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1. Determine as retas tangentes à eĺıpse E : 4x2 + 2y2 = 1 que são paralelas à reta s : y = 2x; A reta tangente à eĺıpse E : 4x2 + 2y2 = 1 no ponto (x0, y0) tem equação: 4x0x + 2y0y = 1. Como essa reta deve ser paralela à reta s : 2x − y = 0 então, deve existir λ ∈ R tal que (4x0, 2y0) = λ · (2,−1). Desta forma, devemos ter x0 = −y0 e como (x0, y0) ∈ E segue que, 4(−y0)2 + 2y20 = 1, ou seja, y0 = ± 1√6 . Concluimos então que existem duas retas, r1 e r2, tangentes à eĺıpse E que são paralelas à reta s : y = 2x, a saber, r1 : 4x− 2y = √ 6 e r2 : −4x+ 2y = √ 6 2. Considere o sistema de coordenadas ortogonal do plano Σ = (O, {~e1, ~e2}). Com respeito ao sistema de coordenadas Σ, seja E a eĺıpse com focos F1 = (−1, 3) e F2 = (2, 7) e excentricidade e = 3 5 . Determine o centro C de E e os vértices A1 e A2 de E que se encontram na reta focal. A distância focal é dada por 2c = dist(F1, F2) = √ (2 + 1)2 + (7− 3)2 = 5. Logo, c = 5 2 . O centro da eĺıpse é o ponto médio do segmento focal, ou seja, C = (2−1 2 , 3+7 2 ) = (1 2 , 5) A reta focal é dada por r : y − 3 = 7−3 2+1 · (x+ 1), ou seja, r : y = 4 3 · x+ 13 3 A excentricidade da eĺıpse E é dada por 3 5 = e = c a = 5 2 a . Logo o semi-eixo maior da eĺıpse mede a = 25 6 Se A = (x, y) é um vértice da eĺıpse E , que se encontra na reta focal, então: A = (x, 4 3 · x+ 13 3 ) e dist(A,C) = a = 25 6 Temos que, dist(A,C)2 = (x− 1 2 )2 + (y − 5)2 = (x− 1 2 )2 + (( 4 3 · x+ 13 3 )− 5)2 = = x2 − x+ 1 4 + ( 4 3 · x+ 13 3 )2 − 10 · (4 3 · x+ 13 3 ) + 25 = = x2 − x+ 1 4 + 16x2 9 + 104x 9 + 169 9 − 40x 3 − 130 3 + 25 = = 25 9 x2 − 25 9 x+ 25 36 Como dist(A,C)2 = 25 2 36 devemos ter, 4x2−4x+1 = 25 ou seja, x2−x−6 = 0. As ráızes dessa equação são x1 = 3 e x2 = −2. Desta forma, os vértices procurados são A1 = (x1, 43x1 + 13 3 ) e A2 = (x2, 4 3 x2 + 13 3 ), ou seja, A1 = (−2, 53) e A2 = (3, 25 3 ) 1 Terceira Prova Resolvida de Geometria Analítica 3. Identifique o que a quádrica Q : 3x2 + 3y2 +x− 2y− z = 0 representa e faça um esboço de Q. Temos que, 3x2 + 3y2 + x− 2y − z = 0 ⇔ 3(x2 + 1 3 x) + 3(y2 − 2 3 y)− z = 0 ⇔ ⇔ 3(x2 + 2x1 6 + 1 36 )− 1 12 + 3(y2 − 2y1 3 + 1 9 )− 1 3 − z = 0 ⇔ ⇔ 3(x+ 1 6 )2 + 3(y − 1 3 )2 − 1 12 − 4 12 − z = 0 ⇔ ⇔ 3(x+ 1 6 )2 + 3(y − 1 3 )2 − (z + 5 12 ) = 0 ⇔ ⇔ 3(x+ 1 6 )2 + 3(y − 1 3 )2 = (z + 5 12 ) Fazendo X = x+ 1 6 , Y = y − 1 3 e Z = z + 5 12 temos que a quádrica Q é dada por 3X2 + 3Y 2 = Z ou seja, a quádrica Q representa um PARABOLÓIDE CIRCULAR. ................................................................................................................................................................................................... ........................ ................ ........... ......... ....... ....... ......... ............ ................ ........................ .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ................... .............. ............ ........... .......... ......... ........ ........ ........ ....... ....... ....... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .... .... .... .... .... .. ................................................................................................................................................................................................................................... ................. ............. ........... .......... ......... ......... ........ ........ ....... ....... ....... ....... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .. .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .......... ......... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....................... ................... .................................................................................................................................................................................................................................. ........ ... ............ ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ...................... ................... .................................................................................................................................................. .......... .............................................................................................................................................................. ........ ... ............ ....... O − 1 6 1 3 − 5 12 O′ X z Y Z y x ...... ...... . ...... ...... . ...... ...... . ...... ...... . ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ........................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................... .................................................................................................... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. .......................................................................................................................................................................................................................... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... 4. Considere as cônicas C1 : −3x + 4xy + 7y2 + 2x2 − y + 71 = 0; C2 : 4x − 8xy + 4y = 3; C3 : −5x2 + 10xy − 5y2 + 37x = 51. a) Determine qual(is) dessas cônicas representa(m) uma hipérbole ou um par de retas concor- rentes (justifique sua resposta); Uma cônica C : Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0, representa: (1) Uma ELÍPSE ou suas degenerações (∅, PONTO, CIRCUNFERÊNCIA) se B2−4AC < 0. (2) Uma PARÁBOLA ou suas degenerações (∅, RETA, DUAS RETAS PARALELAS) se B2 − 4AC = 0. (3) Uma HIPÉRBOLE ou DUAS RETAS CONCORRENTES se B2 − 4AC > 0. ParaC1 temos que B 2 − 4AC = 42 − 4 · 2 · 7 = 16 − 56 = −40 < 0 logo, C1 representa uma eĺıpse ou suas degenerações. 2 Para C2 temos que B 2 − 4AC = (−8)2 − 4 · 0 · 0 = 64 > 0 logo, C1 representa uma hipérbole ou duas retas concorrentes. Para C3 temos que B 2− 4AC = 102− 4 · (−5) · (−5) = 100− 100 = 0 logo, C1 representa uma parábola ou suas degenerações. Portanto, C2 é a única cônica (dentre C1, C2, C3) que representa uma HIPÉRBOLE ou um PAR de RETAS CONCORRENTES. b) Determine o que de fato a(s) cônica(s) obtida(s) no item a) representa(m); Temos que −8xy + 4x+ 4y = 3 ⇔ ( x y ) · ( 0 −4 −4 0 ) · ( x y ) + ( 4 4 ) · ( x y ) = 3 • Autovalores de Q = ( 0 −4 −4 0 ) det ( −x −4 −4 −x ) = 0 ⇔ x2 − 16 = 0. Logo, os autovalores de Q são λ1 = 4 e λ2 = −4. • Autovetor ~v1 associado ao autovalor λ1 = 4( −4 −4 −4 −4 ) · ( p q ) = ( 0 0 ) ⇔ p = −q. Assim, se α = {~e1, ~e2} é a base ortonormal que compôe o sistema de coordenadas xy, temos que um autovetor unitário ~v1, associado a λ1 = 4 é dado por [~v1]α = ( 1√ 2 − 1√ 2 ) . • Autovetor ~v2 associado ao autovalor λ2 = −4 Sabemos que ~v2 deve ser unitário e ortogonal a ~v1. Logo um tal ~v2 é dado por [~v2]α = ( 1√ 2 1√ 2 ) . Se [~v]α = ( x y ) e [~v]β = ( X Y ) , sendo β = {~v1, ~v2} então, −8xy + 4x+ 4y = 3 ⇔ 4X2 − 4Y 2 + ( 4 4 ) · ( 1√ 2 1√ 2 − 1√ 2 1√ 2 ) · ( X Y ) = 3 ⇔ ⇔ 4X2 − 4Y 2 + ( 0 8√ 2 ) · ( X Y ) = 3 ⇔ ⇔ 4X2 − 4Y 2 + 4 √ 2Y = 3 ⇔ ⇔ 4X2 − 4 Y 2 −√2Y +(√2 2 )2+ 2 = 3 ⇔ ⇔ 4X2 − 4 ( Y − √ 2 2 )2 = 1 ⇔ ⇔ X 2( 1 2 )2 − ( Y − √ 2 2 )2 ( 1 2 )2 = 1 Fazendo X̄ = X e Ȳ = Y − √ 2 2 teremos, X̄2( 1 2 )2 − Ȳ 2(1 2 )2 = 1. Trata-se portanto de uma hipérbole equilátera, com vérticesA1 = (−12 , 0), A2 = ( 1 2 , 0) e focos F1 = (− √ 2 2 , 0), F2 = ( √ 2 2 , 0) (coordenadas com respeito ao sistema X̄Ȳ ). 3 c) Caso a(s) cônica(s) do item b) represente(m) uma hipérbole, determine as coordenadas dos focos dessa(s) hipérbole(s), com respeito ao sistema de coordenadas inicial. Caso contrário, determine o ponto de intersecção das retas concorrentes. Temos que as coordenadas de F1, no sistema XY , são dadas por F1 = (− √ 2 2 , √ 2 2 ). Pois, se X̄ = − √ 2 2 então, X = X̄ = − √ 2 2 . se Ȳ = 0 então, Y = Ȳ + √ 2 2 = 0 + √ 2 2 = √ 2 2 . Analogamente, no sistema XY , temos que F2 = ( √ 2 2 , √ 2 2 ). Temos que o sistema XY é dado por Σ′ = (O, β = {~v1, ~v2}) e o sistema xy é dado por Σ = (O,α = {~e1, ~e2}). Assim, F1 = (− √ 2 2 , √ 2 2 )Σ′ = ( [ −−→ OF1]β )t e F1 = ( [ −−→ OF1]α )t Como [ −−→ OF1]α = Mαβ · [ −−→ OF1]β temos que, [ −−→ OF1]α = ( 1√ 2 1√ 2 − 1√ 2 1√ 2 ) · ( − √ 2 2√ 2 2 ) = ( 0 1 ) Analogamente, [ −−→ OF2]α = ( 1√ 2 1√ 2 − 1√ 2 1√ 2 ) · (√ 2 2√ 2 2 ) = ( 1 0 ) Portanto, no sistema xy, temos que F1 = (0, 1) e F2 = (1, 0) 5. Considere a hipérbole H : 4x2 − 4 = y2. Determine uma equação da parábola P , cuja reta diretriz coincide com a asśıntota de H que possui coeficiente angular positivo, e cujo foco é dado por F = (3, 0). Temos queH : x2− y 2 4 = 1. Assim, o semi-eixo transverso mede a = 1 e o semi-eixo conjugado mede b = 2. As asśıntotas são dadas por, s1 : y = b a x = 2x e s2 : y = − b a x = −2x. Dentre essas duas asśıntotas, a que possui coeficiente angular positivo é s1, cuja equação pode também ser escrita como s1 : 2x− y = 0. Queremos determinar uma equação da parábola P com foco F = (3, 0) e reta diretriz d : 2x− y = 0. Um ponto P = (x, y) pertence a P se, e somente se, dist(P, F ) = dist(P, d). Mas, dist(P, F ) = dist(P, d) ⇔ (x− 3)2 + y2 = |2x− y| 2 22 + (−1)2 ⇔ x2 − 6x+ 9 + y2 = 4x 2 − 4xy + y2 5 ⇔ 5x2 − 30x+ 45 + 5y2 = 4x2 − 4xy + y2 ⇔ x2 + 4xy + 4y2 − 30x+ 45 = 0 Logo, P : x2 + 4xy + 4y2 − 30x+ 45 = 0 4
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