Terceira Prova Resolvida de Geometria Analítica - 3

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1. Determine as retas tangentes à eĺıpse E : 4x2 + 2y2 = 1 que são paralelas à reta s : y = 2x;
A reta tangente à eĺıpse E : 4x2 + 2y2 = 1 no ponto (x0, y0) tem equação: 4x0x + 2y0y = 1.
Como essa reta deve ser paralela à reta s : 2x − y = 0 então, deve existir λ ∈ R tal que
(4x0, 2y0) = λ · (2,−1). Desta forma, devemos ter x0 = −y0 e como (x0, y0) ∈ E segue
que, 4(−y0)2 + 2y20 = 1, ou seja, y0 = ± 1√6 . Concluimos então que existem duas retas, r1 e
r2, tangentes à eĺıpse E que são paralelas à reta s : y = 2x, a saber, r1 : 4x− 2y =
√
6 e
r2 : −4x+ 2y =
√
6
2. Considere o sistema de coordenadas ortogonal do plano Σ = (O, {~e1, ~e2}). Com respeito ao
sistema de coordenadas Σ, seja E a eĺıpse com focos F1 = (−1, 3) e F2 = (2, 7) e excentricidade
e = 3
5
. Determine o centro C de E e os vértices A1 e A2 de E que se encontram na reta focal.
A distância focal é dada por 2c = dist(F1, F2) =
√
(2 + 1)2 + (7− 3)2 = 5. Logo, c = 5
2
.
O centro da eĺıpse é o ponto médio do segmento focal, ou seja, C = (2−1
2
, 3+7
2
) = (1
2
, 5)
A reta focal é dada por r : y − 3 = 7−3
2+1
· (x+ 1), ou seja, r : y = 4
3
· x+ 13
3
A excentricidade da eĺıpse E é dada por 3
5
= e = c
a
=
5
2
a
. Logo o semi-eixo maior da eĺıpse
mede a = 25
6
Se A = (x, y) é um vértice da eĺıpse E , que se encontra na reta focal, então:
A = (x,
4
3
· x+ 13
3
) e dist(A,C) = a =
25
6
Temos que,
dist(A,C)2 = (x− 1
2
)2 + (y − 5)2 = (x− 1
2
)2 + ((
4
3
· x+ 13
3
)− 5)2 =
= x2 − x+ 1
4
+ (
4
3
· x+ 13
3
)2 − 10 · (4
3
· x+ 13
3
) + 25 =
= x2 − x+ 1
4
+
16x2
9
+
104x
9
+
169
9
− 40x
3
− 130
3
+ 25 =
=
25
9
x2 − 25
9
x+
25
36
Como dist(A,C)2 = 25
2
36
devemos ter, 4x2−4x+1 = 25 ou seja, x2−x−6 = 0. As ráızes dessa
equação são x1 = 3 e x2 = −2. Desta forma, os vértices procurados são A1 = (x1, 43x1 +
13
3
) e
A2 = (x2,
4
3
x2 +
13
3
), ou seja,
A1 = (−2, 53) e A2 = (3,
25
3
)
1
Terceira Prova Resolvida de Geometria Analítica 
3. Identifique o que a quádrica Q : 3x2 + 3y2 +x− 2y− z = 0 representa e faça um esboço de Q.
Temos que,
3x2 + 3y2 + x− 2y − z = 0 ⇔ 3(x2 + 1
3
x) + 3(y2 − 2
3
y)− z = 0 ⇔
⇔ 3(x2 + 2x1
6
+
1
36
)− 1
12
+ 3(y2 − 2y1
3
+
1
9
)− 1
3
− z = 0 ⇔
⇔ 3(x+ 1
6
)2 + 3(y − 1
3
)2 − 1
12
− 4
12
− z = 0 ⇔
⇔ 3(x+ 1
6
)2 + 3(y − 1
3
)2 − (z + 5
12
) = 0 ⇔
⇔ 3(x+ 1
6
)2 + 3(y − 1
3
)2 = (z +
5
12
)
Fazendo X = x+ 1
6
, Y = y − 1
3
e Z = z + 5
12
temos que a quádrica Q é dada por
3X2 + 3Y 2 = Z
ou seja, a quádrica Q representa um PARABOLÓIDE CIRCULAR.
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O
− 1
6
1
3
− 5
12
O′
X
z
Y
Z
y
x
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4. Considere as cônicas C1 : −3x + 4xy + 7y2 + 2x2 − y + 71 = 0; C2 : 4x − 8xy + 4y = 3;
C3 : −5x2 + 10xy − 5y2 + 37x = 51.
a) Determine qual(is) dessas cônicas representa(m) uma hipérbole ou um par de retas concor-
rentes (justifique sua resposta);
Uma cônica C : Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0, representa:
(1) Uma ELÍPSE ou suas degenerações (∅, PONTO, CIRCUNFERÊNCIA) se B2−4AC < 0.
(2) Uma PARÁBOLA ou suas degenerações (∅, RETA, DUAS RETAS PARALELAS) se
B2 − 4AC = 0.
(3) Uma HIPÉRBOLE ou DUAS RETAS CONCORRENTES se B2 − 4AC > 0.
ParaC1 temos que B
2 − 4AC = 42 − 4 · 2 · 7 = 16 − 56 = −40 < 0 logo, C1 representa uma
eĺıpse ou suas degenerações.
2
Para C2 temos que B
2 − 4AC = (−8)2 − 4 · 0 · 0 = 64 > 0 logo, C1 representa uma hipérbole
ou duas retas concorrentes.
Para C3 temos que B
2− 4AC = 102− 4 · (−5) · (−5) = 100− 100 = 0 logo, C1 representa uma
parábola ou suas degenerações.
Portanto, C2 é a única cônica (dentre C1, C2, C3) que representa uma HIPÉRBOLE ou um
PAR de RETAS CONCORRENTES.
b) Determine o que de fato a(s) cônica(s) obtida(s) no item a) representa(m);
Temos que −8xy + 4x+ 4y = 3 ⇔
(
x y
)
·
(
0 −4
−4 0
)
·
(
x
y
)
+
(
4 4
)
·
(
x
y
)
= 3
• Autovalores de Q =
(
0 −4
−4 0
)
det
(
−x −4
−4 −x
)
= 0 ⇔ x2 − 16 = 0. Logo, os autovalores de Q são λ1 = 4 e λ2 = −4.
• Autovetor ~v1 associado ao autovalor λ1 = 4(
−4 −4
−4 −4
)
·
(
p
q
)
=
(
0
0
)
⇔ p = −q. Assim, se α = {~e1, ~e2} é a base ortonormal que
compôe o sistema de coordenadas xy, temos que um autovetor unitário ~v1, associado a λ1 = 4
é dado por [~v1]α =
(
1√
2
− 1√
2
)
.
• Autovetor ~v2 associado ao autovalor λ2 = −4
Sabemos que ~v2 deve ser unitário e ortogonal a ~v1. Logo um tal ~v2 é dado por [~v2]α =
(
1√
2
1√
2
)
.
Se [~v]α =
(
x
y
)
e [~v]β =
(
X
Y
)
, sendo β = {~v1, ~v2} então,
−8xy + 4x+ 4y = 3 ⇔ 4X2 − 4Y 2 +
(
4 4
)
·
(
1√
2
1√
2
− 1√
2
1√
2
)
·
(
X
Y
)
= 3 ⇔
⇔ 4X2 − 4Y 2 +
(
0 8√
2
)
·
(
X
Y
)
= 3 ⇔
⇔ 4X2 − 4Y 2 + 4
√
2Y = 3 ⇔
⇔ 4X2 − 4
Y 2 −√2Y +(√2
2
)2+ 2 = 3 ⇔
⇔ 4X2 − 4
(
Y −
√
2
2
)2
= 1 ⇔
⇔ X
2(
1
2
)2 −
(
Y −
√
2
2
)2
(
1
2
)2 = 1
Fazendo X̄ = X e Ȳ = Y −
√
2
2
teremos,
X̄2(
1
2
)2 − Ȳ 2(1
2
)2 = 1. Trata-se portanto de uma
hipérbole equilátera, com vérticesA1 = (−12 , 0), A2 = (
1
2
, 0) e focos F1 = (−
√
2
2
, 0), F2 = (
√
2
2
, 0)
(coordenadas com respeito ao sistema X̄Ȳ ).
3
c) Caso a(s) cônica(s) do item b) represente(m) uma hipérbole, determine as coordenadas dos
focos dessa(s) hipérbole(s), com respeito ao sistema de coordenadas inicial. Caso contrário,
determine o ponto de intersecção das retas concorrentes.
Temos que as coordenadas de F1, no sistema XY , são dadas por F1 = (−
√
2
2
,
√
2
2
).
Pois, se X̄ = −
√
2
2
então, X = X̄ = −
√
2
2
.
se Ȳ = 0 então, Y = Ȳ +
√
2
2
= 0 +
√
2
2
=
√
2
2
.
Analogamente, no sistema XY , temos que F2 = (
√
2
2
,
√
2
2
).
Temos que o sistema XY é dado por Σ′ = (O, β = {~v1, ~v2}) e o sistema xy é dado por
Σ = (O,α = {~e1, ~e2}).
Assim, F1 = (−
√
2
2
,
√
2
2
)Σ′ =
(
[
−−→
OF1]β
)t
e F1 =
(
[
−−→
OF1]α
)t
Como [
−−→
OF1]α = Mαβ · [
−−→
OF1]β temos que,
[
−−→
OF1]α =
(
1√
2
1√
2
− 1√
2
1√
2
)
·
(
−
√
2
2√
2
2
)
=
(
0
1
)
Analogamente,
[
−−→
OF2]α =
(
1√
2
1√
2
− 1√
2
1√
2
)
·
(√
2
2√
2
2
)
=
(
1
0
)
Portanto, no sistema xy, temos que F1 = (0, 1) e F2 = (1, 0)
5. Considere a hipérbole H : 4x2 − 4 = y2. Determine uma equação da parábola P , cuja reta
diretriz coincide com a asśıntota de H que possui coeficiente angular positivo, e cujo foco é
dado por F = (3, 0).
Temos queH : x2− y
2
4
= 1. Assim, o semi-eixo transverso mede a = 1 e o semi-eixo conjugado
mede b = 2. As asśıntotas são dadas por, s1 : y =
b
a
x = 2x e s2 : y = −
b
a
x = −2x. Dentre
essas duas asśıntotas, a que possui coeficiente angular positivo é s1, cuja equação pode também
ser escrita como s1 : 2x− y = 0.
Queremos determinar uma equação da parábola P com foco F = (3, 0) e reta diretriz d :
2x− y = 0. Um ponto P = (x, y) pertence a P se, e somente se, dist(P, F ) = dist(P, d). Mas,
dist(P, F ) = dist(P, d) ⇔ (x− 3)2 + y2 = |2x− y|
2
22 + (−1)2
⇔ x2 − 6x+ 9 + y2 = 4x
2 − 4xy + y2
5
⇔ 5x2 − 30x+ 45 + 5y2 = 4x2 − 4xy + y2
⇔ x2 + 4xy + 4y2 − 30x+ 45 = 0
Logo, P : x2 + 4xy + 4y2 − 30x+ 45 = 0
4