Estática das construcoes Estruturas Isostáticas

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Indaial – 2019
Estática das 
construçõEs: Estruturas 
isostáticas
Prof. André Valmir Saugo Ribeiro
1a Edição
Copyright © UNIASSELVI 2019
Elaboração:
Prof. André Valmir Saugo Ribeiro
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
R484e
Ribeiro, André Valmir Saugo
Estática das construções: estruturas isostáticas. / André Valmir 
Saugo Ribeiro. – Indaial: UNIASSELVI, 2019.
190 p.; il.
ISBN 978-85-515-0385-0
1. Estática. - Brasil. II. Centro Universitário Leonardo Da Vinci.
CDD 624.171
III
aprEsEntação
Olá, acadêmico! Seja bem-vindo! Para a disciplina proposta, Estática 
das Construções: Estruturas Isostáticas, foram produzidas três unidades, 
servindo como base para o aprendizado dos alunos.
As três unidades são divididas da seguinte maneira: a primeira 
unidade aborda os conceitos fundamentais que servirão como base da 
disciplina, a segunda unidade utiliza os conceitos fundamentais da primeira 
para calcular e traçar os diagramas de esforços solicitantes dos elementos 
estruturais apresentados e, a terceira, utiliza as definições fundamentais, 
também da primeira, para calcular e traçar os diagramas dos esforços 
solicitantes, além de apresentar e explicar os princípios dos trabalhos virtuais 
e linhas de influência.
Aproveite o material!
Prof. André Valmir Saugo Ribeiro
IV
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há 
novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também 
contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
NOTA
V
VI
VII
UNIDADE 1 – ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES .........................................................................1
TÓPICO 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS ................................................................................3
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................3
2 NOÇÕES FUNDAMENTAIS ...........................................................................................................3
3 TIPOS DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS .....................................................................................9
4 RELAÇÕES FUNDAMENTAIS DA ESTÁTICA ..........................................................................13
RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................16
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................17
TÓPICO 2 – ISOSTATICIDADE EM TRELIÇAS E DETERMINAÇÃO DAS REAÇÕES 
DE APOIO EM ESTRUTURAS ....................................................................................19
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................19
2 CONCEITOS ........................................................................................................................................19
3 EQUILÍBRIO ESTÁTICO ..................................................................................................................20
4 DETERMINAÇÃO DAS REAÇÕES DE APOIO ..........................................................................21
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................29
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................30
TÓPICO 3 – ESTRUTURAS ESPACIAIS, ESFORÇOS SOLICITANTES E 
TEOREMA FUNDAMENTAL ......................................................................................31
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................31
2 CONCEITOS ........................................................................................................................................31
3 ESFORÇOS SOLICITANTES ...........................................................................................................33
4 TEOREMA FUNDAMENTAL ..........................................................................................................37
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................49
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................57
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................58
UNIDADE 2 – VIGAS E PÓRTICOS .................................................................................................61
TÓPICO 1 – VIGAS ...............................................................................................................................63
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................63
2 CONCEITOS ........................................................................................................................................63
3 VIGA BIAPOIADA SIMPLES..........................................................................................................64
RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................70
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................71
TÓPICO 2 – VIGAS COM SUPERPOSIÇÃO DOS EFEITOS ......................................................73
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................73
2 CÁLCULOS ..........................................................................................................................................74
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................84
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................85
sumário
VIII
TÓPICO 3 – APOIO GERBER .............................................................................................................87
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................872 APOIO GERBER EM VIGAS ...........................................................................................................87
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................95
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................96
TÓPICO 4 – VIGAS INCLINADAS ...................................................................................................97
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................97
2 DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES DE VIGAS INCLINADAS ...........97
RESUMO DO TÓPICO 4......................................................................................................................103
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................104
TÓPICO 5 – PÓRTICOS .......................................................................................................................105
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................105
2 PÓRTICOS SIMPLES ........................................................................................................................105
3 PÓRTICOS COMPOSTOS ...............................................................................................................109
4 ARCOS ..................................................................................................................................................114
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................117
RESUMO DO TÓPICO 5......................................................................................................................119
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................120
UNIDADE 3 – TRELIÇAS, PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS E LINHAS 
DE INFLUÊNCIA ........................................................................................................123
TÓPICO 1 – TRELIÇAS ........................................................................................................................125
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................125
2 DEFINIÇÃO .........................................................................................................................................125
3 MÉTODO DOS NÓS OU MÉTODO DE CREMONA ................................................................126
RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................133
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................134
TÓPICO 2 – MÉTODO DAS SEÇÕES OU DE RITTER ................................................................137
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................137
2 MÉTODO DE RITTER OU MÉTODO DAS SEÇÕES ................................................................137
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................141
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................142
TÓPICO 3 – TRELIÇAS ESPACIAIS .................................................................................................145
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................145
2 TRELIÇA ESPACIAL .........................................................................................................................145
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................150
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................151
TÓPICO 4 – PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS (PTV) ................................................153
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................153
2 PTV ........................................................................................................................................................153
3 PRINCÍPIO DOS DESLOCAMENTOS VIRTUAIS ....................................................................155
4 PRINCÍPIO DAS FORÇAS VIRTUAIS .........................................................................................158
5 MÉTODO DA CARGA UNITÁRIA ...............................................................................................160
RESUMO DO TÓPICO 4......................................................................................................................173
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................174
IX
TÓPICO 5 – LINHAS DE INFLUÊNCIA (LI) ...................................................................................175
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................175
2 LINHAS DE INFLUÊNCIA EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS ...........................175
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................181
RESUMO DO TÓPICO 5......................................................................................................................186
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................187
REFERÊNCIAS .......................................................................................................................................189
X
1
UNIDADE 1
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• relembrar conceitos necessários para o embasamento da estática das 
construções;
• apresentar e explicar as estruturas que serão focadas durante o curso;
• explicar a importância da disciplina para a área da construção civil;
• explicar conceitos sobre a estática das construções
Esta unidade de estudo está dividida em três tópicos. No decorrer da 
unidade, você encontrará autoatividades, estas que reforçarão o conteúdo 
apresentado. 
TÓPICO 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
TÓPICO 2 – ISOSTATICIDADE EM TRELIÇAS E DETERMINAÇÃO DAS 
REAÇÕES DE APOIO EM ESTRUTURAS
TÓPICO 3 – ESTRUTURAS ESPACIAIS, ESFORÇOS SOLICITANTES E 
TEOREMA FUNDAMENTAL
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
1 INTRODUÇÃO
Uma estrutura pode ser dimensionada para estar em um sistema em 
equilíbrio ou em movimento. O dimensionamento de uma estrutura leva em 
consideração sua utilização, como edifícios, pontes, pórticos, estruturas que 
são dimensionadas para haver equilíbrio. Eixos de motores são exemplos de 
estruturas que são dimensionadas para movimento.
Nesta unidade, será abordado o dimensionamento de estruturas em 
equilíbrio estático, este voltado para o caso das construções e focando nos 
elementos estruturais: vigas, pórticos planos e treliças.
2 NOÇÕES FUNDAMENTAIS
O primeiro conceito a serabordado é o conceito de força, que pode ser 
definido como uma ação mecânica de um corpo sobre um ponto material. A ação 
pode ser representada por um vetor (força interativa) que é aplicado no ponto 
(LINDENBERG NETO, 1996). Matematicamente, a força interativa é apresentada 
por um par constituído por um vetor e por um ponto: uma força W é aplicada no 
ponto Y (Y, W), por exemplo.
Segundo Lindenberg Neto (1996), é de suma importância compreender 
que, quando falamos de uma força interativa, estamos referenciando um vetor 
aplicado e não um vetor livre. Uma força interativa pode ter sua linha de ação 
no plano horizontal ou no plano vertical, comumentemente chamadas de forças 
verticais e forças horizontais. A linha de ação de uma força W aplicada em um 
ponto Y é a reta que passa pelo ponto Y e é paralela a W.
UNIDADE 1 | ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES
4
FIGURA 1 – LINHA DE AÇÃO DA FORÇA W APLICADA EM Y
FONTE: Adaptado de Lindenberg Neto (1996, p. 2)
Devemos levar em consideração o ponto de aplicação da força, pois uma força 
aplicada em pontos diferentes de um mesmo sólido produzirá efeitos diferentes. Podemos 
verificar, a seguir, que a força aplicada no ponto A acarretará ao sólido um movimento 
de rotação no sentido horário. Entretanto, quando a mesma força é aplicada no ponto B, 
ocorrerá o movimento de rotação do sólido no sentido anti-horário. Por fim, aplicando 
uma força no ponto C, não provocará nenhum movimento no sólido.
IMPORTANT
E
FIGURA 2 – DIFERENTES PONTOS DE APLICAÇÃO DE UMA FORÇA EM UMA MESMA BARRA
FONTE: Adaptado de Lindenberg Neto (1996, p. 1)
Podemos dizer que o momento de uma força em relação a um ponto 
tem a dimensão do produto por uma determinada distância perpendicular 
(LINDENBERG NETO, 1996).
TÓPICO 1 | CONCEITOS FUNDAMENTAIS
5
FIGURA 3 – FORÇA W APLICADA EM UM PONTO A UMA DISTÂNCIA D DA ORIGEM O, 
GERANDO UM MOMENTO
FONTE: Adaptado de Lindenberg Neto (1996, p. 2)
Assim:
MO WP x d=
 
Em que:
WP: é a força aplicada no ponto P.
d: é a distância da Origem até o ponto P.
A distância d normalmente recebe o nome de braço de alavanca. O momento 
é medido por unidade de força e uma distância (KNm, Nm, Kgfcm etc.). O sinal do 
momento pode ser determinado pela regra da mão direita (também chamada de 
regra do saca-rolha) ou por determinação de sentidos anti-horário e horário.
 
A regra da mão direita é a seguinte: posicionar os dedos da mão direita 
indicada pela força e o polegar indicará a direção procurada. Polegar entrando no 
papel: a rotação será no sentido horário. Polegar saindo da folha: a rotação será 
no sentido anti-horário.
Saber tais conceitos sobre força e momento é de suma importância para 
cálculos estruturais, pois os elementos sofrem ações das grandezas. Para calcularmos os 
esforços gerados em um elemento estrutural, devemos atribuir apoio ou apoios a uma 
determinada estrutura que será estudada.
IMPORTANT
E
UNIDADE 1 | ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES
6
Para falarmos sobre estruturas isostáticas na construção civil, devemos 
conhecer os tipos de apoio utilizados para o dimensionamento de elementos 
estruturais estáticos. Segundo Sussekind (1981), os apoios fazem restrição de 
movimentos em um determinado ponto, gerando forças de reações.
 
O primeiro apoio a ser abordado será o apoio simples ou articulação 
móvel. Este é representado, normalmente, por símbolos.
FIGURA 4 – REPRESENTAÇÕES DE APOIO SIMPLES
FONTE: Lindenberg Neto (1996, p. 26)
O apoio restringe o movimento na direção da reta normal de vinculação. 
Ainda, permite movimentos paralelos na direção da reta normal da vinculação e 
movimento de rotação do sólido em torno do ponto vinculado.
FIGURA 5 – EXEMPLO DE RESTRIÇÃO DE MOVIMENTO DE APOIO SIMPLES
FONTE: Adaptado de Lindenberg Neto (1996, p. 27)
A força gerada pela restrição do movimento do apoio é chamada de 
força de reação do apoio. É uma força com a direção conhecida, porém devemos 
determinar o sentido e a intensidade em cada caso. A seguir, ilustramos a força 
de reação de um apoio móvel com o movimento impedido na direção vertical.
FIGURA 6 – REAÇÕES DO APOIO SIMPLES DO EXEMPLO SUPRACITADO
FONTE: Adaptado de Lindenberg Neto (1996, p. 27)
TÓPICO 1 | CONCEITOS FUNDAMENTAIS
7
O segundo apoio a ser abordado é o apoio fixo. É representado, 
normalmente, por símbolos. Vejamos!
FIGURA 7 – REPRESENTAÇÕES DE APOIO FIXO
FONTE: Adaptado de Lindenberg Neto (1996, p. 27)
O apoio restringe o movimento na direção da reta normal de vinculação e 
permite movimentos de rotação do sólido em torno do ponto vinculado.
FIGURA 8 – EXEMPLO DE RESTRIÇÃO DE MOVIMENTO DO APOIO FIXO
FONTE: Adaptado de Lindenberg Neto (1996, p. 28)
A força gerada pela restrição de movimento de apoio é chamada de força de 
reação de apoio. É uma força com a direção conhecida, porém devemos determinar 
o sentido e a intensidade em cada caso. A seguir, ilustramos as forças de reações de 
um apoio fixo com o movimento impedido nas direções horizontal e vertical.
FIGURA 9 – REAÇÕES DE APOIO SIMPLES DO EXEMPLO SUPRACITADO
FONTE: Adaptado de Lindenberg Neto (1996, p. 28)
UNIDADE 1 | ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES
8
O terceiro apoio a ser comentado é o apoio engastado, e este gerará três 
reações nas direções X, Y e Z. O apoio engastado normalmente é representado 
como veremos a seguir.
FIGURA 10 – REPRESENTAÇÕES DE APOIO ENGASTADO
FONTE: O autor
Determinado tipo de apoio restringe o movimento da peça nas direções 
vertical, horizontal e de rotação.
FIGURA 11 – EXEMPLO DE RESTRIÇÃO DE MOVIMENTO DO APOIO ENGASTADO
FONTE: Adaptado de Lindenberg Neto (1996, p. 29)
Após a rápida abordagem de alguns conceitos necessários para o 
entendimento da matéria, iremos abordar alguns tópicos de grande importância 
para base.
TÓPICO 1 | CONCEITOS FUNDAMENTAIS
9
3 TIPOS DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS
Falaremos da estrutura de uma edificação focando nos elementos 
estruturais mais importantes e comuns nas edificações de concreto armado. 
Uma estrutura é formada por elementos estruturais. Esses elementos têm 
como objetivos receber e transmitir os efeitos das ações sofridas na estrutura, 
acarretando deformações. Os tipos de elementos estruturais mais utilizados 
são as barras, folhas e os blocos. São caracterizados segundo a sua geometria, 
comparando a ordem de grandeza das três dimensões principais do elemento.
As barras têm como principais características dimensões da seção 
transversal com mesma ordem de grandeza e comprimento maior, diferente 
ordem de grandeza em relação à seção transversal e seu eixo é uma linha reta ou 
uma curva aberta. As barras originam sistemas estruturais como vigas, pórticos, 
treliças, pilares etc. e são encontradas na classe dos elementos estruturais lineares.
Pilares são elementos estruturais verticais e, normalmente, tais estruturas 
estão submetidas a esforços de momentos fletores nas duas direções e por esforço 
normal para a compressão. Podem ser vistos, a seguir, exemplos de pilares pré-
fabricados para a construção de um barracão.
FIGURA 12 – PILARES PRÉ-FABRICADOS DE UM BARRACÃO
FONTE: O autor
As vigas são elementos estruturais horizontais e, normalmente, estão 
sujeitas a esforços verticais recebidos da laje. Transmitem esses esforços para 
os pilares ou, então, a uma carga concentrada. Na figura a seguir é mostrada a 
concretagem de vigas baldrames de uma edificação.
UNIDADE 1 | ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES
10
FIGURA 13 – VIGAS BALDRAMES
FONTE: O autor
Os pórticos são elementos estruturais compostos por elementos 
horizontais (vigas) e por elementos verticais (pilares). A diferença é que, quando 
é considerada um pórtico, essa estrutura não é dividida entre pilar e viga, e esses 
elementos se comportam como um só elemento. Podemos verificar, a seguir, que 
os pilares e as vigas são entrelaçados formando uma única estrutura e, assim, a 
estrutura trabalhará toda como uma e não cada elemento individualmente. 
FIGURA 14 – ESTRUTURA PARA PÓRTICO DE CONCRETO
FONTE: <https://www.bibliocad.com/pt/biblioteca/portico-de-concreto_7818/>.Acesso em: 29 abr. 2019.
As treliças são estruturas compostas por cinco ou mais unidades 
triangulares construídas com elementos retos, os quais são interligados por suas 
extremidades em pontos conhecidos como nós. 
TÓPICO 1 | CONCEITOS FUNDAMENTAIS
11
FIGURA 15 – TRELIÇAS METÁLICAS DE UM BARRACÃO
FONTE: <http://www.ebanataw.com.br/trelica/trelica.htm>. Acesso em: 29 abr. 2019
As folhas ou estruturas de superfície apresentam grandes superfícies em 
relação à espessura. Determinado elemento estrutural origina tipos de estruturas 
como lajes, placas etc. As folhas encontram-se na classe dos elementos estruturais 
bidimensionais. As lajes são elementos estruturais que, geralmente, transmitem 
os esforços para as vigas que as sustentam, transmitindo para os pilares. A seguir, 
pode ser vista uma laje de madeira suportada por vigas que distribuem a carga 
para os pilares.
FIGURA 16 – LAJE DE MADEIRA
FONTE: <https://www.novesengenharia.com.br/tipos-de-lajes-lajes-de-madeira/>. 
Acesso em: 29 abr. 2019.
Os blocos possuem três dimensões com mesma ordem de grandeza, e os 
blocos de fundação são exemplos de sistemas estruturais formados pelo elemento 
estrutural bloco. Os blocos encontram-se na classe dos elementos estruturais 
tridimensionais. Um exemplo está ilustrado a seguir, em que encontramos 
um bloco de fundação produzido com mais de 1000 m³ de concreto para uma 
edificação com mais de 40 andares.
UNIDADE 1 | ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES
12
FIGURA 17 – BLOCO DE FUNDAÇÃO
FONTE: O autor
A seguir, são ilustrados esses elementos estruturais supracitados. As 
figuras a) e b) representam os elementos estruturais lineares, c) representa os 
bidimensionais e d) os tridimensionais.
FIGURA 18 – ELEMENTOS ESTRUTURAIS POR SUA GEOMETRIA
FONTE: Bastos (2014, p. 67)
ℓ3
ℓ3
ℓ2
ℓ2
ℓ2
ℓ3
ℓ1
ℓ1 ℓ1
ℓ1
ℓ2
bw = ℓ3
h = ℓ3
h
TÓPICO 1 | CONCEITOS FUNDAMENTAIS
13
4 RELAÇÕES FUNDAMENTAIS DA ESTÁTICA
Para que uma estrutura seja considerada isostática, o número de equações 
de equilíbrio da estática deve ser igual ao número de incógnitas (reações dos 
apoios). Os exemplos a seguir mostram como verificar se uma estrutura pode ser 
considerada isostática.
EXEMPLO 1
FIGURA 19 – VIGA BIAPOIADA
FONTE: Adaptado de Lindenberg Neto (1996, p. 33)
Verificamos que há três reações dos apoios (RAH; RAV; RBV). Essas três 
reações serão determinadas através das três equações fundamentais da estática 
para uma estrutura plana:
0FH =∑
0FV =∑
0MO =∑
Podemos observar que a relação fundamental de uma estrutura isostática 
é satisfeita, pois temos o mesmo número de incógnitas (reações de apoio) e o 
mesmo número de equações fundamentais de equilíbrio da estática.
EXEMPLO 2
FIGURA 20 – VIGA ENGASTADA
FONTE: O autor
UNIDADE 1 | ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES
14
Como sabemos, o apoio A é um apoio engastado, o qual não permite 
movimentos nas três direções X, Y e Z. Assim, gerará três reações no apoio A (Rax, Ray e 
Ma), como ilustrado a seguir.
IMPORTANT
E
FIGURA 21 – REAÇÕES DE APOIO
FONTE: O autor
Como no Exemplo 1, temos uma estrutura plana linear. Para encontrarmos 
as incógnitas, serão utilizadas as mesmas três equações de equilíbrio do Exemplo 1.
0FH =∑
0FV =∑
0MO =∑
Portanto, há uma equivalência nas equações a serem utilizadas com o 
número de incógnitas a ser determinado. Assim, conclui-se que a estrutura do 
Exemplo 2 é uma estrutura isostática.
EXEMPLO 3
FIGURA 22 – EXEMPLO
FONTE: O autor
20.0 kN
10
.0
 k
N
TÓPICO 1 | CONCEITOS FUNDAMENTAIS
15
Sabemos que o apoio A é um apoio móvel que está impedindo o movimento 
na horizontal e o apoio B é um apoio fixo que impede o movimento na horizontal 
e na vertical. Assim, temos uma reação na horizontal para o apoio A, que será 
denominada de Rax, e duas reações no apoio B, que serão denominadas de Rbx e 
Rby. Essas reações são ilustradas no sistema a seguir.
FIGURA 23 – REAÇÕES DE APOIO
FONTE: O autor
Verificamos que há três reações de apoio (Rax, Rbx e Rby) e, para determiná-
las, serão utilizadas as mesmas três equações de equilíbrio dos Exemplos 1 e 2. 
Portanto, infere-se que a estrutura do Exemplo 3 é isostática, pois o número de 
equações é igual ao número de reações dos apoios a serem determinados.
A seguir, devemos exercitar a teoria para que, mais à frente, o conceito 
esteja consolidado, podendo você, acadêmico, resolver problemas mais complexos 
com os demais conceitos que serão abordados nos itens seguintes.
20.0 kN
10
.0
 k
N
16
Neste tópico, você aprendeu que:
• O grau de estaticidade de uma estrutura é determinado pela análise dos apoios 
da estrutura, além do número de equações que são utilizadas para determinação 
das reações de apoio.
• Para a estrutura ser considerada isostática, o número de reações de apoio 
(incógnitas a serem determinadas) deve ser igual ao número de equações de 
estática.
• Se o número de reações de apoio for maior que o número de equações de 
estática, a estrutura é hiperestática e, se for menor, é considerada hipostática.
RESUMO DO TÓPICO 1
17
1 Determinar se as estruturas a seguir são isostáticas.
a)
b)
c)
d)
AUTOATIVIDADE
18
e)
f)
g)
h)
10.00 kN/m
10.00 kN/m
10.00 kN/m
10.00 kN/m
19
TÓPICO 2
ISOSTATICIDADE EM TRELIÇAS E DETERMINAÇÃO DAS 
REAÇÕES DE APOIO EM ESTRUTURAS
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Neste tópico, será demonstrado o método de como calcular as reações de 
apoio dos elementos estruturais. Além disso, será abordada a estrutura treliça e 
demonstrado o cálculo da sua isostaticidade.
2 CONCEITOS
Estruturas reticulares são estruturas geralmente formadas por barras de 
eixo reto, ligadas por rótulas ou articulações. Exemplos de estruturas reticulares 
são as treliças e as grelhas. Quando estas são submetidas a cargas aplicadas nos 
nós apenas, as barras são submetidas a esforços axiais.
 
Soriano (2005) classifica as estruturas em barras de acordo com dois 
critérios: quanto aos esforços seccionais desenvolvidos nas barras e quanto ao 
equilíbrio estático das estruturas. De acordo com o primeiro critério, as estruturas 
reticuladas podem ser classificadas como treliças plana e espacial, pórticos plano 
e espacial, grelha e estruturas com escoras, tirantes ou cabos. O caso mais geral de 
estruturas reticuladas é o pórtico espacial pois, a cada ponto nodal, estão associados 
seis deslocamentos e seis esforços nodais, totalizando doze deslocamentos e doze 
esforços nodais por barra.
Segundo Valle et al. (2013), para obtermos o equilíbrio de uma treliça 
isostática, devemos respeitar duas condições: (1) Equilíbrio estável (Nós 
indeslocáveis); (2) Número de incógnitas (W) igual ao número de equações 
de equilíbrio da estática (E). O número de incógnitas é dado pelo número de 
reações (R) somado com o número de barras (B). Já o número de equações de 
equilíbrio é o resultado do número de nós (Z) multiplicado por 2 (esse valor 
é multiplicado devido à existência de uma equação no eixo e x e outra no y. 
Assim, deve-se ter W = E. O esquema a seguir representa uma treliça plana com 
as representações das rótulas e a formação de uma treliça isostática. 
UNIDADE 1 | ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES
20
FIGURA 24 – TRELIÇA ISOSTÁTICA
FONTE: Valle et al. (2013, p. 29)
Para a 2ª relação ser satisfeita,
W = E
Em que W é a soma das reações presentes no sistema com o número total 
de barras:
W = RAH + RBV + RAV + número de barras
W = 3 + 11 = 14
E é o total de rótulas ou nós multiplicado por dois.
E = 2 x número de nós
E = 14
Assim, W = E e, consequentemente, temos uma estrutura isostática.
3 EQUILÍBRIO ESTÁTICO
Como já fora supracitado, para obter uma estrutura isostática deve-se 
ter o número de incógnitas a ser determinado igual ao número de equações de 
equilíbrio que será utilizado para determinação das incógnitas. Para se obter 
uma estrutura em equilíbrio isostático, deve-se ter feito o cálculo das equações 
de equilíbrio:
0FH =∑
0FV =∑
0MO =∑
TÓPICO 2 | ISOSTATICIDADE EM TRELIÇAS E DETERMINAÇÃO DAS REAÇÕES DE APOIO EM ESTRUTURAS
21
As equaçõesgarantem que o sistema não esteja em movimento, 
equilibrando-o. A primeira equação garante que o somatório das forças horizontais 
seja zero, garantindo que a estrutura não esteja em movimento horizontal. Já a 
Equação 2 verifica o somatório das forças verticais da estrutura. Caso a condição 
seja satisfeita, ela garante que o sistema não estará em movimento vertical. Por 
fim, tem-se a terceira equação, esta que busca verificar os momentos que são 
aplicados na estrutura e, caso a condição seja satisfeita, garante que o sistema não 
esteja em movimento de rotação.
4 DETERMINAÇÃO DAS REAÇÕES DE APOIO
Para determinarmos as reações de apoio de uma estrutura isostática, 
utilizamos as equações de equilíbrio. Essas equações determinam que a estrutura 
esteja em equilíbrio, portanto, não havendo deslocamento.
EXEMPLO 1
 No caso a seguir, tem-se um exemplo de um caso em que o sistema será 
satisfeito por essas condições, garantindo que o sistema fique em equilíbrio 
isostático. Assim, devemos calcular/encontrar as reações dos apoios. 
FIGURA 25 – ESQUEMA ESTRUTURAL DA VIGA ISOSTÁTICA BIAPOIADA
FONTE: O autor
Primeiramente, devemos calcular se a estrutura é uma estrutura isostática. 
Como já explicado anteriormente, pode ser verificada seguindo a especificação de que o 
número de incógnitas deve ser igual ao número de equações da estática. Assim, temos:
IMPORTANT
E
1,5 m 4,5 m
25 KN
UNIDADE 1 | ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES
22
Número de equações = 3
0FH =∑
0FV =∑
0MO =∑
Número de incógnitas a ser calculado pelas equações:
RAV, RBV, RBH ------------- 3 incógnitas
Assim, temos um sistema isostático. Agora, vamos garantir que o sistema 
esteja em equilíbrio. Verificando pela primeira equação:
Como não temos nenhuma força atuando no eixo x, a força de reação do 
apoio B no eixo x deve ser 0, RBH = 0. Segunda equação:
Verificamos que há três componentes verticais de força, RAV, RBV e 25KN. 
Assim:
RAV + RBV – 25 = 0
Como temos duas incógnitas para uma equação, vamos utilizar a última 
equação de equilíbrio. É preciso tentar descobrir, pelo menos, uma das incógnitas 
e, assim, determinar os valores. Portanto, aplicamos o ponto de origem em B e a 
equação de equilíbrio do momento fletor em relação ao ponto de origem B.
Com a origem em B, temos duas forças aplicando o momento em relação 
ao ponto: a RAV e 25 KN. A força RBV está aplicada sobre o ponto de origem B 
e, assim, não exerce momento na estrutura a partir do ponto B. A força 25 KN 
gera um momento positivo em relação ao ponto B, já que gera um momento no 
sentido anti-horário. A força RAV gera um momento negativo no sentido horário 
em relação ao ponto B. Assim:
0FH =∑
0FV =∑
0MB =∑
TÓPICO 2 | ISOSTATICIDADE EM TRELIÇAS E DETERMINAÇÃO DAS REAÇÕES DE APOIO EM ESTRUTURAS
23
RAV = 18,75 KN
Após encontrarmos a força de reação em A (RAV), podemos determinar as 
demais forças do sistema:
RAV + RBV – 25 = 0
RAV + RBV = 25
RBV + 18,75 = 25
RBV = 6,25 KN
Determinadas as incógnitas do sistema, garantimos que o sistema esteja 
em equilíbrio, já que as três equações do sistema em equilíbrio isostático foram 
satisfeitas. Assim, há o seguinte resultado:
6 25 4,5 0
25 4,5 6
25 4,5
6
RAVx x
x RAVx
xRAV
− + =
=
=
FIGURA 26 – REAÇÕES DE APOIO DA VIGA ISOSTÁTICA BIAPOIADA
FONTE: O autor
EXEMPLO 2
É preciso calcular as reações de apoio de uma viga com uma carga 
uniforme de 20KN/m distribuída ao longo da estrutura.
FIGURA 27 – EXEMPLO
FONTE: O autor
UNIDADE 1 | ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES
24
Verificamos que o apoio A é um apoio fixo, ou seja, há duas forças de 
reação no ponto. Já no ponto B temos um apoio móvel, o que significa apenas 
uma força de reação. O apoio B está travado na direção vertical. Assim, temos:
FIGURA 28 – ESQUEMA ESTRUTURAL
Primeiramente, devemos calcular se a estrutura é uma estrutura isostática. 
Assim:
Número de equações = 3
FONTE: O autor
0FH =∑
0FV =∑
0MO =∑
Número de incógnitas a ser calculado pelas equações:
RAx, RAy, RBy ------------- 3 incógnitas
Assim, afirmamos que é uma estrutura isostática, e o próximo passo é 
determinar as reações dos apoios A e B. Então, são aplicadas as equações de 
equilíbrio da estática:
0FH =∑
0FV =∑
0MO =∑
Sabemos que não há forças externas aplicadas na direção da força da 
reação Rax. Portanto, o valor é igual a 0, Rax = 0. Para que possamos encontrar a 
reação Rby, aplicamos o somatório dos momentos em relação ao ponto A. 
TÓPICO 2 | ISOSTATICIDADE EM TRELIÇAS E DETERMINAÇÃO DAS REAÇÕES DE APOIO EM ESTRUTURAS
25
0
20.3,25.3,25.3,25 0
2
105,625
3,25
MA
Rby
Rby
=
− =
=
∑
Rby = 32,5 KN
A força aplicada pela carga uniforme distribuída é aplicada na metade 
da distância da aplicação da força, porém em toda a viga. Assim, temos o 
valor da carga multiplicado pelo comprimento de aplicação da carga e o ponto 
de aplicação da carga (metade da distância da aplicação da carga). Após a 
determinação da reação de apoio B (Rby), podemos encontrar a reação de apoio 
A (Ray) através da equação:
0FV =∑
Rby + Ray – 20 . 3,25 = 0
Ray = 32,5 KN
Como as reações foram encontradas com o sinal positivo, adotamos o 
sentido inicial que foi considerado. 
O sistema final é apresentado da seguinte forma.
FIGURA 29 – REAÇÕES DE APOIO DA VIGA
FONTE: O autor
EXEMPLO 3
É preciso determinar as reações dos apoios A e B no pórtico.
UNIDADE 1 | ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES
26
FIGURA 30 – EXEMPLO DE PÓRTICO
FONTE: O autor
O primeiro passo é determinar se a estrutura é isostática. Sabemos que, para 
uma estrutura plana ser considerada isostática, o número de equações a ser utilizado deve 
ser igual ao número de incógnitas ou reações a ser determinado.
IMPORTANT
E
0FH =∑
0FV =∑
0MO =∑
Serão utilizadas três equações de equilíbrio para determinação das reações 
dos apoios A e B. Como o apoio A é um apoio fixo, este gera duas reações de 
apoio (Ray e Rax), já o apoio B é um apoio móvel que acarreta uma força de reação 
(Rby), pois está travado na direção vertical. Como o número de incógnitas é igual 
ao número de equações de equilíbrio a ser utilizado, a estrutura é considerada 
isostática. O sistema com as reações dos apoios e as forças externas aplicadas é 
apresentado a seguir.
TÓPICO 2 | ISOSTATICIDADE EM TRELIÇAS E DETERMINAÇÃO DAS REAÇÕES DE APOIO EM ESTRUTURAS
27
FIGURA 31 – ESQUEMA ESTRUTURAL
FONTE: O autor
O próximo passo é aplicar as equações de equilíbrio para encontrar os 
valores das reações de apoio. Começaremos aplicando a equação de equilíbrio 
para as forças em relação ao eixo X.
0FH =∑
Rax + 20 = 0
Rax = –20 KN
 Como o resultado da força de reação Rax foi negativo, deverá ser feita a 
inversão no sentido da força, indicando ser no sentido oposto ao da força externa 
aplicada na estrutura e no sentido oposto ao adotado no sistema inicial.
Para encontrarmos a força de reação no apoio B (Rby), verificamos as 
forças que geram momento fletor em relação ao ponto A.
0MA =∑
Rby . 1,95 – 20 . 1,81 = 0
Rby = 18,56 KN
Para encontrar a reação do apoio A, é preciso aplicar a equação de 
equilíbrio das forças verticais.
UNIDADE 1 | ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES
28
0FV =∑
Ray + Rby – 30 = 0
Ray = 11,44 KN
Com a determinação de todas as reações de apoio, apresenta-se o esquema 
do sistema da estrutura final.
FIGURA 32 – REAÇÕES DE APOIO
FONTE: O autor
29
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
• As reações de apoio (incógnitas) são determinadas a partir das equações de 
equilíbrio da estática.
• A maneira de calcular a isostaticidade de uma treliça é diferente da maneira 
que é calculada a isostaticidade de vigas e pórticos.
• As reações de apoio são dependentes das cargas externas aplicadas na estrutura.
30
1 Calcule as reações de apoio das estruturas a seguir:
a)
b)
c)
d)
e)
AUTOATIVIDADE
25.00 kN/m
25.00 kN/m
30
.0
 k
N
30.0 kN/m
60
.0
 k
N
20.0 kN
1.95 m
1.95 m
1.95 m
1.95 m
1.95 m
1.02 m
1.09 m
31
TÓPICO 3
ESTRUTURAS ESPACIAIS, ESFORÇOS SOLICITANTES E 
TEOREMA FUNDAMENTAL
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃONeste tópico, serão abordados os conceitos de isostaticidade em 
algumas estruturas espaciais e os conceitos e cálculos dos esforços solicitantes 
em estruturas planas.
2 CONCEITOS
Conforme Lindenberg Neto (1996), uma estrutura pode ser chamada de 
estrutura espacial quando os eixos das diversas barras não estão contidos em 
um mesmo plano. Quando uma estrutura é considerada espacial, englobará três 
dimensões. Suas condições isostáticas são muito parecidas com as condições 
das estruturas planas, porém com uma equação de equilíbrio a mais. A seguir, é 
ilustrada uma estrutura espacial.
FIGURA 33 – ESTRUTURA ESPACIAL
FONTE: Valle et al. (2013, p. 22)
RCY
RCX
RCZ
RBX
RBY
B
RAY
RAZ
RAX
D
2tf
4tf
A
C
RBZ
32
Verificamos que existem três apoios fixos com três reações cada (Rax; Ray; 
Raz; Rbx; Rby; Rbz; Rcx; Rcy; Rcz), três cabos e quatro nós. A isoestaticidade é 
determinada pelo número de apoios fixos multiplicado pelo número de incógnitas 
a ser determinado e somado pelo número de cabos ou barras. O resultado deve ser 
igual ao número de nós multiplicado pelo número ocupado dimensionalmente 
pela estrutura. Assim, verifica-se que:
W = 3 x 3 + 3 = 12
E = 3 x 4 = 12
Como W = E, então a condição isostática é satisfeita. Para um pórtico 
espacial engastado, a condição é mostrada a seguir.
FIGURA 34 – PÓRTICO ESPACIAL
FONTE: Valle et al. (2013, p. 23)
A condição de isoestaticidade é calculada pela quantidade de incógnitas a ser 
determinada, devendo ser a mesma quantidade de equações de equilíbrio. Assim:
0Fx =∑
0Fy =∑
0Fz =∑
0Mx =∑
0My =∑
0Mz =∑
5.00m
4.00m
3.00m
Y
X
Z
4tf
1tf
2tf
Ray
May
Rax Max
Raz
Maz
33
O número de equações de equilíbrio e a quantidade de incógnitas (forças/
momentos de reação) geradas pelo apoio (Rax; Ray; Raz; Max; May; Mas) são 
seis. Assim, verifica-se que a condição de isoestaticidade da estrutura é satisfeita.
3 ESFORÇOS SOLICITANTES
Para caracterizar o estado de tensão dos pontos de uma estrutura constituída 
por barras, é preciso determinar as tensões que atuam nos três planos perpendiculares 
entre si, dois a dois. Para o caso de barras, um dos planos sempre será o plano da 
seção transversal. Portanto, a determinação das tensões nas seções transversais das 
barras é um dos temas que será estudado (LINDENBERG NETO, 1996).
Segundo Lindenberg Neto (1996), para obter as tensões que atuam em 
uma seção transversal da barra, é preciso supor que haja um corte separando 
as seções transversais e determinar as forças distribuídas que atuam na seção 
cortada e que equilibram cada uma das partes da barra. Contudo, a obtenção 
direta das tensões não é simples e a resistência dos materiais realiza o cálculo de 
maneira indireta por intermédio dos esforços solicitantes.
 
Os esforços solicitantes são aqueles obtidos pela redução das tensões no 
centro de gravidade (G) de uma seção transversal. A redução das tensões em G 
consiste em aplicar, no ponto, dois esforços; (1) , que é a resultante das tensões; 
(2) , o momento que as tensões têm em relação a G.
Pela Lei da Ação e Reação, a ação que uma parte da seção exerce sobre a 
outra é representada pelas tensões, que são as forças distribuídas nos pontos da 
seção transversal, não sendo estas representadas pelos esforços solicitantes, que 
são os esforços concentrados (LINDENBERG NETO, 1996).
Podemos dizer que os esforços solicitantes decorrem das tensões. Eles 
representam a ação que uma parte da barra exerce sobre a outra. Esses esforços 
pontuais acarretam uma força e um momento mecanicamente equivalentes ao 
sistema que foi reduzido.
Sabendo que o sistema está em equilíbrio, tanto na parte 1 quanto na parte 
2, os esforços externos aplicados e os esforços solicitantes para cada parte também 
se encontram em equilíbrio. Assim, verificamos que os esforços solicitantes são 
muito atraentes e úteis, pois são fáceis para determinação. Uma vez conhecidos 
os esforços externos e entendendo que o sistema se encontra em equilíbrio, a 
determinação dos esforços solicitantes pode ser dada através da utilização das 
equações de equilíbrio (LINDENBERG NETO, 1996).
 
Conforme será mostrado a seguir, as tensões nos pontos de uma viga 
são diretamente proporcionais aos esforços solicitantes que atuam nas seções 
transversais. As maiores tensões se apresentam com os maiores esforços 
solicitantes (LINDENBERG NETO, 1996).
R

M

34
Segundo Lindenberg Neto (1996), a seção mais perigosa de uma 
estrutura formada por barras é, portanto, a seção na qual há a combinação mais 
desfavorável de esforços solicitantes, havendo as maiores tensões na estrutura. 
Em uma estrutura formada por barras, determina-se a seção crítica por meio dos 
diagramas de esforços solicitantes.
 
Para compreender o que são os diagramas de esforços solicitantes, será 
utilizada uma viga para exemplificá-los. O sistema constituído pela viga é plano 
e são consideradas planas as estruturas constituídas por barras cujos eixos se 
situam em um plano.
EXEMPLO 1
FIGURA 35 – EXEMPLO
FONTE: O autor
O primeiro passo é determinar as incógnitas da estrutura, que são as reações 
de apoio. Como a estrutura é plana, há três reações de apoio para determinação e 
três equações de equilíbrio, verifica-se que a estrutura é uma estrutura isostática. 
Assim, o sistema tem o seguinte formato:
FIGURA 36 – ESQUEMA ESTRUTURAL
FONTE: O autor
15
.0
 k
N
15
.0
 k
N
3.00 m
8.12 m
3.00 m
8.12 m
35
As reações de apoio serão determinadas com as seguintes equações de 
equilíbrio:
0Fx =∑
0Fy =∑
0MO =∑
Primeiramente, vamos aplicar a equação do momento com o ponto de 
origem em A e, então, determinar a reação de apoio Rcy. Temos:
0
8,12 15 3 0
45
8,12
MA
Rcyx x
Rcy
=
− =
=
∑
Rcy = 5,54 KN
Após a determinação da reação Rcy, determinaremos a reação do apoio A 
no eixo Y (Ray).
0
15 0
5,54 15 0
5,54 15 0
Fy
Ray Rcy
Ray
Ray
=
+ − =
+ − =
+ − =
∑
9,46Ray = KN
Por fim, determinaremos a reação do apoio A no eixo X. Como não temos 
nenhuma força externa no eixo X e apenas uma reação no eixo, a resultante da 
reação é 0 KN.
Com as reações de apoio podemos traçar o diagrama de esforço cortante 
e o momento fletor. Antes de traçar os diagramas, é importante destacar como é 
feita a convenção dos sinais dos esforços solicitantes.
QUADRO 1 – CONVENÇÃO DE SINAIS PARA OS ESFORÇOS SOLICITANTES
Esforço Solicitante Sinal positivo Sinal negativo
Normal Tração Compressão
Cortante Giro do trecho analisado no sentido horário
Giro do trecho analisado no 
sentido anti-horário
Momento fletor Tração das fibras inferiores da barra Tração das fibras superiores da barra
FONTE: Adaptado de Lindenberg Neto (1996)
36
Os sinais dos esforços solicitantes (Normal, Cortante e Momento Fletor) 
são demonstrados a seguir.
FIGURA 37 – CONVENÇÃO DE SINAIS PARA OS ESFORÇOS SOLICITANTES EM UMA VIGA
FONTE: O autor 
Após a colocação, verificamos que, até os três metros, com o ponto de 
referência em A, tem-se o esforço cortante atuante somente na reação do apoio A 
(apoio esquerdo da estrutura, ou seja, o apoio fixo). Após os três metros, tem-se 
o esforço cortante da reação de apoio em A menos o esforço cortante resultante 
da carga aplicada no ponto B. Portanto, o gráfico do esforço cortante é constante 
até os três metros, com esforço gerado pela reação do apoio A. Após os três 
metros também é constante, porém, será o esforço cortante gerado pela reação do 
apoio em A menos a força aplicada no ponto B. O diagrama de esforço cortante é 
mostrado a seguir.
FIGURA 38 – DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE
FONTE: O autor
Podemos, também, traçar o diagrama de momento fletor. Esse diagrama 
pode ser representado pela equação Q = Ray.x para o trecho A até B, em que x vai 
de 0 até 3 metros. Ainda, Q = Rcy.x do trecho C até B, em que x tem o valor de 0 
até 5,12 metros.
9.5
-5.5
TÓPICO 3 | ESTRUTURAS ESPACIAIS, ESFORÇOS SOLICITANTES E TEOREMA FUNDAMENTAL
37
FIGURA 39 – DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR
FONTE: O autor
Após serem traçadosos diagramas, verifica-se que o momento fletor 
máximo está localizado no ponto B, em que está aplicada a força de 15 KN.
4 TEOREMA FUNDAMENTAL
É constituído pela forma mais simples, rápida e segura para determinar 
os esforços solicitantes que atuam em uma seção transversal de uma barra 
(LINDENBERG NETO, 1996).
Vamos exemplificar o teorema através de uma viga poligonal com um 
corte representado pela letra S (seção). Determinaremos os esforços solicitantes 
na seção S reduzindo seu centro de gravidade ou todos os esforços externos 
aplicados à direita e à esquerda do corte.
FIGURA 40 – EXEMPLO
FONTE: Adaptado de Lindenberg Neto (1996, p. 97)
Para determinação dos esforços, iremos relembrar os tópicos que foram 
abordados antes do teorema fundamental. Sabe-se que, como o apoio A é 
um engaste e é uma estrutura plana, temos três incógnitas ( ) para ; ;AH AV AF F M
  
28.4
38
UNIDADE 1 | ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES
FIGURA 41 – RESOLUÇÃO
FONTE: Adaptado de Lindenberg Neto (1996, p. 97) 
Sabemos que, a partir do ponto S, iremos determinar um momento 
fletor, uma reação das forças externas na componente x e uma na componente 
y. Começaremos a determinar o momento fletor, este que irá ser causado pelas 
forças externas na seção S:
0
60 30 170 0
 
Ms
Ms
=
+ − + =
−
∑
200Ms = KN.m
A força de 30 KN aplicada no ponto D causará um momento fletor de 60 
KN.m. Assim, 30KN x 2m. Como a força ocasiona um movimento de rotação no 
sentido anti-horário, o sinal do momento é positivo, resultando em +60KN.m.
A força de 30 KN aplicada no ponto F causará um momento fletor de 
30KN.m, pois 30KN x 1m. Como essa força resulta em um movimento de rotação 
no sentido horário, o sinal do momento é negativo, resultando em -30KN.m.
determinar e três equações do equilíbrio. Assim, como o número de incógnitas 
a ser determinado é igual ao número de equações utilizadas para determinação, 
pode-se afirmar que a estrutura é uma estrutura isostática.
Após verificação da isoestaticidade da estrutura, vamos determinar as 
reações de apoio e os esforços solicitantes na seção feita pelo corte da estrutura. 
Podemos olhar tanto para o lado direito como o lado esquerdo da estrutura. 
Contudo, o lado esquerdo não tem esforços externos aplicados, e sim reações do 
apoio a serem determinadas. Logo, começaremos a analisar a estrutura olhando 
para o lado direito da seção S.
TÓPICO 3 | ESTRUTURAS ESPACIAIS, ESFORÇOS SOLICITANTES E TEOREMA FUNDAMENTAL
39
A força de 85 KN é aplicada no ponto C, resultando em um momento 
fletor de 170 KN.m, já que o momento é calculado por 85KN x 2m. Como a força 
resulta de um movimento de rotação no sentido anti-horário, o sinal do momento 
é positivo: +170KN.m.
O resultado do momento em S representa que o momento que está 
aplicado na seção transversal S tem sentido horário, fazendo com que as fibras 
abaixo do centro de gravidade sejam tracionadas.
O próximo passo é determinar a força que está sendo aplicada nas 
componentes horizontal (X) e vertical (Y) na seção S. Assim:
0Fx =∑
0Fy =∑
As forças aplicadas na componente vertical são as forças de 85KN, força 
positiva, pois está sendo aplicada no sentido positivo do eixo Y (para cima), e 
30Kn, força negativa, pois está sendo aplicada no sentido negativo do eixo Y 
(para baixo). As duas forças aplicadas na componente horizontal são as forças de 
85KN. Assim, temos:
 85 30 0
85 30 0
Fsy
Fsx
+ − =
=−
− + =
=
55
55
Fsy KN
Fsx KN
Com a determinação dos esforços solicitantes na seção S, temos o resultado 
ilustrado a seguir.
FIGURA 42 – REAÇÕES DA SEÇÃO
FONTE: Adaptado de Lindenberg Neto (1996, p. 97) 
40
UNIDADE 1 | ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES
Após a determinação das forças e momentos atuantes na seção S, 
verificamos que, pelo princípio da ação e reação, as forças que atuam no lado 
esquerdo da seção S são as mesmas que atuam na análise da direita, porém com 
direções opostas.
FIGURA 43 – EXEMPLO
FONTE: O autor
Para determinar as reações do apoio A, aplicamos as três equações de 
equilíbrio. Após o cálculo, verificamos que, no caso, as reações do apoio A são os 
mesmos valores das reações da seção S, porém com sentidos opostos. Assim, as 
reações do apoio A apresentam os valores e as orientações são mostradas.
FIGURA 44 – REAÇÕES DE APOIO
Após a determinação das reações de apoio, podemos traçar o diagrama 
dos esforços solicitantes do sistema com a seção S. Os diagramas dos esforços 
solicitantes ficaram da seguinte forma.
FONTE: O autor
55.0 kN
170.0 kNm
55
.0
 k
N
267.7 kNm
55.0 kN
55
.0
 k
N
TÓPICO 3 | ESTRUTURAS ESPACIAIS, ESFORÇOS SOLICITANTES E TEOREMA FUNDAMENTAL
41
FIGURA 45 – DIAGRAMA DE ESFORÇO NORMAL
FONTE: O autor
FIGURA 46 – DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE
FONTE: O autor
-55.0
-55.0
-3
0.
0
-30.0 -30.0
-55.0
0.
1
-55.0
30.0
-55.0
-30.1
-30.0 -30.0
42
UNIDADE 1 | ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES
FIGURA 47 – DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR
EXEMPLO 2
A seguir, um exemplo da viga apoiada com uma carga concentrada. Serão 
traçados os diagramas de esforços solicitantes.
FONTE: O autor
FIGURA 48 – EXEMPLO
FONTE: O autor
O sistema da estrutura fica da seguinte maneira:
146.3
90.1
90.1
201.4
29.7
29
.7
29
.8
29.8
30.130.1
15
.0
 k
N
3.00 m
8.12 m
TÓPICO 3 | ESTRUTURAS ESPACIAIS, ESFORÇOS SOLICITANTES E TEOREMA FUNDAMENTAL
43
FIGURA 49 – ESQUEMA ESTRUTURAL
FONTE: O autor
O primeiro passo é fazer a verificação da isoestaticidade da estrutura.
0Fx =∑
0Fy =∑
0MO =∑
Assim, afirma-se que a estrutura é isostática. Como não há forças externas 
aplicadas no eixo horizontal X, a reação do apoio A (Rax) é igual a 0.
0
.8,12 15.3 0
0
15 0
15 5,54
MA
Rby
Fy
Ray Rby
Ray
=
− =
=
=
+ − =
= −
=
∑
∑
5,54
9,46
Rby KN
Ray KN
Após a determinação das reações de apoio, serão calculados os esforços 
solicitantes. Podemos determinar através do teorema fundamental. Na sequência, 
fazer a divisão da viga com a seção S e optar pela redução na seção do corte 
através dos esforços externos à esquerda ou à direita.
15
.0
 k
N
44
UNIDADE 1 | ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES
FIGURA 50 – APLICAÇÃO DO TEOREMA FUNDAMENTAL
FONTE: O autor
Para o caso, será analisado, primeiramente, o trecho de B até S. Após a 
decisão tomada de qual trecho será estudado, serão determinados os diagramas 
dos esforços solicitantes, sendo o diagrama de momento fletor, esforço cortante 
e esforço normal.
Para o trecho de B até S, as equações do esforço cortante e do momento 
fletor são definidas por:
Esforço cortante para o trecho B até S, sendo que x varia de 0 até 5,12.
Qs = Rby
Qs = –5,54 KN
Momento fletor para o trecho B até S, sendo que x varia de 0 até 5,12.
Ms = Rby.x
Como a equação do momento é linear, será representada por uma reta no 
diagrama.
Para x = 0:
Ms = 0 KN.m
Para x = 5,12:
Ms = 28,36 KN.m
Para o trecho de apoio A até a seção S, x varia de 0 até 3 metros.
Esforço cortante:
Qs = + 9,46 KN
Momento fletor:
15
.0
 k
N
3.00 m
8.12 m
TÓPICO 3 | ESTRUTURAS ESPACIAIS, ESFORÇOS SOLICITANTES E TEOREMA FUNDAMENTAL
45
Ms = Ray.x
Ms = 9,46.x
Para x = 0:
Ms = 0 KN.m
Para x = 3:
Ms = 28,38 KN.m
Como nenhum esforço solicitante é apresentado na horizontal, o esforço 
normal solicitante é igual zero. Portanto, são mostrados os diagramas de esforço cortante 
e momento fletor.
IMPORTANT
E
FIGURA 51 – DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE
FONTE: O autor
FIGURA 52 – DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR
FONTE: O autor
EXEMPLO 3
O próximo exemplo será feito com uma carga distribuída em uma viga 
biapoiada:
9.5
-5.5
28.4
46
UNIDADE 1 | ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES
FIGURA 53 – EXEMPLO
FONTE: O autor
O primeiro passo será determinar as reações dos apoios A e B. Serão 
utilizadas as relações de equilíbrio a seguir:
0Fx =∑
0Fy =∑
0MO =∑
A primeira equação da estática não será aplicada no exemplo porque não 
se tem força externa no eixo X. Assim, a reação do apoio A no eixo X será 0.
0
 50.2.2 .2 0
2
0
50.2 0
100
100 50
MA
Rby
Fy
Ray Rby
Ray Rby
Ray
=−
+ =
=
=
− + =
= −
= −
=
∑
∑
50
50 
Rby KN
Ray KN
Após a determinação das reações de apoio, utiliza-se o teorema 
fundamental da estática, fazendo o corte ou a seção para determinar os esforços 
solicitantes na seção transversal da viga.
50.00 kN/m
2.00 m
TÓPICO 3 | ESTRUTURAS ESPACIAIS, ESFORÇOS SOLICITANTES E TEOREMA FUNDAMENTAL
47
FIGURA 54 – APLICAÇÃO DO TEOREMA FUNDAMENTAL
FONTE: O autor
A seção S foi determinada a partir do apoio A. Assim, para o trecho A até S:
FIGURA 55 – ANÁLISE DA SEÇÃO DO APOIO A ATÉ A SEÇÃO S
FONTE: O autor
Assim, são apresentadas as equações dos esforços cortante e momento 
fletor para o trecho. A incógnita x varia seu valor de 0 até 2:
Q = –50.x + 5
Quando x = 0:
Q0 = 50 KN
Quando x = 1:
Q1 = 50 KN
Quando x =2:
Q2 = –50 KN
Após a determinação dos esforços cortantes em 0, 1 e 2, traça-se o diagrama 
de esforço cortante.
50.00 kN/m 50.00 kN/m
50.00 kN/m
2.00 m
48
UNIDADE 1 | ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES
FIGURA 56 – DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE
FONTE: O autor
Para o momento fletor, para desenhar o diagrama, é utilizada uma equação 
de segundo grau. Assim, o diagrama apresentado será uma parábola. 
2
50. 50.
2
xMs x= − +
Quando x=0:
Ms = 0 KN.m
Quando x=1
Ms = + 25 KN.m
Quando x=2
Ms = 0 KN.m
Após a determinação do momento fletor em 0, 1 e 2, traça-se o diagrama 
de momento fletor.
FIGURA 57 – DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR
FONTE: O autor
49.9
0.2
-49.9
2.00 m
2.00 m
24.9
TÓPICO 3 | ESTRUTURAS ESPACIAIS, ESFORÇOS SOLICITANTES E TEOREMA FUNDAMENTAL
49
LEITURA COMPLEMENTAR
DIAGRAMAS DE FORÇA CORTANTE (CISALHAMENTO) 
E MOMENTO FLETOR
Elementos estreitos que suportam cargas aplicadas perpendicularmente 
ao seu eixo longitudinal são chamados de vigas. Em geral, as vigas são barras 
compridas retas com área da seção transversal constante. Elas são classificadas 
conforme seus apoios. Por exemplo, uma viga simplesmente apoiada tem um 
apoio fixo em uma extremidade e está apoiada em roletes (apoio móvel). Uma 
viga em balanço é engastada em uma extremidade e livre na outra. Uma viga 
apoiada com extremidade em balanço tem uma ou ambas as extremidades em 
balanço. Certamente, as vigas são consideradas o mais importante de todos os 
elementos estruturais. Exemplos incluem elementos usados para apoiar os pisos 
dos edifícios, o tabuleiro de uma ponte ou a asa de um avião.
Viga simplesmente apoiada
Viga em balanço
Viga apoiada com extremidade em balanço
Devido às cargas aplicadas, as vigas desenvolvem força cortante 
(cisalhante) interna e momento fletor que, em geral, variam de ponto para ponto 
ao longo do eixo da viga. A fim de projetar a viga adequadamente, é necessário, 
primeiramente, determinar o cisalhamento e o momento máximos na viga. Um 
modo de fazer isso é expressar V e M como funções de uma posição arbitrária x 
ao longo do eixo da viga.
 
Essas funções de cisalhamento e momento são então aplicadas e 
representadas por gráficos denominados diagramas de força cortante e momento 
fletor. Os valores máximos de V e M são então obtidos a partir desses gráficos.
Usamos o método das seções para determinação da carga interna em um 
ponto específico do elemento. Entretanto, se tivermos de determinar V e M internos 
como funções de x ao longo da viga, será preciso localizar o cone imaginário a 
uma distância arbitrária x da extremidade da viga e definir V e M em termos de 
Figura 6.1
UNIDADE 1 | ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES
50
x. Assim, a escolha da origem e a direção positiva para qualquer x selecionado são 
arbitrárias. É mais comum, porém, localizar a origem na extremidade esquerda 
da viga e a direção positiva da esquerda para a direita.
Em geral, as funções de cisalhamento interno e momento fletor obtidas em 
função de x são descontínuas, ou seu declive é descontínuo nos pontos. Assim, 
tais funções devem ser determinadas para cada região da viga localizada entre 
quaisquer duas descontinuidades da carga. Por exemplo: as coordenadas x1, x2 e 
x3 têm de ser usadas para descrever a variação de V e M em todo o comprimento 
da viga. Essas coordenadas são válidas apenas nas regiões de A a B, no caso de 
x1, de B a C no caso de x2 e de C a D no caso de X3.
x1
x2 x3
A
B
C D
w0
Figura 6.2
Convenção de sinal de viga
Antes de apresentar um método para determinar o cisalhamento e o momento 
fletor como funções de x e depois relacionar as funções (diagramas de força cortante 
e de momento fletor), é necessário estabelecer uma convenção de sinal para definir a 
força cortante interna “negativa” e a “positiva” e o momento fletor. Apesar de a escolha 
da convenção de sinal ser arbitrária, usaremos a convenção geralmente adotada na 
prática da engenharia e mostrada a seguir. As direções positivas são as seguintes: a 
carga distribuída atua sobre a viga no sentido de cima para baixo, a força cortante 
interna provoca rotação no sentido horário e o momento interno provoca compressão 
nas fibras superiores. As cargas opostas a essas direções são consideradas negativas. 
Carga distribuída positiva
Cisalhamento interno positivo
Momento interno positivo
Convenção de sinal de viga
w(x)
V V
M M
Figura 6.3
TÓPICO 3 | ESTRUTURAS ESPACIAIS, ESFORÇOS SOLICITANTES E TEOREMA FUNDAMENTAL
51
Procedimento de análise
Os diagramas de força cortante e momento fletor de uma viga são 
construídos por meio do seguinte procedimento.
Reações de apoio
“Determinar todas as forças reativas e conjugados que atuam sobre a 
viga e desdobrar em componentes todas as forças que atuam perpendicular e 
paralelamente ao eixo da viga”.
Funções de cisalhamento e momento fletor:
• Especificar coordenadas separadas x com origem na extremidade esquerda da 
viga.
• Selecionar a viga perpendicular a seu eixo a cada distância x e desenhar o 
diagrama de corpo livre de um dos segmentos. Certificar-se de que V e M 
sejam mostrados atuando no sentido positivo, de acordo com a convenção de 
sinal mostrada na Figura 6.3.
• A força cortante é obtida somando as forças perpendiculares ao eixo da viga.
• O momento é obtido somando os momentos em torno da extremidade 
selecionada do segmento.
Diagramas de Força Cortante e Momento Fletor
• Esquematizar o diagrama de força cortante (V versus X) e o diagrama de 
momento fletor (M versus X). Se os valores numéricos das funções que 
descrevem V e M forem positivos, serão desenhados acima do eixo x, ao passo 
que os valores negativos serão desenhados abaixo do eixo.
• Em geral, é conveniente mostrar os diagramas de força cortante e momento 
fletor diretamente abaixo do diagrama de corpo livre da viga.
Método gráfico para construir os diagramas de força cortante 
(cisalhamento) e momento fletor
Nesta seção, discutimos um método mais simples para construir os 
diagramas de força corante e momento — um método baseado em duas relações 
infinitesimais que existem entre carga distribuída, cisalhamento e momento.
Regiões de carga distribuída 
Consideremos a viga mostrada na Figura 6.10a, submetida a um 
carregamento arbitrário. O diagrama de corpo livre de um pequeno segmento 
∆x da viga é mostrado na Figura 6.10b. Uma vez que esse segmento foi escolhido 
em uma posição x onde não há carga concentrada ou conjugado, os resultados a 
serem obtidos não se aplicarão aos pontos de carga concentrada.
UNIDADE 1 | ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES
52
Observe que todas as cargas mostradas no segmento atuam na direção 
positiva de acordo com a convenção de sinal estabelecida (Figura 6.3). Além disso, 
tanto a força cortante resultante interna quanto o momento interno devem sofrer uma 
pequena alteração finita, mantendo o segmento em equilíbrio. A carga distribuída foi 
substituída pela força resultante w (x) ∆x que atua a uma distância fracionária k (∆x) 
a partir da extremidade direita, onde O < k < 1 [por exemplo, se w (x) for uniforme, 
k=1/2]. Aplicando as duas equações de equilíbrio do segmento, temos:
Figura 6.10
2
0; ( ) ( ) 0
( )
( 0; ( ) [ ( )] ( ) 0
( ) ( )
Fy V w x x V V
V w x x
Mo V x M w x x k x MM
M V x w x k x
+ ↑ = − ∆ − + ∆ =
∆ = − ∆
+ = − ∆ − + ∆ ∆ + + ∆ =
∆ = ∆ − ∆
∑
∑
Dividindo por ∆x e calculando o limite quando ∆x→0, as duas equações 
anteriores tornam-se:
dM V
dx
=
( )dV w x
dx
= −
declive do
diagrama de cisalhamento
em cada ponto
– intensidade 
da carga distribuída
em cada ponto
=
declive do
diagrama de momento 
em cada ponto
cisalhamento
em cada 
ponto
=
(6.1)
(6.2)
Diagrama de corpo
livre do segmento ∆x
Área da seção
transversal do segmento(b)
w(x)∆x
k(∆x)
w(x)
M+∆M
∆x
V+∆V
N A
V
M
O
(a)
w(x)F1 F2
M1 M2
C
∆xx
TÓPICO 3 | ESTRUTURAS ESPACIAIS, ESFORÇOS SOLICITANTES E TEOREMA FUNDAMENTAL
53
As duas equações oferecem um meio conveniente para obter rapidamente 
os diagramas de força cortante e momento de uma viga. A Equação 6.1 diz que, em 
determinado ponto do diagrama de força cortante, o declive é igual à intensidade 
negativa da carga distribuída. Consideremos, por exemplo, a viga da Figura 6.11a. 
A carga distribuída é positiva e aumenta de zero até wb. Portanto, o diagrama de 
força cortante será uma curva com declive negativo, aumentando de zero a -wb. Os 
declives específicos wa = 0, -wc, wd e -wb são mostrados na Figura 6.11b.
De maneira similar, a Equação 6.2 menciona que, em determinado ponto, o 
declive do diagrama de momento é igual à força cortante. Observe que o diagrama 
de força cortante da Figura 6.11b começa em + Va, decresce para zero, torna-se 
negativo e decresce para – Vb. O diagrama de momento terá, então, um declive 
inicial de + Va, que decresce para zero. Assim, o declive torma-se negativo e decresce 
para -Vb. Os declives específicos Va, Vc, Vd, 0 e -Vb são mostrados na Figura 6.11c.
As equações 6.1 e 6.2 também podem ser reescritas sob a forma dV = -w (x) 
dx e dM = Vdx. Observando que w (x) dx e V dx representam áreas infinitesimais 
sob a carga distribuída e o diagrama de força cortante, respectivamente, podemos 
integrar as áreas entre quaisquer dois pontos C e D da viga (Figura 6.11d) e escrever:
(6.3)mudança de 
força cortante
– área sob a 
carga distribuída
=
( )V w x dx∆ = −∫
mudança de 
momento
área sob o diagrama 
de força cortante
=
(6.4)
( )M V x dx∆ = ∫
A Equação 6.3 demonstra que a mudança de força cortante entre os 
pontos C e D é igual à área (negativa) sob a curva da carga distribuída entre esses 
dois pontos (Figura 6.11d). De modo semelhante, pela Equação 6.4, a mudança 
de momento entre C e D (Figura 6.11f) é igual à área sob o diagrama de força 
cortante na região C a D.
54
UNIDADE 1 | ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES
Figura 6.11
Como dissemos antes, as equações anteriores não se aplicam em pontos 
onde atuam força concentrada e conjugados.
Regiões de força concentrada e momento fletor 
O diagrama de corpo livre do pequeno segmento mostrado na Figura 
6.10ª, visualizado sob uma das forças, aparece na Figura 6.12ª. Pode-se observar 
que é necessário equilíbrio de forças.
(6.5)
0; ( ) 0Fy V F V V
V F
+ ↑ = − − + ∆ =
∆ = −
∑
Assim, quando F atua de cima para baixo sobre a viga ∆V é negativo, de 
modo que a força cortante “salta” para baixo. Da mesma maneira, se F atua para 
cima, o “salto” (∆V) será para cima.
Pela Figura 6.12b, o equilíbrio de momento requer que a mudança de 
momento seja:
0( 0; 0Mo M M M V x M+ = + ∆ − − ∆ − =∑
Fazendo ∆x → 0, temos: 
0M M∆ =
(6.6)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
w = w (x) wB
BA C D
V
0
VA
–wC
–wD
x
M
VA
VC
VD 0
–VB
x
–wB
–VB
C D
C D
∆V
V
M
x
xC D
∆M
TÓPICO 3 | ESTRUTURAS ESPACIAIS, ESFORÇOS SOLICITANTES E TEOREMA FUNDAMENTAL
55
No caso, se Mo for aplicado no sentido horário, ∆M será positivo, de 
modo que o diagrama de momento “saltará” para cima. De maneira semelhante, 
quando Mo atuar no sentido anti-horário, o “salto” (∆M) será para baixo.
A Tabela 6.1 ilustra a aplicação das equações 6.1, 6.2, 6.5 e 6.6 em alguns 
casos comuns de carregamento. Nenhum desses resultados deve ser memorizado. 
Em vez disso, devem ser estudados cuidadosamente para que você fique bem 
informado. Valem a pena o tempo e o esforço gastos.
Tabela 6.1
Procedimento de análise 
O procedimento a seguir oferece um método para construir os diagramas 
de força cortante e momento de uma viga com base nas relações entre carga 
distribuída, cisalhamento e momento.
Carga Diagrama de Força Cortante Diagrama de MomentodV w
dx
= − dM V
dx
=
A força P de cima para baixo faz
V 'saltar' para baixo de V1 para V2+ O declive constante muda de V1 para V2+
Não há mudança na força cortante visto 
que o declive w = 0.
Declive positivo constante, M0 no sentido 
anti-horário faz M 'saltar' para baixo.
Declive negativo constante. Declive positivo que diminui de V1 para V2+
Declive negativo que aumenta 
de -w1 para -w2+
Declive positivo que diminui 
de V1 para V2+
Declive negativo que diminui
de -w1 para -w2+
Declive positivo que diminui 
de V1 para V2+
M1
M1
M1
M1
M1
w1
w1
V1
V1
V1
V1
V
V1
V1
V1
V1
V1
V1
V1
V1
V
V2
V2
V2
V2
V2
V2
V2
V2
V2
V2
V V 
V2
V2
V
V
M1
M2
M2
M2
M2
M2
M1
M1
M1
M1
M2
M2
M2
M2
M2
w2
w2
-w2
-w2
-w0
-w1
-w1
w = 0
w = 0
w = 0
w0
M0
P
P
56
UNIDADE 1 | ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES
Reações de apoio
• Determinar as reações de apoio e desdobrar as forças que atuam sobre a viga 
em seus componentes perpendicular e paralelo ao eixo da viga.
Diagrama de força cortante
• Estabelecer os eixos V e X e construir um gráfico com os valores conhecidos do 
cisalhamento nas duas extremidades da viga.
• Como dV/dx = -w, o declive do diagrama de força cortante em qualquer ponto 
é igual à intensidade (negativa) da carga distribuída no ponto. Observe que w 
é positiva quando atua de cima para baixo.
• Se o valor numérico do cisalhamento tiver de ser determinado em um ponto, 
pode ser encontrado esse valor usando tanto o método das seções quanto a 
equação de equilíbrio da força, como a equação ∆V = -∫w (x), a qual expressa 
que a mudança do cisalhamento entre dois pontos quaisquer é igual à área 
(negativa) sob o diagrama de carga entre os dois pontos.
• Como w (x) deve ser integrada para se obter ∆V, então se w (x) for uma curva de 
grau n, V (x) será uma curva de grau n+1. Por exemplo, se w (x) for uniforme, V 
(x) será linear.
Diagrama de momento fletor
• Estabelecer os eixos M e X e construir um gráfico com os valores conhecidos do 
momento nas duas extremidades da viga.
• Como dV/dx = V, o declive do diagrama de momento fletor em qualquer ponto 
é igual ao cisalhamento no ponto.
• No ponto em que o cisalhamento é nulo, dM/dx =0 e, portanto, será um 
momento máximo ou mínimo.
• Se o valor numérico do momento tiver de ser determinado em um ponto, pode 
ser encontrado esse valor usando tanto o método das seções quanto a equação 
de equilíbrio do momento, como a equação ∆M = ∫V(x)dx, a qual expressa 
que a mudança de momento entre dois pontos quaisquer é igual à área sob o 
diagrama de força cortante entre os dois pontos.
• Como V(x) deve ser integrada para se obter ∆M, então se V(x) for uma curva de 
grau n, M(x) será uma curva de grau n+1. Por exemplo, se V(x) for linear, M(x) 
será parabólica.
FONTE: HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. São Paulo: Pearson Educação, 2006. p. 199-211.
57
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, você aprendeu que:
• O cálculo para isostaticidade de estruturas espaciais é muito parecido com as 
estruturas planas, porém, engloba a terceira dimensão.
• O teorema fundamental é de suma importância para a determinação dos 
esforços solicitantes e, consequentemente, dos seus diagramas.
• A partir do teorema fundamental são determinadas as equações para encontro 
dos esforços solicitantes das estruturas.
• A partir da determinação dos esforços solicitantes, é possível traçar os 
diagramas, os quais são de suma importância para um projeto estrutural.
58
1 Calcule e trace os diagramas de esforços cortantes das estruturas a seguir.a)
b)
c)
d)
AUTOATIVIDADE
80
.0
 k
N
80
.0
 k
N
3.29 m
8.01 m
7.00 m
4.48 m
59
e)
f) 150.00 kN/m
150.00 kN/m
4.06
5.85
60
61
UNIDADE 2
VIGAS E PÓRTICOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• explicar o que são vigas e pórticos;
• explicar a importância da realização dos cálculos para a prática;
• aprender a calcular os esforços solicitantes nas estruturas citadas na unidade;
• traçar os diagramas dos esforços solicitantes nas estruturas.
Esta unidade de estudo está dividida em cinco tópicos. No decorrer da 
unidade você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o 
conteúdo apresentado.
TÓPICO 1 – VIGAS
TÓPICO 2 – VIGAS COM SUPERPOSIÇÃO DOS EFEITOS
TÓPICO 3 – APOIO GERBER
TÓPICO 4 – VIGAS INCLINADAS
TÓPICO 5 – PÓRTICOS
62
63
TÓPICO 1
VIGAS
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Neste primeiro tópico será abordado o elemento estrutural viga. Serão 
apresentados os diferentes tipos de vigas em situação de projeto e como calcular 
tais elementos.
2 CONCEITOS
Como já explicado na primeira unidade, vigas são elementos estruturais 
que têm a função de distribuir as cargas de um elemento estrutural para outro. 
Estas podem ser apresentadas em um projeto da seguinte maneira:
GURA 1 – PROJETO ESTRUTURAL DE UMA VIGA
FONTE: O autor
Na imagem é exemplificado um tipo de viga de concreto em um projeto 
estrutural de uma determinada construção. Verificamos que, para a viga, foram 
utilizadas duas barras de aço com uma bitola de 10mm na parte superior da viga 
e duas barras de aço com bitola de 10mm na parte inferior. Outras informações 
podem ser visualizadas, como o comprimento das barras, quantidade de estribos, 
comprimento, a bitola e a disposição dos estribos ao longo da viga.
UNIDADE 2 | VIGAS E PÓRTICOS
64
O conteúdo deste livro, no qual serão determinados os esforços solicitantes 
nas estruturas estudadas, contribui com o dimensionamento das estruturas e o tipo de 
armadura a ser utilizado nos elementos. É necessário conhecer o tipo de esforço solicitante 
em cada parte do elemento estrutural para que se possa fazer o dimensionamento da 
estrutura estudada.
IMPORTANT
E
Há vários tipos de viga que podem se apresentar em determinadas 
situações no campo de projeto. Os tipos serão abordados e estudados nos 
subtópicos a seguir deste capítulo.
3 VIGA BIAPOIADA SIMPLES
O primeiro tipo de viga a ser abordado será a viga biapoiada simples. É 
composto por um sistema estrutural que apresenta dois apoios nos extremos da 
viga e esforços externos atuantes. Pode ser interpretado como a viga sobre dois 
pilares, estes que estão nos extremos. Então, a carga será transferida para os apoios 
(pilares) pela determinação das reações de apoio. Os esforços transferidos para 
os apoios são dependentes dos carregamentos que estão aplicados no elemento 
estrutural em questão. A seguir, temos exemplos dos tipos de vigas.
EXEMPLO 1
FIGURA 2 – VIGA COM CARGA CONCENTRADA
FONTE: O autor
Para a determinação das reações dos apoios A e B, deve-se verificar se 
a viga em questão é uma viga isostática. A verificação deve ser feita com as 
equações de equilíbrio. Se o número de incógnitas é igual ao número de equações 
utilizadas para determinação das reações de apoio, então a viga será denominada 
isostática. Assim:
40
.0
 k
N
2.40 m
4.50 m
TÓPICO 1 | VIGAS
65
0
0
0
FH
FV
MO
=
=
=
∑
∑
∑
Há três incógnitas: Rax, Ray e Rby. Assim, o número de incógnitas a ser 
determinado é igual ao número de equações utilizado para determinação das 
incógnitas. Após, serão determinadas as reações dos apoios.
0FH =∑
Como falta força atuante na direção do eixo X (horizontal), a reação do apoio 
A no eixo X será igual a 0. Portanto, Rax = 0. Então, podemos fixar um apoio e verificar o 
momento atuante pelas forças. Fixaremos o apoio A e determinaremos, assim, o momento 
atuante em relação ao apoio A. Então, consideremos que Rby estará atuante na direção 
contrária à força externa atuante.
IMPORTANT
E
FIGURA 3 – VIGA COM CARGA CONCENTRADA
FONTE: O autor
.4,5 40.2,4 0
4
0
0.2,4
4,5
y
M
b
A
Rby
R
=
− =
=
=
∑
21,33Rby KN
40
.0
 k
N
2.40 m
4.50 m
UNIDADE 2 | VIGAS E PÓRTICOS
66
FIGURA 4 – REAÇÕES DOS APOIOS A E B PARA A VIGA COM CARGA CONCENTRADA
FONTE: O autor
Para traçarmos os diagramas de esforços cortantes será utilizado o teorema 
fundamental, que consiste em dividir o elemento estrutural em seções. 
Serão analisadas duas seções. O primeiro trecho consiste do ponto A até 
o esforço externo atuante, ou seja, x variará de 0 até 2,4 metros a partir do ponto 
A. O segundo trecho será de B até o esforço externo atuante, em que x variará de 
0 até 2,10 metros a partir do ponto B.
Para o primeiro trecho:
40
.0
 k
N
A reação de apoio Ray foi considerada com a mesma direção da reação de 
apoio Rby, pois ambas têm o mesmo resultado e este foi positivo. Assim, a direção 
foi mantida a mesma. Portanto, o sistema resultante é apresentado a seguir.
Após a determinação da reação de apoio B, obtemos Rby = 21,33 KN. Como 
o resultado apresentou sinal positivo, adotamos a direção que foi predeterminada 
para a reação. Após, foi utilizada a última equação para determinar a direção e a 
magnitude da reação.
0
40 0
40 21,33
FV
Rby Ray
Ray
=
− + =
= −
∑
Ray = 18,67 KN
2.40 m
4.50 m
TÓPICO 1 | VIGAS
67
FIGURA 5 – ANÁLISE DO TRECHO A ATÉ S
FONTE: O autor
Para o esforço cortante:
Qs = +18,67 KN
Como já visto na primeira unidade, se o esforço cortante aplica um esforço 
que atuará no sentido horário em relação à origem e, no caso, com esforço externo 
atuante, o esforço cortante será positivo. Como não há forças atuando na direção 
do eixo X, não existirão esforços normais solicitantes.
2.40 m
Para o momento fletor:
Ms = 18,67.x
Para x=0, ponto A:
MA = 0 KN.m
Para x=2,4, esforço externo:
Ms = +44,81 KN.m
Como a reação do apoio A traciona as fibras inferiores da viga, o sinal do 
Momento Fletor será positivo. Como a equação encontrada para determinar o Momento 
Fletor é uma equação de primeiro grau, tem-se, para o gráfico de Momento Fletor, uma 
reta. Para o esforço cortante, como não há variação, há uma constante.
IMPORTANT
E
UNIDADE 2 | VIGAS E PÓRTICOS
68
FIGURA 6 – DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE PARA O TRECHO ANALISADO
FONTE: O autor
FIGURA 7 – DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR PARA O TRECHO ANALISADO
FONTE: O autor
Agora, serão encontrados os esforços solicitantes do segundo trecho e, 
então, serão traçados os diagramas dos esforços para toda a viga.
18.7
44.
FIGURA 8 – ANÁLISE DO TRECHO S ATÉ B
FONTE: O autor
Para o esforço cortante:
Qs = – 21,33 KN
Se o esforço cortante aplica um esforço que atuará no sentido anti-horário em 
relação à origem e, no caso, com esforço externo atuante, o esforço cortante será negativo. 
Como não há forças atuando na direção do eixo X, não existirão esforços normais solicitantes.
IMPORTANT
E
40
.0
 k
N
2.10 m
TÓPICO 1 | VIGAS
69
Para o momento fletor:
Ms = – 21,33.x
Para x=0, ponto B:
MB = 0 KN.m
Para x= 2,1, esforço externo:
Ms = + 44,81 KN.m
Como a reação do apoio A traciona as fibras inferiores da viga, o sinal do 
Momento Fletor será positivo. Como a equação encontrada para determinar o 
Momento Fletor é uma equação de primeiro grau, tem-se, para o gráfico de Momento 
Fletor, uma reta. Para o esforço cortante, como não há variação, há uma constante.
FIGURA 9 – DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE FINAL
FONTE: O autor
FIGURA 10 – DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR FINAL
FONTE: O autor
18.7
-21.3
44.8
70
RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico, você aprendeu que:
• Os esforços solicitantes de uma força aplicada em uma viga influenciam no 
projeto estrutural. 
• A viga isostática biapoiada simples é composta por um sistema estrutural que 
apresenta dois apoios nos extremos da viga e esforços externos atuantes.
• É de suma importância aplicar o teorema fundamental para calcular e traçar os 
diagramas de esforços solicitantes