Introducao basica a probabilidade

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Universidade Federal da Bahia 
Instituto de Matemática 
Departamento de Estatística 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA 
 
 
MAT194 - ESTATÍSTICA ECONÔMICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professora: Lia Terezinha L. P. Moraes 
 
 
 
 
 
Março de 2011 
 
 
 
 
 
UFBA – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística Março de 2011 
Disciplina: MAT194 – Estatística Econômica Lia Terezinha L. P. Moraes 
1
UFBA – Departamento de Estatística 
MAT194 – Estatística Econômica 
Notas de aula 
 
Lia Terezinha L. P. de Moraes 
Março de 2011 
 
 
I – INTRODUÇÃO À TEORIA DAS PROBABILIDADES 
 
 
 
 
1. UM POUCO DA HISTÓRIA DO CÁLCULO DAS PROBABILIDADES 
 
 
“Paralelamente ao desenvolvimento da Estatística como disciplina científica, mas 
de forma independente, desenvolveu-se, a partir do século XVII, o Cálculo das 
Probabilidades. Seus iniciadores são os matemáticos italianos e franceses desse século, 
particularmente FERMAT e PASCAL, que iniciaram os estudos do cálculo das 
probabilidades tratando de resolver problemas de jogos de azar propostos pelo cavaleiro 
de MÉRÉ. Pouco a pouco outros matemáticos, e posteriormente os do século XVIII, foram 
interessando-se por este tipo de estudo e ampliando os resultados, até que Tiago 
BERNOULLI (1654 –1705) obteve o teorema que se conhece com seu nome e que 
permitiu estruturar o cálculo das probabilidades como disciplina orgânica. Pelos fins do 
século XVIII e princípios do século XIX, os trabalhos de LAPLACE permitiram dar sua 
estruturação definitiva ao Cálculo das Probabilidades; em suas obras Teoria analítica da 
probabilidade (1818) e Ensaio filosófico sobre as probabilidades (1814) completou a obra 
de BERNOULLI e seus continuadores, provendo o Cálculo das Probabilidades de recursos 
matemáticos que haveriam de levá-lo mediante a obra do próprio LAPLACE e de outros 
matemáticos como POISSON, GAUSS, etc., ao grau de aperfeiçoamento que o tornou 
apto para as aplicações a diversos campos da ciência e muito especialmente à Estatística. 
 
“A partir de LAPLACE, as duas disciplinas, Cálculo das Probabilidades e 
Estatística, que até então haviam permanecido separadas, fundiram-se de maneira que o 
Cálculo das Probabilidades constitui a andaimaria matemática da estatística, pela qual esta 
pôde tomar o impulso teórico que haveria de levá-la ao extraordinário desenvolvimento e 
aperfeiçoamento que alcançou no século passado e no presente1. O impulso que levou ao 
atual estado de desenvolvimento do Cálculos das Probabilidades, produzido entre fins do 
século passado e princípios do presente, deve-se principalmente a franceses, russos e norte 
americanos, com a colaboração de alemães, escandinavos, ingleses, italianos, etc..”2 
 
1 Diz respeito aos séculos XIX e XX (Nota do professor). 
2 TORANZOS, Fausto. Estatística. Ed. Mestre Jou, 1969. p.2-3. 
 
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2
2. MODELOS MATEMÁTICOS 
 
Os modelos matemáticos consistem em uma simplificação da realidade. São uma 
idealização das características do fenômeno observado. Eles podem ser: 
 
a) Determinísticos: quando dadas as condições de experimentação pode-se determinar ou 
predizer o resultado final do experimento. 
 
b) Não-determinísticos (ou probabilísticos ou estocásticos): quando não é possível 
predizer, com certeza, o resultado antes da realização do experimento. 
 
Exemplos: 
i) Um médico investigando o efeito de uma droga administrada em pacientes; 
ii) O estudo do efeito de um fertilizante químico em uma parcela de solo; 
iii) A análise dos preços mensais de três bens de consumo; 
iv) A soma dos pontos de dois dados; etc. 
 
 
3. OBJETIVO GERAL DA TEORIA DAS PROBABILIDADES 
 
De uma forma bem geral, a Teoria das Probabilidades visa definir um modelo 
matemático não-determinístico (probabilístico ou estocástico) que seja conveniente à 
descrição e interpretação de fenômenos aleatórios. 
 
Fenômenos aleatórios ou experimentos aleatórios são aqueles onde o processo 
de experimentação está sujeito a influências de fatores casuais e conduz a resultados 
incertos. 
 
NOTAÇÃO: E = experimento aleatório 
 
4. CARACTERIZAÇÃO DE UM EXPERIMENTO ALEATÓRIO 
 
1º) Cada experimento poderá ser repetido um grande número de vezes sob as mesmas 
condições iniciais; 
 
2º) Em cada repetição do experimento, não podemos afirmar que resultado particular 
ocorrerá, porém podemos descrever o conjunto de todos os resultados possíveis do 
experimento - as possibilidades de resultado. 
 
3º) Quando o experimento é repetido um grande número de vezes, surgirá uma 
regularidade nos resultados. Esta regularidade, chamada de regularidade estatística, é 
que torna possível construir um modelo matemático preciso com o qual se analisará o 
experimento. 
 
 
5. ESPAÇO AMOSTRAL OU ESPAÇO-AMOSTRA 
 
NOTAÇÃO: S = espaço amostral 
 
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3
DEFINIÇÃO: Para cada experimento aleatório E definimos um espaço amostral que 
consiste no conjunto de todos os resultados possíveis de E. 
 
Exemplos: 
E1: Lançamento de uma moeda e observar a face voltada para cima ⇒ S = {Cara, Coroa}; 
E2: Lançamento de um dado e observar o lado voltado para cima ⇒ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; 
E3: Retirar ao acaso uma carta de um baralho completo de 52 cartas ⇒ 
S = {A♣; 2♣; ...; K♣; A♦; 2♦; ... ; K♦; A♥; ... ; K♥; A♠; ... ; K♠}; 
E4: Determinação da vida útil de um componente eletrônico ⇒ S = {t ∈ R | t ≥ 0}. 
 
Observações: 
i) O espaço amostral pode ser finito ou infinito. No nosso curso trabalharemos 
apenas com espaços amostrais finitos. 
ii) O espaço amostral pode ser representado por: 
• Um número; 
• Grupo de números; 
• Atributos; 
• Grupo de atributos; ou 
• Combinações de aspectos quantitativos e qualitativos. 
 
 
6. EVENTOS 
 
Ao realizarmos um experimento podemos estar interessados em observar 
informações diferentes. Por exemplo: 
Experimento aleatório E: lançar um dado e observar o lado voltado para cima. 
Espaço amostral S: {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Com respeito ao resultado que ocorrerá, poderá ser um número maior ou igual a 3, 
um número par, o número 3, etc. 
 
DEFINIÇÃO: Dado um espaço amostral S, associado a um experimento E, definimos 
como evento qualquer subconjunto desse espaço amostral. 
 
Como estamos tratando com conjuntos são válidas, portanto, todas as operações 
indicadas na Teoria dos Conjuntos e, a partir dessas operações, podemos gerar novos 
eventos. 
 
Exemplo: Seja o experimento aleatório anterior: 
E: Lançar um dado e observar o lado voltado para cima 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
Sejam os seguintes eventos: 
 
A: sair o número 3 ⇒ A = {3}. Ao evento que tem apenas um elemento chamamos de 
evento simples ou elementar. 
B: sair o número 10 ⇒ B = { } = φ. O conjunto correspondente ao conjunto vazio 
chamamos de evento impossível. 
 
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C: sair um número menor ou igual a 6 ⇒ C = S = espaço amostral. Ao conjunto que se 
identifica com o espaço amostral chamamos de evento certo. 
 
A ou AC:não sair o número 3 ⇒ A = {1, 2, 4, 5, 6}. A esse conjunto damos o nome de 
evento complementar de A. 
 
DEFINIÇÃO: Dois eventos são chamados mutuamente exclusivos ou mutuamente 
excludentes se esses eventos não ocorrem simultaneamente. Ou seja, a intersecção entre 
os dois eventos é o conjunto vazio. 
 
Exemplo: Com base no mesmo experimento do exemplo anterior, definimos os seguintes 
eventos: 
F: sair um número par ⇒ F = {2, 4, 6} 
G: sair um número ímpar ⇒ G = {1, 3, 5} 
H: sair número primo ⇒ H = {2, 3, 5} 
I: sair o número 1 ⇒ I = {1} 
 
Os eventos mutuamente exclusivos são aqueles onde não existe intersecção 
entre os dois eventos. Neste exemplo são: 
• F e G, pois F ∩ G = φ; 
• F e I, pois F ∩ I = φ; 
• H e I, pois H ∩ I = φ. 
 
Observação: 
 A partir de um espaço amostral finito de n elementos podemos construir 2n 
eventos. Seja S = {s1, s2, s3, … , sn}. Fazendo todas as combinações possíveis , para 
i = 0, 1, 2, …, n, com os n elementos desse espaço amostral. Temos: 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
i
n
 
 
1
0
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛n ⇒ φ = evento impossível; 
1
1
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛n ⇒ {s1}, {s2}, {s3}, … , {sn}; 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
2
n ⇒ {s1, s2}, { s1,, s3}, ... ,{sn-1, sn}; 
………………………………………….. 
1=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
n
n ⇒ {s1, s2, s3, … , sn}. 
O resultado final fica para a = 1 e 
b = 1 (Binômio de Newton). 
( ) nnba
n
n
n
nnnn
2
1
 
...
210
=+=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−++⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
 
 
7. CONCEITO DE PROBABILIDADE 
 
A terceira característica enunciada do experimento aleatório apresenta o conceito 
de regularidade estatística quando repetimos o experimento um grande número de vezes. 
 
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Vejamos, através de um exemplo, como podemos entender essa regularidade nos 
resultados. 
 
Exemplo: Seja o seguinte experimento aleatório: 
E: Lançamento de uma moeda ⇒ S = {Cara, Coroa} 
Desejamos estudar o evento A: sair cara ⇒ A = {Cara} 
Vamos repetir o experimento de lançar a moeda 20 vezes ⇒ n = 20. 
Vamos definir: 
nA = n
o de vezes que ocorreu o evento A nas n repetições do experimento aleatório E; 
f A = freqüência relativa do evento A nas n repetições de E. 
 
O resultado referente aos 20 lançamentos da moeda encontra-se na tabela a 
seguir: 
 
n nA f A n nA f A 
1 1 1 11 6 6/11 
2 1 1/2 12 7 7/12 
3 2 2/3 13 7 7/13 
4 3 3/4 14 8 8/14 
5 3 3/5 15 8 8/15 
6 3 3/6 16 8 8/16 
7 3 3/7 17 8 8/17 
8 4 4/8 18 8 8/18 
9 5 5/9 19 9 9/19 
10 5 5/10 20 9 9/20 
 
O gráfico a seguir corresponde ao número de repetições do experimento versus 
freqüência relativa: 
 
 
Número de ocorrências da face "cara" em 20 lances de uma
moeda
n
Freq. 
relativa
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
 
 
Podemos observar que a medida que aumentamos o número de lances da moeda a 
freqüência relativa de caras aproxima-se de 0,5. 
 
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DEFINIÇÃO: A freqüência relativa do evento A, denotada por f A, é definida pela divisão 
do número de vezes que ocorreu o evento A pelo número de repetições do experimento. 
n
nf AA = 
 
 
7.1. PROBABILIDADE DE UM EVENTO ELEMENTAR 
 
 
A cada evento elementar do espaço amostral S de um experimento aleatório E 
podemos associar um número real que expresse a regularidade estatística mostrada acima. 
 
Exemplo: No caso do lançamento de uma moeda: S = {cara; cora} 
 
Podemos associar a cada evento elementar o valor real 0,5 para expressar a chance 
de ocorrer cada um desses resultados num grande número de lançamentos da moeda, como 
foi visto no exemplo anterior. Podemos escrever, então: 
 
P(cara) = 0,5 e, conseqüentemente, P(coroa) = 0,5. 
 
 
Exemplo: Em um dado defeituoso não aparece face alguma com 3 pontos, ao passo que há 
duas faces com 5 pontos. 
S = { 1; 2; 4; 5; 6} 
 
É razoável admitir que, num grande número de lançamentos, a face 5 ocorra duas vezes 
mais que cada uma das demais faces. Se atribuirmos números para indicar as chances de 
ocorrência de cada face, deveremos adotar: 
;
6
1)1( =P ;
6
1)2( =P ;
6
1)4( =P ;
6
2)5( =P e 
6
1)6( =P . 
 
 
Probabilidade de um evento elementar 
 
Generalizando, sendo S = { e1; e2; e3; ... ; en} um espaço amostral finito, a cada 
evento elementar {ei} associamos um número real P(ei), chamado probabilidade do evento 
elementar {ei}, que satisfaz as seguintes condições: 
 
a) P(ei) ≥ 0 para todo i; 
 
b) P(e1) + P(e2) + ... + P(en) = 1. 
 
Conseqüentemente, para qualquer evento elementar {ei} temos: 
 
0 ≤ P(ei) ≤ 1 
 
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7.2. PROBABILIDADE DE UM EVENTO QUALQUER 
 
Seja A um evento qualquer composto por ek eventos elementares: 
A = {e1; e2; e3; ... ; ek}. Então: 
 P(A) = P(e1) + P(e2) + ... + P(ek) 
 
Propriedades: 
 
a) Se A = S ⇒ P(A) = P(S) = 1 
 
b) Se A = φ ⇒ P(A) = 0 
 
c) 0 ≤ P(A) ≤ 1 
 
Exemplo: Seja o lançamento de um dado não viciado. Calcule a probabilidade dos 
seguintes eventos: 
a) Sair o número 3; 
b) Sair um número par; 
c) Sair um número primo; 
d) Sair um número menor ou igual a 8. 
 
Resolução: S = { 1; 2; 3; 4; 5; 6} 
 
a) P(1) = P(2) = P(3) = ... = P(6) = 1/6 
 
b) A = { 2; 4; 6} ⇒ P(A) = P(2) + P(4) + P(6) = 3/6 = 1/2 
 
c) B = { 2; 3; 5} ⇒ P(B) = P(2) + P(3) + P(5) = 3/6 = 1/2 
 
d) C = { 1; 2; 3; 4; 5; 6} = S ⇒ P(C) = P(S) =1 
 
 
7.3. PROBABILIDADE EM UM ESPAÇO AMOSTRAL EQUIPROVÁVEL 
 
 
DEFINIÇÃO: Um espaço amostral é chamado equiprovável quando seus eventos 
elementares têm iguais probabilidades de ocorrência. 
Sendo S = { e1; e2; e3; ... ; en} ⇒ neP i
1)( = . 
 
Exemplo: No lançamento de um dado não viciado observamos a face superior. 
 
Resolução: Como o dado é não viciado, facilmente percebe-se que cada face tem uma 
chance em seis de ocorrer. Logo, se atribuirmos probabilidades aos eventos elementares 
teremos: 
Espaço amostral - S 1 2 3 4 5 6 
Probabilidade 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 
 
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Consideremos, agora, o seguinte evento: 
 
A = sair um número par no lançamento de um dado = { 2, 4, 6,} 
 
Como o espaço amostral é equiprovável, existem três chances em seis de ocorrer o 
evento A. Assim a probabilidade de ocorrer o evento A, denotado por P(A), é igual a 3/6. 
 
Estas considerações motivam a definição de probabilidade de um evento A, 
associado a um espaço amostral equiprovável, da seguinte forma: 
 
)S(#
)A(#
possíveis casos de número
favoráveis casos de número
 Sde elementos de número
A evento do elementos de número)A(P === 
 
Pela definição acima perceber-se que, no caso de espaços amostrais equiprováveis, 
não é necessário descrever o espaço amostral e os eventos para calcular as probabilidades. 
Basta que seja determinadoo número de elementos do evento em estudo e do espaço 
amostral ao qual ele está associado. Para tanto, são utilizadas técnicas de contagem 
(análise combinatória). 
 
Exemplos: 
 
i) Duas moedas são jogadas simultaneamente. 
a) Qual é a probabilidade de obtermos uma cara? 
b) Qual a probabilidade de obtermos pelo menos uma cara? 
 
Resolução: Vamos utilizar as seguintes notações: 
C = sair “cara” 
K = sair “coroa” 
S = { (C, C); (C, K); (K, C); (K, K)} ⇒ espaço amostral equiprovável 
# (S) = 4 = casos possíveis de S 
 
a) Seja A = obter uma cara, então A = {(C, K); (K, C)} logo 
# (A) = 2 = casos favoráveis do evento A ⇒ P(A) = 2/4 = 1/2. 
 
b) Seja B = obter pelos menos uma cara, então B = {(C, K); (K, C); (C, C)} 
# (B) = 3 = casos favoráveis de B ⇒ P(B) = 3/4. 
 
 
ii) Consideremos o jogo Mega Sena da Loteria Federal. Este jogo consiste em escolher 
apenas seis números entre os sessenta existentes (01, 02, 03, ..., 60). Qual a probabilidade 
de você ganhar o prêmio marcando apenas seis números? 
 
Resolução: Seja A o evento “acertar os seis números sorteados”. Como a descrição precisa 
do espaço amostral é inviável, apenas definiremos o seu número de elementos: 
 
# (S) = ( )
!6
555657585960
)!660(!6
!6060
6
6
60
×××××=−==C = 50.063.860 
 
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Como só existe um conjunto de seis números que permite ganhar o prêmio, temos: 
 
860.063.50
1)( =AP . 
 
iii) Uma caixa contém 100 peças, com 5 defeituosas. Qual a probabilidade de duas peças 
escolhidas ao acaso serem ambas perfeitas? 
 
Resolução: Existem ( )1002 maneiras de escolhermos duas peças quaisquer. Então: 
 # (S) = ( )1002 elementos. 
Seja o evento A = “escolher duas peças perfeitas”. Então # (A) = ( )952 elementos. 
Logo, P(A) = 95 94
100 99
0 902×× = , . 
 
Propriedades: 
 
1º) P S( ) = 1; 
 
2º) P( )φ = 0; 
 
3º) Se A e B são dois eventos mutuamente exclusivos, então P A B P A P B( ) ( ) (∪ = + ). 
 
4º) Se A é o evento complementar de A, então )(1)( APAP −= . 
 
5º) Se A e B são dois eventos quaisquer, então P B A P B P A B( ) ( ) ( )− = − ∩ . 
 
6º) Se A e B são dois eventos quaisquer, então P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( )∪ = + − ∩ . 
 
Observações: 
 
i) Dizemos que o evento A ∪ B ocorre se, e somente se, A ocorre ou B ocorre ou ambos 
ocorrem. 
 
ii) O evento A ∩ B ocorre se, e somente se, A e B ocorrem. 
 
iii) O evento A ocorre se, e somente se, não ocorre A. 
 
Exemplos: 
 
i) Uma urna contém quatro bolas azuis, três vermelhas e duas brancas. Se retirarmos uma 
bola ao acaso, calcule a probabilidade de: 
a) ser vermelha; 
b) não ser vermelha; 
c) ser vermelha ou branca; 
d) ser azul. 
 
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Resolução: Sejam os seguintes eventos: 
V = sair bola vermelha 
A = sair bola azul 
B = sair bola branca 
 
a) P(V) = número de bolas vermelhas
número total de bolas
= 3
9
 
b) P V P V( ) ( )= − = − =1 1 3
9
6
9
 
c) P V B P V P B( ) ( ) ( )∪ = + = + =3
9
2
9
5
9
 
d) P A( ) = 4
9
 
 
ii) Dados P(A) = 1/2; P(B) = 3/8 e P(A ∩ B) = 1/8, calcule: 
a) P(A ∪ B); 
b) P A B( )∩ ; 
c) P A B( )∩ . 
 
Resolução: 
a) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 1/2 + 3/8 - 1/8 = 6/8 = 3/4 
b) P A B P A B P A B( ) ( ) ( ) ( / )∩ = ∪ = − ∪ = − =1 1 3 4 /1 4 
c) P A B P A B P A P A B( ) ( ) ( ) ( ) / /∩ = − = − ∩ = − =1 2 1 8 3 8/ 
 
iii) Para a Copa do Mundo 24 países são divididos em seis grupos, com 4 países cada um. 
Supondo que a escolha do grupo de cada país é feita ao acaso, calcular a probabilidade de 
que dois determinados países A e B se encontrem no mesmo grupo. (Na realidade a 
escolha não é feita de forma completamente aleatória). 
 
Resolução: Primeiro vamos considerar apenas um grupo. Existem ( )244 maneiras de 
sortearmos 4 países. Agora, fixando os países A e B dentro do grupo, existem ( )222 
maneiras de ocupar os dois lugares restantes. Portanto, a probabilidade de A e B 
pertencerem ao mesmo grupo é de 
( )( )244 
22
2 
. 
Considerando que são 6 grupos, para calcularmos a probabilidade de que dois 
determinados países A e B se encontrem no mesmo grupo basta multiplicarmos a 
probabilidade acima por 6. Isto é: ( )( ) 2336244 
22
2 =. . 
 
 
8. PROBABILIDADE CONDICIONAL 
 
Exemplo: Suponha que o quadro a seguir resuma as informações de um levantamento das 
empresas industriais e comerciais de certo município em certo ano, discriminado segundo 
o porte: 
 
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ATIVIDADE PORTE INDÚSTRIA (I) COMÉRCIO (C) TOTAL 
MICRO (M) 40 50 90 
PEQUENA (P) 20 40 60 
MÉDIA (D) 15 20 35 
GRANDE (G) 5 10 15 
TOTAL 80 120 200 
 
Qual a probabilidade de selecionarmos ao acaso uma empresa comercial, sabendo 
que a empresa escolhida é uma pequena empresa? 
 
Resolução: E: selecionar uma empresa entre as 200 pesquisadas ⇒ # (S) = 200 
 
Sejam os seguintes eventos: 
P: a empresa é de pequeno porte ⇒ # (P) = 60 
C : a empresa é comercial ⇒ # (C) = 120 
C P∩ : a empresa é comercial e de pequeno porte ⇒ # (C ∩ P) = 40 
 
Sabemos, a priori, que a empresa selecionada é uma pequena empresa. Assim 
nossa observação fica reduzida apenas ao evento P. A probabilidade de selecionarmos 
uma empresa comercial sabendo que ela é uma pequena empresa é a relação entre o 
número de empresas que são simultaneamente comerciais e pequenas e o número de 
empresas pequenas. Isto é, 40/60. 
 
Este resultado pode ser obtido também da seguinte maneira: 
P C P
P P
( )
( )
∩ = =
40
200
60
200
40
60
 
 
Ou seja, podemos ver que a probabilidade de selecionarmos uma empresa 
comercial ao acaso sabendo, a priori, que é uma pequena empresa é o mesmo que 
calcularmos a probabilidade da ocorrência simultânea dos eventos comercial e pequena 
dividido pela probabilidade de ser uma empresa pequena. 
 
DEFINIÇÃO: Dados dois eventos A e B associados a um mesmo espaço amostral S, se 
P(A) > 0, a probabilidade de ocorrência do evento B condicionado à ocorrência do 
evento A (ou probabilidade de B dado A), é definida por: 
 
)(
)()|(
AP
BAPABP ∩= . 
 
Exemplo: Com os dados do exemplo anterior, calcular a probabilidade da empresa 
selecionada ser pequena, dado que é uma empresa comercial? 
Resolução: 
3
1
120
40
200
120
200
40
)(
)()|( ===∩=
CP
CPPCPP 
 
 
 
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9. ALGUMAS CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE 
CONDICIONAL 
 
 
9.1. TEOREMA DO PRODUTO (OU DA MULTIPLICAÇÃO) 
 
 
Se A e B são dois eventos quaisquer associados ao mesmo espaço amostral, com 
probabilidades positivas, então a probabilidade da ocorrência simultânea de A e B, 
P A B( ∩ ), é dada por: 
 
)|().()|().()( BAPBPABPAPBAP ==∩ . 
 
 
Exemplo: Uma caixa contém cinco bolas brancas, três vermelhas e duas azuis. Seescolhermos três bolas ao acaso, sucessivamente e sem reposição, qual a probabilidade de 
sair uma vermelha, depois uma branca e depois uma azul? 
 
Resolução: 
Sejam os seguintes eventos: B = “bola branca”; V = “bola vermelha”; e A = “bola 
azul”. A probabilidade pedida é a ocorrência simultânea de bola vermelha na primeira 
extração, bola branca na segunda extração e bola azul na terceira. Usaremos a seguinte 
notação para o cálculo da probabilidade solicitada: P V B A( ).1 2 3∩ ∩
 
Como a extração das bolas é sem reposição, após cada extração efetuada o espaço 
amostral diminui em uma unidade. Assim, 
 
)|().|().()( 213121321 BVAPVBPVPABVP ∩=∩∩ . 
 
As probabilidades do segundo membro da expressão são: 
 
P V( )1
3
10
= =número de bolas vermelhas
número total de bolas
 
 
9
5
1-bolasde totalnúmero
brancas bolas de totalnúmero)|( 12 ==VBP 
 
8
2
2-bolasdetotalnúmero
azuis bolas de número)|( 213 ==∩ BVAP 
 
Portanto, P V B A( ) . .1 2 3
3
10
5
9
2
8
1
24
∩ ∩ = = . 
 
 
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Disciplina: MAT194 – Estatística Econômica Lia Terezinha L. P. Moraes 
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9.2. INDEPENDÊNCIA ESTATÍSTICA 
 
 
DEFINIÇÃO : Se A e B são eventos independentes, então: 
 
 P A B P A P B( ) ( ). ( )∩ = . 
 
Uma explicação intuitiva para a definição acima é: se B independe de A, então 
tanto a ocorrência quanto a não ocorrência de A não afetam a probabilidade de B ocorrer, 
isto é: 
)()|( e )()|( BPABPBPABP == 
 
e pelo Teorema do Produto temos que: 
)().()|().()( BPAPABPAPBAP ==∩ 
 
Observação: 
Se A ∩ B = φ (mutuamente exclusivos), então A e B não são independentes, isto é, 
, a menos que um deles tenha a probabilidade zero. 0)().( ≠BPAP
 
 
Exemplos: 
 
i) Com os mesmos dados do exemplo anterior, vamos supor que a extração das bolas seja 
feita com reposição. Calcular P V B A( )1 2 3∩ ∩ . 
 
Resolução: 
Como a extração das bolas é realizada com reposição, a cada extração temos o 
mesmo espaço amostral. Então: 
 
)().().()|().|().()( 321213121321 APBPVPBVAPVBPVPABVP =∩=∩∩ 
P V B A P V P B P A( ) ( ). ( ). ( ) . .1 2 3 1 2 3
3
10
5
10
2
10
3
100
∩ ∩ = = = 
 
ii) A probabilidade de que A resolva um problema é de 1/3 e a probabilidade de que B 
resolva é 3/4. Se ambos tentarem independentemente, qual a probabilidade do problema 
ser resolvido? 
 
Resolução: 
O problema será solucionado se A resolve ou B resolve ou ambos resolvem. Então 
P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( )∪ = + − ∩ . 
 
Se ambos tentarem independentemente ⇒ P A B P A P B( ) ( ). ( )∩ = ⇒ 
P A B( ) .∩ = =1
3
3
4
1
4
. 
Logo P A B( )∪ = + − =1
3
3
4
1
4
5
6
. 
 
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10. TEOREMA DE BAYES 
 
 
Exemplo: 
 Em uma fábrica de parafusos as máquinas M1, M2 e M3 são responsáveis, 
respectivamente, por 25%, 35% e 40% do total produzido. Da produção de cada máquina, 
5%, 4% e 2%, respectivamente, são parafusos defeituosos. Escolhe-se um parafuso ao 
acaso e verifica-se que é defeituoso. Qual a probabilidade que o parafuso escolhido seja 
originário da máquina M1? 
 
Resolução: O enunciado do exemplo definiu os seguintes eventos e probabilidades: 
 
? M1: o parafuso foi produzido pela máquina 1 ⇒ P(M1) = 0,25 
? M2: o parafuso foi produzido pela máquina 2 ⇒ P(M2) = 0,35 
? M3: o parafuso foi produzido pela máquina 3 ⇒ P(M3) = 0,40 
M1 ∪ M2 ∪ M3 = S 
 
? D = o parafuso é defeituoso 
? P = o parafuso é perfeito 
D ∪ P = S 
 
? P(D/M1) = 0,05 
? P(D/M2) = 0,04 
? P(D/M3) = 0,02 
 
Na Árvore de Probabilidades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabemos que P(M1 ∪ M2 ∪ M3) = P(M1) + P(M2) + P(M3) = 1, pois M1, M2 e M3 
são eventos mutuamente exclusivos e, pelo mesmo motivo, P(D ∪ P) = P(D) + P(P) = 1. 
P(D/M1)
P(P/M1)
P(M1) 
P(D/M2)
P(M2) 
P(P/M2)
P(M3)
P(D/M3)
P(P/M3)
 
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A probabilidade que desejamos calcular é P(M1|D), probabilidade do parafuso ser 
originário da máquina 1 sabendo-se que é um parafuso defeituoso. Utilizando a definição 
de probabilidade condicional, temos: .
)(
)(
)|( 11 DP
DMP
DMP
∩= 
Vamos iniciar o cálculo pelo denominador da expressão. Podemos observar que os 
parafusos defeituosos estão distribuídos pela produção das três máquinas. Assim, para 
calcularmos a probabilidade de sair um parafuso defeituoso – P(D) – temos que considerar 
a ocorrência simultânea de parafuso defeituoso nas três máquinas. Ou seja, 
P(D) = P(M1 ∩ D) + P(M2 ∩ D) + P(M3 ∩ D) 
P(M1 ∩ D) = P(M1).P(D | M1) = 0,25 × 0,05 = 0,0125 
P(M2 ∩ D) = P(M2).P(D | M2) = 0,35 × 0,04 = 0,0140 
P(M3 ∩ D) = P(M3).P(D | M3) = 0,40 × 0,02 = 0,0080 
 
 Assim, P(D) = 0,0125 + 0,0140 + 0,0080 = 0,0345. O resultado final fica: 
.3623,0
0345,0
0125,0
)(
)(
)|( 11 ==∩= DP
DMP
DMP 
 
Teorema de Bayes 
 
 Sejam A1 A2,...,An , n eventos mutuamente exclusivos tais que A1∪A2∪ ... ∪ An = S. 
Sejam P(Aj) as probabilidades conhecidas dos vários eventos (chamadas de probabilidade 
a priori) e B um evento qualquer de S, tal que são conhecidas todas as probabilidades 
condicionais do tipo P(B | Aj) (chamadas probabilidades a posteriori). Então para cada j 
teremos: 
∑∑
==
=
∩
∩=
n
i
ii
jj
n
i
i
j
j
ABPAP
ABPAP
BAP
BAP
BAP
11
)|().(
)|().(
)(
)(
)|( 
 
 
 
 
 
	Universidade Federal da Bahia
	Instituto de Matemática
	Professora: Lia Terezinha L. P. Moraes
	Março de 2011
	Probabilidade de um evento elementar
	Teorema de Bayes