Geometria Analítica e Álgebra Linear - Problemas de Planos e Retas

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Universidade Federal de Uberlaˆndia.
Disciplina: Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear (GCI004)-2015-1.
Curso: Graduac¸a˜o em Gesta˜o da Informac¸a˜o.
Lista 4.
Nos problemas 1 a 5, determinar a equac¸a˜o geral do plano
1. paralelo ao plano pi : 2x− 3y − z + 5 = 0 e que conte´m o ponto A(4,−1, 2);
2. perpendicular a` reta
r :
{
x = 2y − 3
z = −y + 1
e conte´m o ponto A(1, 2, 3);
3. mediador do segmento de extremos A(1,−2, 6) e B(3, 0, 0);
4. paralelo ao eixo dos z que conte´m os pontos A(0, 3, 1) e B(2, 0,−1);
5. paralelo ao plano xOy e que conte´m o ponto A(5,−2, 3).
6. Escrever a equac¸a˜o geral do plano determinado pelos pontos A(−1, 2, 0), B(2,−1, 1) e
C(1, 1,−1).
7. Determinar a equac¸a˜o geral do plano que conte´m o ponto A(4, 1, 0) e e´ perpendicular aos
planos pi1 : 2x− y − 4z − 6 = 0 e pi2 : x+ y + 2z − 6 = 0.
8. Determinar a equac¸a˜o geral do plano que conte´m os seguintes pares de retas:
(a) r :
{
y = 2x− 3
z = −x+ 2
e s :
{
x− 1
3
=
z − 1
5
y = −1
(b) r :
{
x = z; y = −3 e s :


x = −t
y = 1
z = 2− t
9. Determinar a equac¸a˜o geral do plano que conte´m o ponto A(1, 2, 3) e a intersec¸a˜o do plano
pi : x− 2y + z − 3 = 0 com o plano yOz.
10. Estabelecer equac¸o˜es parame`tricas do plano determinado pelos pontos A(1, 1, 0), B(2, 1, 3)
e C(−1,−2, 4).
11. Determinar o aˆngulo entre os seguintes planos:
(a) pi1 : x+ 2y + z − 10 = 0 e pi2 : 2x+ y − z + 1 = 0
(b) pi1 : 3x+ 2y − 6 = 0 e pi2 : plano xOz.
12. Determinar o valor dem para que seja de 30o o aˆngulo entre os planos pi1 : x+my+2z−7 =
0 e pi2 : 4x+ 5y + 3z − 2 = 0
13. Determinar a e b de modo que os planos pi1 : ax+by+4z−1 = 0 e pi2 : 3x−5y−2z+5 = 0
sejam paralelos.
14. Determinar m de modo que os planos pi1 : 2mx+ 2y − z = 0 e pi2 : 3x−my + 2z − 1 = 0
sejam perpendiculares.
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Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear.
15. Determinar o aˆngulo que a reta r :
{
x− 2
3
=
y
−4
=
z + 1
5
forma com o plano pi : 2x− y + 7z − 1 = 0
16. Mostrar que a reta
r :
{
x− 1
1
=
y + 1
−2
; z = 0
esta´ contida no plano pi : 2x+ y − 3z − 1 = 0.
17. Calcular o valor de m e n para que a reta
r :
{
y = 2x− 3
z = −x+ 4
esteja contida no plano pi : nx+my − z − 2 = 0.
18. Determinar o ponto de intersec¸a˜o da reta r :
{
x = 2y − 3 =
2z − 3
3
com o plano pi : 2x− y + 3z − 9 = 0.
19. Determinar os pontos de intersec¸a˜o da reta r :
{
y = 2x− 3
z = −x+ 2
com os planos coorde-
nados.
20. Determinar a equac¸a˜o geral do plano que conte´m o ponto A(2, 0, 1), e a reta intersec¸a˜o
dos planos pi1 : 2x− 3y − 5z = 0 e pi2 : x− y = 0.
21. O plano pi : x+y−z−2 = 0 intercepta os eixos cartesianos nos pontos A,B e C. Calcular
a a´rea do triaˆngulo ABC.
22. Calcular o volume do tetraedro limitado pelo plano 3x+ 2y − 4z − 12 = 0 e pelos planos
coordenados.
23. Mostrar que o ponto P1(2, 2, 3) e´ equidistante dos pontos P2(1, 4,−2) e P3(3, 7, 5).
24. Calcular:
(a) a distaˆncia do ponto P (1, 2, 3) a` reta
r :


x = 1− 2t
y = 2t
z = 2− t
(b) a distaˆncia do ponto P (1, 2, 3) a cada um dos eixos coordenados.
25. Seja o triaˆngulo de ve´rtices A(−3, 1, 4), B(−4,−1, 0) e C(−4, 3, 5). Calcular a medida da
altura relativa ao lado BC.
26. Calcular a distaˆncia entre as retas r e s nos seguintes casos:
(a) r :
{
x = 0
y = z
e s :
{
y = 3
z = 2x
(b) r passa pelos pontos A(1, 0, 1) e B(−1,−1, 0) e s pelos pontos C(0, 1,−2) eD(1, 1, 1).
(c) r :


x = 1− t
y = 2 + 3t
z = −t
e s: eixo dos x.
27. Determinar a distaˆncia do ponto P (2,−1, 2) a cada um dos planos:
Eduard Rojas C. UFU-FAMAT. 2 Gesta˜o da Informac¸a˜o.
Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear.
(a) pi : 2x− 2y − z + 3 = 0
(b) pi : x+ y + z = 0
(c) pi : 2x+ y = 3
28. Escrever as equac¸o˜es dos planos paralelos ao plano pi : 3x − 2y − 6z − 5 = 0 que distam
5 unidades da origem.
29. Calcular a distaˆncia entre os planos paralelos:
(a) pi1 : 2x+ 2y + 2z − 5 = 0 e pi2 : x+ y + z − 3 = 0
(b) pi1 : x− 2z + 1 = 0 e pi2 : 3x− 6z − 8 = 0
30. Determinar a distaˆncia da reta r :
{
x = 3
y = 4
(a) ao plano xOz
(b) ao plano yOz
(c) ao eixo dos z
(d) ao plano pi : x+ y − 12 = 0
Eduard Rojas C. UFU-FAMAT. 3 Gesta˜o da Informac¸a˜o.