Concreto2 6

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Dimensionamento de Pilares
Flexão Composta Normal e ObliquaFlexão Composta Normal e Obliqua
Prof. M.Sc. Antonio de Faria
Setembro/2015
Flexão Normal Composta e Obliqua
y
py
y
dA
dAx
c
A
A
2
cxc dyI ⋅= ∫
A
2
yc dxI ⋅= ∫ c
x
x
xp
CG
O
ydA
c
A
A
yc dxI ⋅= ∫ c
A
A
ccycxc, dyxI ⋅⋅= ∫
Seção transversal em forma de L, com posição do centro de gravidade (CG),
os eixos ortogonais xc e yc e os eixos principais de inércia xp e yp
y
py
y
Ma
c
Flexão Normal Composta e Obliqua
x
x
x p
CG
O
bM
c
Seção transversal em forma de L, submetida a um Momento Ma e a um
momento Mb, gerando uma flexão normal e uma oblíqua respectivamente
Flexão Normal Composta e Obliqua
Seção transversal retangular com armadura assimétrica em relação ao eixo
vertical – cotas em cm;
Flexão Normal Composta e Obliqua
Seção transversal retangular com armadura simétrica em relação aos eixos
x e y com origem no CG da seção
Embora tenha sido usado o diagrama retangular para o cálculo da
resultante do concreto pode-se perfeitamente usar o diagrama
parábola retângulo que é mais empregado quando se confecciona
ábacos;
A seção apresentada na figura 4.2 em forma de L por não possuir
nenhum eixo de simetria no caso de feita de concreto armado
Flexão Normal Composta e Obliqua
nenhum eixo de simetria no caso de feita de concreto armado
estará submetida a flexão obliqua sempre, embora sendo feita de
outro material (como aço) que siga a resistência dos materiais
poderá estar sujeita à flexão normal;
Assim, de maneira simplificada, e considerando que a armadura
empregada aqui será sempre simétrica ao eixo perpendicular ao
momento tem-se para as seções retangulares e com armadura
simétricas a pelo menos um eixo de simetria;
Flexão Normal – É preciso existir ao menos um eixo de simetria
na seção transversal (tanto para seção de concreto quanto de
armadura) e o plano do carregamento contê-lo;
Flexão Composta Normal – A mesma situação anterior quando
existe também normal atuante;
Flexão Obliqua – Em seções com eixos de simetria quando o
Flexão Normal Composta e Obliqua
Flexão Obliqua – Em seções com eixos de simetria quando o
plano do carregamento não contiver nenhum dos eixos de simetria
e em seções sem simetria;
Flexão Composta Obliqua – A mesma situação anterior quando
existe também normal atuante;
Detalhe 1
Terças
Pórtico
Telhas
CORTE AA
A
Terças
PLANTA
Telhas
Flexão Normal Composta e Obliqua
atuante
carregamento M y
xM
Trave do pórtico
y
x
Terça
DETALHE 1
Pórtico
A
Pórticos
Terça de cobertura
de um galpão
As seções transversais permanecem planas após o início da
deformação e até o estado limite último; as deformações são, em
cada ponto, proporcionais à sua distância à linha neutra da seção
(hipótese de Bernoulli);
Solidariedade dos materiais: admite-se solidariedade perfeita
entre o concreto e a armadura; a deformação específica de uma
Hipóteses básicas para o cálculo de peças fletidas
entre o concreto e a armadura; a deformação específica de uma
barra da armadura é igual à do concreto adjacente;
A ruína da seção transversal para qualquer tipo de flexão
no estado limite último fica caracterizada quando o aço ou o
concreto (ou ambos) atingem suas deformações específicas de
ruptura (ou últimas).
Encurtamentos últimos (máximos) do concreto: no estado
limite último o encurtamento específico de ruptura do concreto
vale:
� εεεεcu = 3,5××××10-3 (3,5‰) nas seções não inteiramente comprimidas (flexão);
� εεεεcu = 2,0××××10-3 (2,0‰) a 3,5××××10-3 (3,5‰) nas seções inteiramente
comprimidas;
Alongamento último das armaduras: o alongamento máximo
Hipóteses básicas para o cálculo de peças fletidas
Alongamento último das armaduras: o alongamento máximo
permitido ao longo da armadura tracionada é:
� εεεεsu = 10,0××××10-3 (10,0‰) para prevenir deformação plástica excessiva;
Diagrama tensão deformação do concreto
ck
ck
n
c2
c
cdc
:50MPa f para
2 n :50MPa f para
ε
ε
-1-1f0,85 σ
>
=≤














⋅⋅=
 3,5% ε
2,0% ε
:C50 até classes de concreto para
0cu
0c2
=
= ( )
( )[ ] 100/f9035% 2,6% ε
 50-f0,085% 2,0% ε
:C90 até C55 de classes de concreto para
4
ck0 0cu
0,53
ck00c2
−⋅+=
⋅+=
( )[ ]4ck /100f-9023,4 1,4 n ⋅+=
Diagramas de Deformação e Tensão no Concreto
h
εεεεcu
x
ααααc.fcd
y
 
=
 
λ
λ λ
λ
.
x
ααααc.fcd
εεεεc2
Diagramas de deformações e tensões no concreto no estado limite último
( ) MPa; 50,0 f para 
400
50 - f
-0,8λ
ou MPa; 50,0 f para 0,8λ
ck
ck
ck
>=
≤=
( )




⋅=
=
200
50-f
-1,00,85 α
:C90 até C50 de acima classes de concretos Para
0,85 α
:C50 até classes de concretos Para
ck
c
c
Hipóteses básicas para o cálculo de peças fletidas
T
r
a
ç
ã
o
s
s3,5 /000
10 /0
fYd
C
o
m
p
r
e
s
s
ã
o
10 /000
fYCd
Diagramas de tensões no aço
Hipóteses básicas para o cálculo de peças fletidas
As’
d’’
3/7h
εεεεc2
Alongamento Encurtamento
εεεεc
Domínios de deformação em uma seção transversal
d
10%o
h
a
1
As
2
3
4
4a
5
3/7h
b
A
εεεεyd
d’
Flexão Composta Normal (Flexão Reta)
Seção genérica sob flexão composta
(y é o eixo principal de inércia)
Domínios de ruptura Curva dos Esforços resistentes
para os diversos domínios
O problema de verificação ou dimensionamento da
armadura no estado limite último depende diretamente
dos seguintes fatores:
� forma da seção transversal;
� equações características do aço e do concreto (diagramas tensão-
deformação, NBR-6118:2014);
Flexão Composta Normal (Flexão Reta)
deformação, NBR-6118:2014);
� equação de compatibilidade de deformações (domínios);
� equações de equilíbrio de forças e momentos (duas no caso de flexão
normal composta);
� distribuição da armadura na seção transversal do elemento.
� Essa distribuição da armadura na seção transversal deve ser feita de
maneira que conduza ao menor consumo de aço:
� armadura não simétrica nas faces da seção;
� armaduras simétricas (a mesma quantidade em cada face).
h
a
v
M om e n to f l e to r d e
s e g u n d a o r d em P x e
P
e
2
P
v
a a ç ã o d o v e n to v x h /8
M om e n to f le to r d e
2e ae
P
d e f e i to d e e x e c u ç ã o P x e
M o m e n to f l e to r d e
P
e a
2
Flexão Composta Normal (Flexão Reta)
h
S E Ç Ã O T R A N S V E R S A L N O M E IO D O V Ã O
( a ) ( c ) ( d )(b ) ( e ) ( e )
Estruturas que têm flexão da seção do meio do vão com direção conhecida devido
à característica da ação, o sentido não é conhecido a priori
Seções retangulares com armadura não simétrica em duas 
faces 
• Zona A: As e As
'
 comprimidas; 
• Zona B: As = 0 e As
'
 comprimida; 
• Zona C: As tracionada e As' comprimida;
• Zona D: As tracionada e As
'
= 0 ; 
• Zona E: As e As
'
 tracionadas; • Zona E: As e As tracionadas; 
• Zona O: As = 0 e As' = 0 . 
Regiões (zonas) para as socilicitações possíveis nas armaduras em cada face
Seções retangulares com armadura simétrica em duas faces
x
y
L N
 
 x
s
c
A´ =s
OONd
As
1 2
4 3x
ey
 
 
0,8x
deformações tensão no concretoseção transversal
0,85 fcd cd0,80 f
0,85 fcd
dA
yi
As,i
ci ci
as equações devem ser 
aplicadas para os diversos 
domínios de modo a 
encontrar em qual deles está 
a solução;
dM
s
sA
x
dN
OO
cici
s,iA
iy
dAcd0,85 f
0,80 fcdcd0,85 f
seção transversal tensão no concretodeformações 
0,8x
 
 
34
21
sA
As
sA´ =
c
s
s
x 
NL
y
x
∫∑∫∑ ×+×=×+×=
== 4,3,2,11
is,
1
is,d dAAdAAN ci
n
i
si
A
ci
n
i
si
cc
σσσσ
ydAyAM
4,3,2,1
i
1
is,d ××+××= ∫∑
=
ci
n
i
si σσ
Seção transversal com um eixo de simetria (y) e armadura simétrica submetida à flexão normal composta
Resolução da flexão composta com o uso de ábacos
adimensionais para seções retangulares
cd
d
fhb
N
××
=ν
cd
2
xd
fhb
M
××
=µ
cd
yds
fhb
fA
××
×
=ϖ
FLEXÃO OBLÍQUA E COMPOSTA OBLÍQUA 
cd
d
f
N
××
=
hb
ν
b
e
ν
fhb
M
µ x2
yd
y ×=
××
=
cd
yds
fhb
fA
ω
××
×
=
h
e
ν
fhb
M
µ
y
cd
2
xd
x ×=
××
=
bfhb cd
2y ××
ν ν ω νI c s= + ×µ µ ω µxI xc xs= + × µ µ ω µyI yc ys= + ×
Seção retangular sob flexão oblíqua: deformações e tensões no concreto no estado limite último
FLEXÃO OBLÍQUA E COMPOSTA OBLÍQUA 
Superfícies de interação (υ, µx, µy) ou (N, Mx, My)
Flexão Oblíqua e 
Composta Oblíqua