL
Substituindo VB em (*), tem-se: V A + V B = F → V A + F . a L = F → V A = F - F . a L →
V A = F . b L
Dois cortes serão feitos (mostrados na figura inicial do exemplo).
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PRIMEIRO CORTE
O primeiro corte (1_1’) levará a uma expressão válida no intervalo 0 até a, ou seja, à esquerda
do ponto de aplicação de F.
OUTRO CORTE
O outro corte levará a uma expressão que valerá no intervalo de a até L, ou seja, à direita do
ponto de aplicação de F. Observe o DCL na figura após o primeiro corte da viga.
 
Fonte: Produção interna.
Aplicando-se as equações de equilíbrio translacional e rotacional do corpo rígido:
∑ F y = 0 → V A - V = 0 → V A = V → V = F . b L
∑ M z = 0 (sentido anti-horário do momento positivo). Aplicando-se o momento das forças
em relação ao ponto da seção do corte, tem-se M – VA.x = 0.
Substituindo VA, M-F.bL· x=0 →M=F.bL·x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Observe a figura, após o segundo corte (2_2’) da viga, após o ponto de aplicação da força
concentrada F.
 
Fonte: Produção interna.
Aplicando-se as equações de equilíbrio translacional e rotacional do corpo rígido:
∑ F y = 0 → V A - V - F = 0 → V = F . b L - F = F . ( b - L ) L = - F . a L
∑ M z = 0 (sentido anti-horário do momento positivo).
Aplicando-se o momento das forças em relação ao ponto da seção do corte, tem-se:
M + F.(x-a) – VA.x = 0.
Substituindo VA tem-se, M + F . ( x - a ) - F . b L . x = 0 → M = F . b L . x - F . ( x - a ) 
→ F . a L . ( L - x ) .
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir de agora, com as expressões encontradas para V e M, serão traçados os gráficos que
representam o esforço cortante e o momento fletor nas seções da viga ao longo de seu
comprimento.
Diagrama do esforço cortante (DEC):
Parte à esquerda do ponto de aplicação da força F tem V(x) dada pela função constante
V = F . b L . Assim, uma reta paralela ao eixo x, acima do zero.
Parte à direita do ponto de aplicação da força F tem V(x) dada pela função constante V =
- F . a L . Assim, uma reta paralela ao eixo x, abaixo do zero.
Dessa forma, a seguir, há o esboço do DEC.
 
Fonte: Produção interna.
 ATENÇÃO
Note que no DEC há uma descontinuidade no gráfico no ponto de aplicação da força
concentrada F. Perceba que esse “degrau” tem valor igual a F.
Diagrama do momento fletor (DMF):
Parte à esquerda do ponto de aplicação da força F tem M(x) dada pela função do 10 grau
M = F . b L · x . Então, uma reta crescente de x = 0 (M =0) até x = a ( M = F · a · b L )
.
Parte à direita do ponto de aplicação da força F tem M(x) dada pela função do 10 grau M
= F · a L · ( L - x ) . Assim, uma reta decrescente de x = a ( M = F · a · b L ) até x = L
(M = 0).
Dessa forma, a seguir, há o esboço do DMF.
 
Fonte: Produção interna.
 ATENÇÃO
Note que o momento fletor máximo ocorre no ponto de aplicação da força F (descontinuidade
do DEC) e seu valor é dado por F · a · b L .
Relações matemáticas entre carregamento, esforço cortante e momento fletor e
propriedades geométricas do DEC e DMF
O procedimento descrito, anteriormente, é uma forma de encontrar as expressões do esforço
cortante e do momento fletor em função da posição x da seção interna da viga.

Contudo, para carregamento q(x) com expressões complexas não é o método mais adequado.
Por isso, é importante estudar uma metodologia que auxilie nessa situação. É possível
demonstrar que as seguintes relações são válidas entre q(x), V(x) e M(x).
• d V ( x ) d x = - q ( x ) (Equação 1)
• d M ( x ) d x = V ( x ) (Equação 2)
• d 2 M ( x ) d x 2 = - q ( x ) (Equação 3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir da equação 1, é possível concluir que, em cada ponto ao longo do comprimento da
viga, o coeficiente angular da tangente ao DEC equivale a – q(x) aplicada no ponto.
Cuidados devem ser tomados para aplicação da equação 1 para cargas concentradas, pois
levam a descontinuidades no DEC.
A partir da equação 2, integrando-a, tem-se ∫ a b M ( x ) = ∫ a b V ( x ) · d x
Assim, a variação do momento fletor em um dado trecho corresponde à área do DEC nesse
trecho da viga.
Para funções polinomiais, é verdade que se q(x) é de grau “n”, V(x) será de grau “n + 1” e M(x)
de grau “’n + 2”.
A partir das expressões anteriores, será utilizado um exemplo para mostrar a aplicação na
montagem dos DEC e DMF.
Exemplo:
Barra biapoiada de comprimento L com carregamento uniformemente distribuído.
 
Fonte: Produção interna.
A carga concentrada equivalente é igual à área do retângulo, ou seja, q.L. Pela simetria, as
reações em A e B serão iguais a qL/2.
O carregamento é uma função constante (polinômio de grau 0), logo V(x) será um polinômio de
grau 1 e M(x) um polinômio de grau 2.
O carregamento é dado por q(x) = q (constante).
d V ( x ) d x = - q ( x )
d V ( x ) d x = - q
d V ( x ) = - q . d x
∫ 0 x d V ( x ) = ∫ 0 x - q · d x
V ( x ) - V ( 0 ) = - q x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Note que em x = 0, ponto A, o esforço cortante é igual a V(0) = VA = q.L/2.
Assim, substituindo na última equação, tem-se:
V ( x ) - V ( 0 ) = - q x
V ( x ) - q . L 2 = - q x
V ( x ) = q . L 2 - q x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilizea rolagem horizontal
Observe que é uma função do primeiro grau (reta) com coeficiente angular negativo
(decrescente).
Assim, substituindo na última equação, tem-se:
Para x = 0 , V ( 0 ) = q . L 2 - q · 0 = q . L 2 e para x = L, V(L)=q.L2-q.L= -q.L2.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, o DEC terá o seguinte aspecto:
 
Fonte: Produção interna.
A partir da função encontrada V ( x ) = q . L 2 - q x é possível determinar em que ponto o
esforço cortante é nulo, pois 0 = q . L 2 - q x → q . L 2 = q x → x = L 2 . .
Logo, em x = L/2, o esforço cortante é nulo.
Para a confecção do DMF, será utilizada a equação 2.
d M ( x ) d x = V ( x )
d M ( x ) d x = q . L 2 - q x 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Integrando, tem-se: M ( x ) = C + q · L · x 2 - q · x 2 2
Como os apoios da viga são de primeiro e segundo gêneros, não restringem a rotação, logo
M(0) = M(L) = 0.
Substituindo na expressão anterior, tem-se M ( 0 ) = C + q · L · 0 2 - q · 0 2 2 → 0 = C .
Dessa forma, a expressão para o momento fletor M(x) será M ( x ) = q · L · x 2 - q · x 2 2
O aspecto do DMF é mostrado na figura a seguir.
 
Fonte: Produção interna.
Note que o valor máximo do momento fletor é q . L 2 8 e ocorre em x = L/2.
É fácil mostrar esses valores, pois basta derivar a função de M(x) em relação a x e igualar a
zero, ou seja,
d M ( x ) d x = q . L 2 - q x = 0 → x = L 2
Substituindo x = L/2 em M ( x ) = q · L · x 2 - q · x 2 2 = q · L · L 2 2 - q · ( L 2 ) 2 2 → q · L 2 4 -
q · L 2 8 = q · L 2 8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Outra maneira de desenhar o DMF é a partir da ideia que foi citada, anteriormente, de que a
área sob o DEC corresponde ao acréscimo/decréscimo do momento fletor.
 ATENÇÃO
Partindo do conceito de que os dois apoios não restringem rotação, os valores inicial e final do
momento fletor são nulos. Como o DEC é uma reta (grau 1), o DMF será uma parábola (grau
2).
No DEC, o primeiro triângulo tem área igual a q·L2·L22=-q·L28.
Dessa forma, somando-se esse valor ao zero, chega-se ao valor do momento fletor em 
x = L/2.
O segundo triângulo no DEC tem área “negativa” igual a -q·L2·L22=-q·L28.
Adicionando-se esse valor a q · L 2 8 , encontra-se zero, ou seja, 
o valor do momento fletor em x = L.
MÃO NA MASSA
1. (CEPS-UFPA ‒ 2018 ‒ UFPA ‒ TÉCNICO EM EDIFICAÇÕES) OBSERVE A
FIGURA A SEGUIR. 
 
 
 
SOBRE A VIGA BIAPOIADA DA FIGURA, É CORRETO AFIRMAR O
SEGUINTE:
A) O momento fletor é máximo no meio do vão, o esforço cortante é máximo nas extremidades
e o esforço normal é nulo.
B) O momento fletor é máximo no meio do vão, o esforço cortante é nulo e o esforço normal é
máximo no meio do vão.
C) O momento fletor é nulo e os esforços cortante e normal são máximos no meio do vão.
D) O momento fletor é nulo, o esforço cortante é máximo nas extremidades e o esforço normal
é nulo.
E) O momento fletor é máximo nas extremidades, o esforço cortante é máximo no meio do vão
e o esforço normal é nulo.
2. (COMPERVE ‒ 2017 ‒ MPE-RN ‒ ANALISTA DO MINISTÉRIO PÚBLICO
ESTADUAL ‒ ENGENHARIA CIVIL) A FIGURA A SEGUIR REPRESENTA O
DIAGRAMA DE ESFORÇOS CORTANTES DE UMA VIGA ISOSTÁTICA. 
 
 
 
COM BASE NESSE DIAGRAMA, É CORRETO AFIRMAR:
A) A tangente à curva da função do momento fletor é horizontal na seção B da viga.
B) A taxa de carregamento distribuído, no trecho AB, é o dobro dessa taxa no trecho BC.
C) A função do momento fletor é decrescente no trecho AB.
D) A variação do momento fletor, no trecho AB, é de 96 kN.m.
E) No ponto C da viga existe uma força concentrada de intensidade 48 kN.
3. (FUNIVERSA ‒ 2015 ‒ UEG ‒ ANALISTA DE GESTÃO ADMINISTRATIVA
‒ ENGENHARIA CIVIL) 
 
 
 
ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O VALOR DA CARGA
DISTRIBUÍDA (Q) PARA A VIGA BIAPOIADA APRESENTADA NA FIGURA
1, CONSIDERANDO QUE A VIGA MOSTRA O DIAGRAMA DE ESFORÇO
CORTANTE REPRESENTADO NA FIGURA 2.
A) 10 kN
B) 80 kN
C) 75 kN
D) 50 kN
E) 30 kN
4. (FCC ‒ 2011 ‒ TRE-AP ‒ ANALISTA JUDICIÁRIO ‒ ENGENHARIA CIVIL)
CONSIDERE A FIGURA ABAIXO. 
 
 
 
SE A VIGA SIMPLESMENTE APOIADA DA FIGURA ESTÁ SUBMETIDA A
UMA CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA DE 
1 T/M, ENTÃO O MOMENTO FLETOR NA SEÇÃO S, MEDIDO EM T.M, É
IGUAL A
A) 4,0
B) 3,5
C) 3,0
D) 2,5
E) 2,0
5. (FDC - 2014 ‒ IF-SE ‒ ENGENHEIRO CIVIL ‒ ADAPTADA) A CARGA
CONCENTRADA P QUE, APLICADA NO MEIO DE UMA VIGA BIAPOIADA
DE COMPRIMENTO L, GERA NESTA VIGA UM MOMENTO FLETOR
MÁXIMO IGUAL AO DE UMA CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA Q,
TEM O VALOR DE:
A) qL
B) 2qL
C) qL/2
D) qL/4
E) q.L/8
6. (CESPE ‒ 2012 ‒ TJ-AL ‒ ANALISTA JUDICIÁRIO ‒ ENGENHARIA)
CONSIDERANDO VIGA ISOSTÁTICA, BIAPOIADA E SUBMETIDA A
CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO UNIFORMEMENTE, ASSINALE A OPÇÃO
CORRETA.
A) O momento fletor é constante em toda a viga.
B) Nos apoios da viga, a reação tem o mesmo sentido do carregamento.
C) O momento fletor máximo ocorre no meio da viga.
D) A viga está sujeita a momentos torsores e esforços cortantes.
E) A viga possui momento fletor máximo próximo aos apoios.
GABARITO
1. (CEPS-UFPA ‒ 2018 ‒ UFPA ‒ Técnico em Edificações) Observe a figura a seguir. 
 
 
 
Sobre a viga biapoiada da figura, é correto afirmar o seguinte:
A alternativa "A " está correta.
O único carregamento é vertical. Então, os esforços normais são nulos. Em uma viga
biapoiada, com carregamento uniformemente distribuído, o momento fletor máximo ocorre no
ponto médio da viga (x = L/2). Em módulo, o esforço cortante é máximo (q.L/2) nas
extremidades e nulo no meio da viga.
2. (COMPERVE ‒ 2017 ‒ MPE-RN ‒ Analista do Ministério Público Estadual ‒ Engenharia
Civil) A figura a seguir representa o diagrama de esforços cortantes de uma viga
isostática. 
 
 
 
Com base nesse diagrama, é correto afirmar:
A alternativa "D " está correta.
No DEC, a área sob a curva representa a variação do momento fletor no trecho.
No trecho AB, a figura geométrica é um trapézio cuja área é dada por A=(B+b)·h2=
(62+2)·32=96. .
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a variação do momento no trecho AB será de 96 kN.m.
3. (FUNIVERSA ‒ 2015 ‒ UEG ‒ Analista de Gestão Administrativa ‒ Engenharia Civil)
 
 
 
Assinale a alternativa que apresenta o valor da carga distribuída (q) para a viga
biapoiada apresentada na figura 1, considerando que a viga mostra o diagrama de
esforço cortante representado na figura 2.
A alternativa "E " está correta.
4. (FCC ‒ 2011 ‒ TRE-AP ‒ Analista Judiciário ‒ Engenharia Civil) Considere a figura
abaixo. 
 
 
 
Se a viga simplesmente apoiada da figura está submetida a uma carga uniformemente
distribuída de 
1 t/m, então o momento fletor na seção S, medido em t.m, é igual a
A alternativa "A " está correta.
A equação do momento fletor de uma viga biapoiada com carregamento uniformemente
distribuído é dada por M(x)=q·L·x2-q·x22.
Substituindo q = 1 t/m, L = 6 m e x = 2 m, tem-se: M(2)=1·6·22-1·222→6-2=4 t·m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em termos de unidades, a carga distribuída deveria ter sido apresentada em tf/m (tonelada-
força por metro) e o momento em tf.m. Porém, é usual a utilização apresentada na questão,
não invalidando-a.
5. (FDC - 2014 ‒ IF-SE ‒ Engenheiro Civil ‒ adaptada) A carga concentrada P que,
aplicada no meio de uma viga biapoiada de comprimento L, gera nesta viga um momento
fletor máximo igual ao de uma carga uniformemente distribuída q, tem o valor de:
A alternativa "C " está correta.
6. (CESPE ‒ 2012 ‒ TJ-AL ‒ Analista Judiciário ‒ Engenharia) Considerando viga
isostática, biapoiada e submetida a carregamento distribuído uniformemente, assinale a
opção correta.
A alternativa "C " está correta.
A equação do momento fletor de uma viga biapoiada com carregamento uniformemente
distribuído é dada por M(x)=q·L·x2-q·x22.
Para se determinar o valor máximo do momentofletor, deve-se derivar a função M(x) em
relação a x e igualar a zero, ou seja, dM(x)dx=q·L2-qx=0,x=L2.
Então, no ponto médio do vão da viga ocorre o momento fletor máximo. Substituindo o valor de
x = L/2 em
M(x)=q·L·x2-q·x22=q·L·L22-q·(L2)22=q·L28
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
No módulo anterior, o Teoria na prática apresentou um aluno estagiário de uma empresa
auxiliando um engenheiro na determinação do cálculo dos esforços internos cortante e fletor,
numa dada seção da viga.
O estagiário conseguiu resolver o que lhe fora pedido e recebeu uma nova incumbência:
determinar os mesmos esforços internos em outra seção da mesma viga.
O aluno concluiu que uma adaptação na solução encontrada no primeiro caso levaria à solução
desejada. Porém, ele optou por determinar o esforço cortante e o momento fletor em uma
região genérica qualquer da viga.
Dessa forma, ao determinar as expressões para V(x) e M(x), poderia ter os valores em
quaisquer seções e ainda ratificar o resultado encontrado inicialmente.
Como a viga a ser estudada era a mesma, o modelo criado inicialmente não mudou, como
apresenta a figura.
 
Fonte: Produção interna.
Os valores encontrados para as reações em A e B também poderiam ser reutilizados.
Na figura seguinte está o DCL da viga com os valores previamente determinados pelo aluno.
 
Fonte: Produção interna.
Determinadas as reações, o aluno fez o corte genérico (1_1’) mostrado na figura de seu
modelo inicial, localizado a x m do apoio A, e desenhou o DCL da parte esquerda da viga. O
modelo para esse corte é apresentado a seguir.
 
Fonte: Produção interna.
O valor da carga concentrada equivalente foi determinado pelo aluno calculando a área do
triângulo (4x .x /2 = 2.x2). O ponto de aplicação encontra-se a x/3 m da seção de corte.
O valor de q’ é proporcional à distância ao ponto A. Assim, q’ = 4.x.
Novamente, o aluno aplicou as equações de equilíbrio do corpo rígido:
∑ F x = 0 (satisfeita)
∑ F y = 0 → R A Y – V – F ’ = 0 → 6 – V – 2 · x 2 = 0 → V ( x ) = 6 - 2 . x 2 (x em m e V
em kN)
∑ M z = 0 (sentido anti-horário do momento positivo). Momento das forças em relação à
seção de corte, tem-se 2.x2 (x/3) – 6 . x + M = 0. Logo, M ( x ) = 6 x - 2 . x 3 3 (x em
metros e M em kN.m).
Aproveitando as expressões de V(x) e M(x), o aluno fez um teste para os valores pedidos pelo
engenheiro no caso descrito no módulo 2, ou seja, para x = 1 m. Substituindo esse valor em
V(x) e M(x), encontrou:
V(x)=6-2·x2→V(1)=6-2·12=4 kN (confirmado)
M(x)=6·x-2·x33→M(1)=6·1-2·133=163 kN·m (confirmado)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assista ao vídeo Determinação de expressões para o cálculo dos esforços internos em uma
viga – caso concreto.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (FGV ‒ 2010 ‒ FIOCRUZ ‒ TECNOLOGISTA EM SAÚDE ‒ ENGENHARIA
CIVIL ‒ ADAPTADA) NUM PONTO DE UMA VIGA DE 5 M DE
COMPRIMENTO EM QUE O DIAGRAMA DE ESFORÇOS CORTANTES
APRESENTA UMA DESCONTINUIDADE DE MAGNITUDE P = 20 KN, PODE-
SE AFIRMAR QUE:
A) Existe uma carga concentrada de intensidade P igual a 20 kN.
B) Existe uma carga uniformemente distribuída de intensidade q = 4 kN/m.
C) Existe uma rótula, que não restringe momento fletor.
D) Com essas informações apenas, não é possível chegar à conclusão sobre o carregamento.
E) Existe uma carga uniformemente distribuída de intensidade q = 100 kN/m.
2. UMA VIGA AB BIAPOIADA EM SUAS EXTREMIDADES ESTÁ SOB UM
CARREGAMENTO UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDO DE 3 KN/M. SENDO O
COMPRIMENTO DA VIGA IGUAL A 4 M, DETERMINE O ESFORÇO
CORTANTE NUMA SEÇÃO LOCALIZADA A 1 M DO APOIO DA
EXTREMIDADE ESQUERDA.
A) 6,0 kN
B) 3,0 kN
C) 2,0 kN
D) 0,0 kN
E) 1,0 kN
GABARITO
1. (FGV ‒ 2010 ‒ FIOCRUZ ‒ Tecnologista em Saúde ‒ Engenharia Civil ‒ adaptada) Num
ponto de uma viga de 5 m de comprimento em que o diagrama de esforços cortantes
apresenta uma descontinuidade de magnitude P = 20 kN, pode-se afirmar que:
A alternativa "A " está correta.
 
Uma viga biapoiada com uma concentrada, apresenta DEC com uma descontinuidade (degrau)
no ponto de aplicação dessa força com intensidade igual à da força. No exemplo apresentado,
a descontinuidade equivale a uma carga concentrada de mesmo módulo, ou seja, 20 kN.
2. Uma viga AB biapoiada em suas extremidades está sob um carregamento
uniformemente distribuído de 3 kN/m. Sendo o comprimento da viga igual a 4 m,
determine o esforço cortante numa seção localizada a 1 m do apoio da extremidade
esquerda.
A alternativa "B " está correta.
 
A equação do esforço cortante para uma viga biapoiada sob carregamento uniformemente
distribuído é dada pela expressão V(x)=q·L2-qx.
Substituindo os valores da carga q e de x, tem-se:
V(1)=3.42-3.1=3 kN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 4
 Compreender a modelagem computacional das vigas biapoiadas isostáticas
INTRODUÇÃO
De forma similar ao estudo feito para as treliças simples isostáticas, neste módulo faremos uma
abordagem inicial da modelagem computacional das vigas biapoiadas isostáticas.
Existem muitas ferramentas computacionais acadêmicas/profissionais que auxiliam na
determinação de, por exemplo, esforços internos de uma viga.
Contudo, muitos aspectos são considerados nos modelos e que ainda não foram abordados
nessa fase do curso de Engenharia. Portanto, a abordagem apresentará um viés qualitativo,
mas com possibilidade de alcançar resultados para modelos ainda bem simplificados.
Na Engenharia, as situações reais devem ser entendidas fisicamente para que sejam
modeladas matematicamente e, por fim, determinar a solução (de maneira analítica ou
computacional). Essas fases são, de maneira genérica, executadas pelos seguintes passos:
1º PASSO
2º PASSO
3º PASSO
4º PASSO
1º PASSO:
Compreensão de todos os aspectos físicos teóricos associados à situação real para a
elaboração de um modelo físico que reproduza com a maior realidade a situação a ser
estudada.
2º PASSO:
Tendo um modelo físico que reproduza a situação real e dependendo das condições impostas
para o projeto, algumas simplificações podem ser introduzidas no modelo inicial, porém de
maneira criteriosa para não comprometerem os resultados. Essas simplificações no modelo
propiciam uma diminuição do grau de complexidade matemática do passo seguinte.
3º PASSO:
A partir das simplificações adotadas no modelo físico inicial, decorre a modelagem matemática,
isto é, equacionar matematicamente os fenômenos físicos.
4º PASSO:
Uma vez que já estão definidas as equações matemáticas e as condições conhecidas
(condições iniciais, condições de contorno etc.) é o momento de resolver o problema. A
escolha de uma solução analítica é possível. Porém, por vezes, demandará tempo excessivo
ou, até mesmo, a impossibilidade da solução. Nesses casos, a escolha de uma ferramenta
computacional adequada já existente é conveniente. Por vezes, uma solução computacional
própria também pode ser utilizada, por exemplo, para situações novas que ainda não foram
amplamente estudadas a ponto de se desenvolver um software.
ANÁLISE FÍSICA DE UMA VIGA E SUA
MODELAGEM MATEMÁTICA
Em nosso estudo, a modelagem física de uma viga já será precedida de algumas
simplificações:
A viga é isostática, ou seja, o número de equações do equilíbrio do corpo rígido é igual
ao número de incógnitas (reações nos apoios).
A viga encontra-se biapoiada.
A viga é rígida, ou seja, indeformável.
O carregamento ocorre no plano da viga.
A princípio, os pesos das vigas são desprezíveis quando comparados às forças externas.
 ATENÇÃO
Na eventualidade de se considerar os pesos das vigas, adotar-se-á que essa é homogênea e,
portanto, o seu peso é uniformemente distribuído ao longo de seu comprimento.
Em linhas gerais, para a determinação das reações nos apoios, serão feitas substituições de
cargas distribuídas q(x) por cargas concentradas equivalentes F (intensidade e ponto deaplicação) e o diagrama do corpo livre da viga.
Para determinar a intensidade de F é necessária a determinação da área sob a curva de
carregamento, ou seja, encontrar a integral definida dada por F = ∫ a b q ( x ) · d x e, para
determinar o ponto de aplicação é necessário conhecer o centroide da área sob a curva da
carga distribuída.
O ponto de aplicação tem linha de ação passando por esse centroide, atuando na viga. O
centroide é determinado pela integral x ¯ = ∫ x · d A A .
O DCL é esquematizado a partir dos cálculos anteriores, as eventuais cargas concentradas e
as reações nos apoios (que dependem do gênero do apoio).
Primeira fase
Já nessa primeira fase da resolução, é possível perceber uma eventual dificuldade matemática:
a resolução das integrais. A resolução por métodos numéricos (ferramenta computacional) é
uma opção. Dependendo da necessidade de maior ou menor precisão, adota-se um método
numérico ou outro.

Segunda fase
Na segunda fase, surgem as 3 equações do equilíbrio. Como no caso das treliças, um sistema
de equações lineares deve ser resolvido. A utilização de um método numérico também pode
ser útil, como, por exemplo, o método de Gauss Jordan. Mais uma vez o auxílio de ferramentas
computacionais já desenvolvidas pode diminuir o tempo de resolução.
Feita essa fase inicial de determinação das reações, um modelo será apresentado para que
uma função possa descrever os esforços internos com dependência da posição x da seção.
Tendo essas funções, é possível utilizar uma ferramenta computacional para desenhar os
diagramas de esforço cortante e momento fletor (DEC e DMF).
A Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (PUC-RJ), por meio de um de seus
professores, Luiz Fernando Martha, desenvolveu um software (FTOOL) que determina, dentre
outros valores, as reações nos apoios de vigas, pórticos, quadros bidimensionais, os
diagramas de esforço normal, de esforço cortante e de momento fletor. Uma ferramenta
acadêmica muito difundida e um ótimo software de estruturas para modelos bidimensionais (na
seção Explore + está o site que leva à versão mais nova do FTOOL (4,0), que tem a versão
acadêmica, gratuita, e a profissional, com licença.).
Será realizado um exemplo já resolvido (viga biapoiada de 3 m de comprimento com carga
triangular). Determinação dos esforços cortante e fletor em x = 1 m, para fins de comparação, a
partir do FTOOL versão 3.1.
Inicialmente, desenha-se a viga com o comprimento desejado.
Depois, os apoios são vinculados à estrutura. No input, deverão ser informadas as
restrições do apoio para que o software consiga identificá-los.
Por exemplo, um apoio de 2º gênero deverá apresentar as informações de restrições em x e y
e rotação livre.
Observe parte da tela do FTOOL na figura a seguir, em que informações para o apoio são
apresentadas.
 
Fonte: Produção interna.
Apoios. Imagem gerada pelo FTOOL, de autoria do prof. Luiz Fernando Martha, da PUC-RJ.
Perceba a importância de se conhecer bem as restrições impostas pelos apoios. Nesse caso,
as translações em x e y são nulas e a rotação permitida, ou ainda, trata-se de um apoio de
segundo gênero.
Após a montagem da barra e o carregamento desejado, a tela para o modelo proposto no
problema terá o aspecto mostrado na figura seguinte.
 
Fonte: Produção interna.
Carregamento viga biapoiada. Imagem baseada no FTOOL, de autoria do prof. Luiz Fernando
Martha, da PUC-RJ.
Numa terceira etapa de “alimentação” do software, são necessários parâmetros geométricos da
seção reta da viga (forma, dimensões etc.) e parâmetros do material que constitui a viga.
Cumprida essa etapa, os diagramas de esforço cortante e momento fletor podem ser
apresentados, assim como as reações nos apoios.
Observe na figura, a seguir, o DEC, as reações nos apoios e o esforço cortante para x = 1 m
afastado do apoio à esquerda.
 
Fonte: Produção interna.
DEC e esforço cortante em x = 1 m. Imagem gerada pelo FTOOL, de autoria do prof. Luiz
Fernando Martha, da PUC-RJ.
Na figura, a seguir, há o DMF para o exemplo proposto.
Observe o valor do momento fletor em x = 1 m. Cabe ressaltar que a convenção utilizada pelo
FTOOL para o DMF é oposta a que foi adotada nesse tema, ou seja, valores positivos do
momento encontram-se abaixo da viga e vice-versa.
 
Fonte: Produção interna.
DMF e momento fletor em x = 1m. Imagem gerada pelo FTOOL, de autoria do prof. Luiz
Fernando Martha, da PUC-RJ.
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERE QUE UM ALUNO DESEJE UTILIZAR A FERRAMENTA
COMPUTACIONAL FTOOL PARA DESENHAR O DEC E O DMF DE UMA
VIGA BIAPOIADA COM DADO CARREGAMENTO. VÁRIOS INPUTS DEVEM
ALIMENTAR O SOFTWARE. CONSIDERE OS INPUTS APRESENTADOS
NAS AFIRMATIVAS ABAIXO. 
 
I – OS TIPOS DE VÍNCULOS DA BARRA. 
II – AS PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DA VIGA. 
III – O CARREGAMENTO A QUE ESTÁ SUBMETIDA A VIGA. 
IV – O PESO DA VIGA. 
 
DOS DADOS APRESENTADOS NAS AFIRMATIVAS, QUAL/QUAIS É/SÃO
NECESSÁRIO(S) INFORMAR, OBRIGATORIAMENTE, AO FTOOL?
A) Apenas os dados presentes nas afirmativas I e II.
B) Apenas os dados presentes nas afirmativas I e III.
C) Apenas os dados presentes nas afirmativas I, II e IV.
D) Apenas os dados presentes nas afirmativas I, II e III.
E) Apenas os dados presentes nas afirmativas II e III.
2. A MODELAGEM COMPUTACIONAL, EM LINHAS GERAIS, INICIA-SE
COM O MODELO FÍSICO DO PROBLEMA REAL, SUA MODELAGEM
MATEMÁTICA E, POR FIM, A UTILIZAÇÃO DE FERRAMENTAS
COMPUTACIONAIS PARA A DETERMINAÇÃO DO RESULTADO. NO CASO
DE UMA VIGA, VÁRIAS INFORMAÇÕES SÃO DESEJADAS PARA
AUXILIAR NOS PROJETOS. NO USO DE UMA FERRAMENTA
COMPUTACIONAL, EXISTEM A ENTRADA DE DADOS (INPUT) E A SAÍDA
DOS RESULTADOS (OUTPUT). CONSIDERE AS INFORMAÇÕES
APRESENTADAS. 
 
I – DIAGRAMA DOS ESFORÇOS CORTANTES (DEC). 
II – DIAGRAMA DOS MOMENTOS FLETORES (DMF). 
III – AS DIMENSÕES DOS APOIOS. 
IV – AS REAÇÕES NOS APOIOS. 
 
EM QUE AFIRMATIVAS SÃO APRESENTADAS OUTPUTS DA
FERRAMENTA COMPUTACIONAL FTOOL?
A) Apenas os dados presentes nas afirmativas I e II.
B) Apenas os dados presentes nas afirmativas I e III.
C) Apenas os dados presentes nas afirmativas I, II e IV.
D) Apenas os dados presentes nas afirmativas I, II e III.
E) Apenas os dados presentes nas afirmativas II e III.
3. QUANDO A OPÇÃO DE RESOLUÇÃO DE UMA VIGA BIAPOIADA
ISOSTÁTICA (2 APOIOS, SENDO UM DE PRIMEIRO GÊNERO E OUTRO
DO SEGUNDO GÊNERO) É A ESCOLHIDA, EM MUITAS SITUAÇÕES HÁ
CARREGAMENTOS DISTRIBUÍDOS SOBRE UMA VIGA, HAVENDO
NECESSIDADE DE EFETUAR A SUBSTITUIÇÃO DESSES POR UMA
CARGA CONCENTRADA EQUIVALENTE PARA QUE POSSA SER
DESENHADO O DLC E REALIZADA A MODELAGEM, A PARTIR DAS
EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO. DESSA FORMA, SURGIRÁ UM
SISTEMA A SER RESOLVIDO POR UMA FERRAMENTA
COMPUTACIONAL. DOS SISTEMAS ABAIXO, QUAL PODE SER O
ORIUNDO PARA A VIGA DESCRITA?
A) 101111222·R2AXR2AYR2BY=05001000
B) RAXRAYRBY=0150500
C) 100011003·RAXRAYM=0240500
D) 100011004·RAXRAYRBY=100300800
E) 2000-11003·RAXRAYM=50400560
4. SUPONHA QUE UM DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR (DMF) DE
CARREGAMENTO UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDO, GERADO A PARTIR
DE UMA FERRAMENTA COMPUTACIONAL, NÃO MOSTRE A EQUAÇÃO
ASSOCIADA, OU SEJA, M(X). AS ÚNICAS INFORMAÇÕES DISPONÍVEIS
SÃO O VALOR DO MOMENTO FLETOR MÁXIMO (360KN.M), O
COMPRIMENTO DA VIGA (6M) E QUE OS APOIOS QUE ESTÃO NAS
EXTREMIDADES DA VIGA SÃO DE PRIMEIRO E SEGUNDO GÊNEROS,
CONFORME A FIGURA. 
 
 
 
É POSSÍVEL DETERMINAR A EQUAÇÃO DO DMF?
A) Sim, pois sendo um carregamento uniformemente distribuído, o DMF será uma função
constante (M(x) = a) que se relaciona apenas com os valores do momento fletor máximo e o
carregamento.
B) Não, pois sendo um carregamento uniformemente distribuído, a função de M(x) é do
segundo grau (M(x) = a.x2 + b.x + c) e existem apenas 2 informações matemáticas e 3
incógnitas (a, b e c).
C) Sim, pois sendo um carregamento uniformemente distribuído, a função de M(x) é do
segundo grau (M(x) = a.x2 + b.x + c) e existem 3 informações disponíveis para determinar as 3
incógnitas a, b e c. O momento máximo (ocorre no ponto médio da viga) e nosapoios de
primeiro e segundo gêneros, a rotação é permitida, logo, os momentos são nulos.
D) Sim, pois sendo um carregamento uniformemente distribuído, a função de M(x) é do
primeiro grau (M(x) = a.x + b) e existem mais de 2 informações matemáticas e apenas 2
incógnitas (a, b e c).
E) Não, pois não é possível saber qual o grau da função que representa o DMF e, assim,
escrever uma equação genérica para descobrir os coeficientes e determinar M(x).
5. UM ESTAGIÁRIO, ESTUDANDO UM ANTIGO PROJETO DE SUA
EMPRESA, OBSERVOU QUE A ANÁLISE DE UMA VIGA BIAPOIADA
SOBRE DETERMINADO CARREGAMENTO FOI REALIZADA UTILIZANDO
A FERRAMENTA COMPUTACIONAL FTOOL. EM UMA DAS PÁGINAS DO
DOCUMENTO DO PROJETO HAVIA O DESENHO DO DIAGRAMA DO
ESFORÇO CORTANTE. COMO NÃO HAVIA MAIS INFORMAÇÕES, FICOU
CURIOSO E QUIS DETERMINAR, A PARTIR DO DEC, INFORMAÇÕES DO
CARREGAMENTO SOBRE A VIGA. 
 
 
 
A RESPEITO DO CARREGAMENTO, O DEC É TÍPICO PARA QUE
CARREGAMENTO?
A) Carga concentrada que atua no ponto médio da viga e tem intensidade 200 kN.
B) O ponto de aplicação da carga concentrada está na descontinuidade do DEC (degrau) e tem
módulo 600 kN.
C) Carga distribuída uniformemente de 100 kN/m.
D) Carga distribuída linearmente a partir de 400 kN/m até – 200 kN/m.
E) Não é possível concluir a respeito do carregamento, apenas a partir do DEC.
6. UM ALUNO ENCONTROU O DEC DE UMA VIGA BIAPOIADA
DESENHADO A PARTIR DE UMA FERRAMENTA COMPUTACIONAL
(FTOOL), MAS QUE NÃO CONTINHA INFORMAÇÕES COMO O TIPO DE
CARREGAMENTO E A EQUAÇÃO DO DEC. A SEGUIR, ESTÁ O DEC PARA
O CARREGAMENTO DESSA VIGA QUE CONTÉM 10M DE COMPRIMENTO. 
 
 
 
UTILIZANDO SEU CONHECIMENTO DE MECÂNICA DOS SÓLIDOS, O
ALUNO CONSEGUIU COMPLEMENTAR O ESTUDO DA VIGA CHEGANDO
À EQUAÇÃO PARA O ESFORÇO CORTANTE EM FUNÇÃO DE X
(DISTÂNCIA A PARTIR DO APOIO DA ESQUERDA) E AO TIPO DE
CARREGAMENTO. ESSAS INFORMAÇÕES ESTÃO CORRETAMENTE
DESCRITAS NA OPÇÃO:
A) V(x) = -75.x + 250 / carregamento distribuído.
B) V(x) = 500 kN / carregamento concentrado.
C) V(x) = -75.x / carregamento distribuído.
D) V(x) = - 50.x + 250 / carregamento distribuído.
E) V(x) = - 5.x + 250 / carregamento distribuído.
GABARITO
1. Considere que um aluno deseje utilizar a ferramenta computacional FTOOL para
desenhar o DEC e o DMF de uma viga biapoiada com dado carregamento. Vários inputs
devem alimentar o software. Considere os inputs apresentados nas afirmativas abaixo. 
 
I – Os tipos de vínculos da barra. 
II – As propriedades geométricas da viga. 
III – O carregamento a que está submetida a viga. 
IV – O peso da viga. 
 
Dos dados apresentados nas afirmativas, qual/quais é/são necessário(s) informar,
obrigatoriamente, ao FTOOL?
A alternativa "D " está correta.
Não há necessidade de se informar o peso da barra, pois é considerado desprezível. Caso não
seja, na fase do carregamento, adiciona-se um carregamento uniformemente distribuído ao
longo do comprimento da viga (viga homogênea). Os demais dados são inputs da ferramenta
computacional.
2. A modelagem computacional, em linhas gerais, inicia-se com o modelo físico do
problema real, sua modelagem matemática e, por fim, a utilização de ferramentas
computacionais para a determinação do resultado. No caso de uma viga, várias
informações são desejadas para auxiliar nos projetos. No uso de uma ferramenta
computacional, existem a entrada de dados (input) e a saída dos resultados (output).
Considere as informações apresentadas. 
 
I – Diagrama dos esforços cortantes (DEC). 
II – Diagrama dos momentos fletores (DMF). 
III – As dimensões dos apoios. 
IV – As reações nos apoios. 
 
Em que afirmativas são apresentadas outputs da ferramenta computacional FTOOL?
A alternativa "C " está correta.
As principais informações no estudo estrutural de uma viga são os esforços internos (esforço
normal, esforço cortante e momento fletor) e os valores das reações nos apoios. A partir
dessas informações, são determinados o DEC e o DMF, por exemplo. Além disso, valores
máximos dos esforços internos podem ser definidos.
3. Quando a opção de resolução de uma viga biapoiada isostática (2 apoios, sendo um
de primeiro gênero e outro do segundo gênero) é a escolhida, em muitas situações há
carregamentos distribuídos sobre uma viga, havendo necessidade de efetuar a
substituição desses por uma carga concentrada equivalente para que possa ser
desenhado o DLC e realizada a modelagem, a partir das equações do equilíbrio estático.
Dessa forma, surgirá um sistema a ser resolvido por uma ferramenta computacional.
Dos sistemas abaixo, qual pode ser o oriundo para a viga descrita?
A alternativa "D " está correta.
Ao se desenhar o DCL de uma viga biapoiada isostática com 2 apoios de primeiro e segundo
gênero e um carregamento genérico, 3 reações (incógnitas) devem ser calculadas.
Trocas de cargas distribuídas devem ser realizadas e projeções de cargas concentradas em x
e y também. Após a aplicação das 3 equações do equilíbrio do corpo rígido
(∑Fx=0,∑Fy=0 e ∑Mz=0),
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
três equações lineares serão formadas dando origem a um sistema linear 3 x 3. Assim, só a
opção D apresenta um sistema linear 3 x 3 e com as variáveis nos apoios.
4. Suponha que um diagrama de momento fletor (DMF) de carregamento uniformemente
distribuído, gerado a partir de uma ferramenta computacional, não mostre a equação
associada, ou seja, M(x). As únicas informações disponíveis são o valor do momento
fletor máximo (360kN.m), o comprimento da viga (6m) e que os apoios que estão nas
extremidades da viga são de primeiro e segundo gêneros, conforme a figura. 
 
 
 
É possível determinar a equação do DMF?
A alternativa "C " está correta.
5. Um estagiário, estudando um antigo projeto de sua empresa, observou que a análise
de uma viga biapoiada sobre determinado carregamento foi realizada utilizando a
ferramenta computacional FTOOL. Em uma das páginas do documento do projeto havia
o desenho do diagrama do esforço cortante. Como não havia mais informações, ficou
curioso e quis determinar, a partir do DEC, informações do carregamento sobre a viga. 
 
 
 
A respeito do carregamento, o DEC é típico para que carregamento?
A alternativa "B " está correta.
6. Um aluno encontrou o DEC de uma viga biapoiada desenhado a partir de uma
ferramenta computacional (FTOOL), mas que não continha informações como o tipo de
carregamento e a equação do DEC. A seguir, está o DEC para o carregamento dessa viga
que contém 10m de comprimento. 
 
 
 
Utilizando seu conhecimento de Mecânica dos Sólidos, o aluno conseguiu
complementar o estudo da viga chegando à equação para o esforço cortante em função
de x (distância a partir do apoio da esquerda) e ao tipo de carregamento. Essas
informações estão corretamente descritas na opção:
A alternativa "D " está correta.
O DEC apresentado é característico de um carregamento distribuído ao longo do
comprimento da viga biapoiada. As reações verticais mostradas somam 500 kN. Assim, a
carga concentrada que mantém o equilíbrio translacional vertical deve ser, em módulo, 500 kN.
Dessa forma, a carga distribuída é de 500 kN em 10 m, ou seja q(x) = 50 kN/m. Em relação à
equação de V(x), sendo o DEC uma reta, V(x) é da forma V(x) = a.x +b, sendo a o coeficiente
angular da reta, que equivale a - q(x). Logo a = -50. Assim, V(x) = - 50x +b. Para x = 0, V =
250. Substituindo na expressão V(x) = - 50x +b , tem-se 250 = -50.0 + b, isto é, b = 250.
Logo, a equação para o DEC da figura é V(x) = -50.x + 250.
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Considere uma estrutura em que parte dela apresenta uma viga biapoiada com peso próprio de
300 kN e comprimento 6 m. A 1/3 de cada apoio existe uma viga apoiada, tal que cada uma
equivale a uma carga concentrada de 100 kN. Inicialmente, será feito um estudo para a criação
de uma modelo físico simplificado. Duas premissas serão adotadas para a simplificação do
modelo físico: a viga é isostática e homogênea. Sendo assim,