Estrutura de concreto CURSO TECNICO

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IFRN/NATAL 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO RIO GRANDE DO NORTE - CAMPUS NATAL 
CURSO EDIFICAÇÕES 
DISCIPLINA: ESTABILIDADE 
 
CONCEPÇÃO ESTRUTURAL 
A concepção estrutural, ou simplesmente estruturação, também chamada de 
lançamento da estrutura, consiste em escolher um sistema estrutural que constitua a parte 
resistente do edifício. 
Essa etapa, uma das mais importantes no projeto estrutural, implica em escolher os 
elementos a serem utilizados e definir suas posições, de modo a formar um sistema estrutural 
eficiente, capaz de absorver os esforços oriundos das ações atuantes e transmiti-los ao solo de 
fundação. 
A solução estrutural adotada no projeto deve atender aos requisitos de qualidade 
estabelecidos nas normas técnicas, relativos à capacidade resistente, ao desempenho em 
serviço e à durabilidade da estrutura. 
 
DADOS INICIAIS 
A concepção estrutural deve levar em conta a finalidade da edificação e atender, tanto 
quanto possível, às condições impostas pela arquitetura. O projeto arquitetônico representa, 
de fato, a base para a elaboração do projeto estrutural. Este deve prever o posicionamento 
dos elementos de forma a respeitar a distribuição dos diferentes ambientes nos diversos 
pavimentos. Mas não se deve esquecer de que a estrutura deve também ser coerente com as 
características do solo no qual ela se apóia. 
O projeto estrutural deve ainda estar em harmonia com os demais projetos, tais como: 
de instalações elétricas, hidráulicas, telefonia, segurança, som, televisão, ar condicionado, 
computador e outros, de modo a permitir a coexistência, com qualidade, de todos os sistemas. 
Os edifícios podem ser constituídos, por exemplo, pelos seguintes pavimentos: subsolo, térreo, 
tipo, cobertura e casa de máquinas, além dos reservatórios inferiores e superiores. 
Existindo pavimento-tipo, o que em geral ocorre em edifícios de vários andares, inicia-
se pela estruturação desse pavimento. Caso não haja pavimentos repetidos, parte-se da 
estruturação dos andares superiores, seguindo na direção dos inferiores. 
A definição da forma estrutural parte da localização dos pilares e segue com o 
posicionamento das vigas e das lajes, nessa ordem, sempre levando em conta a 
compatibilização com o projeto arquitetônico. 
 
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SISTEMAS ESTRUTURAIS 
Inúmeros são os tipos de sistemas estruturais que podem ser utilizados. Nos edifícios 
usuais empregam-se lajes maciças ou nervuradas, moldadas no local, pré-fabricadas ou ainda 
parcialmente pré-fabricadas. 
Em casos específicos de grandes vãos, por exemplo, pode ser aplicada protensão para 
melhorar o desempenho da estrutura, seja em termos de resistência, seja para controle de 
deformações ou de fissuração. 
Alternativamente, podem ser utilizadas lajes sem vigas, apoiadas diretamente sobre os 
pilares, com ou sem capitéis, casos em que são denominadas lajes-cogumelo, e lajes planas ou 
lisas, respectivamente. No alinhamento dos pilares, podem ser consideradas vigas embutidas, 
com altura considerada igual à espessura das lajes, sendo também denominadas vigas-faixa. 
A escolha do sistema estrutural depende de fatores técnicos e econômicos, entre eles: 
capacidade do meio técnico para desenvolver o projeto e para executar a obra, e 
disponibilidade de materiais, mão-de-obra e equipamentos necessários para a execução. 
Nos casos de edifícios residenciais e comerciais, a escolha do tipo de estrutura é 
condicionada, essencialmente, por fatores econômicos, pois as condições técnicas para projeto 
e construção são de conhecimento da Engenharia de Estruturas e de Construção. 
Este trabalho tratará dos sistemas estruturais constituídos por lajes maciças de 
concreto armado, moldadas no local e apoiadas sobre vigas. Posteriormente, serão 
consideradas também as lajes nervuradas e as demais ora mencionadas. 
 
CAMINHO DAS AÇÕES 
 
O sistema estrutural de um edifício deve ser projetado de modo que seja capaz de 
resistir não só às ações verticais, mas também às ações horizontais que possam provocar 
efeitos significativos ao longo da vida útil da construção. 
As ações verticais são constituídas por: peso próprio dos elementos estruturais; pesos 
de revestimentos e de paredes divisórias, além de outras ações permanentes; ações variáveis 
decorrentes da utilização, cujos valores vão depender da finalidade do edifício, e outras ações 
específicas, como por exemplo, o peso de equipamentos. 
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As ações horizontais, onde não há ocorrência de abalos sísmicos, constituem-se, 
basicamente, da ação do vento e do empuxo em subsolos. 
O percurso das ações verticais tem início nas lajes, que suportam, além de seus pesos 
próprios, outras ações permanentes e as ações variáveis de uso, incluindo, eventualmente, 
peso de paredes que se apóiem diretamente sobre elas. 
As lajes transmitem essas ações para as vigas, através das reações de apoio. As vigas 
suportam seus pesos próprios, as reações provenientes das lajes, peso de paredes e, ainda, 
ações de outros elementos que nelas se apóiem, como, por exemplo, as reações de apoio de 
outras vigas. Em geral as vigas trabalham à flexão e ao cisalhamento e transmitem as ações 
para os elementos verticais − pilares e paredes estruturais − através das respectivas reações. 
Os pilares e as paredes estruturais recebem as reações das vigas que neles se apóiam, 
as quais, juntamente com o peso próprio desses elementos verticais, são transferidas para os 
andares inferiores e, finalmente, para o solo, através dos respectivos elementos de fundação. 
As ações horizontais devem igualmente ser absorvidas pela estrutura e transmitidas 
para o solo de fundação. No caso do vento, o caminho dessas ações tem início nas paredes 
externas do edifício, onde atua o vento. Esta ação é resistida por elementos verticais de 
grande rigidez, tais como pórticos, paredes estruturais e núcleos, que formam a estrutura de 
contraventamento. Os pilares de menor rigidez pouco contribuem na resistência às ações 
laterais e, portanto, costumam ser ignorados na análise da estabilidade global da estrutura. 
As lajes exercem importante papel na distribuição dos esforços decorrentes do vento 
entre os elementos de contraventamento, pois possuem rigidez praticamente infinita no seu 
plano, promovendo, assim, o travamento do conjunto. 
 
POSIÇÃO DOS PILARES 
 
Recomenda-se iniciar a localização dos pilares pelos cantos e, a partir daí, pelas áreas 
que geralmente são comuns a todos os pavimentos (área de elevadores e de escadas) e onde 
se localizam, na cobertura, a casa de máquinas e o reservatório superior. Em seguida, 
posicionam-se os pilares de extremidade e os internos, buscando embuti-los nas paredes ou 
procurando respeitar as imposições do projeto de arquitetura. 
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Deve-se, sempre que possível, dispor os pilares alinhados, a fim de formar pórticos 
com as vigas que os unem. Os pórticos, assim formados, contribuem significativamente na 
estabilidade global do edifício. 
Usualmente os pilares são dispostos de forma que resultem distâncias entre seus eixos 
da ordem de 4 m a 6 m. Distâncias muito grandes entre pilares produzem vigas com dimensões 
incompatíveis e acarretam maiores custos à construção (maiores seções transversais dos 
pilares,maiores taxas de armadura, dificuldades nas montagens da armação e das formas 
etc.). Por outro lado, pilares muito próximos acarretam interferência nos elementos de 
fundação e aumento do consumo de materiais e de mão-de-obra, afetando desfavoravelmente 
os custos. 
Deve-se adotar 19 cm, pelo menos, para a menor dimensão do pilar e escolher a 
direção da maior dimensão de maneira a garantir adequada rigidez à estrutura, nas duas 
direções. 
Posicionados os pilares no pavimento-tipo, deve-se verificar suas interferências nos 
demais pavimentos que compõem a edificação. 
Assim, por exemplo, deve-se verificar se o arranjo dos pilares permite a realização de 
manobras dos carros nos andares de garagem ou se não afetam as áreas sociais, tais como 
recepção, sala de estar, salão de jogos e de festas etc. 
Na impossibilidade de compatibilizar a distribuição dos pilares entre os diversos 
pavimentos, pode haver a necessidade de um pavimento de transição. 
Nesta situação, a prumada do pilar é alterada, empregando-se uma viga de transição, 
que recebe a carga do pilar superior e a transfere para o pilar inferior, na sua nova posição. 
Nos edifícios de muitos andares, devem ser evitadas grandes transições, pois os esforços na 
viga podem resultar exagerados, provocando aumento significativo de custos. 
 
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POSIÇÕES DE VIGAS E LAJES 
 
A estruturação segue com o posicionamento das vigas nos diversos pavimentos. Além 
daquelas que ligam os pilares, formando pórticos, outras vigas podem ser necessárias, seja 
para dividir um painel de laje com grandes dimensões, seja para suportar uma parede divisória 
e evitar que ela se apóie diretamente sobre a laje. 
É comum, por questões estéticas e com vistas às facilidades no acabamento e ao 
melhor aproveitamento dos espaços, adotar larguras de vigas em função da largura das 
alvenarias. As alturas das vigas ficam limitadas pela necessidade de prever espaços livres para 
aberturas de portas e de janelas. 
Como as vigas delimitam os painéis de laje, suas disposições devem levar em 
consideração o valor econômico do menor vão das lajes, que, para lajes maciças, é da ordem 
de 3,5 m a 5,0 m. O posicionamento das lajes fica, então, praticamente definido pelo arranjo 
das vigas. 
 
DESENHOS PRELIMINARES DE FORMAS 
 
De posse do arranjo dos elementos estruturais, podem ser feitos os desenhos 
preliminares de formas de todos os pavimentos, inclusive cobertura e caixa d’água, com as 
dimensões baseadas no projeto arquitetônico. 
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As larguras das vigas são adotadas para atender condições de arquitetura ou 
construtivas. Sempre que possível, devem estar embutidas na alvenaria e permitir a passagem 
de tubulações. O cobrimento mínimo das faces das vigas em relação às das paredes acabadas 
variam de 1,5 cm a 2,5 cm, em geral. Costuma-se adotar para as vigas no máximo três pares de 
dimensões diferentes para as seções transversais. O ideal é que todas elas tenham a mesma 
altura, para simplificar o cimbramento. 
Em edifícios residenciais, é conveniente que as alturas das vigas não ultrapassem 
60cm, para não interferir nos vãos de portas e de janelas. 
A numeração dos elementos (lajes, vigas e pilares) deve ser feita da esquerda para a 
direita e de cima para baixo. 
Inicia-se com a numeração das lajes – L1, L2, L3 etc. –, sendo que seus números devem ser 
colocados próximos do centro delas. Em seguida são numeradas as vigas – V1, V2, V3 etc. Seus 
números devem ser colocados no meio do primeiro tramo. Finalmente, são colocados os 
números dos pilares – P1, P2, P3 etc. –, posicionados embaixo deles, na forma estrutural. 
Devem ser colocadas as cotas parciais e totais em cada direção, posicionadas fora do 
contorno do desenho, para facilitar a visualização. 
Ao final obtém-se o anteprojeto de todos os pavimentos, inclusive cobertura e caixa 
d’água, e pode-se prosseguir com o pré-dimensionamento de lajes, vigas e pilares. 
 
 
 
 
 
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Desenho de forma 
Cargas nas Estruturas 
As cargas atuantes nas estruturas são definidas pela NBR 6120 - Cargas para o cálculo de 
estruturas de edificações, esta Norma prevê as cargas estáticas que atuarão nas estruturas em 
função da sua utilização. 
 
 
 
 
 
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LAJES MACIÇAS 
Cargas nas Lajes 
As cargas que atuarão nas lajes são as seguintes por unidade de área: 
 
• Peso próprio (pp = espessura da laje [eL] x peso específico do concreto [γ=25 kN/m3]); 
• Revestimento (piso, forro;); 
• Enchimento de piso (quando houver;γ=19 kN/m3); 
• Paredes (quando não estiverem sobre as vigas; γ=16 kN/m3); 
• Todas as ações verticais decorrentes da utilização do edifício (NBR 6120). 
Estas cargas serão utilizadas para o dimensionamento das mesmas. 
Reações das Lajes 
As reações das lajes são as cargas que estas transmitirão para as vigas nas quais estão 
apoiadas, e serão calculadas através do processo conhecido como LINHAS DE RUPTURA das 
lajes. Esse processo consiste em partir com uma linha dos cantos das lajes fazendo um ângulo 
de 30º graus com o lado menos rígido quando as condições de contorno da laje são diferentes 
e em um ângulo de 45º as quando as condições de contorno da laje são iguais. 
As cargas transmitidas pela laje nas vigas de apoio são determinadas pela área contida na 
figura formada pelo encontro das LINHAS DE RUPTURAS. 
TIPOS DE LAJES MACIÇAS: 
 
Laje Tipo 1 – Totalmente apoiada 
 
Laje Tipo 2 – Engastada em um 
bordo e apoiada nos demais 
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 Exemplo a seguir é de uma laje genérica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Laje Tipo 3 – 2 Engastes e 2 
bordos apoiados 
Laje Tipo 4 – Engastada e apoiada 
em bordos opostos 
Laje Tipo 5 – 3 Engastes e 1 apoio Laje Tipo 6 – 4 Engastes 
 
Ly 
Lx 
A1 
A2 A3 
A4 
Lx
xqlAR 11 =
1 - Carga Transmitida a V1 pela laje, A1. 
V1 
V2 
V4 
V3 
Ly
xqlAR 22 =
2 - Carga Transmitida a V2 pela laje, A2. 
Ly
xqlAR 33 =
3 - Carga Transmitida a V3 pela laje, A3. 
Lx
xqlAR 44 =
4 - Carga Transmitida a V4 pela laje, A4. 
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Nas lajes maciças devem ser respeitados os seguintes limites mínimos para a espessura: 
a) 5 cm para lajes de cobertura não em balanço; 
b) 7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço; 
c) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN; 
d) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN; 
e) 15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, para lajes de piso biapoiadas e 
para lajes de piso contínuas; 
f) 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo. 
 
Armação das Lajes: 
 
 Lajes armadas em 1 direção;armadura maior no comprimento do vão menor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Lajes armadas em 2 direções; 
 
 
 
 
 
 
 
42
L
50
L
,2
.
>=
x
y
l
lλ
 
,2
.
≤=
x
y
l
lλ
Armadura 
principal 
Armadura mínima 
 
Armadura 
principal 
Armadura principal 
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Pré dimensionamento da espessura da laje (h): 
 
 
ψψψψ2 = coeficiente dependente das condições de vinculação e dimensões da laje; 
ψψψψ3 = coeficiente que depende do tipo de aço; 
 
 
 
 
φ = diâmetro da barra; 
c = cobrimento; 
 
 
 
Valores de 
 
 ψψψψ3 , utilizados no pré dimensionamento da altura da laje: 
 
Aço Vigas e Lajes Nervuradas Lajes Maciças 
CA-25 25 35 
CA-32 22 33 
CA-50 17 25 
CA-60 15 20 
 
• Lajes armadas em uma direção: 
 
Valores de ψψψψ2 
 
- simplesmente apoiadas = 1,0; 
- contínuas = 1,2; 
- duplamente engastadas = 1,7; 
- em balanço = 0,5; 
 
:;
.
.
32
ondeld
ψψ
≥
:;
2
ondecdh ++= φ
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DISCIPLINA: ESTABILIDADE 
 
 
 
• Lajes armadas em duas direções, valores de ψ2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 vão maior 
 
 
 vão menor 
 
 
 
Número superior: ψ2 para : 
 
 
 
Número inferior: ψ2 para : podendo ser usado para casos em que a razão seja maior 
que 2, exceto nos casos assinalados com asteriscos. 
=xl
=yl
;1=
y
x
l
l
;2=
y
x
l
l
;21 <<
y
x
l
l
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DISCIPLINA: ESTABILIDADE 
 
Para interpolar linearmente. 
 
 
LAJES PRÉ-MOLDADAS 
Cargas nas Lajes 
As cargas que atuarão nas lajes são as seguintes por unidade de área: 
 
• Peso próprio – (Verificar Tabela do Fabricante); 
• Revestimento (piso, forro;) 
• Enchimento de piso (quando houver;γ=19 kN/m3); 
• Paredes (quando não estiverem sobre as vigas; γ=16 kN/m3); 
• Todas as ações verticais decorrentes da utilização do edifício (NBR 6120). 
Estas cargas serão utilizadas para o dimensionamento das mesmas. 
Reações das Lajes 
Nas lajes nervuradas existem 2 processos para o cálculo das reações das lajes nas vigas de 
apoio, a saber: 
Processo Simplificado: 
Admite-se que nas vigas perpendiculares às nervuras (direção Y) atue toda a carga 
proveniente da laje, e que nas vigas paralelas as nervuras (direção X) atue 25% dessa carga, 
utiliza-se as equações a seguir para determinação de tais valores: 
• Ação nas vigas perpendiculares às nervuras (direção Y): 
 
• Ação nas vigas paralelas às nervuras (direção Y): 
 
Processo Racional: 
Admite-se que as ações nas duas direções nas vigas dependem fundamentalmente das 
dimensões da laje. Dada pelas equações a seguir: 
• Ação nas vigas perpendiculares às nervuras (direção Y): 
 
2
. x
vy
lp
P =
2
..25,0 y
vx
lp
P =
200
.)..1758( x
vy
lp
P
λ+
=
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DISCIPLINA: ESTABILIDADE 
 
 
 
• Ação nas vigas paralelas às nervuras (direção Y): 
 
 
• Com sendo lx o valor na direção paralela às nervuras, ly o valor do vão na 
direção perpendicular às nervuras e para deve-se considerar 
Tabela Básica de Laje Nervurada 
Alturas iniciais para laje pré-moldada em função de cargas e vãos livres máximos: 
Altura total da laje (cm) Peso Próprio (kN/m
2
) P < 1,0 kN/m
2
 (forro) 2,0kN/m
2
<p<5,0kN/m
2
 
10 1,10 3,5 m --- 
12 1,41 5,0 m 4,5 m 
14 1,50 6,0 m 5,5 m 
16 ou maior >1,61 --- >5,5 m 
• Valores de peso próprio estimados para intereixo de 50 cm, capa de 3 cm e material de 
enchimento cerâmico. 
PARA A DETERMINAÇÃO DA LAJE A SER UTILIZADA CONSULTE A TABELA DO FABRICANTE. 
 
 
 
 
 
 
 
 
200
.)..1742( y
vx
lp
P
λ−
=
,
.
x
y
l
l
=λ
;xy ll ≥ xy ll .2≥ ;.2 xy ll =
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DISCIPLINA: ESTABILIDADE 
 
 
 
DIMENSIONAMENTO DA LAJE MACIÇA 
 Lajes armadas em 1 direção; armadura maior no comprimento do vão menor. 
 
No caso de lajes armadas em uma direção considera-se, simplificadamente, que a 
flexão na direção do menor vão da laje é preponderante à outra direção, de mandei raque a 
laje será suposta uma viga com largura constante de 1 metro, 100 cm, na direção principal e 
altura, h, igual a espessura da laje. Na direção secundária adotar: 
 
 
 
Módulo de Deformabilidade do Concreto 
 
 
 
Momento de Inércia 
 
 
 
 
Flecha: 
Limite para deslocamento da estrutura em serviço: 
 
 
 
 
 
 
 
 
flecha. -contra 
;admissível máxima flecha 
menor vão;
,
350
.
=
=
=
+
=
cf
f
l
cf
lf
,2
.
>=
x
y
l
lλ
,/,cm 0,9 e principal armadura da %20. 2 m
s
A
s ≥
);(.5600.85,0 MPafE
ck=
;
12
.
3hbwI =
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DISCIPLINA: ESTABILIDADE 
 
 
 
 
Laje Armada em uma direção sobre apoio simples. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flecha: 
 
 
 
 
 
Laje Armada em uma direção sobre apoio simples e engaste perfeito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flecha: 
 
 
 
 
IE
lp
xf
.
.
384
5 4
=
IE
lp
xf
.
.
185
1 4
=
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DISCIPLINA: ESTABILIDADE 
 
 
 
 
Laje Armada em uma direção bi-engastada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flecha: 
 
 
 
 
Laje armada em uma direção em balanço. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flecha: 
 
 
 
 
IE
lp
xf
.
.
384
1 4
=
IE
lp
xf
.
.
8
1 4
=
2
.
2lpM =
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DISCIPLINA: ESTABILIDADE 
 
 
 
 
RESUMO: 
 
Valores para os Momentos das Lajes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Roteiro para o cálculo das lajes maciças armadas em 1 (uma) direção: 
 
1. Pré-dimensionamento da espessura da laje; 
 
 
2. Avaliação das cargas atuantes; 
 Visto anteriormente; 
3. Verificação das flechas; 
Visto anteriormente; 
 
Exemplo: Para a laje abaixo, determine sua altura e os momentos atuantes. Admitindo os 
seguintes carregamentos: 
- Contra piso com espessura de 2 cm, γ = 18 KN/m3; 
- piso = 0,20 kN/m3; 
- cobrimento nominal de 1,5 cm; 
- carga acidental = 2,0 kN/m2; 
- Carga Total = 4,81 kN/m2; 
- Concreto fck = 20 Mpa; 
: ;
2
nteanteriormevistocdh ++= φ
Ly = 5,20 m 
Lx =2,0 m 
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DISCIPLINA: ESTABILIDADE- aço CA 50; 
- φ = 8.0mm. 
 
a) Pré dimensionamento da espessura da laje (h): 
 
 
 
 
b) Verificação da flecha: 
 
 
 
 
 
 
c) Cálculo dos momentos: 
Momento Positivo 
 
 
 
 
Momento Negativo 
 
 
 
 
d) Dimensionamento do Momento Positivo. 
 
 
 
 
Na TABELA DE Kz, temos: Kz = 0,9881 
m
x
ld 067.0
252,1
2
.
.
32
==≥
ψψ
cmh 02,904,08,05,17,6 =+++≥
mxf
IE
lp
xf
0003.0
27,239239
96,76
12
09.0
.21287000
2.81,4
185
1
.
.
185
1
3
4
4
===
=
2/21287000
21287
20.5600.85,0
);(.5600.85,0
mkNE
MPaE
E
MPafE ck
=
=
=
=
m
cf
lf 005,0
350
2
350
.
==
+
=
mkNMd
MMd
mkNPlM
.9,14,1.35,1
4,1.
.35,1
22,14
2.81,4
22,14
22
==
=
===
+
+
+
mkNMd
MMd
mkNPlM
.40,34,1.41,2
4,1.
.41,2
8
2.81,4
8
22
==
=
===
−
−
−
021,0
42,91
90,1
4,1
20000080,00,1
9,1
.. 2
2 ====
xx
fdbw
MKmd
cd
d
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CURSO EDIFICAÇÕES 
DISCIPLINA: ESTABILIDADE 
 
 
 
 
Armação Mínima: 
As mín = 0,15% bw h 
As mín = 0,15 x 10 
As mín = 1,5 cm
2 
Escolhendo o φφφφ = 6,3 mm, temos: 
 
 
 
 
 
e) Dimensionamento do Momento Negativo. 
 
 
 
 
Na TABELA DE Kz, temos: Kz = 0,9759 
 
 
 
Armação Mínima: 
As mín = 0,15% bw h 
As mín = 0,15 x 10 
As mín = 1,5 cm
2 
Escolhendo o φφφφ = 6,3 mm, temos: 
 
 
 
 
256,0
437,3
90,1
15,1
5008,09881,0
9,1
..
cm
xx
fdK
MA
sz
d
s
====
cmcS
cmx
A
AS
s
s
s
20.3.6
21100
50,1
315,0 2
φ
φ
=
===
037,0
42,91
90,1
4,1
20000080,00,1
40,3
.. 2
2 ====
xx
fdbw
MKmd
cd
d
20,1
40,3
40,3
48,43.08,0.9759,0
40,3
..
cmfdK
MA
sz
d
s
====
cmcS
cmx
A
AS
s
s
s
20.3.6
21100
50,1
315,0 2
φ
φ
=
===
Φ 6.3 c. 20 Φ 6.3 c. 20 
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DISCIPLINA: ESTABILIDADE 
 
 
 
 
 
Roteiro para o cálculo de laje maciça armada em 2 (duas) direções: 
 
1. Pré-dimensionamento da espessura da laje; 
 
 
2. Avaliação das cargas atuantes; 
 Visto anteriormente; 
3. Verificação das flechas; 
 
 
 
 
 
 
 
Módulo de Deformabilidade do Concreto 
 
 
Momento de Inércia 
 
 
 
 
 
 
 
 
: ;
2
nteanteriormevistocdh ++= φ
placa. da espessuraou altura 
concreto; do dadedefomabili de módulo 
menor vão; 
; de Tabela da tiradoecoeficient 
laje; sobrea odistribuíd nteuniformeme tocarregamen
100.
.
3
4
=
=
=
=
=
×=
h
E
l
p
hE
lpf
x
x
αα
α
);(.5600.85,0 MPafE
ck=
;
12
.
3hbwI =
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CURSO EDIFICAÇÕES 
DISCIPLINA: ESTABILIDADE 
 
 
 
 
ESTUDO DAS VIGAS 
HIPÓTESE DE CÁLCULO: 
Tanto para os elementos lineares como para os de superfície, a NBR 6118 (2004) 
estabelece que, na análise dos esforços resistentes de uma seção, devem ser consideradas as 
seguintes hipóteses básicas: 
a) As seções transversais se mantêm planas após a deformação; 
b) A deformação das barras, em tração ou compressão, deve ser a mesma do concreto em seu 
entorno; 
c) As tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, podem ser desprezadas, 
obrigatoriamente no ELU; 
d) Admite-se que a distribuição de tensões no concreto seja feita de acordo com o diagrama 
parábola-retângulo, abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações Adimensionais Para Cálculo da Armadura de Aço do Concreto 
 
 fdb
MdKmd
cdw ..
2= 
 fdK
MdAs
ydz ..
= 
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DISCIPLINA: ESTABILIDADE 
 
 
ff ck
cd 4,1
= 
 
ff
MsMd
y
yd 15,1
4,1.
=
=
 
 
fck = Resistência característica do concreto; 
fy = Resistencia de cálculo do aço = 50 KN/cm
2; 
 
Kmdlim = 0,320; kz = 0,7485; kx = 0,6287 
 
Unidades: 
 Md = kN.m 
 Fcd = kN/m2 
 As = cm2 
 
Exercício: Determine a armadura de aço longitudinal para uma viga de seção 
retangular de concreto armado, 15 x 30 cm, sabendo-se que seu cobrimento e de 3 cm e está 
submetida a um momento fletor de 12,2 kN.m; o concreto possui fck = 20 MPa e aço CA 50. 
 
 
 
 
 
Na tabela, temos: 
Kz = 0,9305 
 
 
 
 
Quantidade de ferros: 
 
Adotando ferro de φ10 mm com área de 0,785 cm2. 
 
 
 
 
 
11,0
21,156
08,17
4,1
2000027,015,0
4,12,12
.. 2
2 ====
xx
x
fdbw
M
Kmd
cd
d
2564,1
92,10
08,17
15,1
5027,09305,0
4,12,12
..
cm
xx
x
fdK
MA
sz
d
s ====
mmferros 10299,1
785,0
566,1
 Q 10 φφ ≅==
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DISCIPLINA: ESTABILIDADE 
 
2.1- PRESCRIÇÕES NORMATIVAS 
 
(NBR 6118 - item 13.2.2) 
A seção transversal das vigas não deve apresentar largura menor que 12 cm, 
respeitando-se um mínimo absoluto de 10 cm em casos excepcionais, sendo obrigatoriamente 
respeitadas as seguintes condições: 
a) alojamento das suas armaduras e suas interferências com as armaduras de outros 
elementos estruturais, respeitando-se os espaçamentos e coberturas estabelecidas na norma; 
b) lançamento e vibração do concreto de acordo com NBR 14931. 
 
(NBR 6118 – item 17.3.5.2.1) Armaduras longitudinais máximas e mínimas 
 A ruptura frágil das seções transversais, quando da formação da primeira fissura, deve 
ser evitada considerando-se, para o cálculo das armaduras uma armadura mínima de tração 
determinada pelo momento fletor que produziria a ruptura da seção de concreto simples. 
A especificação de valores máximos para as armaduras decorre da necessidade de 
assegurar condições de ductilidade e de se respeitar o campo de validade dos ensaios que 
deram origem às prescrições de funcionamento do conjunto aço-concreto. 
As,mín = ρmín Ac Valores de ρmín: consultar tabela 17.3 da norma (abaixo). 
 
 
 
 
 
A soma das armaduras de tração e de compressão: (As+ As’) = 4% Ac (17.3.5.2.4) 
 
(NBR 6118 - item 18.3.2.2) 
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DISCIPLINA: ESTABILIDADE 
 
O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no 
plano da seção transversal, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores: 
 
 
 
 
 
a) na direção horizontal (ah): 
- 20 mm; 
- diâmetro da barra, do feixe ou da luva; considere o diâmetro da barra sendo 
igual a: φ = φ + 0,04.φ; 
- 1,2 vezes o diâmetro máximo do agregado, nas camadas horizontais; 
 
b) na direção vertical (av): 
- 20 mm; 
- diâmetro da barra, do feixe ou da luva; considere o diâmetro da barra sendo 
igual a: φ = φ + 0,04.φ; 
- 0,5 vezes o diâmetro máximo do agregado, nas camadas horizontais; 
TIPO DE BRITA DIÂMETRO (mm) 
Brita 0 4,8 a 9,5 
Brita 1 9,5 a 19 
Brita 2 19 a 25 
Brita 3 25 a 38 
 
Armadura de Pele 
Usar em vigas com altura maior que 60 cm; 
Função: minimizar os problemas de decorrentes da fissuração, retraçãoe variação de 
temperatura; 
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DISCIPLINA: ESTABILIDADE 
 
Diminuir a abertura de fissuras de flexão na alma das vigas; 
RECOMENDAÇÕES: 
- Deve ser colocada em cada face da alma da viga com área igual ou superior em cada face da 
viga igual a: 
As Pele = 0,10 % x b x h 
 
- O espaçamento das barras deve atender situação mais conservadora abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d/3 
20 cm 
 
 
t > 
 
 
15 φ 
t 
t 
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DISCIPLINA: ESTABILIDADE 
 
Características de fios e barras (NBR 7480 - Tabela 1 do anexo B) 
DIÂMETRO NOMINAL (mm) VALORES NOMINAIS 
 
FIOS 
 
BARRAS 
 
ÁREA DA SEÇÃO 
(cm
2
) 
MASSA POR UNIDADE 
DE COMPRIMENTO 
(kg/m) 
 
PERÍMETRO 
(mm) 
3,4 0,091 0,071 10,7 
4,2 0,139 0,109 13,2 
5,0 
6,0 
- 
5,0 
- 
6,3 
0,196 
- 
0,312 
0,154 
- 
0,245 
17,5 
- 
19,8 
8,0 8,0 0,503 0,395 25,1 
10,0 10,0 0,785 0,617 31,4 
 12,5 1,23 0,905 39,3 
 16,0 2,01 1,578 50,3 
 20,0 3,14 2,466 62,8 
 25,0 4,91 3,853 78,5 
 32,0 8,04 6,313 100,5 
 40,0 12,57 9,865 125,7 
 
 
 
 
 
 
 
 
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DISCIPLINA: ESTABILIDADE 
 
CISALHAMENTO 
No cisalhamento, quando o esforço cortante atua isoladamente na seção, as tensões 
de cisalhamento que aparecem para equilibrar a solicitação externa têm distribuição uniforme; 
atuando também a solicitação momento fletor na seção, as tensões de cisalhamento distribuir-
se-ão de forma totalmente diferente, apesar de sua resultante continuar sendo a mesma. Por 
este motivo, para o estudo do cisalhamento, não se pode considerar o esforço cortante agindo 
isoladamente, mas sim simultaneamente com o momento fletor. 
Além disto, existem outros fatores que influem sobre a capacidade resistente à força cortante 
de uma viga: forma da seção transversal; variação da seção transversal ao longo da peça; 
esbeltez; disposição das armaduras; aderência aço/concreto; tipo de cargas e apoios. Portanto, 
na análise de vigas de concreto armado submetidas a esforços cortantes, se faz necessário 
tratar a peça como um todo, já que os mecanismos resistentes que se formam são geralmente 
tridimensionais. 
Símbolos e Abreviações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MPa. em , sendo ,
250
1
....27,0
;Compressão de Biela da compressão a referente Cortante Esforço
4,1.
Cálculo de Esforço
(kN) Cortante Esforço
ck
ck
V
wcdVRD
RD
SSD
SD
S
ff
dbfV
V
VV
V
V






−=
=
=
=
=
=
α
α
CSd
ckck
C
cdVRd
Rd
w
SD
Sd
Sd
ff
f
db
V
τττ
τ
τ
τ
ατ
τ
τ
τ
−=
=
=
=
=
=
=
=
Sw
Sw
3 2
C
2
2
al transversarmadura pela resistidaser a l tangenciaTensão 
MPa. em ; sendo ;.09,0
concreto pelo absorvida Tensão 
..27,0
)(kN/m compressão de biela pela resistida Tensão 
.
)(kN/m cálculo de esolicitant Tensão 
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CURSO EDIFICAÇÕES 
DISCIPLINA: ESTABILIDADE 
 
 
 
 
 
 
 
Prescrições Para o Detalhamento da Armadura Transversal 
Quantidade Mínima de Estribos 
Nos elementos lineares submetidos à força cortante, deve sempre existir uma armadura 
transversal mínima, conforme o item 17.4.1.1.1 da NBR 6118:2003, constituída por estribos 
colocados em toda a sua extensão, com a seguinte taxa geométrica: 
 
 
 
 
 
Força Cortante Resistida pela Taxa de Armadura 
 
 
Armadura de Suspensão 
 
 
 
Espaçamento entre Elementos da Armadura da Transversal 
O espaçamento mínimo entre estribos, medido segundo o eixo longitudinal do elemento 
estrutural, deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador, garantindo bom 
escolhida; bitola da al transversseção da área 
.
s
 verticaisestribos dos oEspaçament 
.11,1
al transversarmadura de Taxa 
=
=
=
=
=
Sw
wSw
Sw
yd
Sw
Sw
Sw
A
b
A
s
f
ρ
τρ
ρ
min,
3 2
min,
min,
:
MPa; em ,.3,0
.2,0
mínima al transversarmadura de Taxa 
SwSw
ckckctm
y
ctm
Sw
Sw
Observação
fff
f
f
ρρ
ρ
ρ
≥
=
=
=




 += 3
2
..10,0..d..644
ckydSwwR ffbV ρ
apoiada. vigana 30% e
indireto; apoio apoio, de vigana 70% Sendo
;fyd
V
A SdSUSP =
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CURSO EDIFICAÇÕES 
DISCIPLINA: ESTABILIDADE 
 
adensamento. O espaçamento máximo (Smáx), deve atender às seguintes condições de acordo 
com item 18.3.3.2 da norma: 
 
 
Cargas Próximas aos Apoios 
De acordo com o item 17.4.1.2.1 da NBR 6118:2003, para o cálculo da armadura transversal, se 
a carga e a reação de apoio forem aplicadas em faces opostas da peça, comprimindo-a, é 
permitido: 
a) Considerar a força cortante oriunda de carga distribuída, no trecho entre o apoio e a 
seção situada à distância d/2 da face do apoio, constante e igual a desta seção. 
b) Reduzir a força cortante devida a uma carga concentrada, aplicada à distância “a” ≤ 2.d 
do centro do apoio, nesse trecho de comprimento “a”, multiplicando-se por a/(2.d). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



>≤
≤≤
≤
RdSd
RdSd
VVmmd
VVmmd
S
.67,0 se 200.3,0
.67,0 se 300.6,0
max
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DISCIPLINA: ESTABILIDADE 
 
EXEMPLO: 
Calcular a armadura transversal da viga V101, na seção junto ao apoio central. Dados: Aço 
CA50; fck = 20 MPa; estribos de f = 6,3 mm (0,32 cm2); bw = 25 cm; h = 90 cm; d = 80 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1- Verificação do esmagamento da biela de compressão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
kNV
V
dbfV
f
V
kNV
V
V
kNV
RD
RD
wcdVRD
V
ck
V
RD
SD
SD
SD
S
7,709
8,0.25,0.
4,1
20000
.92,0.27,0
....27,0
92,0
250
201
250
1
;Compressão de Biela da compressão a referente Cortante Esforço
7,357
4,1.5,255
Cálculo de Esforço
5,255
=
=
=
=





−=






−=
=
=
=
=
=
α
α
α
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DISCIPLINA: ESTABILIDADE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MPa
MPa
ff
MPa
mkN
f
MPa
mkN
CSd
ckck
C
Rd
Rd
Rd
cdVRd
Rd
Sd
Sd
Sd
Sd
13,1
66,079,1
al transversarmadura pela resistidaser a l tangenciaTensão 
66,0
20.09,0
MPa. em ; sendo ;.09,0
concreto pelo absorvida Tensão 
55,3
/3549
4,1
20000
.92,0.27,0
..27,0
)(kN/m compressão de biela pela resistida Tensão 
79,1
/1789
80,0.25,0
7,357
)(kN/m cálculo de esolicitant Tensão 
Sw
Sw
Sw
Sw
C
3 2
C
3 2
C
2
2
2
2
=
−=
−=
=
=
=
=
=
==
=
=
=
=
=
=
=
τ
τ
τττ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
ατ
τ
τ
τ
τ
τ
escolhida; bitola da al transversseção da área 
90,8
25.10.88,2
32,0.2
.
s
 verticaisestribos dos oEspaçament 
10.88,2
15,1/500
13,1.11,1
.11,1
al transversarmadura de Taxa 
3
3
=
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
Sw
wSw
Sw
Sw
Sw
yd
Sw
Sw
Sw
A
cms
s
b
A
s
f
ρ
ρ
ρ
τρ
ρ
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CURSO EDIFICAÇÕES 
DISCIPLINA: ESTABILIDADE 
 
Verificação das Prescrições Para o Detalhamento da Armadura Transversal 
Armadura Transversal Mínima 
 
 
 
 
 
 
Espaçamento máximo possível para que a taxa mínima necessária seja atingida: 
 
 
 
 
A norma também estabelece o máximo espaçamento que pode haver entre os estribos, 
dependendo do valor da relação abaixo: 
 
 
 
 
 
Dessa maneira, o espaçamento correspondente à armadura mínima deverá ser no 
máximo igual a 29,1 cm. Será adotado, por facilidade de execução, espaçamento para a 
armadura mínima igual a s = 25 cm, com estribos verticais de φ = 6,3 mm. 
 
 
 
 
00088,0
500
20.3,0
.2,0
MPa; em ,.3,0
.2,0
mínima al transversarmadura de Taxa 
min,
3 2
min,
3 2
min,
min,
=
=
=
=
=
Sw
Sw
ckckctm
y
ctm
Sw
Sw
fff
f
f
ρ
ρ
ρ
ρ
cms
s
1,29
25.00088,0
32,0.2
s
 verticaisestribos dos oEspaçament 
≤
=
=
cmS
cm
cm
S
VVmmd
VVmmd
S
RdSd
RdSd
30
30
4880.6,0
504,0
7,709
7,35767,0
.67,0 se 200.3,0
.67,0 se 300.6,0
max
max
max
=


 =
≤
=>



>≤
≤≤
≤
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CURSO EDIFICAÇÕES 
DISCIPLINA: ESTABILIDADE 
 
Força Cortante Resistida pela Armadura Mínima 
 
 
 
 
 
 
 
Regiões em que a força cortante é inferior a 153,3 kN, usar estribos simples de φ = 6,3 
mm a cada 25 cm. 
Regiões em que a força cortante está entre 153,3 e 255,5 kN, estribos duplos de φ = 
6,3 mm a cada 17,5 cm. 
Comprimento do trecho com armadura mínima 
Por semelhança de triângulo: 
 
 
 
Número de estribos em cada região 
A quantidade de estribos em cada região, colocados a partir da face dos pilares, que têm 
dimensão de 40 cm na direção da viga, é a seguinte: 
- regiões com armadura mínima: 
 
 
- Demais regiões: 
 
 
kNV
V
ffbV
R
R
ckydSwwR
2,152
20..10,0
15,1
500
.001024,0.0,80.25,0.644
..10,0..d..644
3 2
3 2
=






+=




 += ρ
001024,0
25.25
32,0.2
.
=
=
=
Sw
Sw
w
Sw
Sw bs
A
ρ
ρ
ρ
mc
c
0,6
3,1533,153
8
5,2553,153
=
+
+
+
estribos 24
2,23
25
20600
=
=
−
=
adotado
n
estribos 11
28,10
5,17
20200
=
=
−
=
adotado
n
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CURSO EDIFICAÇÕES 
DISCIPLINA: ESTABILIDADE